Об одной вспомогательной задаче нелинейной диффузии в слабосжимаемой вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:531.72, 517.958:539.3(4)

ОБ ОДНОЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ В СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Св.А. Гриценко, Р.Н. Зимин

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 15, г. Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected],[email protected]

Аннотация. В работе рассматривается система уравнений Стокса, описывающая движение слабосжимаемой вязкой жидкости в поровом пространстве, в которой кинематическая вязкость жидкости зависит от концентрации примеси. Рассматриваемая система дополняется уравнением диффузии для примеси как в жидкости, так и в твердом скелете, содержащем поровое пространство. Последнее предположение о диффузии в твердом скелете является искусственным и носит вспомогательный характер. Для полученной вспомогательной задачи доказывается существование обобщенного решения начально-краевой задачи в ограниченной области с однородным условием Дирихле для скорости жидкости и однородным условием Неймана для концентрации примеси.

Ключевые слова: Уравнения Стокса, вязкая жидкость, нелинейная диффузия.

1 Постановка задачи

Пусть П £ К3 (П = П/ и П8 и Б) ограниченная область с липшицевой границей Б, v(x,t) = (^(х, £), "У2(х, £), ^3(х, £)) - скорость жидкости, р(х,£) - давление, с(х,£) - концентрация примеси, х - безразмерная координата: х = Х/Ь, где Ь - характерный размер, £ - безразмерное время: £ = ¿/т, где т - характерное время.

В области П/ с липшицевой границей Г рассматривается следующая система уравнений:

а'т-т^- = сНу (с) Уу + (а-ДсНуу) — р)1^ + pi, (1.1)

+ ар сНу V = 0, (1.2)

v(x, £) = 0 при х € Г, v(x, 0) = 0 при х € П/, (1.3)

дс

— + V • Ус = Б Ас, д£

—^ = 0 при х € Г, с(х, 0) = Со(х), (1.4)

дп

где п — единичный вектор внешней нормали к Г, р(с) - безразмерная вязкость, I - единичная матрица, Д — коэффициент диффузии.

Эта задача является основной при изучении диффузии в пористой среде, при этом область Qf моделирует поровое пространство в твердом скелете Qs. Очевидно, что даже при наличии достаточно гладкого и единственного решения этой задачи, его практическая значимость ничтожно мала, поскольку ни его численная реализация, ни изучение его качественных свойств невозможны в силу быстро осциллирующих коэффициентов уравнений движения и диффузии. Поэтому естественным является усреднение задачи - вывод приближенных уравнений, не содержащих быстро осциллирующих коэффициентов. На этом

пути возникают трудности, связанные с усреднением нелинейных членов, что диктует рассмотрение вспомогательной задачи с "малой"диффузией в твердом скелете:

dc

— + V • Vc= div Í'1m„ \ + A(1 - ;\))Vc), (1.5)

здесь A > 0, x(x) — характеристическая функция области Qf.

Задача (1.1) - (1.3), (1.5), дополненная краевым условием

^ = 0 при х Е S = 8Q, с.(х, 0) = Со(х), при х Е Ü (1.6)

dn

является основным объектом исследования настоящей работы.

Усреднение и предельный переход при A ^ 0 будет предметом дальнейших публикаций.

Определение 1.1 Функции v(x,t), p(x,t) и c(x,t) называются обобщенным решением задачи (1.1) - (1-3), (1.5)—(1.6) в области QT = Q х (0,T), если

1) 3p/3t Е L2(Qt), v Е W 1’°(QT), с Е L~(QT) f) W 1’°(QT);

2) почти всюду в области QT выполнено уравнение неразрывности (1.2)

3) функции v, p и с удовлетворяют интегральным тождествам

[ (a¡Tv ’ тг~ — aß ^'(c)Vv : V'-p — av diirvdivp + p divip) dxdt. = — Í pi ■ tp dxdt. (1.7)

JnT dt JnT

для произвольной гладкой вектор-функции <^(x,t), равной нулю на границе Г и при t = T,

с ~тг — v • Ve ф — (ад х + А(1 — х)) Ve • VV’) dxdt. = — [ с0(х)ф(х, 0)dx (1.8)

'nT \ dt ) Jn

для произвольной гладкой функции ^(x, t) Е C^(QT), равной нулю на границе Г и при t = T.

