Решение задач темы «Неравенства» школьниками Кировской области на ЕГЭ по математике в 2014 г. : от анализа ошибок к их предупреждению Текст научной статьи по специальности «Математика»

Но ведь именно такое, пришедшее из истории, но не стареющее под грузом лет содержание и составляет основу всякого образования. Пушкин, да и вся русская классическая литература, останутся основой нашего «гуманитарного» в широком смысле, то есть обращён-ного к человеку образования, пока будет жить народ, выросший из той же истории, того же языка, той же веры, тех же народных песен и сказок, что и наш поэт. Вне Пушкина и вступившего под его пером в пору цветения «сада русской культуры» не может быть в России ни образования, ни творчества, ни свободной личности. Вспомним Достоевского, говорившего, что Пушкин - это русский человек, каким он, может быть, станет через двести лет. Двести лет после Пушкина уже прошли, а мы вряд ли приблизились к совершенству его духа. Впрочем, каждый читатель в меру внимания и чуткости своей души всё же приближается к нему по ступенькам каждой из строчек его вечной поэзии.

Внимание В. В. Розанова к русской литературе, сохранявшееся на протяжении всей его творческой жизни, перекликается с теми высокими оценками свободного чтения, роли книги в образовании и духовной жизни человека, которые рассыпаны и по страницам других произведений мыслителя.

Примечания

1. Розанов В. В. Опавшие листья. Короб второй и последний // Розанов В. В. Уединённое / сост., вступ. ст., коммент., библиогр. А. Н. Николюкина. М.: Политиздат, 1990. С. 206. Далее ссылки на это издание даются в тексте в круглых скобках с указанием страниц.

2. Василий Розанов в контексте культуры. Кострома: Костром. гос. ун-т им. Н. А. Некрасова, 1999.

С. 21.

3. Там же. С. 160.

Notes

1. Rozanov V.V. Opavshie list'ya. Korob vtoroj i poslednij [Fallen leaves. The second and last box] // Ro-zanov V.V. Uedinyonnoe - Secluded / comp., introd. art., comm., bibliogr. A. N. Nikolukina. Moscow. Politizdat. 1990. P. 206. Further references to this edition are given in the text in parentheses with the page.

2. Vasilij Rozanov v kontekste kul'tury - Vasily Rozanov in the context of culture. Kostroma. Kostrom. State University of N. A. Nekrasov. 1999. P. 21.

3. Ibid. P. 160.

УДК 37.016:51+371.27

М. Ю. Здоровенко, Н. А. Зеленина, М. В. Крутихина

Решение задач темы «Неравенства» школьниками Кировской области на ЕГЭ по математике в 2014 г.: от анализа ошибок к их предупреждению

В предлагаемой статье рассмотрены различные способы решения показательного и логарифмического неравенств, которые применялись учащимися на ЕГЭ по математике в 2014 г. Приведены некоторые статистические данные по успешности выполнения задания С3 как по Кировской области, так и, в целом, по стране. Авторы, имеющие большой опыт проверки экзаменационных работ, анализируют типичные ошибки и затруднения учащихся при использовании различных способов решения. Во второй части статьи рассмотрены некоторые методы решения неравенства, представленного в проекте Демоверсии контрольно-измерительных материалов ЕГЭ 2015 г. по математике. Материалы статьи предназначены, прежде всего, учителям математики, работающим в старших классах, а также старшеклассникам. Они позволят более эффективно организовать обучение решению логарифмических и показательных неравенств, предотвратив возможные ошибки и недочеты.

The article is devoted to the analysis of various ways of the solution of indicative and logarithmic inequalities which were applied by school students at the Unified State Examination in mathematics in 2014. Some statistical data on success of performance of a task C3 by school students of the Kirov region are provided in article.Authors have a wide experience of check of examination-papers and analyze in article typical

© Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В., 2014

mistakes and difficulties of pupils when using various ways of the solution of inequalities.In the second part of article various methods of the solution of an inequality from model of the Unified state examination in mathematics of 2015 are considered. Materials of article will be useful to mathematics teachers and pupils of the senior classes and will allow to prevent mistakes at the solution of inequalities.

