Нелинейные операторы в sf-пространствах с конусом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 15, 2009

УДК 517

В. В. Мосягин

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ^-ПРОСТРАНСТВАХ

С КОНУСОМ

В работе доказываются теоремы о неподвижных точках в ^^-пространствах с конусом.

1. Пусть X — векторное пространство над полем скаляров Ф (Ф = С или И), в — нулевой элемент этого пространства. Рассмотрим функционал р(х), х € X, удовлетворяющий условиям:

1) р(х) > 0, р(х) = 0 х = в;

2) р(Апхп — Ах) ^ 0 для всех последовательностей {Ап} С Ф и {хп} С X таких, что Ап ^ А в поле Ф и р(хп — х) ^ 0;

3) р(хп + уп — х — у) ^ 0 для всех последовательностей {хп}, {уп} таких, что р(хп — х) ^ 0 и р(уп — у) ^ 0;

4) р(Ах) = р(х) для всех х € X и А € Ф, |А| = 1;

5) р(хп) ^ р(х) для каждой последовательности {хп} С X такой, что р(хп — х) ^ 0.

Функционал р называется -нормой [1].

Если, кроме того, пространство X является полным по отношению к топологии, порожденной семейством {^(х, г)} (х € X, г > 0), где $(х,г) = {у € X, р(у — х) < г}, то пара ^,р) называется ЙТ1-пространством.

Если р(А]_х) > р(А2х) при каждом х € X и |А]_| > |А21, то р называется неубывающей ЙТ1-нормой.

Каждое ЙТ1-пространство является полным метризуемым линейным топологическим пространством. Все ^-пространства являются ЙТ1-пространствами [1].

© В. В. Мосягин, 2009

2. В этом пункте будем предполагать, что X — вещественное ЙТ1-пространство.

Замкнутое выпуклое множество К С X называется конусом, если х € К, х = в, влечет за собой Ах € К при А > 0 и —х € К.

Любой конус К С X позволяет ввести в ЙТ1-пространстве X полуу-порядоченность: х ^ у, если х — у € К. Элемент х ^ в (то есть элемент конуса К) называется положительным. Свойство замкнутости конуса К позволяет в неравенствах переходить к пределу: если {хп}, {уп} — две сходящиеся (соответственно к точкам х и у) последовательности в пространстве X, полуупорядоченном при помощи конуса К, то есть хп ^ х, уп ^ у при п ^ то, причем хп ^ уп (п = 1, 2, .. .), то х ^ у.

Наличие полуупорядоченности в X позволяет ввести понятия мажоранты, миноранты, супремума и инфимума.

Если множество М С X имеет мажоранту, то его называют ограниченным сверху, если имеет миноранту — ограниченным снизу. Конусным отрезком в X называется множество

Множество ("У, ад) выпукло и замкнуто.

В каждом конкретном случае специфика конуса, при помощи которого вводится полуупорядоченность в ЙТ1- пространстве X, может обеспечить дополнительные свойства полуупорядоченности. Это обстоятельство, как и в случае банаховых пространств, стимулирует изучение различных классов конусов в X (см. [3]).

Определение 1. Конус К в X называется миниэдральным, если каждое конечное число элементов имеет точную верхнюю границу:

и сильно миниэдральным, если точная верхняя граница существует у любого ограниченного сверху непустого множества.

Определение 2. Конус К в X называется правильным, если каждая неубывающая последовательность

(-у, ад) = {х Є X|у ^ х ^ и>}.

(1)

х = 8Ир{х 1, Х2, . . . , хп},

(2)

ограниченная сверху некоторым элементом

х„ < у (п = 1, 2, ...),

(3)

сходится в X.

Определение 3. Конус К в пространстве X называется нормальным, если из условий хп ^ уп ^ гп и хп ^ и, гп ^ и следует, что уп ^ и.

