О начально-краевой задаче термокапиллярного движения эмульсии в пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О начально-краевой задаче

термокапиллярного движения эмульсии в пространстве

Анна Г. Петрова*

Алтайский государственный университет, Ленина, 61, Барнаул, 656015,

Россия

Получена 10.09.2010, окончательный вариант 10.10.2010, принята к печати 20.11.2010 Данная 'работа посвящена исследованию начально-краевой задачи термокапиллярного движения эмульсии в замкнутой ограниченной области с достаточно гладкой границей в отсутствие силы тяжести. При помощи теоремы Тихонова-Шаудера о неподвижной точке доказывается локальная по времени разрешимость задачи с нулевой среднеобъемной скоростью на границе области и нулевым тепловым потоком через эту границу.

Ключевые слова: термокапиллярное движение,эмульсия, начально-краевая задача, существование и единственность решения.

1. Постановка задачи

Математическая модель термокапиллярного движения эмульсии, предложенная В.В.Пух-начевым и О.В.Воиновым 1995 г. [1], представляет собой систему неопределенного типа, состоящую из 9 уравнений для определения концентрации дисперсной фазы, температуры смеси, векторов скоростей несущей и дисперсной фаз и общего давления. Некоторые результаты аналитического исследования этой модели приведены в [2]. В случае одномерного движения эмульсии с плоскими волнами корректность постановки простейшей начально-краевой задачи исследована в [3,4]. Особенностью многомерного случая является, в частности то, что не удается свести модель к классу систем, изученных Вольпертом и Худяевым [5].

Рассмотрим модель термокапиллярного движения эмульсии как двухфазного континуума под действием микроускорений и термокапиллярных сил. В отличие от обычной гидродинамики двухфазных сред, такое движение характеризуется отсутствием межфазного взаимодействия при относительном движении фаз. Пусть объем Q содержит вязкую несжимаемую жидкость с каплями другой вязкой несжимаемой жидкости, не смешивающейся с первой. Число капелек достаточно велико, поэтому существует r ^ diamQ такое, что любой шар радиусом r содержит число капелек n ^ 1. Предполагается, что капли имеют сферическую форму с радиусом R. Будем пренебрегать броуновским движением, а также эффектами сближения, слияния и разделения капель. Если среднее расстояние l между каплями такое, что R ^ l ^ diamQ, то концепции механики гетерогенных сред применимы к системе. Предполагается, что система находится в локальном термодинамическом равновесии. Относительное движение в первую очередь вызвано неоднородностью температурного поля, вследствие чего возникает термокапиллярный эффект, обусловленный зависимостью коэффициента поверхностного натяжения а от температуры в. Для простоты эта зависимость предполагается линейной: а = а о — а в (в — в0), где ао, а в, в0 — некоторые положительные константы. Помимо термокапиллярных сил, система подвержена микрогравитации с постоянным ускорением. Предполагается также, что объемная концентрация дисперсной фазы c мала.

*[email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Определяющими уравнениями модели являются ([1]):

дс

Ж

д(1 - с)

дс

— + ^(си)=0, (1.1)

д1 + ¿4(1 - с)у)=0, (1.2)

Рй^ + и • ^и^ + Рт (1 - с)(£ + V • Уу

= -Ур + (рт(1 + сЖ)(УУ + (УУ)* ))+ Рйсё + Рт(1 - с)ё, (1.3)

(дв \ /дв \ Р^с( — + и + РтАт(1 - с) ( д£ + V •Ув) = (к(с)Ув), (1.4)

и - V = Кё + ЬУв. (1.5)

Здесь с — концентрация дисперсной фазы (0 < с < 1), в — общая температура, и и V — осреднённые скорости дисперсной и несущей фаз соответственно, р — давление. Индекс ^ будем использовать для обозначения параметров дисперсной фазы, т — несущей; р — плотность, р — динамическая вязкость, А — удельная теплоёмкость, к — удельная теплопроводность, Д — радиус сферических включений,

N = Рт + 5рй/2 К = 2д2(рй - Рт)(Рт + Рй) ^ = 2Дктст0

Рт + Рй ' 3рт(2рт + 3р^) (2рт + 3р^)(2кт + к^)

Нелинейный коэффициент теплопроводности к(с) ограничен снизу и сверху соответственно шш(кй, кт) и тах(кй, кт) и пусть |к'(с)|, |к''(с)|, |к'''(с)| ^ К, где К — положительная константа.

В данной работе считаем, что сила тяжести отсутствует: ё = 0.

Будем считать, что уравнения (1.1)—(1.5) выполнены в цилиндрической области 3т = И х (0, Т), где И — ограниченная область пространства Д3 с границей Б, принадлежащей классу Н3+а, а < 1 ([6]); Бт — боковая поверхность цилиндра Qт. Из уравнений (1.1), (1.2) следует, что

ёгу(си + (1 - с)у) = 0.

Введем среднеобъемное соленоидальное поле скоростей

w = си + (1 - с)у.

Рассмотрим систему уравнений (1.1)—(1.5) с простейшими краевыми условиями

w = 0, Ув • п = 0 на Бт, (1.6)

где п — нормаль к границе Бт, и начальными условиями

и(х,0) = и0(х), у(х,0) = уо(х), в(х,0) = в0(х), с(х,0) = с0(х). (1.7)

Классическим 'решением задачи (1.1)—(1.7) будем называть удовлетворяющие уравнениям и условиям (1.1)—(1.7) функции с, в, и, V такие, что компоненты Ус непрерывно дифференцируемы на 3 т; компоненты У в непрерывно дифференцируемы по времени и дважды непрерывно дифференцируемы по пространственным переменным; и, V непрерывно дифференцируемы по времени и дважды непрерывно дифференцируемы по пространственным переменным на <3т.

