CC BY
27
О.А. Шумейко
ЕКОНОМ1КО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РОЗВИТКУ ЗАЛ1ЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ УКРА1НИ
Постановка задачi. За останш роки матерiально-технiчне оснащення
залiзничного транспорту зазнало значного розвитку, що обумовило необхiднiсть аналiзу варiантiв розвитку та показниюв, якi визначають економiчну ефективнiсть цього розвитку.
Використання новггшх економжо-математичних методiв i моделей у системному mдходi до реалiзащi варiантiв розвитку залiзничного транспорту дозволить прийняти таке ршення, яке при реалiзацii вимагало б мЫмуму матерiальних i фiнансових витрат при найвищш ефективностi його
використання. Це
особливо важливо, враховуючи еконо-мiчнi негаразди в державi, а також той факт, що оснащення залiзничного транспорту здебшьшого багатовитратне i сягае десяткiв мiльйонiв доларiв США. Тому наукове обгрунтування витрат i жорстка економiя мае першочергове значення для пщвищення економiчноi ефективностi як ступенем вигщносп витрат.
Математичт методи, що використовуються для оптимiзацli складних економiчних систем. Залiзничний транспорт - це техшко-економiчна система, що складаеться зi складних пiдсистем, таких як шляхове господарство, рухомий склад,
iнформацiйне забезпечення, техшчш засоби та обладнання, кадрове забезпечення тощо.
Стан ще! системи - це комплекс техшчних параметрiв та елементiв техшчного оснащення при 1'х визначених технiко-економiчних значеннях. У
кожний момент часу система перебувае в одному з можливих сташв. Змiна хоча б одного з елемешив комплексу переводить систему в новий стан. Перехщ вщ одного стану до iншого вщбуваеться згiдно з правилами розвитку параметрiв, що характеризують стан системи, i дослiджуються в певному iнтервалi часу (рк, квартал, мiсяць).
Розвиток системи можна уявити як динамiчний процес послщовно! змiни станiв iз дискретним часом. У кожному сташ система може функщонувати, доки вона спроможна виконувати сво'1' функци у повному обсяз^ потiм система мае перейти в шший стан згiдно з планами розвитку. Такий перехщ е техшчно необхщним. Перехiд у техшчно досконалий стан вщбуваеться стрибком. Вш мае вщбутись у економiчно ращональш термiни, якi настають ранiше техшчно необхщних.
Методи оптимiзацii планових ршень, якi вiдповiдають дискретним, динамiчним, детермшованим процесам функцiонування систем, що
дослщжуються, базуються на
спрямованому пошуку оптимального рiшення, що забезпечуе одержання позитивного результату при мЫмальнш необхщнш кiлькостi спроб.
Вимоги до економшо-математичних моделей i методiв оптимiзацii розвитку технiко-економiчних систем залiзничного транспорту можливо реалiзувати шляхом:
визначення економiчно найбiльш доцШьно!' послiдовностi станiв i термiнiв 1'х здiйснення;
ISSN 1562-109X
визначення комплексу техшчних сташв, найбiльш доцшьних за даних конкретних умов;
ощнки варiантiв, близьких до оптимального зазначенням критерш.
На сьогоднi сформований спецiалiзований математичний апарат, що призначаеться для оптимiзащi рiзних складних систем, у тому чист економiчних. Широке коло задач може бути дослщжено за допомогою методiв математичного програмування або методами класичного математичного аналiзу. Цi методи е результативними у випадках, коли в процес розв'язання задачi е можливють виразу щльово'1 функцп в явному виглядi через параметри системи, в шшому разi реалiзацiя цих методiв стае дуже складною або взагалi неможливою.
Розглянемо докладнiше т труднощi, якi виникають при спробi використати для вирiшення поставлено'!' проблеми методи математичного аналiзу. Для використання класичних методiв необхiдно, щоб функщя-критерш явно була залежною вiд параметрiв системи. При незначнiй кiлькостi параметрiв можливо визначити декiлька схем розвитку системи. У цьому випадку задача планування багатоетапних процеав у принцит дозволяе отримати безпосередне ршення.
У випадку ж, коли цшьова функцiя мае багато аргумеш^в, а саме такий випадок характерний для реальних технiко-економiчних систем, виникае ряд труднощiв. Завдання розв'язання тако'! системи рiвнянь може бути устшно вирiшено тiльки в простих випадках. У деяких випадках розв'язання системи може бути взагалi неможливим.
