Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 43-55.

УДК 517.5, 517.9

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ И СТЕПЕННЫМИ ВЕСАМИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОГО СЕМЕЙСТВА НЕВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЕЙ

Р.Г. НАСИБУЛЛИН, А.М. ТУХВАТУЛЛИНА

Аннотация. В данной работе получены вариационные неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами, которые являются обобщениями соответствующих неравенств, представленных ранее в статьях М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхоф, А. Лаптева и Ж. Тидблома. Мы формулируем и доказываем неравенства, справедливые для произвольных областей, затем существенно упрощаем их для класса выпуклых областей и специального семейства невыпуклых областей.

Ключевые слова: неравенства типа Харди, выпуклые области, регулярные области, функция расстояния, итерация логарифмов

Mathematics Subject Classification: 26D15.

1. Введение. Вариационные неравенства представляют собой важный инструмент решения задач математической физики. В настоящей работе мы рассматриваем вариационные неравенства типа Харди. Неравенства Харди используются в теории вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, спектральной теории, нелинейном анализе и теории интерполяции. Так, например, Ю. А. Дубинским в статье [1] показано, что корректная постановка решения задачи Пуассона эквивалентна выполнению соответствующего неравенства Харди. Применение неравенств типа Харди также описано в работах А. Лаптева, Т. Вейдла, А. Балинского, А. Соболева, М. Соломя-ка, Е. Дэвиса [2]-[6].

Исследованию и доказательству неравенств типа Харди посвящено множество научных работ (в частности недавние статьи Ф.Г. Авхадиева, К.-Й. Виртса, Е. Дэвиса, М. Маркуса, Х. Брэзиса, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптева, Ж. Тидблома, Ж. Барбатиса, С. Филиппаса, А. Тертикаса [4]-[16]).

Неравенство типа Харди, доказанное Ж. Тидбломом в статье [15], для произвольной области П С (п > 2) и произвольной функции и € Ж0’Р(П) (р > 1) имеет вид:

\Vu(x)\pdx > rjg Г ^ У Мх)Г / +(p -11 (V) 7 dx

R.G. Nasibullin, A.M. Tukhvatullina, Hardy type inequalities with logarithmic and power weights for a special family of non-convex domain.

© Нлсивуллин Р.Г., Тухватуллина А.М. 2013.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-0100762).

Поступила 30 марта 2012 г.

где Пх := {у € П : х + Ь(у — х) € П,У € [0,1]}, |Пх| - мера области Пх, ри(х) - расстояние от точки х € П до границы области П по направлению вектора V € §га-1, |§га-1| есть площадь поверхности единичной сферы §га-1 в пространстве Мга, й§га-1^) - элемент площади

1(v) / \Р

поверхности единичной сферы §га-1, ) = |®га-1| ,°Р = у2-/ ■

Отметим, что неравенство (1) является распространением соответствующего неравенства, доказанного М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптевым в статье [14] для р = 2, на случай произвольного р > 1. В настоящей работе мы обобщаем неравенство (1) для функций пространства (П) следующим образом:

| 008^, Уп)|2 рГ2(х)

§п-1

> а(р,8)/|п(х)|2 / ^ + а(р,в)(р — 1) 1®^ 7 МГДйх,

J з р1(х) \ п ^ |Пх|"

П §п-1 х 7 п

где р > 5 > 1 и а(р, в) = .

Очевидно, при в = р последнее неравенство преобразуется в неравенство (1), а при в = р = 2 - в неравенство, доказанное М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптевым в [14].

В статье [15] также доказано, что в случае выпуклой области П С неравенство (1) может быть существенно упрощено. А именно, (1) можно записать в виде

|п(х)|2 , + ср(р — 1)УЛ Г(^) |®п-1|

’2(х) х Г(2^) Г(п) \ п|П|

|Уп(х)|2йх > ср йх + 2 Нх^Чх. (3)

Доказанное нами неравенство (2) также может быть существенно упрощено для выпуклых областей:

/ > а(р'в) ^Гт +а(р,в)(р—ч(^) /|п(х)|2йх. (4)

В настоящей работе мы также представляем специальный класс невыпуклых областей (см. [5], [21], [22] и [23]), для которого справедливы аналоги неравенства (4).