Здесь используется обозначение: A : B = tr(ABT), где A и B - квадратные матрицы. Пусть

^(с) Е C2(0, то), I^InT < v-1, 0 < v° < ^(с) < v-1, 0 < c°(x) < 1, c°(x) Е C^(Q),

/ |pf|2dxdt = F2 < to,

nT

aM, av, ap - положительные ограниченные постоянные;

0 < aß < v-1, 0 < av < v-1, 0 < ap < v-1.

Тогда верна следующая теорема.

Теорема 1.2 Задача (1.1)-(1.3), (1.5)—(1.6) имеет обобщенное решение и для него справедливы оценки:

шах [ (а:г IV12 Н----\р\2)с1х + а„ [ I (Иулг\2с1хсЫ + аиЩ [ IVV12^5 Л^Г0(, Г)^2, (1.9)

°<*<^ п аР Jnт ¿Пт

0 ^ ф,*) ^ 1. (1.10)

тах / |с|2^ж + I (адх + ^(1 — х))1^с|2^ж < М(^°,Т)^2. (1.11)

°<£<т J п о Пт

2 Вспомогательные задачи

Зададим множество М :

М = {с(х, ¿) € С(Пт) | 0 < с(я,£) < 1}.

Пусть с(х, ¿) € М. Определим и(х, ¿) как решение задачи (1.1)-(1.3) с функцией ^(с):

du

ar~ß^ = div (а^(с)Уи + av(divu) — q)I + pf, (2.1)

<9q

Ж

— + Q'p divu = 0, (2.2)

u(x, t) = 0 при x G Г, u(x, 0) = 0. (2.3)

Определение 2.1 Функции u(x,t), q(x, t) называются обобщенным решением задачи (3.1) - (3.3) в области QT, если

1) dq/dt G L2(QT), u G W2’°(ПТ);

2) почти всюду в области QT выполнено уравнение неразрывности (3.2);

3) функции u(x,t), q(x,t) удовлетворяют интегральному тождеству

f (q'tu • — aß p(c)Vu : + q divtp — av divudivLp) dxdt. = — f pf • Lp dxdt. (2.4)

J Пт dt ^ Пт

для произвольной гладкой вектор-функции ^(x,t), равной нулю на границе Г и при t = T.

Лемма 2.2 Для каждого фиксированного c(x,t) G M задача (3.1) - (3.3) имеет единственное решение и для него справедлива оценка:

шах [ (q:t|u|2 Ч---\q\2)dx + av [ I divu\2dxdt. + aßu0 [ IVu\2dxdt. ^ M0(v0, T)F2. (2.5)

°<t<TJ n aP j Пт ./от

Доказательство.

В тождестве (3.4) выражая ^уи в третьем слагаемом из уравнения неразрывности (3.2) получим:

[ (а'ги2 Н--д2)(1х + [ (а'гДсНуи)2 + а'„р,(с)(\7и)2)<йг = — [ р£ ■ и(1х.

2 <И ]п ар Jn

Проинтегрируем последнее равенство от 0 до Т , учтем предположение 0 < ^0 < ^(с) < V—1, а правую часть оценим с помощью неравенств Гельдера и Коши с е:

-шах [ (а:т I и 12 Ч--\д\2)йх + аи [ Шуи\2ёх(И + аищ [ |\7и|2<йг(Й ^

2 0^<т]пк ' ' ар' ' ' ]Пт Упт

1 [ еТ [

^— (р£)2с1хсИ + -—шах |и|2<йг

2еУПт 2 о<*<тУп 1 1

для Уе > 0.

Положив е = ат /2Т, получим требуемую оценку

шах [ (а:т|и|2 Ч---\д\2)с1х + аи [ \сЦуи\2с1хсЫ + [ IУи|2<йг(Й ^ М0(и0, T)F2.

°<*<т,/ п ар Jnт ^т

Эта оценка позволяет доказать существование и единственность обобщенного решения методом Фаэдо - Галеркина, подробное изложение которого можно найти, например в [2, с. 88 ]. Лемма доказана.

