CC BY
19
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 1 (2017). С. 89-97.
УДК 517.5, 517.9
ТОЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ С ВЕСАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Р.Г. НАСИБУЛЛИН
Аннотация. Доказываются точные неравенства типа Харди с весами, зависящими от функции Бесселя. Получены одномерные ^-неравенства и приведен пример распространения этих неравенств на случай выпуклых областей с конечным внутренним радиусом. Доказанные утверждения являются обобщением на случай произвольного р > 2 соответствующего неравенства, доказанного Ф.Г. Авхадиевым и К.-Й. Вирцем для р = 2.
Ключевые слова: неравенства Харди, функции Бесселя, константа Лямба, функция расстояния, внутренний радиус, выпуклая область.
Mathematics Subject Classification: 26D15
Введение
Неравенства типа Харди связывают функцию и ее производную в интегральном соотношении, и при этом являются инструментом решения некоторых задач математики и математической физики. Неравенства Харди с весами произвольного вида получили систематическое развитие в работах В. Левина [1], П.Р. Бисака [2], Дж. Таленти [3], Дж. Томаселли [4], Б. Макенхоупта [5], Дж. Синомона и В.Д. Степанова [6] и других математиков. Например, Дж. Таленти, Дж. Томаселли получили необходимые и достаточные условия на весовые функции, для которых выполнены соответствующие неравенства. Отметим также работу Ф.Г. Авхадиева и К.-Й. Вирца [7], в которой установлены неравенства типа Харди с весовыми функциями, зависящими от функции Бесселя порядка v:
оо
(—1)к х2к+и
Л(х) = ) „, , \ ' -т, ж> 0, V > 0.
^022к+и к\Г(к + 1 + и) >
Приведем формулировку этого результата:
Теорема А. Пусть в е (0, +<х),и е (0, +<х),д > 0, Фи,д(¿) := (А(2/д)^9/2) и абсолютно непрерывная функция и : [0,1] ^ Е, такая что и(0) = 0 и )/4 е Ь2[0,1]. Тогда
1
и,2 dt > „ ¡u2(t) (Л - у У + q2\l (2/q)\ dt
ф-:л*) > Ч t2 \ 4 + и-* J ф*-1 (t) ■ 0
Неравенство является строгим, если / ^ 0 и в ^ ^. Если в > , то равенство в неравенстве достигается тогда и только тогда, когда и(£) = Сгде С — некоторая константа.
Отметим, что в статье [7] также получены аналоги неравенства (1) в произвольных выпуклых областях с конечным внутренним радиусом.
R.G. Nasibullin, Sharp Hardy type inequalities with weights depending on Bessel function. © НАСивуллин Р.Г. 2017.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00351-а) и при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта №15-41-02433.
Поступила 8 декабря 2015 г.
Величину (г), которая определяется как положительный корень уравнения:
г 3У (г) + 2г 4 (г) = 0,
г > 0,и > 0, следуя статьям [7] и [8], будем называть константой Лямба.
Неравенство (1) является логическим развитием, с одной стороны неравенств типа Хар-ди с весами, а с другой — неравенств с дополнительным слагаемым. Постановка задачи получения неравенств типа Харди с дополнительными слагаемыми принадлежит Х. Брезису и М. Маркусу [9]. Неравенства Брезиса и Маркуса получили широкое развитие, например, в таких работах как [7], [8], [10] - [16].
Данная статья посвящена получению Ьр-аналога неравенства (1). Особенностью полученных неравенств являются точные константы (см., например, [7], [8], [10]—[13], [17], [18]) и ядра, зависящие от функции Бесселя. Стоит отметить, что с помощью подхода Ф.Г. Ав-хадиева (см., например, [17], [22]—[24]) каждое полученное в данной статье одномерное интегральное неравенство типа Харди можно распространить на произвольную выпуклую область П с конечным внутренним радиусом
50 = £0(П) = вир 5,
хеп
где 8 = &81;(:г,5П). Чтобы подтвердить эту возможность, мы приводим в статье следующее неравенство в пространственном случае, которое можно рассматривать как один из основных результатов данной статьи.
