О разрешимости задачи диффузии конвекции в пороупругой среде на микроскопическом уровне Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:531.72, 517.958:539.3(4)

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ - КОНВЕКЦИИ В

ПОРОУПРУГОЙ СРЕДЕ НА МИКРОСКОПИЧЕСКОМ УРОВНЕ 2)

А.М. Мейрманов, Р.Н. Зимин, О.В. Гальцева, О.А. Гальцев Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе рассматривается начально-краевая задача для системы, состоящей из уравнений Стокса, описывающих движение несжимаемой вязкой жидкости в поровом пространстве твердого «скелета» и уравнений Ламе. Рассматриваемая система дополняется конвективным уравнением диффузии для примеси в жидкости. Считается, что плотность жидкости зависит от концентрации примеси. Доказывается существование по крайней мере одного обобщенного решения.

Ключевые слова: система уравнений Стокса и Ламе, конвективное уравнение диффузии.

1. Постановка задачи

Пусть П Е К3 ограниченная связная область с липшицевой границей Б, полученная

периодическим повторением элементарной ячейки еУ, где е > 0 малый параметр,

У = Yf и У и 7 и ЗУ., У = (0,1) х (0,1) х (0,1), £У = (0,£) х (0,£) х (0,£) ,

где 7 = дУf П дУ - липшицева граница между множествами Уf и У3. Область Уf будем считать симметричной относительно поворотов на п/2 (рис. 1.).

Через П уг обозначим периодическое повторение элементарной ячейки еУ/, а через Щ - периодическое повторение еУ 3. Тогда

п = п и П и г,

где Г£ = дП у П дП 1 - периодическое повторение границы £7.

В области П рассматривается следующая система дифференциальных уравнений:

V-+ (1-х£)А0О(^,ги£)-р£1^ + р(</?(с£)).Р = 0 , жбО, £>0,(1)

V- w£ = 0, x G П, t> 0, (2)

dc£ ( dw£ \

— = V-lD0Vc/-v(c/)—y хеЩ, t> 0, (3)

2 Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт №02.740.11.0613).

дополненная следующими начальными и граничными условиями:

ю £(х,Ь) = 0 при х Е Б = дП, Ь> 0;

(4)

дс£ дю£

О0—--------(р(с£) ——• п = 0 при ж £ Г£, £>0:

дп дЬ

р£ йх = 0 , Ь > 0

т . £Л„ £ (

X £ю £(х, 0) = 0 при х Е П; с£(х, 0) = с0(х) при х Е П ^ ,

где функция р(с£) Е С2(-то, то), такая что

(5)

(6)

(7)

(8)

-1/2 , с£ < -1/2; р(с£) = ^ с£ , 0 < с£ < 1;

3/2 , с£ > 3/2 ,

ю£(х,Ь) = (^:£(х,£) ,'ш2£(х,Ь) ,'ш£(х,Ь)) - вектор перемещения сплошной среды, р£(х,Ь)

- давление в сплошной среде, с£(х,Ь) - концентрация примеси, 0(ж, V) - симметрическая часть градиента вектора V (тензор напряжений), I - единичная матрица, х£(х) -характеристическая функция порового пространства,

р(с £) = X £Мс £),

р0 - безразмерная вязкость жидкости, Ао - безразмерная постоянная Ламэ, 8 - положительная постоянная, п - единичный вектор внешней нормали к Г £, Д0 - коэффициент диффузии.

+

+ Уз

■в

|п >’ ►

♦ *

У ►

Рис. 1. Проекции на взаимно-ортогональные плоскости геометрии элементарной ячейки Обзор результатов по данной задаче можно найти в ( [6]).

