Стационарные решения уравнений смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ТЕПЛОПРОВОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин

В статье представлен результат существования обобщенных решений краевой задачи для системы уравнений, описывающих стационарное движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей.

We consider the equations for mixtures of compressible heat conducting viscous fluids in the steady three dimensional case and show the existence of a weak solution in the case of no-slip boundary condition for the velocity and Newton boundary condition for the temperature.

Ключевые слова: краевые задачи, динамика смесей, решение уравнений Навье-Стокса.

I. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1. Постановка задачи

Кроме классических уравнений гидродинамики, при решении многих современных задач механики сплошных сред используются более сложные модели, точнее учитывающие неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов. Одним из примеров таких моделей служит модель двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей. Вопрос о глобальной разрешимости краевых задач движения двухкомпонентных смесей сжимаемых теплопроводных жидкостей в настоящее время исследован в значительно меньшей степени, по сравнению с моделью Навье-Стокса для сжимаемого теплопроводного газа (см. [10, 7, 8] и указанную там библиографию), имеются лишь результаты в случае одномерного движения [21], [20].

В данной работе рассматривается задача об установившемся движении двухкомпонентной смеси вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей в общем случае трехмерного движения.

Задача Б

Пусть смесь занимает ограниченную область йсй3 евклидова пространства точек х = (х1,х2,х3)

граница дО которой принадлежит классу С2. Требуется найти векторные поля скоростей и(,) : О ^ Я3, i = 1,2, скалярные поля плотностей Р : 0^Я+ и температур в1 :0.^Я+, i = 1,2 составляющих смеси, удовлетворяющие следующим уравнениям и краевым условиям [10], [18, 9, 4, 22]: div(p¡й(()) = 0 а О, i = 1,2, (1.1)

2

^Ьнй(j) + div(pfi(®u(,)) + Vpi =

j=i

= J $ +р)( i 02, =1,2, (1.2)

div(pidiu(i)) + div q(i) = ct()) : Vu(i) - (1.3)

-pieidivu(> +Гi Q, =1,2,

u(i) =0 la dQ, i = 1,2, (1.4)

k (6$Vet ■ n + Щ Щ - в) = 0 dQ, =1,2, (1.5)

Jptdx = > 0, i = 1,2. (1.6)

Q

В уравнениях (1.2) операторы

Ьу = -уу А-(Л(/ + Цу )Vdiv, i, ] = 1,2 определены так, что для некоторой постоянной С0 > 0

выполняется неравенство:

2 2

^\Ьий{Л ■ и(г> dx > С0| Ум(0 |2dx. (1.7)

1 =10 (=! О

Кроме того, предполагаются выполненными следующие соотношения:

р, = р^+рР, , i = 1,2, г>1

- давление ( -ой составляющей смеси,

4(()г=(-кр(в( )Ув., ( = 1,2, . (в. ) = 1 + в™,

( = 1,2, т >1

- вектор теплового потока (-ой компоненты смеси,

1(() = (-1)(+1 а(й(2) - й(1)), ( = 1,2, а >0

- интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси,

Г1 = *(в2-в), Г2 = -Ь(в2-в) + а |й(1)-й (2)|2, Ь >0

- интенсивность обмена энергией между составляющими смеси,

X

а(() = 2w..D(й(i>) + — divй(() I, ( = 1,2,

" 3

Ь(в( ) = 1 + вт-\ ( = 1,2.

В краевых условиях (1.5) предполагается, что в > 0 - известная достаточно гладкая функция. Массовые силы /(1) и /(2) в уравнениях (1.2) считаются заданными непрерывными векторными полями. Величины , у, а, т и Ь

считаются заданными константами.

Определение 1. Обобщенным решением краевой за=ачи Б называются неотрицательные

, ,, 1,-

функции ре Ь (О) , р е W 2 (О), ( = 1,2 и

векторные поля и(() е W01’2(Q), ( = 1,2,

1 В работе используются общепринятые в литературе обозначения Ьр ,р) (см., например, [16], [12])

для пространств функций интегрируемых со степенью р > 1 (вместе с обобщенными производными до

порядка I > 0). Через С1 (о) (С10 (о) ) обозначим банахово пространство I раз непрерывно дифференцируемых функций (обращающихся в нуль на дО),

I > 0. Обозначения пространств для векторных

у=овлетворяющие сле=ующим условиям:

Гр1 dx = —1, рр1 е Ь (О), ри (/) е Ь (О),

( Б1) о

втУв1 е Ь'(О), вт е 1} (50),

Рг е Ь\с (О), р|й«|2 е Ь\с (О), / = 1,2;

( Б2 ) =ля любых =ифференцируемых функций О( с ограниченными произво=ными О(' е С (Я), / = 1,2 и произвольных функций у/. е С'(О), /= 1,2

выполняются интегральные тождества:

Í

(

G¡(р)иw -Vy¡ +

+ (G¡ (P) - G'i(P )Р) VdiV и

(i)

dx = 0, i = 1,2;

( Б3 ) =ля любых векторных полей ф<,) е С” (О),

/ = 1,2 выполняются интегральные тождества:

2 ( ^

^I Лу|Уй(1) : Vф(/) dx + (Ху + Лу)й(1)divф(/) dx

j=1 V O

+

Yl.m (j) +-pєи(i) +-M^ñ(i) +1 рє(и(i) -V)и(i) + j=i У „ 2 є 2 | O | є 2 ^ є є

+ 1 div(ps U'') ® U') ) + V' =

= J$ +pU f= O, =1,2.

divpeUti?) - div(kt (в')Л

V в у

= Г : Vn^ - рв'diVu(0 + Г Є O, =1,2.

=0, VpU - n = 0 SO, =1,2,

є + вв k.в)------і-Увє -П +

i i в є i

+є lnв' + Ив Хв' -в) = 0 5O, =1,2.

(1.9)

(1.10)

-|рй(/) ® й(/) : Vф('> dx =

О

= |р~[ оГ ф(,) dx + |рв,- div ф(,) dx

О О

+|(1(0 + р1/(0) • ф(0 dx, ( = 1,2;

О

( Б4) =ля любых функций е С”(О), / = 1,2

выполняются интегральные тождества:

-\рРй{') Vц idx + \Ь(вi)(в -в)п ^& +

О дО

+|к (в^в,. • ^,- dx = 2у Г | ^(й(0) |2 пdx +

О О

+—| divй(,) |2 r¡idx -

3 О

-^рв^^й (,)п dx + ]Ггп,- dx, / = 1,2.

