CC BY
106
Библиографический список
1. Психологический словарь. Под редакцией А.В. Петровского и М.Г. Ярошевского. Москва, 1990.
2. Лешли К.С. Мозг и интеллект. Москва - Ленинград, 2003.
3. Обучение и развитие. Под редакцией Л.В. Занкова. Москва, 1975.
4. Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. Москва, 1968.
5. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. Москва, 1968.
6. Костюк Г.С. Развитие и воспитание. Общие основы педагогики. Москва, 2002.
7. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. Москва: Педагогика, 1986.
References
1. Psihologicheskijslovar'. Pod redakciej A.V. Petrovskogo i M.G. Yaroshevskogo. Moskva, 1990.
2. Leshli K.S. Mozg iintellekt. Moskva - Leningrad, 2003.
3. Obuchenie i razvitie. Pod redakciej L.V. Zankova. Moskva, 1975.
4. Bozhovich L.I. Lichnost' i ee formirovanie v detskom vozraste. Moskva, 1968.
5. Kruteckij V.A. Psihologiya matematicheskih sposobnostejshkol'nikov. Moskva, 1968.
6. Kostyuk G.S. Razvitie i vospitanie. Obschie osnovypedagogiki. Moskva, 2002.
7. Davydov V.V. Problemy razvivayuschego obucheniya. Moskva: Pedagogika, 1986.
Статья поступила в редакцию 24.06.16
УДК-51(07)
Lahikova Z.G., senior teacher, Department of Methods of Teaching Mathematics and Computer Science, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), Е-mail: ami-76@mail.ru
Magomedgadjieva A.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), Senior Lecturer, Department of Methods of Teaching Mathematics and
Computer Science, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), Е-mail: ami-76@mail.ru
Vakilov Sh.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), Senior Lecturer, Head of Department of Methods of Teaching Mathematics and
Computer Science, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: waksham@mail.ru
Alieva L.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), Senior Lecturer, senior lecturer, Department of Methods of Teaching
Mathematics and Computer Science, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia),
E-mail: alieva_lm @mail.ru
THE SOLUTION OF LOGARITHMIC INEQUALITIES WITH THE HELP OF THE METHOD OF RATIONALIZATION. At the present time a very topical problem is the one of students taking a math exam at a profile level. Large difficulties are found by students in tasks of the second part, namely task No. 15. It is clear that having an active and entire arsenal of elementary mathematics, and creative mastery of school mathematics is a key to successful results in tasks of the exam. In this work the authors target at giving methodical recommendations of how to solve logarithmic inequalities from sets of testing materials at an exam of mathematics, for students face great difficulties in solving logarithmic inequalities. Particular difficulties are found when solving logarithmic inequalities with a variable basis.
Key words: logarithm, logarithmic inequality, method of rationalization, alternating basis.
З.Г. Лахикова, ст. преп. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: ami-76@mail.ru
А.М. Магомедгаджиева, канд. пед. наук, доц., доц. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: ami-76@mail.ru Ш.М. Вакилов, канд. пед. наук, доц., зав. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: waksham @mail.ru
Л.М. Алиева, канд. ф.-м. наук, доц., доц. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: alieva_lm @mail.ru
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
В настоящее время очень актуальной становится проблема сдачи учащимися ЕГЭ по математике профильного уровня. Большие трудности у учащихся вызывают задания второй части, а именно задание № 15. Ясно, что активное владение всем арсеналом элементарной математики, творческим владением материалом школьной математики это ключ к успешному выполнению заданий ЕГЭ.
В этой статье нам хочется дать методические рекомендации к решению логарифмических неравенств из Кимов ЕГЭ по математике, поскольку при решении логарифмических неравенств учащиеся испытывают большие трудности. Особенно трудности возникают при решении логарифмических неравенств с переменным основанием.
Ключевые слова: логарифм, логарифмические неравенства, метод рационализации, переменное основание.
От учащихся, сдающих ЕГЭ, часто слышим, что в материалах контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике содержатся задачи - «головоломки».