2. Основной результат

Определение 1. Тройка {ш £(ж,і), р £(ж,^), с £(ж,£)} называется обобщенным решением задачи (1)-(8) в области Пт = П х (0,Т), если

1) р£ Е Ь2(ПТ), ю£ Е Ч/21,1(П/ х (0,Т))П Ж21,0(П^ х (0,Т)), с£ Е £те(П/ х (0,Т)) П ^(П/ х (0,Т));

2) почти всюду в области Пу выполнены уравнение (2) и условие (6);

3) ю £, р £ и с £ удовлетворяют интегральным тождествам

' От

{ д'Ш£ \

[х£р0О(ж, ^ ) : 0(ж, ф) + (1 — Х'£)Л0О(^, го£) : 0(ж, ф) — р£\7 • ф\ сіхсіі

р(р(с £))^ ■ ф ^ж^і (9)

о Пт

для произвольной гладкой вектор-функции ф(х,Ь), равной нулю на границе Б и при Ь = Т, и

^ г / д^ дю£ \ /*

с£ ——Ь <р(с£) —— • V ф ~ До\7с£ • ) АхсЦ = — со(х)ф(х, 0)(1х (10)

&

&

/

для произвольной гладкой функции ^(х, Ь), равной нулю при Ь = Т.

Здесь используется обозначение: А : В = Ьг(АВт), где А и В - квадратные матрицы. Верна следующая

Теорема 1. Пусть

' От

&

0 ^ с0(х) ^ 1,

^ж^і ^ Д2 , тах Д ^ Д. От

(11)

(12)

Тогда задача (1 )-(8) имеет хотя бы одно обобщенное решение и для него справедливы оценки:

тах А0 / (1 — х £)|0(ж, ш £)| ^ж +

0<*<Т

^оХ

' От

<9гог

~Ж

+ |р £| ^ж^^ ^ МД , (13)

тах / |с£| ^ж + Д

0<*<Т

гТ

/0 ,/п &

|У с £|2^ж^і ^ МД2 .

(14)

2

о

о

&

3. Доказательство Теоремы 1

Для упрощения записи, если не оговорено противное, индекс е опускаем. Рассмотрим следующую вспомогательную начально-краевую задачу, состоящую из системы уравнений Стокса и системы уравнений Ламэ

V • + А0(1 - х)Ю(ж, и) - + х 6 <р (с) Е = 0 , (15)

V- и = 0 (16)

в области П при Ь > 0, и конвективного уравнения диффузии

V- (я0Ус-р(с)М(л)(^)) (17)

для концентрации примеси в области П/ при Ь > 0.

Задача дополняется следующими начальными и граничными условиями

и(х,Ь) = 0 при х Е Б; (18)

/ дйж = 0 , (19)

ип

~ </?(С)М(/1}(ж) ' П = 0 пРижеГ! (20)

хи(х, 0) = 0 при х Е П; (21)

с(х, 0) = с0(х) прих Е П/ , (22)

дс

т

где

М(Л)(«(а!,*)) = с1т ^ 1} ^ У ^ ь(у,т) с1у

- оператор сглаживания по переменным х и Ь и ядро усреднения п(з) Е С(Д3) - четная неотрицательная функция, п(х) = 0, если |х| ^ 1; 1/|х|<1 п(|х|) йз = 1. Сглаженные функции являются гладкими, финитными и при к ^ 0 сходится по норме Ь2(ПТ_в) в любой строго внутренней подобласти ПТ_в С Пт, к < в (см. [1]).

Для решения задачи (15) - (22) воспользуемся теоремой Шаудера о неподвижной точке. А именно, фиксируем множество М = |с(х,Ь) Е Ь2(П/ х (0,Т))}. Пусть V = ЕП/ (ди/дЬ) есть продолжение ди/дЬ из области П/ в П такое, что

ди

» = ж, «п,

/ |V|2йх < С ' п «/ п ^

х, v)|2dж < С [ ,/п/

ди

дЬ

2

ди

в(;г' а >

йх,

с1х

п

с постоянной С не зависящей от є.

В первую очередь решим задачу (15), (16), (18) (19), (21) с р = р(р(с)), где с Є Ш. Полученное решение определяет оператор и = А(с), действующий из пространства Ш в пространство N с нормой

и\Ц= max (1 — x)|D(;r,-u)|2<ir + x|D(;r, —)|2circlt.

