Усреднение задачи диффузии примеси из водоема в абсолютно твердый пористый грунт Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

DOI: https://doi.org/10.15688/трст^оки.2017.6.1

УДК 517.958:531.72, 517.958:539.3(4) ББК 22.161

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ ПРИМЕСИ ИЗ ВОДОЕМА В АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫЙ ПОРИСТЫЙ ГРУНТ

Оксана Александровна Гальцева

Старший преподаватель кафедры информатики, естественнонаучных дисциплин и методик преподавания,

Белгородский государственный национальный исследовательский университет galtseva@bsu. е^. ги

ул. Победы, 85, 308015 г. Белгород, Российская Федерация

Аннотация. Работа посвящена рассмотрению начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости в абсолютно твердой пористой среде. Рассматриваемая система дополняется уравнением диффузии примеси в порах твердого грунта и усложняется наличием уравнения движения в самом водоеме. Плотность примеси зависит от ее концентрации. Выводятся макроскопические аналоги исходных микроскопических уравнений.

Ключевые слова: усреднение, система уравнений Стокса, диффузия, уравнение конвекции-диффузии, метод асимптотических разложений.

Постановка задачи

Процесс диффузии примеси из водоема в пористый грунт будем рассматривать в области О (водоем) и О (пористая среда) (рис. 1), разделенных общей границей 5°.

о

(N

О

л «

S

1-4

Рис. 1. Диффузия примеси из водоема в грунт

В нашем случае Ое R2 есть ограниченная область, образованная с помощью периодического повторения ячейки вУ, где в >0 - малый параметр,

У = У1 и У, иуидУ, У = (0,1) х (0,1), в У = (0, в) х (0, в),

где у = дУ/ п дУ, - липшицева граница между множествами У^ и У,. _

Через О/ обозначим периодическое повторение элементарной ячейки вУ /, а через О, -периодическое повторение вУ,. Тогда

О = О^иПв и Гв, где Гв = дОв пдО,,

а область У окружена областью У^- (рис. 2), то есть У, п дУ = 0.

Рис. 2. Элементарная ячейка

Движение примеси в Q0 при t > 0 описывается стационарной системой уравнения:

V- Pf + p(ce )e = 0, Pf = ац D( x, v) - pI, (1)

V • v = 0, (2)

öc

— + v -Vc = 7 d Ac, (3)

öt

где p(ce) = рf + 5c(x, t); 5 - положительная постоянная; рf - безразмерная плотность жидкости, соотнесенная к плотности воды р0; ац - коэффициент вязкости; D(x, v) - тензор напряжений; p -давление; I - единичная матрица; c(x, t) - концентрация примеси; e - единичный вектор силы тяжести; 7 D - коэффициент диффузии; ац - коэффициент вязкости примеси v(x, t) = (vx(x, t), v2(x, t)).

Движение примеси в пористой среде Q описывается уравнением неразрывности (2), уравнением баланса

V- P + p(cе )e = 0, P = xXD(x, ve) - pI, (4)

и уравнением диффузии примеси

öcE

— + ve • Vce = 7dAce, (5)

öt

где p(ce ) = xe (p f +5ce (x, t)).

На общей границе S0 = öQ n öQ0 при t > 0 выполняются условия непрерывности

lim v(x, t) = lim ve (x, t), (6)

x x

-^0

xeQ

lim Pf (x, t) • n(x0)= lim P(x, t) • n(x0),

x^x0 x^x0

где n(x0) есть вектор нормали к границе S0 в x0 е S0.

Задача замыкается граничным условием Неймана на S1 внешней границы области

Ö = при t>0

Pf(x, t) • n = -p 0(x, t)n, (8)

граничными условиями

vE(x,t) = 0,x е S2 = S \ S1,x еГ\t > 0, (9)

Vc6(x,0 -n(x) = 0 ,x^S2 = S\ ¥,x er,t> 0, (10)

и начальным условием

c(x,0) = c0(x), x eQ0 и S0. (11)

В (1)—(11) характеристическая функция Xe(x) области Qf задается выражением

x

xe (x) = g(x)X( -), e

где q(x) - характеристическая функция водоема; %(y) - характеристическая функция ячейки Y^ в единичном квадрате Y. И пусть

а

lim (e) = Ц^ li^"T = Hv

e^0 e^0 e

Целью данной работы является получение усредненных аналогов уравнений задачи (1)-(10) для случая, когда ц0 = 0 и 0< н1<Для этого перейдем к пределу при e ^ 0.