Пусть N - нормированное пространство с нормой:

(ЦиЦ^)2 = [ |Уи|2^ж^. (2.6)

пт

В силу леммы 3.1 определен оператор А : Ш —> 91 такой, что и = А (с).

Лемма 2.3 Оператор А - непрерывный.

Доказательство. Пусть и! = А(с1), и2 = А(с2), и = и2 — и 2, с = с.\ — с2, д = д\ — д-2-Тогда для разности и имеем:

ди

а'г(а^(^(с1)Уи1 - ^(с2)Уи2) + а-ДсНуи) - д)1

^(с1)Уи1 - ^(с2)Уи2 = ^(с1)Уи1 - ^(с1)Уи2 + ^(<ч)Уи2 - МС2^и2 = = ^(с1)Уи + 0и(с1) - ^(с2))Уи2.

Таким образом и есть решение следующей задачи: ди

а'г~т^~ = с^у (а^(с1)^и + О'гДсНуи) - д)1 + а^сИу ([¿¿(<4) - ^(с2)]Уи2), (2.7)

дд

т

— + ар сНу и = 0

и (ж, ¿) = 0, при х € Г.

Умножим уравнение (3.7) на функцию и и проинтегрируем по области П:

[ ат—(1х = ( сНу (а'мр.(с1)\7и) • ийх + ау [ сНу ((сНуи) — д))1 • и<йг+ ип д^ Jп ип

+аЛ ^у ([^(61) - ^(с2)]Уи2) ■ и/ж.

п

Выполняя интегрирование по частям и выражая &у и из уравнения неразрывности, имеем:

1 / С 1 С

/ (аг|и|2 Ч--д2)(1х+ (аи(сИуи)2 + a,í^(cl)(Vu)2)dx =

2 п ар Jпx

= — / ам(^(с2) - ^(ci))(Vu2 : Vu)dx. Jn

Проинтегрировав последнее равенство от 0 до T, получим:

шах [ (q:t|u|2 Ч------\q\2)dx + 2av [ (äivu)2dxdt + 2aß [ ß(ci)\'Vu\2dxdt =

°<t<TJ n ap J Пт Jnr

= — 2aM / (^(c2) — ^(c1))(Vu2 : Vu)dxdt. (2.8)

J Пт

Оценим теперь правую часть (3.8), пользуясь ограниченностью производной неравенством Гёльдера и неравенством Коши с е:

\2aß {ß{c-2) — Mci))(Vu2 : Vu)<ir(ft| ^ |cVu2 : Vu|dxdt ^

JПт v0 J Пт

^ J \c^u2\2dxdt^| J \Vu\'2dxdt ^

^ [ \cVu2\2dxdt + - ( |Уи12dxdt).

^0 2е ,/пт 2 3 пт

Левую часть (3.8) оценим снизу выражением:

шах [ (а:т Iи12 Ч----\д\2)с1х + а» [ (сНуи)2dxdt + [ \'Vu\2dxdt,

°<г<т уп ар 7пт 7пт

положим е = ^>/2 и воспользуемся оценкой (3.5) для | Vи21. Получим:

НиНэт)2 ^ М1(^,т)^2 / |сражав ^ мф°,т)^2(||с||2,пт)2 ^

пт

^ Mi(vo,T)F2|QT|(max |с|)2 = M2KT, )F2(|сП?:) |)2

Пт 1

(0)

Таким образом, ||и||^ ^ М2(^,Т, Пт)|с|пт, что и влечет непрерывность оператора А. Лемма доказана.

Полученную функцию и и выражение Д(ж) = ав х(ж) + А( 1 - х(ж)) сгладим с использованием следующих операторов усреднения по переменным ж и ¿:

і р І+Н

= М{Ь‘)(и(х,і)) = — СІТ

й4

^(ж) = м(1/г}р(ж)) = - ] п

1

д3 \ й

к - УІ к

Я(у)

где усредняющее ядро п(в) € С(Я3) - четная неотрицательная функция, п(в) = 0, если |в| ^ 1, 1/|5|<1 п(|в|) /в = 1. Функции и являются гладкими, финитными и при к ^ 0 сходятся к и и Д(ж) по норме Ь2(ПТ_^) в любой строго внутренней подобласти ПТ_г С Пт,

к ^ 5.

