CC BY
152
КОНТ ТЕПТ
научно-методический электронный журнал ART 14296 УДК 372.851
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике // Концепт. - 2014. - № 10 (октябрь). - ART 14296. -0,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
Здоровенко Марина Юрьевна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров [email protected]
Зеленина Наталья Алексеевна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров [email protected]
Крутихина Марина Викторовна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров [email protected]
Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике
Аннотация. Статья посвящена анализу типичных ошибок и затруднений школьников при решении неравенств различными способами на итоговой аттестации по математике.
Ключевые слова: обучение математике, неравенство, система неравенств, различные способы решения неравенств, Единый государственный экзамен по математике.
Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Линия уравнений и неравенств является одной из ведущих содержательно-методических линий школьного курса математики. Традиционно наибольшие затруднения у учащихся вызывает решение неравенств. В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения Единого государственного экзамена по математике указано, что учащиеся должны уметь решать рациональные, показательные, логарифмические неравенства и их системы.
В последние годы в модели контрольно-измерительных материалов соответствующее задание содержится в части 2 и имеет повышенный уровень трудности. В частности, в 2014 г. требовалось решить систему, состоящую из логарифмического и показательного неравенств. По данным ЦОКО Кировской области [1], к решению задачи С3 приступило около 35% школьников, что говорит об определенной подготовке по этой теме (к решению задачи С4, например, приступило порядка 7%, С5 - 4% выпускников). Однако дать хотя бы частичное решение системы неравенств, а тем более решить ее полностью удалось далеко не всем. Так, по данным статистики, один первичный балл за решение задачи С3 (обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы) получили 22,12% учеников, приступивших к решению, два балла (обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы) -1,44% школьников. Полные три балла за решение этой задачи (обоснованно полу-
КОНТ TF.TTT
научно-методический электронный журнал ART 14296 УДК 372.851
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике // Концепт. - 2014. - № 10 (октябрь). - ART 14296. -0,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
чен верный ответ) выставлены 6,14% решавших. Средние показатели по стране соответственно равны 34, 8,8, 2,8 и 6,4% [2].
Опыт проверки развернутых ответов участников Единого государственного эк-
замена по математике показывает, что выпускники владеют различными методами решения неравенств, в том числе и выходящими за рамки школьной программы. Вместе с тем можно выделить типичные ошибки и затруднения учащихся при использовании различных способов решения неравенств. Обратимся к анализу этих ошибок на примере решения системы
logii-x(x + 7) • logx+5(9 — х) < 0, 64*2-3х+20 - 0,1252х2-6х-200 < 0
Для решения логарифмического неравенства учащиеся выбирают следующие способы.
I. Переход к совокупности двух систем (расщепление неравенств)
log 11-х(х + 7) • logx+5(9 - х) < 0 — Решим систему (1) совокупности:
log 11-х(х + 7)>0 logx+5(9-x) < 0 1одц-х(х + 7) <0 logx+5(9-x) > 0
(1)
(2)
(1)-
с11 — х> 1 {х + 7 >1 0 <11- х <1 х + 7 < 1 х + 7 > 0 х + 5 > 1 9 — х < 1 9 — х > 0 0 < х + 5 < 1 ^ U 9 — х > 1
— <
VL
х < 10 х > —6 10 < х < 11 х < —6 Их > —7 х > —4 х > 8 х <9
-5 < х < —4 х < 8
—
— х е (—5; —4) U [8; 9).
г—6 < х < 10 [х еф
Г 8<х <9 [—5 < х < —4
Решим систему (2) совокупности:
(2)-
а(11 — х > 1 х + 7 <1 х + 7 > 0 \0 < 11 — х < 1 I х + 7 >1 (х + 5 > 1 {9 — х>1 f0 < х + 5 < 1 9 — х <1 9 — х > 0
—
г (х<10
|х < —6
(х > —7
о Л < 11 (Г—7 < х < —6
-1х > —6 - j [10<х<11
< ~(х > —4 г—4 < х < 8
{ х < 8 к [х е ф
|—5 < х < —4
| х > 8
Л х < 9
— х е ф.
Таким образом, х е (—5; —4) и [8; 9).
IV О rw
КОНТ ТЕПТ
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В.
Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике //
научно-методический электронный журнал К°нцепт- - ,2014, - № 10 (октя6рь) -- ART:14296. -3 к о,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -
ART 14296 УДК 372.851 Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
Переход к совокупности двух систем в качестве способа решения логарифмического неравенства такого типа выбирают порядка 40% решающих. Этот способ требует от выпускников:
- знания свойств логарифмов и логарифмической функции;
- умения решать простейшие рациональные неравенства и их системы, находить объединения и пересечения множеств;
- понимания логической структуры решения и равносильности переходов.