Ключевые слова: математическое образование, неравенство, система неравенств, различные способы решения неравенств, Единый государственный экзамен по математике.

Keywords: mathematics education, inequality, system of inequalities, different ways of solving inequalities, the Unified state exam in mathematics.

Линия уравнений и неравенств является одной из ведущих содержательно-методических линий школьного курса математики. Традиционно при ее освоении наибольшие затруднения у учащихся вызывает решение неравенств. Тема «Неравенства» богата по содержанию, по способам и приемам решения, по возможностям применения при рассмотрении других разделов школьного курса математики. С теоретической точки зрения важно изучение наиболее широко использующихся классов неравенств, овладение обобщенными понятиями и методами, относящимися как к отдельным классам, так и к линии в целом. В то же время изучение неравенств имеет прикладную направленность. Неравенства являются математическими моделями многих процессов и явлений, служат средством оценки, сравнения, ограничения при решении задач практического содержания. Отметим также, что именно при решении неравенств наиболее эффективно может быть использован наглядно-графический метод как на координатной прямой, так и на координатной плоскости.

В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения Единого государственного экзамена по математике указано, что учащиеся должны уметь решать рациональные, показательные, логарифмические неравенства и их системы. В последние годы в модели контрольно-измерительных материалов соответствующие задания содержатся как в части В (В12), так и С (С3 - повышенный и С5 - высокий уровни сложности). Неравенства используются учащимися и при отборе корней тригонометрического уравнения, принадлежащих заданному промежутку (задача С1 - повышенный уровень сложности).

В 2014 г. в задании С3 требовалось решить систему, состоящую из логарифмического и показательного неравенств. Эти классы неравенств изучаются в школьном курсе математики последними, вследствие чего именно здесь происходит синтез всей рассматриваемой линии: от решения простейших линейных неравенств до применения специальных приемов и обобщенного метода интервалов. Опыт работы со школьниками показывает, что задачу С3 решают практически все учащиеся, претендующие на поступление в технические и престижные экономические вузы, поскольку алгебраическая составляющая в успешности выполнения заданий доминирует над геометрической даже у учеников с весьма высоким уровнем подготовки [1]. По данным Центра оценки качества образования Кировской области, к решению задачи С3 приступило около 35% школьников, что говорит об определенной подготовке по этой теме (к решению задачи С4, например, приступило порядка 7%, С5 - 4% выпускников). Однако дать хотя бы частичное решение системы неравенств, а тем более решить ее полностью удалось далеко не всем. Так, по данным статистики, один первичный балл за решение задачи С3 (обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы) получили 22,12% учеников, приступивших к решению, два балла (обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы) - 1,44% школьников. Полных три балла за решение этой задачи (обоснованно получен верный ответ) выставлены 6,14% решавших [2]. Средние показатели по стране соответственно равны 34, 12,1, 1 и 4,1%. В целом, выполнение задания С3 в 2014 году оказалось более успешным, чем в 2012 и 2013 гг., причем у учащихся с разным уровнем подготовки [3].

Опыт проверки развернутых ответов участников Единого государственного экзамена по математике показывает, что выпускники владеют различными методами решения неравенств, в том числе и выходящими за рамки школьной программы. Вместе с тем можно выделить типичные ошибки и затруднения учащихся при использовании различных способов решения неравенств. Обратимся к анализу этих ошибок на примере решения системы [4].

— л:) < О,

-6х-200 < д

Для решения логарифмического неравенства данной системы учащиеся выбирают следующие способы: расщепление неравенств, метод интервалов, метод рационализации. Рассмотрим их по порядку.

