CC BY
18
Scientific journal
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Лиман Ф.М., Друшляк М.Г., Лукашова Т.Д. Формування логiчно¡ грамотност'! майбутшх y4umenie математики як важливоI складово!¡хпрофеойно!' Ыдготовки. Ф'!зико-математична осв'та. 2019. Випуск 2(20). С. 72-79.
Lyman F., Drushlyak M., Lukashova T. Formation Of Logical Literacy Of Future Mathematics Teachers As An Important Component Of Their Professional Training. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 2(20). Р. 72-79.
DOI 10.31110/2413-1571-2019-020-2-012 УДК 378.14: 371.214.46
Ф.М. Лиман
Сумський державний педагогiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Украна
ORCID: 0000-0001-7445-8514 mathematicsspu@gmail.com
М.Г. Друшляк
Сумський державний педагогiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Украна
ORCID: 000-0002-9648-2248 marydru@fizmatsspu.sumy.ua
Т.Д. Лукашова
Сумський державний педагогiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Украна
ORCID: 0000-0002-1465-9530 tanya.lukashova2015@gmail.com
ФОРМУВАННЯ ЛОПЧНО! ГРАМОТНОСТ1 МАЙБУТН1Х УЧИТЕЛ1В МАТЕМАТИКИ ЯК ВАЖЛИВОТ СКЛАДОВОТ IX ПРОФЕСМНОТ П1ДГОТОВКИ
АНОТАЦ1Я
Формулювання проблеми. Багатьом сучасним студентам притаманна несформоеан'ють логично)' грамотност, основи яко)' не були закладенi у них ще в середнй школi. Однею з можливих причин цього явища е недостатнсть знань вчителя математики наукових основ шкiльного курсу математики. Тому проблема формування лог'чно)' грамотност'1 майбутнх учител'в математики залишаеться актуальною.
Матер/'али i методи. При досл'дженн': використовувались настyпнi методи: пор'вняння та синтез теоретичних положень, розкритих у наyковiй та навчальнiй лтературi; спостереження за ходом навчального процесу; анал 'з результат'в навчання студент'в в'дпов'дно до проблеми досл'дження; узагальнення власного педагог'много досв'ду та досв'ду колег з iнших заклад'в вищоi освти.
Результати. Лог'чна грамотнiсть майбуттх учител'ю математики - це володння ними достатн'т обсягом лог'мних знань i умнь, необх'дних для подальшого вивчення математичних дисциплiн та у майбyтнiй педагог'мн'ш д'яльност'!. Логiчнi знання та вмння, якими повинен володти логiчно грамотний студент, майбyтнiй вчитель математики, можна умовно подлити на три групи: логiчнi знання та вмiння щодо математичних понять, символ'ши та означень; логiчнi знання та вмiння щодо математичних виразiв i тверджень; логiчнi знання та вмiння щодо математичних теорем. Логiчнi знання та вмiння щодо математичних означень включають у себе настyпнi компоненти: логiчно грамотне формулювання означень; виявлення та анал 'в лог'чно)' структури означень; коректний запис означень за допомогою лог'чних символ'в; побудова стверджувально)' форми, екв'юалентно)' запереченню визначально)' частини означення. Логiчнi знання та умння щодо математичних виразiв i тверджень передбачають настyпнi дй': розп'внавати види виразiв i тверджень; правильно конструювати вирази i твердження; виявляти та анал 'вувати лог'чну структуру тверджень; коректно використовувати квантори i логiчнi зв'язки; коректно записувати твердження за допомогою лог'чних символ'в; перекладати символ'мний запис тверджень на природну мову; перетворювати заперечення даного неелементарного твердження у рiвносильне йому твердження у стверджувальнй формi. Логiчнi знання та вмiння щодо математичних теорем: в 'дновлення опущених квантор 'ю у теоремi; перех'д в 'д безумовно)' форми теореми до )) умовно) форми i навпаки; конструювання для даного твердження оберненого, протилежного i оберненого до протилежного тверджень; виявлення та анал'в лог'чно)' структури теорем; формулювання теорем в використанням термiнiв «необх'дно» i «достатньо».
Висновки. Процес формування лог'мно)' грамотност'1 майбутнх учител'ю математики повинен бути цлеспрямованим та систематичним. Лог'чна грамотнiсть повинна формуватися ще на шкльному рiвнi i цей процес повинен продовжуватися пд час вивчення фундаментальних математичних кyрсiв та методики навчання математики, а особливо курсу математично)'логки.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: лог'мна грамотнсть, логiчнi знання та вмння, майбутн вчител'1 математики, математична лог'ша i теор'я алгоритм'в.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
ВСТУП
Постановка проблеми. Однieю з особливостей мислення сучасних студентiв е його клiповiсть. Клiпове мислення - це процес вщображення низки рiзноманiтних властивостей об'ектiв, без урахування зв'яз^в мiж ними, що характеризуеться фрагментарыстю iнформацiйного потоку, алогiчнiстю, повною рiзнорiднiстю iнформацií, що надходить, високою швидюстю перемикання мiж фрагментами iнформацií, вщсутнктю цiлiсноí картини сприйняття навколишнього свггу. Через це бiльшiсть сучасних студенев не мають навичок системно сприймати шформацю критично опрацьовувати м, видтяти головне, зважувати на можливi наслщки i робити правильнi висновки. Як наслщок, у сучасних сгудентiв не сформована лопчна грамотнiсть, основи яко'( мають закладатися ще у середнш школi.