О О

Основной результат данной работы состоит в доказательстве существования обобщенного решения задачи Б и формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Для любых /е С (О), / = 1,2,

в е С(5О), в > 0, т >6(у-1)(2^- 1)/(г-3)(6^-1), у >3 краевая за=ача Б имеет, по крайней мере, о=но обобщенное решение.

Доказательству этого утверждения посвящена оставшаяся часть статьи. Ограниченный объем статьи позволяет лишь кратко охарактеризовать основные этапы доказательства. Обобщенное решение задачи А будет получено как предел решений следующей краевой задачи:

-е Др1 + div(p‘’й(/)) + ер* = е —-а О, / = 1,2, (1.8)

|О |

функций будем использовать такие же, как и для скалярных функций, а принадлежность и є X будем понимать как иієХ, і = 1,..., п, и = .

рє dx = , i = 1,2,

(1.11)

(1.12)

которую условимся называть задачей Бе. Здесь

р: = р )Y+р в:,

^ = 2Ми&(иí° ) + ^divü,

J(} = (-—+1 a(u- - U(1}), /=1,2,

ri=ъ(в: -в: ),

г 2 = -ъ(02-вп + a |!i1) - uf I2,

| О |= meas (О), s e (0,1].

Сначала мы докажем существование сильного обобщенного решения задачи As. Затем совершим предельный переход в слабом смысле в уравнениях (1.8)-(1.10) при s ^ 0.

2. Существование сильного обобщенного решения задачи A s

Определение 2. Сильным обобщенным решением задачи As называются неотрицательные функции

р:,в: e W =q(О), 1 < q < да, рdx = M¡, i = 1,2 и

О

векторные поля u(} e W2’q (О), 1 < q < да, i = 1,2 такие, что уравнения (1.8)-(1.10) выполнены п.в. в О и п.в. на дО - краевые условия (1.11).

Теорема 2. Для любых f(i) e C(О), i = 1,2,

в e C(дО), в > 0, m >6(y- 1)(2y- 1)/(Y-3)(6y-1), y >3 краевая задача As имеет, по крайней мере, одно сильное обобщенное решение, которое удовлетворяет неравенству:

Wr(O)

+ 11 UVp''' ^ +Щ'' 3 +

II ^llbY+3(O) II i \\l?m (O)

+ I|v6= i 2 + í(e‘ + e~s )da + IIVS

II =í2(o) J 4 7 II i

< C, (2.1)

где < = 1п— , і = 1,2, постоянная С > О зависит с постоянной С, зависящей только от ||/. только от ||/ ||с(_), —|с, ^ , Ну, т, 7, |п I, а, „ , ^, |п | и Мі, но не зависящей от параметров є

Ь , М" и не зависит от параметра є . и і.

Доказательство теоремы 2 проведем, применяя Интетрируя теперь ш °бласти ° уравнения

принцип неподвижной точки Лере-Шаудера. С этой (2.4) получаем:

целью, рассмотрим следующее семейство краевых і |Ь(ві )—-—)Го + є |s і Го = і|о(і Vи(і ) Гх -

задач: ао дп п

іМі " —ґ^рві^уи^'1 dx + і (г, dx, 7 = 1,2. (2.7)

п п

Складывая равенства (2.5) и (2.7), приходим к соотношениям:

—єАр = —Г'у( р и( ,)) — єр + є------- П..

' ^ " | П |

Vрі • Птш 0 дП, tM= і і, =1,2, (2.2)

п

і.а) = - 2ри (і) — є ттпти (і) — \р(и (0 -у) и (і) —

І=1 2 2| п 1 2 „ є

■* Г.. 'У (і) і - і — (і ) , Ь

дП дП

1 = ро(') —О) : Vи(,)dx----Гр | г(,) |2<Гх —

’■ ' —— ур —ур»"іл + П 2 П

——Гіу(ри(і) ® и(і)) — Vр] — іУ(ре і) +

+У('В+ір/« Оі,на~~«=0і дП, =1,2, (2.3) 1 12~ЄГ^ГР‘ Г —

-Гі у((1 + е”“' )(* + " )^) = Ох(і ) : Vи(і ) - ~єї\рГ— І 2 І2 222 —з-( 1 +

а І п І п п п

—іОіу(‘ и ' і— " Рі е іу "' + ґГі р, +ґ (у (') +р р (. и { Ох + і (г, Ох, /=1,2. (28)

(1 + ет" )(є + є )Vє - п + Є8І = п п

" " л С другой стороны, разделив обе части уравнений

=—ґ^(енае —в'} д1, =1,2, (2.4) (2.4) на в и интетрируя результат по области П,

тде і) = 1пв, і = I,2, ґ є [0,1]. Выводя априорные получим следующие равенства:

^^Ох + г г> г в, в ‘ ' ' ' в,

оценки двухпараметрического семейства решений <^(/) • Vй(/) е + в 2

сформулированных выше краевых задач, чтобы не ^]-----р-------в + в(—р—L ^^ в'

загромождать запись, индексы є и і опускаем.

Предположим, что р1 >0, 5/, й ((), ( = 1,2, ++ |ь (—((с-е— - -^сг-

принадлежащие W2,4 (О), 1 < 4 < ж удовлетворяют 5о — 5о

(2.2)-(2.4). Докажем, что при этом имеет место -?—(уС> й(- ф.в, -й(- ф.р^сЪс +

неравенство (2.1), не зависящее от параметров е , /.

