CC BY
31
УДК 519.8
Л.М. КОЛеЧКША*, А.М. НАГ1РНА**
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ БАГАТОКРИТЕРIАЛЬНОÏ ОПТИМIЗАЦIÏ НА МНОЖИН1 СПОЛУЧЕНЬ ПРИ ПОБУДОВ1 КОМП'ЮТЕРНИХ МЕРЕЖ
Полгавський yHÎBepcHTeT економши i торпвлл, Полтава, Украша
1нститут шбернетики ÎMeHÎ В.М. Глушкова НАН, Кшв, Украша_
Анотаця. Розглядаеться комбтаторна математична модель багатокритер1альног оптим^зацИ, що використовуеться при побудов1 комп'ютерних мереж. Запропоновано новий nidxid для розв'язання даного типу задач, заданих на конфiгурацiï сполучень, з урахуванням ïx представлення у виглядi графа.
Ключов1 слова: граф, тдграф, функщя, модель, багатокритерiальна оптимiзацiя, конфiгурацiя сполучень, генерування, мережа, вершина, локалiзацiя.
Аннотация. Рассматривается комбинаторная математическая модель многокритериальной оптимизации, используемая при построении компьютерных сетей. Предложен новый подход для решения данного типа задач, заданных на конфигурации сочетаний, с учетом их представления в виде графа.
Ключевые слова: граф, подграф, функция, модель, многокритериальная оптимизация, конфигурация сочетаний, генерирование, сеть, вершина, локализация.
Abstract. A combinatorial mathematical model of multi-criteria optimization used under the construction of computer networks is considered in this paper. It is proposed a new approach to solve this type ofprob-lems defined on configuration of interfaces, taking into account their representation as a graph. Keywords: graph, undirected graph, function, model, multi-criteria optimization, configuration of interfaces, generation, network, apex, localization.
1. Вступ
Одшею з важливих задач Украши на шляху до европейського шформацшного сустльства виступае побудова цифрово! шфраструктури, основним показником яко'1 е 1нтернет, його користувач1 i можливосп доступу. Дослщження, спрямоваш на пщвищення продуктивнос-т пращ комп'ютерних мереж, стосуються протокольних засобiв вщ фiзичного до мереже-вого рiвнiв моделi взаемодп в комп'ютерних мережах [1, 2]. Але юнуе ряд способiв тдвищення продуктивносп комп'ютерних мереж, зокрема, використання технологи штелекту-альних антен, змша територiального розташування станцш, рознесення сигналу по поляри-зацп, використання технологи, об'еднання каналiв, використання багатоканального багато-штерфейсного режиму роботи, забезпечення ефективного маршруту передачi шформацп [1, 3-7]. У зв'язку c цим е актуальним представлення математично! моделi i методу ïï розв'язання, яка могла б бути покладена в основу оптимiзацiï роботи комп'ютерних мереж. З щею метою е доцшьним застосувати математичш моделi багатокритерiальноï оптимiзацiï на комбiнаторних конф^уращях, якi широко використовуються як формальш моделi реа-льних систем.
Дана робота продовжуе дослщження роб^ [2, 7-10], в яких описуються моделi ком-бшаторно! та векторно! оптимiзацiï, пiдходи до розв'язання та ïx застосування при реалiза-цп прикладних задач. Зокрема, в роботi описуеться застосування нового пщходу до розв'язання комбшаторних задач локалiзацiï функцп на комбшаторнш конф^ураци сполучень [11-13], для яко'1 визначено графове дерево [2].
© Колечшна Л.М., Нагiрна А.М., 2016
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2016, № 4
2. Постановка математичноТ модел1 задач1
Для постановки математично'1 моделi задачi сформулюемо суть дослщжувано! проблематики: при проектуванш комп'ютерних мереж необхiдно враховувати 1'х складну багаторiв-неву арх^ектуру, в якiй рiвнi технологично! iерархii е накладеними мережами i використо-вують рiзнi технологи. Важливим аспектом при функщонуванш комп'ютерних мереж е оптимiзацiя и ресурсiв. Особливо гостро питання оптимiзацii роботи мережi сто'1'ть, коли при вирiшеннi задач необхщно передати iнформацiю, зокрема, визначити фiзичнi i логiчнi зв'язки мiж елементами на рiзних рiвнях системи, забезпечивши при цьому сумiснiсть рiз-них комп'ютерних технологш i мереж. З щею метою доцiльно використати математичний апарат векторно'1 комбшаторно!' оптимiзацii [11-18].