Пусть С*0(П) — семейство непрерывно-дифференцируемой функции / с компактным носителем в П. Справедлива
Теорема 1. Пусть П — п-мерная выпуклая область евклидова пространства Ега, 50 = ^о(П) < то. Если в € (0, +то), V е (0, € [2, 'то для произвольной функции
f € Со(П) выполнено следующее неравенство типа Харди:
[У/М^ (р + э - 2Г-1 г |/(*Ж ( п5_V-2
т*-1( г " (р - 1)Р-2 т*] 8т*-1( )Г§2^ ^
где -1 — первый положительный нуль функции Бесселя -1(ж).
Частные случаи этого результата связаны с неравенствами Пуанкаре, доказанных Дж. Херчем в [19] и Л. Пейном и И. Стакгольдем в [20].
Вспомогательные результаты
Нам потребуются некоторые свойства функции Бесселя. В статье [7] ввели функцию
^(г) = Г/2.1и (Аи(2г/д)^/2) , ье [0,1],
где через обозначена функция Бесселя.
Известно (см. [8]), что константа Лямба Аи связана с первым положительным корнем функции Бесселя порядка V следующим образом
А, (2и) = ^-1. (2)
Отметим, что функция у = (¿) является решением следующего дифференциального уравнения:
2 „ , ч / (г2 - ^Я2 Ч2А1 (2г/Я) \ еу" + (1 - гм + —+4 ^1 Ч)) у = 0. (3)
Пусть теперь
^(¿) := ^д^(¿), при V = 1/д.
Используя связь (2) и поведение функции Бесселя вблизи нуля, а именно,
(*) = + ^ пРи ^
легко получаем
л,
Р„(*) = уД(Ъ-^'М) = 2гт^-+ * + <#), * ^ ° + . (4)
В статье [10] также приведены следующие свойства функции ^:
^(1) = о, ^(¿) > °,Х е (°, 1] и ^(¿) > е (°, 1). Для абсолютно непрерывной функции и такой, что и(°) = ° и и' е Ьр (°, 1), пользу-
X
ясь соотношением |и(х)| ^ / |и(£)|сЙ и неравенством Гельдера, имеем
о
Р-1 X
|и(х)|" ^ | / |и'(¿)|(Й | = | / г^сИ ) I =
) "-1х'+р-*[ ^л.
- 2) у V-1
Легко показать, что
Ит и"(^ >1-1(г) =° и"(1)П-1(1)
^0 ^+"-2(£) ^+"-2(1) Одномерные неравенства мы получим как следствия леммы Д.Т. Шама из статьи [21], которая формулируется следующим образом:
Лемма Б. Пусть и(Ь) — абсолютно непрерывная функция на [а, Ь], такая что и'(¿) > ° почти всюду. Также, будем полагать, что Я(£) — положительная и непрерывная на (а, Ь), и С(и, ¿) — непрерывно дифференцируемая по Ь в [а, Ь] и и в пределах функции и(Ь), Си(и, Ь)>0. Тогда, если интеграл существует, то
I (яи'" + ^у/(Р ) (р - 1)GpJ("-1)Q-1'("-1) + сСЛ сИ > с{С(и(Ъ), Ь) - С(и(а),а)},
а ^ '
где с — произвольное положительное число, р > 1 и
Gu = (д/ди^(и, х)^х = (д/дх^(и, х).
В неравенстве будет равенство тогда и только тогда, когда выполнено следующее дифференциальное уравнение
1/("-1) fG \ 1/("-1) с \ / Gu \
и = \р) Кя)
Замечание 1. Стоит отметить, что утверждение леммы В напрямую даст неравенства лишь для монотонных функций. Следующие рассуждения показывают, что из соответствующего неравенства Харди для монотонных функций, следует результат для произвольных функций.
Пусть для монотонной положительной функции д и положительных весовых функций и V выполнено следующее неравенство:
ь ь
/ д"(х)т(х)(1х д'"(х)у(х)йх. (5)
Положим, что
1>Х г-х
д(х) = \Г Ц)\(И и ¡(х) = Г(г)сИ. ./о ио
Тогда
Х
\!(х)\ ^ \m\dt = д(х),д'(х) = Ц'(х)\. о
Откуда следует, что
У \¡(х)\рт(х)dх ^У др(х)т(х)dх ^ С^ д'р(х)ь(х)dх = С^ Ц'(х)\рь(х)dх.