п

Умножая обе части уравнений (2.3) скалярно на и(і), +^ (^^ох = і Г^(в )ОО і = 12 (2 9)

і = 1,2, интетрируя результат по области П и рв' дп ’ ’ ’

суммируя по ' = 1,2, получим: Правую часть равенств (2.9) представим в виде:

г г : V« « Гх + - г I и І I2 Ох + і ГЬ (в Оо = ґ ГЬ (в)(в - в) Оо

з 21 да да

п о п

+

іМ,

+є------Г І ¿^(,) I2 <Гх + + —+— (ру Гх

2 | П | ( ' ' 7-1 р

у . ^ + і (ь(в)(1 + (9)Го-і ГЬ(в)вГо, ' = 1,2

дП дП

и воспользуемся соотношениями (2.8). Тогда, из +єх(р[—2 11. |2 Гх - ірв^УиГ Гх = (2 9) получаем, что

—(р] 1 Гх-

- , ГТ( ' ) : Уи (' ) 2 , є + в

і^І^-в—Гх + 2/к,(в,)2+^1 в |ввв

і=1 О ві ^

' г\r — ( +іГь г (в о+г12//'(в г л т+^!——+

+(У(,) + р/(,))•и(,)Гх, і = 1,2, (2.5) 1=1 дП ^ ідП П в

п

где в = е ' , і = 1,2 . В силу отраниченности + £ єрр | г(1) |2! + є—11 и(,) |2 вх + є '^(рі Гх + вложения ^^(П) в Ь6(П), из (2.5) следует -1 п | |° П — —

нервенство

±1И(°и )^с£|211 2 ■ 2

'=1

+єу'улі(р;/ — | Ур + єір І " — і + "г+ І^Го :

і=1 П і=1 дП ^ /

”0,2<П »"і" р'(«)+ = >ІГ(рйЮ У -й<і} ■Урі)Гх + І ГЬ(в")(1 + в)Го-

р—и+21 п )+с^

"=1 П "=1 дП

2 ,Д//- 2

(2.6) +]іГОО1"1 -o(i)):Vй(і)Гх + єМ" 7 ірГ1 Гх +

і=1 п 2 П 2 У - 1 >-1 п

+ТУ2-/(/) * й(7) dx + еТ ^2 2 2- -- — -/ )-г, (2.10)

/=1 о

'=1 50

+ | ‘1 | + -

где - = —^—L , - =■

Г,

I— - —

■ + а-

|(1) - й(2) |2

—

2=1 О

!р. - —.

-е----2-ер, 1п Р/+еТ—/ 1п Р/ >dx.

Рг I 0 I

В силу оценок:

еt¿— • V- — < 2±—2 I V2, |22

/=1 а 2 '=1 о

+е, ±— !2—+1 ¿2^ ^ 2, о,,

¿=1 о р/ 4 — 1

-еТ 2-— ± — 1пв. dx < —е22-— ±^ —+ dx

10110 ' | О 110 2

(2.11)

+

+

еТ

+—± —22 —г +- ± 22—

4 о ^ Н / = 1 2

Т±—(еР-1п — - еР-1— Р- +

1ь2( О) +С

2=1 О

++71п р—Сх <^ <—из (2.11) следует неравенство:

Т±((Р,й(0 -й(i■> •Vp,.) dx ^¿(р^^р, |2 dx +

2 (=1 О

2=1 О

51 1л,„, + Т\|р—1|. т2 + ТС.

+ ~ ± У|2 1^2(0) + М2—2 (О)

(2.12)

2 = 1 50

еТ

еТ5- —si -С г <

2 1 _1_ Я™

±- —-1V—, |2л, +

-/ ^2 / = 1,2. В левой

- =1 О 2

2 2 части (2.10) все слагаемые неотрицательны. Этот факт вытекает из следующих соотношений:

С(2) : V)) > 0 « у > 0, Хи + 2уи >0, 2 = 1,2,

2=1 50 (

+Т± ( I ((— )— + Ь(— )— + е | ‘е

Сг <

<ТС

±±й

,+±N2 +±11р,—1122(0) +1

21 Ь5(0) 21

. (2.14)

/

± —= ЪЬ.

Ы — ——2

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (2.10). Используя уравнения (2.2), получаем:

2

Т±—(Р—<(2 -й(2 •Vpí)¿х =

-=1 О

2—

= ^±—(е-^7Р/) ( + еР)1п — - — Т1п — -

Из неравенства (2.14), в силу вложения W 1>2(0) в Ь6 (О), следует, что

±1№"„ <

<С

±211‘

||й|))Ц12(0) + ±||р| 6 + ±||Р—|I£2(0) + 1

2=1 0 2=1 £5 (О) 2=1 у

(2.15)

Для вывода других оценок решений задач (2.2)-(2.4) заметим, что из уравнений (2.3) следуют интегральные соотношения:

2 ( А

±1 лу (й(1) : Vф()) Сх + (Ху + Лу)(¿жй(1) divф(') dx

1=1 V о о

+— рй()) • ф(,) сХ + е-— Гй()) • ф(,> Сх +

2У' ^ 21О Н

’ О

О

+ — —/—(2) -V)й(') -ф(') Лх - — -р—е(') / —(') : Vф(') Лх —

2 о 0 о

-|р/ divф(') Сх - Т|р,—).divф(') —е =

а а

= —(Т1(2) + Тр,/(2)) -ф( 2) Сх,

(2.16)

справедливые для любых векторных полей

ф(-) е СЖ (О), ) = 1,2 . Возьмем в качестве пробных функций ф1-0 в тождествах (3.16) такие, что

¿2^ ф(ё = р1—— (рСх О, ф(2)=0 50, =1,2.

^ И) | О |—^ ^

В результате получаем соотношения:

1 ( У Т

\р2г Сх =-----1 \ру ¿х

} 2 I

Рассмотрим теперь последнее слагаемое в правой части (2.10). Используя оценки

5- < 15- в2 + 1, 5+ в 2( < 15-в-2 - 5- + 1, ) = 1,2,

2 8 ' 8 ' '

получаем, что

2

О

|р[ ¿х |р- в( ¿х -

а а

—Т^р/в/х ч——/ о • ф(2) С— +

О 2 О

+е 1—2 (й()) • ф()) Сх +1 (р. (й()) • У)м()) • ф()) Сх +

2 | О 2 2

<---¿сг + ТС. (2.13)

4 о1 50 ' = 1 50

Таким образом, в силу (2.12), (2.13), из формулы

(2.10) получим неравенство:

2 (

-± лу —Уы(1) : Vф'-2) ¿х + (Ху + Лу) —divй(1) ¿п ф'-2 ) Сх

1=1 V о о

—р)(2) ® й(2) : Vф(2)Сх —

2 О

-|т1(,) •ф(2) —о — т|р,/(2)-ф(2)с^, 2 =1,2. (2.17)

В силу неравенства ф2) 12 (О) < С 11 Р)11^(О) (см. [12]) из (2.Щ

следует, что при т > 1, у >3

О

2 y—3

Y~

' ,L2y( n) C| << +C+ ++,2

' I 'l?Y (Q) 2

3(2(-1)

U' 'Iw^í Q>H^ Q) +

+cIIPL-,q) +Сь +

j = 1

\u'J'\\ i 2 u

kV2( q)

(2.18)

СС №»«, +с '-1-2-

где постоянная С не зависит от параметров е и / . Из (2.18), в свою очередь, получаем, что

2 (-3

На | ( r (п, с с 11 р | ||>

s

+с

х||ги

(j) I2 V j1 0

5 Y

?INI 1?/<Q)

(j)

j=1

IW¿,2( Q )

+с

T\\*j

.. jI?m (Q)

V-/“1 j

£Цр I

L2( (Q)

+ С, С = 1,2.

