Неравенства типа Харди для специального семейства невыпуклых областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 153, кн. 1

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2011

УДК 517.9

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОГО СЕМЕЙСТВА НЕВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЕЙ

А. М. Тухватуллич ш,

Аннотация

В работе для специального семейства певыпуклых областей получены вариационные неравенства типа Харди, которые являются аналогами неравенств для выпуклых областей, представленных ранее в статьях М. Hoffmauu-Ost.enliof, Т. Hoffmauu-Ost.enliof, A. Laptev "A geometrical version of Hardy's inequality" (J. Funct.. Anal. 2002. No 189. P. 539-548) и J. Tidblom "A geometrical version of Hardy's inequality for W0'p(fi)" (Proc. Amer. Mat.li. Soc. 2004. No 132. P. 2265 2271). Нами предложено также достаточное условие регулярности для многомерных областей, которое используется для доказательства неравенств типа Харди. В качестве примеров представлены неравенства типа Харди для конкретных певыпуклых областей в двумерном и трехмерном пространствах.

Ключевые слова: неравенства типа Харди, выпуклые области, регулярные области.

Введение

Вариационные неравенства являются одним из важнейших инструментов решения задач математической физики. В настоящей работе мы рассматриваем вариационные неравенства типа Харди. Исследованию и доказательству неравенств типа Харди и их модификаций посвящено множество научных работ, в частности недавние статьи Ф.Г. Авхадиева. К.-И. Виртса. X. Брэзиса. М. Маркуса. Е. Дэви-са. М. Хоффманн-Остенхоф. Т. Хоффманн-Остенхоф. А. Лаптева. Ж. Тидблома (см. [1 8]).

Неравенство типа Харди. доказанное М. Хоффманн-Остенхоф. Т. Хоффманн-Остенхоф и Ари Лаптевым в статье [7], для произвольной области О С Мп (п > 2) и произвольной функции и £ Яд (О) имеет вид:

1\Уи(х)\\1х>^1 I ^1\и(х)\\1х+ "'^^Г1 I |'Ц(.г')|2 с1х, (1) О О О

где |О| - мера области О, р„(х) - расстояние от точки х £ О до границы области О то направлению вектора V £ 8п-1, вп-1 есть площадь поверхности единичной сферы 8п-1 в пространстве Мп: вп-1 = |§п-1|, dSn_1(v) - элемент площади

, dSn_1(v)

поверхности единичной сферы § . сш{ь') =-.

«п-1

В [7] доказано также, что в случае выпуклой области О С Мп неравенство может быть существенно упрощено, а именно: (1) можно записать в виде

Г 1 Г |и(х)I2 п(п_2)/п„2/п

I |УИ(х)|2 <Ь > \ I ^ (1х + " 4|п|з/Г1 I Нх)? ^ (2)

О О О

где 6(х) = dist (х, дО).

Впоследствии Ж. Тидблом в [8] распространил неравенство (2) на случай выпуклых областей П С М" и функций u £ Wq1'^^) (p > 1) :

S'P(x) +

|У«(ж)|р dx > Ср I 1 ¿/J dx + J I |«(ж)|р dx, (3)

о о

где

ть "I- р

р-IV , , (Р-1Г+! ^n-iyV" — , а{Р, п) = -Z-

ПР-±1)гС-) 2 2

Сопоставив неравенства (1) и (2), мы задались вопросом, существуют ли невыпуклые области, для которых справедливы аналоги неравенства (2), доказанного в [7] для выпуклых областей. В настоящей работе мы даем положительный ответ на поставленный вопрос и представляем специальный класс невыпуклых областей,

(2)

1. Достаточное условие регулярности многомерных областей и его применение в неравенствах типа Харди

Предварительно введем необходимые нам определения и обозначения. Пусть П С М". Следуя Е.Б. Дэвису (см. [9]) определим функцию tv (x) как расстояние между точкой x £ П и ближайшей точкой, принадлежащей границе дП, по направлению вектора v £ S"-1:

tv(x) = min{s > 0 : x + sv £ П}.