I. Переход к совокупности двух систем (расщепление неравенств)

ГП-дЛ

¿х+5*

< 0 «

.Г

Решим систему (1) совокупности:

п1—х>1, т*<ю, I х + 7 > 1

0 < 11 - Л- < 1,

х + 7 < 1, а + 7 > О 'х + 5> 1, 9-х< 1, \9-Х> О гО < х + Б < 1,

1 9-х>1

х € (-5; -4) У

■X > -6

10 < х- < 11, х < -б, \х > -7 х > -4, х > 8, х <9

—5 <х< -4, х < 8

(х-

<=> <

и

б < х < 10, £0

8 < х < 5 <х <

9, -4

Решим систему (2) совокупности: (2)

11-1 > 1, х + 7 < 1, х + 7 > 0 0 < 11 - эг < 1Д

х + 7 >1 х + В> 1,

9-х > 0

Таким образом, х Е (—5; —4) и [8; 9)-

Переходом к совокупности двух систем в качестве способа решения логарифмического неравенства такого типа воспользовались порядка 40% решавших. Этот способ требует от выпускников:

- знания свойств логарифмов и логарифмической функции;

- умения решать простейшие рациональные неравенства и их системы, находить объединения и пересечения множеств;

- понимания логической структуры решения и равносильности переходов.

Основным недостатком данного способа является его громоздкость. В то же время верно доведенное до конца решение показывает достаточно высокую математическую культуру учащихся. Обратим внимание на то, что при этом решении не требуется специально находить область допустимых значений переменной х, однако понимают это далеко не все ученики. Выписывание на первом шаге лишних условий в системе так же, как и отсутствие в записи решения значков равносильности и следствия, можно, на наш взгляд, не считать суще-

ственным недостатком. Основные ошибки учеников связаны с неверным раскрытием комбинаций совокупностей и систем, выбором ответа в случае пересечения и объединения множеств, включения-невключения в ответ концов промежутков в соответствии со строгостью-нестрогостью знака неравенства. Заметим, что использование вместо значка совокупности союза «или» при записи решения неравенства значительно уменьшает количество логических ошибок.

Решение может быть существенно короче, если сначала найти область допустимых значений переменной х и заметить, что один из множителей на этом множестве всегда положителен.

Область допустимых значений х определяется из системы:

{11 -х> О, 11 - л: * 1,

х+ 7 > О, х + 5 > О, х + 5 Ф 1, ^9-х>0.

(X < 11,

* Ф 10,

* > -?,

х > -5, х Ф -4,

^х<9.

« А" £ (-5;-4)и

При этих значениях переменной х11 — х > 2 > 1 в области допустимых значений.

Отсюда,

Следовательно,

; +

для того чтобы

1 — х) < 0, достаточно, чтобы ,

выполнялось неравенство

9 - V.: £ С в области допустимых

значений исходного неравенства. Решим последнее неравенство:

1 - х) < 0 <=>

(х + 5 > 1 \9-х< 1 [9 - х > 0 го < X + 5 < 1 I 9-х> 1

х > -4 х > 8

х < 9 <=>

Г-5 < X < -4 I х < 8

8 < х < 9 -5 < х < -4'

Таким образом, х е (-5; -4) и [8;9),

Неравенство 1одх+ъ(9 — д;) < 0 может быть также решено с помощью рационализации (см. далее).

Этим способом рассуждений воспользовались примерно 10% учащихся, приступивших к решению.

II. Метод интервалов

Рассмотрим функцию у =

+

- :. Ее область определения совпа-

дает с областью допустимых значений неравенства: % £ (—5;—4)и (—4;9) На этом множестве рассматриваемая функция является непрерывной. Найдем нули функции:

х + 7 = 1,

9 — х = 1, <=>

.

<= А' =

Определим знак функции в каждом промежутке ее области определения:

и

Если * = 8,5 то у(8,5) = 1од2Ъ 15,5 • io013,3O,5 < О,

если х = —4,5 то у(—4,5) = log 1ЪЪ2,5 • 1од0 З13,5 < 0.

Таким образом, решениями неравенства являются % еС-5; —4)и [8: 9).

Применение метода интервалов требует от участников экзамена:

- знания определения и свойств логарифмической функции;

- владения понятием нуля функции;

- умения решать простейшие рациональные неравенства, их системы и совокупности, находить объединения и пересечения множеств; сравнивать значения «невычисляющихся» логарифмов;

- понимания сути метода интервалов и его отдельных этапов.

Этот способ решения логарифмического неравенства выбирали порядка 30% выпускников.