Лемма 1.1. При выполнении условия 0 < с0(х) < 1 на начальное распределение концентрации дисперсной фазы для классического решения задачи (1.1)-(1.7) справедлива оценка

0 < с(ж,г) < 1.

Эта оценка непосредственно следует из решения уравнений (1.1) и (1.2) методом характеристик и определения классического решения.

2. Единственность классического решения задачи

Следуя схеме исследования одномерной задачи [3,4], введем вспомогательные функции

и = ЬУ<9, И = Ус + и • ^(с), (2.1)

где

^(с) = с( 1 - с)(рД^с + ртАт(1 - с))/к(с). Перейдем к среднеобъемному соленоидальному полю скоростей

w = си + (1 — с)у.

При этом, учитывая (1.5), получим

и = w + (1 — с)И, V = w — сИ. (2.2)

Уравнения (1.1) и (1.2) теперь могут быть записаны таким образом:

с4 + с( 1 — с)а1уИ + (И — ^ (с)И)((1 — 2с) И + w) = 0, (2.3)

divw = 0. (2.4)

Уравнение (1.4) после подстановки формул (2.1)-(2.2) перепишем в виде

^ = А +к(сА (1-Т divИ — А + Р'(сА -. (И — ^ (с)И)И—

РаА^с + ртАт(1 — с) ра А^с + ртАт (1 — с)

—WИ — с(1 — с)(раАа — ртАт) и2, (2.5)

РаА^с + р тАт(1 с) Это же уравнение после взятия градиента запишем как

И — ( А + к(с) (1 Л АИ = — ( /+АаРтА"1 ) (И — ^(с)И)(1 — 2с)И2 —

ЧРаА^с + ртАт(1 — с)/ \(Р^Аа с + ртАт(1 — с))2/

-V(Иw)+(рdАdC — РтАт(1 — с)) (И — ^(с)И)И2 — сУИ2 — (2.5)'

(раАас + ртАт(1 — с))

РаАа — РтАт Г(И — ^(с)И) (к(с^^(И) + к'(с)(И — ^(с)И) • И) +

(раАас + ртАт(1 — с))2

-^-г (к'(с)(И — ^(с)И^И + к''(с)(И — ^(с)И)И • И+

РаАас + ртАт(1 — с)

+к'(с)У(И • И) — (Л(с)^(с))С(И — F(с)И)И2 + Л'(с)^(с)УИ2) .

Заметим, что в правую часть уравнения (2.5)' входят функции И и И вместе со своими производными первого порядка, также непрерывно дифференцируемые функции концентрации с.

Применяя оператор градиента к уравнению (2.3) и используя уравнение (2.5)', получим уравнения первого порядка для новых функций И:

И — (^(с) . + 1. -Тк'(с)И + (1 — 2с)И + ^ •УИ =

^ р^А^с + ртАт(1 — с) / /

РаАар т

= F(с) ( А + А (1-Ш (И — F(с)И)(1 — 2с)И2 — F(c)V(Иw)+

ДраА^с + РтАт(1 — с))2/

+ ^(с)(рД.с - ртА (1 - с)) (к - р(с)и)и2 - р(с)суи2-(рД^с + ртАт(1 - с))

- Рт А т )

Г(И - ^(с)И) (к(с)а1у(И) + к'(с)(И - ^(с)и) • и +

(р^А^С + РтАт(1 - с))2

+—-^(с) .-- (&'(с)(И - ^(с)И)а1уИ + к''(с)(И - ^(с)И)И • и+ (2.6)

Р^А^С + РтАт(1 - с) V

+к'(с) ((И • У)^ + (к(с)^(с))С(Я - F(с)и)и2 - Л'(с)^(с)Уи2) +

+ (И - F(с)И) (Ж • и + (F(с)(1 - 2с))Си2 - F'(с)и • ^ --(1 - 2с)(И • У)И + (И • V)w+ -F(с)(1 - 2с)УИ2 - F(с)(И • V)w + F(c)(w • У)И.)

Правая часть уравнения (2.6) содержит функции И, w с производными по пространственным переменным не выше первого порядка, функции И и непрерывно дифференцируемые функции от концентрации с.

Осталось переписать уравнение (1.3) в новых функциях. Это нетрудно сделать, учитывая формулы (2.2):

(р^с + Рт(1 - - (р^с + Рт(1 - с))Ис4 + (р^ - Рт)с(1 - с)И4+ +р*с(((w + (1 - с)И) • V)w - ((w + (1 - с)И) • (И - F(с)И))И+ + (1 - c)((w + (1 - с)И) • У)И + Рт(1 - с) ((^ + (1 - с)И) • V)w-— ((w - сИ) • (И - F(с)И))И - с(^ - сИ) • У)И = = -Ур + рЖ^(И - F(c)И)(Vw + -сУИ + ^И)* - (Д - F(с)и)Цд- - (Д - F(с)Цд-+ +р(1 + сЖ^Дw - 2сДИ - 3VИVc - - F(с)И)И - (И - F(с)И)а1уИ-

—V(R - F(с)И)И.

