К теории операторов в локально выпуклых пространствах с конусом Текст научной статьи по специальности «Математика»

отображения ф на весь симплекс б по любой . комбинаторной схеме попадает в 0сх - е-окрестность точки х. Из конструкции отображения f1 : N1 ■» X следует, что существует окрестность V точки Г(х), такая, что если fQ( б0) <= V, то Г,( б1) с 0Qx для любого симплекса б « - (б^б, - соответствующие остовы симплекса б ). В самом леле, по определению локальной линейной связности, для любого (А>0 существует т^о, такое, ЧТО если t1ftg € O^f(x) , то существует путь, связывающий tt с t2 и содержащийся a O^f(x).

Последнее вместе с определением отображения Г, влечет импликацию : Г0( б0) с O^fU), тогда Гд ( б,) с 02JJLf(x). Из непрерывности отображения f следует существование окрестности Wx, такой, что если « Wx (см. определение fQ), то f( а^) « V , а так как покрытие G каноническое, то существует окрестность Ох со

свойством : п 0х * 0 * \ « * •

Таким образом, если у « Ох , то ае(у) « б и Гщ( б ) * 0Qx

( так как fQ( 6Q) $ V 6 б,) $ 0Qx 6 Ги( б ) < 0£х ), а ,

значит , Т(Ох) $ U , то есть отображение ? непрерывно в точке х. ЛИТЕРАТУРА

1. Mill J. van. An almost fixed point theorem for metrisable contlnua //Arch. Math. 1983. V. 40. P. 159 - 169.

2. Иванов A.E. 0 пространствах полных сцепленных систем // Сиб. матем. журн. 1986. Т.27. N 6. С. 95 - 110.

3. Моисеев Е.В. О пространствах замкнутых гиперпространств роста

И ВГЛЮЧеНИЯ //Вестник МГУ, сер.1. 1988. N 3. С.54 - 57.

4. Ташметов У.О. 0 связности и локальной связности некоторых гиперпространств //Сиб. матем.журн. 1974. Т.15. N 5. С.1115 -ИЗО.

5. Eberhart С., Nadler S., Nowell N.O. Spaces of order arcs in hyperspaces // Fund. Math. 1981. V. 112. N 2. P. Ill - 120.

й. Борсук К. Теория ретрактов. М.. 1971. С. 291.

Труда Петрозаводского государственного университета

Серия "Математика” Выпуск 1, 1993 г.

УДК 517.986 Мосягин В.В.

К ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

В статье доказаны теоремы о неподвижны! точках монотонных и гетеротонных операторов в локально выпуклых ■ линейных топологических пространствах с конусом.

1. Пусть (а,т) - вещественное полное хаусдорфово локально выпуклое топологическое пространство; Р-{р) - система полунорм, определяющих топологию т в X 11]; 0-нуль пространства X.

Определение 1.1. Замкнутее выпуклое множество К еХ называется конусом, если х«К, I в влечет за собой ах«К при а >0 и -х«К.

Любой конус КсХ позволяет ввести в X полуупорядочен-ность: х > у (равносильно у<х), если х-у«К.Элементы х>0 (то есть х«К) называются положительными.

Использование полуупорядоченности при изучении операторов, действующих в X, опирается на знание свойств отношения >.

Предложение 1.1. Пусть {хп>, (Уп> - две топологически сходящиеся (соответственно к точкам х , у ) последовательности в

о о

пространстве X, полуупорядочением при помощи конуса К,

X ч

х —* х , у —* у ,

п о* *г\ 'о'

причем

Хп < уп (п=1,2,...). (1.1)

Тогда хо < уо.

Доказательство. Соотношение (1.1) означаем, что УП-*П«К (пж1,2,...). -В силу замкнутости К предел У0-хо последовательности Уп-хп (п=1,£,...) также принадлежит К. Утверждение доказано .

Наличие полуупорядочения в X позволяет ввести понятия мажоранты, миноранты, супремума п инфимума.

Если множество №;Х имеет мажоранту, то его называют ограниченным сверху; если имеет миноранту - ограниченным снизу.

В каждом конкретном случае специфика конуса, при помощи

которого вводится полуупорядочение в локально выпуклом пространстве X, может обеспечить наличие дополнительных свойств у отношения >. Это обстоятельство,как и в случае банаховых пространств [2],стимулярует изучение различных классов конусов в X.

Ниже всюду через X будем обозначать вещественное полное хаусдорфово локально выпуклое пространство, полуупорядоченное при помощи конуса К.

Определение 1.2. Конус К в X называется миниэдральным, если каждое конечное число элементов х,,х_...х «X тмеет

~ 1 2 п

точную верхнюю границу 2=вир{х1,х2..........хп), и сильно минивд-

ральным, если точная граница есть у любого ограниченного сверху множества.

