К теории операторов в борнологических векторных пространствах с конусом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 4, 1997

УДК 517

К ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ В БОРНОЛОГИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

А. Т. Вересова, В. В. Мосягин

В статье рассматриваются некоторые классы операторов, действующих в борнологических векторных пространствах с конусом. Доказаны теоремы существования неподвижных точек у монотонных операторов, действующих в этих пространствах. Для доказательства теорем используются специфика конуса и дополнительные ограничения на монотонные операторы.

1. Пусть Е — векторное пространство над полем скаляров Ф (Ф = С или 71), /3 — векторная борнология на Е. Векторное пространство Е, наделенное векторной борнологией /3, называется борнологическим векторным пространством (ВВП) [1, 3].

В каждом борнологическом векторном пространстве Е вводится понятие сходимости, которое зависит только от борнологии /3 этого пространства [1, 3].

Определение 1.1. Пусть Е — ВВП. Последовательность {хп}сЕ называется борнологически сходящейся к нулю в пространства Е (или сходящейся к нулю в в смысле Макки), если в Е существует уравновешенное ограниченное множество В и нуль-последователь-ность скаляров {Ап} такие, что хп Е АпВ, п = 1,2,....

В этом случае будем писать

хп О (М — Пт хп = в). (1.1)

п—Уоо

© А. Т. Вересова, В. В. Мосягин, 1998

Последовательность {хп} С Е назовем борнологически сходящейся к элементу х Е Е, если (хп — х) ^ 0; в этом случае пишем

хп ^ х (М — Пт хп = х). (1.2)

п—Уоо

Определение 1.2. Пусть Е\,Е2 — два отделимых борнологических векторных пространства. Оператор Е из Е\ в Е2 называется непрерывным в точке хо Е Е\, если какова бы ни была последовательность хп Е Е\, п = 1, 2,..., борнологически сходящаяся в пространстве Е\ к точке хо, последовательность Е(хп) Е Е2, п = 1,2,..., борнологически сходится в Е2 к элементу Е(хо).

Иначе говоря, оператор Е является непрерывным в точке жо, если

из М — Пт хп = хо следует М — Пт Е(хп) = Е(хо).

п—Уоо п—Уоо

Определение 1.3. Оператор Е из Е\ в Е2 называется непрерывным на Е\, если он непрерывен в каждой точке пространства Е\.

Каждая борнологически сходящаяся последовательность ограни-

Л М Л м

чена; кроме того, Ахп —у Ах, если хп —у х и А — линеиныи ограниченный оператор из Е\ в Е2.

Определение 1.4. Множество V С Е называется замкнутым в смысле Макки (М-замкнутым), если оно содержит пределы всех сходящихся в смысле Макки последовательностей из V.

Определение 1.5. ВВП Е называется полуполным, если оно отделимо и каждая последовательность Коши—Макки обладает пределом (необходимо единственным).

2. Пусть Е — вещественное отделимое полуполное ВВП, в — нуль пространства.

Определение 2.1. М-замкнутое выпуклое множество К с Е называется конусом, если х Е К, х / в влечет за собой ах Е К при а>0 и (—х)~ёК.

Любой конус К С Е позволяет ввести в Е полу упорядоченность: Х>У, если х — у Е К. Элементы х >6 (то есть х Е К) называются положительными.

Использование полу упорядоченности при изучении операторов, действующих в Е, опирается на знание свойств отношения >.

Предложение 2.1. Пусть {х'п}, {х— две борнологически сходящиеся (соответственно к точкам х', х") последовательности в пространстве Е, полуупорядоченном при помощи конуса К,

Тогда х' < х"

Доказательство. Соотношение (2.1) означает, что ж" — хгп Е К (п = 1,2,...). В силу М-замкнутости К предел х11 — х1 последовательности хп~хп (п = 1? 2,...) также принадлежит К. Утверждение доказано. □

Наличие полуупорядочения в X позволяет ввести понятие мажоранты, миноранты, супремума и инфимума.

В каждом конкретном случае специфика конуса, при помощи которого вводится полуупорядочение в ВВП Е, может обеспечить наличие дополнительных свойств отношения >. Это обстоятельство стимулирует изучение различных классов конусов в Е.

Ниже всюду через Е будем обозначать вещественное отделимое полуполное ВВП, полуупорядоченное при помощи конуса К.

Определение 2.2. Конус К в Е называется миниэдральным, если каждое конечное число элементов 21,2:2,...,^ Е Е имеет точную верхнюю границу х — зир{г1,г2,...,2П}; и сильно миниэдральным, если точная верхняя граница есть у любого ограниченного сверху множества.

Определение 2.3. Конус К в Е называется правильным, если каждая неубывающая последовательность

сходится в Е в смысле Макки.

Предложение 2.2. Если конус К с Е правильный, то каждая последовательность {хп}, удовлетворяющая соотношению

Х\ > Х2 > • • • > хп > . . . > и

причем

(2.1)

XI < Х2 < ■ ■ ■ < Хп < . . . ,

(2.2)

ограниченная сверху некоторым элементом

Хп<У (п = 1,2,...),

(2.3)

при некотором и Е Е, сходится в Е в смысле Макки.

Доказательство очевидно.

Следующая теорема является обобщением теоремы 1.14 работы

И-

ТЕОРЕМА 1. Пусть в пространстве Е конус К правилен и ми-ниэдрален. Тогда каждая ограниченная сверху последовательность {хп} С Е имеет точную верхнюю грань.

