CC BY
76
0,1-105 МПа; канати розтяжок прийнято згiдно з ГОСТ 2688, зведений модуль пружност каната Езв = 1,1-105 МПа, запас мщност для розтяжок п = 2,0; прийнято три розтяжки, кути 1х ухилу до горизонту а = 45 Кут ухилу нап-рямника зусилля несного каната в = 10 °; Д = 30 Дiаметр щогли змшю-вався в межах dщ = 20x50 см (брався на висот 1,3 м вщ рiвня землi). Дiаметр
Рис. 3. Графой для вибору дiаметрiв розтяжок залежно вiд дiаметра щогли:
1 - за Тн = 100кН; 2 - за Тн = 150кН; 3 - за Тн = 200кН
Наведений метод розрахунку дасть змогу обгрунтувати основш пара-метри щогл i шдвищити надшшсть 1х роботи.
Л1тература
1. Писаренко Г.С. та ш. Отр матер1ашв : тдручник / Г.С. Писаренко, О.Л. Квггка, Е.С. Уманський / за ред. Г.С. Писаренка. - 2-ге вид. [допов. 1 переробл.]. - К. : Изд-во "Вища шк.", 2004. - 655 с.
2. Адамовський М.Г., Мартинц1в М.П., Бадера Й.С. Пщвюш канатш люотранспортш системи. - Льв1в : Вид-во 1ЗМН, 1997. - 156 с.
8. Мартинщв М.П. Розрахунок основних елеменпв пщвюних канатних люотранспорт-них установок. - К. : Вид-во "Ясмина", 1996. - 175 с.
УДК 519.863 Доц. М.В. Дацко, канд. техн. наук; студ. М.П. Головатюк -
Льв1вськш НУ м. 1вана Франка
МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ ТРАНСПОРТНИХ ЗАСОБ1В З ПРОМ1ЖНИМ РОЗВАНТАЖЕННЯМ
Розглянуто наявш тдходи до побудови маршрупв руху транспортних засоб1в, проанал1зовано матричний тдхщ до побудови вс1х можливих маршрупв руху тран-
спортних засоб1в, зроблено постановку задачi маршрутизацп транспортних 3aco6iB за критерieм мшмзацп сумарних затрат на перевезення.
Ключов1 слова: транспорты перевезення, маршрут руху транспортних засобiв, задача маршрутизацп.
Assoc. prof. M.V. Datsko; stud. M.P. Holovatyuk - L'viv NU named after
Ivan Franko
Modelling movement of vehicles with intermediate unloading
It is considered the existing approaches to vehicle routing, it is analysed the matrix approach to the construction of all possible vehicle routs, it is formulated the vehicle routing problem on the criteria of summary transport charges minimization.
Keywords: transportation of goods, route, vehicle routing problem, suppliers, consumers.
Транспорт e одшею з найважливших галузей економжи. Цим можна пояснити великий штерес у дослщниюв всього св1ту до ^ei галуз^ оскшьки ефективне управлшня транспортом дае змогу тдвищити ефектившсть фун-кцюнування економжи загалом.
Перш1 спроби моделювання транспортних перевезень здшснили ще у 1959 р. Данщг та Рамсер. Вони описали доставку свгтлих нафтопродукпв до АЗС i запропонували перше математичне формулювання цiei проблеми, а також алгоршмчний пiдхiд до ii розв'язання. Кiлькома роками шзшше Кларк i Райт вдосконалили шдхщ Данцiга-Рамсера, запропонувавши ефективний жадiбний алгоритм. На цьому еташ запропоновано сотш моделей та алгоритмiв для точного або наближеного розв'язання рiзних варiантiв задачi оптимiзацii пошуку маршрутов руху транспортних засобiв. Зацiкавленiсть у цьому клас задач можна пояснити, по-перше, 1'х практичним застосуванням, а по-друге, значною складнiстю 1'х розв'язання. Однак в Украiнi проблеми економiко-математичного моделювання транспорту дослiджуe невелике коло украшських учених.
