Исследование квадратных неравенств в зависимости от дискриминанта трехчлена Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

ИССЛЕДОВАНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ДИСКРИМИНАНТА ТРЕХЧЛЕНА

12 3

Останов К. , Абсаломов Ш.К. , Шукруллоев Б.Р.

1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, кафедра теории вероятностей и математической статистики;

2Абсаломов Шариф Кабулович - преподаватель;

3Шукруллоев Бектош Рабилло оглы - преподаватель, кафедра алгебры и геометрии,

Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье излагаются некоторые методические особенности изучения квадратичных неравенств и рассмотрение различных случаев решения таких неравенств в зависимости от дискриминанта квадратного трехчлена. Приводятся примеры по использованию различных случаев решения таких неравенств в зависимости от дискриминанта при изучении курса школьного курса алгебры. Ключевые слова: алгебра, линейное уравнение, линейное неравенство, упрощение, алгоритм, приведение подобных членов, группировка, изображение решения, поверка полученного решения, числовой промежуток.

В начале изучения квадратичных неравенств целесообразно предложить учащимся упражнения на нахождения дискриминанта неравенства, приведение его к удобному виду и равносильному неравенству. [1]

1. Найти дискриминант неравенства х2 - 7х + 10 > 0 .Найдем Б = Ь2 - 4ас = 49 -4-1-10 = 9.

2. Запишите неравенство в виде неравенства с положительным коэффициентом при х2 : - х2 + 5х + 7 > 0 . Умножим неравенство на (-1) получим требуемое неравенство (-1)(-х2 + 5х + 7 > 0) ;

х2 - 5х - 7 < 0.

3. Запишите неравенство равносильное данному при котором коэффициентом при х2 равно единице :- х2 + 3х - 5 > 0 Умножим неравенство на (-2) получим требуемое

неравенство -х2 - 6х + 10 < 0.

1. Квадратичные неравенства с положительным дискриминантом . Здесь рассмотрим неравенства 1) ах2 + Ьх + с > 0 ва 2) ах2 + Ьх + с < 0 при а > 0 и Б = Ь2 - 4ас > 0. При этих условиях можно разложить левую часть неравенства на множители и так как а > 0 , то неравенства 1) и 2) равносильно соответственно неравенствам (х - х^(х - х2) > 0 и (х -х})(х - х2) < 0, здесь х! и х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с. [2]

Учитывая, что нет возможности случая х! = х2, то так как Б > 0 изобразим корни х! и х2 и на координатной оси ( считая, что х! < х2,), и определим знак неравенства на каждом из промежутков (- да; хх), (х^ х2), (х2; + да) и запишем ответ . Ответ: для а > 0 изменения знаков +, -, + объясняется следующими причинами :1) если х > х2, то из неравенств х > х2 и х2 > х! вытекает х > х! Поэтому (х - х!)(х - х2) > 0; 2) ) если хг < х < х2, то из неравенств х < х2 и х > хг вытекает (х - х!)(х - х2) < 0 ; 3) если х < хь то из неравенств х > х2 и х2 > хг вытекает х < х2,отсюда (х - х!)(х - х2) > 0;

4. Решить неравенство: 0,5х2 - х < 0.

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству . х2 - 2х < 0 поэтому его можно переписать в виде х(х - 2) < 0 Его множество решений состоит из промежутка (0; 2) Ответ:. (0; 2).

I 46 |

5. Решить неравенство : 0,25х2 - 4х + 12 > 0.

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству х2 - 16х + 48 < 0 , его можно переписать в виде (х - 4)(х - 12) < 0 Его множество решений состоит из промежутка (4; 12) Ответ: (4; 12).

2. Квадратичные неравенства с дискриминантом равном нулю Здесь неравенства 1) ах2 + Ьх + с > 0 и 2) ах2 + Ьх + с < 0 рассматриваются при а > 0 и Б = Ь2 - 4ас = 0 , а также для решения неравенств применяются графический метод.

6. Существует ли значения х , при котором выражения принимают положительные значения а) -х2; в) (2 - х)2

Решение. а) Так как при произвольном значении х х2 > 0 , то при при произвольном значении х-х2 < 0. Поэтому не существует значения х, при котором -

х2 > 0.

в) Так как при произвольном значении х (2 - х)2 > 0 , то существует значения х при котором справедливо (2 - х)2 > 0 . Эти все значения х ^2.

7. Решить неравенства а) х2 - 4х + 4 > 0;в) х2 + 10х + 25 < 0.

Решение. а) Так как х2 - 4х + 4 = (х - 2)2, то для всех значений х кроме х = 2, это неравенство выполняется. Неравенство имеет решения . (- да; 2) ^ (2; + да) ; в) Так как при произвольном значении х

х2 + 10х + 25 = (х - 5)2 > 0 то неравенство х2 + 10х + 25 < 0 не имеет решений .

3. Квадратичные неравенства с отрицательным дискриминантом. Здесь рассмотрим неравенства 1) ах2 + Ьх + с > 0 и 2) ах2 + Ьх + с < 0

при а > 0 и Б = Ь2 - 4ас < 0 а также для решения неравенств[3].

8. Так как для неравенства 0,2х2 - х + 100 > 0. а = 0,2 > 0 и Б = 1 - 4 • 0,2 -100 < 0 , то произвольное значение х будет решением неравенства. Ответ. (- да; + да)

Список литературы

1. Алимов Ш.А. Алгебра: учебник для 8 кл.общеобразоват.учреждений/ Ш.А.Алимов. 10-е изд. М.: Просвещение, 2003. 255 с.

2. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1976. 96 с. (Б-чка физико-математической школы).

3. РурукинА.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс. М.: ВАКО, 2012. 352 с.

I 47 |