Введем также pv (x) - расстояние до границы по паправлению v, диаметр Dv (x) вдоль направления v и 50(П) - внутренний радиус области П следующим образом:

Pv(x) = min{Tv(x),t_v(x)}, Dv(x) = rv(x) + t_v(x), ^>(П) = sup 5(x).

xeo

Определим псевдодистанцию m(x) от точки области П (см. [9]):

1 _ 1 Г d&n~1(i/) m2(x) ~ IS"-1! J т?(х) '

gn-l

Пусть а £ дП, r > 0. Определим область П(a,r):

П(а, r) = {y £ П : |y - а| < r}.

а П П

если для нее выполняется условие:

3 x £ П : |x — а| = dist (x, дП).

П дП

Следуя [9], введем понятие регулярной области в пространстве М". Будем говорить, что область П С М" - регулярная область, если существует конечная константа c такая, что

J(x) < m(x) < cJ(x) Vx £ П.

Для двумерных областей Е.Б. Дэвис привел достаточное условие регулярности области (см. [9]):

Область П С М2 регулярна, если существует константа ci > 0 такая, что

|{y G П : |y - а| < r}| > 2c1 r2 V a G дП, V r > 0.

Мы несколько ослабляем достаточное условие регулярности Дэвиса и обобщаем его на случай многомерных областей. Впоследствии это условие и полученные нами

c

ства неравенств типа Харди для иевыпуклых регулярных областей.

Теорема 1. Если существует положительная константа с такая, что

|с(a, r)| = mes(c(a,r)) > Crn V a G дП, V r :0 <r < ¿0(П),

то область П С Mn регулярна.

Доказательство. Выберем произвольную внутреннюю точку x области П. Пусть

r = J(x) = |x — a|

a G д . r

подняться ограничения: 0 < r < ¿о(П). Введем множества

Sq(a r) = {v G Sn-i : x + sv G q(a, r) для некоторого s > 0},

Лс(a,r) = {y = |y|v G Rn : r < |y| < 2r, v G SQ(a,r)}.

Из геометрических соображений ясно, что тогда

r < s < 2r |q(a,r)| < |лс(a r)|. Мера указанной области Л^(a r) есть

2r

1q(a,r)| =

1ЛПГа. J = I Pl = (2" l^"-1!.

Г SQ(a,r)

где |cn 1| = dSn 1(v) - площадь поверхности Sq(a r) •

(a,r)

Следовательно,

а значит,

(2П — 1 )rn _ _

^-— IS"-11 > \Ща,г)\ > crn,

|Cn-1| >

2n 1

Тогда

1 f dSn~ (v) 1 Г dSn~ (v)

m2(x) |Sn-1| У t2(x) " |Sn-1| У r2(x)

S"-1 SC(a,r)

1 Г cW'-1^) _ IS"-1! cn

> IS"-1! J 4с52(ж) ~ 4|§"-1|(52(ж) - 4с52(ж)|§"-1|(2" - 1)'

(a,r)

1

Здесь мы воспользовались определением tv (x) и неравенством s < 2r. Таким образом, существует константа

с = 2 р"-1!^" -1Л 7 . т(ж) < cS{xy

В двумерном и трехмерном случаях получим соответственно:

f 3п \1/2 f 7п \1/2

< = Чт) • С = 4Ы •

Неравенство S(x) < m(x) следует из простой цепочки соотношений:

1 _ 1 [ ci§n-V) < 1 f dS"-1^) _ 1

m2(x) |Sn-1| У t22(x) - |Sn-1| У S2(x) S2(x)'

Sn-i sn-i

Итак, мы доказали, что

3 c < : S(x) < m(x) < cS(x) Vx £ Q. Следовательно, i} регулярная область. □

Используя доказанное нами достаточное условие регулярности области, несложно построить примеры иевыпуклых регулярных областей.

Пример 1. В двумерном пространстве рассмотрим область Q концентрическое кольцо, образованное двумя окружностями радиусов R1, R2 (R2 < R1).

R1

Покажем, что в случае Ro > — область Q будет регулярной. Заметим, что при

5 _

невыполнении этого условия величину |Q(a, r)| те удастся оценить снизу через r2 для всех точек a £ dQ и пропзвольного r > 0.