Отже, е доцшьним представити опис багаторiвневоi комп'ютерно'1 системи за до-помогою структурного графа на комбшаторних конфiгурацiях, який складаеться з тдгра-фiв [2]. Враховуючи показники ефективносп роботи комп'ютерних мереж, якi можна визначити лшшними функцiями, модель задачi е задачею багатокритерiальноi комбшаторно'1 оптимiзацii на комбiнаторних конфiгурацiях [8].
На пiдставi встановленого взаемозв'язку мiж задачами оптимiзацii на комбiнаторних конф^уращях та графами многогранникiв комбiнаторних конф^урацш використовуються деякi структурнi властивостi допустимо! областi, сформульовано ряд тверджень [2, 8-9], яю можна застосувати для побудови методу розв'язання комбшаторно!' задачi з викорис-танням граф ¡в 1 для вир1шення прикладных задач оптшупзацп роботи комп'ютерних мереж.
Введемо необхщш поняття. Нехай дано множину А' = (1,2,...,и) . Сполучення без повторень з п елеменпв по г це г -елементна шдмножина множини А! . Оскшьки порядок запису елеменпв множини неютотний, то запишемо елементи в кожному сполученш у порядку зростання. Сполучення (а^,а^,...,аг ) розглядатимемо як рядок чисел а-у,а2,...,аг,
де а^<а2< ■■■<аг . С„ - кшькють уах сполучень без повторень з п елеменпв по г, де п , г - додатш цш числа, причому г <п . За даним сполученням можна знайти наступне, вщ-повiдно до лексикографiчного порядку, сполучення, що i буде використано в подальшому викладi матерiалу.
Розглянемо таку математичну модель задача визначити набiр функцiй, якi оптимь зують деяю характеристики роботи комп'ютерних мереж:
р т п
Гм{х)= тах^ X 2>£4 , (1)
хвЯ ¿=1 г=1 у=1
де // = 1...5 при комбшаторнш умов1, яка враховуе сполучш властивосп облает допусти-мих розв'язкiв задачi:
х ~ (Х1Ь •>х1«> х1р>-~> хтр) е Зтр(Сг) , (2)
i при додаткових умовах, що можуть вiдображати iнтенсивнiсть надходження вiд користу-вачiв запитiв на резервування пропускно'1 здатностi каналу для передачi потоюв шформа-ци:
т
Т<ауху - Ъ1 , де * е е , де Г = ртп ; (3)
г=1
пропускну здатшсть каналу для потоку шформаци, що надходить на передачу по каналу комп'ютерноТ мереж1 , / е ./„,, / е ./„ :
Чтш ^ <íj ^ ¿/max ; (4)
число, що обмежуе кшьюсть запитiв на передачу n0T0KÍB шформаци, якi знаходяться в ка-нальнш 4ep3Í:
p{t) = min(/>¿ (tj). (5)
Представлена вище модель задачi (1)-(5) е моделлю багатокрш^ально'1 оптимiза-ци на комбiнаторнiй конф^ураци сполучень i дае можливiсть оптимiзувати характеристики роботи комп'ютерних мереж та заощадити ресурси тдприемства чи оргатзаци. Безу-мовно, при розв'язуванн конкретно! практично'1 задачi кiлькiсть функцш цiлi може змшю-ватися, а також можуть коригуватися додатковi умови.
Для подальшо'1 реалiзащi дано! багатокрш^ально'1 моделi розглянемо побудову послiдовностi значень лшшних цiльових функцiй по точках конфтураци сполучень, розк-ладених по тдграфах. З точки зору економшо-математичних методiв, е доцiльним розгля-нути задачу комбшаторно! оптимiзацii виду
Z(F, Р) : max{F(x, с) \ х е Р, с е С}, яка полягае в максимiзацii функцiй F(a) на комбшаторнш конф^ураци сполучень
п
е smp (G), де F(x, с) = (с,х) = Z cixi ■
i—\
Також мае сенс розглянути задачу, де значения щльово! функцп перебувае в ¡нтер-вал1 F{x) < F(x) < F(x). Тод1 попередня задача буде набувати такого вигляду: визначити J = arg шах F(x) При у = F(x),
хеП(А)
х = arg max F(x) При у = F(x) хеП (А)
при yMOBi \х - х| —min .
Така модель задачi дозволяе знайти дiапазон пропускно! здатностi в сучасних комп'ютерних мережах.
