L p -оценки векторных полей в двумерных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 271-278

УДК 517.9

Lp- ОЦЕНКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ В ДВУМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ © 2014 г. А.В. Калинин, В.Е. Метелева, А.А. Тюхтина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского avk@mm.unn.ru

Поступила в редакцию 05.02.2014

Устанавливаются неравенства, оценивающие скалярные произведения двумерных векторных полей через нормы их ротора и дивергенции в пространствах Лебега.

Ключевые слова: скалярное произведение, дифференциальные операции векторного анализа.

При решении математических проблем гидродинамики и электромагнитной теории большую роль играют оценки, связывающие нормы вектор-функции, её ротора или дивергенции в пространствах Лебега. Некоторые результаты исследований Ьр -оценок норм векторных полей

и их приложений в задачах математической физики отражены в работах [1—6]. Применение этих оценок, как правило, требует однородности физических сред, в которых изучаются векторные поля. При изучении задач математической физики в неоднородных средах с кусочно-гладкими коэффициентами обычно использовались соображения, связанные с условиями согласования на границе раздела сред [3].

Для исследования векторных полей в неоднородных средах при более общих условиях на коэффициенты могут быть эффективно использованы оценки для скалярных произведений векторных полей. В работах [7-10] были получены Ьр -оценки скалярных произведений векторных полей в трёхмерных ограниченных областях и была изучена возможность их применения для исследования разрешимости различных задач электромагнитной теории.

В настоящей работе устанавливаются неравенства, оценивающие скалярные произведения двумерных векторных полей через нормы их ротора и дивергенции в ^-пространствах. Полученные оценки основаны на обобщенных для интегрируемых вектор-функций представлениях гладких вектор-функций в двумерных звездных областях.

1. Обозначения

Пусть Я2 - двумерное евклидово пространство. Через X = {х1,х2}, у = {у1,у2},... обозначаются точки Я2, через е1 = (1,0), е2 = (0,1) - канонический базис, скалярное произведение (X • у) =

Ы ¡- -Л1/2

= х1 у1 + х2 у2 , евклидова норма я = (г • х) .

Для вектора z е R2, z = {, z2}, обозначим через z* вектор {z2,-z1}. Тогда при всех a, b е R2 а* = —а, (а • b*) = -(а* • b).

Пусть QcR2 - открытое ограниченное множество, звездное относительно некоторой точки, с регулярной границей Г, Q - замыкание Q в R2. При почти всех x е Г определён единичный вектор внешней нормали v(X). Для функций и : Q ^ R2 используются обозначения

uv (x) = (и (X) • v( X)), nv (x) = nv (x )v(X),

ux (x) = U(x) — Uv ((), x е Г.

Дифференциальный оператор д / дх,, i = 1,2 , обозначается через дi; основные дифференциальные операции для дифференцируемых функций U: Q^ R2, ф: Q^ R1 записываются в виде

div и = д1и1 + д2и2, grad ф = (д1ф, д 2ф), rot и = д1и2 - д2и1, rot ф = (д2ф,-д1ф). Очевидно, что

rot и = div и *, rot ф = (grad ф)*.

Через D(Q) обозначено пространство пробных функций ф : Q ^ R1, через {D(Q)}2 - пространство пробных функций ф : Q^ R2, через {D(Q)}2 - множество функций, являющихся сужениями на Q функций из {D(R2)}2 . {Lp (Q)}2, 1 < p <«, - банаховы пространства суммируемых со степенью p вектор-функций и : Q ^ R2 с соответствующими нормами

1И1Рп={[ \и(x)Pox} . При p=2 пространство {L2 (Q)}2 является гильбертовым со скалярным произведением (и, v)2П = J*(u (()• v (xj)dx .