Сучасний вчитель повинен умiти робити правильнi висновки у рiзноманiтних педагогiчних ситуацiях, зважувати можливi наслщки сво'х слiв та дiй. ВЫ повинен володти низкою взаемопов'язаних мiж собою особистiсних та професiйно важливих якостей, як з урахуванням досвщу визначають i формують його професшну компетентнiсть. Усе зазначене у повый мiрi мiрою стосуеться майбутнього вчителя математики, лопчна грамотысть якого передбачае розумшня логiки доведення математичних тверджень, умшня використовувати теоретико-множинну i лопчну символiку для запису математичних тверджень i текстiв тощо.
Аналiз актуальних дослiджень. Проблемi формування логiчноí грамотност присвяченi дослiдження Г. Фройденталя (Фройденталь, 1983), I. Л. ^мофеево' та I. С. Сергеево' (Тимофеева & Сергеева, 2010), I. Л Жкольсько' (Никольская, 1973; Никольская, 1978). В.Ю. Середа та £. В. Яковлева вивчали проблему формування лопчно' культури мислення (Середа В.Ю., 1989; Яковлева, 2008). Т. П. Варламова присвятила сво' дослщження формуванню логiчноí компетентности студентiв (Варламова, 2006).
З проблемою формування логiчноí грамотностi тiсно пов'язана проблема формування культури математичноí мови та математичноí культури взагалi. Проблему формування культури математичноí мови дослщжували такi науковцi як В. А. Далшгер (Далингер, 2014), Т. Л. Годованюк (Годованюк, 2016), Д. А. Зуева (Зуева, 2009), Т. А. 1ванова (Иванова & Горчаков, 2010), Д. В. Шармш (Шармин, 2005). А. Я. Хшчин (Хинчин, 1963) вважае, що з низькою мовною культурою напряму пов'язаний формалiзм математичних знань студенев. Велика частина дослщжень у цм област присвячена окремим компонентам математичноí мови та (х ролi у навчаннi. Особливо багато робп- присвячено методицi роботи iз символiкою, термiнологiею, означеннями i теоремами. Так, В. Г. Болтянский (Болтянский, 1973) i А. А. Столяр (Столяр, 1965) обговорюють можливкть використання логiчноí символти та елементiв лотно! мови у навчаннi математики; Дж. 1крамов (Икрамов, 1981) пропонуе навчальний матерiал в рамках роботи з символтою та термiнологiею; Н. Я. Втенкин (Виленкин, Абайдулин & Таварткиладзе, 1984) придтяе увагу означенням та методик роботи з ними; В. А. Далшгер (Далингер, 2001) присвятив своí дослiдження актуальним питанням теорп i методицi навчання доведень теорем.
Автори продовжують дослщжувати рiзнi аспекти елементарноí математики з позицп сучасноí вищоí математики (Лиман&Одiнцова, 2018), зокрема, вплив курсу математичноí логiки i теорп алгорт^в на процес формування логiчноí грамотностi майбутнiх вчителiв математики.
Метою статт е визначення шляхiв та напрям^в формування та розвитку логiчноí грамотностi майбутнiх вчителiв математики при вивченн курсу «Математична логiка i теорiя алгоритмiв».
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Для дослщження використовувались наступнi методи: системний науково-методолопчний аналiз пiдручникiв i навчальних поабни^в, монографiй, статей i матерiалiв науково-методичних конференцiй; спостереження за ходом навчального процесу; аналiз результатiв навчання студенев у вiдповiдностi до проблеми дослщження; порiвняння та синтез теоретичних положень, розкритих у науковм та навчальый лiтературi; узагальнення власного педагопчного досвiду та досвiду колег з шших закладiв вищоí освiти.
РЕЗУЛЬТАТИ ТА ОБГОВОРЕННЯ
Пщ логiчною грамотыстю студентiв, майбутнiх вчителiв математики, будемо розумти володiння ними достатнiм обсягом лопчних знань i умiнь, необхщних для подальшого вивчення математичних дисциплш та у майбутнiй педагогiчнiй дiяльностi. Цей обсяг логiчних знань i умiнь включае: знання логiчних норм математичноí мови й дотримання цих норм, вмшня коректно використовувати лопчы засоби i термiни математичноí мови, а також основы дедуктивш знання i вмiння (Тимофеева & Сергеева, 2010).
Пiдкреслюючи надзвичайну важливкть логiчних умiнь для оволодiння будь-яким видом дiяльностi, I. Л. Ыкольська видiлила «деякий мiнiмум логiчних знань та вмшь, необхiдний кожнiй людин незалежно в^д роду м занять, i передбачаеться у кожного, хто отримав середню освпу» (Никольская, 1973). У цей м^мум увiйшли:
- знання правил класифтацп; знання точного змкту логiчних зв'язок;
- умшня видiлити логiчну форму (структуру) висловлення;
- умiння формулювати заперечення складних висловлень i висловлень iз кванторами;
- розумшня змкту слiв «слщуе», «рiвносильно» (логiчно), «необхщно», «достатньо» (необхщна, достатня умова);
- умiння перевiряти правильшсть суджень, виявляти грубу логiчну помилку;
- знання найбтьш уживаних прийомiв доведень (Никольская, 1973).
