Об одном дискретном неравенстве типа Харди с логарифмическим весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 2, С. 67-75

УДК 517.165

ОБ ОДНОМ ДИСКРЕТНОМ НЕРАВЕНСТВЕ ТИПА ХАРДИ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ВЕСОМ1

Р. Г. Насибуллин

Мы доказываем новые дискретные неравенства типа Харди с логарифмическими весами. Логарифмический вес находится под знаком модуля. Константа в неравенстве является точной.

Ключевые слова: неравенства типа Харди, логарифмический вес, точность констант.

1. Введение

В 1920 г. при попытке упростить неравенства Гильберта (см. [20, с. 272]), Г. X. Харди в статье [19] получил неравенство:

П=1 П=1

где р > 1, а„ > 0 и Ап = а».

Следующее утверждение является аналогом дискретного неравенства (1) в интегральном случае [20]:

со со

Iр>1'р^1' (2)

0 0

где /(х) — неотрицательная измеримая функция на [0, то), а

/ / (г) йг, р> 1,

р (х) =

0

со

// (г) йг, р< 1.

Константа (р/|р — 1|)р в общем случае не может быть заменена меньшей постоянной. Несмотря на то, что константа неулучшаема, не существует функции, на которой эта константа достигается.

Дальнейшие исследования и обобщения неравенств типа Харди можно найти в работах [2-18, 21-37]. Неравенства типа Харди широко распространены, поскольку они

© 2016 Насибуллин Р. Г.

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 12-01-00636-а и № 14-01-00351-а.

находят широкое применение в математической физике, в анализе и в теории дифференциальных уравнений [1, 5, 11, 16, 24]. Например, С. Л. Соболев использовал их в теории вложения функциональных пространств. Ф. Г. Авхадиев [1] использовал неравенства Харди для оценки жесткости кручения. Результаты А. Лаптева, Т. Вейдла из [24], и результаты А. Балинского, А. Лаптева и А. В. Соболева из [11] могут быть применены при изучении отрицательности спектра двумерного оператора Шрёдингера. Другое применение этих результатов относится к проблеме существования резонансных состояний.

Отметим, что в статьях [13, 14, 17, 20, 26] авторы получили дискретные неравенства Харди. Например, в [26] было доказано следующее обобщение неравенства типа Харди:

те п= 1

/га 1 \

' Е а«

п=1

П

\

<

Р

р — 1 — а

/

р те

Е

п=1

(3)

где ап ^ 0 (п £ Н), р > 1 и —1 < а < р — 1.

Ясно, что дискретные неравенства (1) и (3) при р = 1 и интегральное неравенство (2) при р =1 теряют смысл. В интегральном неравенстве логарифмический вес помогает устранить эту особенность и позволяет получить аналог неравенства (2) при исключительном случае параметра. Примеры использования логарифмов в неравенствах типа Харди можно увидеть в [2-4, 16, 21, 25, 31, 32]. Приведем лишь результат Ю. А. Дубин-ского из статьи [16]:

Теорема А. Пусть / : (0, ^ Ж1 — локально интегрируемая функция такая, что интеграл

У |/(т)|ртр-1(т, р> 1,

сходится. Тогда для любого Д> 0

г 1п |р

/ №

я

((т <

р

р— 1

|/(т)|ртр-1(т

(4)

Обратим внимание, что в (4) логарифмический вес находится под знаком модуля (см. также [3, 16, 25, 31]). Будут ли верпы дискретные аналоги неравенства (4)? В этой работе мы попытаемся ответить на этот вопрос. В первой части этой статьи мы приведем основные и вспомогательные утверждения. Вторая часть посвящена доказательству точности констант. Статьи Ф. Г. Авхадиева и К.-И. Виртца [8-10] также посвящены получению и доказательству точности констант.

