Обучение учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами при подготовке к ЕГЭ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ

®2011 Гунашева М.Г.

Хунзахская СОШ № 2

Показана необходимость изучения темы «Уравнения и неравенства с параметрами» в школьном курсе математики, определяемая расхождениями между содержанием математического образования в курсе основной школы и требованиями, предъявляемыми к сдаче ЕГЭ.

The author of the article shows the necessity of studying the “Equations and Inequalities with Parameters» theme in the Mathematics school course, defined by divergences between the content of the Mathematical education in the basic school course and the requirements for taking ISE.

Ключевые слова: единый государственный экзамен, уравнения,

неравенства, параметр, логическое мышление, математическая культура; методы решения уравнений и неравенств с параметрами.

Keywords: Integrated State Examination, equations, inequalities, parameter, logic thinking, mathematical culture; methods of the solving the equations and inequalities with parameters.

Компьютеризация и внедрение современных информационных

технологий требуют математической грамотности человека на каждом рабочем месте, что предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления. Освещение отдельных, но мало разработанных разделов школьного курса математики составляет ценный вклад в методическую науку потому, что каждая из них дышит научной свежестью и будит творческую мысль.

Практика показывает громадный разрыв между содержанием школьной программы и теми требованиями, которые

предъявляются учащимся при сдаче ЕГЭ. Ликвидировать этот разрыв и подготовить учащихся к успешной сдаче ЕГЭ поможет научение школьников решению уравнений, неравенств и их систем с параметром. К задачам с параметрами, рассматриваемым в

школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров [1].

Рассматривать решения

уравнений и неравенств полезно тогда, когда формулируются некоторые общие свойства, присущие не одному конкретному уравнению или неравенству, а целому классу уравнений или неравенств. Можно сформулировать свойства корней квадратного уравнения ах2+Ьх+с=О,

показательного уравнения ах=О, тригонометрического уравнения sin со х=а в зависимости от параметров а, Ь, со [5].

При решении уравнений и неравенств с параметрами чаще всего встречаются две задачи: найти формулы для решения уравнений (неравенств), выражающие эти решения как функции от параметров,

исследовать решения уравнения (неравенства) в зависимости от изменения значений параметров. Очень часто исследование корней в зависимости от параметра можно провести, не вычисляя самих корней.

Умение решать задачи с параметром способствует коррекции базовых математических знаний, расширению и углублению знаний в вопросах исследования, развитию познавательных интересов,

творческих способностей,

логического мышления учащихся, научит школьников учиться

посредством личностноориентированного подхода,

воспитывает личность, умеющую самореализовываться и

интегрироваться в системе

математической культуры [2].

Обычно непривычность

формулировки задания ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач. Ведь задача с параметром предполагает не только умение производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также понимание цели выполняемых действий. Для решения таких задач необходимо рассматривать различные случаи, что приводит к внимательности и аккуратности. Задачи с параметром требуют довольно конкретных логических рассуждений. Каждое из заданий с параметром представляет для

учащихся небольшую

исследовательскую работу,

справившись с которой ученик

поднимается на одну ступеньку выше в своем понимании методов решения математических задач. Навыки решения уравнений и неравенств с параметром будут хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических

олимпиадах, а также необходимы ученикам для сдачи ЕГЭ.

Линейные уравнения и неравенства

Задание 1. Решить уравнение (а2-

1)х=а+1.

Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие

случаи:

1) о=1; тогда уравнение принимает вид 0х=2 и не имеет решений;

2) а=-1; получаем 0х=0, и

очевидно х - любое.

3) аФ±\ \ имеем х = —-— ■

а-1

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где

решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление

ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забывать отразить в ответе все этапы решения.

В рассматриваемом примере запись ответа практически повторяет решение.

Ответ. Если а=-1, то х - любое; если а=1, то нет решений; если

аф± 1, то х = — .

а-1

Задание 2. Решите при всех значениях параметра а неравенство

ах<Зх+2.

Решение. Перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые. Получим (а-3)х<2. Рассмотрим следующие случаи:

1) а=3, неравенство примет вид 0х<2. Это неравенство верно при любых значениях х, поэтому решением исходного неравенства при а=3 является промежуток (-

оо;+оо).