а а а а
Таким образом, получаем неравенство для произвольной абсолютно непрерывной функции.
Ясно, также что если в неравенстве (5) достигается равенство на некоторой функции д0, то в классе произвольных абсолютно непрерывных функций константа в неравенстве является неулучшаемой.
Основные результаты, относящиеся к одномерным интегралам
Нам удалось найти такие частные случаи функций С и Q, при которых, используя свойства функции Бесселя, из леммы И можно получить следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть в е (0, +ж),и е (0, +ж),р Е [2, +ж) и Р,(г) = УЪ(¿,-1г1/(2и)). Если функция и : [0,1] ^ Е абсолютно непрерывна, и(0) = 0 и и'/Ь(в-1'1/р е Ьр(0,1), то
1 1 О
/ и'(Л\р ^ > (Р + 8 - 2)р-11-1 Г \иШ[Ш\ dt Ггл
] ()\ РГ1^) - (р- 1)р-2 4р2 ] I2-1 и,Ргчгу
о
В неравенстве будет равенство тогда и только тогда, когда функция
P+s-2
u(t) = CFv (t),
где С — некоторая константа.
Доказательство теоремы 2. Не ограничивая общности, нам достаточно доказать утверждения для положительных и монотонных функций, так как для произвольных функций наши неравенства получаются как следствия. Пусть в лемме В величина а = е,Ъ = 1 и
-2 у-1 с(и г) = (т у-1 Ш) 1
р- 1 ) ,С(иг) = рГ1а){р„а)) ,т = рГ1а)-
Элементарными выкладками несложно получить, что
■\р/(р -1) ир(,) с \ ^ л\пр/{р- 1)^>-1/(р-1) _ „р/(р-1)^ 1\ и (Ь)
и
g)' Р- & - ^-"Q-1^=(Р - DFf%(F§)'
Р 1 \ Т?ии\ / T7IUWP-2
се = сиР(о( "-8 ЩР+(р^чшгъmр-ч
cGt = с" (i4F^m lFût)) + Fi(t) [FÛT)) .
Имеем
(-) (p - l)GpJ(p-l)Q-l/(p-l) + cG =
u% ( m ï ^+«2 - p- ( fI y
Fs-
V
р + о-л^ (í) (KW-"-2
р - w (р - 1k(í)F.W
Таким образом, из леммы B следует
\Fv (t)J
/(Ä+t^)"-I о -1™f§(Fü)">-
£ 4 '
(p + s - 2V-1 Í «"(1) (FW)Y-1_ u"Q0 (FMY-1\
V P- 1 ) \f--1(iAF,(1)J F^-1(e)\Fv(e)j f-
>" Р-1 ) [рГ1^)^(1)
В последнем неравенстве воспользуемся уравнением
-?2 1 рц (г) + (г) г2+1
и перейдем к пределу при е ^ °. Получим
1 1
' ">(л dt > (p + s - 2)"-1 ¿2-1 ZuWFM\"-2 dt
U ( )F*-l(t) - (p - 1)"-2 4v2 J t2-1 \FV(t)J
F^-1(t)~ (p - 1)"-2 4u2 J t2-1 \FV(t)J F¿-1 (t)'
0
Уравнение (7) является частным случаем (3) при v = г/q.
Из леммы B также следует, что константы будут точными, если
U (t) = p + s - 2 Fl (t) u(t) = p- 1 Fi(i)'
P+s —2
То есть при u(¿) = CFj, p—1 (t) вместо неравенства будет равенство. Легко проверить, что
p+s —2
функция CFV р—1 (t) удовлетворяет условиям теоремы.