Функци-критерп складно!' природи дають бiльшi набори можливостей, тобто в результат розв'язання системи рiвнянь маемо декшька коренiв. Для знаходження абсолютного мЫмуму необхiдно
випробувати всi комбшацп значень, яю були отриманi, що обумовлюе значну перешкоду для чисельного розв'язання. Навiть у тих рщких випадках, коли системи рiвнянь можливо розв'язати, знаходження абсолютного екстремуму потребуе цшо!' низки перевiрок, складнiсть яких пропорцiйна кiлькостi аргумеш^в функци.
У задачах оптимiзацii з багатьма змшними кiлькiсть усiх можливостей, що включають точки екстремуму, настшьки значна, що сама iдея перебору стае нереальною.
У задачах оптимiзацii, яю зводяться до комбiнаторних задач, загальна кшькють випадкiв зростае
експоненцiально зi зростанням кiлькостi змiн, що призводить до значних витрат часу на проведення розрахунюв навггь в умовах використання сучасно' комп'ютерно' технiки.
Використання апарату класичного аналiзу розв'язання задач оптимiзацii потребуе безперервно' змiни незалежних змшних. У деяких випадках е сенс використовувати безперервну змшу незалежних змшних як наближення до реально' дшсносп, однак таке згладжування серйозно вплине на точнють результа^в. Класичний аналiз базуеться на безперервнш змiнi незалежних змiнних. Це означае, що результати, отримаш класичним шляхом, будуть дуже чутливими до локальних змш.
Усе вищезгадане зводиться до визнання класичних методiв аналiзу та варiацiйного обчислювання
неефективними при розв'язанш бiльшостi задач планування та оптимiзацii. 1з наведеного аналiзу методiв оптимiзацii складних систем можна зробити висновок про необхiднiсть уведення нових математичних методiв чисельного розв'язання багатоварiантноi задачi оптимiзацii.
Сформульованим вимогам
вщповщае теорiя динамiчного програмування. 1дея методу динамiчного програмування полягае у тому, що пошук екстремуму функцп багатьох змшних замшюеться багаторазовим пошуком екстремуму
функцп одного чи невелико'1' кiлькостi змiнних. Динамiчне програмування е методом, що приводить до глобального оптимуму незалежно вщ кiлькостi локальних екстремумiв. Iсторiя динамiчного програмування тюно пов'язана з iменем Р. Беллмана, що зробив значний внесок у розвиток цього методу [1].
Подальшого розвитку ще'1' динамiчного програмування набули у роботах В.С. Мiхалевiча та Н.З. Шора [2,3]. Розроблений ними чисельний метод розв'язання багатоварiантних задач -метод послщовного аналiзу варiантiв -набув широкого використання при розв'язаннi задач оптимiзацГï складних економiчних систем.
Метод посл1довного анал1зу варгантгв. Розглянемо використання методу послщовного аналiзу варiантiв для чисельного розв'язання задачi оптимiзацГï.
В основi методу послщовного аналiзу варiантiв покладена щея представлення процесу розв'язання у виглядi багатокроково! структури подiбноï до структури складного випробування. Кожний крок пов'язаний з перевiркою наявносп тих чи шших властивостей у множинi або у окремих варiантiв, результатом реалiзащï кроку мае стати або скорочення початково'1' множини варiантiв, або пщготовка такого скорочення в майбутньому. Характерною рисою методу послiдовного аналiзу варiантiв е той факт, що у процес його реалiзацiï вiдбуваеться скорочення не тшьки множини можливих варiантiв, але
й множини випробувань, яю необхiдно провести для продовження результату пошуку.
При розв'язаннi варiацiйних задач використання методу послщовного анал> зу варiантiв базуеться на „принцип оптимальностГ, що був сформульований Р. Беллманом як основа задач динамiчного програмування. Принцип оптимальносп Р.Беллмана е особливим випадком методу послщовного аналiзу варiантiв, сформульований для монотонно-рекурсивних функцiоналiв.