Основная ошибка учащихся состоит в расстановке знаков на числовой прямой (после решения уравнений loglt_x(x + 7} = 0 и logx+s{9 — t) = 0) без учета области определения

функции. В результате функция «получает» знак на промежутках, в которых она не определена. Причиной этого является формальное выполнение шагов метода интервалов без понимания его сути, слабое владение понятием «нуль функции». В качестве наиболее распространенных ошибок отметим также «автоматическое» чередование знаков, потерю одного из ограничений на основание логарифма при нахождении области определения функции, несоответствие между изображением концов промежутка на числовой прямой и записью этого промежутка.

III. Метод рационализации (декомпозиции, замены множителей)

В последнее время этот метод решения неравенств получил достаточно широкое распространение, хотя в школьных учебниках он, как правило, не рассматривается. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при котором неравенство G(x) V 0 равносильно неравенству F(х) V 0 в области определения выражения F(x) (знак v в данном случае заменяет один из знаков >; <р >р <).

Короткое и практически безошибочное решение получили те школьники, которые ра-

ционализировали произведение логарифмов, зная, что знак выражения ласти его допустимых значений совпадает со знаком выражения — В нашем случае

в об-

ill-JC*

; +

£ С-

Областью допустимых значений переменной является объединение промежутков

В области допустимых значений логарифмическое неравенство равносильно следующему рациональному неравенству

+

решение которого методом интервалов имеет вид:

С учетом области допустимых значений логарифмического неравенства получаем

Отметим, что некоторые выпускники для решения логарифмического неравенства применяли метод рационализации в комбинации с расщеплением неравенств, то есть осуществляли переход:

'11 —Л''

; +

Гх* 51

< 0 <=>

К

У Л + 51

■ + 7) > О

■ + 7} < О

и далее рационализировали каждое из четырех неравенств, исходя при этом из того, что знак логарифмической функции в ее области определения совпадает со знаком соответствующего рационального выражения (знак выражения 1одд/ совпадает со знаком выражения

:. ¡V - ,1, : :■' - I в области определения логарифмической функции).

Рационализацию для решения логарифмического неравенства выбирали примерно 20% учащихся из числа приступивших к решению.

Обратим внимание на то, что в 2014 г. для решения логарифмического неравенства учащиеся значительно чаще использовали методы интервалов и рационализации, что, на наш взгляд, и повлияло на более успешное решение неравенства, по сравнению с 2013 г.

Перейдем ко второму неравенству рассматриваемой системы. Показательное неравенство — 0,12Ъ2з^~6х~200 < О вызвало у участников экзамена гораздо меньше затруднений. В основном, выпускники приводили степени к одному основанию, а затем использовали свойство монотонности показательной функции.

- 18л' + 120 < -6т2 + 18г + 600 х2 - Зх - 40 < 0.

- 36а -480 < 0

Решениями последнего неравенства являются .V Е [—5; 8],

Некоторые учащиеся использовали для решения метод рационализации, исходя из того что знак выражения — ^ (¡г > 0 ) в области его допустимых значений совпадает со знаком выражения (Ц — !)(/— В нашем случае:

) 18д"+12 0

— 2

-612 + 18д-+600

< 0 « (2 - 1)(12*г - 36а; -

<0

на множестве действительных чисел.

Основным недостатком в записи такого решения являлась потеря первого множителя (это является недопустимым, хотя при решении рассматриваемого неравенства получается правильный ответ) либо отсутствие обоснования того, что этот множитель не влияет на знак произведения.

Итак, решениями первого неравенства рассматриваемой системы являются х Е (—5;—4) и [8; 9), второго неравенства - % е [—5;8], а решениями системы неравенств -

Отметим, что обучение различным методам решения неравенств на сегодняшний день является весьма актуальным, поскольку дает учащимся гораздо больше возможностей в решении задач. От этого напрямую зависит успешность прохождения ими различного рода аттестаций. Модель контрольно-измерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 г. на профильном уровне предусматривает решение неравенства в части 2. Эта задача, как и в предыдущие годы, относится к задачам повышенного уровня сложности и оценивается теперь двумя первичными баллами.

