CC BY
50Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 16, 2009
УДК 517 В. В. Мосягин
ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ С КОНУСОМ
В работе доказываются теоремы о неподвижных точках в пространствах Фреше с конусом.
1. Пусть (X, т) — пространство Фреше над полем скаляров Ф (Ф = С или И), Р = {рі, і Є М} — счетная система полунорм в X, определяющая топологию т в X [1]. в — нулевой элемент этого пространства. Система полунорм Р определяет в X инвариантную метрику
р(х,у) = у I ■ Рі(х ~ у) ', Ух,у Є X.
р ,^ 2і 1+ рі(х - у), ,У
і= 1
Пара (X, р) является полным линейным метрическим пространством
[2].
2. Всюду ниже будем предпологать, что X — вещественное пространство Фреше.
Замкнутое выпуклое множество К С X называется конусом, если х Є К, х = в, влечет за собой Ах Є К при А > 0 и —х Є К.
Любой конус К С X позволяет ввести в пространстве X полуупо-рядоченность: х ^ у, если х — у Є К. Элемент х ^ в (то есть элемент конуса К) называется положительным. Свойство замкнутости конуса К позволяет в неравенствах переходить к пределу: {хп}, {уп} — две сходящиеся по полунормам (соответственно к точкам х и у) последовательности в пространстве X, полуупорядоченном при помощи конуса К, то есть хп ^ х, уп ^ у при п ^ то, причем хп ^ уп
(п =1, 2, .. .), то х ^ у.
(О
В. В. Мосягин , 2009
Наличие полуупорядоченности в X позволяет ввести понятия мажоранты, миноранты, супремума и инфимума.
Если множество М С X имеет мажоранту, то его называют ограниченным сверху, если имеет миноранту — ограниченным снизу. Конусным отрезком в X называется множество
(-у, ад) = {х € X|у ^ х ^ ад}. (1)
Множество (у, ад) выпукло и замкнуто. В общем случае (у, ад) не является ограниченным по полунормам множеством.
Рассмотрим некоторые разновидности конусов в X.
Определение 1. Конус К в X называется миниэдральным, если каждое конечное число элементов имеет точную верхнюю границу:
X = 8Ир{х 1, Х2, ..., хп},
и сильно миниэдральным, если точная верхняя граница существует у любого ограниченного сверху непустого множества.
Определение 2. Конус К в X называется правильным, если каждая неубывающая последовательность
Х1 < Х2 < ... < х„ < ..., (2)
ограниченная сверху некоторым элементом
х„ < у (п = 1, 2,...), (3)
сходится по полунормам в пространстве X.
Определение 3. Конус К в пространстве Фреше X называется нормальным, если из неравенств в ^ х ^ у следуют неравенства
Р*(х) < р*(у), (г = 1,2,...). (4)
В полных линейных метрических пространствах с замкнутым конусом правильный конус нормален [3].
Лемма 1. Пусть К — правильный конус в пространстве Фреше X и пусть {хп}, {уп} — последовательности в X, сходящиеся по полунормам к одному и тому же элементу г € X. Пусть, кроме того,
х„ < г„ < у„, (п = 1,2,...). (5)
Тогда р*(гп — г) ^ 0 при п ^ то для всех г = 1, 2,... Доказательство. Из (5) следует, что
в < гп — х„ < у„ — х„ (п =1, 2,.. .).
Так как К нормален, то
Рг(г„ — х„) < р*(у„ — х„), (п =1, 2,. ..),
для каждой полунормы р^, (г = 1, 2,...). Отсюда
Рг(г„ — г) < 2р*(х — г) + р*(у„ — г), (п =1, 2,.. .),
для каждой полунормы р*, (г =1, 2,...). Лемма доказана. □
3. Тот факт, что пространство Фреше полуупорядочено при помощи конуса, может использоваться при изучении оператора А, действующего в X, лишь в том случае, когда А обладает свойствами, связанными с полуупорядоченностью.
Определение 4. Оператор А, действующий в пространстве Фреше X, называется
положительным, если А(К) С К;
монотонным на множестве М С X, если из х,у € М и х ^ у следует А(х) ^ А(у).
Для нелинейных операторов указанные свойства независимы, а для линейных — из свойства положительности следует свойство монотонности.
Пусть для монотонного оператора А, действующего в пространстве Фреше X, могут быть указаны такие элементы уо и и>о, что
У0 < адо, А(уо) > Уо, А(адо) < ^>. (6)
Тогда оператор А отображает конусный отрезок (уо,^о) в себя. Действительно, из неравенств уо ^ х ^
Уо < А(уо) < А(х) < А(^о) < ^0.
Построим последовательности
= А(у„_1), -юп = А(ад„_1) (п = 1,2,...). (7)
Первая из них, в силу (5), монотонно возрастает и ограничена сверху, а вторая монотонно убывает и ограничена снизу. Поэтому эти последовательности сходятся, если К — правильный конус. Если оператор А непрерывен, то в равенствах (7) можно перейти к пределу. Значит,
у* = А(у*), т* = А(т*),
где у*, т* — пределы последовательностей {уп} и {тп} соответственно. При этом элементы у* и т* могут быть различными.
Приведенное рассуждение показывает, что для доказательства существования решения уравнения Ах = х в пространстве Фреше X с непрерывным и монотонным оператором А и для построения последовательных приближений достаточно установить существование элементов уо, и>о, удовлетворяющих соотношениям (6). Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть К — правильный конус в пространстве Фреше X и А — непрерывный монотонный оператор на конусном отрезке (уо,то), преобразующий этот отрезок в себя. Тогда оператор А имеет на (уо,и>о), по крайней мере, одну неподвижную точку. При этом последовательные приближения (7) сходятся к неподвижным точкам оператора А.
Теорема 2. Пусть К —правильный конус в пространстве Фреше X, а оператор А обладает свойствами:
1) монотонен на конусном отрезке (уо, и>о) и преобразует его в себя;
2) непрерывен;
3) имеет единственную неподвижную точку х* на отрезке (уо, то). Тогда последовательные приближения
уп = А(уп_1), п = 1,2,..., (8)
сходятся к х*, каково бы ни было уо € (уо, то) С X.
Доказательство. Последовательности (7) и (8) удовлетворяют неравенствам
Уп < уп < »п, п = 1,2,... (9)
Последовательности (7) сходятся и их пределы являются неподвижными точками оператора А. Из единственности неподвижной точки
следует, что пределы последовательностей (7) совпадают. Кроме того, в пространстве Фреше правильный конус нормален. Следовательно, последовательность (8) сходится к ж*. Теорема доказана. □
Теорема 3. Пусть в пространстве Фреше с конусом K монотонный на конусном отрезке (vo, wo) оператор A удовлетворяет условиям
а) A(vo) > vo, A(wo) < wo;
б) A непрерывен и компактен.
Тогда оператор A имеет на (vo, wo), по крайней мере, одну неподвижную точку.
Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы Шаудера — Тихонова.
Resume
Some fixed point theorem for nonlinear monotone operators in Freschet space with a cone are pruved.
Список литературы
[1] Larsen R. Functional analysis. An Introduction / R. Larsen. New York: Dekker, 1973.
[2] Rolevich S. Functional Analisis and Control Theory / S. Rolevich. Warszawa: PWN — Polish Scientific Publishers, 1987.
[3] McArtur C. V. Convergence of monotone nets in ordered topological vector spaces / C. V. McArtur // Studia Math. 34 (1970). P. 1-16.
Петрозаводский государственный университет, математический факультет,
185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33