В заключительной части статьи мы доказываем логарифмические неравенства, которые являются аналогами неравенств из [14] и [16]. Неравенство, доказанное в [14], для выпуклой области П С имеет вид

/ |Уп(х>|2* > 1 / ^ (1 + (1 — 1п(а’,-(х)/В))2) йх +

ПП

п(и-2)/п„2/п 1П2(а/2) 1 С

+ п___вп-1_(а/ )________1_ |п(т)|2(5)

+ 4(1 — 1п(а/2))2 |П|2/^ |П(х)| (5)

П

Особенностью доказанных нами логарифмических неравенств является наличие в них вложенных логарифмов и экспонент. Примеры использования логарифмов в неравенствах можно увидеть в работах [11], [12], [14], [17] - [19] и [20]. Отметим, что обобщение неравенства (5) с использованием вложенных логарифмов было получено ранее в работе [16]. Мы же получили неравенство для класса регулярных областей с логарифмическим весом

другого вида. А, именно, мы доказали, что для произвольной регулярной с константой с области П С и произвольной функции п € С£°(П) верно неравенство

I ^„МГ2* > -2-21МГ- (1 + £^ (^.е,) ■... ■ ^ ^)) *+

где

+

1 - ^ Ро(а ,ek) ■ ... ■ ^i(а ,ek)

i=0

n(n-2)/2 ^2/ra 1

Sra— 1

4

|Q|2/n

|u(x)|2dx,

eo = 1, ek+1 = exp ek; lno x = x, lnk+i(x) = lnlnk (x),

^( , k) (ek — ln x) ln(ek — ln x) ■ ... ■ lnj(ek — ln x) , ' ^

Последнее утверждение при k = 0 дает неравенство (5).

2. Одномерные неравенства. Докажем одномерные неравенства, которые будут использованы нами впоследствии для доказательства неравенств в многомерном случае. Введем необходимые определения и обозначения.

Пусть f определена и дифференцируема на (0, Ь] для Ь > 0. Следуя Ж. Тидблому (см. [15]), будем говорить, что f € Фв(0,Ь), если f - действительнозначная функция и существует константа С = С^) такая что

х«— 1 I £ (л\ I I лв I <•/ /

sup (t" |f(t)| + ts|/(t)|) ^ C, s> 1.

0<t^b

(6)

(7)

Несложно заметить, что условие (3) равносильно двум условиям:

ЗС1 = ): ts-1|f (*)| ^ Сь 0 <* ^ Ь,

и

ЗС2 = ВД) : *в|/(*)| ^ С2, 0 < * ^ Ь. (8)

Лемма 1. Пусть п € С1 [0, Ь], Ь > 0,п(0) = 0 и f € Фв(0,Ь). Тогда при р > в > 1 справедливо неравенство

iuW dt > 1

ts-2 ~

р2/ь ч2-1’

0 у ^(*) — f(Ь)|р-1 *Р-1 |п(*)|2

Доказательство. В силу условий леммы для функции п(*) имеем:

t

ЗМ > 0 : |п(*)| ^ У |п;(х)|йх ^ М*, У* € (0,Ь].

0

Учитывая при этом условие (8) и неравенство р > в, мы получим

|/(*)||п(*)|2 ^ |f'(*)|М2*2 ^ |f'(*)|ГМ2*2- ^ С2М2Ь2-

Следовательно,

/;(t)|u(t)|2dt ^ +то.

Заметим также, что

/(0)|u(0)|2 = lhn/(t)|u(t)|2 = tim/(t)ts-1 JUtj-^lr2 «

2

2

b

b

р

1"

М р-Чр-1|и(;£)|

*^0 1 £5-1 1 *^0 £5-1

»-:Цр-«к./+\1 ^ ^ л/гр-1^р-в|

<

^ С1 рш Мр-1£р->(£)| ^ С,1Мр-16р-5|м(0)| = 0.