Основным недостатком данного способа является его громоздкость. В то же
время верно доведенное до конца решение показывает достаточно высокую математическую культуру учащихся. Обратим внимание на то, что при этом решении не требуется специально находить область допустимых значений неравенства, однако понимают это далеко не все ученики. Выписывание на первом шаге лишних условий в системе, так же как и отсутствие в записи решения значков равносильности и следствия, можно, на наш взгляд, не считать существенным недостатком. Основные ошибки учеников связаны с неверным раскрытием комбинаций совокупностей и систем, выбором ответа в случае пересечения и объединения множеств, включе-ния/не включения в ответ концов промежутков в соответствии со строгостью знака неравенства. Заметим, что использование вместо значка совокупности союза «или» при записи решения неравенства значительно уменьшает количество логических ошибок.
Решение может быть существенно короче, если сначала найти область допустимых значений и заметить, что один из множителей на этом множестве всегда положителен.
Область допустимых значений неравенства определяется из системы
oie (-5; -4) U (-4; 9).
11 х > 0, (X < 11,
11 X * 1, X * 10,
X J + 7 > 0, ^1 X > -7,
Л X + 5>0, ~ X > -5,
X + 5*1, X * -4,
{9 - х > 0. ^ X < 9.
При этих значениях переменной х 11-х>2,2>1 и х + 7>2,2>1. Отсюда log11-x(x + 7) > 0 в области допустимых значений.
Следовательно, для того чтобы log11-x(x + 7) • logx+5(9 - х) < 0, достаточно, чтобы logx+5(9 - х) <0 в области допустимых значений исходного неравенства. Решим последнее неравенство.
logx+5(9-x) < 0 ^
(х + 5 > 1 {9 -х < 1 19 - х > 0 ^
[0 < х + 5 < 1 { 9 - х > 1
Yx > -4 { х > 8
(. х < 9 ^
г-5 < х < -4 { х < 8
Г 8 < х < 9 [-5 < х < -4.
Таким образом, х е (-5; -4) и [8; 9).
Последнее неравенство может быть также решено с помощью рационализации (см. далее).
Этим способом воспользовались примерно 10% учащихся, приступивших к решению.
IV 3 ^
КОНТ TF.TTT
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. IИI IИI
Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Еди- ■ _______________________ _______________ ном государственном экзамене по математике //
нац<шо-м.етодиц.еский электронный журнал К°нцепт- - ,2014, - № 10 (октя6рь) -- ART:14296.
v Г vr 0,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm.
ART 14296 УДК 372.851 Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
II. Метод интервалов
1одц-х(х + 7) • 1одх+5(9 - х) < 0.
Рассмотрим функцию у = 1од11-х(х + 7) • 1одх+5(9 - х), непрерывную на области определения.
Область определения этой функции совпадает с областью допустимых значений неравенства: х е (-5; -4) и (-4; 9)
Найдем нули функции: 1од11-х(х + 7) • 1одх+5(9 - х) = 0 &
( \1одц-х(х + 7) = 0, г гх + 7 = 1, ( ]х = -6,
&{ [1одх+5(9 - х) = 0, & { [9-х = 1, & { 1х = 8, &х =
(хе(-5;-4)и(-4;9) U е (-5;-4) и (-4;9) [х е (-5;-4) и (-4;9)
8.
Определим знак функции в каждом промежутке ее области определения:
- + -
______________________.______%///////Х_____^
-5-4 8 9
Если х = 8,5, тогда log2i515,5 • 1од1350,5 < 0.
Если х = 0, тогда 1одХ17 • 1од59 > 0.
Если х = -4,5, тогда 1од1552,5 • 1од0513,5 < 0.
Таким образом, решением неравенства являются х е (-5; -4) и [8;9).
Применение метода интервалов требует от участников экзамена:
- знания определения и свойств логарифмической функции;
- владения понятием нуля функции;
- умения решать простейшие рациональные неравенства, их системы и совокупности, находить объединения и пересечения множеств; сравнивать значения «невычисляющихся» логарифмов;
- понимания сути метода интервалов и его отдельных этапов.
Этот способ решения логарифмического неравенства выбирают порядка 30% выпускников.