Определение 1.3. Конус К в пространстве X называется б-правильным, если каждая неубывающая последовательность

Х1 < 12 Хп <..., (1.2)

ограниченная сверху некоторым элементом

хп < У (П-1,2,...), (1.3)

сходится топологически в X.

Предложение 1.2. Если конус К с X б-правильный, то каждая последовательность (хп>, удовлетворяющая соотношению

Х1 > Х2 >...» Хп и (1.4)

при некотором и € X, СХОДИТСЯ В ТОПОЛОГИИ т.

Доказательство очевидно.

Следующая .теорема является обобщением теоремы 1.14 из работы [2].

Теорема 1.1. Пусть в пространстве X конус К б-правилен и

миниэдрален. Тогда каждая ограниченная сверху последовательность имеет точную верхнюю границу.

Доказательство. Пусть

хп < г (п-1,2,...). (!.Ь)

Тогда очевидно,

уп-аир{х1,хг......Хп> < 2 (п-1,2,...). (1.6)

Так как последовательность {уп> не убывает и ограничена сверху, то она сходится в топологии т к некоторому Пределу 2о«Х. Переходя к пределу в неравенстве Уп<Уп+к при к •» ®, получим у <2 (п-1,2,...), откуда следует, что х <2 (п-1,2,...).

по по

Допустим, что выполнены соотношения (1.5). Тогда выполнены соотношения (1.6), переходя в которых к пределу П-*оо, получим неравенство 2о<г. Значит, го является точной верхней границей последовательности (хпЬ Теорема доказана.

Определение 1.4 (1). Конус К в пространстве X называется нормальным, если существует система полунорм Р-(р), определягщих топологию т пространства X, монотонных на конусе (если 0<х<у, то р(х)<р(у) для кавдой полунормы р из Р).

2. Тот факт,что вещественное полное хаусдорфово локально выпуклое пространство X полуупорядочено при помощи некоторого конуса К, может использоваться при изучении оператора А, действующего в X, лишь в том случае, когда А обладает свойствами, связанными с пол упорядоченностью.

Определение 2.1. Оператор А, действующий в пространстве X, называется:

положительным, если А (К) «= К;

монотонным на множестве я е X, если из х,у « », х > у следует А(Х) > А(у).

Для нелинейных операторов указанные свойства независимы. Для линейного оператора из свойства положительности следует монотонность.

Множество элементов X « X, удовлетворяющих неравенствам

То < * < "о’

где V , »о - фиксированные элементы из X, называется конусным отрезком и обозначается через <уо,*о>.

Легко доказать, что если К - нормальный конус в X, то множество <уо,у?о>*ограничено по полунормам.

Пусть для монотонного оператора А, действующего в X, могут быть указаны такие элементы V , « .. что у и

(2.1)

Тогда оператор А оставляет инвариантным конусный отрезок <уо,*о>. Действительно, в этом случае неравенства

V < х < я

о о

влекут за собой неравенства

Первая из них в силу (2.1) монотонно возрастает и ограничена сверху, а вторая монотонно убывает и ограничена снизу. Поэтому

б-правильный. Если оператор А непрерывен, то в равенствах (2.3) можно перейти к пределу. Значит,

▼*-А(У*), ч»*=А(*в), где V* - предел последовательности (уп>, а ** - предел последовательности {»п>. При этом элементы V*,»* могут быть различными.

Приведенные рассукдения показывают, что для доказательства существования решений уравнения

в пространстве X с непрерывным и монотонным оператором А и для построения сходящихся последовательных приближений достаточно установить существование элементов vo,wo, удовлетворяющих соотношениям (2.1). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теореыа 2.1. Пусть К - б-правильный конус в X.Пусть непрерывный ь» монотонный на конусном отрезке оператор А

преобразует этот отрезок в себя.

Тогда оператор А имеет на <У0,"0> по крайней мере одну неподвижную точку.При этом последовательности (2.3) сходятся к неподвижным точкам оператора А.

Следующая теорема гарантирует существование неподвижной точки у разрывного операторе А, действующего в пространстве X.

Теореыа 2.2 (принцип Биркгофа-Тарского (21). Пусть конус К в пространстве X сильно миниэдрален. Тогда любой монотонный оператор А (не обязательно непрерывный), оставляющий инвариантным конусный отрезок <Уо,«о>,ю*еет на <^о,ио> по крайней мере одну

уо •< А(Уо) < А(х) < А(*о) < іго.

(2.2)

(2.3)

указанные последовательности сходятся, если конус

К

Х*А(Х)

неподвижную точку.

3. В пространстве X рассмотрим класс операторов, обладающих свойством своеобразной обобщенной монотонности. Следуя работе 13], дадим следующие определения.

Определение 3.1. Оператор V, действующий в вещественном полном хаусдорфовом локально выпуклом пространстве X, полуупо-рядоченном при помощи конуса КсХ, называется гетеротонным, если он допускает диагональное представление

У(х)-»(х,х), (3.1)

причем оператор И(7,*), действующий из Х-Х в X, монотонно возрастает по первому аргументу и монотонно убывает по второму.