3. Тот факт, что -пространство полуупорядочено при помощи некоторого конуса К, может использоваться при изучении оператора А, действующего в X, лишь в том случае, когда А обладает свойствами, связанными с полуупорядоченностью.

Определение 4. Оператор А, действующий в ЙТ1-пространстве X, называется

положительным, если А(К) С К;

монотонным на множестве М С X, если из х,у € М и х ^ у следует А(х) ^ А(у).

Для нелинейных операторов указанные свойства независимы, а для линейных — из свойства положительности следует свойство монотонности.

Пусть для монотонного оператора А, действующего в ЙТ1-пространстве X, могут быть указаны такие элементы у о и адо, что

Уо < адо, А(уо) > Уо, А(адо) < ^>. (4)

Тогда оператор А отображает конусный отрезок (у о, адо) в себя. Действительно, из неравенств у о ^ х ^ адо следует

Уо ^ А(уо) ^ А(х) ^ А(адо) ^ ОДэ.

Построим последовательности

Уп = А(Уп-1), »п = А(^п-1) (п = 1,2,...). (5)

Первая из них, в силу (4), монотонно возрастает и ограничена сверху, а вторая монотонно убывает и ограничена снизу. Поэтому эти последовательности сходятся, если К — правильный конус. Если оператор А непрерывен, то в равенстве (5) можно перейти к пределу. Значит,

У* = А(у*), ад* = А(ад*),

где у*, ад* — пределы последовательностей {уп} и {адп} соответственно. При этом элементы у* и ад* могут быть различными.

Приведенное рассуждение показывает, что для доказательства существования решения уравнения Ах = х в пространстве X с непрерывным и монотонным оператором А и для построения последовательных приближений достаточно установить существование элементов Уо, Юъ удовлетворяющих соотношениям (4). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть К — правильный конус в ЙТ1-пространстве X и А — непрерывный монотонный оператор на конусном отрезке (уо, юо), преобразующий этот отрезок в себя. Тогда оператор А имеет на (уо, юо), по крайней мере, одну неподвижную точку. При этом последовательности (5) сходятся к неподвижным точкам оператора А.

Теорема 2. Пусть конус К в ЙТ1-пространстве X правильный, а оператор А обладает свойствами:

1) монотонен на конусном отрезке (уо, адо) и преобразует его в себя;

2) непрерывен;

3) имеет единственную неподвижную точку на отрезке (уо,адо). Тогда последовательные приближения

Уп = А(у„_і), п = 1,2,..., (6)

сходятся к х*, каково бы ни было уо Є (уо, адо) С X.

Доказательство. Последовательности (5) и (6) удовлетворяют неравенствам

уп < Уп < Юп, п = 1,2,... (7)

Последовательности (5) сходятся и их пределы являются неподвижными точками оператора А. Из единственности неподвижной точки следует, что пределы последовательностей (5) совпадают. Кроме того, в полных метрических пространствах с замкнутым конусом каждый правильный конус нормален (см. [2]). Следовательно, последовательность (6) сходится к х*. Теорема доказана. □

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. (Принцип Биркгофа — Тарского [3]). Пусть конус К в ЙТ1-пространстве X сильно миниэдрален. Тогда любой монотонный оператор А (необязательно непрерывный), оставляющий инвариантным конусный отрезок (уо, адо), имеет на (уо, Юо), по крайней мере, одну неподвижную точку.

Resume

Some fixed point theorems for nonlinear monotone operators in SF-space with a cone are proved.

Список литературы

[1] Michenrda B. Bernstein’s "lethargy"theorems in SF-spaces / B. Michendra // J. for Analysis and its Applications. V. 22 (2003). No 1. P. 3-16.

[2] McArtur C. V. Convergence of monotone nets in ordered topological vector spaces / C. V. McArtur // Studia Math. 34 (1970). P. 1-16.

[3] Опойцев В. И. Нелинейные операторы в пространствах с конусом / В. И. Опойцев, Т. А. Хурадзе. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1984.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33