Сформулюемо та розкриемо змктове наповнення логiчних знань та вмшь, якими повинен володти лопчно грамотний студент, майбутнiй вчитель математики.
Лопчш знання та вмшня щодо математичних понять, символiки та означень
Лопчы знання та вмшня щодо математичних означень включають у себе наступи компоненти:
- лопчно грамотне формулювання означень;
виявлення та аналв лопчно! структури означень; коректний запис означень за допомогою лопчних символ1в;
побудова стверджувально!' форми, екв1валентно!' запереченню визначально!' частини означення.
При викладанн математичних дисциплш весь час доводиться працювати з тими чи шшими поняттями, встановлювати зв'язки мiж ними та формувати у студенев знання i навички про цi поняття й способи íх методичного обГрунтування при викладанн математики. Видiляють наступнi види математичних понять: неозначуваш, означуван i описов'1.
Означуван поняття в математик складають бiльшiсть у порiвняннi з шшими науками. До описовихможна вщнести деяк поняття курсу елементарноí та вищоí математики (поняття виразу, рiвняння, нерiвностi арифметичноí дм, алгоритму тощо). Неозначуван поняття подiляються на абсолютно неозначуван поняття (множина) та вщносно неозначуванi поняття, якi можна означити, але це не вщбуваеться з рiзних причин (пара, трмка, ... , кортеж елементiв).
Поняття характеризуеться змктом i обсягом, мае певний термш, а в математик дуже часто i символ (% - процент, вщсоток; (ап),(ап)"=1 - послщовысть; V - набла; а х Ь,[а,Ь] - векторний добуток векторiв а, Ь; НоС - пiдгрупа Н нормальна в групi G).
При цьому символта подiляеться на загальновизнану, таку, що розвиваеться i нову, що з'являеться у процесi розвитку математики, написаны наукових статей, книг тощо.
Означенням (дефшщею) поняття називають розкриття його змкту. Поняття можна означити наступними способами.
1. Означення поняття через найближчий р'д i видову ознаку вщбуваеться наступним чином. Поняття пщводиться п^д iнше, бiльш ширше поняття, що е найближчим його родом, i вказуються ознаки, якими означуване поняття вiдрiзняеться в^д шших понять, якi входять до цього роду. Прикладами таких означень е означення рiвнобедреного трикутника, парноí функцп одного аргументу, абелевоí групи.
2. Генетичн означення — це означення, ям вказують на споаб утворення об'ектiв з обсягу поняття. Наприклад, означення бiсектриси кута у пщручнику з геометрп автора О. В. Погорелова (Погорелов, 2004). Зауважимо, що у шктьному пщручнику з геометрп автора Г. П. Бевза (Бевз, Бевз & Владiмiрова, 2015) означення бкектриси е означенням через найближчий рщ i видову ознаку.
3. Акаоматичн'! означення - це означення понять за допомогою аксюм, тобто тверджень, прийнятих без доведення. Наприклад, означення геометрп Евклща, групи, лшмного простору, числових систем.
4. 1ндуктивн'1 (або рекурсивы) означення - це означення, ям складаються з прямих пунк^в (базисы, в них вводяться базисы предмети поняття, i шдуктивы, в них описуються способи отримання вах шших предме^в поняття); непрямого пункту, в якому пщкреслюеться, що вс означуванi об'екти вичерпуються заданими у прямих пунктах. Наприклад, означення формули в математичый лопцГ Зазначимо, що у такий споаб можна означити поняття виразу для рiзних клаав у шктьному кура математики.
5. Контекстуальн означення - це означення, в яких змкт поняття розкриваеться через уривок тексту, через аналiз конкретноí ситуацп. Наприклад, означення рiвняння в початковiй школi.
6. Остенсивн означення - це означення через демонстрацю Наприклад, поняття рiвностi i нерiвностi у початковiй школi вводиться на прикладах.
Бiльшiсть означень шктьного курсу математики е означеннями через найближчий рщ i видову ознаку, i на цьому потрiбно акцентувати увагу майбутнiх вчителiв математики. Кожного разу при формулюванн такого означення вщбуваеться звуження родового поняття. Наприклад, Р(х) - «х - рiвнобедрений трикутник», Ц(х) - «трикутник х мае двi рiвнi сторони». Якщо позначити М множину вах трикутнимв, то означення матиме вигляд:
Проте словесне формулювання «Трикутник х називаеться рiвнобедреним, якщо двi його сторони рiвнi» не вiдповiдае цьому запису. В означеннях слово «якщо» треба завжди розумти як «тодi i тiльки тодi». При цьому Ц(х)
йе/
виступае як необхщна i достатня умова для Р(х). Тому символ « (або =) е символом ототожнення, який читаеться «... е за означенням ...», «... дорiвнюе за означенням...».
Формулювання означення може виявитись нерацюнальним або неправильним у порiвняннi з загальноприйнятими. !стинысть означення не доводиться, а зумовлюеться домовлеыстю наукового загалу.
Одне i те ж поняття може мати дектька означень рiвносильних мiж собою у тому розумiннi, що íх обсяги однаковi (наприклад, рiзнi аксiоматики евклiдовоí геометрп, групи, ктьця; означення квадрата, точних класiв алгоритмiв). Всi критерiальнi теореми фактично вщкривають шлях до рiзних означень одного i того ж поняття.