Всё это не так. В заданиях ЕГЭ имеются задачи обычного школьного курса в полном соответствии с программой по математике общеобразовательной школы. Поводом для этих «головоломок» служат обычно слабые и формальные знания учащихся по математике. Ясно, что уверенно справиться с задачами может
лишь тот, кто глубоко владеет материалом и имеет достаточные навыки, практику в решении задач.
Эти задачи требуют определённой сообразительности и свободного владения различными разделами математики, особенно решением смешанных систем неравенств. Конечно же, надо чётко владеть всеми свойствами, формулами раздела «Логарифмическая функция» [1, с.118].
Решение сложных логарифмических неравенств основано на решении простейших неравенств вида:
log e f (x) > log e g(X), logа f (x) < logа g(x), loga f (x) > loga g(x),
loga f (x) ^ loga g(x).
Крк изнелтом, решение простейших логарифмических оеБРнеолтн брномлильом решению лилтем неравенств л учетом области определения и ммомтмоомлти логарифмической функции.
a > 1
log a f (x) > log a g (x) О
f(x) > о, О
g (x) > 0, f (x) > g(x).
g (x) > о
f (x) > g(x).
Если 0 < а < 1, то неравенство равносильно системе неравенств
/ (х) > 0, 10 < а < 1
g (х) > 0, g (х) > 0,
/ (х) < g (х) {/(х) < g (х)
Суть решения сложных логарифмических неравенств заключается в том, чтобы путем равносильных преобразований, решением промежуточных рациональных неравенств, свести к решению простейших логарифмических неравенств. Методы решения сложных логарифмических неравенств следующие: введение новой переменной, метод оценки, обобщенный метод интервалов, метод рационализации неравенств.
В нашей статье мы более подробно остановимся на последнем методе, ибо этот метод не входит в программу математики общеобразовательной школы, но, тем не менее, с ним надо ознакомить учащихся, поскольку решение многих логарифмических неравенств с применением этого метода решаются проще. Особенно удобно применять метод рационализации в решении логарифмических неравенств с переменным основанием, так как можно избавиться от явного перебора случаев, когда а>1, 0<а<1.
Метод рационализации в решении логарифмических неравенств опирается на следующие утверждения:
1) Знак выражения х) /(х) - х) g(х) совпадает со знаком выражения
х) > 0,
((( *) -1)( f (x) - g (x)) при
p(x) Ф 1,
f (x) > 0, g(x) > 0.
2) Знак выражения х) /(х) -1 совпадает со знаком выражения
(((x) -1)( f (x) - g (x)) при
p(x) > 0, p(x) * 1, f (x) > 0.
3) Знак выражения log^x) f (x) впадает со знаком выражения
(р(x) -1)(/(x) -1) при
р(x) > 0,
р( x) ^ 1, /(x) > 0.
4) Знак выражения log f(x) /р(x) - log (x) (p(x) совпадает со знаком выражения
(р(x) -1)(/(x) -1)(g(x) -1)(g(x) - /(x)) при
/(x) > 0, g (x) > 0,
/ (x) Ф1, g (x) Ф1,
$>( х) > 0.
Эти утверждения доказываются, пользуясь монотонностью логарифмической функции и формулой перехода к новому основанию. Достаточно доказать первое утверждение, а остальные вытекают из него [2, стр.39].
Ниже продемонстрируем решение задания №15 из Кимов ЕГЭ. Задания взяты из типовых текстовых заданий 2016 г.
24 + 2 х - х 2
Пример 1 (вар. 1) [3, с.5]. Решите неравенство: ^25-х 2-> 1
16
Решение:
Сначала решим его так, как решают его в школьном курсе математики.
Найдём область определения неравенства:
25 - х2
16
25 - х2
16
> 0,
* 1,
24 + 2 х - х2
25 - х2 > 0,
25 -х2 * 16, ^
24 + 2х - х2 > 0
14
> 0.
(5 - х)(5 + х) > 0,
х2 * 9,
х2 - 2 х - 24 < 0, (х - 6)(х + 4) < 0.
- 5 < х < 5, х * ±3,
- 4 < х < 6.