Особливого значення моделювання транспортних перевезень безпе-речно набувае в умовах економiчноi кризи. У структурi витрат багатьох ком-панш витрати на транспортування становлять вагому частку i можливiсть знизити 1'х завдяки оптимiзацii перевезень дасть змогу ютотно пiдвищити фь нансову стшюсть компанii.
Розглянемо деякi наявнi тдходи до побудови множини маршрутiв руху транспортних засобiв. Одним iз пiдходiв до побудови маршрутiв руху транспортних засобiв за критерieм мiнiмiзацii витрат е транспортна задача. Вона дае змогу оптимiзувати рух транспортних засобiв за наявностi декшь-кох постачальниюв та декiлькох споживачiв. У лiтературi видiляють такi мо-дифшаци транспортноi задачi [4, с. 213-226]:
• транспортну задачу з заборонами;
• транспортну задачу з фшсованими перевезеннями;
• транспортну задачу з обмеженнями на пропускну здаттсть;
• транспортну задачу з фшсованими доплатами;
• транспортну задачу з сезонними коливаннями попиту споживач1в або ж по-
тужност виробнишв;
• транспортну задачу 1з зм1нними потужностями виробнишв.
Задачi пошуку маршрутiв руху транспортних засобiв можна сформу-лювати i вирiшити як мережевi моделi. Розв'язання таких моделей потребуе застосування рiзних мережевих оптимiзацiйних алгоритмiв.
Видiляють такi основнi задачi на мережах [8, с. 145-214]:
• задача пошуку мшмального шстякового дерева;
• задача пошуку найкоротшого шляху;
• задача визначення максимального потоку;
• задача визначення потоку мшмально! вартост!
Розглянемо задачу пошуку найменшого кiстякового дерева. Задачi такого типу доволi часто трапляються в економiцi. Як приклад, наведемо задачу побудови системи маршру^в, як повиннi сполучити сукупнiсть населе-них пунктiв за умови, що маршрут, який сполучае два населених пункти, мо-же проходити через iншi населенi пункти.
До алгорштв пошуку найменшого кiстякового дерева належать [9, с. 231-266]: алгоритм Прима; алгоритм Краскала; алгоритм Борувки.
Наступним видом задач на графах е задача пошуку найкоротшого шляху. Кожен шлях у зваженому графi асощюеться iз поняттям ваги шляху, тобто суми ваг вЫх ребер, що цей шлях утворюють. Ця обставина дае змогу нам сформулювати задачу пошуку шляху мiж двома вершинами графа iз найменшою вагою, або ж задачу пошуку найкоротшого шляху.
Сформулюемо базовi задачi пошуку найкоротшого шляху:
• найкоротший шлях "джерело-стж". Для задано! початково! та кшцево! вер-шини слвд знайти найкоротший шлях в граф1 1з вершини s у вершину t;
• найкоротш1 шляхи з единого джерела. Для задано! початково!' вершини слщ знайти найкоротш1 шляхи 1з не! в ус 1нш1 вершини графа;
• найкоротш1 шляхи мiж вс1ма парами вершин. Знайти найкоротш1 шляхи, що з'еднують кожну пару вершин в граф1.
Розглянемо алгоритми пошуку найкоротших шляхiв в графi. До них належать [9, с. 279-357]: алгоритм Дейкстри; алгоритм Флойда-Уоршелла; алгоритм Беллмана-Форда; алгоритм Йена.
Для розв'язання задачi про пошук максимального потоку в графi та-кож було розроблено ряд алгорштв [9, с. 376-435]: алгоритм Форда-Фалкер-сона; алгоритм Дшща; алгоритм Едмондса-Карпа; алгоритм Карзанова тощо.