Основная ошибка учащихся состоит в расстановке знаков на числовой прямой (после решения уравнений 1од11-х(х + 7) = 0 и 1одх+5(9 - х) = 0) без учета области определения функции. В результате функция «получает» знак на промежутках, в которых не определена. Причиной этого является формальное выполнение шагов метода интервалов без понимания его сути, слабое владение понятием «нуль функции». В качестве наиболее распространенных ошибок отметим также «автоматическое» чередование знаков, потерю одного из ограничений на основания логарифма при нахождении области определения функции, несоответствие между изображением концов промежутка на числовой прямой и записью этого промежутка. III.
III. Метод рационализации (декомпозиции, замены множителей)
В последнее время этот метод решения неравенств получил достаточно широкое распространение, хотя в школьных учебниках он, как правило, не рассматривается. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете рациональное), при которой неравенство G(x)v0 равносильно неравенству F(x) V 0 в области определения выражения F(x).
Короткое и практически безошибочное решение получили те школьники, которые рационализировали произведение логарифмов, зная, что знак выражения
IV ^ rw
КОНТ ТЕПТ
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В.
Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике //
научно-методический электронный журнал К°нцепт- - ,2014, - № 10 (октя6рь) -- ART:14296. -3 к о,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -
ART 14296 УДК 372.851 Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
l°ghf • logpg в области его допустимых значений совпадает со знаком выражения
(Л-1)(/-1)(р-1)(£-1).
В нашем случае
1одц-х(х + 7) • 1одх+5(9 - х) < 0.
Область допустимых значений неравенства определяется условием: х е (-5; -4) U (-4; 9).
В области допустимых значений логарифмическое неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:
(10 - х) • (х + 6) • (х + 4) • (8 - х) <0, решение которого методом интервалов имеет вид:
+
-6 -4
+
8 10
+
Хх
С учетом области допустимых значений логарифмического неравенства получаем х е (-5; -4) U [8; 9).
Отметим, что некоторые выпускники применяли метод рационализации для решения логарифмического неравенства в комбинации с расщеплением неравенств, то есть осуществляли переход
Г(г°Рп-х(* + 7) > 0
/орц-х(х + 7) • /орх+5(9 - х) < 0 ^
^0Рх+5(9-х) < 0
/орП-х(х + 7) < 0
^0Рх+5(9-х) > 0
и далее рационализировали каждое из четырех неравенств, исходя при этом из того, что знак логарифмической функции в ее области определения совпадает со знаком соответствующего рационального выражения (знак выражения /ор5/ совпадает со знаком выражения (р - 1)(/ - 1) в области определения логарифмической функции).
Рационализацию для решения логарифмического неравенства выбирают примерно 20% учащихся из числа приступивших к решению.
Показательное неравенство 64*2-3х+20 - 0Д252*2-6*-200 < 0 вызвало у участников экзамена гораздо меньше затруднений. В основном выпускники приводили степени к одному основанию, а затем использовали свойство монотонности показательной функции.
+ - +
-5 8 х
g^x2-3x+20 о 1252*2-6х-200 < q 26^2-18х+120 <•- 2-6^2+18х+600
^ 6х2 - 18х + 120 < -6х2 + 18х + 600 ^ 12х2 - 36х - 480 <0 ^ х2 - 3х - 40 < 0. Решением последнего неравенства являются х е [-5; 8].
Некоторые учащиеся для решения также использовали метод рационализации, исходя из того, что знак выражения Л-^ -Л5 (Л > 0) в области его допустимых значений совпадает со знаком выражения (Л - 1)(/ - р).
В нашем случае 26*2-18х+120 - 2-6*2+18х+600 <0 ^ (2 - 1)(12х2 - 36х - 480) < 0 на множестве действительных чисел.
(V С rw
КОНТ TF.TTT
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В.
Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике //
наично-методииесшй электронный журнал К°нцепт- - ,2014, - № 10 (октя6рь) -- ART:14296. -v Г yr 0,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -
ART 14296 УДК 372.851 Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
Основным недостатком в записи такого решения являлась потеря первого множителя (это недопустимо, хотя при решении рассматриваемого неравенства дает правильный ответ) либо отсутствие обоснования того, что этот множитель не влияет на знак произведения.
Итак, решением первого неравенства являются х е (-5; -4) и [8; 9), второго неравенства - х е [-5; 8], решением системы неравенств - х е (-5; -4) и {8}.