Предположим, что S1 - часть оси (х3 = 0}, e = -e3, и, что область Q - подмножество полупространства (х3 < 0}. Более того, предположим, что S2 - это гладкая поверхность и в некоторой малой окрестности плоскости (х3 = 0} определяется как Ф(х1, х2) = 0. Функцию p0 также положим гладкой:

n0^ А I2 . I Y7Л l2W^=p2 .

f (| Vp0(x, t) |2 + | V(^)(x, t) |2)dxdt = P2 < да.

в дг

Определение 1. Тройка функций (Vе ,се,ре] такая, что

с8 е L2(ttf)^^(Ц.), рее Ьх (вТ), Vе, Щ х, Vе), (С + (1 -Ох}Жх, Vе) е L2(вт),

называется обобщенным решением задачи (1)—(10), если она удовлетворяет условию неразрывности (1) почти всюду в вТ = в х (0,Т), граничным условиям (9), (10), начальному условию (11) и интегральному тождеству

[ ((^ + (1 -£)Р):Б(х,ф) + У-(фр0)-р(се)е= 0 (12)

^вт

для любых соленоидальных ф(х, г) = 0 при S2 и тождеству

ГI

.ад да

Л I а

с^-Ус"-

дше дх

у-авУсе-Уу dxdt = с0(х)у(х,0)йх

(13)

для произвольной гладкой функции у (х, t) = 0 при t = Т.

В тождестве (12) р(се) = (^ + (1 , а ^ = ^(х) есть характеристическая функция области

о0 в е.

Теорема 1. Функции {Vе,ре,се} являются обобщенным решением задачи (4), (5), (9)-(11), если справедливы оценки:

0 < се (x, t) < 1, x еО}, t >0,

£ (^Г <С e2, |о|Уу е (х, t1)-Уу е (x, Х2)|2 йх < С|Х - Х2 |2

(14)

(15)

(16)

где С - не зависящая от е константа.

Теорема 2. Пусть обобщенным решением задачи (2)-(И) являются функции {у е,ре,се}, тогда

I) при е ^ 0 существует такая подпоследовательность, что:

1) {у е} сходится слабо к у в ¿2((0, Т); ¿2(0);

2) {У-у е} сходится слабо к У-у = в 4((0,Т); Х2(0);

3) {ре} сходится слабо кр в £2((0,Т);Ь2(0));

4) {се} сходится слабо к с в Х2((0,Т); W21(0) и сильно в ¿2((0,Т);¿2(0) к функции с;

II) функции {у, р,с} являются обобщенным решением следующей «усредненной» задачи

у = — в(-—Ур + р(с)е), ^0 т

У- у = 0, р(с)= (р} + 8с)

дс

т— + у-Ус = а п У- (в (с)Ус) дt °

(17)

(18)

(19)

(20)

для скорости у, давленияр и концентрации примеси с в области ОиО0 при t > 0, дополненной граничными условиями

у(х, X ) = 0,

(21)

на № и начальным условием

В (17)-(23)

= 0,

дп

с(х,0) = с0(х), х е О.

т = <Х>г = |х(У)йу

(22) (23)

есть пористость; В(с) и В - симметричные и положительно определенные постоянные матрицы, вычисляемые далее по формулам (41) и (51) соответственно; п - единичный вектор внешней нормали;

III) предельное давление р жидкости в области О совпадает при Х > 0 с гидростатическим давлением

р(х,0 = р°(0 -Р}Х3 = Р0(х,г). (24)

Доказательство теоремы 1 рассматривается в [1, с. 118].