Для произвольной константы с имеем:

6 /* 6 /»

(/(Ь) — с)|и(Ь)|р — / /(^)|и(^)|р^^ = /(/СО — с)(|иС0|р)^

о 0 о 0

р

2

(/(£) — с)(и2 и2и + и2 и2и )&

^ р |/(£) — с||и|р 1|и/(^)|^^ = р |/(£) — с| р-1 £ р-1 ир

Р-1 Р Пи^)|р]

. *в-р _

Р-1

Р /6

^ р I / |/(£) — с| Р-1 £Р-1 |и|р^^

|иЩ

^-р

00 Подставляя с = /(Ь) и возводя обе части неравенства в степень р, получим требуемое неравенство.

Замечание. Для того чтобы интеграл в первом множителе последнего неравенства не имел особенностей, необходимы ограничения на в и р. При р > в > 1 интеграл в первом множителе последнего неравенства не имеет особенностей, так как верно неравенство

в — р р — 1

+ р > 0,

поскольку |и(*)| ^ М£.

Приведем некоторые следствия леммы 1.

«1 _ £

Следствие 1. Пусть и(£) удовлетворяет условиям предыдущей леммы и /(£) = у-. Тогда верно неравенство

р

И2Е

^-р

/

Л

^/ |^1-8 — Ь1-5|р- 1 £Р-1 |и(£)|р^

р-1:

где а(р в) = .

Следствие 2. Пусть и € С1 [0, Ь], Ь > 0,и(0) = 0. Тогда

|иЩ

*в-р

> а(р,в) I — (р — 1)(*1-- — Ь1-5)Р-1 ^Р-Р) |и(*)|рЛ

Доказательство. Уравнение следует из следствия 1 и простого неравенства

Ар

— > рА — (р — 1)В,

если положить

В р-1 А

|иС0|р

6

6

6

6

6

6

6

6

и

Г ь

В = |і1-в - б1-*! Р-! |и(і)|Р^і.

,/0

Лемма 2. Пусть и Є С'0°(0, 2Ь), Ь > 0. Тогда имеем

2Ь

J ^^ > а(р,в) И — (р — 1)(р 5 — Ь1 5) РР рР-1 (^ ) |иС0|р^

о \0

где

р(£) = (^, Е \ [0, 2Ь]) = шт(£, 2Ь — £).

Доказательство. Применим неравенство (9) к функции и € С 1[Ь, 2Ь] такой, что и(2Ь) = 0. Имеем

26 / 26

|и(*Ж I [ [ р ^ 1\^оь ^1- гД-^Р-т(2Ь — /)Р-

^ > а(р, «) I / . , . - (р - 1)((2Ь - і)1-* - Ь1-*)Р-!(2Ь - і)Р-! |и|р^

7 (2Ь — £)5-р _ \ 7 \(2Ь — ^

66

Складывая полученное неравенство с неравенством (9), мы получим утверждение леммы.

Теорема 1. Пусть и € С^(а,6). Тогда мы имеем

6 /6 6 /р^р-р^ > а(р,в) ^— . (10)

Доказательство. Без ограничения общности мы можем взять за промежуток интегрирования отрезок [0, 2Ь]. Правую часть неравенства из леммы 2 можем переписать в следующем виде

а(р,8) (/л+/рр—1 (—(1 - () ) 1 |и<()|рл

Здесь мы воспользовались равенством в — рр-11) + р-1 = 0.

Заметим, что р(£) ^ Ь. Следовательно,

рЦ1 — (1 — (1т) ) ) > Ж1 (1 — (1 — (рЬ))

11

> —.

р(і)Ь* Ь*

Отсюда следует утверждение теоремы.

3. Многомерные неравенства типа Харди для произвольных открытых областей. В этом разделе мы приведем многомерный аналог неравенства из теоремы 1.

Пусть П - открытая область в Мга. Следуя М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптеву [14], обозначим через (х) - расстояние между точкой х Є П и ближайшей точкой, принадлежащей границе дП по направлению вектора V Є §га-1:

т^(х) = шіп{^ > 0 : х + ^ Є П}.

Введем р^ (х) - расстояние до границы множества по направлению V и ^ (х) - диаметр множества вдоль направления V следующим образом

р^(х) = шіп{т-V(х), т^(х)}, ^(х) = т^(х) + Т—V(х).