Откуда, получаем, что х е (-4;-3) и (-3;3) и (3;5.)
Теперь переходим к решению самого неравенства log 2
24 + 2 х - х2 14
> 1
Поскольку основание рассматривать 2 случая:
25-х' 16
2
выражение с переменным, то следует
16
25 - х2
16
> 1,
»
24 + 2х - х2 25 - х2 ->-
14
[- 3 < х < 3, -1 < х < 17.
16
•112
х2 - 9 < 0,
2 16 17 0 ГСх - 3)(х + 3) < 0, х2 - 16х -17 < 0. »
х1 = 17, х2 = -1.
(х -17)(х + 1) < 0.
»-1 < х < 3
0<
25 - х2 16
< 1,
10 < 25 - х2 < 16, 19 < х2 < 25,
.
24 + 2х - х2 25 - х2 I х2 - 16х-17> 0 [х> 17,х <-1
4
<
16
I - 5 < х <-3, 3 < х < 5
» -5 < х < -3
[х > 17,х <-1.
Полученные решения систем неравенств пересечем с областью определения
неравенства
\х е (-1;3),
[х е (-4;-3) и (-3;3) и (3,5). Гх е (-5;-3),
»
»
х е (—1;3). х е (-4;-3).
х е (-4;-3) и (-3;3) и (3,5). Итак, ответ: х е (-4;-3) и (—1;3). Решим этот же пример методом рационализации.
-5 -4
-3 3 5
1. Область определения уже найдена: х е (-4;-3) и (-3;3) и (3;5.)
2. Решим само неравенство методом рационализации, применяя утверждение 2.
24 + 2х - х2
О
25 - х 16
14
2
> 1 о log
24 + 2х - х2
-1
24 + 2х - х2 25 - х
25-х2 16
2 Л
14
-1 > 0 О
14
16
> 0 О
у
О (9 - х2)(х216х -17) < 0, (3 - х)(3 + х)(х +1)(х -17) < 0
-3
Итак: х е (-да;-3) и (-1;3) и (17; да)
3. Пересечем решение неравенства с областью определения:
\х е (-4;-3) и (-3;3) и (3;5), [х е (-да;-3) и (-1;3) и (17; да)
О х е(-4;-3)и(-1;3)
Ответ: х е (-4: -3) и (-1;3).
16
Вот и можно сравнить каким способом проще решается неравенство. Пример 2 (вар. 32) [4, с. 96]. Решить неравенство:
log
х3-9х2+27x-27
(9 - х) > 0
Решение:
Так как х3 - 9х2 + 27х - 27 = (х - 3)3, то log( 3 (9 - х) > 0
Найдем область определения неравенства:
(х - 3)3 > 0, (х - 3)3 * 1,0 9 - х > 0.
х > 3,
(х - 4)(х2 - 5х + 7) * 0, О х < 9
( х-3)3
х > 3,
х * 4, О верно 3 < х < 4, 4 < х < 9 х < 9.
Решим неравенство методом рационализации: из утверждения 3. Имеем ((х - 3)3 -1)(9 - х -1) > 0 О (х - 4)(х2 - 5х + 7)(8 - x) > 0. Так как в уравнении х2 -5х + 7 = 0, Д<0, то х2 -5х + 7 > 0 при хеR, тогда (х-4)(8-х) > 0 О 4 < х < 8. Пересечём область определения с решением неравенства:
Г3 < х < 4, 4 < x < 9 О 4 < x < 8. [4 < х < 8.
Ответ: х е (4;8)
Пример 3. (вар. 17, № 15) [3, с. 52].
Решить неравенство logх+1 (х -1) log(х+1) (х + 2) < 0
Решение:
1. Найдём область определения неравенства.
х +1 > 0 х +1 Ф1, х -1 > 0, х + 2 > 0.
о
х > -1,
х Ф 0. х>1
о х > 1, х е (1; да)
х >-2
2. Решим неравенство. Оно равносильно объединению систем неравенств с учетом знаков произведения.