В окремих транспортних задачах потрiбно знайти потж мшмально! вартость Задачi такого типу подiляють на два види, зокрема [9, с. 435-463]:
• задача пошуку максимального потоку з мшмальною вартютю;
• задача пошуку допустимого потоку з мшмальною вартштю тощо. Оскшьки математично доведено, що задача пошуку допустимого потоку з мшмальною вартютю е^валентна задачi пошуку максимального потоку з мшмальною вартютю, то методи розв'язування е стльними для обох видiв задач. Простим узагальненим алгоритмом розв'язання задачi про потж мшмально! вартостi е алгоритм викреслювання цикшв.
На цьому етапi широкого застосування набули новi пiдходи до розв'язання багатьох задач, зокрема i задач побудови маршру^в. До таких пiдходiв, зокрема, вiднесемо шдходи на основi: нейронних мереж; генетичних алгорит-мiв; мурашиних алгоритмiв.
Штучнi нейронш мережi iндукованi бюлопею, оскiльки вони склада-ються з елементiв, функцюнальш можливостi яких аналогiчнi бiльшостi еле-ментарних функцiй бiологiчного нейрона. Щ елементи потiм органiзуються за способом, який може вщповщати (або не вщповщати) анатоми мозку. Нез-важаючи на таку поверхневу схожiсть, штучш нейроннi мережi демонстру-ють вражаючу кiлькiсть властивостей, притаманних мозку.
Основними властивостями, притаманними нейронним мережам, е: навчання; узагальнення; абстрагування.
Мережа навчаеться, щоб для певно! множини входiв давати бажану множину виходiв. Кожна така вхiдна (або вихщна) множина розглядаеться як вектор. Навчання здшснюеться шляхом послiдовного пред'явлення вхiдних векторiв з одночасним шдлаштуванням ваг вiдповiдно з певною процедурою. У процес навчання ваги мережi поступово стають такими, щоб кожен вхщ-ний вектор створював вихщний вектор [10, с. 4-45].
Генетичний алгоритм - це еволюцшний алгоритм пошуку, що вико-ристовуеться для виршення задач оптимiзацil i моделювання шляхом посль довного пiдбору, комбшування i варiацil шуканих параметрiв з використан-ням механiзмiв, що нагадують бiологiчну еволюцiю.
У генетичному програмуванш, зазвичай, програми представляються у виглядi синтаксичних дерев. Змiннi та константи задачi е вiтками дерева (тер-мiналами), а математичнi операци, своею чергою, представляються як внут-ршш вузли i називаються функцiями. Множини допустимих функцш та тер-мiналiв формують основну множину генетичного програмування.
Загалом видiляють такi етапи генетичного алгоритму [2, с. 10-35]:
• створення початково! популяци;
• обчислення функци пристосованост для ос1б популяци (оц1нювання);
• повторювання до виконання критергю зупинки алгоритму:
■ виб1р 1ндив1д1в 1з поточно! популяцИ (селекщя);
■ схрещення або/ та мутащя;
■ обчислення функцИ пристосовуваност1 для вс1х ос1б;
■ формування нового поколшня.
Доволi популярним е шдхщ на основi мурашиних алгоритмiв. Основною щеею таких алгоритмiв е використання принцишв самоорганiзацil, якi дають змогу тюно координувати поведiнку мурах, для координаци дiй попу-ляцп штучних агентiв, що спiвпрацюють для розв'язання рiзноманiтних проблем. Рiзнi аспекти поведiнки мурашиних колонiй дають змогу використову-вати мурашинi алгоритми для розв'язання рiзних задач, наприклад, задачi про призначення, управлiння запасами, шших транспортних задач.
Як вщомо з дослiджень поведiнки мурах, бшьшють комунiкацiй мiж мурахами або мiж мурахою та середовищем базуються на використанш хi-мiчних речовин, яю виробляють мурахи. Цi хiмiчнi речовини носять назву феромони. Доволi важливим для соцiального життя деяких видiв мурах е так званий стежковий феромон. Це особливий вид феромошв, який використову-ють мурахи для позначення шляхiв, наприклад, шляхiв вщ джерела 1ж1 до му-рашника. Вщчуваючи слiди феромонiв, мурахи можуть йти по стежщ до дже-рел 1ж1, вiдкритих iншими мурахами. Така колективна поведшка прокладання
стежок та ошдування ïm за допомогою феромошв i лягла в основу мурашиних алгоритмiв.
