CC BY
94
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Розуменко А.О., Розуменко А.М. npuMadHi задач'1 як зааб розвитку ймовiрнiсного мислення учшв. Фiзико-математична осв'та. 2018. Випуск 2(16). С. 107-111.
Rozumenko Anzhela, Rozumenko Anatolii. Practical Tasks As A Way Of Development Of Students' Probabilistic Thinking. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 2(16). Р. 107-111.
УДК 373.5.016:519.2
А.О. Розуменко1, А.М. Розуменко2
1Сумський державний педагогiчний унверситет iменi А.С. Макаренка, Украна
an gelarozumenko @ukr.net
2Сумський нац'юнальний аграрний унiверситет, Украна
[email protected] DOI 10.31110/2413-1571-2018-016-2-020
ПРИКЛАДН1 ЗАДАЧ1 ЯК ЗАС1Б РОЗВИТКУ ЙМОВ1РН1СНОГО МИСЛЕННЯ УЧН1В
Анотац'я. У статт'1 розглянуто проблему формування в учшв старшоi школи ймовiрнiсного мислення. Необхiднiсть цшеспрямовано! роботи вчителя математики по вирiшенню даноi проблеми зумовлена тим, що сучасне життя вимагае вiд людини вм'ння ор'!ентуватися в невизначених ситуа^ях, зважувати ризики та обирати найбльш ефективний з р'!знихварiантiв. Усвт «його величнсть випадок» вiдiграезначну роль. lмовiрнiснiзакони ушверсальш, i саме вони лежать в основi розум'ння науковоi картини свту. Збльшуються сфери застосування ймовiрнiсно-статистичнихметод/'в та моделей в р'зних областях науки i технки. Все бльшого значення набувають стохастичн поняття i факти в системi знань сучасного фах/вця, бльш вагомою стае ¡'х прикладна та практична значущ/сть. В умовах сучасноi дйсностi стають актуальними так якост'1 мислення, як гнучксть, критичнсть, глибина, адаптивнсть, динам'зм, здатшсть дiяти в умовах конкуренцП i ситуац'ях невизначеност'1. Отже, сучасн'ш людин необх'дний стиль мислення, який деяк досл'дники називають «ймов'ршсно-статистичним».
Головна роль у формуваннi, вдосконаленн та розвитку iмовiрнiсного стилю мислення в шкльному кура математики в'дводиться елементам комб'таторики, теорп ймов'рностей i математичноi статистики. Вивчення елементiв теорП ймов'рностей i математичноi статистики в'дносять до числа основних засоб'в реал'зацП прикладноi спрямованост'1 навчання математики. Прикладна спрямовашсть навчання стохастики полягае в органiзацii навчальноi дiяльностi учн'!в щодо застосування стохастичних iдей i метод'в до опису процесв реальноi дйсностi. Прикладнiзадач'1 виступають в якост'1 основного компонента реал'зацПприкладноiспрямованост'1 навчання стохастики в школ'1 i сприяють розвитку ймовiрнiсного мислення учшв старшоiшколи.
У статт'1 запропоновано три варiанта однiеi з класичних прикладних ймовiрнiсних задач, яка в'дома як «Задача про парн'1 дн народження». Вс три варiанта задач'1 подано з розв'язанням, зроблено пор'вняльний анал'з умов i в'дпов'дних розв'язк'!в.
Ключов! слова: мислення, ймов'рн'сть, прикладна задача, старша школа.
Постановка проблеми. Сучасне життя вимагае вщ людини вмшня орieнтуватися в невизначених ситуациях, зважувати ризики та обирати найбтьш ефективний з рiзних варiантiв розв'язання т^еТ чи ЫшоТ проблеми. У свт «його величысть випадок» в^грае значну роль. lмовiрнiснi закони уыверсальы, i саме вони лежать в основi розумЫня науково'' картини свггу. Збтьшуються сфери застосування ймовiрнiсно-статистичних методiв та моделей в рiзних областях науки i технти. Все бтьшого значення набувають стохастичн поняття i факти в системi знань сучасного фахiвця, бтьш вагомою стае Тх прикладна та практична значущкть. Саме тому, на нашу думку, одним з основних завдань школи мае бути розвиток ймовiрнiсно - статистичного мислення учыв.