2. Основные результаты

Верна следующая

Теорема 1. Пусть р > 1,1 £ [1,р], аг ^ 0 и при цел ом п ^ 1 полагаем, что

'[я]-1 п- 1

Е а* — Е аг, 1 ^ п ^ [Д],

¿=0 г=0

п [Я]+1

Е аг — Е аг, п ^ [Д] + 1,

,¿=0 г=0

р

а

а

п

р

те

г

те

р

1

п

где [Я] — целая часть от числа Я> 1. Тогда верно следующее неравенство типа Харди:

с

^ ' ' л« о. 1 м-г

^ АП / р V А АП-1аП - п —

(п + 1) 11оё^\p-lj + 1)

п

1оёк

Сначала докажем следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Пусть р ^ 1, п £ N и пусть Я — произвольное нецелое положительное число. Если Я > п + 1, то

1 , 1о§ („+1)(1оё|)

Р-(Р~ 1)1 , , „Л >1, (5)

ж если Я < п — 1, то

Р-(Р-1)1 . >1- (6)

к! я /

< Преобразуем неравенство (5). Имеем следующие эквивалентные переходы

^ 1 + (п + 1)1о8^г

Р 1>(Р 1Н 1 | ; ; 1> 1 + (" + 1)1°ё д

" М (п + 1)(1оё|) 1оё| У " (п+1)1оё|

Я Я п I 1

(п + 1) к^ — ^ 1 + (п + 1) 1о§-^^ (п + 1) 1о§-^ 1.

п п +1 п

Последнее неравенство легко устанавливается. Теперь перепишем (6). Имеем

1 , ^ ^

После элементарных вычислений можем получить, что

п п — 1 п

(п + 1) к^ — ^ 1 + (п + 1) 1о§ —— (п + 1) 1о§-- ^ 1.

Я Я п — 1

Последнее утверждение также можно легко показать. >

< Доказательство теоремы. Пусть 1 ^ п ^ [Я] — 2. Определим функцию X следующим образом:

у(„\ _ А___Р А" 1 п

Ап

АП р Ап-1

*<»> = (п+1,(^5)' - ^т (л'~ л"+1'

АП ( 1 р V р АП-1

___I Г__" _^

Р-1) Р-ЧЬё*)"-1 п+1

р \ . р I АП \ ( Ап+1

о-1 1

^ ( 1 V \ V I АЪ \р ( Арп,Л \ I Я

Используя неравенство Гёльдера при соответствующих значениях параметров, мы имеем

АП ( 1 р \

X(п) <

Арп 1 Арп+1

К+1 1 А1 ( Р-1 . 1

¡ГТ ,„ , в - (Р-1)-

Далее воспользовавшись леммой 1, получаем

Х(п) < 1

( „ \

р— 1

АР лр

Ап+1 Ап

1 < п < [Д] — 2.

Очевидно, что X([Д]) = 0 Осталось оценить X([Д] — 1). Используя вышеприведенные рассуждения и неравенство

несложно показать, что

х([д] -1) < — 1 А[ЯЬ1

я У'1

(1оё1яРт)

Далее оценим £^=1 X(п). Имеем

[я ] [я] / Ар лР-1

ЕХ(п) = Е Р Ап

+ Р-ц^^г1

, [Я ]-2

У

^ АР АР ^

га+1 ^га

и^АГ ^ /

4?ы 1 _

'-'О**?*) р-чювлг1

Следовательно, Еп=1 X(п) ^ 0. Таким образом, справедливо неравенство

[я ] лр [я] лР-1 \ ^ _Аг_ Р \ ^ Лп

Пусть теперь п ^ [Д] + 3. Определим функцию У следующим образом: У(г,) - А"___Р А" 1 п

1 )_(п+1)(1о8й)Р ^-Ч^^Г1

1

а

п

Используя определение An, легко показать, что

An Р АП

-1

у(п) =-—рГр - —--—-т{Ап - An_i)