Определим теперь функцию с^(ж, ¿) как решение задачи:

дсн(х,і)

дп

дсь

= СІІУ(СЛУСЙ)

0 при х є Г, сЦх, 0) = МІ^(с'0(.г)), при х є и

(2.9)

(2.10)

Задача (3.9)-(3.10) как задача с гладкими коэффициентами имеет бесконечно дифференцируемое единственное решение с^(ж, і), для которого справедлив принцип максимума:

0 < сЛ(ж,і) < тахс0(х) < 1.

(2.11)

Таким образом для каждой фиксированной функции и (ж, ¿) € N существует единственная функция с^(ж, ¿) € М,то есть определен оператор В : N ^ М, такой что с^ = В(и).

Умножая уравнение диффузии на с^ и интегрируя его по частям, получаем стандартным образом энергетическую оценку

тах / |с^|2^ж + / (аих + А(1 - х)) |Ус^|2^ж < М(^о,Т)^2.

о<г<т

(2.12)

' От

Лемма 2.4 Оператор В - непрерывный.

Доказательство. Пусть '1 = М(^)(и1), '2 = М(^(и2), w = '1 - w2,

B(wl), с2 = В('2), с = с1 - с2 (индекс к для краткости опустим).

Тогда разность с(ж, ¿) является решением следующей задачи:

дс

+4*1 • Ус = сИу(Д/гУс) — w • Ус2

<9с(х, і) <9п

0 при х Є $, с(х, 0) = 0.

сі

(2.13)

Умножим (3.13) на с(ж,£) и проинтегрируем по области П, применяя формулу интегрирования по частям:

— (їх — сж • Ус2<іг.

2 ./о

г

о

2

о

По построению, &у' ^ ^1(к), Vc2 ^ ^1(к), ^ ^1(к) . Оценим последнее слагаемое в

правой части:

I с' ■ Vc2аж| / |^с2|2/ж*/ / |'|2/ж ^ |^1(к)ы / и2/жЛ / |'|2/ж ^

ип у Jп у Jп у Jп у ип

^ (Л)( [ \с\2(1х+ [ |\у|2С?ж).

2 п п

В итоге получаем:

--у- / \с\2(1х + Л^(Л) / |\7с|2с?ж ^ -Л^2(/г,)( [ \с\2(1х+ ( |\у|2с?ж).

2 У п ./п 2 ип ип

Обозначив через у = /п с2/ж можно записать неравенство в виде:

^ ^ Ж3(Л)(у + ^ Н2сЦ).

Воспользовавшись неравенством [1, с. 112, лемма 5.5], имеем:

тах / с2/ж ^ N (к) / |'|2/ж

°<*<т У п ./пт

или

IIс|2,пт ^ 11'|2,пт• (2.14)

Чтобы получить оценку (3.14) для |с|п4, обратимся к лемме 3.3 из [1. с 95]. Нас интересует утверждение леммы о том, что если и (ж, ¿) € Ш21,г(Пт) и 2/ - 2г - в - (п + 2)/д > 0, то при 0 < А< 2/ - 2г - в - (п + 2)/д

/ \ (^) — 8—21+2. — Д // \ \ 2/ , 7 г — (2г+8+2}-^Н-Л) И ||

(АА^>Пт = м * ((^»Пт +М ^ « 1Ы1 д,Пт-

В нашем случае с(ж, ¿) € Ш22(Пт), то есть / = 2, г = 0, в = 0, п = 3, А = 0,

Мпт = ((С))24ПТ + ^ 2 |М|2,ПТ = ^2 + ^ 2 =/(£).

Функция /(£) достигает минимума при £ = (|| )1^4, в этом случае /(£) = ЬзА5^8В3^8 и

ип°т < *4«<с»2‘пт)5/8(»с«2,Пт)3/8.

Окончательно получаем следующую оценку:

|с|п°т ^ ^5 || с|| 2,пт ^ Ьб ||' 12,пт ^ Ь| и 12,пт.

|пт ^

Таким образом, |с|(°) ^ &||и||2;пт, что и означает непрерывность оператора В. Лемма

доказана.

Определим теперь оператор

Ф : М ^ М,

с^ = Ф(с) = В(А(с)).