В проекте Демоверсии контрольно-измерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 г. по математике [5] в качестве примера приводится следующее логарифмическое неравенство:

)х-11

+ 2

- 2х +

Наиболее сложным в решении этого неравенства является преобразование произведения логарифмов в левой части. В демонстрационном варианте существенное упрощение получено на основе использования основного логарифмического тождества с указанием ограничений, когда его можно применять:

+ 2

Ух-1

Лх + 2>

при условиях х > 1 и х Ф 2- Далее:

' { я + 2> 0,

При х > 1 неравенство х ■+■ 2 > 0 можно опустить. Получается система

(х2 + 4г+4 > 10- х, ( 10-х>0,

откуда х < —6 или 1 < х < 1С-

Далее, с учетом х > 1 и % ф 2 получаем х Е (1; 2) и (2;10>

Наш опыт проверки работ участников ЕГЭ позволяет предположить, что предложенный разработчиками путь решения школьники, скорее всего, не выберут.

Рассмотрим наиболее ожидаемые способы рассуждений учащихся при решении этого неравенства.

Найдем область допустимых значений переменной х: х* + 2 > 0, (х>-2,

х-1*1, <=> < Л- * 2, <=>х е С1;2)и(2;10)' ;*-1)г>о, л-*1. ю - ж > о Ц- < ю

Преобразуем неравенство к виду:

9х-1'

+ : : +

Ах-1\-

Учитывая, что в области допустимых значений неравенства |дт — меняя формулу перехода к новому основанию, получаем

= 1- 1, и при-

+:

>0;

, далее,

6с+2)г

По свойствам логарифмов

* гй-х 10—г 10—д:

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем

я £ (—со;—б] и [1;10> С учетом области допустимых значений решениями неравенства являются

X £

и

Источником ошибок при таком решении является ситуация с переходом ■ ' ■ ; . 5 1 :. Одни учащиеся не записывают логарифм с моду-

лем подлогарифмического выражения и ничего при этом не объясняют. Другие - начинают раскрывать модуль по определению, что существенно удлиняет решение и приводит к новым ошибкам. Ошибочным часто бывает и решение неравенства £х — I)2 > 0 при нахождении области допустимых значений.

Некоторые ученики могут привести и более лаконичное решение, а также воспользоваться обобщенным методом интервалов. Приведем эти рассуждения.

1х-1

+ 2

2х + 1} >

Областью допустимых значений переменной являются л € (1;2) и На этой области справедлива цепочка равенств:

— 1 "I2 —

\х-1\ =

Далее получаем

-{хТг-21

■ +

+ 2 = 21од3у/х + 2 =

Таким образом,

х2 + 5х -6>0;х £{-«;

|и[1;

Отсюда, с учетом области допустимых значений х £ (1; 2) и (2; 10}

Заметим, что появления логарифма со знаком модуля можно избежать, если при найденной области допустимых значений рассуждать следующим образом:

,-0-3

Далее решаем соответствующее квадратное неравенство и с учетом области допустимых значений получаем ответ.

Решение неравенства обобщенным методом интервалов имеет следующий вид. Рассмотрим функцию

непрерывную на области определения. Ее область определения находится из условий:

2 > О,

х-1*1, <=>* е (1;2)и (2;10)' 10-* > 0

Найдем нули функции, решив на области определения уравнение

к_ J т/.t' + 2

Jx-1

ix-

+

Так как на области определения % — 1 > 0, то |я' — 1| = А' — 1, и последнее уравнение равносильно уравнению 21од3{х + 2) = 1одъ{ 10 — х) или уравнению (д- + 2}г = 10 — х, корни которого не принадлежат области определения функции у.

Рассматриваемая нами функция не имеет нулей. Определим ее знак в каждом промежутке области определения:

Если x = 7, то

,36-

,з =

.36

,3=2

1 4

- > 0, если %= -, то

2 3

Таким образом, х £ (1; 2) и {2; 10].