Заменяя с4 по формуле (2.3) и учитывая градиентный вид слагаемых ДИ, И, перепишем последнее уравнение в виде

(р^с + Рт(1 - c))wt + V(p + (р^ - Рт)с(1 - + 2ср(1 + сЖ)Ьа1уИ)-

-р(1 + сЖ)Дw = (Рй - Рт)с(1 - с)(И - F(с)И)X

к(с) -а1уИ------(И - F(с)И)И - wИ—

Р^А^с + РтАт(1 - с) Р^А^с + р т Ат (1 с)

-с(1 - с)(рйАй - РтАт) иЛ + 2р(1 + 2Жс)(И - F(с)И)а1уИ-Р^А^с + РтАт (1 - с) у

-(Рйс - Рт(1 - с))И (с(1 - с)а1уИ + (И - F(с)И)((1 - 2с)И + w)) - (2.7)

-Рйс(+ (1 - с)и) • У^ + ((w - (1 - с)и) • (И - ^(с)И))И+ +(1 - c)((w + (1 - с)и) • У)и) + Рт(1 - с) ((^ + (1 - с)и) • У^-— ((w - си) • (И - ^(с)и))и - с((w - си) • У)и) + ((И - F(c)U)(Vw + +

+сУи + (УИ)* - (Л - F(с)^)^ - (Лд - F(с)Цд-+ +М(1 + сЖ^Дw - ЗУИУс - - F(с)И)И - (И - F(с)И^И-

-У(И - F(с)И)И) •

Правая часть уравнения (2.7) содержит функции Л и И с производными по пространственным переменным до 1-го порядка включительно, непрерывно дифференцируемые функции от концентрации с и функции w с производными по пространственным переменным до 1-го порядка включительно. Пусть

г

г (*) = | (||И||2(г) + |М|2(;) + ||К||2(г) + ||с||2(*))

0

где ||И||2(*)= / (и2 + и2 + и2)&.

я3

Предполагая, что И(1), w(1), с(1) и И(2), w(2), И(2), с(2) — два классических решения задачи на промежутке времени [0, Т], обозначим

И = И(1) - И(2), w = w(1) - w(2), И = И(1) - И(2), с = с(1) - с(2), р = р(1) -р(2).

Для И, w, И, с имеем линейную систему уравнений

сг = а1 (ж, г)с + а2 (ж, г^^И + а1 (ж, г)И + а2 (ж, + а2 (ж, ¿)К; (2.8)

divw = 0; (2.9)

Иг = 60(ж,г)ДИ + 61(ж,4)И + 62(ж,г)И + У(Ъ3(ж,г)И) + V(И1w)+

+Ъ4(ж,г)с + Ъ5(ж,г^^И + У(Ьб(ж,г)Б.); (2.10)

¿0(ж,г^г + У - d1(ж,t)Дw = ¿2(ж,г)И + ¿3(ж,г^+ +У(ё4(ж,г)К) - V(w1И) + ё5(ж, г)с + ёб(ж, г^^И + (ё7(ж, г) • У^ + (ё8(ж,г) • У)И; (2.11)

Иг + (о (ж,г) • У)И = /1 (ж,+ /2(ж,г)И + /з(ж,+ /4(ж, ¿)У(И^) +

/5(ж,г)У^1И) + У((И1 + И2)И) + Гв(ж,г)с + /7(ж,г^И + ((8 • У)И + ( • V)w• (2.12)

Здесь

¿о(ж,г) = Р^с1 + Рт(1 - с1) > ш1п(рй,Рт} > 0;

Ьо = ^—-Г; ¿1 = р(1 + с1Ж). (2.13)

Р^с1 + РтАт(1 - с1)

Остальные коэффициенты системы (2.8)-(2.13) также являются ограниченными вместе со своими производными 1-го порядка функциями, конкретный вид которых не важен для доказательства.

Умножим уравнение (2.8) на 2е(ж,£) и проинтегрируем по Qt,t € (0, Т):

П Яь

+2 J а!,ж, í)Ucdжdí + J а2(х, í)wcdжdí + J a2(ж,t)Rcажаt ^ (2.14)

(ж,г)иеажаг + у а2(ж, г)wcdжdг + у а2(ж, Яь Яь Яь

2

< С УеГ + С2УУиууеу + Сз||и||||с|| + ^МНИ + СУЩИ.

Умножим уравнение (2.10) на 2и(ж,£) и проинтегрируем по Qt,t € (0, Т). Используем следующие равенства:

ди = Уа1уи;

б0Уа1уи • и = а1у(а1уи(б0и)) - Уб0 • иа1уи - б0(а1уи)2; у(и • ь)и = а1у((и • ь)и) - (и • ъ)а1уи.

Применяя формулу интегрирования по частям для области П и учитывая краевые условия, найдем

22

Уи2^г + 2J 60(ж^^^^^жа, =

п Яь

= -2У У60Ш^и + 2J 61(ж,í)U2dжdí + 2J 62(ж,í)RUdжdí+

Яь Яь Яь

+2 J(UЬ3(ж, í))divUdжdí + 2J V(U1w)Udжdí+ (2.15)

Яь Яь

+2 J c(Ь4(ж,í)U)dжdí + ^(Ь5(ж,í)U)divUdжdí - ^(Ь6(ж, ¿^^^Шжа, <

Яь Яь

22

< А (divU)2 + ^ЦЩ2 + Dз||U||||c|| + D4|R||U| +

+D5||divU||||U|| + D6НVwННUН + D7||U||||w|| + D8||R||||divU||.