Лемма 2.5 Оператор Ф имеет неподвижную точку.

Доказательство.

Оператор Ф непрерывен как суперпозиция непрерывных операторов. Более того, можно доказать, что он вполне непрерывен. Для доказательства воспользуемся теоремой Ар-цела о том, что множество М компактно тогда и только тогда, когда входящие в него функции равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, т.е.

В нашей задаче для фиксированного к > 0 функции с^(ж,£) по построению обладают ограниченными производными по ж и по ¿, следовательно

то есть функции с^(х, ¿) равностепенно непрерывны по х и по Равномерная ограниченность очевидна. Таким образом, оператор Ф любое ограниченное множество переводит в компактное, т.е является вполне непрерывным.

Так как 0 < са < а • 1 + (1 — а) • 1 = 1, то весь отрезок лежит в М.

Все это позволяет применить к оператору Ф принцип неподвижной точки (Теорема Шаудера) [4, с. 411].

Лемма доказана.

Итак, существует неподвижная точка оператора Ф, обозначим ее как с^,

Уе > 0 3$ > 0 : р(х;,х/;) < 5 ^ р(/(х;), / (х")) < є V/ Є М, Ух;,х/; Є М.

|сл(х',і)

Множество М является выпуклым. Действительно, пусть с1, с2 € М. Рассмотрим от-12

резок, соединяющий с1 и с2:

са(ж, ¿) = ас1(ж, ¿) + (1 - а)с2(ж, ¿), а € [0,1].

сн = Ф(ф,

и пусть = А (с). Тогда и является решением задачи:

(2.15)

(2.16)

и^(х, ¿) = 0 при х Є Г, и^(х, 0) = 0 при х Є

(2.17)

дси + м'-(а^) • уд, = сііу(в^гл)

(2.18)

—h^ ’ ^ = 0 при х G S, Ch(x, 0) = М^(со(ж)) при х £ П, (2-19)

dn

где (3.18) понимается как интегральное тождество:

[ & ~ м(/г)(2/г) • Vc^V’ - DhVc.h ■ V4’)dxdt =

JnT dt

= — f M(h)(c0(x))^(x, 0)dx (2.20)

Jn

V^(x,t) G C™(Qt): ^(x,T) = 0

3 Предельный переход

Лемма 3.1 Решение (v, p, с) исходной задачи (1.1)-(1.3), (1.5)—(1.6) есть предел при h ^ 0 решений (Uh, gh, ch) задачи (3.15) - (3.19).

Доказательство.

Индекс ~ опускаем.

Умножим (3.15) на произвольную гладкую вектор-функцию <^(x, t), равную нулю на границе Г и при t = T, и проинтегрируем по области Qt.

f

(cïrUh • —--aiijit(c/l)Vuh : V<£ — avclivuh div<£ + qh div<£ + pf • ф) dx dt = 0

JnT dt

Пусть h ^ 0. Легко видеть, что оценки (3.5) и (3.11) справедливы для всех h с постоянными, не зависящими от h. Оценка (3.5) позволяет из последовательности (uh j выбрать подпоследовательность такую, что

uh ^ u слабо в W2’°(Qt).

Согласно [2, с. 18], имеем компактное вложение WJ>(Q) С L2(Q С (W1,(Q))*. Обозначим W = (v|v G W2,0(Qt); dv/dt G (W2(Q))*}. Очевидно, что uh G W. По теореме о компактности [2, с.70, теорема 5.1] вложение W С L2(Qt) компактно. Это означает, что

и^ ^ v сильно в L2(Qt)•

Аналогично, в силу оценки (3.11), из последовательности (chj можно выбрать подпоследовательность такую, что

ch ^ с слабо в W2’°(Qt)•

Согласно той же теореме о компактности,

с^ ^ с сильно в L2(Qt)•

Переходя к пределу в энергетическом неравенстве (3.12), получим требуемую в условии теоремы оценку (2.5).

Так как ^(с^) непрерывна, то

Мс^) ^ Мс) сильно в Ь2(ПТ).

Отсюда мы имеем слабую сходимость

а^(с^)Уи : У^ ^ о^(с)Уи : У<£.