(n + D(iogfr р-^мг1

An f 1 P \ v 4Г1 ,

н--7~,-Г7ГТлга-1

(log V (n + 1) log I p - 1; p - 1 (log If"1

An / 1 Р

(log If"1 V(« + l)logi p-1

p-1

P l К \P ( <-1 n -1

log ■

'-'WW VtewV e «

В силу неравенства Гёльдера, получим

An 1

Y (n) <

Р

(log if"1 V(n + l)(logi) p-1

An . 1 An-1

+

(logD^ilog^)^ Р-ЧЮ^Г1

Apn-1 1 An f p -1 , l4log

p - 1 (bg p - 1 (log [P (n + 1) log | {P 1} log |

В последнем утверждении мы использовали тот факт, что р G (1,р] и log ^^/log ^ < 1. Из леммы 1 следует оценка

р-Лы^г1 irv

Теперь оцепим Y([R] + 1) и Y([R] + 2). Очевидно, что Y([R] + 1) =0. Используя неравенство

li([«]+3)logM±f,

имеем

1Ap Y(\R] + 2) <---М-

^-'(logMaf1

Следовательно, для фиксированного целого N > [R] + 1, получаем

N , АР

у Y(n) ^-----[Д1+2 .

Ji+1 р-Чю^-ту-1

га—1 R

R J

, f 1 ( А£ 1 A*>n <q

п=Щ+ 3 ^ -1 V (log ^Г1 (log J P -1 (log ЯГ1 " '

T- e- SN=[r]+1 Y(n) ^ 0. Следовательно,

Д An Р Д An-1

„ Jf+1 с»+1) (log Й)- « ¡^T Jj+1 (iifp (8)

1

В итоге из (7) и (8), имеем

^ АР р ^ АР-1

Используя неравенство Гёльдера, получим

N Ар

Ап

(п + 1) |1ое ^ N ( АР \ 1_т / / „ \ I

Е („ 1 ^ Иглгг п \Р

п

АР \ ' / / \ I ЛР~1 I

п р Ап ап

п=1 к(п + 1)\ъё%\р ) \\p-lj (п + 1У~1

п

1оёк

1-р

< Л А1 лгЧ 1

Ч + (И + 1)1_г 08 Д '

Таким образом,

Д ^ Р УД ЛГЧ !

Устремляя N ^ го, получаем утверждение теоремы. >

Следствие 3. Пусть ап ^ 0 при каждом целом п ^ 1, р > 1 ж

'[я ]-1 п—1 Е аг — Е аг, 1 « п « [Д],

¿=0 г=1

п [Я]+1

Е аг — Е аг, п ^ [Д] + 1,

г=0 г=0

Ап =

[Д] Д > 1

ство типа Харди

ул Арп / _Р_у арп

3. Точность константы

Покажем, что константа в неравенстве теоремы 1 неулучшаема при I = р. Пусть

'0, 1 « п « [Д],

ап = 1

-т^, п^[Д] + 1,

(п+1)(1о§^) Р

причем р — 1 — е > 0.

У

У=

р арп

г , (п + 1)1-Р'

п=[Я]+1 у у

Прямые вычисления дают

^ / , 1 \ Л „ га\1+е ^

те1

те те

> [ _1_(1г= [ = Н+2

У (г + 1)(1оё^)1+£ У А6 Д

п=[Я]+1 7 V Ь ^ п=[Я]+1 Ь Я 7

Верно следующее соотношение

те

11 ^ <-ттг + / -:-^-тхт ¿г.

Таким образом,

Также имеем неравенство

пп

Аг- - Е . , , г ^(1 +е)/р

п п

(т (т > / -:--т^гтттг ^

[д]+2 (г +1) й)(1+£)/Р {г +1) (Юе / р—1—£ р—1—£\ Р ^ ^ ^ ~ - = Р Я(п).