Маючи означення поняття завжди можна одержати формально означення заперечуючого (протилежного) поняття, здмснивши дихотомiчний подт родового поняття (трикутник рiвностороннiй - нерiвностороннiй; група абелева - неабелева; функ^я обмежена - необмежена; послщовысть збiжна - незбiжна). При цьому у найпроспших випадках помилок майже не бувае, але у бтьш складних ситуа^ях помилки зустрiчаються (навiть у серйозних поабниках). Наприклад, означення фундаментальноí та нефундаментальноí послiдовностi дiйсних чисел:
йе/
(ап) — фундаментальна« Ух Е Й+Зп0 Е N У к Е N Ут Е Ы(к > п0 Ат > п0 ^ \ак — ат\< £
йе/
(ап) — не фундаментальна^^ Зх Е Уп0 Е N Зк Е N Зт Е Ы(к > п0 Ат > п0 А\ак — ат\> £
Найчаспше зус^чаються помилки через порушення рiвносильностей А => В = А VВ = А АВ.
Зауважимо, що розширення понять неминуче призводить до неозначуваних понять або категорм (множина,
матер1я).
Лопчш знання та вмшня щодо математичних виразiв i тверджень
Лопчы знання та умшня щодо математичних вираз1в i тверджень передбачають наступи дп:
- розтзнавати види виразiв i тверджень;
- правильно конструювати вирази i твердження;
- виявляти та аналiзувати логiчну структуру тверджень;
- коректно використовувати кванторы слова i лоты зв'язки;
- коректно записувати твердження за допомогою лопчних символiв;
- перекладати символiчний запис тверджень на природну мову;
- перетворювати заперечення даного неелементарного твердження у рiвносильне йому твердження у стверджувальнш формк
Логiчнi знання та вмшня щодо математичних теорем
Логiчнi знання та вмЫня щодо математичних теорем:
- вщновлення опущених кванторiв у теорем^
- перехiд в^д безумовно!' форми теореми до и умовно!' форми i навпаки;
- конструювання для даного твердження оберненого, протилежного i оберненого до протилежного тверджень;
- виявлення та аналiз лопчно!' структури теорем; формулювання теорем iз використанням термiнiв «необхщно» i «достатньо».
Класифiкацiя теорем базуеться на класифтацй суджень (таблиця 1).
Таблиця 1
Класифшащя теорем
Судження (за Арктотелем) Структура теореми i3 використанням обмежених кванторiв
1 загальностверджувальы вс S суть Р Ух Е M(s(x) ^ Р(х))
2 загальнозаперечувальы всi S не е Р Ух Е M(S(x) ^ Р(х))
3 частково стверджувальн деяк S суть Р Зх Е M(s(x) ар(х))
4 частково заперечувальн деяк S не е Р Зх Е M(S(x) Л Р(х))
Теореми ycix вказаних у таблицi типiв зустрiчаються в математицк Звертаемо увагу, що тип 4) е запереченням типу 1), а тип 3) - запереченням типу 2). Особливий Ытерес представляють теореми типу 1) як там, що найбтьш розповсюджеш. У теоремах такого типу розрiзняють: Ух Е М- кванторна приставка, в якш вказуеться множина, на якiй теорема розглядаеться; S(x) - умова теореми; Р(х) - висновок теореми.
Двi теореми, якi вiдрiзняються хоча б одыею з трьох сво'х складових, вважаються рiзними. Наприклад, рiзними е наступн двi теореми.
Теорема 1. Якщо чотирикутник - ромб, то його дiагоналi перпендикулярнi.
Теорема 2. Якщо паралелограм - ромб, то його дiагоналi перпендикуляры.
Позначимо област ктинносп предикатiв S(х) i Р(х) на множинi М вiдповiдно Ms i МР. Твердження Ух Е M(S(x) ^ Р(х)) е теоремою, якщо Ms ф 0 i Ms £МР. При цьому S(x) називають достатньою умовою для Р(х), а Р(х) - необхiдною умовою для SM. Це дозволяе по^зному формулювати одне й те ж твердження, залежно вщ того, що бажають пiдкреслити. Наприклад, наведемо рiзнi формулювання одые'( i тiеí ж теореми.
Формулювання 1. Для будь-якого елемента х множини М для виконання S(x) необхщно, щоб виконувалась Р(х).
Формулювання 2. Який би не був елемент х множини М, для виконання Р(х) достатньо, щоб виконувалась S(x).
Формулювання 3. Для будь-якого елемента х множини М S(x) мае мкце лише тод^ коли мае мкце Р(х).
Чп^ке i однозначне видiлення в кожнш теоремi типу 1) умови i висновку дозволяе ввести поняття твердження, оберненого i протилежного данiй теоремГ
Нехай маемо пряму теорему
Ух Е M(S(x) ^ Р(х)). (1)
Тодi твердження, обернене до теореми типу (1), мае вигляд
УхЕм{р(х)^Б(х)). (2)
Якщо таке твердження ктинне, то його називають оберненою теоремою до (1), а теореми (1) i (2) називаються взаемно оберненими.