2) а Ф 3 . Для того чтобы выразить х, надо разделить неравенство на (а-3), при делении неравенства на выражение с параметром надо учитывать знак этого выражения, поэтому

?

при а<3 х>-------•

а-3 ’

2

при а>3 х<-------.

а-3

Ответ. а=3 хе(-оо;+оо);

а>3 х<—?—

а — 3

Квадратные уравнения и неравенства

Задание 3. При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х2+(4-2а)х+3=0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая а=2. Но при а=2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если аФ 2, то данное уравнение - квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра - это корни

дискриминанта. Однако

дискриминант обращается в нуль при а=2 или а=5. Поскольку мы установили, что а=2 не подходит, то а=5.

Ответ: а=5.

Задание 4. При каком значении параметра а неравенство х2-(2а-

1)х+(-4а-2)<0 выполняется для любого х из промежутка [-8;-5]?

Решение: Найдем корни

квадратного трехчлена: х^а+1 и х2=-2.

Их можно найти с помощью дискриминанта 0=(2а-1)2-4(-4а-

2)=(2а+3)2 и корни х = 2а~1±(2а + 3).

2

Эти же корни можно получить с помощью теоремы Виета, заметив, что (2а+1)+(-2)=2а-1, (2а+1)*(-2)=-4а-2.

Чтобы найти значения параметра, надо решить неравенство

—8<2а+1<-5. Имеем -9<2а<-6;

-4,5<а<-3.

Ответ: при ае[-4,5;-з].

Тригонометрические уравнения

Задание 5. Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение (а+4)соэх=а2-16 имеет хотя бы одно решение.

Решение: для нахождения соэх, делим исходное уравнение на а+4.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть а+ЛфО, тогда, разделив

обе части исходного уравнения на а+4, получим, что соэх=а-4.

|созх|<1, |а-4|<1, решая данное

неравенство, получим ае[3;5].

2. а+4=0, а=-4, тогда исходное уравнение примет вид 0*соэх=0. Его решением является любое значение х, для которого [соэ х| < 1.

Поэтому при а=-4 среди решений исходного уравнения найдутся такие решения, для которого [сОБХ < 1| .

Из решения обоих случаев

наименьшим значением является а=-4.

Ответ: а=-4.

Показательные уравнения Задание 6. При каких значениях параметра а уравнение

25х+0’5 - (5а + 2) • 10х + а • 4Х+0’5 = 0 имеет два различных корня?

Решение: преобразуем исходное уравнение 25х - 5- (5а + 2)-10х + а-4х - 2 = 0,

^ -5-(5а + 2)-^ +2а = 0,

КГ-МС'-о

( 5 У

Введем обозначение 1 — 1 =Ь>0;

5Ь2-(5а+2)Ь+2а=0, 0=(5а-2)2>0, это

неравенство выполняется для всех

2 2 1 Ь^а, Ь2=-\

учитывая Ь=а>0, получим ответ.

2 2

Ответ: а е (0;-)и(-;+оо).

Рациональные неравенства. Задание 7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

2-ах-х2

неравенство —----------< 3 будет

х — х +1

верным при всех значениях переменной X.

Решение: данное неравенство

равносильно неравенству 2-ах-х2<Зх2-Зх+Э,

4х2+(а-3)х+1>0.

Старший коэффициент

квадратного трехчлена положителен, поэтому квадратный трехчлен принимает только неотрицательные значения в том случае, если его дискриминант не больше нуля

0=(а-3)2-16=(а-7)(а+1).

Решим неравенство

(а—7)(а+1)<0, -1<а<7.

Ответ'. [—1 ;7].

Уравнения и неравенства с модулем

Задание 8.

Найдите все значения параметра

а, при каждом из которых уравнение 4х-|Зх-|х+а||=9|х-1| имеет хотя бы один корень.

Решение: запишем уравнение в виде |х-1|-4х+|Зх-|х+о||=0. Функция ^х)=9|х-1|-4х+|Зх-|х+о|| непрерывна и

1) неограниченно возрастает при х>1, так как при любом раскрытии модулей имеем:

1:(х)=9х-9-4х±Зх±х±а=кх+т, где к>9-4-4=1>0;

2) убывает при х<1, так как при любом раскрытии модулей имеем ^х)=—9х+9—■4х±3х±х±а=кх+т, где к<— 9—4+4=-9<0.