Сформулюемо загальну схему реалiзацiï послiдовного пошуку рiшення. 1снуе множина iндивiдуальних об'ектiв Q = {© }, множина випробувань 3 = {а} та множина остаточних ршень Z = {z} . Кожне випробування а
характеризуеться множиною Ха = {ха }
сво'1'х можливих рiшень Ха. Задаемо сукупнють послiдовних обмежень Г на можливють реалiзащï випробувань:
- множина припустимих випробувань першо'1' стадп;
32Г - множина випробувань друго'1' стадп, припустимих пiсля реалiзащï ха1 випробування а1 е 31Г i т.д.
3Ll(Xаl,..., Жак ) - множина випробувань к +1 стади, припустимо'1' пiсля реалiзацiï ланЦюга Жак (к = 1,2,...).
Правило пошуку визначаемо як послiдовнiсть R функцiй, що були визначенi на множинi припустимих ланцюжюв результатiв випробувань вщповщно'1' довжини.
R = {z0,аl, Z1(Za1),a2(^a1);...;
Zk (%а1 ,..., Хак ), ак+ 1(Ха1 ,..., Хак )}.
функЦШ акAXa^..^ Жак ) показУе, яке випробування ( к +1 )-о'1' стадп необхiдно реалiзовувати згiдно з правилом R, якщо результати попереднiх
випробувань були %а ,...,%а . Функщя 1к (ха ,..., ) показуе, яке остаточне ршення приймаеться, якщо пiсля результатiв ха ,..., Ха1 випробування
припиняються.
Для порiвняння рiзних послiдовних правил вважаеться, що зв'язок мiж 3 i О юнуе у виглядi родини умовних iмовiрнiсних мiр.
де ха, . ., Ха1 - е Г -придатний ланцюжок
результатiв випробувань.
Ця умова включае i важливий особливий випадок, коли (1) приймае тшьки значення 1 та 0 (схема з детермшованими результатами
випробувань). При цьому як шдивщуальний об'ект С розглядаеться пара (Т, G), де Т - конкретне представлення функщоналу, G -конкретне представлення обмежень, а як випробування а розглядаеться перевiрка певно'1 властивостi варiантiв, що випливае зi структури функцiоналiв i структури обмежень множини О = {с } = {(Т, G)} (наприклад, перевiрка необхщно'! умови оптимальностГ). Саме такий особливий випадок iз детермiнованими результатами був названий схемою послщовного аналiзу варiантiв.
Таким чином, процеси оптимiзацii за наведеним методом полягають у послiдовностi операцш, у яких результат попереднiх операцш можна
використовувати для управлшня ходом майбутньо'! операци. Усi процеси, що розглядаються, мiстять послiдовнiсть виборiв, яку назвемо поведшкою чи стратегiею системи. Оптимальною стратепею системи вважаеться найбшьш бажана з точки зору критерш, що заданий.
Виходячи iз загальнох схеми сформулюемо схему послщовного аналiзу варiантiв. Нехай О = {с} -множина шдивщуальних об'ектiв, а Ж = {с} - множина об'екпв, яю будемо називати варiантами. Зв'язок мiж О та Ж визначений за допомогою заданоi сукупностi випробувань
3 = {а}системою обмежень Г, а саме: для кожного с е О i кожного випробування а е 3 однозначно визначений результат випробування %а = с(а), де результату Ха кожного випробування а вщповщае пiдмножина Ж% = %а [Ж], це
розповсюджуеться на будь-яку пщмножину V е Ж :
ХаМ = ЖХа П V .
Необхщно побудувати алгоритм пошуку, який дозволяе знайти при кожному С iнварiантну вiдносно сукупностi випробувань 3 пщмножину варiантiв
Ж* =Пс(а)[Ж ].
ае3
Схема послщовного аналiзу варiантiв для пошуку Ж* будуеться як послщовне правило R. Як множина остаточних ршень Z розглядаеться деяка множина пщмножин з w, побудована за сукупнютю {ЖХ }. Таким
чином, пошук Ж* вщбуваеться шляхом послiдовних виключень пiдмножин варiантiв. Ця схема особливо зручна у випадках, коли пошук Ж* проводиться шляхом перевiрки заданого списку необхщних властивостей, якi
задовольняють варiанти.
Для побудови достатньо простих обчислювальних процедур може бути використана властивють монотонно!' рекурсивностi функцii-критерiю.