При До > —- ясно, что 5o(Q) = ——- < 2До. 52

a

R2 r < 2R2 r a

R2 r < 2R2

этих двух точек пересечения с точкой a, мы получим некоторый угол а с вершиной в точке a: 0 < а < п), либо в одной точке (при r = 2R2).

Пусть сначала r < 2R2 и 0 < а < п/2. Q(a, r) состоит из сектора круга радиуса r, соответствующего центральному углу а, и двух одинаковых сегментов R2

|Q (a,r)|:

-- r2 / п — а

|il(a>r)| = T^2a+i^R5y-2tg(a/2)

которое в силу возрастания функции

па

Y{a) = 2a + - 2 tg (a/2)

\ cos2 (а/2)

при 0 < а < п/2 приведет пас к пеулучшаемой оценке:

Q(a,r) >

2

nr2

В случае г < 2Д2 и п/2 < а < п оценим величину °(а, г) через площадь сектора круга радиуса г, соответствующего центральному углу а > п/2:

~ пг2

П(а,г) > —.

При г = 2Д2 круг пересечет окружность радиуса Д2 лишь в одной точке, и °(а, г) есть круг радиуса Д2 ,

Для граничных точек, лежащих на окружности радиуса Дх, очевидно, имеем

Таким образом, область ^ регулярна, так как

2

|Й(а, г)| > = сг2 V о € ¿К2, V?- : 0 < г < д0(Г1), с = р

причем константа с из достаточного условия регулярности (теорема 1) является точной.

Пример 2. В трехмерном пространстве рассмотрим область П шар с удаленным из него шаровым сектором. Рассмотрим соответствующий данному шаровому а

лучается при рассмотрении центрального сечения конуса, 0 < а < п, Д - радиус шара, 0 < Д < го. Для любого г : 0 < г < ¿0(О) = Д/2 оценим объем области 0(а, г) для точек а, принадлежащих множеству регулярных граничных точек дО области П:

1) если а - центр шара, тогда, очевидно, область °(а, г) есть шаровой сектор,

г

|Г2(о, г)| = ^7Г'Г3 8т2(а/4);

а

сектора, то

> ^7гг38П12(а/4);

а

чек из пункта 2), тогда объем области °(а, г) будет не меньше объема полушара г

2

N«01 >

Обобщая полученные результаты, получим точную оценку:

4п 4п

> —г38П12(а/4) = сг3 Уа€дП, с = — зт2(а/4).

Следовательно, П регулярная область.

Нетрудно показать, что всякая выпуклая область О С М" является регулярной областью.

Действительно.

11 Г dSr-1(v) _ 1 Г dSr-1(v) Г dSn-1(i

m2(x) |Sr-1| У T2(x) 2|Sr-1| \ J T2(x) J т-v (x)

1 f dSr-1(v) 1 f dSr-1(v) 1 f dw(v)

2|S»-i| J min2{t„(x),t^(x)} 2|S"-i| J 2 J

-i

Исходя из определения величин р и (х), 6(х) и их геометрической интерпретации, для точек выпуклых областей несложно вывести неравенство:

[ <Ь){у) 1 1

J р2(x) n S2(x)'

gn-1

x £ Q, Q - выпуклая в Rn область. Следовательно,

1 1 1

>

m2(x) 2 nS2(x)'

или

пг(х) < \/2n6(x).

Таким образом, всякая выпуклая область Q С М" является регулярной с константой c = а/2п.

Как будет показано в следующей теореме, класс невыпуклых регулярных областей является специальным классом невыпуклых областей, для которого нам удалось получить аналоги неравенства (2), доказанного в [7] для выпуклых областей.