Аналiз актуальних дослщжень. Мета навчання стохастики була сформульована, ще Б.В. Гнеденко i полягае в щейному збагаченн курсу математики i пщсиленню його розвиваючого i прикладного потенщалу, формуванн стохастичного мислення. Окремим аспектам проблеми навчання учыв елементам стохастики та розвитку ймовiрнiсно-статистичного мислення були присвячен роботи математиюв, психолопв, дидак^в та методиспв. Зокрема, розглядалися психолопчы теорп стохастичного мислення (А. Енгель, Т. Варга, Б.В. Гнеденко, Л.С. Виготський, С.Л. РубЫштейн та Ы.), формування стохастичних уявлень (Д. Грш, Б. 1нельдер, А.А. Пшський, О.С. Шурипна, Е. Фшбейн та Ы.), методичн особливост навчання початюв теорп ймовiрностей i вступу до статистики (К.Р. Велскер, Б.В. Гнеденко, А.Я. ДограшвЫ, М.В. Еремеева, А.М. Колмогоров, К.Н. КуриндЫа, Д.В. Маневич, В.Д. Селютш та ш.).
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Аналiз iснуючих на сьогоднi дисертацшних дослiджень з питань пошуку методичних шляхiв реалiзацií стохастично( складово! в шктьному курсi математики показав, що в основному робота ведеться за наступними напрямками:
- розробка методики формування в учыв стохастичних уявлень в процеа навчання основам теори ймовiрностей i математично! статистики на рiвнi початково!, основно! та старшо! (профiльноí) школи;
- посилення прикладно! та практично! спрямованостi вивчення стохастики в шктьному кура математики;
- розробка методики стохастично! пщготовки майбутнього вчителя математики.
Мета статт полягае в обГрунтуваны ефективностi використання прикладних задач як одного iз засобiв розвитку ймовiрнiсного мислення учнiв.
Методи дослщження. У ходi пiдготовки статл були використанi такi методи дослщження:
- теоретичнi: аналiз результатiв педагопчних та психологiчних дослiджень, аналiз прикладних задач з теори ймовiрностей;
- емтричнг узагальнення педагогiчного досвiду з викладання елемен^в стохастики, педагогiчнi спостереження за процесом навчання математики учыв старшо! школи.
Виклад основного матерiалу. На сучасному етапi розбудови шктьно'|' математично! освiти сформульовано ц^л^ навчання початюв теори ймовiрностей i вступу до статистики, якi полягають у забезпеченн свiдомого i мiцного оволодшня знаннями, навичками i умiннями з дано! зм^тово! лiнií, якi потрiбнi в повсякденному життi, майбутнiй профеайый дiяльностi i яких буде достатньо для вивчення шших предметiв, продовження освiти, формування навичок моделювання випадкових явищ у процесi дослiдження природи i суспiльства; розвитку iмовiрнiсно-статистичного та критичного мислення [5] учыв, математично! iнтуíцií i культури, формування самоспйносп, iнiцiативностi, творчостi, здатностi адаптування до умов, що змшюються; формуваннi наукового свтэгляду.
П^д мисленням в сучаснш науцi розумiють найбiльш узагальнену i опосередковану форму психiчного вiдображення, що встановлюе зв'язки i вiдношення мiж об'ектами, якi дослiджуються. Це процес Ызнавально! дiяльностi iндивiда, що характеризуемся узагальненим i опосередкованим вiдображенням дшсносп; це аналiз, синтез, узагальнення умов i вимог задачi, що розв'язуеться i способiв и розв'язання. У психологи, що вивчае мислення як процес, прийнято видтяти рiзнi види мислення в залежност в^д ознаки, яка покладена в основу :
- за формою (наочно^еве, наочно-образне i абстрактне мислення);
- за характером завдань (практичне i теоретичне мислення);
- за ступенем новизни i орипнальност (репродуктивне i творче (продуктивне) мислення).