Положим

£(я) = inf tv(x) = dist(x,SQ), Пх = {y G П: x + t(y — x) G П, Vt G [0,1]}.

vesn-1

Теорема 2. Для произвольной открытой области П С Rn и произвольной функции u G СИП) верно следующее неравенство типа Харди:

| cos(v, Vu(x))|p

IVu(x)Ip

Sn-1

pv-p(x)

-dw(v)dx У

У a(p,s)

Iu(x)I?

dw(v) / ISn 1 ^ n

dx + (p — і) I----------I

pV (x) V n

Iu(x)Ip

dx

Доказательство. Используя аргументы Е.Б. Дэвиса (см. [5]) и одномерное неравенство "10), несложно получить следующее неравенство

^vu(x)Ip , ч /4u(x)Ip . w

3— dx У a(p,sW ——— dt — a(p, s)(p — і)

Pv(x)s-p

pV (x)

Dv (x)

Iu(x)Ip dx.

Исходя из определения градиента функции, мы имеем

|д^и(х)| = |^ ■ Уи(х)| = |Уи(х)||сов(^, Уи(х))|.

Проинтегрируем обе части неравенства по нормальной поверхностной мере §га-1. Получим

[ [ |сов(^, Уи(х))|р

П Sn-1

Pv (x)s-p

-dw(v)IVu(x)Ipdx У

У a(p,s)

\П Sn-1

pV(x)

— (p — і)

Sn-1

Dv (x)

dw(v) 1 Iu(x)Ipdx 1 .

Из [15] известно, что

2 \s (nIn

dw(v) У 1

Dv (x)

IS

n-1

Таким образом, справедливо неравенство

IV7 I \№ f I COS(V Vu(x))P - і N. ^

IVu(x)r -----------s-^-------dw(v)dx У

J Pv p(x)

У a(p,s) Теорема доказана.

IuMI”/ ^dx +(p — і/IS"_1h "

J pv(x)

Iu(x)Ip n I J IHxIs/n

П

dx

4. Неравенства типа Харди для выпуклых областей. В пункте 2 мы доказали, что для произвольной области П С Е и функции и € С^(П) справедливо следующее неравенство типа Харди:

^ [ | Уи(х))|рл

|Уи(х)|р -------------5-—--------^(^)dx >

3 3 Ри (х)

n — 1

S

s

2

s

і

2

П — 1

S

S

n — 1

S

> а(р, в) Г |и(х)|р / + а(р,8)(р — 7" Г ^ (11)

7 7 р£(х) V п ^ |Пх|"

П 8"-1 4 ' П

Как будет показано в следующей теореме, в случае выпуклой области П С Е неравенство (11) может быть существенно упрощено.

Теорема 3. Пусть П С Е - произвольная выпуклая область, и € С^(П) - произвольная функция. Тогда справедливо неравенство

[ |Уи(х)|р . чЧ5?) Г(П) [ |и(х)|р , ч. >/|8"-1Л" [, , >,р, , ч

У1Т^(:X;Г > а(р' в)'7ПТ(Й5у У + а(р’в)(р — 4 () У |и(х)|р<гх. (12)

Доказательство. Для произвольной выпуклой области П С Е оценим сверху внутренний интеграл левой части неравенства (11):

[ | Уи(х))|ра^(^) = г | cos(v,Уи(х))|рру(х)а^(^) <

р^ р (х) 7 р^ (х)

5-р

Ъ р

§п-1 §п-1

< Г | Уи(х))|ррр(х) , ( . Г | с°8(^,е)|ррр(х) , ( . <

< У-----------йх---------- ("* = У —йх— м <

§"-1 §"-1

г 7р(х) , , , г а^(^) 1

< / 757^ ^ ) 1 ( -

75(х) 7 75-р(х) 75-р(х)’

§п-1 §п-1

где е = ^0 € §га-1 : т^0(х) = 7(х).

В последней цепочке соотношений мы использовали очевидное из геометрических соображений неравенство | Ш8(V, е)|р^(х) < 7(х), справедливое для всех точек х € П.

Таким образом, для левой части неравенства (11) мы получили оценку:

( ч |р Г | Уи(х))|р , ( . , < Г |уи(х)|р

У |Уи(х)|р У рг-у(х) < У ""Т1-р(ху.