Важливою задачею, яка може виникати при побудовi моделi оптимiзацii комп'ютерних мереж, може бути математична модель залежносп мiж елементами конфь гураци сполучень за значенням лшшно'1 цшьово'1 функци, що вщображае упорядкування користувачiв у комп'ютернш мережi.
Тодi е доцiльним розглянути елементи конф^раци сполучень як точки арифметич-ного евклiдового простору Rn або вершини структурного графа i задача (1), (2) може бути представлена в шшому математичному формат запису. Оптимiзацiйна задача вигляду
Z(0(a),S*(A)) : тах{Ф(а)|а е Skqn(A)}, (6)
яка полягае в максимiзацii функци Ф(а) на комбiнаторнiй конф^ураци сполучень SП (A),
и
де Ф(а) = X cjxj при додаткових обмеженнях (3)-(5). у=1
Для реалiзацii вище сформульованих математичних моделей задач доцшьно засто-сувати тдходи, що грунтуються на властивостях комбшаторних конф^рацш, та 1'х представления в виглядi графових структур [2, 9, 17, 18].
Зокрема, застосуемо координатний метод, що належить до класу методiв направле-ного структурування i описаний в [2]. Даний метод запропоновано для однокритерiальноi задачi з лiнiйною цiльовою функцiею, заданою на перестановках. Але може бути адапто-ваний i для моделей багатокритерiальних задач на iнших конфшуращях.
Враховуючи, що у загальному випадку багатокритерiальна задача оптимiзацii - це задача одночасно! оптимiзацii декiлькох цшьових функцiй на множинi допустимих розв'язюв, то у багатокритерiальних задачах вщшукання розв'язку майже завжди проводиться у межах компромiсiв або розв'язюв, оптимальних за критерiем Парето.
Найбшьш розповсюдженi методи розв'язання багатокритерiальних задач можна роздшити на такi групи:
- зведення сукупносп локальних критерив (векторного критерiю) до одного (скалярного критерш) за допомогою вагових коефiцiентiв, вибраних для кожного критер^ (при цьому бiльш важливий критерш отримуе бiльшу вагу);
- оптимiзацiя за одним скалярним критерiем (найбшьш вагомим) при включенш iнших критерив у систему обмежень;
- мiнiмiзацiя вщхилень значень функцiй мети вщ найкращих значень за всiма кри-терiями;
- ранжування сукупностi критерив i послiдовна оптимiзацiя за кожним iз них.
Джерелом додатковоi шформаци щодо вибору методу розв'язання багатокри-
терiальноi задачi виступае особа, що приймае ршення (ОПР). 1накше кажучи, ефективний план, який приймаеться за розв'язок багатокритерiальноi задач^ вибираеться згщно з системою переваг ОПР, яка уточнюеться або навт лише формуеться у процес розв'язування конкретноi задачi. Таким чином, пошук розв'язку багатокритерiальноi задачi проводиться у виглядi дiалогу (в iнтерактивному режимi) з ОПР, яка несе вщповщальшсть за обране ршення та його наслщки. Тому для розв'язання запропонованоi задачi застосуемо зведення й до скалярного вигляду.
Для зведення локальних критерив до скалярного виду застосовують метод рiв-номiрноi оптимiзацii i метод згортання критерив.
Отже, на початковому етат розв'язування задачi (1)-(5) слiд звести задачу або до однокритерiальноi зазначеними вище методами, або застосовувати запропонований нижче метод окремо до кожно'1 функци, об'еднавши при цьому отримаш розв'язки.
3. Координатний метод локал1защт значень л1н1йних функций, заданих на конф1гура-цГт' сполучень
Для подальшого викладу методу визначимо структуру конф^ураци сполучень та можливi варiанти генерування П елементiв. Застосуемо один iз методiв генерування конф^ураци сполучень, який дае можливiсть, у залежносп вiд складностi задачi, представити елементи комбiнаторноi конфiгурацii у виглядi графа i описаний в [2]. Даний метод генерування по-лягае у виборi елементiв з заданоi упорядкованоi множини за зростанням, тобто вибира-ються елементи для прикладу по два: перший - другий; перший -третш; перший - четвертой i т.д. Таким чином будуеться верхнш пiдграф загального графа послщовносп, далi -другий - третш; другий - четвертий i т.д.