Теорема 2. Пусть Q С Rn - произвольная регулярная область с константой регулярности c, u £ Hq(Q) - произвольная функция. Тогда справедливо неравенство: 2/

J |Vu(x)|2 dx >7^2 J dx + П 4|П|2/»"~1 J M*0|2 dx.

n n n

Доказательство. Как известно из работы [7], для произвольной области Q С С Rn и произвольной функции u £ Hq(Q) справедливо неравенство:

f ^ , w2 1 n Г Г du(v) ,i2 1 n(-n-2)/ns2Jn1 Г |u(x)|2 , j \Vu(x)f dx > - j J -ЛЛ\и(х)\2 dx +-

n n gn-1 n

Если Q С Rr - регулярная область с константой c, то из рассуждений, проведенных выше, мы получим:

[ dw{v) _ 2 2

р2 (x) m2(x) c2S2(x)

Sn-1

Следовательно,

,2 , ^ n Г |u(x)|2 , n(r-2)/rsr/-ri [ |u(x)|2

|V«(x)|- dx dx +-J ^^ dx,

nn

S

n

или

|Уы(ж)|" с1х > —-

п I' |и(ж)

2с2 У ¿2(ж) п

■ ¿ж +

(п-2)/п „2/"

5п-1

4|О|2/"

|и(ж)|2 ¿ж.

Теорема доказана.

В случаях п = 2, п =3 наше неравенство существенно упростится:

|Уи(ж)|2 ¿ж >

1 Г |и(ж)

с2 У £2(ж)

¿ж +

2| |

|и(ж)|2 ¿ж

□

с С М2

функции и € Яо(О ), и

J |У'ы(ж)|2 ¿ж > ¿У

|и(ж) £2(ж

■ ¿ж

3п2

4| | 2

1/3

|и(ж)|2 ¿ж

с С М3

функции и € Н°(О ).

Для концентрического кольца из примера 1 и для шара с вырезанным сектором из примера 2 соответственно получим неравенства:

/ |У'Ы(Ж)|2 ^ ^ / ^ + 2(Д2-Д2) / |И(Ж)|2

' , м2 , 3 вш2(а/4) Г |и(ж)|2 , |Уи(ж)|2 ¿х > -^^ J ШЬ ¿х -

п

З^2

1/3

|и(ж)|2 ¿ж,

где = -тгД3со82(а/4).

2. Неравенства типа Харди для невыпуклых регулярных областей и функций из пространства

Обратимся теперь к неравенствам типа Харди. полученным Ж. Тидбломом в [8]. которые обобщают результаты М. Хоффанн-Остенхоф. Т. Хоффманн-Остенхоф и А. Лаптева па случай функций из пространства ^01,Р(О ) для произвольного р > 1.

Для произвольной области О С М", функции и € ^(°'р(О) неравенство типа Харди (см. [8]) выглядит следующим образом:

|Уи(ж)|р ¿ж >

п + р 2

г' ^т1)г (Ю«-1

^ р','^ ¿¿¿{и) с1х-\- [ \и(х)\р <1х, (4)

|О|Р/п

где

С = ,'£^1V, „, = '

р

р

Г(Р±±)ГС-) у о 2

п

п

п

с

п

Ж. Тидблом также доказал, что для выпуклых областей П С М" и функций и £ ^^(П) (р > 1) неравенство (4) может быть существенно упрощено:

|Уи(ж)|Р ¿ж > ср

((а

■ ¿ж

«(Р, п)

|и(ж)|Р ¿ж.

(5)

п п п

Для иевыпуклых областей неравенств, аналогичных неравенству (5), в литературе мы не нашли. Получим их для невыпуклых регулярных областей. Предварительно докажем вспомогательную теорему.

ж

с области П С М", верно неравенство:

[ с1и>(г;) 2'Р/2

(ж) тр(ж)

Доказательство. Имеем

то есть

Поэтому 1

р1(ж)

<

рр (ж)

2/р

1-2/р

р? (ж)

2/р

рр (ж)

>

рЗ(ж)

Р/2

тр(ж)

1

р/2

2|§"-1|

—1

(ж)

' Ж""1 (г/)

ТЛж)

Р/2

Р/2

|§"-1|

Ж""1 (г/)

Р/2

Р/2

2|8"-1|

т- , ,(ж)

2|8'

"-11

1

Р2 (ж)

Р/2

<

Ж""1 (г/) Р2 (ж)

2Р/2 У рР(ж)'

Получили требуемое.