Следовательно, наименьшее значение функция f принимает при х=1 и уравнение ^х)=0 будет иметь

Очевидно, что если 0<а<2, то хе(-оо;+оо), если а >2, то

хе(-оо;Х1).

корень тогда и только тогда, когда

Решим неравенство |3-|1+а||<4

—4<|а+1|-3<4

|а+1|<7

-7<а+1<7,

-8<а<6.

Ответ: [-8; 6].

Некоторые задачи с параметрами могут быть легко решены с помощью исследования графиков функций.

Графический способ является и быстрым способом решения

уравнений и неравенств с параметрами. Решить уравнение

графически - это в одной и той же системе координат построить

графики двух функций и найти их точки пересечения: абсциссы этих точек и дадут корни уравнения.

Задание 9. Решить неравенство

2|х+1|>ах при всех значениях параметра а.

Решение: если а=0, то

неравенство примет вид: 2|х+1|>0, тогда х^-1.

Нарисуем графики функций

У1=2|х+1| и у2=ах в одной системе координат.

Решением исходного неравенства является множество значений х, для которой график первой функции выше графика второй функции.

Для а >0 возможны два случая:

Так как то найдем его,

решая уравнение 2(х+1)=ах. Тогда

(а<-2)

Тог^а, если -2<а<0, то

хе(-оо;х2)и(дс1;+оо), если а<-2, то х е (х1 ;+оо).

Значение х-| >-1 уже нашли. Значение х2<—1 найдем, решая уравнение -2(х+1)= ах. Тогда

-2

к2

ах+2х=-2. Следовательно,

X, = ■

а ■

9

Ответ: а<-2 хе(^—;+<»);

а-2’

—2<а<0 Хе (-оо;——) и (—-—;+оо);

а+2 а-2

а=0 хе (-оо;-1)и(-1;+оо) ;

0<а<2 хе(-оо;+оо);

а>2 со;—-—)■

а-2

Задания для самостоятельного решения:

1. При каких значениях параметра

а корнем уравнения (а-2)х=5

является число 5?

2. При каких значениях параметра

а уравнение ах2-х+3=0 имеет

единственное решение?

3. Для каждого значения

параметра а решить неравенство х2-(а-1)х+а>0.

4. При каких значениях параметра

а уравнение

4х - (2а -1) • 2х + а (а -1) = 0 не имеет решения?

5. При каких значениях параметра а уравнение соэ2х-5созх+а=0 имеет хотя бы одно решение?

(-2<а<0)

6. Найдите все значения

параметра а при которых

неравенство х выполняется

х+За-2

для всех х е [1;3].

7. При каких значениях параметра а уравнение 1оя2(х+4)(х + 2) = 0 имеет два различных корня?

8. При каких значениях параметра а, уравнение |х-3| + |х + 1| = а имеет

бесконечно много решений?

Заметим, что нет единого метода решения для всех уравнений с параметром или же для всех

неравенств, содержащих параметр. Решение каждого задания

представляет собой отдельное

исследование. Только однотипные

(одинаково устроенные) уравнения, неравенства допускают одинаковые методы решения [2].

Многолетний опыт работы в

школе показывает, что можно специально и не выделять часы на изучение темы «Уравнения и неравенства с параметрами». Изучение этой темы можно растворить во всем курсе алгебры, то есть при изучении той или иной темы решать уравнения, неравенства, содержащие

параметры. Рассмотрение этой темы способствует осознанному усвоению курса алгебры и начал анализа, так как ученику приходится

все время повторять ранее

изученные темы, вспоминать различные методы решения уравнений и неравенств. Такие

учащиеся расширяют и углубляют знания по математике, у них вырабатываются исследовательские навыки.

Примечания

1. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами. М. : Гимназия, 2002. 2. Гунашева М. Г., Мехтиев М. Г., Эскандаров А. А. Уравнения и неравенства с параметрами. Махачкала, 2010. 3. Колесникова С. И. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ по математике. М., 2005. 4. Мехтиев М. Г., Назаров А. Д. Уравнения, неравенства и задачи с параметрами. Махачкала, 2000. 5. Ястребинецкий Г. Н. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М. : Просвещение, 1986.

Статья поступила в редакцию 25.02.2011 г.