Далее приведем два следствия теоремы 2. Используя, что
т . . /2 sin¿ т . . /2 cosí
JV2{t)4 , J-^) = sj■
и как следствие, j-1/2 = -/2, j1/2 = - (см. подробнее [8]), получим
Следствие 1. Пусть s Е (0, +то),р Е [2, и абсолютно непрерывная функция u на [0,1], такая что «(0) = 0 и u'"(t) sin1-s(í) интегрируемая на [0,1]. Тогда
1 1 о
1 ¡u(t)¡" dt + 8 - 2)"-1 (-V ПиШ"(ctg-1 У-2_Ё._ (8)
J sins-1(-t/2)d (р - 1)"-2 Ы J ¡U(t)¡ Г§2^ sin"-1 (-t/2)' (8) 00
p+s —2
Равенство в неравенстве достигается при u(t) = Csin p—1 (-t/2), где C — некоторая константа.
При s = 1 ир =2 имеем результат из [8].
Следствие 2. Пусть v Е (0, +то),р Е [2, и абсолютно непрерывная функция u на [0,1], такая что u(0) = 0 и u'2(t) интегрируемая на [а, Ь]. Тогда
1 1
I ¡u«>¡2 - § / (9)
00
Равенство в неравенстве достигается при u(t) = Cy/tJv(jv-1t21), где C — некоторая константа.
0
Второй основной результат данной статьи также связан с частным случаем функции Ри,г,ч. Положим, что Фд (1) = (¿), т.е.
Ф, (I) = у М Хо(2/я) ?/2).
Верна следующая теорема.
Теорема 3. Пусть в Е (0, +<х>),и Е (0, € [2, и абсолютно непрерывная
функция и на [0,1], такая что и(0) = 0 и и'Д(8-1)/(2'р') е Ьр[0, 1]. Тогда
1 1 о
1 и ж-*- > (Р + ' — 2)"-1 1 \иШ> (± + ] ^ ( Ш (10)
у|и ^ ф^1« > (р-1у-2 }тп и«2 + и«У Ф,-1 и' (10)
оо Равенство при в > р — 1 достигается тогда и только тогда, когда функция
р+я-2
и(Ь) = С(Фд(Ь)) р-1 , где С — некоторая константа.
Доказательство теоремы 3. Положим, что в лемме В величина а = £,Ь = 1 и
р — 1 ) , ( , ) ф-1 VФя, ) ФГ1®
Аналогично доказательству теоремы 1 получим:
и'Р (Р+8 — 2\Р-1 , ФI (I) ( Ф'М
}( ир + (р + 8 — 2\р-1 Ф1 (I) (Ф'я(г)\р-2\
£ 4 '
( ир(1) (ФДОу-1 _ ир(е) (Фда\р-1\
\ФГЧ1) (1)) Ф3Я-1(£)\Ф<1 (£)) ).
> , ир(1) /фтр-1_ ир(£) /ф
> Ф^-1(1ЦФ9 (1)) Ф^-1(е)\Ф,
Переходя к пределу при е ^ 0 и используя уравнение (3) при V = 0, а именно,
) \
имеем
1 1
и'Р (^ ТГШ >
(И ^ (р + 8 — 2)р-1 1 1 , д2\0(2'д)\ (Ф'ч(I)V-2 сИ
и ( )\412 + М-1 )
Ф3а-1(г) - (р — 1)р-2 у '' \и2 и2-* ) уФд(г)) ф-1-1(г)'
о о
Выше мы воспользовались тем, что
-1 х о
и что при малых Ь функция Фд(Ь) = 0(\^).
Из леммы В также следует, что константы будут точными, если
и' (г) = Р + в — 2 Фд (г)
и(ь)= р— 1 Ф'д (ь).
Р+з-2
То есть при и(Ь) = СФдР-1 (Ь) вместо неравенства будет равенство. Легко проверить, что при в > р — 1 функция Фд удовлетворяет условиям теоремы. В данный момент неясно о точности в случае в < р — 1.
Последний результат этой статьи связан также с частным случаем функции Ри,г>д. Пусть Фи,д (^ = (Ь). Тогда для функции
Фи,д (г) = уД Зи ((2/д) V/2)
выполнено следующее дифференциальное уравнение:
(у + (+ щж )„ = 0. (11)
Используя рассуждения при доказательстве теоремы 1, имеем
f ( u"(0 , (р + s- 2 \'-1 „^Ф^ (x)(Q (Ф'к„ (0\"-2\
£ 4 '
( U(1) (Фу1)у-1_ up(e) (фув)\р-1\ -с ^ф,-1 (1Дфд(1^ ф*-!(е)\ф„л(е)) )■
Переход к пределу и уравнение (11) приведут к следующей теореме.