Якщо ктинними е i пряме, i обернене до не' твердження, то MS=MP, а предикати S(х) i Р(х) рiвносильнi на множинi М i кожний з них е необхщною i достатньою умовою для шшого. Це дае можливiсть об'еднати теореми типiв (1) i (2) в одну теорему типу
Ух Е M(S(x) о Р(х)). (3)
Теореми типу (3) називаються критерiальними або крт^ями. Якщо в теоремi типу (1) умову i висновок замЫити запереченнями, то одержимо твердження виду
Ух Е M(S(x) ^ Pix)), (4)
протилежне до типу (1). Аналопчно твердження типу
Ух Е М{Нх) ^ W)) (5)
е протилежним до теореми типу (2). Теореми титв (1) i (4) та (2) i (5) називаються взаемно протилежними. Зауважимо, що протилежна теорема не е запереченням прямо', осктьки
Ух Е M(S(х) => Р(х)) = ЗхЕ М(Жх)^~Р(хТ) = ЗхЕ M(S(x) ЛР(х)).
Теореми титв (1) i (5) та (2) i (4) рiвносильнi мiж собою. Тому, наприклад, для доведення теореми типу (1) достатньо довести теорему типу (5) i навпаки. На цьому факт в математик базуеться схема непрямого доведення або доведення вщ супротивного.
Теореми типу (1) умовно подтяють на прост i склады. Теорема проста, коли S(x) i Р(х) - елементарнi предикати (не утворен з iнших). В уах iнших випадках теорема е складною.
Наприклад, якщо умова теореми Б(х) = S1(х)V S2(x)V ...VSn(x) е диз'юнкцкю дектькох предикатiв, або висновок теореми Р(х) = Р1(х) А Р2(х) А ...А Рп(х) е кон'юнкцкю дектькох простих предикатв, то доведення складноí теореми складаеться з доведень простих теорем, осктьки
Ух Е М(Б1(х) V ...V Бп(х) * Р(х)) = Ух Е М(Б1(х) * Р(х)) А ...А(Бп(х) * Р(х)) Звщси складне твердження Ух Е М(Б1(х) V ...V Бп(х) * Р(х)) ктинне (тобто, е теоремою) тодi i тiльки тодi, коли ктинним е кожне з простих тверджень Ух Е М(Б1(х) * Р(х)), I = 1,2, ...,п.
Аналопчно у другому випадку складне твердження Ух Е М(Б(х) * Р1(х) А Р2(х) А ... А Рм(х)) е теоремою тодi i ттьки тодi, коли iстинне кожне з простих тверджень Ух Е М(Б(х) * Р^х)), i = 1,2, ...,п.
Зауважимо, що для складних теорем обернен i протилежн твердження формулюються для кожного формулювання прямоí теореми, а для рiвносильних мiж собою формулювань вiдповiднi íм формулювання обернених i протилежних тверджень можуть виявитись не рiвносильними мiж собою. Наприклад, маемо три рiвносильних твердження:
Ух Е М(Б1(х)Б2(х) * Р(х)) = УхЕМ ^(х) * (Б2(х) * Р(х))) = = УхЕМ (б2(х) * (Б1(х) * Р(х)))
Оберненi до них твердження уже не е рiвносильними у загальному випадку. Це стосуеться i протилежних до них тверджень. Ц факти майбутнiм вчителям математики потрiбно завжди враховувати у процес роботи з теоремами, особливо при розглядi теорем-критерпв.
Майбутнiй вчитель математики також повинен чiтко усвiдомлювати, що теореми, як вiдповiдають загальностверджувальним судженням (теореми типу Ух Е М(Б(х) * Р(х)) та
Ух Е М(Б(х) * Р(х))) спростовуються контрприкладами, тобто для (х спростування достатньо показати, що ктиними е твердження Зх Е М(Б(х) А Р(х)) та Зх Е М(Б(х) А Р(х)) вщповщно. I у свож майбутнiй професiйнiй дiяльностi вiн повинен вчити учыв будувати контрприклади, осктьки таке вмiння е важливою якктю критичного мислення.
Наведемо пару конкретних штерпретацм формул теорем розглянутих вище. Осктьки формули теорем замкнен (предметна змшна х в кожнiй з них зв'язана квантором), то формули перетворюються у висловлення, як будуть ктинними, коли вiдповiдний предикат тотожно ктинний, i хибними у протилежному випадку.
Теорема 3. Якщо квадратна матриця Х третього порядку i невироджена, то м ранг дорiвнюе 3.
Введемо позначення: S1(X) — «матриця Х третього порядку», S2(X) — «матриця Х невироджена», Р(Х) — «ранг матриц Х дорiвнюе 3». Цi предикати розглядаемо на множин М всiх квадратних матриць. У цих позначеннях теорема мае вигляд
ухем^^аб^х^р®) (6)
Отримуемо рiвносильностi:
ух е м^(х) А s2(x) * р(х)) = ух е м (БЦЮ V V р(х)) =
= УХЕМ (Б1(Х) * &(Х) * Р(Х))) =УХЕМ (Б2(Х) * (Б1(Х) * Р(Х)))
Отже, теорема (6) рiвносильна теоремам:
УХ ЕМ (Sl(X) * (^ (X) * Р(Х))) (7)
УХ ЕМ (Б2(Х) * &(Х) * Р(Х))) (8)
Оберненими до теорем (6), (7), (8) вщповщно будуть твердження (9), (10), (11):
а = УХ Е М(Р(Х) * S1(X) А S2(X)) (9)
в = УХ ЕМ ((Б2(Х) * Р(Х)) * ^(Ю) (10)
При цьому в = УХ Е М ((б2(X) V Р(Х)) * Б^Х))
у = УХ ЕМ (&(Х) * Р(Х)) * Б2(Х)) (11)
Аналопчно у = УХ Е М^(X) V Р(Х)) * Б2(Х))
Всi три твердження (9), (10), (11) не е ктинними, бо в кожнш з них область iстинностi умови не е пщмножиною областi ктинносп висновку.