Отметим, что обучение различным методам решения неравенств на сегодняшний день является весьма актуальным, поскольку дает учащимся гораздо больше возможностей в решении задач, отчего напрямую зависит успешность прохождения ими различного рода аттестаций. Модель контрольно-измерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 г. на профильном уровне предусматривает решение неравенства в части 2. Эта задача, как и в предыдущие годы, относится к задачам повышенного уровня сложности и оценивается теперь двумя первичными баллами.
В демоверсии контрольно-измерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 г. по математике [4] в качестве примера приводится следующее логарифмическое неравенство и его решение:
Zo#x_iVx + 2 • /о#3(х2 - 2х + 1) > /о$9(10 - х).
Наш опыт проверки работ участников ЕГЭ позволяет предположить, что предложенный разработчиками путь решения школьники, скорее всего, не выберут.
Рассмотрим наиболее ожидаемые способы рассуждений учащихся при решении этого неравенства.
Найдем область допустимых значений неравенства:
г х + 2 > 0, х - 1 > 0,
< х - 1 ф 1, о (х - 1)2 > 0,
{ 10 - х > 0
гх > -2, х > 1,
< х * 2, о хе(1;2)и (2; 10). х ф 1,
{X < 10
Преобразуем неравенство к виду:
11
-Zo^x-i(x + 2) • /о#з(х - 1)2 --/о#з(10 -х) > 0;
/о#х-1(х + 2) • 2/о$3|х - 1| - /о$3(10 - х) > 0;
Учитывая, что в области допустимых значений неравенства |х — 1| = х — 1, и применяя формулу перехода к новому основанию, получаем
/о^з(х + 2)
2/о^3(х - 1) - /о$3(10 - х) > 0;
/о#з(х - 1)
2/о^3(х + 2) - /о$3(10 - х) > 0.
По свойствам логарифмов
(х + 2)2
^#3 —------> 0.
Поскольку 3 > 1,
10-х
(х + 2)2 10-х
> 1;
х2 + 5х - 6 10-х
> 0.
r\j
6 ~
КОНТ ТЕПТ
научно-методический электронный журнал
ART 14296 УДК 372.851
Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике // Концепт. - 2014. - № 10 (октябрь). - ART 14296. -0,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
+
+
777777777777^
-6
^777777777777777777777 1 10
х £ (-от; -6] U [1; 10).
С учетом области допустимых значений решением неравенства являются х £ (1; 2) U (2; 10).
Источником ошибок при таком решении является ситуация с переходом Zog3(x - 1)2 = 2Zog3|x - 1| = 2/од3(х - 1). Одни учащиеся не записывают логарифм с модулем подлогарифмического выражения и ничего при этом не объясняют. Другие начинают раскрывать модуль по определению, что существенно удлиняет решение и приводит к новым ошибкам. Ошибочным часто бывает и решение неравенства (х - 1)2 > 0 при нахождении области допустимых значений.
Проведя анализ логарифмов и их произведений, некоторые ученики могут привести более лаконичное решение, а также воспользоваться обобщенным методом интервалов. Приведем эти рассуждения.
Zo#x_iVx + 2 • /о^3(х2 - 2х + 1) > /о$9(10 - х).
Областью допустимых значений неравенства являются х £ (1; 2) и (2; 10).
На области допустимых значений
/о^3(х2 - 2х + 1) = /о$3(х - 1)2 = 2/о$3|х - 1| = 2/о^3(х - 1).
Далее, используя следствие из формулы перехода к новому основанию,
=55 ^ /о^са • /о^аЬ = /0^сЬ’
получаем
Zo^x-1Vx + 2 • 2/о^3(х - 1) = 2/о^3(х - 1) • Zo^x-1Vx + 2 = 2Zo^3Vx + 2 == /о$3(х +
2) = /о^3з(х + 2)2.
Таким образом,
/о$9(х + 2)2 > /о$9(10 - х).
Так как 9 > 1, то
(х + 2)2 > 10 - х, х2 + 5х - 6 > 0, х £ (-от; -6] U [1; +от).
С учетом области допустимых значений х £ (1; 2) и (2; 10).
Заметим, что появления логарифма со знаком модуля можно избежать, если при найденной области допустимых значений рассуждать следующим образом:
Zo^x-1Vx + 2 • Zo#3(x - 1)2 > /о$9(10 - х).
Возведем в квадрат основание и подлогарифмическое выражение первого логарифма, затем воспользуемся формулой перехода к новому основанию.
1
г°^(х-1)2(х + 2) • -------- > /о^9(10 - х);
i°^(x-1)z3
^°g(x-l)2(X + 2) ^°^(x-1)z3
> /о$9(10 - х); /о$3(х + 2) > /о$9(10 - х);
/о$9(х + 2)2 > /о$9(10 - х).