Теорема 4. Пусть в Е (0, +<х>),и Е (0, € [2, и абсолютно непрерывная
функция и на [0,1], такая что и(0) = 0 и и'/Ь(з-1)(1+ч1')/(2р) е Ьр[0, 1]. Тогда
1 и'(I)\р^ (р + з — 2)р-1 } \и(г)\р (1 - и2д2 1 д2\2и(2/д) \ (Ф'д>1/(*)V"2 ¿1
_(P + s - 2)р-1 Г \u(t)lf 1 - u2q2 + q2\l(2/д)\ /ф^У _
Ф*-Л*) - (Р - 1)р-2 J t2 \ 4 + 4t- \фЯ;(t) Ф*"1^) •
о о
Равенство при s > (р — 1) ^ 21р+гу1) — pj + 1 достигается тогда и только тогда, когда
p+s-2
функция u(t) = С(Ф q,v(t)) р-1 , где С — некоторая константа.
Неравенства в выпуклых областях
Пусть П — n-мерное собственное подмножество евклидова пространства R, 8 = 8(х) = dist(x,öП) и
80 = 80(П) = supi(x) < <х>.
хеп
Перейдем к обоснованию основного результата, а именно, теоремы 1. Для этого воспользуемся подходом Ф.Г. Авхадиева (см., например, [17], [22]-[24]). Рассмотрим два случая изменения параметра n: n =1 и n — 2. При n =1, т.е. при П = (а, Ь), для любой непрерывно-дифференцируемой функции такой, что /(а) = f(b) = 0 нам требуется доказать неравенство вида:
ь ь 0
г \ — (p+^^f^ ^ £ ^ "х
sin-1 (st) — <Р- 1)'-2 (2io)'/ 1ЛХ'\ rtg2ij sin-1 (rf)
где
Ь — а
8 = 8(х) = шт{х — а,Ь — х}, 80 = —-—.
Замена переменной т = рЬ в (9), при произвольном р > 0, приведет к следующему соотношению
[ К(т) \Р ^(р + 8 — 2)р-1 пр [ ( пт у2 ¿т
~dr ' 2 ^ ^ \u(r)\М ctg-
0 sin*-1(g) - (Р- 1)Р-2 (2Р)р J, \ W sin*-1(g
(c
Теперь применяем последнее неравенство к функциям u(r) = f(r + а) и u(r) = f(b - т) c
(а+Ь)/2
f \-<fa>
р = 80 = . Имеем
-1 ( к(х-а) \
V )
I ■ s—11 к(х-а) J sins 1 ' —-
а
(а+Ь)/2
> f ш? (<*-^у~2 dx
(р - 1)р~2 (2 8о)Р J п \ & 2 5о ) sins-l( nix-a)
V )
и
I ^ -iix>
■ s-1 / ж(Ь-х) \
sin {"V2)
s-1 I ж(Ь-х) sin" 1 I -J->-
(a+b)/2 b
> f im?>(ctg"-2 dx
(р— гу-2 (2боУ ] V"2¿0 ; -1(^му
(а+Ь)/2 ЬШ \ 2Р )
Суммирование этих двух неравенств дает требуемое утверждение.
Перейдем к случаю п > 2. Отметим, что с помощью метода Ф.Г. Авхадиева из соответствующих одномерных неравенств можно получить неравенства в произвольных, даже невыпуклых областях (см., например, [17], [22]-[24]). Приведем краткое описание этого метода. Пусть Л — произвольная открытая область, в которой требуется доказать неравенство типа Харди. Аппроксимируя область Л кубами, Ф.Г. Авхадиев показал, что неравенство достаточно показать на множествах специального вида:
К (в) = [х Е Л\ : существует точка у Ев такая, что 8(х, Л) = \х — у\},
где — некоторое разбиения области Л и для к Е [1, 2,... ,п}, 8 является (п — &)-мерной гранью куба.