Л 0 0Ч
Але [х областi iстинностi перетинаються. Достатньо взяти X = Е = (0 1 0), де значення ктинносп висловлень
001
наступнi ^1(Ю\ = ^(Е)\ = \Р(Е)\ = 1, \а\ = \в\ = \у\ = 1.
При цьому твердження (9), (10), (11) мiж собою нерiвносильнi як формули лопки предикaтiв. Справдi, вiзьмемо матрицю X.
(I 0 0 0\ \ЗД\=0 \а\ = 1
х = (0 0 0 0), т>д\ \Ь(Ю)\=0. \в\ = 0
Ко 0 0 У \Р(Ю)\ = 0 \у\=0
Отже, а не р1вносильна в 1 а не р1вносильна у.
Теорема 4. Якщо натуральне число дтиться на 3 i на 5, то воно дтиться на 15.
Отримаемо три рiвносильнi теореми:
ухе Жх : 3Ах : 5 ^х : 15) (12)
ухе^х:3^ (х:5^х: 15)) (13) ух Е ^х : 5 ^ (х : 3 ^ X : 15)) (14) Оберненими до теорем (12) - (14) будуть твердження (15) - (17) вщповщно:
ух Е ^х : 15 ^ х : 3 Л х : 5) (15)
ух Е N((x : 5 ^ х : 15) ^ х : 3) (16) ух Е N((x : 3 ^ х : 15) ^ х : 5) (17) Твердження (15) iстине, а твердження (16) i (17) хибш. Для !'х спростування достатньо привести контрприклад:
х = 7.
Наведений у статт шдхщ щодо формування i розвитку лопчно''' грамотностi майбутнiх учителiв математики, автори пропонують здiйснювати у процес вивчення курсу «Математична логiка i теорiя алгоритмiв». При вивченнi цього курсу студенти опановують поняття та закони алгебри лопки, логiки предика™ та теорп алгоритмiв, розвивають навички використання аксюматичного методу та побудови математичних теорш та моделей, формують i закрiплюють методи розв'язування лопчних задач, вчаться будувати та перевiряти правильнiсть математичних тверджень. Усе це закладае мщний фундамент для розвитку лопчно''' грамотносп та критичного мислення.
Розгляд деяких тем («Поняття та 'х означення», «Аналiз структури теорем») можна проводити, видтяючи для них у програмi дисциплiни окремi практичн заняття. З iншого боку, формування елеметчв логiчноí грамотностi у багатьох випадках виступае обов'язковим елементом вивчення базових тем математично' лопки (особливо лопки предика^в), тому записи математичних тверджень з використанням лопчно''' символти та 'х подальший аналiз можна здмснювати при вивченнi вiдповiдних тем з лопки предика™. Вiдповiднi завдання доречно включати у iндивiдуальнi завдання, контроль^ та самостiйнi роботи, а окремi питання виносити на семшарськ заняття чи колоквiуми.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Таким чином, можна стверджувати наступне.
1. Сучасним студентам притаманна несформована лопчна грамотнкть. З одного боку така ситуащя складаеться через особливiсть 'х мислення, а саме його «клтовкть». З Ышого боку, це вiдбуваеться через те, що логiчна грамотнiсть не формуеться на шкiльному рiвнi в силу багатьох причин. Серед таких причин можна вказати небажання вчителя, недостатысть знань вчителя з наукових основ шктьного курсу математики, вщсутнкть часу на акцентування лопчних основ теоретичних знань, дотримання принципу доступности якому повинн вщповщати шкiльнi пщручники, вiковi особливостi учнiв тощо.
2. Лопчна грамотысть студентiв, майбутнiх вчт^в математики - це володiння достатым обсягом логiчних знань i умЫь, необхiдних для подальшого вивчення математичних дисциплш та у майбутнiй педагопчнш дiяльностi. Логiчно грамотний студент, майбутый вчитель математики, повинен володiти лопчними знаннями та вмiннями щодо означення математичних понять; лопчними знаннями та вмЫнями щодо запису й аналiзу математичних виразiв i тверджень, лопчними знаннями та вмЫнями щодо структури, формулювання та доведення математичних теорем.
3. Як показуе досвщ, при викладанн математичних дисциплiн у закладах вищо''' освiти формуванню логiчноí грамотносп студентiв придiляеться замало уваги. Роботу по формуванню лопчно''' грамотносп доцтьно проводити на заняттях з математично''' логiки, а не лише на окремих заняттях з методики навчання математики.
Список використаних джерел
1. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владiмiрова Н. Г. Геометр'т: П/'дручникдля 7класузагальноосвтшхнавчальнихзаклад'!в. К.: Видео «В'дродження», 2015. 192 с.
2. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями. Математика е школе, 1973. 5. С. 45-50.
3. Варламова Т. П. Формирование логической компетентности в процессе обучения математике: дисс....канд.пед.наук: 13.00.02 / Красноярск, 2006. 195с.
4. Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. Определения в школьном курсе математики и методика работы над ними. Математика е школе, 1984. 4. С. 43-47.
