Монотонные операторы в F-пространствах с конусом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск б, 1999

УДК 517

МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В F-ПРОСТРАНСТВАХ

С КОНУСОМ

В. В. Мосягин, Б. М. Широков

В работе доказываются теоремы о неподвижных точках монотонных операторов в F-пространствах с конусом.

1. Пусть X — векторное пространство над полем скаляров Ф (Ф = С или М), в — нулевой элемент этого пространства. Рассмотрим функционал q(x), х Е X, удовлетворяющий условиям:

1) q(x)0, q(x) = 0 <(=> х = в;

2) q(Xx)q(x) для всех х Е X и всех таких А Е Ф,что |А|1;

3) q(x + y)q(x) + q(y) для всех х, у е X;

4) lim q(\x) = 0 для всех х £ X.

Л—>-0

Функционал q(x) называется квазинормой на X. Векторное пространство X с квазинормой q(x) называется квазинормир о ванным пространством (см. [4]).

Из определения квазинормы вытекают следующие свойства:

a) q(Xx) = q(x) для всех |Л| = 1, х Е X;

b) q(\x)q([ix) для всех |А||/х|, х Е X;

c) q(nx)nq(x) для всех целых nO, х Е X;

d) q(x — y)\q(x) — q(y)\ для всех х,у Е X.

© В. В. Мосягин, Б. М. Широков, 1999

С помощью квазинормы д на X определим метрику:

<1{х,у) = д(х - у), х,у е X. (1)

Метрика (1) инвариантна и удовлетворяет соотношению й(Хх,Ху) <й(х,у), х,у£Х, |Л| < 1.

Квазинормированное пространство X, полное относительно этой метрики, называется Р1-пространством (см. [4]).

2. В этом пункте и далее будем предполагать, что X — вещественное Р'-пространство.

Замкнутое выпуклое множество К С X называется конусом, если х Е К, х ф 0 влечет за собой Хх Е К при АО и —х ^ К.

Любой конус К С X позволяет ввести в Р'-пространстве X полуу-порядоченность: х^у, если х — у Е К. Элемент х ^ 0 (то есть элемент конуса К) называется положительным. Свойство замкнутости конуса К позволяет в неравенствах переходить к пределу: если {хп}, {уп}

— две сходящиеся (соответственно к точкам ж, у) последовательности в пространстве X, полуупорядоченном при помощи конуса К, то есть q(xn-x) -У Ои ч(уп-у) 0 при п -»> оо, причем хп ^уп (п = 1,2,...), ТО X ^ у.

Наличие полуупорядоченности в X позволяет ввести понятия мажоранты, миноранты, супремума и инфимума. Если множество М С X имеет мажоранту, то его называют ограниченным сверху, если имеет миноранту — ограниченным снизу. Конусным отрезком в X называется множество

(у,ъи) = {х Е Х|г> ^ ж ^ и?}.

Множество (и, т) выпукло и замкнуто, но, вообще говоря, оно не является ограниченным по квазинорме д.

В каждом конкретном случае специфика конуса, при помощи которого вводится полуупорядоченность в Р'-пространстве X, может обеспечить дополнительные свойства полуупорядоченности. Это обстоятельство, как и в случае банаховых пространств, стимулирует изучение различных классов конусов в X (см. [1, 2]).

Определение 1. 1. Конус К в X называется миниэдральным, если каждое конечное число элементов х\,..., хп Е X имеет точную верхнюю границу х = зир{ж1,..., Хп}, и сильно миниэдральным, если

точная верхняя граница существует у любого ограниченного сверху непустого множества.

Определение 2. 2. Конус К в X называется правильным, если каждая неубывающая последовательность

Х\ ^ х2 ^ ^ Хп ^ ..., (2)

ограниченная сверху некоторым элементом,

Х„^у (п = 1,2,...), (3)

СХОДИТСЯ в X.

3. Тот факт, что вещественное Р'-пространство X полуупорядо-чено при помощи некоторого конуса К, может использоваться при

изучении оператора А, действующего в X, лишь в том случае, когда

А обладает свойствами, связанными с полуупорядоченностью.

Определение 3. 3. Оператор А, действующий в Г-пространстве X, называется

положительным, если А(К) С К;

монотонным на множестве В С X, если из х, у £ В и х^у следует А(х)^А(у).

Для нелинейных операторов указанные свойства независимы, а для линейных — из свойства положительности следует свойство монотонности.