Проделывая то же самое для уравнения (2.11) и принимая во внимание уравнение (2.9) и равенства

d1Дw • w = div(d1 ^^ Vwiwi) - |Vw|2 - Vd1 ^^ Vwiwi;

г г

V(dU)w = div((dU)w) - (dU)divw; ((а • V)U)w = div(d(wU)) - (wU)divd - V(dw)U,

где d = d(ж,t), будем иметь

иа з

(ж,гт2аж + 2 / а1 (ж,¿Ww|2ажа, = —0w2dжdí- 2 У(а2)Ч V

J а0(ж,^2аж + 2 J а^ж^^ража, = J ^^ w2ажаí - ^у V(а:l)^ Vwiwiажаí+

П Яь Яь Яь 1

+2у а3 (ж,^2ажа, + ^У а2(ж,t)wuажаt + J d5(ж,t)cwdжdt+

Яь Яь Яь

+2 У d6(ж,í)divUwdжdí + ^(d7(ж,í) • V)w2ажаí - 2у^8(ж,,) • V)w)Uажаí.

Оценим снизу первое слагаемое в левой части этого равенства с учетом (2.13) и разделим все неравенство почленно на min{pd,pm}:

I w2 dx +--¡г-2-- l di(x,t)\vw\2dxdt <

J min{pd,pm}J

Q Qt

< £i||w||2 + E2\\U\\2 + £з|М|||Vw||+ (2.16)

+E4||w||\divU|| + E5|U||Vw| + E6||U||||w|| + £гИ|||с||. Уравнение (2.12) при

2((f0(x,t) • V)R)R = f0div(R2) = div(f0R2) - R2divf0

и следствия краевых условий f](x, t) • n = 0, где x £ дQ, а n — нормаль к поверхности st дает

J R2 dx < Fi||R||2+F2|U||R|+F3|w||R|+F4|Vw||R|+F5|VU||R|+F6 цеццщ. (2.17).

Q

Складывая (2.14)-(2.17), замечая, что ||divU|| ^ ||VU| и применяя неравенство Коши с "эпсилон", получим оценку

I c2(t)dx + I U2dx + 2 1 b0(x, t)(divU)2dxdt +---ß--7 / w2dx+

J J J min{pd, Pm} J

Q Q Qt Q

t t

+--—--^ I di(x,t)\Vw\2dxdt + / R2dx < e J ||VU||2dt+e2 ( ||Vw||2dt + N(ei,e2)Z(t).

min{Pd, Pm} J J J J

Qt Q 0 0

Выбирая ei,в2 так, чтобы выполнялись неравенства

2 min di ( x, t)

ei ^ 2minb0(x,t), e2 ^ —Qt-—,

Qt min{pd, Pm}

приходим к неравенству

dZ < N(ei,e2)Z(t), Z(0) = 0,

откуда и следует, что c = U = w = R = 0 для почти всех x £ Q, t £ (0,T].

Единственность для температуры в следует из единственности решения начально-краевой задачи для уравнения (2.5).

Замечание 2.1. Здесь, как и в задачах для вязкой несжимаемой жидкости, единственность для давления понимается с точностью до произвольного слагаемого, не зависящего от пространственных переменных. Таким образом, справедливо

Утверждение 2.1. Классическое 'решение задачи (1.1)-(1.7) единственно на всем интервале времени существования.

3. Построение оператора

Для доказательства локальной по времени разрешимости задачи (1.1)—(1.7) введем вспомогательную вектор-функцию И по формуле (2.1). И теперь будет играть роль обозначения, а не самостоятельной вектор-функции, как ранее для ЬУ0. Введем модифицированное со-леноидальное поле скоростей w в соответствии с формулами (2.2).

Для подлежащих определению функций с, 0,р, И, w получаем систему уравнений (2.3)— (2.7), которую можно записать в виде

с4 + с( 1 — + (И — F (с)У0)((1 — 2с)У0 + w) = 0, (3.1)

divw = 0, (3.2)

---- к(с)--А0 = СДс, У0, И, w), (3.3)

РаАас + РтАт(1 — с)

И — ((F(с)—-- 1--к'(с)У0 +(1 — 2с)У0 + ^ •УИ =

^ РаАас + ртАт (1 — с) ) /

= Н(с, И, w, (3.4)

(рас + рт(1 — + Уд — ^(1 + сЖ)Аw = С(с, И, Кж, 0Ж, w, wI, 0ЖЖ), (3.5)

где правые части Сх, С, Н представляют собой аналитические функции своих аргументов, а функция, стоящая под знаком градиента в левой части (2.5)' обозначена через д. Система (3.1)—(3.5) дополняется краевыми условиями

w = 0, У0 • п = 0 на 5т, (3.6)

являющимися следствиями краевых условий (1.6), и начальными условиями

с(х, 0) = с0, 0(х, 0) = 0О, И(х, 0) = Ус0(х) + LF(сО)У0О(х),

w(ж,í) = wо(x) = ^о(х) — сО(х)У0О(х), (3.7)

вытекающими из условий (1.7).

Построим оператор шаудеровского типа, неподвижная точка которого и даст решение задачи (3.1)—(3.7).