Определение 3.2. Конусный отрезок <?0."0> назовем сильно инвариантным для гетеротонного оператора V, если

И(у ,* ) > V , »(* .V ) < и . о о о’ ' о’ о' о

Замечание 3.1. Из сильной инвариантности <у0.*0> следует его обычная инвариантность для V, так как если х«<7 ,т >,

ТОТ < *(7 ,*» ) < 1»(Х,Х)=У(Х) < »(* .V ) < V .

о ' о’ о \ г г \ г ' о о о

В дальнейшем существенную роль будет играть условие

0. Система уравнений

Ш(7,*0=7, К(*,7)=* (3.2)

на множестве М с X ■ X не имеет решений таких, что 7 + я.

Введение в множестве пар элементов (7,*) систему полунорм

р(7,*)«р(7)+р<*), р « Р, (3.3)

превращает Х«Х в вещественное полное хаусдорфово локально выпуклое пространство.

Теорема 3.1. Пусть конусный отрезок <70,*о> является сильно инвариантным для гетеротонного оператора V и на <7о,*о> выполнено условие 0. Пусть, кроме того, выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1) конус К С-прэвильный, оператор * непрерывен;

2) конус К сильно миниэдпален.

Тогда у оператора V существует неподвижная точка х* « <у0'щ0>-

Доказательство. Рассмотрим оператор Ч/:Х»Х —► Х*Х, который паре элементов (7,*) сопоставляет пзру (К(7,и),*(*,7))Т Легко

видеть, что из непрерывности оператора W следует непрерывность оператора V.

Введем далее полуупорядоченность в Х»Х по правилу: )>(v,w), если w'<w. Можно считать,что полуупорядо-

ченность, определяемая знаком >, вводится при помощи конуса

K={(t,w): v « К, -я е К}.

При этом очевидно, что б-правильность, миниэдральность конуса К влекут за собой наличие соответствующих свойств у конуса К.

Завершим доказательство следующим образом. Очевидно, что из (v',w')>(v,w) следует V(v',w^)>V(v,w), т.е. оператор V является монотонным. Кроме того, V оставляет инвариантным конусный отрезок

<<Vo-Wo)'(Wo-Vo)>a={(V-W): (Vo-Wo) < (V’W) < (Wo*Vo)b

Теперь из теорем о существовании неподвижной точки у монотон-

— Л/

ного оператора следует, что в наших предположениях V имеет неподвижную точку (v*,w*)t которая, очевидно, является решением системы уравнений (3.2). В силу условия 0 v*=w*. Следовательно, оператор V имеет неподвижную ^очку x*=v*=w“. Теорема доказана.

Замечание 3.2. Список условий 1)-2) можно продолжить. В него можно иключить любое условие, которое обеспечивает существование неподвижной точки у монотонного оператора, имеющего инвариантный конусный отрезок. Например, можно было бы добавить условие: конус К - нормальный, оператор V - вполне непрерывный (определение вполне непрерывного оператора, действующего в локально выпуклом пространстве, дано в работе [4]).

ЛИТЕРАТУР!

1. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир,

1971. С. 359.

2. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. С. 294.

3. Опойцев В.И. Нелинейная системостатика. М.: Наука, 1986.

С. 248.

4. Schaefcjr IL 1Шег die Methode der apriorl Schranken // Math. Annalen. 1955. Bd. 129. S. 415-416.

Труда Петрозаводского государственного университета

Серия ''Математика" Выпуск 1, 1993 г.

УДК 518.3

Нижник П.П., Аюкаев Р.И.

*

АНАМОРФОЗА ДЕКАРТОВА АБАКА В СОСТАВНЫХ НОМОГРАММАХ

Получена нелинейная анаморфоза декартова абака, с использованием которой разработана номограмма, пригодная для прэктичаских расчетов.

Задача отыскания линейной внаморфозы х=ф(х), У*ф(У) уравнения Г(х,у,г)=0, как показывает практика, разрешима не

всегда.

Теорема 1. Чтобы уравнение ї(х,у,г)=0 допускало анаморфозу, необходимо и достаточно,чтобы отношение частных произвол-

ных —— и —— можно было бы представить в виде произведения

трех сомножителей,каждый из которых является функцией лишь одного аргумента.

Из уравнений анаморфозы имеем

*У Ф' (У) »У «У а1/ох

ах <р‘ (х) ах ах а*/ву

*У Ф' (У) г>1/

поэтому —— = ---------- ------И (г), т.е. касательная во всех точках

ах ф'<х) а{/ау

каждой кривой имеет одно и то же направление.

Из последнего имеем

ат / , ,

-----/------ = - Ф (X) (ф'(У))_1И(2).

ах / ау

Верно и обратног. Если отношение частных производных представляется произведением трех множителей, являющихся Функцией трех переменных, то уравнение допускает анаморфозу, выпрямляющую декартов абак.