Послщовнють векторiв В = (Ь0, Ь1, ..., ЬТ) будемо вважати траекторiею. Нехай задана множина припустимих траекторiй и , задача полягае у тому, щоб у цш множиш визначити траекторiю, на якш функцiя ТТ (В) приймае мЫмальне значення. Припустимо, що така траекторiя iснуе, тодi для чисельного розв'язання задачi оптимiзацii можна використати важливий особливий випадок методу послщовного аналiзу варiантiв - схему для монотонно-рекурсивних функцiоналiв, особливостi яких будуть ураховаш у процедурi пошуку оптимального варiанта.
Припустимо, е два вiдрiзки тPаектоPiй ВЦ) = (Ь°), b(11),..., ^) i
В(2) = (Ъ(2) , Ъ(2) , ..., Ц.2), i нехай
ЬК) = Ъ2) (2)
/к {Ъ(кд ¿К), /к _1{..., /К), ь(\),
/о(Ь(°1))]...} < /к {¿(К)"1, Ъ?ъ), (3)
/к _1{..., /1 [Ъ(2), ъ;2), /о (Ъ(2))]...} [Ък+1,..., Ът / Ъ(°1), Ъ((1),..., ЪК)] э
[Ък+1,...,Ът /Ъ(°2),Ъ((2),...,ъ(2)]
К+1 иТ / Ъ о Ъ1 ¿к т (4) (2) (2) (2)
тодi всi траекторГ!, що е продовжен-
ням вiдрiзку траектори варiанта
Ъ(°2), Ъ(2),..., Ъ(2), не можуть вести до
мЫмуму функцiю-критерiй i тому можуть бути виключеш з розгляду.
У (4) визначено, що множина вах траекторш В е и, у яких першими (к +1) координатами е вщповщно Ъ(°),Ъ(1),...,Ъ(1), накривае множину вах
припустимих траекторiй, у яких першими (к +1) координатами е вщповщно Ъ0 Ъ1 Ък
(2) (2) (2)
Якщо припустити, що будь-яке продовження вiдрiзка В(к.) призвело до
оптимального варiанта по мiнiмуму критерiю, а продовження е вiдрiзком
ъ*к+1,..., ЪТ,
то виходячи з умови (4), траекторiя Ъ(°1),..., Ък,, Ъ*к,..., Ъ*Т теж е припустимою, а з умов (2) i (3) i монотонно'! рекурсивносп функцiоналу Т випливае, що
Тт (Ъ(0),...,ък), Ъ*к +1,..., К) <
<Тт (Ъ(°2),...,Ъ(2), ъ*к+1,...,ъГ ).
А це не вщповщае тому, що Ъ(°2),Ъ(2),...,Ъ(к2),Ъ*к+1,...,Ъ*Т - оптимальна
траекторiя. Таким чином, для випадку монотонно-рекурсивно'! функцГ! алгоритм методу оптимiзацii можна визначити так: послiдовно збшьшуемо к та обчислюемо функцiю /к до ствпадшня умов (2), (3),
(4), вiдрiзок Ъ(°2),Ъ(2),...,Ъ(к2) iз подальшого
аналiзу виключаемо, вiдповiдно виключаеться множина невигiдних
траекторiй [Ък+1,...,ЪТ /Ъ(°2),...,Ъ(2)].
Змiст пiдходу схеми послiдовного аналiзу варiантiв до задач динамiчного програмування полягае у можливосп замiни розв'язання Т-кроково! задачi розв'язанням послiдовностi задач: починаючи з однокроково!, потiм двокрокову, (розмiрнiсть може зростати з кроком, рiвним одиницi) i до Т-кроково!.
Згщно з принципом оптимальностi Беллмана для розв'язання задач такого типу методом послщовного аналiзу варiантiв справедливо: колишня поведшка системи не повинна мати значення при визначенш майбутшх дiй. Якщо в процесi розв'язання з'ясуеться, що майбутнш розвиток системи залежить вщ минулого, то слщ додати до поняття стану системи параметри, вщ яких залежить розвиток системи. Наприклад, початковий стан, що змшився, але продовжуе впливати на систему в процеа !! розвитку, мае бути внесений у визначення стану системи як додатковий параметр.