П §"-1 П

Применяя неравенство | шв^, е)|р^(х) < 7(х) к внутреннему интегралу первого слагаемого правой части неравенства (11), очевидно, получим:

[ ) Г | шв^, е)|^^) 1 Г

—7 \ ; ч—— = | шв^е)^^).

7 р£(х) > 7 75(х) 75(хИ |

§"-1 §"-1 §"-1

Последний интеграл несложно вычислить путем замены переменных:

/ | шв^, е)^^^)

2

Таким образом, мы получим нижнюю оценку для первого слагаемого правой части неравенства (11):

, dw(v)dx /(^ )Г(п) [ |и(х)|р

а(р,в) / |и(х)|р / —> а(р,в)-

- - Р£(х) ’ Л/П г( П±^7 «5(х)

П §"-1 V П г ^ 2 ^ П

Далее, используя очевидное для выпуклых областей равенство Пх = П, легко получим равенство для второго слагаемого правой части неравенства (11):

а(р,«)(р- 1) | ^ ) І йх = а(р,«)(р- 1) ( ^ І J |и(х)|рйг.

' П Х ' ' п

Теорема доказана.

Сопоставив неравенства (11) и (12), мы задались вопросом - существуют ли невыпуклые области, для которых справедливы аналоги неравенства (12), доказанного в теореме 3 для выпуклых областей? Мы даем положительный ответ на поставленный вопрос и представляем специальный класс невыпуклых областей, для которых существуют аналоги неравенства (12).

5. Неравенства типа Харди для невыпуклых регулярных областей. Следуя Е.Б. Дэвису [5], определим псевдодистанцию т(х) от точки х до границы области П:

1 _ 1 Г й§га->)

m2(x) ’ |Sn-1| У T2(x)

Sn-1

Введем понятие регулярной области в пространстве Кга. Будем говорить, что область П С - регулярная область, если существует конечная константа с > 0 такая, что

£(х) ^ т(х) ^ с£(х) Ух Є П.

Константу с назовем константой регулярности области П.

Как будет показано в следующей теореме, для регулярных областей можно получить неравенство, аналогичное неравенству (12), доказанному в теореме 3 для выпуклых областей.

Теорема 4. Пусть П С - произвольная регулярная область с константой регулярности с, и Є СИП) - произвольная функция. Тогда справедливо неравенство

Dp(П)Г("тт)Г(і) [ |Vu(x)|p

----Чг , ч dx У

/П г(n+^) П ^s(x)

У ^dx + a(p, s)(p — 1)(~'j |u(x)|—dx,

ПП

где Dp(n) := sup pP(x), x G П.

v€Sn-1

Доказательство. Для произвольной регулярной с константой с области П С Rn оценим сверху внутренний интеграл левой части неравенства (11):

[ 1 cos(v, Vu(x))|p f 1 cos(v Vu(x))|PpV(x)

J pV-v(x) ^ =J ---------------Ш«

Sn-1 Sn-1

^ f | cos(V Vu(x))|PpV(x) ,/4= f | cos(v,e)|PpV(x) ,4 ^

Sn-1 Sn-1

D(n) r А,(П)г(*+)r(n)

^ -«Stt / | cos(v,e)|pdw(v) =--------------V /+V/ ,

s/_, ««(x) yn r(n+p)

где e = v0 G Sn-1 : tV0(x) = «(x), Dp(n) := sup pP(x), x G П.

v€Sn-1

Таким образом, для левой части неравенства (11) мы получили оценку:

/ | Уи(х)|р / | |р<&,(,)dx < п) (\у(х) |

Р^ р(х) г( I «5(х) ’

Для оценки внутреннего интеграла первого слагаемого правой части неравенства (11) используем результат, доказанный в [21] для регулярных областей:

[ dw(v) 25/2

У р£ (х) т5(х)

§п-1

Далее, учитывая неравенство

т(х) < с7(х),

справедливое для каждой точки х регулярной с константой с области П, легко придем к неравенству

Г dw(v) 25/2

J рV(x) с* 55(х)

§п-1

Таким образом,

ф,8) / |и(х)|Р / > ф,^2 Г йх.