Прямуючи вiд джерела ïжi до мурашника i навпаки, мурахи залиша-ють феромони на земл^ формуючи стежку феромонiв. Мурахи вщчувають феромони i вибирають шляхи, концентращя феромонiв на яких е бшьшою [1, с. 25-121].
Здiйснивши рiзнобiчний огляд видiв транспортних задач та методiв ïx розв'язування, розглянемо один Í3 можливих варiантiв постановки задачi мар-шрутизацiï транспортних засобiв. Нехай, вiдомi вiдстанi мiж постачальником та споживачами d0j та власне вщстат мiж споживачами dj (i ф j, i < j), тодi
справедливо записати
doi d02 do3 do4 do5 ... don di2 di3 di4 di5 ... di„ d23 d24 d25 ... d2n d34 d35... d3n d45 ... d4n d5n
Задано також вартостi перевезення однiеï тонни продукци транспор-тним засобом, а саме:
• витрати на перевезення одте1 тонни продукци м1ж постачальником та j -м споживачем повтстю завантаженого транспортного засобу C0j становлять
C0i C02 C03 C04 C05 ... C0n,
• витрати на повернення порожнього транспортного засобу ввд j -ого спожива-ча до постачальника Cj0 становлять
Ci0 C20 C30 C40 C50 ... Cn0,
• витрати на перевезення одте1 тонни продукци м1ж i -м та j -м споживачем частково завантаженого транспортного засобу Cij ( i ф j ) (очевидно, що транспортний зас1б може бути завантажений лише частково, оскшьки ви1ха-ти в1д споживача повним в1н уже не може, а в'1жджати до споживача порож-тм немае сенсу (окр1м випадку з причепом). Цей випадок показуе, що повинна бути розроблена методика тдрахунку витрат на рух транспортного засобу з1 зм1ною об'ему перевезення продукц11):
Ci2 Ci3 Ci4 Ci5
C2i - C23 C24 C25
C3i C32 - C34 C35
C4i C42 C43 - C45
C5i C52 C53 C54 -
Cin C2n C3n C4n C5n
Cni Cn2 Cn3 Cn4 Cn5
Вiдомо теж час проïзду мiж пунктами i та j ty ( i ф j ) (показник часу проïзду мiж пунктами також можна розбити на три показники аналопчно до
вартостi перевезення одте1* тонни продукцiï, причому змша його величини зi змiною об'ему перевезення буде справедливою. Проте це не так ютотно як у попередньому випадку):
- t01 t0i t03 t04 t05 ••• t0n
t10 - t1i t13 t14 t15 ••• t1n
ti0 ti1 - ti3 ti4 ti5 ••• tin
t30 t31 t3i - t34 t35 ••• t3n
t40 t41 t4i t43 - t45 ••• t4n
t50 t51 t5i t53 t54 - ••• t5n
tn0 tnl tn2 tn3 tn4 tn5
Транспортна мережа представлена графом G(V, E), де V - множина з n +1 вершини, де вершиною 0 е постачальник продукци, а вершини 1,..,n -споживачi, E - множина дуг графа, що вщображають iснуючi шляхи сполу-чення мiж постачальником i споживачами та мiж споживачами.
Нехай певним чином ми отримали множину допустимих маршрутiв H = {H1,H2,..,Hq}. Тодi за заданих умов задачу ошгашзаци перевезень свiтлих
нафтопродуклв можна представити як
q
min £ c-x- (1)
j=1
£ a-Xj > 1, vi e V \{0} (2)
j=1
±xj < K (3)
j=1
xj = {0,1} (4)
де с- - затрати на проходження транспортним засобом маршруту j;
\\ якщо використовуетъся маршрут j
х-=\ ;
[ 0, такше
Ц якщо в маршрута j використовуетъся вершина /
a/j = \ •
[ 0, такше
Цшьова функцiя моделi мiнiмiзуе загальну вартiсть перевезень продукци вiд постачальника до споживачiв• Обмеження (2) означае, що задо-вольняеться попит вЫх споживачiв (тобто кожен споживач вщвщуеться тран-спортними засобами хоча б один раз). Обмеження (3) закршлюе лише один маршрут за кожним транспортним засобом.