5. Годованюк Т. Л. Формування мовленнево' культури майбутнього вчителя математики в системi методично' пщготовки. Педагогiчнi науки: теорiя, iсторiя, iнновацiйнi технологи, 2016. 2 (56). С. 209-218.
6. Далингер В. А. Развитие математической речи учащихся при обучении математике. Материалы конференции «Современные наукоемкие технологии», 2014. 6. С. 83-85.
7. Далингер В.А. Обучение учащихся доказательству теорем: Учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. 419 с.
8. Зуева Д. А. Культура математической речи учителя: основные качества и условия их развития. Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена, 2009. С. 134-139.
9. Иванова Т. А., Горчаков А. С. Развитие математической речи школьников в процессе изучения определения понятий, теорем, правил. Ярославский педагогический вестник, 2010. 4. С. 55-59.
10. Икрамов Дж. Математическая культура школьника. Ташкент: Укитувчи, 1981. 280 с.
11. Лиман Ф. М. Математична логка: навчальний по^бник. Суми: Слобожанщина, 1998. 152 с.
12. Лиман Ф. М., Одшцова О. О. Структуры властивосп рацюнальних чисел - важлива складова математичних знань вчт^в математики. Ф'!зико-математична освта, 2018. 2(16). С.72-79.
13. Никольская И. Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике. Приемственность в обучении математике. М.: Просвещение, 1978. С. 24-36.
14. Никольская И. Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: дис.... канд. пед. наук. Москва, 1973. 185 с.
15. Погорелов О. В. Геометр'ш'Ллан'тетр'т: П/'дручник для 7-9 клас'ю загальноосв'т. навчал. закл. К.: Вид-во «Школяр», 2004. 240 с.
16. Середа В.Ю. Вчись мислити логiчно. Ки!в: Радянська школа, 1989. 117 с.
17. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. Минск: Высшая школа, 1965. 254 с.
18. Тимофеева И. Л., Сергеева И. Е. Комплекс логико-ориентированных задач как средство формирования логической грамотности будущих учителей математики. Ярославский педагогический вестник, 2010. 1. С. 69-72.
19. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч.11. М.: Просвещение, 1983. 192 с.
20. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. 204 с.
21. Шармин Д. В. Формирование культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Омск, 2005, 209 с.
22. Яковлева Е. В. Проблема формирования логической культуры мышления студентов. Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена, 2008. С.69-75.
References
1. Bevz, H. P., Bevz, V. H. & Vladimirova, N. H. (2015). Heometriia: Pidruchnyk dlia 7 klasu zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Geometry: Tutorial for 7th form of general education]. K.: Vyd-vo «Vidrodzhennia» [in Ukrainian].
2. Boltjanskij, V. G. (1973). Ispol'zovanie logicheskoj simvoliki pri rabote s opredelenijami [The use of logical symbols when working with definitions]. Matematika v shkole - Math at school, 5, 45-50 [in Russian].
3. Varlamova, T. P. (2006). Formirovanie logicheskoj kompetentnosti v processe obuchenija matematike [Formation of logical competence in the process of learning mathematics]. Candidates thesis. Krasnojarsk [in Russian].
4. Vilenkin, N. Ja., Abajdulin, S. K. & Tavartkiladze, R. K. (1984). Opredelenija v shkol'nom kurse matematiki i metodika raboty nad nimi [Definitions in the school course of mathematics and methods of working on them]. Matematika vshkole - Math at school, 4, 43-47 [in Russian].
5. Hodovaniuk, T. L. (2016). Formuvannia movlennievoi kultury maibutnoho vchytelia matematyky v systemi metodychnoi pidhotovky [Formation of the speech culture of the future teacher of mathematics in the system of methodical preparation]. Pedahohichni nauky: teoriia, istoriia, innovatsiini tekhnolohii - Pedagogical sciences: theory, history, innovative technologies, 2 (56), 209-218 [in Ukrainian].
6. Dalinger, V. A. (2014). Razvitie matematicheskoj rechi uchashhihsja pri obuchenii matematike [Development of students' mathematical speech while studying mathematics]. Proceedings from conference "Sovremennye naukoemkie tehnologii" -"Modern high technology technologies", 6, 83-85 [in Russian].
7. Dalinger, V. A. (2002). Obuchenie uchashhihsja dokazatel'stvu teorem: Ucheb. Posobie [Teaching pupils to prove theorems: Tutorial]. Omsk: Izd-vo OmGPU [in Russian].
8. Zueva, D. A. (2009). Kul'tura matematicheskoj rechi uchitelja: osnovnye kachestva i uslovija ih razvitija [The culture of a teacher's mathematical speech: basic qualities and conditions for their development]. Izvestija Rossijskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. A.I. Gercena - News of Herzen Russian State Pedagogical University, 134-139 [in Russian].
9. Ivanova, T. A. & Gorchakov, A. S. (2010). Razvitie matematicheskoj rechi shkol'nikov v processe izuchenija opredelenija ponjatij, teorem, pravil [The development of mathematical speech of schoolchildren in the process of studying the definition of concepts, theorems, rules]. Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik - Yaroslavl Pedagogical Bulletin, 4, 55-59 [in Russian].
10. Ikramov ,Dzh. (1981). Matematicheskaja kul'tura shkol'nika [Mathematical culture of pupil]. Tashkent: Ukituvchi [in Russian].