Определяются следующие банаховы пространства вектор-функций с соответствующими нормами [7]:

Нр ((у;О) = е \Ьр(о)}3: (уи е Ьр(о)},

Hull ,. = H|u||p + lldiv и\Р

llp.div.n И llp.n N llp.n

}'Р,

Hp (rot; оЬ Ji e Lp (n): r°tu e L, («)!•

I|u|| = l|u||p +1 |rot u||p

llp.rot.n U llp.n N llp.n

J(u • v )dx

< CJ u

llg.nll

rot v

llp.n

(2.1)

J(u • v )X

< CJ й

llg.nll

rot v

llp.n

+ v

lip,nil

liv u

\\q,n)

J(u • v )dX

n

+1 Ivll

< CJ u

q,n

liv v

p,n

n rot u n + rot u n div v ,

p,n q,n q,n p,n

Если р > 2, то найдется такая постоянная С4 > 0, зависящая только от области О и р, что

справедлива оценка

J(u • v )dX

(2.4)

< CA U

liv v + rot u v

Через H0p (div; n), H°p (rot; n) обозначается замыкание множества |)(n)}2 в Hp (div; n), Hp (rot; n) соответственно.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть QcR2 - открытая ограниченная область с регулярной границей. Тогда множество вектор функций, принадлежащих {¿(Q)}2, плотно в Hp(div;n) и в Hp(rot;n).

2. Основные результаты

Неравенства, сформулированные в теоремах 2.1-2.3, будут доказаны в п. 4 на основании рассмотренных в п. 3 представлений вектор-фунций.

Теорема 2.1. Если p > 1, q = p /(p -1), то существует такая постоянная C1 > 0, зависящая только от p и области n , что для любых v e Hp(rot;Q), u e H° (div;n) справедливо неравенство

q,n p,n q,n p,n

Пусть теперь n c R2 - произвольная ограниченная область. Справедлива

Теорема 2.3. Пусть p > 1, q = p /(p -1). Если p Ф 2 , то найдется такая положительная постоянная C5, что для всех u e H° (div;n), v e e H 0p (rot; n) справедливо неравенство

J(u • v )dX

(2.5)

< CJ u „rot v

+ v

iiv u

q,n p,n p,n q,n

При p = 2 найдется такая постоянная C6 > 0, что для всех u e Hp (div; n), v e Hp (rot; Q) справедлива оценка

J (u • v )dX

< CJ u „rot v +

q,n

p,n

+ М о div u n+ rot v n

p,n q,n p,n

lldiv "II q,n) .

(2.6)

+ 1 М1р,о1(у м1,о+11(1у и\1о\\г0 Чро! • Если р > 2, существует такая постоянная С2 > 0 , зависящая только от р и области о , что справедливо неравенство

3. Представления вектор-функций в звездных областях

Пусть область О звездная относительно точки у е О. Для т е [0,1], х е О обозначаем

^(х, у) = у + т(х - у) е О •

Теорема 3.1. Для всех функций и е |(С1(о)}2 справедливы тождества

u (x) = grad X \ J u (( (x, y)) • ( - У) у -

(2.2)

Теорема 2.2. Пусть p > 1, q = p /(p -1). Тогда существует такая постоянная C3 > 0 , зависящая только от области n и p, что для любых v e Hp (div;n), u e Hp (rot; Q) , справедливо неравенство

1

- - Й rotj u((((X»^

0

(X) = rot X jJ (u(( (x y)) •(( - УУV

(3.1)

1

+ Jt(x - y )divj u(jx (xj, y)))

(3.2)

(2.3)

где rot j u (zx(x, y)) = rot j u (z) в точке z = zT(x, y), div - u (zx (x, y)) = div - u (z) в точке z = zx(x, y).

Справедливость тождеств (3.1), (3.2) проверяется непосредственно. При этом каждое из равенств можно получить, применив другое равен-

+

+

Lp-сцонки воктсрных пслой в двуморных сбластях

273

ство для вектор-функции u* = {u2,—u^e {c1(q)}2 Из неравенства (3.8) следует, что отер^гор

Qm : Lp (Q)^ Lp (Q) при p > max<j 1 2

m +11

С использованием обозначений г = X - у , /—\

непрерывен на множестве С (О), плотном в ?(X) = (X - у)/г(X) е 5, где 5" - единичная сфера / ч

г ) £р (О). Следовательно, его можно продолжить

в Я , 5 = £ еЯ : £ =1/, £ = хг, тождества (3.1), до некоторого линейного ограниченного опера-(3.2) запишутся в виде тора, обозначаемого в дальнейшем также через

Гг Г 0т, определенного на всем пространстве

и(х) = х м(((у + ^) ^^ Г £ (о) . Оценка (3.8) остается справедливой и

10 J (3 3) р

! ^ ^ для этого оператора. Аналогично, оператор

- -* го1 г и (у + Qm : {£р (о)}2 (о)}2 продолжается по не-

г 1 > прерывности на пространство {р (о)}2 :

и(х) = ш! х|}( + *Ц + рт(ф|рп <(фЦр,п <

< Ст (P, 0|Ф| рп= Ст (P, °)|Ф|| р,п .

(3.4)

+ S J^s div j u (у +

ii p,q /imip,q

r J Теорема 3.2. Для каждой функции

Обобщим представления (3.1), (3.2) для ин- и е Hp(div;q) p >1 наВДется такая функция тегрируемых функций. Определим для каждого q(u)е Lp (q), что справедливо тождество

ветственно соотношениями

m >-1 и для функций ф е c(q), $e{C(Q)}2 u = rot Q(u) + sQl (div U),

функции Qm (ф): Q ^ R1, Qm (ф): Q ^ R2 соот- причем, если p > 2, можно взять

Q(U ) = (Qo (U )• s).

Qm (ф)(Х ) = ^-m JV ф(у + R

0 (3.5)

Qm №)= '-m JVф(У + ^К

(3.9)

0

Доказательство. Пусть последовательность {ик }с |о(о)}2 такова, что ик ^ и при к ^ да в Н(div; О). Для всех ик справедливо тождество (3.9): _

С использованием обозначений (3.5) тожде- йк = го^ (ик )• ? *)+ ^ (div ик). (3.10)

ства (3.3), (3.4) примут соответственно вид тт ;

г- , ч V ч / ч ч При к ^ да, ввиду оценки (3.8), (divик

, ч г~ , ч V \ / V \ р ' ввид>

u (х ) = grad(^0(u)) s Xх)-(rot u)(x), (36) (div u ) в {Lp (Q)}2.

u = rot(Q0 (u )• s*)+ sQ1 (div u ). (3.7)

Последовательность {rot(Q0 (uk) • s * )}=,

таким

0

Лемма 3.1. При всех т >-1.

2 | образом, фундаментальна в {р (о)}2 и, следова-

-> существует такая постоянная 1 ^ р 4 ''

p > max<! 1,-> существует такая постоянная

1 m + 1J тельно, сходится к некоторому элементу

Cm (p,Q)> 0, зависящая только от m, p и обла- V е \Lp(q)}2 .

сти О, что для любых фе С(о) справедливо Пусть уе{£(0)}2 такова, что div ^ = 0. Тоо гда

(ф)р,о < ст(р,о)ф||р,о. (38) V*, *)-иче. ю-гЦ

Оценка (3.8) может быть получена с исполь- к ^^ '

неравенство

зованием неравенства Гёльдера так же, как со- = — lim/grad(Q0 (ик )• s *), = 0,

ответствующее неравенство для трехмерного k^

случая в [9]. При этом то есть [4] v*=— gradQ(U), где функция Q(U)

^ ч ppL r определена с точностью до аддитивной константы

Cm (p, Q)= —-r-p—1-I ——, и лежит в Lp (q) согласно неравенству Пуанкаре

m I p(m +1) — 2 J p1/p' ^ ,4

, ч [11]. Следовательно, v = rotQ(u). Переходя к

гдеRy(s) = sup{r е R1 : y + rs efll, Rv = supRv(s). « ,m ^

^ s jesy пределу в равенстве (3.10), получаем (3.9).

и воспользовавшись соотношением u = —u .

всех

Если p > 2, то (q0(u)• s)e Lp(q) и для $e|n)}2

^rot(Q0 (uk )• S *)-rot(Q0(u ^s *)

< C0 (p, n)|uk - u| |p jrot ф||q,Q ,

последовательность {rot(Q0 (uk )• s *)} сходится к

rot(Q0 (u )• s *) в пространстве распределений, и

rot (Q (u )• s *)= rot Q(u). Можно положить, таким образом,

Q(u )=(Q (u )• s*). Теорема 3.3. Для каждой функции u e Hp (rot; О) при p > 1 найдется функция

Q (u) e Lp (о), такая, что справедливо тождество u (x) = grad Q1(u )-sQj(rot u ), (3.11) причем, если p > 2, можно взять QQ (u) =

= (Q0 (u )• S).

Доказательство. Если u e Hp(rot;о), то u* e H (div;о), и согласно теореме 3.2 найдется функция q(u*)e Lp(о), такая, что

u * = rot Q(u *)+ sQj(div u *). Получаем таким образом

u = -u* =-(rotQ(u*)) -s*QQ(divu*) =

= grad Q(u *) - s *Q>! (rot u), то есть справедливо тождество (3.11), где Q1 (u ) = Q(u *). Пусть p > 2 и, соответственно, Q(u*) =

:*)• s *). Если

последовательность

& }

с

Лемма 3.3. Для любой функции и е K (rot; Q) найдется такая функция ю е H '(Q), что и = =gradю .

В [12] приводятся новые представления трехмерных векторных полей во внешних областях. Аналогичные равенства могут быть получены и для двумерного случая. Пусть Qe = R2\Q , ls = {x е R2 : x = y + rs,r > o}, Sr = = {s е S : ls П Г Ф 0}. Предположим, выполнены следующие условия:

• Sr = S П О для некоторого открытого

множества Ос R2 ;

• для каждого s е Sr множество ls П Г состоит ровно из одной точки x = y + R(s)s, при этом x = y + rs е Q, если 0 < r < R(s), и x = y + rs еQe, если r > R(s) ;

функция hy (x ) = R

( - - \ x - y

- Я

определенная

c|(Q)}2сходится к u в |p(о)}2, то последовательность } сходится к u *, и, таким образом,

Q0 (u*)= ЦИ1Q0 (uk)= Urnfe (uk J = (Q0 (u)) .

Окончательно получаем

Q1 (u) = Q(u *)=(Q0 (u *)• s *) =

= (( (u ))*• s *)= (?0 (u )• s ), что и требовалось доказать.

Теоремы 3.2, 3.3 имеют очевидные следствия:

Лемма 3.2. Пусть p > 1. Для всех u e H (div; О), v e H (rot; О) функции Q(u), Q (v), определяемые в теоремах 3.2 и 3.3 соответственно, лежат в W1 p (о).

на открытом множестве Ог = {хеR2: х = у + г?, (г, ?)е(0, <»)х 5г}, является функцией класса С1 (Ог) •

Теорема 3.4. Для любой функции и е {с1 (Ое )}2 при всех х еОе справедливы равенства

и (х) = г0 х |(и ( (x, У)) •(( - У)" +

ку (х )/|I-у\

1

+ | т(( - у)((1уг и (( ((, у))<А +

ку (х )/| х - у|

ку (х)

(( - у)

gradx

- У

( (

и

V v

y + hy (x )

-y

^ ( x - y ^

y + ix-y hy (x)

-y

УУ

1

и (x) = gradx J (u ((x (x, y)) •(( - y))d% -

hy (x )/| x - y|

1

Jx(x - y rot г и ( (( y ))dX -

hy (x )/| x - y|

-(( - y

d hy (x) grad

x

- y

((

y+

v

x - y lx - yl

hy (x)

^ ( x - ^ ^^ у + hy (x )

• v

x

- y

/y

X

X

X

^-оценки векторных полей в двумерных областях

275

С использованием обозначений представлений (3.3), (3.4) данные тождества можно записать в виде

г

и(x) = rotx J(u(y + )• s*)dE,-

R(S)

1 r

+ — J div 2U (( + +

R(S)

+ rs

grad.

R(s)

X (u (y + sR(s )) • v(y + sR(s()),

r

U(x) = gradx J(((y + £?)•

R(s)

- J *rotzu(( + R(* )X

R (s)

— rs

grad x

Если p>2 , то, согласно теореме 3.3, v = grad(Qo (v) • s ) — sQ1 (rot v), и, следовательно, для всех m е N

J(( • Wm )dx = J((m ' grad(Q0 s ))dx"

— J Q1 (rot v )(( •V m )dx

Q

< Co (p, Q) v|pQ| Idiv у

C1 (p, Q)rot v|l ||V

p,Q\\ m\\q,a

p—1

Положим C2 = C0 (p, Q) =

f p — 1 ^ p Ry

x (u*(y + sR(s)) • v(( + sR((()).

4. Доказательство основных неравенств

Доказательство теоремы 2.1. Пусть v е Hp (rot; Q), и е H0 (div; Q). По определению

пространства H°° (div; Q) найдется последовательность {уm }е{/)^)}2, такая, что ym ^ U при m ^ да по норме H°q (div;Q). Согласно теореме 3.3 найдется функция Q(v)е^1,p(q), такая, что

v = grad Q(v ) — s*Q1 (rot v ), при этом, ввиду обобщённого неравенства Пуанкаре [4], существуют константа A(p, Q), не

зависящая от Q(v), и число C *, такие, что

Q(v) — CII p,Q< A( Q)grad Q(( )p,Q. Для всех m е N получаем:

J(( •У m )dx < j{Q(v) — C }div W mdx

QQ

+ J| Q1 (rot v ) m\dx <

Q

< A(p, Q|div Wm|q,Q (|1p,Q + C1 ( Q)rot 1p,Q ) + + C1 (P, Q)rot v|p,q||w m|q,Q .

Положив

C1 = max{A(p, Q), C(p, Q), A(p, Q)C1 (p, Q)} и переходя к пределу при m ^да, получаем неравенство (2.1).

Тогда, переходя к пределу при m ^да>, получим (2.2).

Доказательство теоремы 2.2. Пусть последовательность {Уm }е {d(q)}2 такова, что Wm ^ и при m ^да по норме Hq (rot; Q). Так как rot и = div U*, последовательность {wm }е {d(q)}2 сходится к и * в Hq (div; Q), и, следовательно, и*е H0(div;Q). Если v е Hp(div;Q), то v*е е H (rot; Q), и, применяя теорему 2.1, получим

J (и* • v*)о£

< CJ U I rot v 1 +

1,1 Hq,Q|l II p,Q

+ v div U1 + div U * rot v *

И llp,Qll llq,Q II llq,Q II llp,Q'

= CM U div Л + v rot U +

1 q,Q p,Q p,Q q,Q

+ 1 Irot U|| lldiv vll ) .

q,Q p,Q

Так как (и • v) = (и*• v*), отсюда следует неравенство (2.3).

Если p > 2, то для U*, v* справедлива оценка (2.2), и, таким образом, для и , v справедлива оценка (2.4).

Замечание. Ввиду теоремы о плотности, неравенства (2.1)-(2.4) можно было бы доказать для гладких функций, используя представления (3.1), (3.2) и не привлекая теоремы 3.2, 3.3.

Доказательство теоремы 2.3. Пусть Q c BR(y) = {x е R2: |x — y| < r}, U е H0(div;Q),

v е H°p (rot; Q), последовательности {уm } е е {d(q)}2 , }е{^^)}2 сходятся к и в Hq (div;Q) и к v в Hp (rot;Q) соответственно. Определим для каждого m = 1,2,... пробные функции wm е {d(Br (y))}2, ф^ е {{((Br (y))}2, продолжая уm и фm нулём вне Q. Поскольку

х

+

ч

J (( •4>Rn)dX = J(( , достаточно дока-

Br(y) Q

зать неравенства для и Ф^ .

При p>2 утверждение теоремы вытекает из (2.2). Если p<2, то q > 2 и для ^, Ф^ справедлива оценка (2.4). Если p=2, применяя теорему 2.1 к функциям viR e H (div;Br (y)) ,

e Hp (rot; BR (y)) , приходим к неравенству (2.6).

5. Следствия оценок при p = 2

Обозначим H (div;Q) = H2 (div;Q), H (rot;Q) = = H2 (rot;Q), это гильбертовы пространства с соответствующими скалярными произведениями

(u, v)div = J(u • v)dX + J div u div vdx,

Q Q

(u, v)rot = J(u • v)dX + J(rot u • rot v)aX,

Q Q

положим также K (d iv; n) = {? e {L2 (n)}2 : divu = 0}, K(rot;О) = { e {L2(о)}2 : rotu = 0}, Kx(div; О) и Kx(rot; О) - ортогональные дополнения к K(div; О), K(rot; О) в { (о)}2.

Справедливы следующие утверждения [3,4].

Лемма 5.1. Для всех p e H1 (о) справедливо включение grad p e K (rot; О), причем если p e H1 (О), то grad p e K(rot; О) П H0 (rot; О).

Лемма 5.2. Kx(div; О) совпадает со множеством {grad ф: 9e Hl0 (о)}.

Поскольку неравенства (2.1), (2.3) при p = q = 2 оценивают скалярные произведения

функций в {L2 (о)}2 , из них следуют известные условия ортогональности соленоидальных и потенциальных векторных полей для звездных областей. А именно, справедливы следующие утверждения, другими методами полученные, например, в [2-4, 6].

Лемма 5.3. Пусть ОсR2 - ограниченная область, звездная относительно некоторой точки. Тогда

K1 (div, О) = K (rot, О) П H0 (rot; О).

Доказательство. Пусть u e K1 (div, О). Согласно лемме 5.2, u = grad ф, где ф e H0 (q) . По лемме 5.1 тогда u e K (rot, О) П H 0 (rot; О).

Обратно, пусть u e K(rot, О) П H0 (rot; О), v -произвольный элемент из K (d iv, Q). Из нера-

венства (2.3) следует, что J(u • v)aX = 0 , то есть

Q

u e K1 (div, n).

Лемма 5.4. Пусть ОсR2 - ограниченная область, звездная относительно некоторой точки. Тогда

K1 (rot, О) = K (div, О) П H0 (div; О). Доказательство. Пусть u e K1 (rot, О). Для всех v e K (rot; Q) функция v* e K (d iv; n), поэтому u*e K 1(div,О), и, по лемме 5.3, u*e e K(rot, О) П H0 (rot; Q), то есть u e H0 (div; О) П П K(div; Q) .

Обратно, пусть u e K (d iv, n) П H 0 (d iv; n), v - произвольный элемент из K (rot, n). Тогда из

неравенства (2.1) следует, что J(u • v)dX = 0 , то

Q

есть u e K1 (rot, n).

Теорема 5.1. Пусть ОсR2 - ограниченная область класса С2, звездная относительно некоторой точки. Тогда пространство {L2 (о)}2 раскладывается в прямую сумму взаимно ортогональных пространств H, H1 , H2 , где

H = {7 e {L2 (О)}2 : divu = 0,yvu = 0}, Hj = {I e {L2 (q)}2 : u = gradp, Ap = 0},

H2 = {u e {L2 (n)}2: u = grad ф, ф e H1 ((}. Доказательство. Согласно лемме 5.4, H = K(div, О) П H0 (div;Q) = K 1(rot, О), по лемме 5.2 H2 = K (rot, О) П H0 (rot; О) = K1(div, О). Так как ввиду леммы 5.1 H1 = K (d iv, n) П П K (rot, О), пространства H, H1, H2 взаимно ортогональны. Остается показать, что пространство K (rot; О) раскладывается в прямую сумму H1 и H2 . Если u e K (rot; О), то, согласно лемме Лакса-Мильграма, найдется единственный элемент ф e H0 (q), такой, что при всех "qe H^ (о) справедливо равенство

J (u • grad q)dX = J (grad ф • grad q)aX,

Q Q

и, следовательно, u - grad фe K (rot; Q) n n K (d iv; О = H1. Так как gradф£H1, теорема доказана.

Положив в неравенствах (2.1), (2.3) при p = 2 u = v , получим оценки нормы функции u в

{L2 (о)}2 через нормы ее ротора и дивергенции.

Теорема 5.2. Пусть ОсR2 - ограниченная область с регулярной границей, звездная отно-

bp-оценки векторных полей в двумерных областях

277

сительно некоторой точки. Найдется такая постоянная С7 > 0, зависящая только от области О, что для всех и е Н0 (го!;О)П Н(^;О) справедлива оценка

114,0 < С7 (| ГО! и| (2,0 + 2,О) . (5Л)

Доказательство. Положим в неравенстве (2.3) V = и, тогда

У|2 < С3 (|м|| ||го! м|| +

II 112,0 3Ч Н2,пН 112,0

+ ||div м|| + ||го! м|| ||div м|| ) .

II 1|2,П|| 1|2,П II 1|2,П|| 1|2,П/

Обозначая

z = И

а = div и

ß =

И2,Q ~ C8 (Ir0tUl2,Q+|Idlvи\2,П/

= ||rot 2 Q и разрешая неравенство

z2 — C3z(a + p)— C3ap< 0 относительно z > 0 , получаем, что справедлива оценка (5.1), где C7 = C3 +1/4.

Теорема 5.3. Пусть Q c R2 - ограниченная область с регулярной границей, звездная относительно некоторой точки. Найдется такая постоянная C8 > 0 , зависящая только от области Q, что для всех и е H(rot;Q)nH0(div;Q) справедлива оценка

J. (5.2)

Доказательство. Положив в (2.1) v = U и разрешая полученное неравенство относительно U , получим оценку (5.2), где C8 = C1 +1/4.