Розглянемо бшьш детально побудову множини вЫх допустимих мар-шрутiв руху. Для цього потрiбно побудувати всi можливi маршрути руху транспортних засобiв; iз всiх маршрутiв, що проходять через одш i тi ж самi
пункти призначення, визначити той, тривалють якого е найменшою. Для кожного маршруту потрiбно визначити час руху, витрати та, очевидно, послщов-шсть про!зду пунк^в призначення.
Одним iз еташв побудови алгоритму розв'язку задачi, що розгля-даеться, буде знаходження уЫх можливих маршрутiв руху транспортних за-собiв. Нехай маемо певну сукупшсть споживачiв, причому мiж деякими з них задаш напрямленi комушкаци. Щ данi можна подати у виглядi графа. Цю ж iнформацiю, з метою полегшення подальшо! оброблення, можна представити у виглядi матрицi комушкацш, елементами яко! е кортежi виду (/, у), якщо ю-нуе шлях мiж пунктами / та у .
Тепер на основi матрицi комунiкацiй побудуемо допомiжну матрицю комунiкацiй, шляхом вщкидання в кожному кортежi першо! цифри.
Для опису матричного тдходу до побудови вЫх можливих маршрутiв руху бензовозiв потрiбно ввести поняття "спещального матричного множен-ня". Множення матрищ комунiкацiй на допомiжну матрицю комушкацш здшснюватимемо певною мiрою аналогiчно до звичайного множення мат-риць, а саме елемент а(2) матрицi комушкацш II порядку буде представляти
собою сукупшсть кортежiв, утворених доповненням /-то! стрiчки матрищ комушкацш вщповщними елементами у-того стовпчика допомiжно! матрищ комушкацш.
Таким чином, виконавши операщю спещального матричного множення матрищ комушкацш на допомiжну матрицю комушкацш, отримуемо матрицю комушкацш II порядку, в якш будуть мютитися вс можливi маршрути транспортного засобу через трьох споживачiв. Аналопчно помноживши матрицю комунiкацiй II порядку на допомiжну матрицю комушкацш, отримуемо матрицю комушкацш III порядку, що буде мютити вс можливi маршрути через чотирьох споживачiв. Поступаючи аналогiчно надалi, отримуемо матрицю комушкацш щораз вищого порядку, в якш будуть мютитися маршрути з бшьшою кшьюстю ланок. Оскшьки у сформульованiй задачi кiлькiсть ланок в маршрут обмежена величиною г+1, то необхiдно побудувати найбiльше матрицю комушкацш г порядку, i внаслщок одержимо з цих матриць вс можливi маршрути руху транспортних засобiв, що проходять через поста-чальника та г споживачiв (г+1 пункт). Основними перевагами матричного шдходу е його простота та здатшсть за вщносно невелику кiлькiсть iтерацiй знаходити ус можливi маршрути руху через задану кшьюсть пунктiв маршруту [6].
Наступним етапом пошуку множини допустимих маршру^в е вiдбiр допустимих маршру^в iз множини усiх можливих маршру^в (тобто iз всiх маршру^в, що мiстять матрицi комунiкацiй) за певними критерiями.
До таких критерив можуть належати вимога на цикшчшсть всiх мар-шрутiв, тобто вимога про те, що транспортний заЫб обов'язково повинен по-вернутися в пункт вщправлення. Логiчним буде накладання обмеження, що всi маршрути повинш починатися з нульово! вершини графа, тобто поста-чальника. Також може накладатися обмеження на сукупний попит уЫх пун-ктiв, що належать до маршруту, тобто не перевищення цим попитом емност транспортного засобу, тощо [5].