У ^ PV(x) “ с* У 5е (х)

Используя очевидное неравенство |ПХ| < |П|, справедливое для любой области П С Е, легко получим оценку для второго слагаемого правой части неравенства (11):

£ £

а(р,8)(р — !) (Ер) " I dx > а(р,в)(р — 1) (^ " / Мх)№.

' ' п х ' ' П

Получили требуемое.

6. Неравенства типа Харди с логарифмическими весами для регулярных областей и функций из пространства НО. Пусть

/ (^ = — 7 + *(е — 1п ^) + *(е — 1п ^) 1 п(е — 1п ^), 0 <^<Д/2,

где Д = diam П и 0 < а < 2.

Тогда выполняется следующее равенство

2 2 2 2 2//(р„) — /V) = Р2 — р2(е — 1п «й,) + р2 (е — 1п ^)2 — р2 (е — 1п ^)1п(е — 1п ^) +

2 2

о / т ар, \ о п / т ар, \

р2 (е - 1п а^ )2 1п(е - ІП ' р2 (е - 1п )2 1п2(е - ІП ^ )

Ь

PV р2(е - 1п ар^)2 р2(е - 1п )21п2(е - 1п )

2 2 2

. аР ^ +

р2 (е - 1п ар.) ■ рV(e - 1п ар.) 1п(е - 1п ар.) р2(е - 1п ар^)21п(е - 1п ар^)

1 1 1

о + о / і ар. \ о ”+

рv рV(e - 1п ^)2 р2(е - 1п ар-)21п2(е - 1п ар-)

р

і

Также верна оценка

2/ (pv )/ (Dv/2) — f2(Dv/2)

pv Dv

1

1

X

1

e — ln ^ (e — ln ODv) ln(e — ln ^)

1

e — ln ODf (e — ln ODf) ln(e — ln ODf)

D2

V

1

e — ln ODf (e — ln ODf) ln(e — ln ODf)

>

>

4

— —1 pv Dv D2 у

4

>

1

e — ln aDv (e — ln aDv) ln(e — ln aDv)

4

pv Dv D2

1

2D

1

>

1

e — ln a (e — ln a) ln(e — ln a)

Здесь мы воспользовались неравенством

D

2D

справедливость которого очевидна, поскольку 0 < pv ^ Dv.

Для целых k > 0 положим

eo = 1, efc+i = exp efc; lno x = x, lnfc+i(x) = lnlnfc (x).

Пусть

1

/fc(t,a) = — - + ^

1

i=0

t(a — ln at) ln(a — ln at) ■ ... ■ ln^a — ln at)

0 < t < D/2.

Отметим, что функция /(£) = /0(£, 1) была использована в статье [14] для доказательства неравенства (5).

Введем следующее обозначение

1

<£г(х,а) =

(а — lnx) ln(a — lnx) ■ ... ■ ln^a — lnx)

Далее покажем, что для функции / (^, а) верно равенство

2/' ( ) f2( )=1^^ ^2( ^ ,ek)

2/k (pv, efc) — /fc(pv, efc) = ~2 + ^

pv i=0

^\_D_

pvv

и неравенство

2/(pv,efc)/(Dv/2, efc) — /2(Dv/2, efc) >

pv Dv D^

i — E

i=0

a

Pi I ^,ek

13)

Для доказательства первого равенства применим метод математической индукции. Случай к = 0 доказан в [14]. Выше мы привели доказательство случая к = 1. Пусть неравенство верно для всех натуральных чисел, меньших к. Покажем, что утверждение верно для натурального числа к + 1.