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках задания М 2014/134 на выполение государстве-ных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки РФ (код проекта 2664).

Работа поддержана (частично поддержана) грантом (соглашение от 27 августа 2013 г. М 02.В.49.21.0003 между МОН РФ и ННГУ)

Работа выполнена при финансовой поддержке Мино-брнауки РФ в рамках проектой части государственного задания в сфере научной деятельности в 2014-2016 гг. (код проекта 1727).

Списск литоратуры

1. Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала // В сб.: Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984. С. 275-307.

2. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Труды МИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 5-36.

3. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

4. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

5. Масленникова В.Н. Оценки в Lp и асимптотика при t ^ да решения задачи Коши для системы Соболева // Труды МИАН СССР. 1968. Т. 103. С. 107-141.

6. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. New York: SpringerVerlag, 1986.

7. Калинин А. В. Некоторые оценки теории векторных полей // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия «Математическое моделирование и оптимальное управление». 1997. Т. 20. № 1. С. 32-38.

8. Калинин А. В., Калинкина А. А. Оценки векторных полей и стационарная система уравнений Максвелла // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия «Математическое моделирование и оптимальное управление». 2002. Вып. 1(25). С. 95-107.

9. Калинин А.В., Калинкина А.А. Р^оценки векторных полей // Известия вузов. Математика. 2004. № 3. С. 26-35.

10. Калинин А. В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике: Учебное пособие. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. 319 с.

11. Мазья В.Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 415 с.

12. Калинин А.В., Молодкина В.Е. Некоторые представления векторных полей во внешних областях // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 3(1). С. 94-98.

Zp-ESTIMATES FOR VECTOR FIELDS IN TWO-DIMENSIONAL REGIONS

A.V. Kalinin, V.E. Meteleva, A.A. Tyukhtina

The inequalities are established which estimate the inner products of two-dimensional vector fields through the norms of their curl and divergence in Lebesgue spaces.

Keywords: inner product, differential operations of vector analysis.

2.П

2,П

References

1. Vejl' G. Metod ortogonal'noj proekcii v teorii potenciala // V sb.: Matematika. Teoreticheskaya fizika. M.: Nauka, 1984. S. 275-307.

2. Byhovskij Eh.B., Smirnov N.V. Ob ortogonal'nom razlozhenii prostranstva vektor-funkcij, kvadratichno summiruemyh po zadannoj oblasti, i operatorah vektornogo analiza // Trudy MIAN SSSR. 1960. T. 59. S. 5-36.

3. Dyuvo G., Lions Zh.-L. Neravenstva v mekha-nike i fizike. M.: Nauka, 1980. 384 s.

4. Temam R. Uravneniya Nav'e-Stoksa. Teoriya i chislennyj analiz. M.: Mir, 1981. 408 s.

5. Maslennikova V.N. Ocenki v Lp i asimptotika pri t —y & resheniya zadachi Koshi dlya sistemy Soboleva // Trudy MIAN SSSR. 1968. T. 103. S. 107-141.

6. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. New York: SpringerVerlag, 1986.

7. Kalinin A.V. Nekotorye ocenki teorii vektornyh polej // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i optimal'noe upravleme». 1997. T. 20. № 1. S. 32-38.

8. Kalinin A.V., Kalinkina A.A. Ocenki vektornyh polej i stacionarnaya sistema uravnenij Maksvella //

Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Loba-chevskogo. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i optimal'noe upravleme». 2002. Vyp. 1(25). S. 95-107.

9. Kalinin A.V., Kalinkina A.A. Lp-ocenki vek-tornyh polej // Izvestiya vuzov. Matematika. 2004. № 3. S. 26-35.

10. Kalinin A.V. Ocenki skalyarnyh proizvedenij vektornyh polej i ih primenenie v matematicheskoj fizike: Uchebnoe posobie. N.Novgorod: Izd-vo NNGU, 2007. 319 s.

11. Maz'ya V.G. Prostranstva S.L. Soboleva. L.: Izd-vo LGU, 1985. 415 s.

12. Kalinin A.V., Molodkina V.E. Nekotorye pred-stavleniya vektornyh polej vo vneshnih oblastyah // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2014. № 3(1). S. 94-98.