Математичне мислення повыстю вщповщае характеристицi мислення взагалi. Разом з тим цей рiзновид мислення мае сво! особливостi, якi обумовлен специфiкою об'ектiв, що дослiджуються, а також методiв !х вивчення. У дослщжены Л.К. Максимова [2] говориться про те, що, хоча методи математичного мислення зараз широко застосовуються в шших науках i мають статус загальних методiв пiзнання, все-таки цей вид мислення мае сво! особливосп, якi вiдрiзняють його вщ мислення в iнших наукових областях.
Шд математичним мисленням, в основi якого лежать математичнi поняття i судження, в педагогiчнiй теори розум^ть сукупнiсть взаемопов'язаних логiчних операцiй; оперування як згорнутими, так i розгорнутими структурами, знаковими системами математично! мови, а також здатысть до просторових уявлень, запам'ятовування i уяв^.
Загальновщомою е характеристика математичного мислення, яку дав академт А.Я. Хiнчiн. Розкриваючи сутнiсть стилю математичного мислення, вш видiляе чотири характернi риси, що, на його думку, вiдрiзняють цей стиль вщ стилiв мислення в шших науках: домшування логiчноí схеми мiркувань; лаконiзм, свiдоме прагнення завжди знаходити найкоротший, що веде до ц^е! мети логiчний шлях; чгтка розчленованiсть ходу мiркування; точнiсть символти [8]. Видатний математик Г. Вейль розумiе пiд математичним мисленням, по-перше, особливу форму мiркувань, за допомогою яких математика проникае в науки про зовышый свiт - фiзику, хiмiю, бiологiю, економiку тощо i навiть в нашi думки про повсякденн справи, i, по-друге, ту форму мiркувань, до яко! вдаеться в свош областi математик. Математичне мислення мае i iншi характеры властивостг структурнiсть, конкретнiсть, ототожнення, абстрактысть, геометричнiсть (образнiсть i конкретнiсть) тощо. Сере шших характерних особливостей математичного мислення вчений називав комбшаторний споаб представлення (зктавлення) рiзних математичних об'ек^в. Цю особливiсть можна назвати комбшаторним стилем мислення. П^д комбiнаторним мисленням розумiеться здатнiсть мислити сукупностями образiв, пiдпорядкованих тим чи iншим умовам, як можна скласти з задано! скученно! множини об'ектiв [1].
В умовах сучасно! дiйсностi стають актуальними такi якостi мислення, як гнучккть, критичнiсть, глибина, адаптивнiсть, динамiзм, здатысть дiяти в умовах конкуренци i ситуацiях невизначеностi. Отже, сучаснiй людиш необхiдний стиль мислення, який деяк дослiдники називають «ймовiрнiсно-статистичним».
У науковш i методичнiй лiтературi використовуеться термш «ймовiрнiсне мислення», але чiткого визначення немае, змкт цього поняття уточняеться.
1снуе думка, що вперше цей термш був використаний Б.М. Тепловим для позначення «способу мислення, в структуру якого входять судження про ступшь ймовiрностi очтуваних подй> [6]. Ймовiрнiсне мислення передбачае руйнування багатьох стереотитв, наприклад, вiдмову в^д переваги строго детермiнованоí поведiнки, що виключае варiативнiсть, вiдмову в^д негативного ставлення до випадкового.
При вай значущост ймовiрнiсного мислення у рiзних сферах людсько! дiяльностi його розвиток в процеа навчання здшснюеться недостатньо. Не розкрит загальнi методи його розвитку, отже, немае обфунтованих методичних шляхiв його реалiзацií. У ситуацп, що склалася, виникае необхiднiсть вивчення лопки розвитку iмовiрнiсного мислення учнiв, аналiзу психологiчних механiзмiв та розробки методики навчання учыв вiдповiдного навчального матерiалу.
Очевидно, що завдання розвитку iмовiрнiсного стилю мислення може бути виршена в шкiльному курсi математики при вивченн елементiв комбiнаторики, теори ймовiрностей, описово! статистики та елементiв математично! статистики.