За допомогою даного тдходу до генерування елеменпв комбiнаторноi конфшураци сполучень можна зобразити елементи конфшураци у виглядi графового дерева. Дане дерево можна представити у виглядi розкладу на тддерева, тодi кожне пiддерево формуеться з вершин, в яких елемент на останньому мющ фшсуеться i е вибраним з початковоi множини а1,а2,...,ап як максимальиий, а остаиш перебираються рекурсивним методом.
Слщ зазначити, що дане дерево е орiентованим, в якому визначений коршь - вершина, яка е лексикографiчно бiльша останнiх. Таким чином отримуемо орiентоване (спря-моване) дерево - аци^чний орграф (орiентований граф, що не мютить циклiв) - той, в якому тшьки одна вершина мае нульову натвстетнь входу, а вс iншi вершини мають на-пiвстепiнь входу 1. Формально дерево конф^раци сполучень визначаеться як скшченна множина одного або бшьше вузлiв.
Також вiдмiтимо, що значення функци дерева сполучень у напрямку знизу вверх зростае, а зверху вниз - спадае з однаковим штервалом при рiвномiрному розподш зна-чень коефiцiентiв, що обумовлено iерархiчною будовою дерева та лiнiйнiстю цшьово! функци. При цьому поняття «верх» або «низ» мають стабшьний структурний змiст у вщно-шенш пiддерев i в рамках об'еднуючого дерева [2].
Для подальшого розв'язання поставленох задачi (1)-(5) визначимо таю правила:
а) якщо в данш вершиш значення функци менше заданого, то дал1 треба шукати це значення в сусщнш вершиш, збшыпуючи (п - 2), або (п -1) координату;
б) якщо в дашй вершиш значення функщ! бшьше заданого, то дал1 треба шукати це значення в сусщнш вершиш, зменшуючи (п - 2), або (п -1) координату.
Розв'язання задачi проводиться для вах тишв вершин дослщжуваного графа. Кож-нш вершиш графа, в залежносп вщ и типу, можна поставити у вщповщшсть свш пiдграф ^ . На пiдграфi визначаеться тип вершини, пщ яким розумiеться таке: якщо остання координата для вершин усього пщграфа постшна, то передостання i та, що передуе 1й, змшю-ються вiд 6шьшо'1 можливо'1 координати до меншоi.
Граф представляе мережу, де витоком е найвища i найшвша вершина, а стоком -найнижча i найправiша вершина. В мережi кожна вершина визначаеться кодом (¡1, ¡2,..., 1п), тобто номерами координати, яю потим будуть переставлятися.
Для фшсованого типу вершин послiдовно для кожного пщдерева знаходяться необ-х1дш вершини х , в яких /(х ) = у . Початкову вершину дерева О^ будемо називати вер-шиною-витоком.
Алгоритм пошуку необхщноТ вершини для шддерева = 2,...,п) можна подь лити на три етапи.
Перший етап: побудова коду (що таке, означити) початковоi вершини для .
Другий етап: розгортання (що маеться пщ розгортанням) дерева вздовж координати
хп-1-
Третiй етап: розгортання дерева вздовж координати хп .
Розглянемо детально кожний етап.
I. Нехай вибрано тип вершини /2,...,/и), де \ иг2 и... игИ = {1,2, ...,п}, та номер шддерева /'. Тод1 покладемо: хИ=г; хп_у =тах{Л^И \хп}, хп_2=тгх{Ъ\п\(хп_1,хп)}. Упо-рядкуемо числа {Мп\{хп_2,хп_ъхп)} по зростанню ]\<]2<Н- Т°Д1 xl=jiv х2 = М2, Л'З = 7/з . Це 1 буде код головноТ вершини мереж1 , який будемо позначати р\ або ц\. 06-числимо значення цiльовоi функци в цiй вершинi / (р\).
II. Розглянемо в цьому код1 значення ху. (к — 1, 2, 3, 4) та упорядкуемо за спаданиям Х4 = /4 > Уз > /2 > /|. Розгортанням графа вздовж координати х4 (або вниз) назвемо посль довшсть транспозищй /4 <=> /3 /2 /\. яи, кр1м коду головноТ вершини, приводять до створення ще трьох кодiв, якi ми позначимо Р2, Рз та i запишемо один пiд одним. Щоб знайти значення функщ! на цих сполученнях, необов'язково використовувати ва и координати. Достатньо знайти р1зницю значень функщй у сусщшх вершинах. Позначимо /¿(А)
номер míсця числа в код1 перестановки p\(Ä = 1,2,3). Тод1 значения f(p2) буде менше f(p\) на величину Д| = (/4 -/3 )(с4 -¿'(З)). У другому множнику постшно буде величина С4, тому що у транспозици завжди бере участь координата x4 . Аналогiчно знаходимо другу та третю рiзницi. Очевидно, що у процес подальшого пошуку необхщно використову-
*
вати тшьки tí сполучення, для яких /(p¡) > у .