Х\Щх,

? О ^ От

Вектор функции из N так же удовлетворяют условиям

и(х, і) = 0 , х Є 5 , и(х, 0) = 0 , х Є П/ .

Легко показать, что справедливы следующие неравенства

1М12,От + 11Уи112,Пт ^ СIIй

2,Пт + II V uII2,Пт - C llullN du

<<711*. (23)

2, nf x (0,T)

dt

Подставляя u = A(c) в уравнение (І7) приходим к следующей начально-краевой задаче об определении функции e(x,t):

де

— = V • (DoVc- р(с)М(/г)(-и)) , xeQf, t> 0, (24)

де

D0— - V(c)M{h)(v) n = 0, ж Є Г, (25)

дп

e(x, 0) = e0(x), x Є П/ , (2б)

которая определяет оператор на множестве N: е = B(u). Полученная задача при каж-

дом фиксированном h > О, имеет единственное решение, для которого справедливо энергетическое неравенство

ma^ |e|2dx + Do f f |V e|2dxdt < M f f |v|2dxdt. (27)

0<t<T

Здесь и всюду ниже через М обозначаем постоянные, не зависящие от є и от параметра сглаживания Л.

Суперпозиция

с = В о А(с) = Ф(с)

есть искомый оператор, неподвижные точки которого с^ = Ф(сЛ) определяют решение задачи (15) - (22) с = с^, и = и^, д = д^.

Оценка (27) показывает, что оператор Ф переводит множество Ш в себя:

Ф : Ш^Ш.

Если мы докажем, что оператор Ф вполне непрерывен, то согласно теореме Шаудера он имеет неподвижную точку. Для этого воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями.

Лемма 1. В условиях Теоремы 1 для каждого фиксированного с(ж,£) Е М задача

(15), (16), (18) (19), (21) имеет единственное обобщенное решение и и для него справедлива оценка:

шах А0 [ (1 — ;\) |Ш)(;х, й)\2(1х + [ (роХ о(";г, “тр) + \я\) <1хМ ^ МД2 . (28)

о<*<т уп Jnт \ V от / )

□ Доказательство существования единственного обобщенного решения задачи (15),

(16), (18) (19), (21) и получение оценки (28) повторяет аналогичные доказательства в

( [4]), ( [5]). ■

Лемма 2. Оператор А непрерывный.

□ Пусть

и 1 = А(с!) , и2 = А(с2) , и = и 1 — и2 ,

с = С1 - с2 , д = с - д2 , р(с) = р(сі) - р(с2) , дсс 1 д-и2

1)1 = Ж’ = Ж’ ^ = ^-^2'

Тогда для разности сс имеем:

V ■ (роХ®(х, V) + А0(1 — х)0(я, сс) — ді) = —х^(с)^ , х Є П , і > 0 , (29)

V - С = 0 , х Є П , і > 0 ,

с(х, і) = 0 , х Є 5,

Х'С(х, 0) = 0 , х Є П , / с х = 0 .

Jn

Умножим уравнение (29) на функцию V и проинтегрируем по области П

1 сі

сс)|2^ж + рох!°(х, с)|2

'п Jп Jn

І Чі-х)Мх,и)ї<Ь+ I Рох|0(^,^)|' ^|- / х&Ч>{с)Р -'»<1х\ = I.

Функция <р(с) является гладкой по определению и для нее справедлива терема Лагранжа, другими словами:

I ^ М1 / х^|с^ ■ V|^ж.

ип

Применив к последнему последовательно неравенство Гельдера и неравенство Коши, получим

1 ^ (ІІ и-Л г/'’ \ 2^/г) іп Х ГІ' 1,,Х + ? Х^2(ІХ'

Оценим второе слагаемое, для этого вектор функцию V продолжим из области П/ в П, как говорилось выше, с сохранением дифференциальных свойств. К продолженной функции применим последовательно неравенство Пуанкаре-Фридрихса, а затем неравенство Корна и воспользуемся свойством продолжения.