У результатi аналiзу кнуючих пiдходiв до трактування поняття «ймовiрнiсне мислення» методисти виокремлюють такi його компоненти:
1) лопчний (при розв'язуванн iмовiрнiсних задач в учыв формуються ochobhî прийоми логiчного мислення, TaKi як порiвняння, aнaлiз, синтез, абстрагування та узагальнення);
2) комбiнaторний (найбтьш характерною рисою комбiнaторного мислення е здaтнiсть суб'екта визначати, розглядати i враховувати всi можливi вaрiaнти поеднання будь-яких ознак або подiй);
3) ймовiрнiсно-стaтистичний (вмiння учнiв оперувати поняттям «ймовiрнiсть», орiентувaтися в ситуaцiях невизначеносп, aнaлiзувaти iнформaцiю статистичного характеру) [4].
Перше знайомство учыв з елементами стохастики на уроках математики в початкових класах вщбуваеться на наочно-штуУтивному рiвнi в ходi проведення ^ор, дослiдiв, якi формують першi емтричы уявлення про випaдковiсть. Перехiд на стад^ «формальних операцш» (11-15 роюв), переважання абстрактного i теоретичного мислення, поява вмшня мiркувaти за допомогою вербально сформульованих гiпотез (15-17 роюв) е сприятливою умовою для формування ймовiрнiсного мислення в основнiй та старший школi. Знайомство учнiв старших клаав з iдеями i методами стохастики, а також демонстра^я застосування цих щей i методiв у рiзних областях знань дозволяе створити цЫсну картину свiту, навчити учыв зiстaвляти узaгaльненi висновки з конкретними явищами, виробляти власну оцiнку явищ.
Вивчення елементiв теори ймовiрностей i математичноУ статистики вiдносять до числа основних зaсобiв реaлiзaцiï прикладноУ спрямованост навчання математики.
Прикладна спрямовaнiсть навчання стохастики полягае в оргаызацп навчальноУ дiяльностi учнiв щодо застосування стохастичних щей i методiв до опису процеав реальноУ дiйсностi, а також до aнaлiзу i вирiшення проблем, що можуть виникати в рiзних професiйних сферах. Приклaднi завдання виступають в якостi основного компонента реaлiзaцiï прикладноУ спрямовaностi навчання стохастики в школГ
Ми подiляемо позицiю науковщв, якi пiд прикладною задачею стохастики розум^ть задачу, що виникла в реальшй життевiй ситуацп (або в област мaйбутнiх професiйних iнтересiв учыв) i для розв'язання якоУ необхщно залучити ймовiрнiсно- статистичний апарат.
Загальновщомо, що в якостi основного методу розв'язання прикладних завдань виступае метод математичного моделювання, що включае в себе три етапи:
1) формaлiзaцiю - побудову математичноУ модел^
2) розв'язання зaдaчi всерединi побудованоУ модел^
3) iнтерпретaцiю - тлумачення отриманого розв'язку.
Методисти видтяють ряд принцитв (як загально дидактичних, так i спещальних), яких необхiдно дотримуватися при пiдборi прикладних задач з теорй ймовiрностей i математичноУ статистики для учыв старшоУ школи.
Основними принципами, на нашу думку, е такг
- принцип доступност (приклaднi завдання повинн лежати в сферi втових iнтересiв школярiв i вiдобрaжaти питання, що мають мкце в реальна ситуацп; якщо для розгляду окремих приклaдiв потрiбнi додaтковi факти математичноУ теорй, то вони повиннi бути доступы для розумЫня учнями даного вту i можуть бути розглянут окремо) ;
- принцип науковост (використовувaнi додатки i завдання повинн бути повноцiннi в математичному вщношены; умова i результат розв'язання прикладних завдань повинн сприяти розширенню наукового кругозору учыв, мiстити теоретичну шформащю про сучaснi нaуковi досягнення в тш гaлузi знань, на мaтерiaлi якоУ вони побудовaнi);
- принцип системност i взаемозв'язку (приклaднi завдання повинн бути складовою частиною системи завдань i вправ з основного курсу комбшаторики, теорй ймовiрностей i математичноУ статистики);
- принцип штеграцп шкiльних дисциплiн (викладаючи приклaднi питання i пропонуючи учням практичн завдання, необхщно пщкреслювати зв'язок стохастики з Ышими науками);
- принцип практичноУ знaчущостi (змiст прикладних задач мае нести практичну Ыформацю яка зрозумта учням або в силу отриманих ними знань, або виходячи з Ух життевого досвщу та штутивних уявлень);
- принцип мотивацп (мотивуючим потенщалом стохастики е формування тзнавального iнтересу: усвiдомлення учнями того, як абстракты математичн поняття i факти можна ефективно застосовувати в профтьнш для них дисциплЫи).