Рассмотрим некоторое замкнутое выпуклое множество Л функций (0, W, И, с), удовлетворяющих условиям (3.6), (3.7) (остальное будет уточнено позднее) в пространстве

я2+а'^ (дт) х (я (От)) х (я^^ (дт)) х я^ ^(дт),

где «1 = а + £, и таких, что нормы функций в соответствующих классах вместе с величиной ограничены некоторыми константами, которые будут уточнены позднее. Здесь и далее для пространств и норм используются обозначения [6]. Пусть (0, W, И, с) £ Л. Построим оператор Ф(0, W, И, с) = (0, w, И, с), решая последовательно серию линейных задач.

Первая — начально-краевая задача для уравнения параболического типа для определения 0:

Задача 1.

--, ■ , к(с) п—ттА0 = Сх(г, У0с, И, w),

раАас + ртАт(1 — с)

У0 • п = 0 на 5т,

0(х, 0) = 0О(х).

Лемма 3.1. Пусть Б € Н 3+а, во(ж) € Н3+а(П), (с, г, Л, с) € Л и выполнены условия согласования 1-го порядка. Тогда задача 1 имеет единственное 'решение в классе функций в € Н3+а'((т). Решение подчиняется неравенству

1<3+а) < С (|во|(3+а) + |С1 |(1+а)) .

Справедливость утверждения леммы 3.1 непосредственно следует из теоремы 5.2 гл.4 [6]. Вторая — начально-краевая задача для системы Стокса с переменными коэффициентами для определения функций w и ц с уже найденным в задаче 1 в: Задача 2.

(р^с + Рт(1 - с)^г + V - р(1 + сж)Дw = с(с, И, Их, вх, w, Wx, вхх),

divw = 0, w = 0 на дП,

w(ж, 0) = w0(ж).

Лемма 3.2. Пусть в — решение задачи 1, г0 € (Н^+а)3, (с, г, Л, с) € Л, и выполнены условия согласования

^УШо = 0, гио|ап = о, ^о - р(1 + соЖ)Дго = С(ж, 0),

где цо (ж) — решение следующей задачи Неймана:

<Иу ( _^_,^ = <Иу ^ Р(1 + Жсо) . Дго + ^ 0) ^

Р^со + Рт (1 - со )/ 1р^со + Рт (1 - со) Рй со + Рт(1 - со) У'

= р(1 + Жсо)(Дго • п) + С(ж, 0) • п, ж € дП,

дп

п — единичный вектор внешней нормали к дП. Тогда задача 2 имеет единственное решение г € Н2+а'1+а/2(дт), V € На'а/2((т). При этом

М(2+а) + < |го|(2+а) + |в|(а) + (С)^2).

Доказательство. Правые части С уравнений задачи 2 являются аналитическими функциями своих аргументов, из которых с, вх, W, вхх, И принадлежат классу Н1+а' 2 , величины (Дг,х)(а1с/Т) ограничены, а Wx принадлежат классу На1'~2г. Следовательно, С €

Н«>а/2 и (С)^1/2 ограничена. Коэффициенты системы Стокса р(ж,£) = рйс + рт(1 - с) и р(ж,£) = р(1 + Жс) принадлежат Н 1+а'(1+а)/2((т). Поэтому справедливость этой леммы следует из оценок [7] для системы Стокса с постоянными коэффициентами и разбиения области (т на конечное число подобластей, в каждой из которых колебания функции с достаточно малы ( аналогично [8], теорема 2.1 параграф 2 гл.111). Подробности можно найти в [9], лемма 2.3. □

Третья — задача Коши для уравнения 1-го порядка для нахождения функций И по уже найденным в w, именно: Задача 3.

Иг -(ÍF(с)^—---^(с^в + (1 - 2с)Vв + ^ • V И = Н(с, И, w, Wx, вх, вхх);

^ РйАйс + РтАт(1 - с) ) )

И(ж, 0) = Ио(ж).

Отметим, что коэффициенты при производных Л^^ функций Л^ по переменным жд в левой части последнего уравнения (обозначим их ад (ж, г),

а(ж,г) = (а1(ж, г), а2(ж,г), аз(ж, г)))

принадлежат Н 1+а,(1+а)/2(^т). Правые части Н также являются элементами пространства

Н 1+а,(1+а)/2(^).

Лемма 3.3. Пусть Я0(ж) € (Н 1+а)3(П). Тогда задача 3 имеет единственное решение Л(ж,г) € нХ+а,1г+а/2(дт). При этом справедливы оценки

|Д|§+а) < |Лг,0|^1+а)6ехр(2ТЫ§+а)) + Т(1-а)/2 • С + Т • С2,

(Ri,x/2 < СзТа-а1/2,

г^е константы Ci, C2, C3 зависят от норм известных функций R^ с, w,0 в соответствующих пространствах, а > а1/2.

Доказательство. Заметим, что векторное уравнение задачи 3 распадается на отдельные

dRi з dRi

уравнения для Ri и может быть записано в виде —---Ъ ®г (x,t)^— = H (x, t), г = 1, 2, 3,

dt г=1 dx;

a|sT = 0.

Принимая во внимание тот факт, что на границе рассматриваемой области a • n = 0, где n — нормаль к St, и решая эту задачу методом характеристик, получим:

t

Ri(x,t) = Ri,o(y(x, t, 0)) + ^ Hi(y(x,t,T), т )dr.

