Линейные пространства со сходимостью и конусом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 8, 2001

УДК 517

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СХОДИМОСТЬЮ

И КОНУСОМ

В. В. Мосягин, Б. М. Широков

В линейном пространстве со сходимостью рассмотрены некоторые разновидности конусов. Их специфика используется для доказательства теорем о неподвижных точках операторов, монотонных на конусных отрезках.

1. В этом пункте приведем необходимые сведения из теории пространств со сходимостью [1, 3].

Пусть X — линейное пространство над полем М вещественных чисел. Сходимость G в X — это подмножество произведения XN X X. Если ({жп},ж) £ G для {хп} £ XN и х £ X, то мы говорим, что

последовательность {хп} G-сходится к х в X и пишем хп —>■ х.

Будем предполагать, что G-сходимость в X удовлетворяет следующим условиям:

(Т) если хп —► ж, то хРп —► х для любой подпоследовательности {хРп } последовательности {хп};

G G G

(С) если хп х, уп у и ап а, Ьп Ъ в М, то апхп+Ъпуп ах+by;

(iU) если хп не сходится к ж, то существует такая подпоследовательность {хРп } последовательности жп, что никакая ее подпоследовательность не сходится к х;

G

(<S) если хп — х для всех п £ N, то хп —У х;

/т\ G G

(ti) если хп —у х^ хп —У у, то х — у.

© В. В. Мосягин, Б. М. Широков, 2001

Сходимость последовательностей в хаусдорфовом топологическом пространстве удовлетворяет всем условиям ТСЫ-БИ.

Пара (X, (?) называется пространством со сходимостью.

Определение 1 Если Ос X, то замыкание О определяется следующим образом:

О = {х Е X : существует {гп} С О, гп —У г}.

Множество О С X называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием.

Определение 2Подмножество В с X называется ограниченным, если для любой последовательности {хп} а В и любой сходящейся к нулю числовой последовательности {ап} последовательность {апхп} С-сходится к нулевому элементу О пространств X.

Определение 3Последовательность {хп} Е X называется фундаментальной,, если для любой последовательности {р(п)} натуральных чисел р(п) > п последовательность {хр^—хп} О-сходится к нулевому элементу О Е X.

Пространство (X, С) называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность С-сходится (см. [1]).

Определение 4Пусть Х\,Х2 — два линейных пространства со сходимостью. Оператор А из Х\ в Х2 называется секвенциально непрерывным в точке х Е если для любой последовательности {хп} точек Х\, сходящейся в пространстве Х\ к х, последовательность {Ахп} а X2 СХОДИТСЯ В Х2 к элементу Ах.

Оператор А: Х\ -у- Х2 называется секвенциально непрерывным на Х\, если он секвенциально непрерывен в каждой точке пространства

Хг.

2. Пусть X — вещественное линейное пространство со сходимостью Си^ — его нулевой элемент.

Определение Б Замкнутое выпуклое множество К с X называется конусом, если из х Е К, х ф О следует, что ах Е К при а > 0 и -х £ К.

Любой конус К С X позволяет ввести полуупорядоченность: X ^ у (равносильно у ^ ж), если х — у Е К. Элементы х ^ О (то есть х Е К) называются положительными.

Использование полуупорядоченности при изучении операторов, действующих в X опирается на знание свойств отношения ^ .

Предложение 1. Пусть {хп} и {уп} — две последовательности, G-сходящиеся соответственно к точкам хо и у о в пространстве X, по-луупорядоченном при помощи конуса К,

х0 = G-limxn, у о = G-lim уп,

п—Уоо п—Уоо

причем

%п ^ Уп {р> — I? 2,...). (1)

Тогда х0^у0.

Доказательство. Соотношение (1) означает, что хп — уп Е К (п = 1,2,...). В силу замкнутости конуса К, предел хо — у о последовательности {хп — уп} также принадлежит К. □

Наличие полуупорядочения позволяет ввести понятия мажоранты, миноранты, супремума и инфимума.

Элемент z Е X называется мажорантой или верхней границей множества М С X, если х ^ z при всех х Е М.

Аналогично, если х ^ s для всех х Е М, то s называется минорантой или нижней границей множества М.

Мажоранта z называется супремумом или точной верхней границей и обозначается z = supM, если все другие мажоранты z удовлетворяют неравенству z^z.

Аналогично миноранту s называют инфимумом или точной нижней границей и пишут s = inf М, если s ^ s для любой миноранты

S.

Если множество М имеет мажоранту, то его называют ограниченным сверху; если оно имеет миноранту — ограниченным снизу.

В каждом конкретном случае специфика конуса, при помощи которого вводится полуупорядочение в пространстве X со сходимостью, может обеспечить наличие дополнительных свойств у отношения ^ . Как и в случае ^-пространств [2], представляют интерес разновидности конусов, обеспечивающих дополнительные свойства полуупорядочения.