В итоге получим

Ло^ “ хт*л)?с1х+^ 1хт^)\Чх ^

^ [ \стЧх + ^ [ х|Ш)(;х, г?) |2^;Х . Jnf 2 Jn

Возьмем в качестве п = р°/2С. Тогда

I \ V) 2 (їх С ,\/ J \ст*ах. (30)

Проинтегрировав (30) по і и учитывая условие (12), имеем

шах Л0(1 — ;\)|Ш)(;х, и)\2Ах + ^ ї))\2<1х ^ МД2 \с\2с1х.

°<*<т,/п 2 JпT .УП/

Окончательно, учитывая нормы пространств М и Ж, получим

||с||N ^ МД2||с|м ,

что и означает непрерывность оператора А. В Лемма 3. Оператор В непрерывный.

□ Пусть

с1 = В(с 1) , с2 = В(с2), с = с1 — с2, с = сс 1 — С2 ;

ІЬ\ = М(/г) ■> = М(/г) ) , ги = іЬі - ги2 , </?(с) = </?(сі) - </?(с2).

Тогда разность с(х,і) является решением следующей начально-краевой задачи:

^ Ас + V • </?(с) — ги </?(с2)^ = 0 , жєП/, іє(0,Т); (31)

Д0-^— — (гУі <р(с) — и) р(с2)) • тг = 0 , ж Є Г , і > 0 ; дп V /

с(х, 0) = 0 , х Є Пу .

Умножим (31) на с(х,і) и проинтегрируем по области Пу, применяя формулу интегрирования по частям:

I \с\2Лх + Д0 ( | Vс|2= І й)і ■ (ір(с)'Чс)сІх + [ ю ■ (<р(с2)\7с)<іг .

Функции р(с2) и ги 1 ограничены по построению. Оценим правую часть:

«>! • (ф)'Vc)<fcr + [ ю • (с2Ус)с&г ^ Л^1 ( [ (сУс)<£г + [ ю ■ УсЯх)

'о. ^О. ^О. '

— ( [ \с\2с1х + [ \гЬ\2с1'х) + Л^!?7 [ |\7с|2сЬг.

2^ /о . / /о.

. •/о.

Взяв п = ^0/2Ж1, получим следующее неравенство

[ |с|2с£г + Д) [ |Ус|2с^;г ^ N2 dt Jоf Jоf

|ги| + / |с|

с(х, 0) = 0 .

Используя неравенство Гронуолла, окончательно имеем:

[ |с|2^ж ^ N3 [ ( |ги|2^жЛ;.

О f J 0 J О f

Последнее неравенство, учитывая неравенство (23), можно переписать следующим образом:

||с||от ^ N||и||щ , что и означает непрерывность оператора В. В Лемма 4. Оператор Ф вполне непрерывен.

□ Оператор Ф является непрерывным, как суперпозиция непрерывных операторов. Из уравнения (20) следует, что взяв последовательность функций (ск(х, *)}, ограниченную, в норме множества М, получаем последовательность функций ограниченную в (0,Т); Ь2(П/)) П Ж21,0(П/ х (0,Т)) с последовательностью производных по времени (дс£/ д*} ограниченной в Ь2((0,Т); Ж2-1(П/)). Согласно теореме Аубина (см. ( [2])) такая последовательность сходится сильно в Ь2(П/ х (0,Т)). Следовательно, оператор Ф является вполне непрерывным. В

Так же легко показать, что множество М является выпуклым.