Далее решаем соответствующее квадратное неравенство и с учетом области допустимых значений получаем ответ.
(V Т rw
КОНТ TF.TTT
научно-методический электронный журнал ART 14296 УДК 372.851
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике // Концепт. - 2014. - № 10 (октябрь). - ART 14296. -0,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
Решение неравенства обобщенным методом интервалов имеет следующий вид. Рассмотрим функцию
у = logx-1yx +2 • log3(x2 — 2х + 1) — log9( 10 — х), непрерывную на области определения.
Область определения функции найдем из условий: f х+ 2 > 0, х — 1 > 0,
< х — 1*1, ^ D(y) = (1;2) U (2; 10).
(х — 1)2 > 0,
{ 10 — х > 0
Найдем нули функции, решив на области определения уравнение
logx-1^x + 2 • log3(x2 — 2х + 1) — log9( 10 — х) = 0.
logx-1^x + 2 • log3(x2 — 2х + 1) = log9( 10 — х), 11 -logx-i(x + 2) • log3(x — 1)2 =-log3(10 — х),
loq3(x + 2)
--- Л • 21одз\х — 1\= 1одз(10 — х).
Так как х — 1> 0 на области определения, то \х — 1\ = х — 1.
21од3(х + 2) = 1од3(10 — х),
(х + 2)2 = 10 — х, х = 1 £ D(y),x = —6 £ D(y).
Рассматриваемая нами функция не имеет нулей. Определим ее знак в каждом промежутке области определения:
+ +
__________W///////A//A///////////////////////A//////X_^
1 2 10 x
Если х = 7, тогда 1од63 • 1од336—1од93 = 1од636 — 1од93 = 2 — -> 0.
26
10
26
100
78
Если х = — , тогда logil-ylog3-—log9— = —logi — —log9— = log9 — —log9— =
1од9—>0.
9 78
Таким образом, х е (1; 2) и (2; 10).
Рассмотренные выше способы решения неравенств и типичные ошибки выпускников помогут учителям более эффективно организовать работу по обучению решению логарифмических и показательных неравенств и подготовке к итоговой аттестации.
3
3
Ссылки на источники
1. Результаты единого государственного экзамена в Кировской области в 2014 году: стат. сб. - Киров: КОГБУ «Центр оценки качества образования», 2014 г. - 211 с.
2. Ященко И. В., Семенов А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания математики. - URL: http://www.fipi.ru.
3. Материалы для подготовки к ЕГЭ. - URL: http://alexlarin.net.
4. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2015 года по математике. Профильный уровень. - URL: http://www.fipi.ru.
8
КОНТ ТЕПТ
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике // Концепт. - 2014. - № 10 (октябрь). - ART 14296. -0,5 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
научно-методический электронный журнал
ART 14296 УДК 372.851
Marina Zdorovenko,
candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor of applied mathematics and Informatics FGBOU VPO "Vyatka state University, Kirov [email protected] Natalia Zelenina,
candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of fundamental and com-puter-Noah mathematics FGBOU VPO "Vyatka state humanitarian University University", Kirov [email protected] Marina Krutikhina,
candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of fundamental and computer-Noah mathematics
FGBOU VPO "Vyatka state humanitarian University University", Kirov
Common mistakes and difficulties students when solving inequalities in a variety of ways on the Unified state exam in mathematics
Abstract. The article is devoted to the analysis of typical errors and problems school-nicknames when addressing inequalities in different ways on the final examination in mathematics.
Key words: mathematics education, inequality, system of inequalities, different ways of solving inequalities, the Unified state exam in mathematics.
References
1. (2014) Rezul'taty edinogo gosudarstvennogo jekzamena v Kirovskoj oblasti v 2014 godu: stat. sb., KOGBU “Centr ocenki kachestva obrazovanija”, Kirov, 211 p. (in Russian).
2. Jashhenko, I. V., Semenov, A. V. & Vysockij, I. R. Metodicheskie rekomendacii po nekotorym aspek-tam sovershenstvovanija prepodavanija matematiki. Available at: http://www.fipi.ru (in Russian).
3. Materialy dlja podgotovki k EGJe. Available at: http://alexlarin.net (in Russian).
4. Demonstracionnyj variant kontrol'no-izmeritel'nyh materialov edinogo gosudarstvennogo jekzamena 2015 goda po matematike. Profil'nyj uroven'. Available at: http://www.fipi.ru (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
(V Q rw