Из оценки (3.5) заключаем также, что

^ ^ р слабо в Ь2(ПТ),

% ^ ^ слабо в Ь2{ПТ), д* д* 21

и выполняем предельный переход в остальных слагаемых тождества (3.15), а также в уравнении (3.16).

Рассмотрим теперь предельный переход в уравнении диффузии (3.18), которое представим в виде интегрального тождества. Умножим (3.18) на произвольную гладкую функцию £ (ж,*), равную нулю при * = Т и проинтегрируем по Пт:

[ (-СЛ^ + М(/г)Ыус/г£ + АгУс/г-У£)сМ= [ М{ь\со(хтх,0)(1х (4.1)

¿Пт д* -/п

Получим оценку для Ус^. Умножим (3.18) на с^ и проинтегрируем по П:

“ [ С2к(1х+ [ скМ(1г)(ик) ■ ^сН(1х = I Бь | V Сь |2 Ах. (4.2)

2 “и п ип ./п

Учитывая (3.11), оценим второе слагаемое:

сЛМ(/1)Ы -Ус^“ж ^ М(^Ы -Ус^“ж / |М(^)(и^)|2“ж*/ / |Ус^|2“ж ^

^ ^||и/г||2,П ' НУС/гЦ^п ^ - ( || V С/г || 2,п )2 + — ( || 11^ || 2>п)2.

2'" 2е

Учтем, что ^ Л по построению. Положим е = Л и проинтегрируем (4.2) по времени, получим

1 Л 1

Д(||^||2,Пг)2 ^ -(|Ы|2,пт)2 + |(||УС/г||2,пт)2 + 2Д(||ил||2,Пт)2,

откуда

(||Ус^||2,Пт )2 ^ ^1 ( || иЬ. || 2,Пт )2-

и, следовательно,

п

п

п

п

Ус^ ^ Ус слабо в Ь2(ПТ).

Таким образом, в уравнении диффузии есть сложность в одном слагаемом:

[ £М(^(и^) ■ Ус^.“ж“* = Д,

пт

поскольку оба сомножителя всего лишь слабо сходятся. Из свойств усреднений имеем:

М(Л)( и) ^ и сильно в Ь2(Пт),

«М(й)(ий}|

2,Пт ^ N ||и^|2,Пт •

Поэтому

Д = [ £(М(^(и^) — М(^(и))-Ус^,“ж“* + [ £(М(^(и) — и)-Ус^,“ж“* + [ £и-Ус^,“ж“* =

пт пт пт

= /1 + /2 + /3,

|/1| ^ Ш-ВХ |£| |УсЬ^2,Пт

||М(^)(и^ — и)|| 2,Пт ^ N||иЬ. — и|2,Пт ^ 0, к ^ 0,

(ж,*)

|/2| ^ ^||М(^(и) — и12,Пт ^ 0, к ^ 0,

окончательно получаем:

/^ ^ £и -Ус“ж“*, к ^ 0.

Jпт

В остальных слагаемых интегрального тождества (4.1) предельный переход стандартный.

Лемма доказана.

Из доказанных лемм следует утверждение теоремы 1.

Литература

1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М.:Наука, 1967.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.: Мир, 1972.

3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики, М.:Наука, 1973.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ, М.:Наука, 1980.

ON AN AUXILIARY PROBLEM OF NONLINEAR DIFFUSION IN SLIGHTLY COMPRESSIBLE VISCOUS FLUID Sv.A. Gritsenko, R.N. Zimin

Belgorod State University,

Pobedy str., 15, 308015, Belgorod, Russia, e-mail: [email protected]. [email protected]

Abstract. We consider Stokes system, corresponding to the motion of slightly compressible viscous fluid, where kinematic viscous depends on the concentration of admixture. The Stokes system supplied with the convective diffusion equation for the admixture both in the fluid and in the solid parts. The assumption about the diffusion in solid skeleton is artificial and auxiliary one. We prove the existence of generalized solution of the initial-boundary problem for this system in the limited domain with the homogeneous Dirichlet conditions for the fluid velocity and the homogeneous Neumann condition for the concentration of admixture on the boundary of domain.

Keywords: Stokes equations, viscous fluid, nonlinear diffusion.