Доказательство теоремы 2. Доказательство сильной сходимости функций с8 в Х2((0,Т); Ь2(в)) следует из оценок (14), (15), уравнения диффузии (13), леммы о компактности [3; 4] и свойств соответствующих продолжений [2]. Слабая сходимость (рЕ}, (Vе} и (V- Vе} следует из оценки (16).

Так как усреднение модели диффузии примеси из водоема в абсолютно твердый пористый грунт на текущий момент является задачей нерешенной, проведем формальное усреднение. Для этого представим

х

Vе = V(x,—, г) +..., е

х

С = с(х,г) + еС(х,—,0 +К , £

х

Р8 = Р(х, , г) +..., е

где V есть 1-периодическая функция по аргументу у = х/е.

При выводе усредненных уравнений воспользуемся предельным свойством интеграла

ф (х,—,г)dхdt — (|7Ф (х, у,t)dy)dхdt

для гладкой 1-периодической по у функции ф(х,у).

Переходя к пределу при (1- %е) р8 =0, для любой гладкой 1-периодической по у функции о получим

Нт [ (1 - Xе)р'ойхйг =

£—0 ^ЦТ

х х х

= 1хт (1 - Х(х))(Р(х,х,г) +К)о(х,х,г)dхdt =

е—^0 •1Пт ее е

= (1 - X (у ))(Р(х, у, г )о(х, у, г )ЛуЛхЛ = 0.

Перепишем Р(х, у, г) в виде

Р(х, у, 0 = р,(х, г )х(у).

Тогда

р(х, г) = < Р)г = [ х(у) р,(х, г)йу = тр,(х, г),

откуда Р(х, у, г) = 1/тх(у) р(х, г).

Определим вектор-функцию ф = ^х, г )ф0 (х/е), равную нулю на границе £ и

V у-ф0 =0.

Подставим Vе, ре в исходное уравнение и распишем каждое слагаемое, где

х 1 х

Б( х, Vе) = Б( х, У(х, -, г)) + - Б( у, У(х, -, г)) +..., (25)

е е е

а D( х, ф) имеет вид

1 х х 1 х

0( х, ф) = -тех, г) ® ф0 (-) + ф0 (-) ® Vh(—, г)) + - ^х, г )D( у, ф0 (-)). (26)

2 ее е е

Первое слагаемое примет вид

с а

lim I Xe"iTs2D(x,ve): D(x,ф)dxdt =

2

s^ QT S

= lim JQ %(X)afe2fD(x, V(x,X,t)) +1 D(y, V(x,X,t)) + J :

b^O JQr 8 8 V 8 8 8 )

1 x x 1 X

: (-(Vh(x, t) ® фо(-) + Фо(-) ® Vh(x, t)) + -h(x, t)D(y, Фо (~)))dxdt ■■

2 8 8 8 8

так как

Цо J h(x, t)(Jrx(y)D( y, V(x, y, t)): D( y, фо (y))dy )dxdt,

Jx a,, »

n x( ) Цв2 D(x, V(x, t)):

____ Qt с с

1 xx 1 X

: (- (Vh(x, t) ® фо (x) + Фо (x) ® Vh(x, t)) + - h(x, t )D(y, фо (-)))dxdt = 0, (27)

2 8 8 8 8

limJQ %(x)af182Dfy,V(x,x,t) 1:

8^о JQT 8 8 8 V 8 )

: (1 (Vh(x, t) ® фо(x) + фо(-) ® Vh(x, t)) |dxd? = о, (28)

V 2 8 8 )

lim J x(x) ar182 D(y, V(x,x, t)): f1 h(x, t)D(y, фо (x)) Idxdt =

8^о jQT 8 в2 8 8 V 8 8 )

= Цо f h(x, t)(jfx( y)D( y, V(x, y, t)): D( y, фо (y))dy)dxdt. (29)

Второе слагаемое при s ^ о будет

lim J XеPs (Vh • фо )dxdt =

е^о JQT

= f J^yPx, У, t)(Vh(x, t) • фо (y))dydxdt. (3о)

Третье слагаемое при s ^ о

lim J Xsp(c)e•фоdxdt = J Jx(y)h(x,t)p(c(x,t))e(x,t)•ф0(y)dydxdt. (31)

Собрав все слагаемые вместе, получим

J (|7Цо h (x, t)x(y )D( y,V(x, y, t)): D( y, фо (y ))dy + + f7X(y) P(x, y, t) Vh(x, t) • фо (y)dy)dxdt = = JQ h(x, t )(jfx(y)p(c(x, t ))e(x, t) • фо(уМу)^. (32)

Перепишем (32) в виде

Jq h(x, t)x(y)(^D(y, V(x, y, t)): D(y, фо (y)) +

»Qt

+ — Vp(x, t) • фо (y) - p(c(x, t ))e(x, t) • фо (y))dxdt = о. (33)

m

Реинтегрируя (33), получим

ц0У, • (D(y, V) --Vp + p(c)e) = Vyß, y e Yf. (34)

m

Слагаемое V в(х у, г) в (34) возникает из-за ортогональности соленоидальных функций ф1 в L2(Yf) = множеству V в скалярных функций в.

Теперь перейдем к пределу в уравнении неразрывности

^ = 1 Лм(уЕц)Лх& Vе -^пахЛ1 =

= Г1 г£ (Vе - п)паоаг - ^ Vе - Vndхdt = 0, (35)

для произвольной гладкой функции п = п(х, г). Подставив выражение для VЕ в (35), получим

Г У(х, у, га^^х, ЪахЛг = 0. (36)

Реинтегрируя (36), получим макроскопическое уравнение неразрывности

V- V = 0, х еЦ. (37)

Проведя аналогичные рассуждения для пробной функции

П = еЛ(х, г)п0(х/е),

получим

Vу - У = 0, у е Yf. (38)

Будем искать решение задачи (37), (38) в виде

V = XV(i) z, ß = Yß(i) z,

i=i ,=i

где

г = — (—1 Vp + р(с)е), ^0 т

а функции в(,), У(') являются решениями следующих периодических задач:

д у у ) -V в' ) = -е,., у е Yf, V- У(,) = 0, у е Yf,

Т(,) _

Тогда

учитывая, что

V(') =0, y e у.

V = YYV(i) z, = ¿V(i)(e,, • z) = ¿(V(i) ® e, )z,

2 ( 11 ^ v = <V>Jf = (¿(V(i) ® e, )>Jf z = B(f) — (- - Vp + p(c)e)

i =1

(39)

(40)

v ^o m

где

в = (¿(У(,) ® е, ))Yf. (41)

,=1

Существование единственности решения задачи (39) и свойства матрицы

в = ¿([ У)(у)ау) ® е, = £<У))т ® е, (42)

,=1 } ,=1

следует из энергетического равенства

1 VУ(í): VV(])Лу = 1 е, - У(]Лу.

(43)

Лемма 1.3. Матрица В симметричная положительно определенная. Доказательство. Пусть пороговое пространство связное и

С = (Сх,С2),П = (П1,П2) е 2,

г < = ¿С, У г п= ¿п, У 0).

,=1 ,=1

Тогда (42) и (43) дает нам

или

(В0 - п = <г <; \ - ^ <г С )Yf - П = <Vz С : Vzп )Yf ,

(В С) - п = <Vz с: Vzп )Yf, или (Вf С) - С = ^г;: Vz л )Yf > 0. В противном случае мы имели бы равенство

Vzz =0, или г ? = А - у + £0,

где А есть постоянная матрица, а - постоянный вектор. Если принять во внимание усредненные граничные условия на у для У(,), сделаем вывод, что г¡, = 0. Это отношение означает, что

¿С, У (,)(у ) = 0,К112 + 1С 212> 0,

,=1

а это невозможно, так как У("),, = 1,2 есть линейная независимая функция.

Аналогично проведем усреднение конвективного уравнения диффузии (5). Проинтегрируем и умножим уравнение на произвольную гладкую функцию £ = 0 при г = Т

I хе(с6 § £ - - ^хаг = -Ьч^и ах. (44)

•1Пт дг дг •1п

Проинтегрировав (41), выведем макроскопическое уравнение для концентрации

дс

т + V - (ш^с + <VуСV) = а^ - (тЪхС + ^уС)Т ) (45)

дг f

с соответствующим граничным и начальным условием

дс

— = 0, х е £, с(х,0) = шс0(х). дп

Далее, взяв в качестве пробной функции в (5) функцию вида

^ = 8^(x, t)^i (x/в),

проведем аналогичные рассуждения

lim JQ Xbcs dxdt = lim JQ x(x)(c(x, t) +

в^о JQT Ot в^о JQT 8

S£ , , r .x.

—dxdt = К 1 '

St В

x А , T^ Л -

+ bC (x,—, t) +K >8^°(x, t Yql(-)dxdt = о, (46)

8 St 8

J» » x x

Q x8Vcs • vdxdt = lim JQ x(x)(VXc(x,t) + bV f (x,x,t) +

в^о qt в^о^qt 8 8

x x x

+ V yC (x,—, t))(v(x, t) + bV(x,—, t) +K) • в^о (x, t )dxdt=о, (47)

8 8 8

lim J aD x8Vcs • dxdt =

8 ^^ QT

« x x x

^ JQ aD x(x)(Vxc(x, t) + VyC(x,x, t) + bVxC(x,-, t))

Q

= JQ adx(-)(VxC(x,t) + VyC(x-,t) + bVxC(x-,t)) x

JQT 8 8 8

xx

x (8V^(x, OV^x) + ^(x, t)V y ^(-))dxd? = 88

(48)

= JQr f J.aD x(y )(V xC(x, t) + V yC (x, y, t)) • V y^)dy ^(x t )dxdt,

lim JQ^S U dx = lim Jqbx(xНфб^М^У)dx. (49)

После реинтегрирования получим микроскопическое уравнение переноса концентрации

Vy • (VxC + VyC) = о, y e Yf. (5о)

Таким образом,

mVC + <V yC)^ = B (C)VC =

( 2 Д

ml + (X<VyC(i)(y))Yf ®e,.)

. 1 у KJJ,Yf

V ,=1 )

Vc

и

B(C) = ml + (£<VyC(i)(y))Yf ® e,) = ml + Во. (51)

,=1

Усредненное конвективное уравнение примет вид

Sc

m — + B(c) v •Vc = V- (a DB(c)Vc). (52)

Предельное давление p жидкости в области Q° совпадает при t > о с гидростатическим давлением (24).

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Корректная разрешимость задачи о нелинейной диффузии в несжимаемой пороупругой среде на микроскопическом уровне / А. М. Мейрманов, Р. Н. Зимин, О. А. Гальцева, О. В. Гальцев // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. - 2о12. - N° 5 (124), вып. 26. - С. 116-128.

2. An extension theorem from connected sets and homogenization in general periodic domains / E. Acerbi, V. Chiado, G. Dal Maso, D. Percivale // Nonlinear Anal. - 1992. - Vol. 18. - P. 481-496.

3. Homogenization of immiscible compressible two-phase flow in porous media: application to gas migration in a nuclear waste repository / B. Amaziane, S. Antontsev, L. Pankratov, A. Piatnitski // SIAM J. of Multiscale Model. Simul. - 2010. - Vol. 8, №№ 5. - P. 2023-2047.

4. Meirmanov, A. M. Some compactness result for periodic structures and its application to the homogenization of a diffusion-convection equation / A. M. Meirmanov, R. Zimin // Electronic Journal of Differential Equations. -2011. - Vol. 2011. - №№ 115. - P. 1-11.

REFERENCES

1. Meyrmanov A.M., Zimin R.N., Galtseva O.A., Galtsev O.V. Korrektnaya razreshimost zadachi o nelineynoy difluzii v neszhimaemoy porouprugoy srede na mikroskopicheskom urovne [Correct Solvability of Nonlinear Diffusion in an Incompressible Poroelastic Media at the Microscopic Level]. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Fizika [Scientific Bulletins of BelSU. Mathematics & Physics], 2012, no. 5 (124), vol. 26, pp. 116-128.

2. Acerbi E., Chiado V., Dal Maso G., Percivale D. An extension theorem from connected sets and homogenization in general periodic domains. Nonlinear Anal, 1992, vol. 18, pp. 481-496.

3. Amaziane B., Antontsev S., Pankratov L., Piatnitski A. Homogenization of immiscible compressible two-phase flow in porous media: application to gas migration in a nuclear waste repository. SIAM J. of Multiscale Model. Simul, 2010, vol. 8, no. 5, pp. 2023-2047.

4. Meirmanov A.M., Zimin R. Some compactness result for periodic structures and its application to the homogenization of a diffusion-convection equation. Electronic Journal of Differential Equations, 2011, vol. 2011, no. 115, pp. 1-11.

HOMOGENIZATION OF THE PROBLEM OF ADMIXTURE DIFFUSION FROM A RESERVOIR INTO ABSOLUTELY HARD POROUS SOIL

Oksana Aleksandrovna Galtseva

Senior Lecturer, Department of Informatics, Natural Sciences and Teaching Methods, Belgorod State National Research University galtseva@bsu. edu. ru

Pobedy St., 85, 308015 Belgorod, Russian Federation

Abstract. The paper is devoted to the study of the initial-boundary value problem for a system of equations describing the motion of a viscous incompressible fluid in an absolutely rigid porous medium. The system under consideration is supplemented by the equation of admixture diffusion in pores of hard soil. The process is complicated by the motion in water reservoir. The admixture density depends on its concentration. Macroscopic analogs of the original microscopic equations are derived.

The process of admixture diffusion from a water reservoir into a porous soil is considered in the region Q0 (water reservoir) and Q (porous medium), separated by the common boundary S0. The fluid motion in Q0 for t > 0 is described by the stationary system of the Stokes equations and and fluid motion in the porous medium Q is described by the continuity equation, by the balance equation and the admixture diffusion equation, where v(x, t) = (vt (x, t), v2(x, t)) is the velosity of admixture, p(x, t) - the pressure, cs(x, t) - the admixture concentration, D(x, v) - the stress tensor, I - the unit matrix, a^ - the fluid viscosity and XD is the diffusion coefficient.

On the common boundary S0 = 5Q n 5Q0 for t > 0 we have continuously conditions that remain valid both for velocities and for normal stresses. The problem is closed by the Neumann boundary condition with appropriate boundary and initial conditions.

Definition. A triple of functions {vs,cs,ps} is called a generalized solution of the problem, if it satisfies the continuity condition almost everywhere in QT, the boundary and initial conditions, and the integral identity

f ((ZPf + (1 -Z)P): D(X,9) + V• (qp0)-p(c)e• 9)dxdt = 0,

"QT

p(c) = (Z+(1 - Z)x f )p f.

for all 9 such that q(x, t) = 0 on the boundary ST.

Theorem. Let the functions {ve,pe,ce} be a generalized solution of the problem. Then:

1) from the sequence {s > 0} one can select a subsequence such that for s 0:

a) {v e}converges weakly to v in L2((0,T); L2(Q));

b) {V- v e}converges weakly to V- v in L2((0,T);L2(Q));

c) {p 6}converges weakly to p in L2((0,T);L2(Q));

d) {ce} converges weakly to the function c in L2((0,T); W2(Q)) and strongly in L2((0,T); L2(Q));

2) the functions {v, p,c} are a generalized solution of the following problem:

v = — B(-—Vp + p(c)e), p(c) = (pf + 8c),

^0 m

V • v = 0,

m — + v • Vc = a D V • (B(c) Vc).

dt

The problem will be called the homogenized model.

3) The limiting pressure p of the fluid in the domain Q0 coincides with hydrostatic pressure for t > 0

p(x, t) = p 0(t) - PfX3 = p0(x, t).

Key words: homogenization, Stokes equations, diffusion, convection-diffusion equation, asymptotic expansions method.