CC BY
116
УДК 378.02.1
Гунашева Муслимат Гунашевна
Учитель математики Хунзахской средней общеобразовательной школы № 2, тъЫта^ЩтаИ. ги, Хунзах
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ В РАЗЛИЧНЫЕ ГОДЫ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ
Gunasheva Muslimat Gunashevna
A teacher mathematicians Hunzahskoy average general school 2, [email protected], Huznah
THE EQUATIONS AND INEQUALITY WITH PARAMETER, OFFERED AT DIFFERENT YEARS IN TASK EGE
Единый государственный экзамен - это словосочетание знакомо сегодня едва ли не каждой семье, в которой есть школьник.
Одной из целей ЕГЭ является совмещение итоговой аттестации выпускников и вступительных испытаний для поступления в вузы. Еще одна из целей ЕГЭ - попытка улучшения качества образования в России за счет более высокой мотивации на успешное его прохождение.
Компьютеризация и внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека на каждом рабочем месте. Это предполагает конкретные математические знания и определенный стиль мышления. Освещение отдельных, но мало разработанных разделов школьного курса математики составляет ценный вклад в методическую науку, потому что каждый такой раздел дышит научной свежестью и будит творческую мысль математика. Практика показывает громадный разрыв между содержанием школьной программы по математике и теми требованиями, которые налагаются на учащихся при сдаче ЕГЭ. И поэтому особое внимание при подготовке к ЕГЭ следует обратить на задачи, содержащие параметр.
Задачи с параметрами представлены в ЕГЭ по математике в частях В и С. В части В, как правило предполагается определить значение параметра, при котором выполнено некоторое дополнительное условие для функции или выражения. В части С, при решении задач, предполагается сначала произвести определенные преобразования и упрощения, а затем проанализировать полученные выражения для определения нужных значений параметра. Появления таких заданий на экзаменах не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащихся и их математической культуры. Задачи с параметром предпо-
лагают не только умение производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также понимание цели выполняемых действий. В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно. При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене ученик был готов к полной самостоятельной работе.
На экзаменах прошлых лет в общеобразовательных школах Дагестана к решению заданий с параметрами редко какой ученик приступал. Дело в том, что в школьной базовой программе задачи с параметром практически не представлены, предлагая рассмотреть их факультативно. Непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать одним из критериев знаний основных разделов школьной математики, уровнем математического и логического мышления. И при подготовке к ЕГЭ мы старались особое внимание обратить на задачи с параметрами. Наш опыт показывает, что учащиеся при этом глубже усваивают многие разделы алгебры и начала анализа, сами стараются проявлять инициативу решения задачи, у них постепенно вырабатываются навыки решения этих сложных задач и заодно идет общее повторение школьного материала. Изучение решения задач с параметрами обеспечивает качество подготовки выпускников для поступления в вуз и продолжения образования, а также профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.
Далее приведем решения некоторых уравнений и неравенств с параметрами, предложенные в разные годы выпускникам школ в заданиях ЕГЭ.
Задача!. ЕГЭ-2008. Задание В.8.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
|1х| - 3 + а] = 4 имеет ровно три корня.
Решение: по определению модуля числа, только модули чисел 4 и -4 равны числу 4, поэтому получаем
1х| - 3 + а = 4 |х| — 3 -Ь а = —4-
\х\ = 7 - а. !х| = -1-а (2)
Уравнение 'х- = Е имеет два корня, если в>0, один корень, если в=0, не имеет корней, если в<0. Исходное уравнение имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда уравнение (1) имеет один корень, а уравнение (2) имеет два корня или (1) имеет два корня, а (2) имеет один корень:
[7 — а — 0 ( а = 7
1—1 - а > 0, 1а < -1,
Г 7 — а > О | а < 7
1—1 - а = О (а = —1
Решение в совокупности а=-1. Ответ: а=-1.
Задача 2. ЕГЭ - 2005. Задание С.5. Даны два уравнения:
4Х-Л 15х2 — (5р + 8)х — 4р = 0 и у х3 - 23р2 — 1 = - Зх.
Значение параметра р выбирается так, что р>-3 и число различных корней первого уравнения равно сумме числа р+2 и числа различных корней второго уравнения. Решить второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.
Решение: 1) рассмотрим первое уравнение и перепишем его в следующем виде: л/15д:- — (5р + 8)х - 4р = —4х
Функция y=V~ (5Р + 8)х “ 4Р возрастает, при достаточно больших х ее график может быть расположен выше прямой у=-4х. Линейная функция у=-4х убывающая, так как коэффициент перед х отрицательный. Поэтому число корней первого уравнения равно 0 или 1.
5/хЗ _ 73d 2 — 1 = —_Зх
2) рассмотрим второе уравнение v F р+з
Функция у~\/х3 - 23р2 - 1 возрастающая, график расположен в первой и третьей четвертях. Функция у=^ - Зх линейная, убывающая. Эти два графика пересекутся в одной точке, т.е. второе уравнение имеет один корень.
По условию 0=р+2+1, р=-3, не удовлетворяет условию р>-3;
1=р+2+1, р=-2 удовлетворяет условию р>-3.
При р=-2 второе уравнение примет вид: vx3 - 93 = 17 - Зх. Методом подбора находим решение этого уравнения х=5.
Ответ: х=5
Задача 3. ЕГЭ-2007 С.З
Найдите все значения параметра а для которых при каждом х из промежутка [2;4) значение выражения 1о9гх - 5 не равно значению выражения (a-2)bg2 х.
Решение:
1) Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие io^2X - 5 ^(а-2)1о8-х, f(t)^ г^е t=log2 х и f(t)-t2+(2-a)t - 5.
Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t)=0 не имело корней на промежутке [log2 2; log; 4)=[1;2).
ко тогда,
когда
2) График функции у=ОД (относительно переменной I есть парабола, изображенная на рисунке: ее { 2 і ветви направлены вверх, точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как ґ(0)=-5). Поэтому квадратный трехчлен ОДимеет
два корня ^-<0 и с2>о. Если 0<1<?2 , то іВД<0, а если ї>і2, то ОД> 0, поэтому уравнение ВД=0 имеет корень на промежутке [1;2) тогда и толь-
АО £ о
1- £2<2,
что равносильно системе
*2 + (2 - а) - 5 < О
/(2) > 0
3) Решим полученную систему: (2 2 + 2(2 - а) - 5 > 0,
| г л
(22 -г
Итак, уравнение ОД=0 не имеет корней на промежутке [1 ;2) для всех остальных значений а, т. е. тогда и только тогда, когда а < -2 или
Ответ: а < - 2, а - т •
Задача 4. ЕГЭ -2008 С.З.
Найти все значения параметра а, при которых множество решений неравенства х(х-6)^ (а + 3)(|х — 31 — 3) содержит число, равное сумме квадратов корней уравнения х2-4х+1=0.
Решение: пусть Х1 и х2 корни уравнения х~ ~ 4х ~ 1 = тогда
-Х1 +х2 = (Х1 + х2)*‘-2х1х2 = 16 — 2. = 14 по теореме Виета.
1) Х> 3; х(х - 6) < (а + 3)(х - 6), (х - 6)(х - (а 4- 3)) < О ЭТО значит, ЧТО либо Хб[а + 3;б1, если а > 3, либо хе|[6; а+3], если а > 3
2) X— 3, х(х - 6) < (а -г 3)(—х), х(х - 6 + а + 3) < 0, х(х 4а- 3) < 0; хе[0; 3 - а], если а < 3 или хе[3 - а; 0], если а > 3.
Множество решений неравенства содержит число 14, если а+3 >14, т. е. а> 11.
Ответ: [11;-Н»).
Задача 5. ЕГЭ- 2009 С.5.
Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение
(1,5р-7)*320>4х+0'2 + (29р - 154) » 0; 125Т + Цр -42 = 0 Имеет рОВНО 1 Ор-р2 - 24 различных корней.
Решение: так как 320>4лт0-2 = 2-Ат1 = 2 * 4х, 0.125 а = 2Л, то
(Зр - 14) * 4х + (29р - 154) * 2х + 11р - 41 = 0.
Пусть - > 0. Тогда получаем квадратное уравнение относительно I с параметром р: (Зр-14)£'-(29р-154)1+11р-41=:0 (*)
Значит, число п различных корней исходного уравнения не больше 2.
7 2
Если п=2, то по условию Юр-Р -24=2,р -10р+26=0, что невозможно, так как В=-4<0. Остаются случаи п-1 и п=0. Еслип=1,то 10р-р2-24=1, р2-10р+25=0, р=5. Тогда уравнение (*) примет вид t? - 9£ + 14 = 0, = 2, £2 “ 7. Так как
1=2-\то Х1 = 1» *2 = 1оо27- Поэтому п=2. Противоречит равенству п=1.
Если п=0, то 10р-Р“-24=0, р2-Юр + 24 = 0? р1 = 4, р2 = 6. При р=4 уравнение (*) примет вид -2г2 - 38г + 3 = 0. Ветви параболы направлены вниз, ось Оу она пересекает выше точки (0;0). Поэтому уравнение (*) имеет ровно один положительный корень ¿о и исходное уравнение имеет один корень х=1о§2^о. Значит, п=1. Противоречит равенству п=0.
Пусть р=6. Тогда уравнение (*) примет вид 4£2 + 20£ + 25 = 0, £ = -2,5. Так как ^2* > о5 то исходное уравнение не имеет корней. Значит, р=6 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 6.
Библиографический список
1. Гунашева, М. Г. Уравнения и неравенства с параметрами. [Текст]/ М. Г. Гунашева, М. Г. Мехтиев, А. А. Эскендаров. - Махачкала 2010.
2. ЕГЭ по математике КИМ 2005, 2007, 2008, 2009.
3. ЕГЭ - тренер. Решение задач с параметрами. 2009.
4. Мехтиев, М. Г. Уравнения, неравенства и задачи с параметрами.[Текст]/ М. Г. Мехтиев, А. Д. Назаров. - Махачкала, 2000.
5. Ястребииецкий, Г. Н. Уравнения и неравенства, содержащие параметр. [Текст]/ Г. Н. Ястребинецкий.// Издательство «Просвещение» 1986.
УДК 159.95-053.5
Чернецкая Надежда Игоревна
Кандидат психологических наук, доцент, заведующая кафедрой психологии Филиала Иркутского государственного университета в г. Ангарске, [email protected], Ангарск
ТВОРЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ КАК ЕДИНСТВО ПРОЦЕССУАЛЬНЫХ И ЛИЧНОСТНЫХ ПСИХИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
Chernetskaya Nadezhda Igorevna
Post-graduate student Irkutsk State University, Angarsk Brunch, [email protected], Angarsk
CREATIVE THINKING AS A UNITY OF PROCESS’
AND PERSONALITY’S PSYCHOLOGICAL COMPONENTS
В современной психологии не существует единой системы знания о творческом мышлении, что существенно затрудняет изучение его внутренней структуры. Однако все же можно условно выделить некоторый общий стержень, который при широком и всестороннем анализе литературы связывает воедино творческое мышление как выразителя личности и твор-