Дослiдники вiдмiчaють, що при розробцi методики формування ймовiрнiсно-стaтистичного мислення учнiв у процеа розв'язування задач однiею з основних проблем е вiдбiр вiдповiдних видiв задач, якi нaйбiльш доречнi з точки зору формування стохастичного мислення, формування вщповщних умшь i, разом з тим, доступних учням [7].
Досвщ викладання переконуе в тому, що розв'язання i обговорення саме «цтавих» i разом з тим нескладних задач дозволяють значно пщвищити ефективысть цiлеспрямовaноï роботи по розвитку ймовiрнiсного мислення учнiв.
Наведемо приклад однiеï з нaйвiдомiших ймовiрнiсних задач[3] , яка мае назву «Задача про дн народження». 1снують рiзнi вaрiaнти цiеï зaдaчi. Ми пропонуемо розв'язати послщовно три зaдaчi про так зван «пaрнi» днi народження, а по™ зробити порiвняльний aнaлiз умови та вiдповiдних розв'язкiв.
Постановка задач'1 1: При яшй м^мальый кiлькостi людей в компанп ймовiрнiсть того, що хоча б два з них народилися в один i той же день, не менше 1? (Роки народження можуть i не зб^атися.)
Розв'язання задач'1. У подальших мiркувaннях будемо вважати, що у роц 365 дыв, i що всiм дням року вщповщае однакова ймовiрнiсть народження людини.
Проaнaлiзуемо бiльш загальну задачу. Нехай N позначае число рiвно можливих дыв, r - число людей. Обчислимо ймовiрнiсть того, що ва цi люди народилися в рiзнi днi. Тим самим ми знайдемо i ймовiрнiсть того, що хоча б двi людини народилися в один i той же день.
Для першоУ людини е N можливих дыв народження, для другоУ - (N - 1), як не зб^аються з днем народження першоУ, для третьоУ - (N - 2), вщмшних вiд дыв народження перших двох i т. д. Для r-ï людини кнуе (N - r + 1) вщмЫних можливостей днiв народження. Загальна кшьмсть вaрiaнтiв, при яких немае однакових дыв народження серед r людей, дорiвнюе N ■ (N- 1) ■ ... ■ (N- r + 1).
Для визначення ймовiрностi, яка нас цтавить, треба знайти ще загальне число встяких розстановок днiв народження. Для кожно''' людини iснуe рiвно N можливих днiв, i загальне число рiзних розташувань днiв народження г людей дорiвнюe Ыг.
Так як, вщповщно до припущення, всi днi народження рiвноiмовiрнi, то ймовiрнiсть того, що всi ц люди
N • (И - 1) • ...• (Я - г + 1)
народилися в р1зн1 дн1, дор1внюе-—-.
Таким чином, ймовiрнiсть того, що е принаймнi два однакових дн народження, дорiвнюe
р _ 1 N • & - 1) • ...• ^ - г + 1) г № . Зауважимо, що точне обчислення значення цього виразу потребуе громiздких обчислень при великих значеннях N (таких, як 365), але цього можна уникнути за рахунок використання логарифмiв.
Невелика робота з таблицями показуе, що при г = 23 ймовiрнiсть принаймш одного зб^у дня народжень дорiвнюе 0,5073, а при г = 22 ця ймовiрнiсть дорiвнюе 0,4757. Таким чином, г = 23 - найменше цте число, при якому мае сенс укладати рiвноправне парк
Акцентуемо увагу учыв на тому, що це число може здатися досить малим, так як Ыту'тивно очтуваним здаеться
365
число, близьке до —.
" 2
Наступна таблиця дае значення ймовiрностi парних дыв народження для рiзних значень г:
г 5 10 20 23 30 40 60
Рг 0,027 0,117 0,411 0,507 0,706 0,891 0,994
Постановка задачi 2: Ви поставили собi за мету знайти людину, день народження якого зб^аеться з Вашим. Сктьки незнайомцiв вам доведеться опитати, щоб ймовiрнiсть зустрiчi тако! людини була б не менше, нiж 1?