При вычислении интегралов по множеству К (в) приходится пользоваться либо сферическими, либо цилиндрическими, либо декартовыми координатами, что позволяет перейти к соответствующим повторным интегралам и доказывать лишь одномерные неравенства. В случае выпуклых областей ситуация упрощается, и одномерные неравенства напрямую переносятся на пространственный случай.
Этим заканчивается доказательство теоремы 1.
Автор благодарит профессора Ф.Г. Авхадиева за ценные советы, рекомендации и всякую помощь на всех стадиях написания этой работы.
ь
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. V. Levin Notes on inequalities. II. On a class of integral inequalities. Rec. Math., Moscou, N.s.4, 309 (1938).
2. P.R. Beesack Hardy's inequality and its extensions. Pacific J.Math. 11, 39 (1961).
3. G. Talenti Osservazioni sopra una classe di disuguaglianze. Rend. Sem. Mat. Fiz. Milano 39, 171 (1969).
4. G. Tomaselli A class of inequalities. Boll. Un.Mat. Ital. 2, 622 (1969).
5. B. Muckenhoupt Hardy's inequality with weights. Studia Mathematica XLIV, 31 (1972).
6. G. Sinnamon and V.D. Stepanov The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1 // J. London Math. Soc. 54 (2), 89 (1996).
7. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 18(2011). P. 723-736.
8. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angew. Math. Mech. 87(8)(2007). P. 632-642.
9. H. Brezis, M. Marcus Hardy's inequality revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). 25:1-2 (1997). P. 217-237.
10. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths Weighted Hardy inequalities with sharp constants // Lobachevskii J. Math., 31(2010). P. 1-7.
11. F.G. Avkhadiev and K.-J. Wirths On the best constants for the Brezis-Marcus inequalities in balls //J. Math. Analysis and Applications, 396: 2 (2012). P. 473-480.
12. M. Marcus, V.J. Mizel, Y. Pinchover On the best constants for Hardy's inequality in Rn // Trans. Amer. Math. Soc., 350 (1998). 3237-3250.
13. M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev A geometrical version of Hardy's inequality, J. Funct. Anal., 189:2 (2002). P. 539-548.
14. J. Tidblom A geometrical version of Hardy's inequality for Wl'p(Q) // Proc. Amer. Math. Soc., 132 (2004). P. 2265-2271.
15. S. Filippas, V.G. Maz'ya, A. Tertikas On a question of Brezis and Marcus // Calc. Var. Partial Differential Equations., 25:4 (2006). P. 491-501.
16. Насибуллин Р.Г., Тухватуллина А.М. Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей // Уфимск. матем. журн. 2013. T. 5. № 2. C. 43-55.
17. Авхадиев Ф.Г., Насибуллин Р.Г. Неравенства типа Харди в произвольных областях с конечным внутренним радиусом // Сиб. матем. журн. 2014. T. 55. № 2. C. 239-250.
18. Насибуллин Р.Г. Точность констант логарифмических неравенств типа Харди в открытых многомерных областях // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2013. T. 5. № 3. C. 111-125.
19. J. Hersch Sur la fréquence fondamentale d'unemembrande vibrante; évaluation par défaut et principe de maximum, J.Math. Phys. Appl. 11, 387 (1960).
20. L.E. Payne and I. Stakgold On the mean value of the fundamental mode in the fixed membrane problem, Applicable Anal. 3, 295 (1973).
21. D.T. Shum On integral inequalities related to Hardy's // Canada. Math. Bull. Vol., 14(2) (1971), P. 225-230.
22. Авхадиев Ф.Г. Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах // Тр. МИАН. 2006. 255. C. 8-18.
23. F.G. Avkhadiev Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math. 2006. 21. P. 3-31.
24. Авхадиев Ф.Г., Насибуллин Р.Г., Шафигуллин И.К. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства // Известия вузов. Матем. 2011. № 9. C. 90-94.
Рамиль Гайсаевич Насибуллин,
Казанский федеральный университет,
Институт математики и механики
им. Н. И. Лобачевского,
ул. Кремлевская, 35,
420008, Казань, Россия
E-mail: nasibullinramil@gmail.com