L2( (Q)

(2.19)

Используя неравенства

С ±221122 ±12

£=1 4 £=1

2 10^ т

+С ±1Р Зу;-)33

2 Y

с с (Q, )|р I IQ2 , (2 . 20 )

±± \\ £ ^

7 1 (О) 7 1

получаем теперь из (2.6), (2.15) и (2.19) соотношение:

2у-3 8^-3

[Л (р )] ' С С [С( р) ] г

10 у т

+С [ С ( р3

2 Y —— + [ + ( — р Y —

2 Y

13(2 ( — 1) m — 2 u С [ С [ р ) ] 3 (2 Y - 1) u

10 ( m 7 Y

13(2 ( — 1) m — 2 u С [ R ( P ) ] 3 (2 Y - 1) u

10 ( m 1 5 Y

13(2 ( — 1) m — 2 3(2^-:^^ С

5 Y

+с [ С ( Р +С [ С ( р)]3

+С[С(р)]) (2 Y—1 ) с СС(р) с С,

(2.21)

гДе r(P) = £||р

' IL2y(q) :

6(у-1)(2^-1) при т >--------------, у >3 верно неравенство

у > max{1, ( 2(

(Y — 3)(6 y — 1)

2( — 3 8( — 3 10(

2( — 1 6( — 3 3(2( — 1) m — 2 10( m 7(

-с 1,

3(2( — 1) 3(2(-1) m - 2 3(2(-1)

5Y

10( m с 5(

},

3(2у-1) т - 2 3(2у-1) 3(2^-1)

то из (2.21) получаем первую априорную оценку решений краевых задач (2.2)-(2.4):

R( р ) = SINI

L2y( Q)

с С.

(2.22)

Далее, из (2.15) и оценок (2.20) и (2.22) вытекает неравенство:

±№-( £С ±||"('^^^^.,2(0)+С. (2 23)

\ = 1 \ = 1 " "№0 ()

Из (2.6) и оценок (2.20), (2.22) получим, что

с±2"Г”0.2(11) С±112<„+С (2 24)

7 = 1 0 4 7 =1

Таким образом, из соотношений (2.23), (2.24) следует априорная оценка:

;(')

IIu0^(Q)

1И11

L3m (q) |<С Q2.25)

1+ f

В силу неравенств ^ > 1. т >2. 7 = 1.2 и

соотношений (2.22), (2.25). получим теперь из (2.14) оценку:

2

" (2.26)

Vil yQ) C-

Осталось заметить, что из априорных оценок (2.22), (2.25) и (2.26), неравенства (2.14) и

соотношений (см. [5])

±2рII±(а) 2 + ±22||и0) ^ С

следует неравенство (2.1) с постоянной С. не зависящей от параметров е и 2.

Далее, в силу неравенства (2.1) и классических результатов о регулярности решений эллиптических дифференциальных уравнений и систем уравнений [1, 2, 13, 14, 15, 25, 24, 17], из (2.2)-(2.4) следует, что

í

с llu[ с

' IIW2,q (Q) II ||w2,q (Q)

+ \C

K ‘ ll”i I I Ww,w (Q)

С

1И I I I

С (^).

(2.27)

1 < q < <x>.

р = (р1, р2). Далее, так как

Априорная оценка (2.27) позволяет доказать существование сильного обобщенного решения задачи Ае при помощи принципа неподвижной точки Лере-Шаудера. С этой целью рассмотрим семейство отображений (и.р^) = *¥(2,и .р .5 ).

и = (и (1),и(2)). р = (рх.р2). 5 =(5!. 52).

и* = (м®. MІ2>). р* = (р*. р**) . 5* = (5*. 5*) из

Ж1” (О) в Ж2,4 (О). 1С 4 < да, определенных как решение краевых задач:

—еАр, = — div(рu*')) — ер, С £

|Q|

Q,

Ур • ñtm0 5Q, ^.^р tM= i, , =1,2, (2.28)

XLu (j) = —-ри*'—£

j=1

£

2'

7(0 .

-----— м,(,) —1 р(u,(,) •V)u„(') —

2|Q| Г '

——div(р ,uQ) ® U,(,)) — Vр, —tV(р ,e') u tJ,(,) u tр/(i) u Q, )(9tc= 0 dQ, =1,2, (2.29)

= 1.2.

———((1 С в)(е С 5 *)У5 \) = 2С== : Vи— —

2—7—(р7е5 и— — — 2—. — —= и)') С 2Г* О.

(1 С е™' )(е С 5 * )V5 \ • п С е5 \ =

= — Л(е%а(е5 — в) дО. =1.2. (2.30)

где •)=) = (— 1)С1 — (и— — —С).

л

ст— =2=—)и—= С ^— ==и—=I . / = 1.2.

Г) = Ь(е*2 — е5)). Г) = — Ь( б*2 — в*1) С а | и,(1) — и,(2) |2.

Если функции и*.р*.5* е Ж1,да(а), то существование и единственность полей плотностей р > 0 . принадлежащих Ж2,4 (О). 1С 4 < да. следует из результатов работы [5]. Существование и единственность векторных полей и(,).

принадлежащих Ж2,4 (О). 1С 4 < да. вытекает из

результатов о разрешимости краевых задач для сильно эллиптических систем уравнений (см. [14, 15, 25, 24]). А результаты о существовании, единственности и принадлежности скалярных полей .5 пространству Ж2,4 (О). 1С 4 < да имеются в

работах [8], [17].