(3.8)

Здесь под знаком интеграла сохранено прежнее обозначение теперь уже для суперпозиции функций, а вектор-функция у(ж, г, т) является решением следующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

¿Г = a;(y(x,t,T), т), y;(x,t,t) = X;= 1, 2, 3.

(3.9)

Вследствие леммы 1.2 [9] эта система однозначно разрешима и ее решение является непрерывно дифференцируемыми функциями параметров ж, параметра г и переменной т. При этом

3 г

дуг г /'даг(у(ж,г,т),т) (ж,гт)

джд = ^ -^---^-^

dyfc

dx,

% = -«i(x,t) -¿

da;(y(x, t, т), т) öyfc(x,tT)

fc=i:

dyfc

dt

¿т

и справедливы оценки

^Mx^l < 3exp|2

dy(x, t, т)

dt

;,j=i / 3

dx,

|ax(x, т )|ndr

1/2

= (£ <|a(x,t)|gT exp (

a=i

|ax(x, т )|ndr

(3.10)

(3.11)

t

t

где |аж(ж, т)|п = вир |а(ж,т)|.

жеп

Кроме того, для

^;(ж,41,42,т) =

ду;(ж^ьт) ду;(ж, ¿2, т)

дж

5 дж"

t2

Е/ [ да; ду^ [ да; ду^

I I дУк • (ж',1'т)атдУк • (ж',2'т)ат,

к=1

где для определенности считаем ¿2 < ¿1, справедливо неравенство з t

£;(ж, ¿1, ¿2, т) ^ | /

й=1 т

да;(у(ж, ¿1, т), т) да;(у(ж^2,т),т) дуй(ж,4ьт)

дуй

дуй

дж"

ат

+

з tl д д з ^ д

+ У да; (у(ж,^2,т ),т) дж" (у(ж^2,т ),т) ат У д^а; (у(ж, ¿2, т ),т)2к (у(ж,41,42,т)

к = 1 t2 " к = 1 т

Принимая во внимание оценку (3.11), из которой следует, что

ат

ду^ (у(ж,*1,т ),т) - ^ (у(ж, ¿2, т ),т) < |а;|(1+а)|у(ж,*1 ,т ),т) - (у(ж,*2,т ),т )|а <

да; дуй '

< |а; |(1+а) - ¿2|а|а(ж, ¿)|ЯТ ехР ^ а также лемму 1.1[ 9], получим следующую оценку:

tl

^У |аж(ж,т)|па

|аж(ж, т )|па

т

^;(ж, ¿1, ¿2, т) < |*1 - ¿2Г^|а;|(1+а) ехр | х^1|а(ж,*)|Ят ехр^ а ^ |аж(ж,т )|п а т ^ + 1 - *2|1-а^ • ехр( ^ ||Л(ж,*2,т )||ат). (3.12)

Аналогично для

имеем оценку

г;(жьж2Лт) = ду;(жьг,т) - (ж2,4,т) дж" дж"

/ , Л ^ ^¡^| / да;(у(жь^т),т) да;(у(ж2Лт),т)\дуй(ж1 Лт)

Г;(ж1,ж2Лт) ^ 3Д-дук---дук-; дж" ат

з t д

+ У (у(ж2,т),т)гй(у(ж1,ж2,4,т)ат

й=1 т

+

откуда с учетом (3.10)

Г;(ж1, ж2, ¿, т) <

t

< tHQt+a)|xi - x2|a73exj a J |ax(x, т) |nd т J |y| • exp(^ ||A(x2,i,r )||dr). (3.13)

\ т ' т

В этих оценках

A,

^ (y(xi,t,r),т), ||A|| = sup \y~] A;pSpap

3

MQt = (y^sup |yfc|) < sup |x;| + T|qt•

\ = 1 Qt ' n

Следовательно, y(x,t, т) являются функциями класса

H 1+а по x и t и функцией класса H 1+а/2 по т. Таким образом, решение R(x,t) задачи 3 принадлежит пространству

H 1+a,(1+a)/2(QT ).

Получим требуемые оценки для R. В силу представления (3.8)

max |Rj| < max |Ri;o| + Tmax |Hj|.

Qt Qt Qt

(3.14)

Принимая во внимание оценки (3.10) и (3.11), получим

т

max

Qt

5Rj

dx,-

< v^

exp

|аж(х, т|ndT

У max

Vfc=1 Qt

5Rj

dxk

+ T У^ max

Qt

dHi

дхь

(3.15)

Далее, используя оценки (3.10), (3.13), получим

т

/dRi\a </dRo,iyv/3ex |

\ dxxj I x ^ \ dxj / x '

|аж(х, т)|ndT

+ TC.

(3.16)

Далее,

(Rj(x,t^t 2 < |t1 - t2|(1-a)/2l:

dy(x,t, 0)

dt

(max |Ro,x| + Tmax |Hx|)+

+ max |H| I < T(1-a)/2C.

(3.17)

Складывая неравенства (3.14)-(3.17), приходим к требуемой оценке для | Д^ | Займемся оценкой для (Дг,х,)"1/2.

+Е

k=1

|Ri,xj (x,t1) - Rjix3. (x,t2)|

dRoi

fc=1

dRoi , , ч dRoi , ,

—-(y(x,t1, 0) - —(y(x,t2, 0) dyfc dyfc

dx; (x,t1,0)

+

dyfc

■(y(x,t2,0)

ax;(x'f1'0) - ax;(x''20)

+ T.

k = 1

dHj . dHj ,

--(y(x,t1,i) - --(y(x,t2,i)

dyfc dyfc

i + \ щ (x,t1,?)