О
flog х+1 (х -1) > 0, [logх+1 (х + 2) < 0. flog х+1 (х -1) < 0, [logх+Дх + 2) > 0. -1 < х < 0 0 < х < 2.
О
[(х +1 -1)(х -1 -1) > 0, [(х +1 -1)(х + 2 -1) < 0. [(х +1 -1)(х -1 -1) < 0, [(х +1 -1)(х + 2 -1) > 0.
О
|х(х-2) > 0, [х(х +1) < 0 [х(х - 2) < 0, [х(х +1) > 0.
О
J х > 2, х < 0, [-1 < х < 0. [0 < х < 2, х > 0, х <-1
3. Найдём пересечения области определения с решением неравенства.
|x > 1, I-1 < x < 0.
\x > 1,
^ 1 < x < 2 ^ x е (1;2]
0 < х < 2.
Ответ: х е (1;2]
v ' J 0 12
Иногда, в случае переменного основания логарифма можно избавиться от явного перебора случая, перейдя к новому основанию, то есть
log*(x) f(x) =
log a f (x) log a* (x) при
f (x) > 0, *(x) > 0, * (x) * 1,
a > 0, a * 1
При
0 < a < 1
тогда множитель
loga f (x) - loga g(x)
противоположным множителем &(х) ^(х) того же знака при
можно заменить /(х) > 0, &(х) > 0 ^
стр.68].
1 г,
Пример 4. Решить неравенство х2_7х+6 3 >
Решение.
log-
3
3
> 0 , перейдем к основанию 10.
л/2x2 - 7x + 6
Igx - lg3 __
1 2 1 2
331g(2x2 - 7x + 6) 33 lg (2x2 - 7x + 6) - lg1
1gx - lg 3
> 0, тогда имеем, что при
x > 2,
x > 2,x < 1,5, x 1 2,5, x 11 1 < x < 2,5, x > 3
Ответ: x e 1; 1,5) u ( 2; 2,5) u (3; да).
x >2 0
2
2x2 -7x + 6 > 0, V2x2 - 7x + 6 11, О
-x-3 V 0
(2x2 - 7x + 6 -1
x > 0,
x > 2,x < 1151 x 1 2,5, x 11, О
*-3 0 > 0
2( x -1)( x - 2,5)
Библиографический список
1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала анализа 10 кл. Москва: Просвещение, 2010.
2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: решение задач: учебное пособие для 11 класса средней школы. Москва: Просвещение, 1991.
3. Ященко И.В. ЕГЭ Математика (профильный уровень). Типовые экзаменационные варианты. (50 вариантов). Москва: Издательство «Аст», 2016.
4. Семенова А.Л., Ященко И.В. Типовые тестовые задания. Москва: Издательство «Экзамен», 2013.
5. Литвиненко В.Н., Мордкович Д.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра и тригонометрия: учебное пособие для студентов физ.-мат. специальности. Москва: Просвещение, 1991.
References
1. Nikol'skij S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N. Algebra inachala analiza 10 kl. Moskva: Prosveschenie, 2010.
2. Sharygin I.F., Golubev V.I. Fakul'tativnyj kurs po matematike: reshenie zadach: uchebnoe posobie dlya 11 klassa srednej shkoly. Moskva: Prosveschenie, 1991.
3. Yaschenko I.V. EG'E Matematika (profil'nyj uroven'). Tipovye 'ekzamenacionnye varianty. (50 variantov). Moskva: Izdatel'stvo «Ast», 2016.
4. Semenova A.L., Yaschenko I.V. Tipovye testovye zadaniya. Moskva: Izdatel'stvo «'Ekzamen», 2013.
5. Litvinenko V.N., Mordkovich D.G. Praktikum po 'elementarnoj matematike. Algebra i trigonometriya: uchebnoe posobie dlya studentov fiz.-mat. special'nosti. Moskva: Prosveschenie, 1991.
