Монотонные операторы в паранормированных пространствах с конусом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 14, 2008

УДК 517

В. В. Мосягин, Б. М. Широков

МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПАРАНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

В паранормированных пространствах рассматриваются некоторые классы конусов. Их свойства используются для доказательства разрешимости операторных уравнений.

1. Пусть X — векторное пространство над полем скаляров Ф (будем считать, что Ф = М или С), в — нулевой элемент X.

Определение 1. Вещественный функционалр(х), заданный на векторном пространстве X, называется паранормой, если он обладает следующими свойствами:

1) р(в) = 0;

2) р(х) > 0 для любого х € X;

3) р(—х) = р(х) для любого х € X;

4) р(х + у) < р(х) + р(у) для любых х и у из X;

5) если £п ^ Ь в поле Ф и р(хп — х) ^ 0, то р(Ьпхп — 1х) ^ 0.

Паранорма называется тотальной, если

6) условие р(х) = 0 влечет за собой равенство х = в.

Определение 2. Пара (X,p), где X — векторное пространство, а р

— паранорма, определенная на X, называется паранормированным векторным пространством (см. [1]).

© В. В. Мосягин, Б. М. Широков, 2008

Каждое паранормированное векторное пространство (X,р) является псевдометрическим векторным пространством (X, ¿), где псевдометрика ¿(х, у) определяется с помощью паранормы р(х) равенством

¿(х,у) = р(х — у). (1)

Псевдометрика ¿(х,у), определенная равенством (1), инвариантна по отношению к сдвигу: ¿(х + г, у + г) = ¿(х, у) для любых х,у, г € X. Из неравенства

1р(х) — р(у)1 < р(х — у) = ¿(х,у), х,у € X,

следует непрерывность паранормы р(х).

Каждое паранормированное пространство является топологическим векторным пространством. Это пространство хаусдорфово, если паранорма тотальна.

Паранормированное пространство называется полным, если оно является полным псевдометрическим пространством (см. [1]).

В дальнейшем для краткости будем использовать аббревиатуру ПНП X (паранормированное пространство X).

2. Ниже всюду будем предполагать, что X — вещественное векторное пространство, паранорма р, определенная на X, тотальна, а паранормированное пространство ^,р) — полное.

Определение 3. Замкнутое выпуклое множество К с X назовем конусом, если х € К, х = в влечет за собой ах € К при а > 0 и

—х € К.

Любой конус К в паранормированном пространстве X позволяет ввести в нем полуупорядоченность: х ^ у (равносильно у ^ х), если х — у € К. Элемент х ^ в (то есть х € К) назовем положительным.

В полуупорядоченном ПНП X будем рассматривать конусные отрезки — множества {и, у) = {х : и ^ х ^ у}. Эти множества выпуклы и замкнуты.

В каждом конкретном случае специфика конуса, при помощи которого вводится полуупорядоченность в ПНП X, может обеспечить дополнительные свойства полуупорядоченности. Это обстоятельство, как и в случае банаховых пространств, стимулирует изучение различных классов конусов ПНП X.

Определение 4. Конус К в X называется правильным, если каждая неубывающая последовательность

х1 < х2 < ... < хп < ..., (2)

ограниченная сверху некоторым элементом

хп < у, (3)

сходится в X.

Определение 5. Конус К в X называется нормальным, если из неравенства в ^ х ^ у следует р(х) < р(у).

Определение 6. Конус К в X называется миниэдральным, если каждое конечное множество элементов {х1,...,хп} С X имеет точную верхнюю границу вир{х1,... ,хп}, и сильно миниэдральным, если точная верхняя граница существует у любого ограниченного сверху непустого множества.

3. Тот факт, что ПНП X полуупорядочено при помощи некоторого конуса К, может использоваться при изучении оператора А, дей-

ствующего в X, лишь в том случае, когда А обладает свойствами, связанными с полуупорядоченностью.

Определение 7. Оператор А, действующий в ПНП X, называется положительным, если А( К) с К;

монотонным на множестве Б С X, если из х,у € Б и х ^ у следует А(х) ^ А(у).

Для нелинейных операторов указанные свойства независимы, а для линейных — из свойства положительности следует свойство монотонности.

Пусть для монотонного оператора А, действующего в ПНП X, могут быть указаны такие элементы Уо и то, что

Уо < то и А(уо) > Уо, А(то) < то. (4)

Тогда оператор А отображает конусный отрезок {уо, то) в себя. Действительно, из неравенств Уо ^ х ^ то следует

Уо ^ А(уо) ^ А(х) ^ А(то) ^ то.

Построим последовательности

Уп = А(Уп-і), тГ1 = А(тп-і), п = 1, 2,... (5)

Первая из них, в силу (4), монотонно возрастает и ограничена сверху, а вторая — монотонно убывает и ограничена снизу. Поэтому эти последовательности сходятся, если К — правильный конус. Если оператор А непрерывен, то в равенствах (5) можно перейти к пределу. Значит,

V* = А(у*), т* = А(т*),

где V* и т* — пределы последовательностей {уп} и {тп} соответственно. При этом элементы V* и т* могут быть различными.

Приведенные рассуждения показывают, что для доказательства существования решения уравнения А(х) = х в пространстве X с непрерывным и монотонным оператором А и для построения последовательных приближений достаточно установить существование элементов уо и то, удовлетворяющих соотношениям (4). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть К — правильный конус в паранормированном пространстве X и А — непрерывный монотонный оператор на конусном отрезке (уо ,то), преобразующий этот отрезок в себя. Тогда оператор А имеет на (уо, то), по крайней мере, одну неподвижную точку. При этом последовательности (5) сходятся к неподвижным точкам оператора А.

Теорема 2. Пусть конус К в паранормированном пространстве X правильный, а оператор А обладает свойствами:

1) монотонен на отрезке (уо, то) С X и преобразует его в себя;

2) непрерывен;

3) имеет единственную неподвижную точку х* на отрезке (уо, то). Тогда последовательные приближения

Уп = А(уп-і), п = 1, 2,..., (6)

сходятся к х*, какого бы ни было уо Є (уо, то) С X.

Доказательство. Последовательности (5) и (6) удовлетворяют неравенствам

Уп < Уп < тп, п = 1, 2,... (7)

Последовательности (5) сходятся и их пределы являются неподвижными точками оператора A. Из единственности неподвижной точки следует, что пределы последовательностей (5) совпадают. Кроме того, в полных метрических векторных пространствах с замкнутым конусом каждый правильный конус нормален (см. [2]). Следовательно, последовательность (6) сходится к х*. Теорема доказана. □

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. (Принцип Биркгофа — Тарского [3]). Пусть конус K в X сильно миниэдрален. Тогда любой монотонный оператор A (не обязательно непрерывный), оставляющий инвариантным конусный отрезок (vo,wo), имеет на (vo,wo), по крайней мере, одну неподвижную точку.

Resume

Some fixed point theorems for monotone operators in paranormed spaces with a cone are proved.

Список литературы

[1] Wilansky A. Modern methods in topological sector spaces / A. Wilansky. New York, 1978.

[2] McArthur C. V. Convergence of monotone nets in ordered topological vector spaces / C. V. McArthur // Studia Math. 34(1970). P. 1-16.

[3] Опойцев В. И. Нелинейные операторы в пространствах с конусом / В. И. Опойцев, Т. А. Хурадзе. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1984.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]