Передумови та особливост1 використання методу посл1довного анал1зу варгантгв для оптим1заци
розвитку залгзничного транспорту. Як уже було зазначено, залiзничний транспорт е складною техшко-економiчною системою. Розвиток тако'1' системи можна розглядати як поступовий ïï перехiд з одного рiвня на iнший, бiльш високий техшчний рiвень. Капiтальнi вкладення е ресурсом, що шщше такий перехiд. У свою чергу бшьш високий техшчний рiвень системи обумовлюе або мае обумовлювати бiльш економний режим функщонування системи, тобто мiнiмiзувати витрати функщонування системи та максимiзувати ïï надходження у матерiальнiй формi. Виходячи з цього розвиток тако'1' технiко-економiчноï системи, як залiзничний транспорт, мае вщповщати таким вимогам: перевести систему на найбшьш високий можливий технiчний рiвень, використавши для цього мiнiмальний швестицшний ресурс. Обмеження iнвестицiйного бюджету розглядаемо як одне з обмежень системи.
Доведемо, що поставлена задача оптимiзацiï складноï системи, якою е залiзничний транспорт, може бути вирiшена методом послщовного аналiзу варiантiв. Задача оптимiзацiï розвитку залiзничного транспорту може бути представлена як Г-кроковий процес прийняття рiшень, де кожне рiшення, що приймаеться на К-му кроцi (К = 1,2,... Г), полягае у виборi одного чи декшькох значень керуючих змшних. При розглядi задачi, яка складаеться з К-кроюв, може бути задана певна множина параметрiв, що характеризуе стан системи, тобто параметрiв, якi впливають на значення керуючих змшних. Ця множина може бути задана таким чином, що вона буде характеризувати стан системи незалежно вщ кiлькостi крокiв. Таким чином, вибiр керуючоï змiнноï на К-му крощ не буде залежати вiд попередшх крокiв. Наведенi вище умови виконаш, тому задача може бути виршена методом послiдовного аналiзу варiантiв.
Розглянемо переваги використання методу послщовного аналiзу варiантiв при дослщженш розвитку залiзничного транспорту. При дослщженш подiбних систем важливим е визначення структури поведiнки системи. У бшьшосп випадкiв крiм оптимального значення
критерiальноï функцп для нас важливi значення, близью до оптимуму. Для отримання таких значень ми дозволяемо параметрам коливатися у певному припустимому промiжку та дослщжуемо чутливiсть оптимуму до подiбних коливань. Метод послщовного аналiзу варiантiв дозволяе провести такий аналiз та отримати таку шформащю, яка не може бути отримана шшими методами.
Наближенi до оптимуму поведшки, якi незначно вiдрiзняються вщ оптимуму, можуть бути важливими не менше за точ-не рiшення. Вони можуть бути навггь важливiшими за точне ршення у випадку, наприклад, необхщносп мати простi наближення у складнш ситуацп. Отримання таких оптимумiв також притаманно методу послщовного аналiзу варiантiв.
Використання методу послiдовного аналiзу варiантiв значно зменшуе час розрахункiв i вимоги до потужностi комп'ютерних систем, що здшснюють обчислення. Для розв'язання задачу що складаеться з 10 кроюв, мае бути
розглянуто 1010 варiантiв траекторiй, у
20
разi 20 крокiв - вже 10 варiантiв i т.д., очевидно, що експоненщальне зростання числа варiантiв по мiрi зростання розмiрностi процесу робить перебiр усiх випадкiв неможливим. Використання методу послщовного аналiзу варiантiв е бшьш ефективним шляхом, шж просте дослщження всiх випадкiв.
Висновок. Метод послщовного аналiзу варiантiв, що використовуеться для розв'язання задач оптимiзацiï розвитку техшчного оснащення залiзничного транспорту, може бути
використаний для виршення широкого кола багатоварiантних дослщжень за допомогою сучаснох комп'ютернох технiки з метою аналiзу впливу багатьох факторiв на вибiр оптимальноï траектори розвитку системи. Метод добре пристосований для врахування особливостей конкретних процесiв. Метод мае особливосп, якi роблять його використання найбшьш придатним для виршення поставленоï задачi.
Л1тература
1. Беллман Р. Динамическое программирование. - М.: Иностранная литература, 1960. - 400 с.
2. Михалевич ВС., Шор Н.З. Численное решение многовариантных задач по методу последовательного анализа вариантов. - М.: ЛЭММ АН СССР, 1962.
3. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение // Кибернетика. - 1965. - №1. - С. 45-56; №2. - C. 85-88.