р— 1 — е Д Д р— 1 — е

Следовательно,

АЪ > ( р \р Нр(п)

(п + 1) (1оё " \Р~ 1 - е/ (п + 1) (1оё

р

Р-1-е/ I / (« + 1)(1оё^)1+£

>, Р У 1-кп

Р~ 1-е/ (п + 1)(1оё^)1+е:

я

где Кп ^ 0 при п ^ го. Таким образом,

у^ ^ > / Р V Д 1 -кп

л« -I- -п ^ \ п — 1 — Р /

К)

п4щ+1 (п+^ «г" ^-1 - («+1) (1о8

N N

^ [ р у I_¿г__Г—е-У ^

I у ± I I юь; г

[Я]+1

^Г + оц,

- £

1

Ясно, что

\Р

£ (ffc) (к«1^) +»0(1)

у (i„gia±H)-' + eo(i)

Устремляя £ ^ 0 получим

Х>( р ^

Y \Р - 1,

Таким образом, при любом £о > 0 существует an = an(£) такое, что выполнено неравен-

nn

ство

n ^ I Р 1/1 \ an

v^ An ( p V ^ ap

Это показывает, что константа неравенства теоремы 1 при I = р является точной.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Ф. Г. Авхадиева за ценные советы и замечания.

Литература

1. Авхадиев Ф. Г. Неравенства для интегральных характеристик областей.—Казань: КГУ, 2006.— 140 с.

2. Авхадиев Ф. Г., Насибуллин Р. Г., Шафигуллин И. К. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства // Изв. вузов. Матем.—2011.— № 9.-С. 90-94.

3. Насибуллин Р. Г. Обобщения неравенств типа Харди в форме Ю. А. Дубинского // Мат. заметки.— 2014—Vol. 95, № 1.—С. 109-122.

4. Насибуллин Р. Г., Тухватуллина А. М. Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей // Уфимский мат. журн.—2013.—Т. 5, № 2.-С. 43-55.

5. Соболев Л. С. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных.—М.: Наука, 1989.—254 с.

6. Апсопа A. On strong barriers and an inequality of Hardy's for domains in Rn // J. London Math. Soc.-1986.-Vol. 34.—P. 274-290.

7. Avkhadiev F. G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math.-2006.-Vol. 21.-P. 3-31.

8. Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Unified Рошсагё and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angew. Math. Mech.-2007.-Vol. 87.-P. 632-642.

9. Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Weighted Hardy inequalities with sharp constants // Lobachevskii J. Math.-2010.-Vol. 31.-P. 1-7.

10. Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin.-2011.-Vol. 18—P. 723-736.

11. Balinsky A., Laptev A., and Sobolev A. V. Generalized Hardy inequality for the magnetic Dirichlet forms // J. of Statistical Physics.-2004.-Vol. 116, № 1-4.-P. 507-521.

12. Brezis H., Marcus M. Hardy's inequality revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 4.—1997.— Vol. 25, № 1-2.—P. 217-237.

13. Chen C., Luor D., and Ou Z. Extensions of Hardy's inequality // J. Math. Anal. Appl.—2002,— Vol. 273.—P. 160-171.

14. Czmesija A. On weighted discrete Hardy's inequality for negative power numbers // J. Math. Inequal. Appl.-2005.-Vol. 8, № 2.-P. 273-285."

15. Davies E. B. A review of Hardy's inequalities // The Maz'ya anniversary Collection. Vol. 2. Oper. Theory Adv. Appl.-1999.-Vol. 110.-P. 55-67.

16. Dubinskii Yu. A. A Hardy-type inequality and its applications // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics.-2010.-Vol. 269.-P. 106-126.

17. Gao P. Hardy type inequalities via auxiliary sequences // J. Math. Anal. Appl.—2008.—Vol. 343.—P. 4857.

18. Gord Sinnamon. Weighted inequalities for positive operators // J. Math. Inequal. Appl.—2005.—Vol. 8, № 3.-P. 419-440.

