Розв’язування оптимізаційної комбінаторної задачі мінімізації Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

Л.М. КОЛеЧКША*, А.М. НАГ1РНА**

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ОПТИМ1ЗАЦ1ЙНО1 КОМБ1НАТОРНО1 ЗАДАЧ1 МШ1М1ЗАЩ1

Полтавський ушверситет економши i торпвлл, м. Полтава, Украша 1нститут шбернетики iMeHi В.М. Глушкова НАН Украши, м. Ки!в, Украша

Анотаця. Уpo6omi представлено математичну модель оптим^зацтног задач1 м1тм1зацИ на ком-бтатортй множим перестановок, яка може бути моделлю багатьох прикладних задач. Мате-матична модель на комбтатортй множит перестановок, згiдно з методом гх генерування, розг-лядаеться на графi, вершини якого вiдповiдають точкам множини перестановок. Описаний алгоритм складаеться з п 'яти по^довних кроюв i забезпечуе знаходження единого оптимального розв'язку оптимiзацiйног задачi мiнiмiзацiг з урахуванням комбтаторних властивостей множини перестановок. На першому кроц здiйснюеться нормалiзацiя додаткових обмежень згiдно з порядком зростання коефiцiентiв цыьовог функцп: матриця нормалiзацiг, що забезпечуе перетворення отриманихрозв'язюв у необхiдну форму для обмежень чи цыьовог функцп. На другому кроц зна-ходиться опорнийрозв'язок, який задовольняе вс обмеження задачi. Причому пошук здiйснюеться серед граничних точок графа обмежень. ТретШ крок полягаеу побудовi приростiв цыьовог функцп у порядку зростання та вибору мiнiмального. Шляхом транспозицт вiдповiдних елементiв опорного розв 'язку визначаються вс iншi можливi оптимальш розв'язки, причому розраховуються лише прирости цыьовог функцп. Мiнiмальний прирiст дозволяе знайти найкращий оптимальний розв'язок серед них. На четвертому кроц алгоритму здiйснюеться перевiрка виконання обмежень i визначаеться оптимальний розв 'язок. На п'ятому кроц обчислюеться мтмальне значення цыьовог функцп. У статтi представлено числовий приклад, який демонструе роботу алгоритму. За рахунок використання транспозицИ елементiв у перестановц вiдбуваеться скорочення кроюв розв'язання задачi мiнiмiзацiг, що й показано у наведеному числовому прикладi. Розв'язок знайдено за шiсть кроюв, при покращенн опорного розв 'язку було розглянуто п'ять транспозицт, у той же час при повному переборi необхiдно було б проводити розрахунок по 24 перестановках з урахуван-ням обмежень. Тому запропонований алгоритм забезпечуе найкоротший шлях знаходження оптимального розв 'язку, при якому досягаеться мiнiмальне значення цыьовог функцИ на множин перестановок.

Ключов1 слова: модель, комбтаторна оптимiзацiя, комбтаторна задача, загальна множина пе-рестановок,транспозищя, опорний розв'язок, оптимальний розв'язок, алгоритм розв'язування за-дачi.

Аннотация. В работе представлена математическая модель оптимизационной задачи минимизации на комбинаторном множестве перестановок, которая может быть моделью многих прикладных задач. Математическая модель на комбинаторном множестве перестановок по методу их генерирования рассматривается на графе, вершины которого соответствуют точкам множества перестановок. Описанный алгоритм состоит из пяти последовательных шагов и обеспечивает нахождение единого оптимального решения оптимизационной задачи минимизации с учетом комбинаторных свойств множества перестановок. На первом этапе осуществляется нормализация дополнительных ограничений согласно порядку возрастания коэффициентов целевой функции: матрица нормализации, что обеспечивает преобразование полученных решений в необходимую форму для ограничений или целевой функции. На втором шаге находится опорное решение, которое удовлетворяет все ограничения задачи. Причем, поиск осуществляется среди граничных точек графа ограничений. Третий шаг заключается в построении приростов целевой функции в порядке возрастания и выбора минимального. Путем транспозиций соответствующих элементов опорного решения определяются все другие возможные оптимальные решения, но рассчитываются только приросты целевой функции. Минимальный прирост позволяет найти лучшее оптимальное решение среди них. На четвертом шаге алгоритма осуществляется проверка выполнения ограничений и определяется оптимальное решение. На пятом шаге вычисляется минимальное значение целевой функции. В статье представлен числовой пример, демонстрирующий работу алгоритма. За счет использования транспозиции элементов в перестановке происходит сок-

© Колечшна Л.М., Напрна А.М., 2018

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2018, № 3

ращение шагов решения задачи минимизации, что показано в приведенном числовом примере. Решение найдено за шесть шагов, при улучшении опорного решения было рассмотрено пять транспозиций, в то же время при полном переборе необходимо было бы проводить расчет по 24 перестановкам с учетом ограничений. Поэтому предложенный алгоритм обеспечивает кратчайший путь нахождения оптимального решения, при котором достигается минимальное значение целевой функции на множестве перестановок.