Для знайдено!' множини допустимих маршрутiв одержимо задачу ль нiйного програмування (1)-(4) з булевими змшними. Для розв'язання ще! за-дачi можна застосувати один iз вiдомих методiв теори цшочислового програмування.
Таким чином, шдсумовуючи, можна вiдзначити, що у дослщженш розглянуто основнi пiдходи до побудови маршрут1в руху транспортних засо-бiв, зокрема класичну транспортну задачу та li модифжаци, пiдходи на основi теори графiв, сучаснi пiдходи, що базуються на iнструментарii генетичних алгоритм1в, нейронних мереж та мурашиних алгоритм1в. Запропоновано ме-ханiзм пошуку множини допустимих маршрут1в, що базуеться на матричному пiдходi до пошуку вЫх можливих маршрутiв руху транспортних засобiв на заданiй транспортнiй мережь Запропонована модель оптимiзацii перевезень товарiв вiд постачальника до споживачiв дае змогу мiнiмiзувати затрати на транспортування товарiв у розподiльчих мережах, що мютять одного постачальника та декшькох споживачiв.
Л1тература
1. Ant colony optimization / Marco Dorigo, Thomas Shutze. - The MIT Press, 2004. - 305 p.
2. Poli R., Langdon W.B., McPhee N.F.. A field guide to genetic programming. Published via http://lulu.com and freely available at http://www.gp-field-guide.org.uk, 2008. (With contributions by J.R. Koza). - 236 p.
3. The Vehicle Routing Problem / edited by Paolo Toth, Daniele Vigo - Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002. - 367 p.
4. Вагнер Г. Основы исследования операций. - М. : Изд-во "Наука", 1972. - Т.1. - 336 с.
5. Головатюк М.П., Дацко М.В. Анашз алгоршмв пошуку множини допустимих мар-шрупв руху транспортних засоб1в // Економша Украши в умовах посилення глобал1зац1йних процеав: виклики i перспективи : матер. мхжнар. студентсько-астрантсько! наук. конф. -Льв1в, 15-16 травня 2009 р.
6. Головатюк М.П., Романич 1.Б. Автоматизащя пошуку уах можливих маршрупв руху спещашзованих транспортних засобiв iз n зупинками // Современные проблемы и пути их решения в науке, производстве и образовании : матер. мiжнар. наук.-практ. 1нтернет-конф. -Одеса, 2006 р. - С. 34-36.
7. Доналд Дж. Бауэрсокс, Дейвид Дж. Клосс. Логистика: Интегрированная цепь поставок. - 2-е изд. : пер. с англ. - М. : ЗАО "Олимп-Бизнес", 2008. - 640 с.
8. Кристофидес Н. Теория графов: алгоритмический подход / Н. Кристофидес : пер. Э.В. Вершкова, И.В. Коновальцева / под ред. Г.П. Гаврилова. - М. : Изд-во "Мир", 1978. -432 с.
9. Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. - Ч. 5: Алгоритмы на графах : пер. с англ. / Принстонский ун-т. - М. : Изд-во "ДиаСофт", 2001. - 483 с.
10. Уоссермен. Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика. - М. : Изд-во "Мир", 1992. - 118 с. _
УДК657.6 (075.8) Викл. 1.М. Горбан-Лшвськийутверситет внутрШтх справ
ТЕОРЕТИКО-МЕТОДИЧНА ПОСТАНОВКА ЗАВДАНЬ КОМП'ЮТЕРНО-ОРГСНТОВАНОГО АУДИТУ ШДПРИеМСТВА: ОСНОВН1 ПОЛОЖЕНИЯ, УЗАГАЛЬНЕННЯ I НАШРЯМКИ
Р1ШЕННЯ
Розглянуто узагальнеш теоретико-методичш положення постановки завдань аудиту тдприемств в умовах застосування комп'ютерних технологий. Ц положення