Розв'язання задач'1. БтьшМсть людей мае на увазi саме цю задачу, коли !'м пропонують задачу «Пары днi народження». Думка про день народження, що зб^аеться з вашим, i викликае подив при вщпов^ г = 23 в задачi про парнi дн народження.
За умовою дано! задачi вам зовсiм не важливо, чи зб^аються днi народження iнших людей, якщо тiльки вони не зб^аються з вашим. Часто, покладаючись на штущю вважають, що вiдповiдь у цм задачi дорiвнюе ^^ або 183. Через змшування двох проблем вщповщь г = 23 здаеться тодi неправдоподiбно малою.
Але i в цiй задачi iнтуíтивна вщповщь 183 виявляеться хибною. Справа в тому, що вибiрка днiв народження проводиться з поверненням. Якщо перший з опитаних народився «певного» дня то ыщо не заважае i наступним мати той
N-1
же день народження. Имовфысть того, що опитаний чолов1к народився не в один день з Вами, дор1внюе ——, де N = 365 - число дыв у роцк
При опитуваннi п людей ймовiрнiсть того, що вс вони з'явилися на свiт не в Ваш день народження, дорiвнюе
(N-1 \п . „ . . . (N-1 \п ,,
) , I ймов1рн1сть того, що хоча б у одного день народження зб1гаеться з Вашим, дор1внюе Рп = 1 — . Нас
1
цiкавить найменше значення п, для якого Рп не менше -. Переходячи до логарифмiв, з'ясовуемо, що шукане значення п = 253, що значно вiдрiзняеться вщ 183.
Постановка задач'1 3: Нехай Рг - ймовiрнiсть того, що принайми двое людей з компанп в г людей мають один i той же день народження. Яким мае бути п в Ыдивщуальнш задачi про пары дн народження для того, щоб ймовiрнiсть успiху приблизно дорiвнювала б Рг ?
Розв'язання задач'1. По суп, питання полягае у визначенн числа можливих випадюв в задачi про парнi днi народження. У задачi про iндивiдуальний день народження для п людей е п можливостей зустрти людину, день народження яко!' такий же, як у вас. У задачi про пары дн народження кожна людина порiвнюе свiй день народження з
г - 1 днями народження шших людей. Число пар рiвне, таким чином, ——, що i е числом можливих випад^в. Для того
, „ , . . . г • (г - 1)
щоб ймов1рност1 в двох задачах приблизно дор1внювали одна одн1й, мае виконуватися стввщношення п «---.
Наприклад, при г = 23 число п мае дорiвнювати 23 22 = 253, що узгоджуеться з отриманим ранiше. Висновки. Учен зазначають, що ймовiрнiсний стиль мислення сприяе формуванню бтьш глибокого ставлення людини до свп^у, до себе, а значить, робить особиспсть бтьш втьною, активною, самостiйною. Проблема розвитку мислення учыв, зокрема ймовiрнiснiсного, е складною психолого-педагогiчною та методичною проблемою i потребуе об'еднання зусиль науковщв у пошуках и виршення.
Список використаних джерел
1. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. 400 с.
2. Максимов Л.К. Развитие математического мышления младших школьников в условиях учебной деятельности: Автореф. дисс. ... докт. психол. наук. М., 2003.
3. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Москва: Наука, 1971. 103 с.
4. Полякова Т.А. Прикладная направленность обучения стохастике как средство развития вероятностного мышления учащихся на старшей ступени в условиях профильной дифференциации. Автореф.дисс... канд. пед. наук 13.00.02 теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования), Омск. 2009.
5. Розуменко А.О., Розуменко А.М. Розвиток критичного мислення студенев при вивченн теорп ймовiрностей (на прикладi теми «Геометрична ймовiрнiсть». Актуальн питання природничо-математично'' освiти: збiрник наукових праць. Суми, 2016. №7-8. С. 105-113.
6. Теплов Б.М. Проблемы индивидуальных различий. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961. 536 с.