Ключевые слова: модель, комбинаторная оптимизация, комбинаторная задача, общее множество перестановок, транспозиция, опорное решение, оптимальное решение, алгоритм решения задачи.

Abstract. The paper presents a mathematical model of optimization minimization problem on a combinatorial set of permutations, which can be a model of many applied problems. A mathematical model on a combinatorial set ofpermutations by the method of generating them is considered on a graph the vertices of which correspond to the points of the set ofpermutations. The described algorithm consists offive consecutive steps and provides finding a single optimal solution of the optimization minimization problem, taking into account the combinatorial properties of the set ofpermutations. In the first step, the normalization of additional constraints is carried out according to the order of growth of the coefficients of the objective function: the matrix of normalization, which ensures the transformation of the resulting solutions into the required form for restrictions or the objective function. The second step is the reference solution, which satisfies all the limitations of the task. In addition, the search is carried out among the boundary points of the graph of constraints. The third step is to build incremental target function in order of growth and a minimum choice. Through the transpositions of the corresponding elements of the reference solution, all other possible optimal solutions are determined, and at the same time, only the increments of the target function are calculated. The minimum gain allows you to find the best optimal solution among them. The fourth step of the algorithm is to verify the implementation of the restrictions and determine the optimal solution. In the fifth step, the minimum value of the target function is calculated. The article presents a numerical example that demonstrates the work of the algorithm. Due to the use of transposition of elements in the permutation, there is a reduction in the steps of solving the minimization problem, which is shown in the given numerical example. The solution was found in six steps, with the improvement of the reference solution, five transpositions were considered, at the same time, at full interrogation, it would be necessary to calculate the 24 permutations, taking into account the limitations. Therefore, the proposed algorithm provides the shortest path for finding an optimal solution, which achieves the minimum value of the objective function on the set ofpermutations.

Keywords: model, combinatorial optimization, combinatorial problem, the general permutation set, transposition, support solution, optimal solution, algorithm for solving the problem.

1. Вступ

Проблема дослщження задач комбшаторно'1' onraMi3a^i на сьогодш е досить актуальною, про що свщчить велика кшькють праць, присвячених методам розв'язування екстремаль-них задач на комбшаторних множинах [1-17], в яких пропонуються новi тдходи та удо-сконалюються iснуючi методи, дослщжуеться ix ефектившсть. Даний факт пов'язаний з тим, що екстремальш задачi дискретно'1' оптимiзащi е моделями рiзниx прикладних задач проектування, планування, розмщення, класифшаци i управлшня [11-13, 18, 19]. Слщ за-значити, що в науковш лiтературi широко вживаеться термш «задача комбшаторно'1' опти-мiзацii» (ЗКО), тд якою розум^ть проблему пошуку екстремумiв задано'1' цшьово'1' функцп на комбшаторному простора

Оптимiзацiйнi комбшаторш задачi знайшли свое широке застосування в рiзниx сферах дiяльностi, наприклад, у програмуванш, медициш, в банювськш сфер^ у промисловос-ri, молекулярнш бюлогл i т.п.

На особливу увагу заслуговують комбшаторш модел^ якими моделюються певш класи практичних задач з урахуванням комбшаторних властивостей множини допустимих розв'язюв, яю зручно представляти графiчно, у виглядi графа [1, 2, 5, 6].

Основна увага в комбшаторнш оптимiзащi придшяеться визначенню обчислюваль-но'1 складностi цих задач, розробщ методiв i алгоршмв 1'х розв'язання на основi властивос-тей комбiнаторних множин. 1снуе безлiч рiзноманiтних методiв розв'язування екстремаль-них задач як точних, так i наближених. Системне вивчення властивостей комбшаторних множин та 1'х дослiдження описаш в багатьох роботах [1, 9, 11, 13]. Пщвищений iнтерес до таких задач обумовлений дослщженнями останшх рокiв в областi комп'ютерних техноло-гiй при створеннi сучасних алгорш^в i програм для розв'язування оптимiзацiйних задач. На даний момент неможливо програмувати бiльшiсть задач без знань комбшаторики та теорп графiв, оскшьки це значно полегшуе i спрощуе роботу на комп'ютерi [1].

У данш статтi формулюеться постановка задачi комбшаторно!' оптимiзацii та запро-поновано новий тдхщ до розв'язання сформульовано'1 задачi. Новий алгоритм розв'язання забезпечуе знаходження оптимального розв'язку оптимiзацiйноi задачi на множинi перестановок, а, отже, мiнiмiзацiю щльово'1 функцп, з урахуванням додаткових обмежень за ль ченi кроки. Даний алгоритм застосовуе матрицю нормалiзацii та прирости функцп цiлi для знаходження оптимального розв'язку. Для демонстрацп роботи алгоритму представлено числовий приклад.

2. Постановка математичноТ модел1 задач1

Введемо необхщш позначення. Позначимо = N¡( и 0 , вим1ршсть шдпростору

опукла оболонка множини М - еоиу М .

Мультимножиною е множина елемешив, якi можуть повторюватися. Мультимно-жина А задаеться основою 5"(А), тобто набором уах п рiзних елементiв, i кратнiстю еле-ментiв к а (а) (або к (а)) - числом повторення кожного елемента основи ще'1 мульти-множини.

Мультимножина В з основою 5(В) називаеться тдмультимножиною мультимно-жини А з основою 8(А), якщо 8(В) с 8(А), 1 для кожного елемента а е 8(В) виконуеться нер1внють кв (а) < кА (а).

Нехай задана мультимножина А = {а1,а2,...ад} и основа 8(А) = {е\,еъ...,ек}, де

ej е Я1 V/ е Щ \ кратшсть елементсв к(еу) = /у, / е , /\ + /'2 +... + г^ = с/ .

Впорядкованою п -вибiркою з мультимножини А називаеться набiр

= ...,а/и), (1)

де а(. е А V/,- е Ип , \/у е Ып, ц , якщо 5 ^ t е Ып, V? е Ып.

Означення 1. Множина Е (А), елементами яко'1 е п -вибiрки вигляду (1) з мультимножини А, називаеться евклщовою комбшаторною множиною, якщо для довшьних п еле-мент1в а' = (а{,а'2,...,а'п), а" = (а[,а.2,...,а„) виконуються умови: (а' ^ а") <=> (3 у: ау ^а"), тобто два елементи множини Е(А) вщмшш один вщ одного, якщо вони незалежно вщ ш-ших вщмшностей розрiзняються порядком розмiщення елементiв, що 1'х утворюють.

Множина перестановок з повтореннями з п дшсних чисел, серед яких к рiзних, називаеться загальною множиною перестановок i позначаеться Рпк (А). Це множина упоряд-кованих п -виб1рок вигляду (1) з мультимножини А за умови п = д>к .

При п = к = д маемо множину перестановок без повторень. Позначимо п Рп . Очевидно, що Рп ( А) = Рпп (А). У тих випадках, коли конкретно не будемо вказувати вид множини перестановок, будемо записувати щ множини як Р (А).

Розглянемо задачу комбшаторно! оптимiзацii на множиш перестановок Р(А) ви-

гляду

де шшФ(а) = ,

7=1

г(Ф,Р(А)): тт{Ф(а) | а е Р(А)},

(2)

0 = {хеК"\0х<Ьл0х>Ь},

GnШ'<и 1 г>т -гл ' ' ~

ел , о ей - опукла многогранна множина ¿7 с к , утворена додатковими лшш-ними обмеженнями.

Дал1 сформулюемо задачу 2(Т,Х), де кожшй точщ а&Рпк(А) вщповщае точка хе1, така, що Р(х) = Ф(а) :

2(Р,Х): гтп{Р(х) | х е X} , (3)

п

де Р(х) = X 6'/х/ , X - не порожня множина в Я" 1 X = \>ег/\\(А), П = сот>/'(А). 7=1

п п

Вщповщно, додатков1 лшшш обмеження: (гх = ^ «^х^- < Ь1 або (гх = X Я";/х/ - ^ ,

7=1 7=1

Послщовнють перестановок, згiдно з методом 1х генерування, iнтерпретуeться як граф Оп, вершини якого вiдповiдають точкам множини перестановок Рп (А) [2, 11].

3. Алгоритм розв'язування комбшаторноУ задачi мш1м1зацп на множинi перестановок

1 крок. Побудова матриц нормая1зацИ На першому крощ здiйснюeмо нормалiзацiю до-даткових обмежень згiдно з порядком зрос-тання коефiцieнтiв цшьово'1 функцп:

С1 ^сп, ап <ап <...<а1п,

Й21 -а22 -■■■-а2п-> ат\^ат2^-^атп И-

Складаемо матрицю нормалiзацii (рис. 1), що забезпечуе перетворення отриманих розв'язюв у необхiдну форму для обмежень чи цшьово'1 функцп.

пг щ Ы2 ып-1 ып

п81 Ып щ12 Ы1 я- 1 Ы1 п

Ш82 Ы21 ы22 ы2 п-1 ы2 п

пЙ Ыт1 Щт2 ытп-1 Ытп

Рисунок 1 - Матриця шрмал1заци

п

1 пГ Ы1 Ы2 Ып-1 Ып

2 / *( Х2 Хп-1 Хп

3 п81 Ы11 щ12 Ы1 я- 1 Ы1 п

4 81 уё1 Х1 Х2 у8[ Хп-1 Гя1 Хп

5 п82 Ы21 ы22 ы2 п- 1 ы2 п

6 у.82 Х1 „82 Х2 у.82 Хп-1 г82 Хп

7 П8 т Ыт1 Ыт2 Ыт п-1 Ыт п

8 8т у&т Х1 у8т Х2 у8т Хп-1 У8т Хп

Рисунок 2 - Матриця вщповщностей

Для зручносп розрахунюв прироспв функцп А/ i обмежень Agj складаемо матри-цю вiдповiдностей (рис. 2). У даних матрицях

п^, п^, n ,..., n - номери мiсця вiдповiдноi цифри в перестановцi,

де Amj : N —> С : кщ =

[3];

' 11 1 л

Х1 х2 • • • хт

1) и 1 (2) ... и1(т)/ / j &i > g'2 •>••••> g'm ~ точка (розв'язок, перестановка) у вщповщнш форм1; xf, x2f ..., x{ - опорний розв'язок (xf > x{>... > хП) .

2 крок. Знаходження опорного розв 'язку. Першочергово визначасться перший допустимий розв'язок довшьного обмеження згiдно з алгоритмом [4]. У даному випадку - це гранична точка, що задовольняе дане обмеження. Далi вiдбуваeться перевiрка виконання всiх iнших обмежень. Знайдена точка буде опорним розв'язком, якщо нерiвностi справджуються, а числовi значення обмежень та щльово! функщ! будуть початковими даними ( g , fnm ). У

випадку невиконання нерiвностей задача не мае розв'язку на множиш перестановок.

Значення прирост! в функцп Д/ i обмежень Аgj знаходяться за такими формулами

[4]:

Л/=А/2-А/1= Л/ *Cj I Л-; *с, - xj *с( I л/ *с, , (4)

Лg =Дg2 -Agj = xf *Cj + xj *cf - xj *Cj +xf *cf . (5)

3 крок. Покращення опорного розв 'язку. За рахунок транспозищй у перестановщ першого опорного розв'язку знаходимо прироста цшьово! функцп А/ i впорядковуемо ix за спа-данням:

A/i ^ А/2... >kfn_x>kfn. (6)

М1шмальний npupicT щльово! функцп minA/ = А/И визначае покращений опорний розв'язок.

4 крок. Знаходження оптимального розв 'язку. Знаходимо Ag, для розв'язку, який отрима-ний при знаходження А/„ , i перев1ряемо виконання обмежень

gi^bj,

де 8l=gim+bglam О)

Якщо всi обмеження виконуються, то знайдено оптимальний розв'язок задач^ в ш-шому випадку, розглядаеться розв'язок, що отриманий при знаходженш А/„_ь i повторюе-мо аналопчш обчислення.

У випадку невиконання обмежень неможливо знайти мiнiмум функцп при заданих обмеженнях на множиш перестановок.

5 крок. Знаходження мШмального розв 'язку задачг. Шсля виконання кроку 4 знаходимо мжмальне значення цшьово! функцп:

./min — fnon ^fonm • (Ю

4. Приклад застосування алгоритму

Знайти мш1мальне значення функщ! fix) = -2х1 -х2 + 7х3 +12х4 на множиш перестановок (1, 2, 3, 4) з наступними додатковими обмеженнями:

nf 1 2 3 4

ng1 2 3 4 1

ng2 1 3 2 4

ng3 4 3 1 2

Рисунок 3 -М атриця нормалiзацiï

gj = 5xj - 7x2 - x3 + x4 < 8, •j g2 = -4xj + x2 - 3x3 + 9x4 >12, g3 = 3xj + 6x2 + x3 <23.

Нормалiзуeмо додатковi обмеження згiдно з цiльовою функщею:

g[ = -7xj - x2 + x3 + 5x4 < 8, « g2 = -4xj - 3x2 + x3 + 9x4 > 12, g3 = -2xj + x2 + 3x3 + 6x4 < 23.

Тодi матриця нормалiзацп буде мати ви-гляд (рис. 3).

Точка (4321) - перша гранична точка, що задовольняе обмеження g[: g[(4321) = -24<8. Користуючись матрицею нормалiзацп, знахо-димо значения другого обмеження: g2(1342) = 9 < 12 . Тому дану точку не можна вважати опорним розв'язком. Беремо граничну точку (1234) для обмеження g2(1234) = 29 >12. 3 урахуванням ма-трищ нормал1зацп здшснюемо перев1рку таких двох обмежеиь: ,§"{(3241) =-14 < 8, g3(4213) = 15 < 23.

Отже, т. (1324) буде першим опорним розв'язком, при якому мiнiмальне значення щльово'1 функцп /| (1324) = 57 . Тод1 початковими значениями варто вважати:

g[ (3241) = -14 g'2 (1234) = 29 g^ (4213) = 15,/ (1324) = 57.

поч поч поч поч

Здшснюемо покращення опорного розв'язку за рахунок таких транспозицш у перестановках:

1о4:т. (4321), Д/14=((-2)*4+ 12*1)-((-2)*1+ 12*4) =-42 , ЮЗ: т. (3124), Д/13 =((-2)*3 + (-1)*1)-((-2)*1 + (-1)*3) = -2,

Ю2:т. (2314), Д/12 = ((-2)*2 + 7 *1)-((-2)*1+ 7 *2) =-9 , Зо4:т. (1423), Д/34 = ((-1)*4+ 12*3)-((-1)*3+12*4) =-13 , 2<->4 : т. (1342), Д/24 =(7*4 + 12*2)-(7*2 + 12*4) = -10. Упорядкуемо прироста фуикщй Д/ за спаданиям:

Д/13=-2, Д/12=-9, А/и =-10, А/з4="13, A/i4="42, А/13 > А/12 > А/34>Д/14 => пипА/ =А/14(4321). Знаходимо прирости обмежень та перевiряемо ïx виконання:

Aft'i(3214) =Agfx =21-9 = 12, g[x = Ag^ + g[ = 12 -14 = -2, g[x < 8 ,

Д^1(4231)=Д^1-Д^1 = -52 + 13 = -39, g'2X = bg'2X + g'2 = -39 + 29 = -10, ^<12.

Отже, обмеження не виконуеться. Беремо такий min A =А/З4(1423) = -13.

Проводимо аналопчш обчислення: Лg{2 (4231) =Ag?2 -Лgi2 = -25 +17 = -8, g[2 = Kg[2 + g[ = -8 -14 = -22, g[2 < 8,

^§'22(1243) =Ag22 -Ag22 = 31 — 39 = -8 , g21=Ag21 + g2 =29-8 = 21, g^>12,

Ag^(3214)=Ag^-Ag^ =18-10 = 8, ^=^+^=8 + 15 = 23, g^2>12.

Отже, всi нерiвностi справджуються, тому т. (1423) е оптимальним розв'язком. Тоб-то, Д/оит=А/34(1423), Д/оит=А/34(1423) вщповщно до (8), /mm(1423) = fx + А/34 = 57 -13, f =44

./min •

5. Висновки

У робот розглянуто постановку оптимiзацiйноi задачi мiнiмiзацii на комбшаторнш мно-жинi перестановок, запропоновано та описано алгоритм знаходження оптимального розв'язку.

Алгоритм розв'язання складаеться iз п'яти кроюв, яю забезпечують знаходження оптимального розв'язку, при якому цшьова функщя набувае мiнiмального значення.

На першому крощ знаходиться опорний розв'язок, який задовольняе вс обмеження задача Шляхом транспозицiй даного розв'язку визначаються всi iншi можливi оптимальнi розв'язки. М!шмальний прирiст щльово'1 функцп дозволяе знайти найкращий серед них, тсля чого здiйснюеться перевiрка обмежень.

Слщ вiдмiтити, що за рахунок використання транспозицп елементiв у перестановцi значно скорочуються кроки розв'язання задачi. У наведеному числовому прикладi розв'язок було знайдено за шють крокiв при чому при покращенш опорного розв'язку бу-ло розглянуто п'ять транспозищй, у той же час, при повному перебор^ необхщно було б проводити розрахунок по 24 перестановках, з урахуванням обмежень. Отже, даний алгоритм забезпечуе найкоротший шлях знаходження оптимального розв'язку, при якому до-сягаеться мшмальне значення щльово'1 функцп на множиш перестановок.

Надалi науковi дослщження будуть спрямоваш на адаптащю даного алгоритму для розв'язування задач оптимiзацii з багатьма щльовими функцiями на iншиx комбiнаторниx множинах.

СПИСОК ДЖЕРЕЛ

1. Роберт С., Кевин У. Алгоритмы на java. М.: Питер, 2013. 848 с.

2. Донец Г.А. Колечкина Л.Н. Построение гамильтонова пути в графах перестановочных многогранников. Кибернетика и системный анализ. 2010. № 1. С. 10-16.

3. Донець Г.П., Напрна А.М. Умовна оптим1защя лшшно1' функцп на перестановках. Теор1я опти-мальнихр1шень. 2014. С. 16-23.

4. Донець Г.П., Напрна А.М. Метод оптим1зацп лшшно1' функцп на перестановках. Теор1я оптима-льнихр1шень. 2018. С. 138-145.

5. Донец Г.А., Колечкина Л.Н. Алгоритм поиска значений линейной функции на лексикографически упорядоченных перестановках. Теор1я оптимальнихр1шень. 2009. № 8. С. 3-8.

6. Донец Г.А., Колечкина Л.Н. Об одном подходе к решению комбинаторной задачи оптимизации на графах. Управляющие системы и машины. 2009. № 4. С. 36-42.

7. Korte B., Vygen J. Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms. New York, 2012. 660 p.

8. Pardalos P.M., Du D. Handbook of combinatorial optimization / Eds. R.L. Graham. New York, 2013. 3409 p.

9. P^ugi^ O., Yakovlev S. Convex extensions and continuous functional representations in optimization, with their applications. J. Coupled Syst. Multiscale Dyn. 2016. Vol. 2, N 4. P. 129-152.

10. P^ugi^ O., Yakovlev S. Continuous Approaches to the Unconstrained Binary Quadratic Problems.

Mathematical and Computational Approaches in Advancing Modern Science and Engineering / Ed.

J. Belair et al. Switzerland: Springer, 2016. P. 689-700.

11. Стоян Ю.Г., Смець О.О. TeopiH i методи евклщово! комбшаторно! оптимзацл. К.: 1СДО, 1993. 188 с.

12. Semenova N.V., Kolechkina L.N., Nagornaya A.N. On an approach to the solution of vector problems with linear-fractional criterion functions on a combinatorial set of arrangements. Upravlen. Inform. 2010. N 1. P. 131-144.

13. Semenova N.V., Kolechkina L.N. Vector problems of discrete optimization on combinatorial sets: methods of research and solution. Kyiv: Naukova Dumka, 2009. N 4. 266 p.

14. Семенова Н.В., Колечкина Л.Н., Нагорная А.Н. Подход к решению векторных задач дискретной оптимизации на комбинаторном множестве перестановок. Кибернетика и системный анализ. 2008. № 3. С.158-172.

15. Семенова Н.В., Колечкина Л.Н., Нагорная А.Н. Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив. Кибернетика и системный анализ. 2011. № 2. С. 88-99.

16. Koliechkina L.N., Dvirna O.A., Nagornaya A.N. Modified Coordinate Method to Solve Multicriteria Optimization Problems on Combinatorial Configurations Multicriteriality. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. N 4. P. 154-161.

17. Koliechkina L.N., Dvirna O.A. Solving Extremum Problems with Linear Fractional Objective Functions on the Combinatorial Configuration of Permutations Under Multicriteriality. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 4. P. 590-599.

18. Pichugina O.S., Koliechkina L.N. Two criterial combination model of optimization telecommunication networks. Mathematical Machines and Systems. 2017. Vol. 4. P. 126-144.

19. Колечкша Л.М., Напрна А.М. Математична модель багатокрш^ально! оптимiзацil на множит сполучень при побудовi комп'ютерних мереж. Математичш машини i системи. 2016. № 4. С. 68-73.

Стаття надтшла до редакцп 25.08.2018