Метод доказательства теоремы 2.1 тот же, что ив [2].

Определение 2.4. Конус К с Е называется вполне правильным, если каждая неубывающая последовательность {хп} С Е, такая, что {хп} Е /3, сходится в Е в смысле Макки.

Определение 2.5. Конус К с Е называется нормальным, если из

__■ _■ / "1 о \ М М -л М

хп<Уп<2п (гг = 1,2,...) и хп —у и, —у и следует уп —у и.

3. Тот факт, что вещественное полуполное отделимое ВВП Е полу-упорядочено при помощи некоторого конуса К, может использоваться при изучении операторов, действующих в Е, лишь в том случае, когда эти операторы обладают свойствами, связанными с полу упорядоченностью.

Определение 3.1. Оператор А, действующий в пространстве Е, называется :

положительным,если А{К) С К;

монотонным на множестве В С Е, если из х,у Е В, х > у следует А(х) > А(у).

Для нелинейных операторов указанные свойства независимы. Для линейного оператора из свойства положительности следует монотонность.

Множество элементов х Е Е, удовлетворяющих неравенствам

У0 < х < гШо,

называется конусным отрезком и обозначается через (г?о ,^о)«

Пусть для монотонного оператора А, действующего в Е, могут быть указаны такие элементы г?о, , что г?о < и

А{у0)>у0, А{и)0)<и)0.

(3.1)

Тогда оператор А оставляет инвариантным конусный отрезок (г?о, ^о)« Действительно, неравенства г?о <х<и>о влекут за собой неравенства

у0 <А(у0) <А(х) <А(т0) <ги0- (3.2)

Построим последовательности

г^п — А(уп 1), гшп — А(тп 1) (ті — 1,2,...). (3*3)

Первая из них в силу (3.1) монотонно возрастает и ограничена сверху, а вторая монотонно убывает и ограничена снизу. Поэтому указанные последовательности сходятся, если конус К правильный. Если оператор А непрерывен, то в равенствах (3.3) можно перейти к пределу. Значит,

у*=А(у*), ™*=Л(™*), (3.4)

где у* — предел последовательности {уп}, а и>* — предел последовательности {и?п}. При этом элементы у*,и)* могут быть различными.

Приведенные рассуждения показывают, что для доказательства существования решений уравнения

х = А(х) (3.5)

в пространстве Е с непрерывным и монотонным оператором А и для построения сходящихся последовательных приближений достаточно установить существование элементов г?о, ? удовлетворяющих соот-

ношениям (3.1). Таким образом, доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Пусть К — правильный конус в вещественном полупол-ном БВП Е. Пусть непрерывный и монотонный на конусном отрезке (уо,и)о) оператор А преобразует этот отрезок в себя.

Тогда оператор А имеет на (уо,шо), по крайней мере, одну неподвижную точку. При этом последовательности (3.3) сходятся к неподвижным точкам оператора А.

Следующая теорема гарантирует существование неподвижной точки у разрывного оператора А, действующего в пространстве Е.

Теорема 3 (принцип Биркгофа — Тарского). Пусть конус К в пространстве Е сильно миниэдрален.

Тогда любой монотонный оператор А, оставляющий инвариантным конусный отрезок (уо,и)о), имеет на {уо, шо), по крайней мере, одну неподвижную точку.

4. В этом пункте рассмотрим некоторые неравенства в борнологических векторных пространствах с конусом.

ТЕОРЕМА 4. Пусть Е — полуполное борнологическое векторное пространство, полуупорядоченное при помощи конуса К. Пусть действующие в Е операторы А, В удовлетворяют условиям: Н\) если

х,у Е Е, то из х < у следует А(х) < В (у); Н2) уравнения (р =

д + А((р), г[) = Н + В(ф) имеют единственные решения (/?, ф при произвольных д,Н Е Е, и эти решения могут быть получены как пределы (в смысле Макки) последовательностей соответствующих последовательных приближений.

Тогда из неравенства

и — А(и)<у — В(у), и,у Е Е, (4.1)

следует оценка

и<у. (4.2)

Если в неравенстве (4.1) знак < заменить противоположным, то неравенство (4.2) будет справедливо с противоположным знаком.

Доказательство. Обозначим через д и Н элементы и—А(и) и у—В{у) соответственно, тогда

д<Н (4.3)

и по условию Н2

и = Пт <рп, у = Пт фп, (4.4)

п—Уоо п—Уоо

где

<Р0=д, <Рп = 1 = д = А((рп) (п = 1,2,...);

-фо = К фп + 1 = Ь + В(фп) (п = 1,2,...).

По индукции докажем, что

Ч>п<Фп (п = 1,2,...). (4.5)

Для п = О это справедливо по (4.3). Допустим, что (4.5) справедливо

для п = к; тогда по условию Н\ и по соотношению (4.3)

<Рк+1 = д + А{(рк)<ь + в{фк) = Фк+1-

Пусть п —У оо в (4.5), тогда ( в силу М-замкнутости конуса К) имеем u<v. □

Resume

In this paper we consider nonlinear operators in bornological vektor spaces with a cone.

Литература

[1] Радыно Я. В. Линейные уравнения и борнология. Минск: Изд-во БГУ, 1982. 200 с.

[2] Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с.

[3] Hogbe-Nlend Н. Bornologies and functional analysis. Amsterdam: North-Holland publishing company, 1977. 144 p.