7. Трунова О.В. Система задач з початкв теори kiMOBipHOCTeki i вступу до статистики i методика '¡х розв'язування. Дидактика математики: проблеми i дослiдження. Мiжнародний збiрник наукових робiт. Донецк: ДонНУ, 2006. Вип. 26. С. 96-104.
8. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. Вопросы преподавания математики. Борьба с методическими штампами. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. 204 с.
References
1. Veyl G. Matematicheskoye myshleniye. M.: Nauka. 1989. 400 s.
2. Maksimov L.K. Razvitiye matematicheskogo myshleniya mladshikh Shkolnikov v usloviyakh uchebnoy deyatelnosti: Avtoref. diss. ... dokt. psikhol. nauk. M., 2003.
3. Mosteller F. Pyatdesyat zanimatelnykh veroyatnostnykh zadach s resheniyami. Moskva : Nauka.1971. 103 s.
4. Polyakova T.A. Prikladnaya napravlennost obucheniya stokhastike kak sredstvo razvitiya veroyatnostnogo myshleniya uchashchikhsya na starshey stupeni v usloviyakh profilnoy differentsiatsii. Avtoref.diss... kand. ped. nauk 13.00.02 teoriya i metodika obucheniya i vospitaniya (matematika. uroven obshchego obrazovaniya). Omsk. 2009.
5. Rozumenko A.O., Rozumenko A.M. Rozvytok krytychnoho myslennia studentiv pry vyvchenni teorii ymovirnostei (na prykladi temy «Heometrychna ymovirnist». Aktualni pytannia pryrodnycho-matematychnoi osvity: zbirnyk naukovykh prats. Sumy, 2016. №7-8. S. 105-113.
6. Teplov B.M. Problemy individualnykh razlichiy. M.: Izd-vo APN RSFSR. 1961. 536 s.
7. Trunova O.V. Systema zadach z pochatkiv teorii ymovirnostei i vstupu do statystyky i metodyka yikh rozviazuvannia. Dydaktyka matematyky: problemy i doslidzhennia. Mizhnarodnyi zbirnyk naukovykh robit. Donetsk: DonNU, 2006. Vyp. 26. S. 96-104.
8. Khinchin A.Ya. Pedagogicheskiye stat'i. Voprosy prepodavaniya matematiki. Bor'ba s metodicheskimi shtampami. M.: Izd-vo APN RSFSR, 1963. 204 s.
PRACTICAL TASKS AS A WAY OF DEVELOPMENT OF STUDENTS' PROBABILISTIC THINKING
Anzhela Rozumenko
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine Anatolii Rozumenko
Sumy National Agrarian University, Ukraine Abstract. The article deals with the problem of formation of probabilistic thinking among high school students. The purposeful work of a teacher of mathematics to solve this problem is needed because our modern life requires from a person the ability to navigate in uncertain situations, weigh risks and choose the most effective variant from different ones. "His Majesty Case" plays a significant role in the life. Probabilistic laws are universal and they are the basis of an understanding of the scientific picture of the world. Spheres of use of probabilistic-statistical methods and models are increasing in various fields of science and technology. Stochastic concepts and facts are becoming more important in the system of knowledge of modern specialists, their applicable and practical significance is becoming more crucial. Qualities of thinking such as flexibility, criticality, depth, adaptability, dynamism, ability to act in conditions of competition and situations of uncertainty are becoming relevant in today's reality. Consequently, a modern person needs a style of thinking called by some researches as "probabilistic-statistical".
Elements of combinatorics, probability theory and mathematical statistics play the main role in shaping, improving and developing the probabilistic thinking style in the mathematical course at school. The study of the elements of the theory of probabilities and mathematical statistics are among the main means of realisation of the practical side of teaching mathematics. The practical orientation of stochastics' teaching is in organizing students' learning activities to use stochastic ideas and methods in order to describe the processes of reality. Practical tasks are the main component of the implementation of the practical orientation of stochastic learning at school and contribute to the development of probabilistic thinking of high school students.
Three variants of one of the classical practical probabilistic problems, which is known as "The Problem of Paired Days of Birth," are proposed in the article. All three variants of the problem are shown with solution, the comparative analysis of conditions and corresponding solutions is made.
Keywords: thinking, probability, practical task, senior school.