Рассмотренные выше способы решения неравенств и типичные ошибки выпускников помогут учителям более эффективно организовать работу по обучению решению логарифмических и показательных неравенств, подготовке к итоговой аттестации.

Примечания

1. Ященко И. В., Семенов А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания математики, 2014 г. URL: http://www.fipi.ru/sites/default/files/ document/1413876128/metod_rekom_math_2014.pdf

2. Результаты Единого государственного экзамена в Кировской области в 2014 году: стат. сб. // КОГБУ Центр оценки качества образования. Киров, 2014.

3. Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике // Концепт. 2014. № 10. ART 14296. URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm

4. Единый государственный экзамен по математике: типы заданий части С: сб. задач. URL: http://alexlarin.net/ege/2014/050614_1.html

5. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 года по математике. (Проект). URL: http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory

Notes

1. Yashchenko I. V., Semenov, A. V., Vysotsky I. R. Metodicheskie rekomendacii po nekotorym aspektam sovershenstvovaniya prepodavaniya matematiki, 2014 g [Methodical recommendations on some aspects of the improvement of mathematics teaching, 2014] Available at: http://www.fipi.ru/sites/default/files/ document/ 1413876128/metod_rekom_math_2014.pdf (in Russ.)

2. The results of the Unified state exam in the Kirov region in 2014: stat. proc. // Kirov Regional State Budgetary Establishment Center for education quality assessment. Kirov. 2014.

3. Zdorovenko M. Yu, N. Zelenina N. A., Krutikhina M. V. Tipichnye oshibki i zatrudneniya shkol'nikov pri reshenii neravenstv razlichnymi sposobami na Edinom gosudarstvennom ehkzamene po matematike [Common mistakes and difficulties of pupils when solving inequalities in different ways on the Unified state exam in mathematics] // Koncept - Concept. 2014, No. 10, ART 14296. Available at: http://e-koncept.ru/ 2014/14296.htm

4. The unified state exam in mathematics: types of tasks of part C: collection of tasks. Available at: http://alexlarin.net/ege/2014/050614_1.html (in Russ.)

5. Demo version control and measuring materials of the Unified state examination in 2015 in mathematics. (Project). Available at: http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory (in Russ.)

УДК 165

М. П. Позолотина

Проблема задания норм физического мышления при дистанционном обучении физике

В статье обозначена проблема задания и освоения норм физического мышления в системе дистанционного образования. В первом приближении построено теоретическое основание для формулирования норм современного физического мышления для целей образования. На этой основе выполнено поисковое экспериментальное дидактическое исследование. В итоге определена система работы по совершенствованию содержания дистанционного физического образования.

In article the problem of a task and development of norms of physical thinking in system of remote education is designated. The theoretical basis for a formulation of norms of modern physical thinking for education is as a first approximation constructed. On this basis pilot didactic study is executed. As a result the system of work on improvement of the content of remote physical education is defined.

Ключевые слова: дистанционное образование, физическое мышление, нормы физического мышления.

Keywords: distance education, physical thinking, norms of physical thinking.

Постановка научно-методической проблемы. Дистанционное образование получает все большее распространение как практика, поэтому и возникает острая потребность в научном исследовании его дидактических возможностей. Пока эта практика плохо отрефлек-сирована, мало опыта хорошо организованного дистанционного образования, мало методик, нет качественных электронных учебников и др. Особенно много проблем существует с организацией такого вида образования в основной школе, в частности при обучении физике. Так, на практике дистанционное образование ориентируется на доступные решения: повторение суммы знаний, полученной в основной школе; ориентация на развитие мотивации с помощью интересных задач, хотя учебная деятельность с задачами явно ограничена - репродуктивное решение задач, чаще всего расчетных... Сейчас от методики как науки требуется переосмысление назначения и возможностей дистанционного обучения в основной школе.

Общество и государство осознает, что назрела необходимость и есть перспективы в развитии дополнительного образования. Так, в сентябре 2014 г. Правительством РФ была утверждена Концепция развития дополнительного образования детей. Признаются конкурентные преимущества дополнительного образования, которые проявляются в таких характеристиках,

© Позолотина М. П., 2014 246