19. Hardy G. H. Note on a theorem of Hilbert I I Math. Zeitschr.-1920.-Vol. 6.-P. 314-317.

20. Hardy G. H., Littlewood J. E., and Polya G. Inequalities.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1973.

21. Hoffmann-Ostenhof M., Hoffmann-Ostenhof T., and Laptev A. A geometrical version of Hardy's inequality // J. Funct. Anal.-2002.-Vol. 189, № 2.-P. 539-548.

22. Kufner A., Persson L.-E. Weighted Inequalities of Hardy's type.—World Sci. Publ. Co Inc., 2003.—376 p.

23. Landau E. A note on a theorem concerning series of positive terms: extract from a letter of Prof. E. Landau to Prof. J. Schur // J. London Math. Soc.-1926.-Vol. l.-P. 38-39.

24. Laptev A., Weidl T. Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms // Operator Theory: Advances and Appl.-1999.-Vol. 108.—P. 299-305.

25. Ling-Yau Chan. Some extensions of Hardy's inequality // Canad. Math. Bull.—1979.—Vol. 22, № 2.— P. 165-169.

26. Liu J., Xuande Zhang, and Bo Jiang. Some generalizations and improvements of discrete Hardy's inequality // Comp. Math. Appl.-2012.-Vol. 63.-P. 601-607.

27. Miclo L. An example of application of discrete Hardy's inequalities // Markov Processes Relat. Fields.— 1999.-Vol. 5, № 3.-P. 319-330.

28. Miklyukov V. M., Vuorinen M. K. Hardy's inequalities for W01,p — functions on Riemannian many-folds"// Proc. Amer. Math. Soc.-1999.-Vol. 127, № 9.-P. 2745-2754.

29. Muckenhoupt B. Hardy's inequality with weights // Stud. Math.—1972.—Vol. 44, № 1.—P. 31-38.

30. Okpoti Ch. A., Persson L.-E., and Wedestig A. Weight characterizations for the discrete Hardy inequality with kernel I I J. Math. Inequal. Appl.-2006.-Vol. 2006.-P. 1-14.

31. Pachpatte B. G. A note on certain inequalities related to Hardy's inequality // Indian J. Pure Appl. Math.-1992.-Vol. 23, № 11.-P. 773-776.

32. Pecarid J. E., Love E. R. Still more generalization of Hardy's inequality // J. Austral. Math. Soc. Ser. A.-1995.-Vol. 59.—P. 214-224.

33. Qiang Chen, Bicheng Yang. Half-discrete Hardy-Hilbert's inequality with two interval variables // J. Math. Inequal. Appl.-2013.-Vol. 485.

34. Stepanov V. D. The weighted Hardy's inequality for nonincreasing functions // Trans. Amer. Math. Soc.-1993.-Vol. 338, № l.-P. 173-186.

35. Talenti G. Osservazione sopra una classe di disuguaglianze // Rend. Semin. Mat. Efis. Milano.—1969.— Vol. 39.—P. 171-185.

36. Tomaselli G. A class of inequalities // Boll. Unione Mat. Ital. Ser.-1969.-Vol. 4, № 6.-P. 622-631.

37. Wannebo A. Hardy Inequalities I I Proc. Amer. Math. Soc.-1990.-Vol. 109, № l.-P. 85-95.

Статья поступила 28 августа 2014 г.

Насивуллин Рамиль Гайсаевич Казанский (Приволжский) федеральный университет, старший преподаватель каф. теории функций и приближений Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского РОССИЯ, 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18 E-mail: NasibullinEamilOgmail. com

ON A DISCRETE HARDY TYPE INEQUALITY WITH LOGARITHMIC WEIGHT

Nasibullin R. G.

We prove a new discrete Hardy type inequality with logarithmic weight. Logarithmic factors are located under the module sign. The constant in this inequality is sharp.

Key words: Hardy type inequality, logarithmic weight, sharpness of constants.