Используя теорему 3, легко приходим к следующему результату:

□

Теорема 4. Для произвольной регулярной области П С М" с константой регулярности с, функции и £ ^01,Р(П ) (р > 1) справедливо неравенство:

|Уи(ж)|Р ¿ж >

п + р 2

г.£±1 г (2

пп

сР ] ¿Р(ж п

п —1

п — 1

п —1

п —1

1

п— 1

с

X

п

Доказательство. Действительно, для каждой точки ж регулярной области П справедливо неравенство:

т(ж) < с£(ж),

где с - константа регулярности данной области, следовательно,

[ с1Ю{1У) 2р/2 2'Р/2

У рр (ж) тр(ж) ср№(ж)

□

с

ции и € ^^(П ) получим следующее неравенство:

|Уи(ж)|Р ¿ж >

Ср^Г + 1)

г|и±1

\ п п

Если П коицеитрическое кольцо, то, очевидно, имеем:

Для регулярной с константой с трехмерной области П и функции и € ^^(П ) верно неравенство:

|Уи(ж)|Р ¿ж > ср(р + 1)

Р V

о

2р/2 г 1'ы(-г*)1р , , , 4п у/3 Г

— У "ад" + " ЧЭД>) У |и(г)|

п я

В случае шара с вырезанным сектором (пример 2), очевидно, получим: / |Уи(ж)|Р ¿ж > ср(р+1)

п

[ Щ- <ь+(р -1) Г4^У/31 м*ж <**

14Р/2 У ^ ; У

п я

величина |П| была определена выше.

Выражаю благодарность своему научному руководителю профессору Фариту Габидиновичу Авхадиеву.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (госконтракт Л*1' 02.740.11.0193) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л*1' 11-01-00762а).

Summary

A.M. Tukhvatullina. Hardy Type Inequalities for a Special Family of Non-Convex Domains.

In this work, we obtain Hardy type inequalities that involve the distance to the boundary and the volume of a domain for a special family of non-convex domains. These inequalities are analogues of the inequalities for convex domains proved by M. Hoffmauu-Ost.euhof, T. Hoffmauu-Ost.euhof. A. Laptev, and J. Tidblom. To prove Hardy type inequalities, we propose a sufficient, condition of regularity for multidimensional domains. Hardy type inequalities for certain non-convex domains in two- and three-dimensional spaces are used as an example.

Key words: Hardy type inequalities, convex domains, regular domains.

Литература

1. Aoxadueo Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей. Казань: Казан, гос. ун-т, 2006. 140 с.

2. Aexaduee Ф.Г. Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах // Труды Матем. ип-та им. В. А. Стеклова. 2006. Т. 255. С. 8 18.

3. Avkhatliev F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit, estimate of constants // Lobaclievskii J. Math. 2006. V. 21. P. 3 31.

4. Avkhatliev F.G., Wvrths K.-J. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angew. Math. Mecli. 87. 2007. H. 8 9. P. 632 642.

5. Brezis H., Marcus M. Hardy's inequalities revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4). 19978. V. 25, No 1 2. P. 217 237.

6. Davies E.B. A review of Hardy inequalities // The Maz'ya anniversary Collection, V. 2. Oper. Theory Adv. Appl. 1999. V. 110. P. 55 67.

7. Hujfjnann-Ostenhuf M., Hujfjnann-Ostenhuf Т., Laptev A. A geometrical version of Hardy's inequality // J. Funct.. Anal. 2002. V. 189, No 2. P. 539 548.

8. Tidblom, J. A geometrical version of Hardy's inequality for W0'p(fi) // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. V. 132, No 8. P. 2265 2271.

9. Davies E.B. Spectral Theory and Differential Operators // Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. V. 42. 186 p.

Поступила в редакцию 17.01.11

Тухватуллина Алина Михайловна аспирант Казанского (Приволжского) федерального университета, лаборант-исследователь Научпо-образователыюго центра КФУ «Экстремальные задачи комплексного анализа и математической физики». Е-шаП: кгп.аЫпавдтай.сот