* +/E

fc=1

dHi ( ( t )

t2

dyfc ,

dyfc

~(x,t1,?) - dx"(x,t2,?)

(3.18)

— (x,t2,?К

fc=1

dyfc dx;

3

o

3

X

X

Принимая во внимание оценки (3.10)—(3.13), а также оценки лемм 3.1 и 3.2, имеем

&\<0)ь ехрГ I ^х^т ) I ехр( а I |^|х

ti / ti

|Ri,xj (x,ti) - Ri,Xj (x,t2)| < |Î1 - Î2|a|Rc|(1+a) ■ (V3|a|Qt exp(^ |a|œdr) lexp(aj |a|œdr) +

0 ^ 0 ti \ ti

+ |a|Q^ii|a|Qti exp(aj |a|œd^j + |ti - exp(J \\A\\dr) +

00 ti / ti

+ti|H |Q+ia|a|Qt^v/3ex^ |a|œdr) l|ti - t21 exp^J |a|œd^ +

00 ti

+ (ti|a|Qti exp(a| ^dr) |ti - t2r(|a|Qti )aJ ,

0

откуда и следует последняя оценка леммы 3.3. □

Наконец, последняя, четвертая, задача состоит в нахождении концентрации c по формуле

t

c(x,t) = co(x) - j ф(х,ç)dç, (3.19)

где

ф(х, t) = C(1 - c)divU + (R - F(c)U)((1 - 2C)U + w). Лемма 3.4. Пусть c0(x) G H2+a(Q). Тогда c(x,t), представленное формулой (3.19), при-

x, t

надлежит классу HX+a't1+(1+a)/2(QT). При этом справедлива оценка

/c/Q+a) < (Ico í£+a)(1 + (diam Q)1-a) + C4T + c5T(1-a)/2.

Для доказательства достаточно заметить, что подынтегральное выражение ф(х, t) в (3.19) принадлежит классу H 1+a,(1+a)/2(QT) и оценивается через нормы начальных функций и функций c, U, R, w в соответствующих пространствах.

4. Разрешимость задачи (3.1)-(3.7)

Локальное по времени существование решения вспомогательной задачи (3.1)—(3.7) доказывается на основе теоремы применения Тихонова-Шаудера к оператору Ф : (U, w, R, c) ^

(U, w, R, c).

Теорема (Тихонов-Шаудер [10]). Пусть Л— компактное замкнутое выпуклое множество банахова пространства B. Если оператор Ф отображает Л в Л непрерывно в норме B, то он имеет по крайней мере одну неподвижную точку в Л.

В качестве банахова пространства B будем рассматривать пространство

H2+e^(Qt.) x (H 1+e,^(Qt*))3 X (h 1+e,^(Qt*))3 X h 1+e'^(Qt*)

скалярных функций в, вектор-функций w, R и скалярных функций c, где в G (0, а). Положительная величина t* из промежутка (0, T] будет определена позднее. Норму в B определим как сумму норм всех скалярных компонент:

3 3

||в, w, R, c|| = | в | (2+e) + ¿ | Wi | (1+e) + ^ \Ег\ (1+e) + | c | (1+e).

i=1 i=1

Множество Л(г*) построим следующим образом: Л(£*) состоит из упорядоченных наборов 8 функций (0, И, с) из пространства

я2+а,^(^) х ^(д,))3 х (я^ ^(д,))3 х я^ ^(д,)

таких, что

0(х,0)= 0о(х) € Я3+а(П), |0|(2+а) < К = |0о!(3+а)(2+(а1аш 0)1-а); шДж, 0)= ™4,0(я) € Я2+а(П), К|(1+а1) < К2 = |ад01,|(2+а)(2+(а1аш П)1-а1); Дг(х, 0) = Д^оИ € Я 1+а(П), | Д | (1+а) < Кз = 7| Д^ | ^1+а); с(х, 0) = с0(х) € Я2+а(0), 2ё < с0(х) < 1 - 2ё,

|с|(1+а) < К = (|с0|^2+а)(2+(а1аш 0)1-а), ё < с(М) < 1 - 5.

Кроме того, начальные функции удовлетворяют условиям согласования из лемм 3.1 и 3.2. Построенное множество, как легко убедиться, является компактным замкнутым выпуклым подмножеством банахова пространства В.

Лемма 4.1. Оператор Ф отображает множество Л(4*) в себя при подходящем выборе . Доказательство. Используя лемму 3.1, получаем оценку

|0|§+а) ^ |00|(3+а)(1+^1аш П)1-а)+(г£1 )-с(|00|(3+а)+|С1|О1^,

которая позволяет выбрать ¿1 так, чтобы |0|(2+а) < К1. Аналогично, используя лемму 3.2, получим оценку

которая позволяет выбрать ¿2 так, чтобы |и>4|(1+а1) ^ К2.

Яь2

Первая оценка леммы 3.3 позволяет выбрать ¿з так, чтобы | Д^ |0|+а) ^ К3. Вторая

оценка леммы 3.3 дает (Дг,^/2 ^ 1 при £ < ¿4 для некоторого ¿4. Наконец, из леммы 3.4 следует, что при 4 < ¿5 | с| (1+а) ^ К5.