Заметим, что

/fc+i(t,efc+i) = /к (t,efc+i) +

1

t(efc+i — ln %) ln(efc+i — ln %) ■ ... ■ lnfc+i(efc+i — ln %)

1 /at

/fc^ efc+i) + ^Рк+М ^, efc+i

4

1

2

4

1

1

2

1

1

2

2

Тогда

2/&+1(р^ ,ей+1) — //с+1(р^ ,ей+1)

2 ^Уй (*, ей+1) + ^ рй+1 ^ ДД, ей+1^ ^ (*, ей+1) + ■* рй+1 ^ ДД, ей+1

= 2//г(^,ей+1) — //2(^,ей+1) + 2 (^£^+1 ^ ДД , ей+1^

1 /а* \ 1 2 /а* \

— 2 (*,ей+1)Рй+М Д,ей+Ч — *2 Рй+1 I Д,ей+1 )

= 2/ (*,ей+1) — /2(*,ей+1) — 2рй+1 (*5, ек+1^ +

2Р*(77,ей+1 )р^+1(5-е^+1) 2рй+1 (т!<^+1)

+ ^ *5 + *5

г=0

й О, ^2/ '\,„_ /а4 \ ,„2 /а4

^ *2 Р^

2Д (*,ей+1) — //2(*,ей+1) +

2р2(5, е^+1)р^+1(5, ей+1) р!+1(5, е^+1)

— ^--------------

г=0

21

Р2(ей — 1п )2 1п2(ей — 1п ) ■ ... ■ 1п!+1(е^ — 1п ^) •

Последнее равенство дает требуемое утверждение.

Неравенство (13) доказывается аналогично случаю к =1 с учетом неравенства

, ар^ , аД

ей — 1п —— > ей — 1п

V

справедливость которого очевидна, поскольку 0 < рV < 521.

Д - й 2Д

V < 2

М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев в [14] доказали, что для произвольного открытого множества П С Е и произвольной функции и € Н0 (П) верно неравенство

j >п j!(2//^(х))—/ (рv (х))+

П П §"-1

+ 2/(Рv (х))/(Д (х)/2) + / 2(Д, (х)/2))|и(х)|2 dx, (14)

где Д € (0, то] - диаметр и / € Ф2(0, Д/2).

Заметим, что /(*, ей) € Ф2(0, Д/2). Следовательно, неравенство (14) при / = /(*, ей) дает нам следующее соотношение

/|Уи|2<гх > п / / (рг^ху +1:*(р5С)-е>}Ж*)^

,-=0

П §"-1 г=°

п + 4

2

44

' dw(v)|u(x)|2dx. (15)

^ (х)Д (х) Д2(х)

П §"-1

г=0

В [14] авторами также было доказано, что

4 4 (вп-1)2/п 1

4___________d ( ) > /3„-1\2/п 1

Рv(х)Д(х) ДКх) ^ , V п / |Пх|2/п.

§п-1

Объединяя два последних неравенства, мы получим

1 Л Р2(^ ,ел)'

^и^х > п ( 2Г , + ^ Р—25 ’ к )dw(v)|u(x)|2dx+

| | > Ч } Чр2 (х) ^=0 р2 (х) У л л

П П §"-1 г=0

2

+

і—Е

i=G

n

(n-2)/2

4

s2/n

ьга- 1

I u(x) I 2

dx.

Пусть теперь П С Rn - регулярная область с константой регулярности с. А.М. Тухватул-лина в [21] доказала, что тогда

>

2

dw(v)

Р!І (x) “ c2^2(x)

x П.

Заметим, что

k tJ2( «Pv (x)

Sn-1

>

pV(x)

D

■, ek

i=G

pV(x)

1 + Е

i=G

2 t OLpv(x)

Pi ( —^ ,ek

Sn-1

Следовательно,

k //Л2( «Pv (x)

Sn-1

>

pV(x)

D

, ek

i=G

pV(x)

dw(v) У r dw(v) p2(x) . dw(v) У

1 + Е

i=G

2 t ар.(x)

Pi ( —^ ,ek

c2^2(x)

Таким образом, мы пришли к следующему результату

Теорема 5. Пусть П С - регулярная область с константой регулярности с и 0 < а ^ 2. Тогда для произвольной функции и Є С0°(П) и к Є N верно неравенство

к

1+ Е pG( ^,ek) ■... ■ P?( ^k) dx+

/ |Vu|2dx У £/Mf ll+£ p!( ^j..... ^ в

П П \ *=G

+

где

і—

i=G

pi(xek)

а

PM 7T, ek

а

" pi I ~ , ek

n

(n-2)/2

4

2/n

V-l

і

|П|2/п

і

|u(x)|2dx,

(ek — lnx) ln(ek — lnx) ■ ... ■ lni(ek — lnx)

Выражаем искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору Фариту Габидиновичу Авхадиеву за полезные советы и ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дубинский Ю.А Об одном неравенстве типа Харди и его приложениях // Тр. МИАН 269. 2010. C. 112-132.