11. Lyman, F. M. (1998). Matematychna lohika: navchalnyi posibnyk [Mathematical logic: tutorial]. Sumy: Slobozhanshchyna [in Ukrainian].
12. Lyman, F. M. & Odintsova, O. O. (2018). Strukturni vlastyvosti ratsionalnykh chysel - vazhlyva skladova matematychnykh znan vchyteliv matematyky [Structural properties of rational numbers is an important component of the mathematical knowledge of mathematics teachers]. Fizyko-matematychna osvita - Physical-mathematical education, 2(16), 72-79 [in Ukrainian].
13. Nikol'skaja, I. L. (1978). O edinoj linii vospitanija logicheskoj gramotnosti pri obuchenii matematike [On a single line of education of logical literacy in teaching mathematics]. Priemstvennost' v obuchenii matematike - Adoption in learning mathematics. M.: Prosveshhenie, 24-36 [in Russian].
14. Nikol'skaja, I. L. (1973). Privitie logicheskoj gramotnosti pri obuchenii matematike [Inculcate logical math literacy]. Candidates thesis. Moscow [in Russian].
23. Pohorielov, O. V. (2004). Heometriia:Planimetriia: Pidruchnyk dlia 7-9 klasiv zahalnoosvit. navchal. zakl. [Geometry: Planimetry: Textbook for 7-9 forms of general education institutions]. K.: Vyd-vo «Shkoliar» [in Ukrainian].
15. Sereda, V. Iu. (1989). Vchys myslyty lohichno [Learn to think logically]. Kyiv: Radianska shkola [in Ukrainian].
16. Stoljar, A. A. (1965). Logicheskie problemy prepodavanija matematiki [Logical problems of teaching mathematics]. Minsk: Vysshaja shkola [in Russian].
17. Timofeeva, I. L. & Sergeeva, I. E. (2010). Kompleks logiko-orientirovannyh zadach kak sredstvo formirovanija logicheskoj gramotnosti budushhih uchitelej matematiki. [The complex of logic-oriented problems as a means of forming the logical literacy of future math teachers]. Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik - Yaroslavl Pedagogical Bulletin, 1, 69-72 [in Russian].
18. Hinchin, A. Ja. (1963). Pedagogicheskie stat'I [Pedagogical articles]. M.: Izd-vo APN RSFSR [in Russian].
19. Sharmin, D. V. (2005). Formirovanie kul'tury matematicheskoj rechi uchashhihsja v processe obuchenija algebre i nachalam analiza [Formation of a culture of mathematical speech of students in the process of learning algebra and the beginnings of analysis]. Candidate thesis. Omsk [in Russian].
20. Jakovleva, E. V. (2008). Problema formirovanija logicheskoj kul'tury myshlenija studentov. [The problem of forming a logical culture of thinking of students]. Izvestija Rossijskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. A.I. Gercena -News of Herzen Russian State Pedagogical University, 69-75 [in Russian].
FORMATION OF LOGICAL LITERACY OF FUTURE MATHEMATICS TEACHERS AS AN IMPORTANT COMPONENT OF THEIR PROFESSIONAL TRAINING F. M. Lyman, T. D. Lukashova, M. G. Drushlyak
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine
Abstract.
Formulation of the problem. Many modern students are not characterized by the formation of logical literacy, the basis of which was not laid in them even in high school. One of the possible causes of this phenomenon is the lack of math teacher's knowledge of the scientific foundations of the school's mathematics course. Therefore, the problem of the formation of logical literacy of future math teachers is relevant.
Materials and methods. The following methods were used in the study: comparison and synthesis of theoretical positions, discovered in the scientific and educational literature; observing the course of the educational process; generalization of own pedagogical experience and experience of colleagues from other institutions of higher education.
Results. The future math teachers' logical literacy of is their possession of a sufficient volume of logical knowledge and skills necessary for further study of mathematical disciplines and future pedagogical activity. Logical knowledge and skills of the logically competent student, future mathematics teacher, can be divided into three groups: - logical knowledge and skills in mathematical concepts, symbols and definitions; - logical knowledge and skills in mathematical expressions and statements; - logical knowledge and skills in mathematical theorems. Logical knowledge and abilities for mathematical definitions include the following components: the logically competent formulation of definitions; the identification and analysis of the logical structure of definitions; the correct recording of definitions using logical symbols; the construction of an affirmative form equivalent to the denial of the defining part of the definition. Logical knowledge and abilities in mathematical expressions and statements include the following actions: to recognize types of expressions and statements; correctly construct expressions and statements; to detect and analyze the logical structure of statements; correctly use quantifiers and logical connections; correctly write statements using logical symbols; translate a symbolic statements into a natural language; to turn the negation of this non-elemental statement into an affirmative statement in the sense that it is equivalent to it. Logical knowledge and skills in mathematical theorems: restoration of omitted quantifiers in a theorem; the transition from the unconditional form of the theorem to its conditional form and vice versa; construction for this assertion of the inverse, opposite and inverse of the opposite statements; identification and analysis of the logical structure of the theorems; formulation of theorems using the terms "necessary" and "sufficient".
Conclusions. The process of formation of future math teachers' logical literacy should be purposeful and systematic. Logical literacy should be formed at school level, and this process should continue in the study of fundamental mathematical courses and methods of teaching mathematics, and especially the course of mathematical logic.
Keywords: logical literacy, logical knowledge and skills, future mathematics teachers, mathematical logic and algorithm theory.