Для решений (2.28)-(2.30) справедлива априорная оценка (2.27). Выберем число 4 так,

чтобы имело место вложение Ж2,4(О) в Ж1да(О). Тогда, справедлива оценка:

' .1Ь«Н Л

7=1

|Ж1.да ( О)

1п I Ж 1.да ( а )

11Ж1.да (а)

ж1.да (а)

<

С (е).

(2.31)

предельному переходу последовательности решений регуляризованной задачи к решению задачи А .

3. Предельный переход

В силу априорной оценки (2.1) из последовательностей решений р’. в’. и?. 7 = 1.2 задачи Ае можно извлечь подпоследовательности, за которыми сохраним прежние обозначения такие, что при е —— 0

ре — р слабо в 1}г (О). г = 1.2. (3.1)

— в слабо в Г1>2 (О) п Ь3т (О). г = 1.2.

'в Г

1'2(О).

= 1.2

(3.2)

(3.3)

и, следовательно,

в’ — в сильно в Ь4(О). q е [1;3да). г = 1.2. (3.4)

и^Сы—иО'’ вЬ q (О). ег[1;6). =1.2. (3.5)

Кроме того, из (2.1) и (2.5) при 2 = 1 следует неравенство:

е±/(ре)г—2| 2 С.

(3.6)

7=1 а

где постоянная С не зависит от параметра е. Из этого неравенства и из уравнений (1.8) следует, что при е — 0

е^р’ — 0 сильно в Ь4 (О). 1 С q <

6у

у С 3 ’

г =1.2. (3.7)

Действительно, из оценки (3.6) следует, что для любого 5 > 0 (при у > 2)

1V

{р’>5}

I 1—г <Сс5 С

7 = 1.2.

I2 (а)

(3.8)

где 1К - характеристическая функция множества К . С другой стороны, из уравнений (1.8) получим, что

Обозначим через М подмножество в Ж1>да (О). определенное неравенством (2.31). Ясно, что отображение ¥:[0.1]х М — Ж2,4 (О) непрерывно. Следовательно, оператор ¥ :[0.1] х М — Ж1да (О) непрерывен и компактен. Легко видеть, что ¥(0. •) = 0. Неравенство (2.31) означает, что отображение ¥ (2. •) не имеет неподвижных точек на границе множества М для любого 2 е [0.1]. В силу теоремы Лере-Шаудера. можно утверждать, что уравнение (и. р. 5) = ¥(1. и. р. 5) имеет решение

и. р. 5 е М п Ж2,4 (О). 1С 4 < да. Осталось заметить, что это решение удовлетворяет неравенству (2.1). Теорема 2 доказана.

II. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД

В предыдущей части работы рассматривалась регуляризация задачи А об установившемся движении двухкомпонентной смеси вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей, получены равномерные по параметру регуляризации оценки последовательности приближенных решений. В этой части работы мы дадим обоснование

р’<5}

1} (а)

С СI 5 С(е5)2 . 7 = 1.2. (3.9)

Таким образом, из неравенств (3.8), (3.9) с

5 = еа. а е I 0 1

получаем, что

Г — 2,'

ер’ — 0 сильно в Ь(О) при е — 0. г = 1.2. (3.10) откуда в силу оценки (2.1) и следуют соотношения (3.7).

Переходя к пределу по выбранным подпоследовательностям в уравнениях (1.8)-(1.10) при е — 0 получим, что предельные функции

р е И’7(О). р > 0. рЛх = М

О

в е Ж[’2 (О) п 1}т (О). в > 0. и(0 е Ж0'’2 (О). 7 = 1.2

6(у —1)(2^ — 1)

при т >------------------. у >3 удовлетворяют в

(у — 3)(6^ — 1)

слабом смысле следующей системе уравнений: ——(р и <'>) = 0 О. =1.2. (3.11)

2

±Ьни(+ ——(ри(,) ® и(,)) +

] =1

cV

р'Срв) = ]в) Ср(« а. = 1.2. (3.12)

2

2

——(рви(0) - ——(к. (в )Vв ) = с(0 : Vи(0 - — |р

—в р г °. =1.2. (3.13) Уте Сда(О). 7.у = 1.2.

где р\ . р1——и(0 . ¿F(' ) : Vu(7 ) обозначают слабые Доказательство. Рассмотрим линейные ограни-

пределы соответственно последовательностей ченные операторы:

(рУ . ре’——иЧ). ст? : VU¡<'>. 7 = 1.2 в а—: ——) — —1——). Ак=—А-—

2г. дхк

пространствах 12(О). !г+1(О) и ¿'(О). — = 12 3 (3.18)

Для завершения доказательства теоремы 1 требуется, таким образом, доказать формулы: д 2

Т Г - 10 А. : Ьр(—) —ААА). А, =-----А-1.

р =р .7 = 1.2. (3.14) * ^ ' У ь — дхА дх5

Р'd'—u(г)= р—г—и^. 7 = 1.2. (3.15) к. 5 =1.2.3. (3.19)

<т(,) : Vт(') = <т(,) : Vтт 7 =12 (3 16) где для произвольной функции — е 1Р (О). 1 < р < да.

Следующая лемма показывает слабую продолженной нулем в К3 \ О, оператор

регулярность так называемых эффективных вязких 1 1 — (у) 2пъп

потоков компонентов смеси, которые определяются А (—) = — “-I ---—у . ®3 = ~^/~ > 0 при

формулами: 3®3 к3 1 х — у| 3Г(3/2)

А (Л1 С2Мп)——и (Л2 С2^2)——и . 7 1,2, — >3 является вполне непрерывным оператором из

где р 1 = рСр°. 2 _

Лемма 1. Пусть р’, в3, и, 7 = 1.2 - 10(О) в С (О) [23]. [

последовательности решений задачи Ае, Пусть ф ' = У(гА ((pJ -р) )г)). у = 1.2. где г -

существование которых гарантируется теоремой произвольная функция из Сда (О) и все

2, и пусть р, в1, и ('>, 7 = 1.2 их пределы, рассматриваемые функции считаем продолженными

определенные в (3.1), (3.2) и (3.3) соответственно. нулем в К3 \ О . Приняв данные вектор-функции Тогда, при е — 0 ф( 1) в качестве тестовых, из уравнений (1.9)

р Срв — (Л С2ц¡l)d'—u(1) — —(Л2 С2д2)d'—u(2

г2 —х

(3.17)