Итак, существует неподвижная точка оператора Ф, обозначим ее как сл,

сл = ФЫ ,

и пусть « = А(сй). Тогда сл является решением следующей задачи:

V ■ (роХ°(ж, «л) + Ао(1 - х)°(ж, «л) - ?л1) + Х^ (сл) ^ = 0, х € П , * > 0; (32)

V - = 0 , х € П , * > 0; (33)

Яс,

= *€(0,Т); (34)

о

«л(х, *) = 0 при х € Б , * > 0 ; (35)

Х«л(х, 0) = 0 при х € П; (36)

[ <^ж = 0 ; (37)

о

дсл

----<р(с/г) М(/г) (г»/г) • гг = 0 при же Г; (38)

дп

сл(х, 0) = с0(х) при х € П/ , (39)

где (34) понимается как интегральное тождество:

,т г

сл

0о

+ <р(с/г) М^^(г»/г) • — -ОоУс/г • с1хсИ = — ^ Соф(х, 0)с1х ,

для произвольной гладкой функции ^(х,*), равной нулю при * = Т.

Лемма 5. Решение (и, р, с) исходной задачи (1 )-(8) есть предел при к ^ 0 решений («л, сл) задачи (32)-(39).

□ Умножим (32) на произвольную гладкую вектор-функцию ф(х,*), равную нулю на границе Б и при * = Т, и проинтегрируем по области Пт

[ (роХ°(ж, «л) : 0(ж, ф) + Ао(1 - Х)°(ж, «л) : 0(ж, ф) - ■ ф) <^ж ^ =

*/ От

/ х^^ (сл) ^ ■ ф^ж^*. (40)

J От

Пусть к ^ 0. Легко видеть, что оценки (27)-(28) справедливы для всех к, с постоянными, не зависящими от к и е.

Оценки (27), (28) позволяют из последовательностей («л}, (?л} и (сл} выбрать подпоследовательности такие, что

^ и слабо в Ж21,1(П/ х (0,Т)) ^| Ж21,0(П8 х (0,Т)),

^ р слабо в Ь2(Пт), сл ^ с слабо в ^(П/ х (0,Т)).

Более того, согласно теореме Аубина из [2]

сл ^ с сильно в Ь2(П/ х (0,Т)).

В силу непрерывности функции <р, имеем

<р(сл) ^ <р(с) сильно в Ь2(П/ х (0,Т)).

Переходя к пределу в неравенствах (27)-(28), получим требуемые в условии теоремы оценки.

В интегральном тождестве (40) предельный переход стандартный.

Аналогично поступим с уравнением (34), то есть умножим на произвольную гладкую функцию ^(ж,£) равной нулю при £ = Т и проинтегрируем по цилиндру Пу х (0,Т):

/ / (С/г Ж + </?('С/г') м(/г) ^ ~~ ^°^С/г ' =

— с0^(х, 0)^ж. (41)

В слагаемых интегрального тождества (41) предельный переход стандартен. В Из доказанных лемм следует утверждение теоремы 1.

Литература

1. Adams R.E. Sobolev spaces / New York: Academic Press, 1975. - 268 p.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / М.: Мир, 1972. -587 с.

3. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического вида / М.: Мир, 1967. - 736 с.

4. Meirmanov A., Nguetseng’s two-scale convergence method for filtration and seismic acoustic problems in elastic porous media // Siberian Mathematical Journal. - 2007. - 48. - P.519-538.

5. Meirmanov A., Homogenized models for filtration and for acoustic wave propagation in thermo-elastic porous media // Euro Journal of Applied Mathematics. - 2008. - 19. -P.259-284.

6. Meirmanov A., Zimin R. Mathematical models of a diffusion-convection in porous media // Submitted to Electronic Journal of Differential Equations. - 2012.

SOLVABILITY OF DIFFUSION AND CONVECTION PROBLEM IN POROUS-ELASTIC MEDIA AT MICROSCOPIC LEVEL

A.M. Meirmanov R.N. Zimin, O.V. Galtseva, O.A. Galtsev

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The model describing the joint motion of incompressible viscous liquid and incompressible elastic skeleton is under consideration. It is assumed that liquid density depends on the admixture concentration. The system is completed by the diffusion- convection equation for the admixture in the liquid domain. Existence of weak solution of initial-boundary problem for the system in bounded domain is proved.

Key words: Stokes’ and Lame’s equations, diffusion-convection equation.