CC BY
102
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Григорян К.М.1, Гаспарян Н.З.2 Email: Grigoryan17130@scientifictext.ru
1Григорян Карине Микитовна - ассистент; 2Гаспарян Наира Зарнушевна - преподаватель, кафедра ИТ и естественных наук, Шушинский технологический университет, г. Шуши, Республика Армения
Аннотация: решение логарифмических неравенств, содержащих параметр, основанное на свойстве монотонности логарифмической функции, осуществляется путем перехода от искомого неравенства к равносильной системе неравенств без знака логарифма. На конкретных примерах проанализировано и исследовано решение неравенств с параметром в зависимости от значений параметра. Определяются контрольные значения параметра и рассматриваются случаи решения для этих значений, при этом использованы методы решения квадратичных неравенств с параметром.
Ключевые слова: неравенство, параметр, логарифм, система, квадратный трехчлен, анализ.
LOGARITHMIC INEQUALITY WITH A PARAMETER
12 Grigoryan K.M.1, Gasparyan N.Z.2
1Grigoryan Karine Mikitovna - Assistant; 2Gasparyan Naira Zarnushevna - Teacher, CHAIR OF IT AND NATURAL SCIENCES, SHUSHI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, SHUSHI, REPUBLIC OF ARMENIA
Abstract: the solution of logarithmic inequalities containing a parameter based on the property of the logarithmic function is carried out by moving from the sought inequality to an equivalent system of inequalities without the sign of the logarithm. The solution of inequalities with the parameter depending on the values of the parameter is analyzed and investigated on concrete examples. The control values of the parameter are selected and the cases of solution for these values are considered, while the methods of solving quadratic inequalities with the parameter are used.
Keywords: inequality, parameter, logarithm, system, square trinomial, analysis.
УДК 378.14
При решении логарифмических неравенств, содержащих параметр, освобождаются от знака логарифма путем равносильного перехода к системе неравенств.Наличие параметра в неравенстве предполагает анализ и исследование решений неравенства в зависимости от значений параметра. Следует определять контрольные значения параметра, т. е. те значения параметра, которые меняют вид неравенства и соответственно, множество решений исходного неравенства, и проводить исследование решения для этих значений.
Приведем примеры решения логарифмических неравенств с параметром из [1]- [3] ,которые помогут овладеть приемами и методами решения, сформировать первичные навыки исследования неравенств с параметром.
Пример 1. Найти все значения параметра с, при которых неравенство 1 + 1 о g 2 ( 2 х2 +2 х + 0 > 1 о g 2 (сх 2 + с) (1)
имеет решение.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
1 о g 2 2 ^ 2 х 2 +2 х + — ^ > 1 о g 2(сх 2 + с) Перейдем от последнего неравенства к равносильной системе и решим ее.
(4xz + 4х + 7 > cx¿ + с I сх2 + с > О
о
с)х2 + 4х + (7 - с) > О с > О
Рассмотрим следующие случаи.
Если 0 < с < 4, то первое неравенство системы, а значит, и сама система, всегда имеет решение. Таким образом, при данных значениях параметра исходное неравенство имеет решение.
Если с = 4 , то из первого неравенства системы получим: 4х + 3>0ох> - 0 . 7 5
То есть, в данном случае система, а значит, и исходное неравенство имеет решение.
Если с > 4 , то первое неравенство системы имеет решение при неотрицательном дискриминанте квадратного трехчлена . Таким образом, приходим к решению следующей системы:
f с>4 г с>4 о4<с<8
1с2 - 1 1 с + 2 4 < 0 0 f3 < с < 8 0 4 < с < 8
Значит, при 4 < с < 8 исходное неравенство также имеет решение.
Итак,, обьединяя все три случая, получим, что неравенство (1 ) имеет решение при 0 < с < 8 .
Пример 2. Найти все значения а, при которых решением неравенства является вся числовая прямая.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем Г 0 < а(а + 1) < 1 С а(а + 1) > 1
I | х | + 2 < а (а + 1 ) I | х | + 2 > а (а + 1 ) (2)
Решим первую систему совокупности (2).
Из второго неравенства системы, учитывая свойство модуля, имеем: 2 < | х | + 2 < а (а + 1 ) = а (а + 1 ) > 2 , что противоречит первому неравенству. Значит, данная система не имеет решения.
Найдем множество решений второй системы совокупности (2).
' -1-V5
а (а + 1) > 1 |х| + 2 > а (а + 1)
о
+ а - 1 > О > а2 + а- 2
о
а < ■
а >
2
-1+V5
|х| > а2 + а - 2
Модуль х для любого значения х больше квадратного трехчлена а2 + а — 2 , если квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Таким образом, следует решить систему:
а <
а >
-1-V5 2
-1+V5
о
а2 + а - 2 < О
а <
а >
-1-V5
( ^ -1-V54 ,-l+V5 ..
-i+Vs о а 6 (-2;—-—J U (—; 1)
-2 < а < 1
Итак, решением исходного неравенства является вся числовая прямая при
а 6
(- 2 .
Пример 3. Найти все значения а, при которых неравенство 2 + 1с^3(х2 + 1) > (ах2 + 5х + а) выполняется для любого значения х. Решение. Данное неравенство равносильно неравенству 1 о g з 9 (х 2 + 1 ) > 1 о g з ( ах 2 + 5 х + а) , которое, в свою очередь, равносильно следующей системе неравенств:
[9(х2 + 1) > ах2 + 5х + а
(. ах2 + 5х + а > О То есть, нужно найти все значения а, при которых системе неравенств
((а - 9)х2 + 5х + (а - 9) < О
(3)
удовлетворяет любое значение
При а = 9 первое неравенство системы (3) принимает вид 5 х < 0 , которое не выполняется для положительных значений
При а=0 второе неравенство системы (3) принимает вид 5 х > 0 , которое не выполняется для неположительных значений
При для первое неравенство системы (3) принимает вид
а — 9 < О.Значит, значение х = 0 не является решением данной системы, а значит, и исходного неравенства.
При а < 0 второе неравенство системы (3) для х = 0 принимает вид а > 0 , что противоречит неравенству а < 0 .Значит, х = 0 не является решением системы , а значит, и исходного неравенства.
При квадратный трехчлен неположителен для
любого значения , если его дискриминант неположителен, квадратный трехчлен положителен для любого х, если его дискриминант отрицателен. Таким образом, следует решить систему: ( 0 < а < 9 ( 0 < а < 9
] 2 5 — 4 (а — 9 ) 2 < 0 о I 2 а — 1 3 < 0 о 2 . 5 < а < 6 . 5 I 25 - 4а2 < 0 ( 2а - 5 > О
Итак, исходное неравенство выполняется для любого х при а 6 (2 . 5 ; 6 . 5 ] . Пример 4.Найти все действительные значения параметра а, при которых каждое решение неравенства 1 о glх 2>1 о gl (х + 2 ) является решением неравенства
49 х2 — 4а4 < 0 . 2 2
Решение. Найдем множество решений каждого из данных неравенств.
х + 2 > 0 ( х > —2
1 оglX 2>1 оgl (х + 2 ) о I х*0 о I х*0 о х 6 [ — 1 ; 0) и (0 ;2 ]
2 2 (х2 < х + 2 (-1 < х < 2
49 х2 — 4а4 < 0 о 49 (х — ^а2 ^х + ^а 2 ) < 0 о — а 2 < х <^а 2
Каждое решение первого неравенства будет являться решением второго неравенства при выполнении следующего условия:
Г, 7
I о| а >2°
-а2 >2 Уа2>1 7
а < — л/7 а>\П
Таким образом, требование задачи выполняется при а < — л/7-, а > //7 . Заключение.Для решения задач с параметрами не существует четкого алгоритма. Каждая такая задача имеет свои особенности и требует комплексного применения знаний, логического и обоснованного подхода. По решению логарифмических неравенств с параметром можно использовать следующие рекомендации:
- освобождаются от знака логарифма с помощью замены неравенства равносильной системой неравенств, содержащей, в основном, неравенства второй, либо первой степени;
- если параметр содержится в выражении старшего коэффициента квадратного трехчлена, следует рассмотреть случаи, когда старший коэффициент равен нулю , положителен и отрицателен;
- исходя из требования задачи, с учетом свойств квадратичной функции составляется система условий относительно параметра.
Список литературы /References
1. Старков В.Н. 165 задач с параметрами (в помощь абитуриенту) // Методические указания. СПб. Изд. СПБГУ, 2004. 25 с.
2. Геворкян Г.Г., Саакян А.А. Алгебра и начала анализа 12кл. Ер.:Тигран Мец, 2011. 208 с.
3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987. 240 с.
4. Вавилов В.В. Задачи с параметром. Квант, 1997. №5. С. 38-42.