А

(р’) г С р’0’ — (ЛтС 2 )——и31 —

— (Л,. 2С 2Д2)——и3

получаем соотношения:

г2 —х —

|р’ [(р3)г С р’вз — [ С 2Дл) —■—и(Р — [ С 2д.2)——и(/}]т2Лх =

а

= р [([)г Ср[ — [ С2/ип)——и[ — (Л2 С2д.2) Л—и<2)]т2Лх-

а

—IУ АУ)А- Цру —р 1)Лх — 2( У V 1р7 1)^

а а

-А(Т) А-1 ((р1 - р} 11 Лх - 2\р(т- ((р1 - р )Т)^

а а

+±(Лк + 2^—)|—2и2к)^^^)А- ((рУ -р— )т)—2 + ^+ 22 ((р^ -р— )т)—2 -

— а а

—(ри(? ® ^У : V(V(тА— ((рг — р )т))) Лх С — |(£Vp; •V)u(i) ^(тА"1 ((рг — р)т)) С

а 2 а

С2 jеVp,е ® и? : V(V(гА~ 1((р^ — р])т)))Лх — |[—ер,еи« С.7« Ср,3./^^]• V(гА-1((p; —р^.)г))Лх. 7.у = 1.2.(3.20)

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (3.20). В силу (2.1), получим:

р7— и(,)ру2 Лжри рг—и('руг2/Лх

■> 0. . = 1.2. (3.21)

-> 0. . = 1.2. (3.22)

е ^ 0. . = 1.2. (3.23)

Все остальные слагаемые в правой части (3.20) соотношений (3.1)-(3.3) и оценки (2.1). Лемма 1

стремятся к нулю при е — 0. Это вытекает из доказана.

свойств операторов А-1. Ак. Ак5. к. 5 = 1.2.3. Следствием леммы 1 является следующее

5 важное утверждение.

7(7')

7 =1.2

Лемма 2. Пусть р’, в’ последовательности решений задачи Аз, существование которых гарантируется теоремой 2, и пусть р, в1, и, 7 = 1.2 их пределы,

определенные в (3.1), (3.2) и (3.3) соответственно.

Тогда, при е — 0

А

•, р3)—сИ—и''()р'3-ш—и3рЗ

(р1. р2) — Лыи (1р1 — Лг—и <2>p2

(3.24)

—

где

А

(р ) Г ср101 (р2)7 С р2в2

А =

Л21 С

Л.

■2/2

Докажем теперь равенства (3.14). Отметим сначала следующее утверждение [3].

Предложение 1. Пусть р, и - решение уравнения Л7—(ри) = 0 в В’(О) такое, что ре 1 (О), и е Ж01’2(О). Тогда, продолжая р и и

нулем в К3 \ О получим, что продолженные функции являются решением данного уравнения в Б’(К3), т.е. для любых функций / е С0да(К3) выполнено тождество

Iри -V/Лх = 0. (3.25)

К3

В силу предложения 1. из уравнений (3.11)

следует (считая р7

7 = 1. 2 продолженными

нулем в К \ О), что для любых / е С0да (К ). 7 = 1.2 выполняются равенства

\.и4"' -V/Лх = 0. 7 = 1.2. (3.26)

|ри (0'

Введем в рассмотрение оператор усреднения:

Би[—] = 77 у0 \1 х , У 11 —(У)—У.

И \ У И

К3

(где в (2) - бесконечно дифференцируемая, четная неотрицательная функция одного переменного 2 (—да < 2 < Сда), равная нулю для 121> 1 и такая, что

|0(| 21)Л2 = 1. И - произвольное положительное

К3

число), обладающий следующими свойствами [19], [5]:

1) если — е 1Р (О). 1 < р < да и — = 0 в К3\ О , то

Ри[—]ЬьР(К3)^ С1 ЛьР(О) II ИИ- Цр(К3) — 0 — 0;

2) если ре 1Р (К3). и еЖ1-4 (К3). 1< 4 .

111,

р < да. —I— = — <1, то

Р 4 5

С

II Л7—(Бь [ри ]) - Л7—(Бь » (3 )

С ^ Н^!I С((3) ) I I 71 .4 ((3 )

У О (У [р,- ]) —пр*/(р,))и7(') •’V / Лх С С ||у [р, ] — р, I

и ||d'v( Би [ри ]п-—7—(Би [ри )|| 15(К3) — 0

— 0.

получаем

Приняв в качестве тестовых функций в (3.26)

1 Р | х — у |

функции / = — в! —-----------

и у И

равенства

—^(Б, [р7 ]и(7 )) = г7И. И = 1.2. (3.27)

где

г? = Би [рри Й Би [ри ) ]) — 0 — 0

в ¿'(К3). 7 = 1.2 согласно свойству 2). Теперь, умножая уравнения (3.27) на ОДБи р ]) (О! р) е С’(К) - произвольная функция как в

условии (Б2) определения 1), получаем:

ЛЬ— (О (Б и р ])и(0) + (О/ ( Би [р ]) Би [р ] -—О (Би [р ]))Л7—(и(0 ) = гИО; (Би [р ]). г = 1.2.

Из (3.28) следует, что для произвольных функций / е С1 (К3). 7 = 1.2, имеют место тождества:

У О (у [ у ]) и-V/ Лх с у (О (У, [ у ]) —

(3.28)

-о; ( — [ — ]) — [ — ]) л—(и— Лх с С ( г* О’ (Бь р ])/ Лх = 0. 7 = 1.2.

(3.29)

Совершая в тождествах (3.29) предельный переход при И — 0, приходим к равенствам:

(О7 (р )и(7) -V / Лх +

К>. (3.30)

+ (О (р) - О (р )р )Л7—(и(0)/ Лх = 0. 7 = 1.2.

К3

которые справедливы для всех / е С1 (К3). 7 = 1.2.

Этот факт вытекает из следующих соотношений для отдельных слагаемых в (3.29):

12(л3) — 0

— 0. =1.2;

(3.31)

К

К

К

г2 Лх т2 —х

(((о,'(-и [л ])Би [у] - О (Б* [у]) - (о,'(л)л - О (л))) ——и(,)у —х

К3

< С| |( О'( [/?при [°, ] - О (Б и —,.]) - (О’{Р7)Р7 - О (У- -2( К 3) — О

< с СИ

0

Таким образом, предельные функции р . = 1. 2 являются ренормализованными

решениями уравнений (1.1).