Статья поступила в редакцию 22.06.16
УДК 378.147
Kulichenko Yu.N., Cand. of Sciences (Philology), senior lecturer, Volgograd State University (Volgograd, Russia),
E-mail: yuliakulichenko@mail.ru
Popova O.Yu., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Volgograd State University (Volgograd, Russia),
E-mail: olga_s67@list.ru
Linkova Yu.I., Cand. of Sciences (Philology), senior teacher, Volgograd State University (Volgograd, Russia),
E-mail: y.linkova@mail.ru
THE USE OF MULTIMEDIA PRESENTATIONS IN TEACHING A FOREIGN LANGUGE TO STUDENTS OF NON-LANGUAGE SPECIALIZATIONS. The article analyzes a methodological approach in the use of multimedia presentations with students who don't major in foreign languages. It shows the stages of work on presentations and developing students' skills and abilities. Productive use of presentations at foreign language lessons is possible at different stages of teaching: explanation of new material, students' independent work, summarizing the studied material, the use when working on projects and dissertations. The research work also presents various stages of a presentation, associated with forming special skills in students: development of logical and creative mentality, development of technical and creative skills. The work presents an analysis of errors of students made during years of preparing presentations in Volgograd State University. The material presented in the paper leads to the conclusion that the use of presentations is topical in the electronic shells for distant education that is becoming increasingly important at the present moment.
Key words: multimedia presentation, interactive teaching methods, distance learning courses.
Ю.Н. Куличенко, канд. филол. наук, доц. Волгоградского государственного университета, г. Волгоград,
E-mail: yuliakulichenko@mail.ru
О.Ю. Попова, канд. пед. наук, доц. Волгоградского государственного университета, г. Волгоград,
E-mail: olga_s67@list.ru
Ю.И. Линькова, канд. филол. наук, ст. преп. Волгоградского государственного университета, г. Волгоград,
E-mail: y.linkova@mail.ru
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИМЕДИЙНЫХ ПРЕЗЕНТАЦИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ СТУДЕНТОВ НЕЯЗЫКОВЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
В статье рассматривается методологический подход при анализе использования мультимедийных презентаций со студентами неязыковых специальностей. Продуктивное использование презентаций на занятиях по иностранному языку возможно на разных этапах обучения: объяснение нового материала, самостоятельная работа студентов, обобщение пройденного материала, использование при работе над курсовой и дипломной работами. В работе также представлены различные этапы работы с презентацией и соответствующие формирующиеся навыки и умения у студентов: развитие логического и творческого мышления, развитие технических и творческих навыков. В работе произведён анализ ошибок, допускаемых студентами, за годы практики использования презентаций при работе на неязыковых специальностях Волгоградского государственного университета. Представленный материал позволяет сделать вывод, что использование презентаций актуально в электронных оболочках для приобретающего все большее значение в настоящее время дистанционного обучения.
Ключевые слова: мультимедийная презентация, интерактивные методы обучения, дистанционный курс.
«На современном этапе развития общества важнейшей задачей для выпускников высших учебных заведений становится не только практическое овладение иностранным языком, но и приобретение тех коммуникативных навыков и умений, которые в дальнейшем помогут эффективно использовать иностранный язык в сфере профессионального общения. К таким профессионально значимым коммуникативным навыкам и умениям относятся навыки и умения проведения презентации, которые входят в состав компетенций и профессиональной культуры будущих специалистов» [1, с. 127].
Преимущества использования презентаций отмечают многие исследователи. Теоретической базой нашего исследования послужили работы учёных в области лингводидактики,
педагогики, психологии, теории межкультурной коммуникации (И.А. Зимняя [2], А.А. Леонтьев [3], Е.И. Пассов [4], Е.С. По-лат [5], О.Б. Тарнопольский [6], И.И. Халеева [7]). По мнению О.В. Попковой «включение показа презентаций в практические занятия по английскому языку вносит разнообразие, оживляет процесс обучения, увеличивает эмоциональное воздействие на студентов, создает комфортную среду обучения, помогает сформировать модель реального общения» [8, с. 255].
Научная новизна нашей работы состоит в комплексном методологическом подходе при анализе работы с презентациями со студентами неязыковых специальностей на различных этапах обучения иностранному языку.