2. A. Balinsky, A. Laptev, A.V. Sobolev Generalized Hardy inequality for the magnetic Dirichlet forms // Journal of statistical physics(ISSN 0022-4715)(EISSN 1572-9613). 116. 2004. P. 507-521.

3. A. Laptev, T. Weidl Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms // Operator Theory: Advances and Applications 108. 1999. P. 299-305.

4. M. Solomyak A remark on the Hardy inequalities // Integr Equat Oper Th. 19 . 1994. P. 120-124.

5. E.B. Davies Spectral Theory and Differential Operators. Cambridge: Cambridge Univ.Press. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 1995. V. 42. 186 P.

6. E.B. Davies A Review of Hardy Inequalities // The Maz’ya anniversary Collection. V. 2. Oper. Theory Adv. Appl. 110. 1999. P. 55-67.

2

2

n1

S

і

і

2

2

7. E.B. Avkhadiev F.G., K.-J. Wirths Sharp Hardy-type inequalities with Lamb’s constants // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 18. 2011. P. 723-736.

8. Авхадиев Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей. Казань: КГУ. 2006. 140 c.

9. F.G. Avkhadiev Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math. XXI. 2006. P. 3-31 (electronic, http://ljm.ksu.ru).

10. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angew. Math. Mech. 87. 2007. № 8-9. P. 632-642.

11. Авхадиев Ф.Г Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах // Тр. МИАН 255. 2006. C. 8-18.

12. Авхадиев Ф.Г., Насибуллин Р.Г., Шафигуллин И.К. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства // Известия вузов. Матем. № 9. 2011. C. 90-94.

13. H. Brezis, M. Marcus Hardy’s inequality revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 25. 1997. № 1-2. P. 217-237.

14. M. Hoffmann-Ostenhof, T Hoffmann-Ostenhof., A. Laptev A geometrical version of Hardy’s inequality // J. Funct. Anal. 189. 2002. № 2. P. 539-548.

15. Tidblom J. A geometrical version of Hardy’s inequality for W0i,P(Q) // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. № 132. P. 2265-2271.

16. G. Barbatis, S. Filippas, A. Tertikas Refined geometric Lp Hardy inequalities // Communications in Contemporary Mathematics. V. 5, № 6. 2003. P. 869-881.

17. M. Del Pino, J. Dolbeault, S. Filippas and A. Tertikas A logarithmic Hardy inequality // J. Funct. Anal. 259. 2010. P. 2045-2072.

18. S.M. Buckley, R. Hurri-Syrjanene Iterated log-scale Orlicz-Hardy inequalities // (2011) Iterated Log-scale Orlicz-Hardy Inequalities. (Preprint) Department of Mathematics, National University of Ireland Maynooth.

19. Насибуллин Р.Г. Неравенства типа Харди, включающие повторные логарифмы // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского математического общества. 2011. Т. 43, C. 262-263.

20. Насибуллин Р.Г. Некоторое обобщение неравенства Харди // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского математического общества. 2011. Т. 44. C. 221-222.

21. Тухватуллина А.М. Неравенства типа Харди для специального семейства невыпуклых областей // Учeн. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2011. Т.153, №1. C. 211-220.

22. Тухватуллина А.М. Распространение критерия регулярности области Дэвиса на многомерные области и его применение в неравенствах типа Харди // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского математического общества. 2011. Т. 43. C. 350-351.

23. Тухватуллина А.М. Достаточное условие регулярности области и его применение в неравенствах типа Харди // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского математического общества. 2009. Т. 38, C.285-287.

Рамиль Гайсаевич Насибуллин,

Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, д. 18,

420008, г. Казань, Россия

E-mail: NasibullinRamil@gmail.com

Алина Михайловна Тухватуллина,

Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, д. 18,

420008, г. Казань, Россия E-mail: kzn.alina@gmail.com