Можно убедиться, что соотношения (3.31)-(3.33) справедливы также в том случае, если принять в качестве О 7 (г) = г 1п г. 7 = 1.2 . Следовательно, из (3.29) вытекают равенства:

У—d7—u(7) Лх = 0. 7 = 1.2. (3.34)

С другой стороны, из (1.8) следуют оценки:

Г е , /т , М2 С М. | О | + | О |+

(р. —7 —ие Сх Се----7-------------------= еС,

| О |

(3.35)

7 =1.2.

Действительно, умножая обе части уравнений (1.8) на 1п р. +1 получаем, что

( рЗ ——и3 Сх С 3 3—у((1п р. +1) Сх — е ( р. (1п рЗ +1) Сх.

а 1а|о а

7= 1.2.

откуда, учитывая неравенства

1п г С1С г. — г (1п г С1) < г С1, следует

справедливость оценок (3.35).

Возьмем теперь неубывающую

последовательность функций тп такую, что

тп е С0да (О). тп — 1 при п — да .

0 С т С 1.

Объединяя лемму 2, (3.34) и (3.35), получаем:

Иш (А

о +р1 ез у

О +р3ве )г+/

<йШйШ [()

п — да з—0 О

С ИтИт!^А

рЗвЗ

аО) +рО J

\р у+р1 е.3 р.У С р303

С— и(2) р. ]Лх + 11т Иш (Т рЗ Л1— и® Сх

п^да е—П*’

С) С

(.рЗ.+МП Сх <

• РЗ . рЗ )———и()р3 —

'( У

+Нт 11т Г^П+рЗ Л^и(2) Сх:

п^да е^0*'

<

— Т([ ) (р)^+р101 11т (Т [ А -----

И—“О —г С р+Оз у

-сИ—и (()р2 ]Сх + 11т (р1 —7—и( 1 ’ Лх +

3—0 О

+11т (р(——иС Сх С

з — 0 *

•(р, р—) - —7 —и(1р -

0.

— 0. = 1.2.

= 1.2;

(3.32)

(3.33)

С

(А

(р,У

р!е1

рр 02 У

•(р)) —

чО

—^рЦ— и(1) Лх — ^р+М и(2) М =

= (А

О

Так 11т (А

з—0

(р^1) +р1е1

чО +р2 е2 У Таким образом, доказано, что

пт ) Р '

з—0

(р1 . /^2 (Сх.

рЗ ез Л

(р23)г

А

( р1)г р7

■ р3е3 У л

ре1 р(е+ у

-(рЮ +х < -(р, р2)^

Далее, так как

(Г—

рЗ ее

рЗ0’ у

—

(рЗ)

(рЗ)

•((^»3 > рЗ ) - — . р-2 ))Сх > 0. о

(р)г

ре;

■ р02 у у

(3.36)

ЛЛ

то, в силу (3.36). имеем: у у--------------- _ л

А У у

—

А( р) ^среР

( р2 ) г С р2 е+

2 У

(р2 )Г С р2 е2 у •((рх. р2 ) - —. р) ((Сх > 0.

Полагая р = рСпУ , где р = «)1.ур2). р = (р1. р2). п — 0 , а у е 12г (О) - произвольная вектор-функция, приходим к равенствам (3.14):

р = р. 7 = 1.2.

Докажем теперь равенства (3.15). Из формулы (3.14) и соотношений (3.1) получаем, что при е — 0

р—р сильно в Ь4 (О). q е[1.2^). г =1.2. (3.37)

Отсюда и из соотношений (3.3) и следует справедливость равенств (3.15):

р7 —7—и^ = р7 d'VU( ). 7 =1.2.

Таким образом, чтобы завершить доказательство теоремы 1. осталось показать, что выполняются

равенства (3.16): С0 : Уи1-0 = ст1-0 : Уи(7). 7 = 1.2.

Для этого достаточно доказать факт сильной сходимости градиента скоростей. Используя сильную сходимость плотностей (3.37), докажем сначала сильную сходимость дивергенции скоростей. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3. Для любой функции т е С0” (О) выполняются интегральные соотношения:

К

Jdi vu ^j

q

Jdi vi

T dx

(( ! + + ^cUvil + +

+((2 + UИг2*vuі2 _

(( 1 + + ¡и7 j)divu(1) +

+(( 2 + + Ui 2~)divU(2) ирн s —— 0, г, j = 1,2.

Заметим далее, что из леммы 3 вытекает.

H(i) = J(0 + рs f(i) -рs (u(i) -v) u(i) - s

s s it J s II \ s / s

Ml

Id

7(0

—

T dx

(3.38)

Лемма 4. Для любой функции те С” (Q) справедливы формулы: lim_ Г | divu(г) |2 т2 dx =

- — ° Q

= Г | divu(i) |2 т2 dx, i = 1,2. (3.39)

Q

Беря теперь неубывающую последовательность функций тп такую, что тп e С°” (Q), т — 1 при п — ”, ° < тп < 1, получим в силу леммы 4

lim Г | divй? |2 dx < limlim Г | divu(0 |2 r2n dx =

S—° Q п—да S ——° Q

= lim Г | divu(i-1 |2 Т dx < Г | divu(i-1 |2 dx, i = 1,2 (3.4°) п—”а q

Далее, так как J | divu^ — divu(- |2dx > °, i = 1,2,

Я« = -1 Др и(,), і = 1,2,

Т, і = 1,2 - два взаимно перпендикулярных

касательных вектора к 50. В силу свойств решений задач (3.44), (3.45) справедливы следующие

неравенства:

ї(0 I

;(0 I

,\юs’ \\ , < C\\G( .. ,

II s s W1, W (Q) II S Id« (Q)

i = 1,2,

(3.46)

%(i)

<C

(d)

(3.47)

II s I I Zi i=1

i = 1,2,

где постоянная C не зависит от параметра s .