Ниже всюду через X будем обозначать вещественное линейное пространство со сходимостью, полуупорядоченное при помощи конуса К.

Определение 6Конус К в X называется миниэдральным, если каждое конечное ЧИСЛО элементов Х\, Х2,..., хп Е X имеет точную верхнюю границу г = 811р{.х*1, х*2,..., хп}, и сильно миниэдральным, если точная верхняя граница существует у любого ограниченного множества.

Определение 7Конус К в пространстве X называется правильным, если каждая неубывающая последовательность

XI ...хп^ ..., (2)

ограниченная сверху некоторым элементом

Х„^у (п = 1,2,...), (3)

О-сходится в X.

Следующая теорема является обобщением теоремы 1.14 из книги

И-

ТЕОРЕМА 1 Пусть в пространстве (X, С) конус К правилен и мини-эдрален. Тогда каждая ограниченная сверху последовательность имеет точную верхнюю границу.

Доказательство. Пусть

хп^г (п = 1,2,...). (4)

Тогда

уп = 5щ>{х1,х2,...,хп}^г (п = 1,2,...). (5)

Так как последовательность {уп} не убывает и ограничена сверху, то она сходится к некоторому пределу 2;о Е X. Переходя к пределу в неравенстве уп ^ уп+к при к —> оо, получим уп ^ го для п = 1,2,..., откуда следует, что хп ^ го для п = 1,2,...

Допустим, что выполнены соотношения (4). Тогда выполнены соотношения (5). Переходя в них к пределу при п —у оо, получим неравенство хо ^ г. Значит, хо является точной верхней границей последовательности {хп}. □

Определение 8Конус К в пространстве X называется нормальным,

и ^ ^ Ст Ст

если из соотношении хп ^ уп ^ гп и хп —>■ и, гп —>■ и следует, что

£г

Уп ->■ и■

3. Тот факт, что пространство (X, С) полуупорядочено при помощи некоторого конуса К, может использоваться при изучении оператора А, действующего в (X, С), лишь в том случае, когда оператор А обладает свойствами, связанными с полуупорядоченностью.

Определение 9 Оператор А, действующий в пространстве X, называется

положительным, если А(К) С К;

монотонным на множестве В С X, если из ж,у Е Б,х^у следует, что А{х) ^ А{у).

Для нелинейных операторов указанные свойства независимы. Для линейного оператора из свойства положительности следует монотонность.

Множество элементов х Е X, удовлетворяющих неравенствам

у0

где — фиксированные элементы из X, называется конусным

отрезком и обозначается через (у о ,^о)-

В пространстве X с нормальным конусом К конусной отрезок является ограниченным множеством.

Пусть для монотонного оператора А, действующего в X, могут быть указаны такие элементы г?о игоо, что г?о ^ и

Л(г«0)^г«0. (6)

Тогда оператор А оставляет инвариантным конусный отрезок (уо,Юо). Действительно, в этом случае неравенства г?о ^ х ^ то влекут за собой неравенства

г1о^^(г’о)^^(ж)^Л(гУо)^г(;о- (7)

Построим последовательности

уп = А(уп-1), юп=А(юп-1) (п = 1,2,...). (8)

Первая из них в силу (6) монотонно возрастает и ограничена свер-ху, а вторая монотонно убывает и ограничена снизу. Если конус К правильный, то эти последовательности сходятся. Если оператор А секвенциально непрерывен, то в равенствах (8) можно перейти к пределу. Значит,

г;*=А(г;*), т* = А(т*), (9)

где V* — предел последовательности {vn}, a w* — предел последовательности {wn}. При этом элементы V* и w* могут быть различными. Таким образом, доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2Пусть К — правильный конус в X и секвенциально непрерывный и монотонный на конусном отрезке (vq,wq) оператор А преобразует этот отрезок в себя. Тогда оператор А имеет на (vo,wo), по крайней мере, одну неподвижную точку. При этом последовательности (8) сходятся к неподвижным точкам оператора А.

Следующая теорема гарантирует существование неподвижной точки у разрывного оператора А, действующего в пространстве X.

ТЕОРЕМА 3(Принцип Бирхгофа—Тарского). Пусть конус К в пространстве X сильно миниэдрален. Тогда любой монотонный оператор А (необязательно непрерывный), оставляющий инвариантным конусный отрезок (г?о, wo), имеет на нем, по крайней мере, одну неподвижную точку.

Résumé

In the paper it is proved a fixed point theorems for an operators that are monotone on a cone segments.

Библиографический список

ill Dudley R. M. On sequential convergence// Trans. Amer. Math. Soc. 1964. V. 112. P. 483-507.

[2] Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

[3] Pap Е. Functionalna analiza/Institut of Mathematics. Novi Sad, 1982.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]