III. Розглянемо в код1 вершини р^ (яку позначимо q\, (к = 1, 2, 3, 4) значения х5, х4, х3, х2, Х| та упорядкуемо ix за спаданиям х5 = j5 > /4 > /3 > /2 > /|. Розгортанням графа вздовж координати Х5 (або праворуч) назвемо послiдовнiсть транспозицiй j5 <=> /4 Уз « /2 <=> /|. яю, KpiM коду головноТ вершини, повинш привести до створення ще чотирьох кодiв, якi ми позначимо q2, q3, q4 та . Але цi коди створювати необов'яз-ково. Так само, як i при розгортанш графа вниз, значення функци f (q2) у вершинi q2 буде меншим вщ значення f(q\) на величину S^ =(j5 -j4)(c5 -с^^). За щею формулою знаходимо bcí íhiiií р1знищ. Послщовно вщшмаючи ¿>д(4 > Л > 1) вщ /(q\), можемо отримати дв1 такi ситуаци:
*
1. Вс значення функцiй бiльшi y . В цьому випадку переходимо до розгортання наступного коду Pk .
* ... *
2. На деякому крощ А отримаемо значення функци у вершиш, piBHe у (або менше * .
y ). В першому випадку запам ятовуемо код вщповщно'' вершини. Переходимо до розгор-
__ ... *
тання наступного коду p¡-. При цьому кшьюсть кроив обмежуеться до X -1.
ГПсля розгортання bcíx p^Qc —1,2,...,и) пошук необхщних вершин шдграфа G¡ 3 фiксованим i закшчуеться. Далi проводяться необхiднi обчислення для вах пiдграфiв, ви-користовуючи описанi три етапи.
Основна прюритетшсть алгоритму пошуку необхiдних вершин координатним методом полягае у зменшенш виконуваних обчислень, оскшьки обчислюються лише рiзницi значень функци, тодi як у горизонтальному методi кожний раз необхщно обчислювати значення функци в новш вершинi i вщтворювати код вершини. Крiм того, координатний метод дозволяе декшька модифшацш, пов'язаних з обчисленням не тшьки в кодах головних вершин (витоках), а i симетричним пщходом вщносно вершин-стокiв та iн.
4. Висновки
У робот описано модель багатокритерiальноi оптимiзацii на конф^раци сполучень, яку можна використовувати при проектуванш комп'ютерних мереж, що мають складну бага-торiвневу архiтектуру. Сучасна комп'ютерна мережа характеризуеться сукупшстю рiзного роду нов^шх технологiй зв'язку, але особливо! уваги заслуговуе оптимiзацiя ii функщону-вання як на рiвнях апаратури i програмного забезпечення, так i в цшому в единш системi взаемодш. Запропонована модель забезпечуе опис багаторiвневоi комп'ютерно! системи за допомогою структурного графа на комбшаторних конфiгурацiях сполучень.
Оскшьки ефектившсть роботи комп'ютерно'1' мережi характеризуеться значною кь лькiстю показниюв, то в роботi визначено цiльовi функци лiнiйними, а модель вважаеться багатокритерiальною на конф^ураци сполучень.
Встановлений взаемозв'язок мiж задачами оптимiзацii на комбшаторних конф^ура-цiях та графами многогранниюв комбiнаторних конфiгурацiй забезпечуе використання
структурних властивостей допустимо! област сполучень, представляючи граф у виглядi opieHTOBHoro дерева.
Координатний метод лoкалiзацi! значення лшшно! функци, задано! на конф^ураци сполучень, забезпечуе знаходження оптимальних poзв'язкiв за скшченну кiлькiсть кpoкiв i зменшення числа обчислень у пopiвняннi з горизонтальним методом.
Пoдальшi дoслiдження будуть спрямоваш на знаходження нових метoдiв розв'язання даного типу задач, що моделюють кoмп'ютеpнi меpежi, на шших конф^ураць ях з мoжливiстю застосування графових моделей.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Koliechkina L.N. Modified Coordinate Method to Solve Multicriteria Optimization Problems on Combinatorial Configurations / L.N. Koliechkina, O.A. Dvernaya, A.N. Nagornaya // Cybernetics and Systems Analysis. - 2014. - N 4. - P. 154 - 161.
2. Донець Г.П. Екстремальш задач1 на комбшаторних конфнуращях / Г.П. Донець, Л.М. Колечкша.
- Полтава: РВВ ПУЕТ, 2011. - 309 с.
3. Akyildiz I.F. Wireless mesh networks: a survey / I.F. Akyildiz, X. Wang, W. Wang // Computer Networks. - 2005. - Vol. 47, N 2. - P. 445 - 487.
4. Capone A. Multi-Layer Network Design with Multicast Traffic and Statistical Multiplexing / A. Capone, G. Carello, R. Matera // IEEE Global Telecommunications Conference (IEEE GLOBECOM). -Washington, USA, 2007. - Р. 2565 - 2570.
5. Chiang M. Balancing Transport and Physical Layers in Wireless Multihop Networks: Joint Optimal Congestion and Power Control / M. Chiang // IEEE Journal on Selected Areas in Commun. - 2005. -Vol. 23, N 1. - P. 104 - 116.
6. Singh K. Review on Routing Protocols in Wireless Mesh Networks / K. Singh, S. Behal // International Journal of Application or Innovation in Engineering & Management (IJAIEM). - 2013. - Vol. 2, Iss. 2.
- P. 143 - 149.
7. Агеев Д.В. Представление модели в виде многослойного графа для решения задач планирования инфокоммуникационной системы с учетом структурированной кабельной системы [Электронный ресурс] / Д.В. Агеев // Проблемы телекоммуникаций. - 2013. - № 3 (12). - С. 16 - 26. - Режим доступа: http://pt.journal.kh.ua/2013/3/12/102 ageyev layer.pdf.
8. Семенова Н.В. Подход к решению векторных задач дискретной оптимизации на комбинаторном множестве перестановок / Н.В. Семенова, Л.Н. Колечкина, А.Н. Нагорная // Кибернетика и системный анализ. - 2008. - № 3. - С. 158 - 172.
9. Емеличев В.А. Многогранники, графы, оптимизация / Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. - М.: Наука, 1981. - 344 с.
10. Сергиенко И.В. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации / И.В. Сергиенко, М.Ф. Каспшицкая. - К.: Наукова думка, 1981. - 288 с.
11. Семенова Н.В. Пол1едральний шдхщ до розв'язання одного класу векторних задач комбшатор-но! оптим1зацп / Н.В. Семенова, Л.М. Колечкша, А.М. Напрна // Допов1д1 НАН Укра!ни. - 2009. -№ 6. - С. 46 - 53.
12. Колечкина Л.Н. Многокритериальные комбинаторные задачи оптимизации на множестве полиразмещений / Л.Н. Колечкина, Е.А. Родионова // Кибернетика и системный анализ. - 2008. - № 2. -С.152 - 160.
13. Колечкша Л.М. Властивост задач багатокритер1ально! оптим1зацн на комбшаторних множинах та методи !х розв'язання / Колечкша Л.М. - Полтава: РВВ ПУСКУ, 2008. - 162 с.
14. Донец Г.А. Построение гамильтонова пути в графах перестановочных многогранников / Г.А. Донец, Л.Н. Колечкина // Кибернетика и системный анализ. - 2010. - № 1. - С. 10 - 16.
15. Донец Г.А. Экстремальные покрытия графов / Г.А. Донец, А.Я. Петренюк. - Кировоград: ОАО «Юровоградське видавництво», 2009. - 170 с.
16. Донец Г.А. Об одном подходе к решению комбинаторной задачи оптимизации на графах / Г.А. Донец, Л.Н. Колечкина // Управляющие системы и машины. - 2009. - № 4. - С. 36 - 42.
17. Донец Г.А. Локализация значения линейной функции, заданной на перестановках / Г.А. Донец, Л.Н. Колечкина // Радиоэлектроника и информатика. - 2009. - № 1. - С. 76 - 81.
18. Донец Г.А. Метод упорядочения значений линейной функции на множестве перестановок / Г.А. Донец, Л.Н. Колечкина // Кибернетика и системный анализ. - 2009. - № 2. - С. 50 - 61.
Стаття над1йшла до редакцп 22.07.2016