Итак, выбор = тт^, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5} завершает доказательство леммы 4.1. □

Лемма 4.2. Оператор Ф непрерывен в норме пространства В.

Для проверки непрерывности оператора в выбранной норме достаточно оценить

|0(1) - 0(2)|(2+в), к(1) - ш,(2)|(1+в), |Дг(1) - Д(2)|(1+в), |с(1) - с(2)|(1+в)

через

|^(1) - ¿(^м, |^г(1) - ч(2) |(1+в), | Д(1) - Д(2)|(1+в), |г(1) - г(2)|(1+в).

Оценки для | 0(1) - 0(2) | (2+в), | - | (1+в) вытекают из оценок лемм 3.1 и 3.2 соответственно, оценка для | с(1) - с(2) | (1+в) очевидна, а для получения оценки | Д(1) - Д(2) | (1+в) воспользуемся представлением (3.8). Тогда

t

(Д(1) - Д(2)) = Ri,o(y1(x,t, 0)) - Ri,c(y2(x,t, 0)) + J(Hi(y1(x,t,T),т) - Hi(y2(x,t,T),r)dr,

o

где yi, y2 определяются по формуле (3.9) с различными функциями в правой части дифференциального уравнения. Из последнего равенства требуемая оценка следует очевидным образом.

Применяя теорему Тихонова-Шаудера к оператору Ф на замкнутом выпуклом компактном подмножестве Л банахова пространства B и принимая во внимание тот факт, что гладкость функций, составляющих "неподвижную точку" оператора Ф, в силу уравнений системы фактически выше, чем определяемая пространством B, получим следующий результат.

Утверждение 4.1. Задача (3.1)-(3.7), в которой 25 < c0 < 1 — 25,

0о е H3+a(n), wo е (H2+ai(П))3, Ro е (H 1+а(П))3, co е H2+а(П)

и выполнены необходимые условия согласования, в частности, те, что указаны в лемме 3.2, имеет для достаточно малого t* е (0, T) решение

в е H3+a'^ (Qt*), w е (н2+а-^(Qt*))3, R е (н1+а-^ (Qt*))3, c е H2+a^ (QT),

5 < c < 1 - 5.

5. Основной результат

Для того чтобы сформулировать теорему существования и единственности решения основной задачи, восстановим скорости u и v по формулам (2.2), где U = LVe. Тогда из утверждений 2.1 и 4.1 следует

Теорема. Задача (1.1)-(1.7), в которой

eo е H3+a, uo е (H2+ai (П))3, vo е (H2+ai (П))3, co е H2+а(П), 25 < co < 1 - 25,

где 0 <а<а1 < 1, 5 — малое положительное число и выполнены необходимые условия согласования, имеет для достаточно малого t* е (0, T) решение

в е H3а'^ (Qt*), c е H2+а'(Qt*), „ е (H2+a^ (Qt*))3, v е (H2+a(Qt*))3,

такое, что 5<c< 1 - 5 в Qt*.

Классическое решение задачи (1.1)-(1.7) единственно на всем интервале времени существования.

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы"(2009-2010 гг.), №2.2.2.4/4278 и Федеральной целевой программы "Научно-педагогические кадры инновационной России госконтракт №14.740.11.0355.

Список литературы

[1] V.V.Pukhnachov, O.V.Voinov, Mathematical model of motion of emulsion under effect of thermocapillary forces and microacceleration, Abstracts of Ninth European Symposium on Gravity Dependent Phenomena in Phisical Sciences, Berlin, 1995, 32-33.

[2] V.V.Pukhnachov, O.V.Voinov, A.G.Petrova, E.N.Zhuravleva, O.A.Gudz, Dynamics, stability and solidification of emulsion under the action of thermocapillary forces and microacceleration, Interfacial Fluid Dynamics and Transport Processes, Lecture Notes on Physics, Springer, 2003, 325-354.

[3] А.Г.Петрова, Задача непротекания для одномерного движения эмульсии, СибЖим., X(2007), 3(31), 128-136.

[4] А.Г.Петрова, О начально-краевой задаче для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил, СибЖим, XII(2009), №2(38), 61-70.

[5] А.И.Вольперт, А.И.Худяев, О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений, Мат. сб., 87(1972), №4, 27-37.

[6] О.А.Ладыженская, В.А.Солонников, Н.Н.Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., 1967.

[7] В.А.Солонников, О дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса, Тр. МИАН СССР, 73(1964), 221-291.

[8] С.Н.Антонцев, А.В.Кажихов, В.Н.Монахов, Краевые задачи механики неоднородных жидкостей, Новосибирск, 1983.

[9] О.А.Ладыженская, В.А. Солонников, Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей, Записки научного семинара ЛОМИ АН СССР, 52(1975), 52-109.

[10] Н.Данфорд, Дж.Т.Шварц, Линейные операторы. Общая теория, М., 1962.

On the Initial-Boundary Problem for Thermocapillary Motion of an Emulsion in Space

Anna G. Petrova

The paper is devoted to the study of the initial-boundary problem for thermocapillary motion of an emulsion in closed bounded domain with sufficiently smooth boundary in the absence of gravity. With the use of Tikhonov-Shauder fixed point theorem the local in time solvability to the problem with zero mean volume velocity of the mixture and zero heat flux on the boundary is proved..

Keywords: thermocapillary motion, emulsion, initial-boundary problem, existence and uniqueness of solution.