О методических особенностях изучения квадратичных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

О МЕТОДИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗУЧЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ Останов К.1, Абсаломов Ш.К.2, Шукруллоев Б.Р.3

1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, кафедра теории вероятностей и математической статистики; 2Абсаломов Шариф Кабулович - преподаватель;

3Шукруллоев Бектош Рабилло оглы - преподаватель, кафедра алгебры и геометрии, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье излагаются некоторые методические особенности изучения квадратичных неравенств и рассмотрение различных случаев решения таких неравенств в зависимости от дискриминанта квадратного трехчлена. Приводятся примеры по использованию различных случаев решения таких неравенств в зависимости от дискриминанта при изучении курса школьного курса алгебры. Ключевые слова: алгебра, линейное уравнение, линейное неравенство, упрощение, алгоритм, приведение подобных членов, группировка, изображение решения, поверка полученного решения, числовой промежуток.

В начале изучения квадратичных неравенств целесообразно предла-гать учащимся упражнения на нахождения дискриминанта неравенства, приведение его к удобному виду и равносильному неравенству. [1]

Пример 1. Найти дискриминант неравенства х2 - 7х + 10> 0 . Найдем Б = Ь2 - 4ас = 49 - 4 110 = 9.

Пример 2. Запишите неравенство в виде неравенства с положительным коэффициентом при х2 : - х2 + 5х + 7 > 0 . Умножим неравенство на (-1) получим требуемое неравенство (-1) (-х2 + 5х + 7 > 0) ;

х2 - 5х - 7 < 0.

Проимер 3. Запишите неравенство равносильное данному при котором

1 2

2) получим требуемое неравенство

-1 х2 + 3х - 5 > 0 | • (-2); х2 - 6х + 10 < 0.

2

1. Квадратичные неравенства с положительным дискриминантом. Здесь рассмотрим неравенства: 1) ах2 + Ьх + с > 0 ва 2) ах2 + Ьх + с < 0 при а > 0 и Б = Ь2 - 4ас > 0. При этих условиях можно разложить левую часть неравенства на множители и так как а > 0 , то неравенства 1) и 2) равносильно соответственно неравенствам (х - х^(х - х2) > 0 и (х -х})(х - х2) < 0, здесь х! и х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с. [2]

Учитывая, что нет возможности случая хх = х2, то так как Б> 0 изобразим корни хх и х2 и на координатной оси ( считая, что хх < х2,), и определим знак неравенства на каждом из промежутков (- ж; хх), (х^ х2), (х2; + ж) и запишем ответ . Ответ: для а > 0 изменения знаков +, -, + объясняется следующими причинами :1) если х > х2, то из неравенств х > х2 и х2 > х1 вытекает х > х1 Поэтому (х - х1)(х - х2) > 0; 2) ) если хг < х < х2, то из неравенств х < х2 и х > хг вытекает (х - х1)(х - х2) < 0 ; 3) если х < хь то из неравенств х > х2 и х2 > х! вытекает х < х2,отсюда (х - х^(х - х2) > 0;

Пример 4. Решить неравенство: 0,5х2 - х < 0.

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству х2 - 2х < 0 поэтому его можно переписать в виде х(х - 2) < 0 Его множество решений состоит из промежутка (0; 2) Ответ:. (0; 2).

коэффициентом при х2 равно единице: - — х2 + 3х - 5 > 0 Умножим неравенство на (-

Пример 5. Решить неравенство: 0,25х2 - 4х + 12 > 0. Решение. Данное неравенство равносильно неравенству

х2 -16х +48 < 0, его можно переписать в виде (х - 4)(х - 12) < 0. Его множество решений состоит из промежутка (4; 12) Ответ: (4; 12).

2. Квадратичные неравенства с дискриминантом равном нулю. Здесь неравенства 1) ах2 + Ьх + с > 0 и 2) ах2 + Ьх + с < 0 рассматриваются при а > 0 и Б = Ь2 - 4ас = 0, а также для решения неравенств применяются графический метод.

Пример 6. Существует ли значения х, при котором выражения принимают положительные значения: а) -х2; в) (2 - х)2

Решение. а) Так как при произвольном значении х х2 > 0 , то при при произвольном значении х-х2 < 0. Поэтому не существует значения х, при котором -

х2 > 0.

в) Так как при произвольном значении х (2 - х)2 > 0 , то существует значения х при котором справедливо (2 - х)2 > 0 . Эти все значения х ^2.

Пример 7. Решить неравенства а) х2 - 4х + 4 > 0; в) х2 + 10х + 25 < 0. Ечиш. а) Так как х2 - 4х + 4 = (х - 2)2, то для всех значений х кроме х = 2, это неравенство выполняется. Неравенство имеет решения

(- ж; 2) ^ (2; + ж) ; в) Так как при произвольном значении х

х2 + 10х + 25 = (х - 5)2 > 0 , то неравенство х2 + 10х + 25 < 0 не имеет решений .

3. Квадратичные неравенства с отрицательным дискриминантом. Здесь рассмотрим неравенства 1) ах2 + Ьх + с > 0 и 2) ах2 + Ьх + с < 0

при а > 0 и Б = Ь2 - 4ас < 0, а также для решения неравенств применяются графический метод [3].

Пример 7. Так как для неравенства 0,2х2 - х + 100 > 0. а = 0,2 > 0 и Б = 1 -4 • 0,2 -100 < 0, то произвольное значение х будет решением неравенства. Ответ. (ж ; + ж )

Список литературы

1. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1976. 96 с. (Б-чка физико-математической школы).

2. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике: Алгебра и анализ-М.: Наука, 1982.-192 с. (Б-чка «Квант»).

3. Задачи по математике. Уравнения и неравенства / В.В. Вавилов и др. М.: Физматлит, 2007. 248 а