Пусть для монотонного оператора А, действующего в X, могут быть указаны такие элементы у о, ? что

у о ^ и Ауо ^ г?0, Аъи0 ^ ъи0. (4)

Тогда оператор А отображает конусный отрезок (г?о, ъ^о) в себя. Действительно, из неравенств г?о ^ х ^ и?о следует

у о ^ Ау о ^ Ах ^ Аъи о ^ и?о •

Построим последовательность

уп = А(уп-1), гип = ^4('шгг_1), га = 1,2,.

(5)

Первая из них, в силу (4), монотонно возрастает и ограничена сверху, а вторая монотонно убывает и ограничена снизу. Поэтому эти последовательности сходятся, если К — правильный конус. Если оператор А непрерывен, то в равенствах (5) можно перейти к пределу. Значит,

у*=Ау\ т*=Ат*,

где V* и и)* — пределы последовательностей {уп} и {ъип} соответственно. При этом элементы и* и и)* могут быть различными.

Приведенные рассуждения показывают, что для доказательства существования решения уравнения Ах = х в пространстве X с непрерывным и монотонным оператором А и для построения последовательных приближений достаточно установить существование элементов удовлетворяющих сотношениям (4). Таким образом,

доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Пусть К — правильный конус в Р1 -пространстве X и А

— непрерывный монотонный оператор на конусном отрезке (уо,шо), преобразующий этот отрезок в себя. Тогда оператор А имеет на (уо,и)о), по крайней мере, одну неподвижную точку. При этом последовательности (5) сходятся к неподвижным точкам оператора А.

Следующая теорема гарантирует существование неподвижных точек у разрывного оператора А, действующего в X.

ТЕОРЕМА 2 (Принцип Биркгофа—Тарского [2]). Пусть конус К в пространстве X сильно миниэдрален. Тогда любой монотонный оператор А (не обязательно непрерывный), отображающий конусный отрезок в себя, имеет на нем, по крайней мере, одну неподвижную точку.

Оператор С, действующий в вещественном Р'-пространстве X, по-луупорядоченном конусом К, называется гетеротонным, если он допускает диагональное представление (?(ж) = (5 (ж, ж), где оператор £7 определен на X х X и С (г?, т) монотонно возрастает по у и убывает по ш (если гетеротонный оператор рассматривается на некотором подмножестве \¥ С X, то в этом случае элементы х,у,т принадлежат ]У). Выбор сопутствующего оператора С(г?,гу) неоднозначен, и если речь идет о гетеротонном операторе, то подразумевается, что сопутствующий ему оператор фиксирован.

Конусный отрезок (г’о,^) в ^-пространстве X назовем сильно

инвариантным для гетеротонного оператора G, если

G(vo,wo) G(w0,v0) ^ wo.

Из сильной инвариантности (vo,wo) следует его обычная инвариантность для G.

В теореме существования неподвижной точки у гетеротонного оператора существенным оказывается следующее условие:

Н) Система уравнений

G(v, w) = г>, G(w, v) = w

на множестве V С X не имеет решений (v,w), для которых v / w.

Множество X х X становится F-пространством, если для пары (v,w) G X х X ввести квазинорму p{v,w) = q(v) + q(w). В этом случае можно говорить о непрерывном операторе G из X х X в X.

Теорема 3. Пусть конусный отрезок (vo,wo) в F-пространстве X является сильно инвариантным для гетеротонного оператора G и на (vo,Wo) выполнено условие Н. Кроме того, пусть выполнено хотя бы одно из условий:

hi ) конус К правилен и оператор G непрерывен;

I12) конус К сильно миниэдрален.

Тогда у оператора G существует неподвижная точка х* G (vo,wo).

Доказательство этой теоремы проводится по такой же схеме, как и в случае локально выпуклого пространства (см. [3]).

Résumé

Some fixed point theorems for monotone operators in F-spaces with a cone are proved.

Литература

[1] Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

[2] Опойцев В. И., Хуродзе Т. А. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1984.

[3] Мосягин В.В. К теории операторов в локально выпуклых пространствах с конусом// Труды ПетрГУ. Серия математика. 1993. Вып. 1. С. 35-40.

[4] Brown А., Реагсу С. Introduction to Operator Theory I. Elements of Functional Analysis. Berlin: Springer, 1977.

Петрозавозаводский государственный университет, математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33