Из оценок G ^i ) I I И < C, i = 1,2 и

II s IZ4^+3(d)

6 у

компактного вложения W 4у+3 (d) в Z2 (d) следует, что при у >3

ю

(ii — 5iL сильно в 1} (d) при s — 0, і = 1,2. (3.48)

W1,2 (q)

то, в силу (3.40), имеем: j | divu? -dinpU |2dx — 0 г — 0, =1,2. (3.41)

Таким образом, при є — 0 divU(i) —idivHii^e L i 2(d), =1,2. (3.42)

Докажем теперь, что при є — 0 rotu(,) -дитЛНОі'в L i 2(d), =1,2. (3.43)

Для этого представим rotu(i) как сумму двух компонент и ¿5(i) таких, что (см., например, [8]) -Дю(і) = rotG^) Qi =1,2,

' T =0 на dd, i = 1,2,

В силу неравенства:

W“ 1,2( Q)

= sup I sJ Ар! U(i —Ldx

=Vі W 1 Jd

W1,2 (q)

-JQs(vps -v)u(- i ■Ф(,іdx |<

®(,) - T2 =0 на dd, і = 1,2, !] =0 і dd, =1,2,

-Агэ(,) = rot<^i(i d, =1,2,

юЮ) - T =0 на dd, і = 1,2,

5)(,) -T =0 на dd, і = 1,2,

(3.44)

(3.45)

< ^ sup |J sVps ® us('i : v(,)dx

i=1 Vі 112 q

II II-1,2 (q)

+]L sup |Jq( sVPs-vi и(-)-ф(,і dx

i 1 h( i—1,2 (q) <1

< C]^N^,sup Iv(,)|-1,2(QJdp£

<

t(')

=1 U(i)

+

W1,2 (q)

где

g:,i -a(2> = <J!'> = <5 <2> =

L] = 0 і dd, =

1

U11U22 U12U21

1

U11U22 U12U21

1 Г

U11U22 - U12U21

1 [

+c^? sup ІИ‘,ІІІ1,2MlsVp‘-v),7i'1L^,d, <

=1 Vі’ W1

5 (q)

[и*Н Ї

\-u21H()+U111 (2)],

cE(|hvpL Ц

Fs I IZ)

-II "vPL Z0’|v2il) I

zq)

(3.49)

<C

U11U22 U12U21

u22 ’ - U1 2 H^s s’

-u21 ’ + U1 112

(в котором константа C не зависит от s ) и доказанных ранее соотношений

II sVps IL ^ 0, 1 < q K-6^, i = 1,2 (см. (3.7)),

II (q) Y + 3

мы получаем, что при у >3

c5(i) ^ 0 сильно в 1} (Q) при s ^ 0, i = 1,2. (3.50)

Из соотношений (3.48), (3.50) и следует

справедливость свойств (3.43).

В силу тождества:

11 Vv |2 dx = 11 divv |2 dx + | | rotv |2 dx, v e W01,2(Q) q q q

из (3.42) и (3.43) следует, что

VuSkwtbVm(в L при2 (Q) is ^0, =1,2. (3.51)

Отсюда, в частности, получаем:

<г(,): Vu''CиmыsO>'в Vu(( при 1 (Q) s 0,

s s v > (3.52)

i = 1,2.

Теорема 1 доказана.

Литература

1. Agmon, S. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I / S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg // Comm. Pure Appl. Math.

12, 1959. Р. 623-727. (Русский перевод: Оценки вблизи границы решений эллиптический уравнений в частных производных при общих граничных условиях. - М.: ИЛ, 1962).

2. Agmon, S. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II / S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg // Comm. Pure Appl. Math. -

17, 1964. - Р. 35 - 92.

3. Feireisl, E. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations / E. Feireisl, A. Novotny, H. Petzeltova // J. of Math. Fluid Mech. - 3, 2001. - P. 358 - 392.

4. Haupt, P. Continuum mechanics and theory of materials / P. Haupt. - Berlin: Springer-Verlag, 2002.

5. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. V. 1: Incompressible Models / P.-L. Lions. -New York: Oxford University Press, 1996.

6. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. V. 2: Compressible Models / P.-L. Lions. -New York: Oxford University Press, 1998.

7. Mucha, P. On the steady compressible Navier-Stokes-Fourier system / P. Mucha, M. Pokorny // Commun. in Math. Phys. V. 288. - №1. - 2007. -P. 349-377.

8. Mucha, P. Weak solutions to equations of steady compressible heat conducting fluids. Necas Center for Mathematical Modeling. Preprint no. 200904, 2009 P. Mucha, M. Pokorny // http://ncmm. karlin.mff.cuni.cz/preprints/098225413pr.pdf.

9. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - London: World Scientific Publishing, 1995.

10. Антонцев, С. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С. Н. Антонцев,

А. В. Кажихов, В. Н. Монахов. - Новосибирск: Наука, 1983.

11. Боговский, М. Е. О решении некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad / М. Е. Боговский // Труды семинара С. Л. Соболева. Т. 1. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1980. - С. 5 - 40.

12. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. - М.: Наука, 1976.

13. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. - М.: Наука, 1989.

14. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973.

15. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. - М.: Наука, 1964.

16. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972.

17. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов.

- М.: Наука, 1976.

18. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. Ч. 1. - М.: Наука, 1987.

19. Никольский, С. Л. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. Л. Никольский. - М.: Наука, 1969.

20. Папин, А. А. Краевые задачи двухфазной фильтрации / А. А. Папин. - Барнаул: Издательство Алтайского государственного университета, 2009.

21. Петров, А. Н. Корректность начальнокраевой задачи для одномерных уравнений взаимопроникающего движения совершенных газов / А. Н. Петров // Динамика сплошной среды. Вып. 56. -Новосибирск, 1982.

22. Седов, Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. Т. 1. - М.: Наука, 1970.

23. Соболев, С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций / С. Л. Соболев. - М.: Наука, 1989.

24. Солонников, В. А. Об общих краевых

задачах для систем эллиптических уравнений в

смысле А. Дуглиса - Л. Ниренберга, II /

В. А. Солонников // Труды математического

института им. В. А. Стеклова. Т. XCII, 1966. - C. 233

- 297.

25. Солонников, В. А. Об общих краевых

задачах, эллиптических в смысле А. Дуглиса - Л. Ниренберга, I / В. А. Солонников // Изв. АН СССР. -Т. 28, №3, 1964. - C. 665 - 706.

26. Солонников, В. А. Переопределенные эллиптические краевые задачи. Зап. научн. сем. ЛОМИ. 21, 1971. - С. 112 - 158.

Рецензент - В. И. Полтавцев, ФГОУ ВПО «Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт».