О существовании стационарных решений уравнений смеси вязких сжимаемых жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О СУЩЕСТВОВАНИИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ СМЕСИ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ Д. А. Прокудин, Н. А. Кучер

В статье представлен результат о существовании ренормализованных решений первой краевой задачи для системы уравнений, описывающих стационарное движение двухкомпонентной смеси вязких сжимаемых жидкостей для всех значений показателя адиабаты из интервала (3, +то) .

Рассматривается задача об установившемся ба-ротропном движении двухкомпонентной смеси вязких сжимаемых жидкостей без учета химических реакций в ограниченном объеме Асй5 евклидова пространства точек x = ( x1, x2, x3) с границей дО

класса C2. В замыкании О области О требуется найти плотности р : О ^ R+ и поля скоростей

U^ : О ^ R3,1 = 1,2 составляющих смеси, удовлетворяющие следующим уравнениям [1], [2]:

div

= 0 Q, = 1,2,.

1)

2 / • \

^L'ju(Л +div (р г\(,) i')) + 'pi

j =1

(1)

(2)

1 (') = I в

г'

pf Q, = 1,2,

в которых операторы

Ltj = -jU^ A-(AV + jU'j) Vdiv, i, і = і, 2 удовлетворя-

ют условию.

2

ї(і і')

• й•dx > C„

Xj|vV(,)| dx,

(*)

которые означают, что граница области течения является неподвижной твердой стенкой. В стационарном случае уравнения и краевые условия не определяют течение единственным образом. Поэтому к уравнениям и граничным условиям необходимо добавить условия нормировки. Мы будем искать решение, удовлетворяющее дополнительным соотношениям:

(4)

V р dx = M > 0,' = і, 2.

где М - заданная постоянная. Условимся в дальнейшем для краткости задачу (1)-(4) называть задачей Р .

Отметим, что условие (*) обеспечивает выполнение основной энергетической оценки для системы уравнений (1)-(2). Действительно, формально умножая обе части (2) скалярно на и ^, I = 1,2, используя формулу интегрирования по частям, уравнения (1) и граничные условия (3), получим энергетическое неравенство:

C0 IJ|Vh

'1 Q

('

dx + a

Vu

dx. (5)

ZK

i.J = ! Q ' =! Q

C0 = const > 0.

Мы будем предполагать, что давление Pi = PY, i = 1,2 , где у > 1 - показатель адиабаты, а интенсивность обмена импульсом между состав-

?(i) I !У+1 (~ (2) - (1)\ ■ 1

ляющими смеси I =(-1) alu - и I, I = 1,2,

где a > 0 - заданная постоянная. Массовые силы

—(1) —(2)

f и f считаются непрерывными векторными полями. Уравнения (1) и (2) должны быть дополнены краевыми условиями. Простейшими являются условия прилипания:

иНа = 0 i dQ, = 1,2, (3)

Ах ^\р1‘

О '=1 £2

В настоящее время фактически нет результатов, касающихся математической теории разрешимости уравнений (1) - (2) в случае двух и более пространственных переменных. Имеются лишь результаты относительно отдельных частных случаев. Так, в работе [3] доказано существование слабого обобщенного решения задачи Коши в Я3 для уравнений (1) - (2) в случае отсутствия конвективного переноса. В [4] получен результат о единственности слабых решений этой задачи Коши при предположении, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами смеси и конвективный перенос, равны нулю. В [5] доказано существование слабого решения рассматриваемых здесь уравнений в ограниченной области евклидова пространства при условии, что в уравнениях (2) отсутствуют конвективные слагаемые, а дав-

p> = Pi

, ' = і, 2

. В работе [6] рассматривалась

1) Здесь и далее никакого суммирования по повторным индексам не производится, если не оговорено противное.

2) Условие (*), в терминах коэффициентов вязкости Л и

/ , эквивалентно следующему условию:

/1 > 0, /22 > 0, 2/ + Л1 > 0, 2/22 + Л2 > 0,

4/11/22 -(/2 +/21 )2 > 0 4 ( 2/11 + Л1 )( 2/22 + Л2 ) - ( 2/12 + Л2 + 2/21 + Л21 ^ > 0.

ление

квази-стационарная задача в ограниченной области, но со специальными граничными условиями, оправданными только с математической точки зрения.

В данной статье мы представим теорему существования слабого обобщенного решения задачи Р для всех значений показателя адиабаты из интервала (3, +то) .

В дальнейшем будут использоваться обычные обозначения Ьр (ж1,р) для пространств функций интегрируемых со степенью р > 1 (вместе с обобщенными производными до порядка I > 0). Через С1 (о) (С0 (о) ) обозначим банахово пространство I раз непрерывно дифференцируемых функций (об-

1б

ращающихся в нуль на 5° X I > 0 . Обозначения фМ е С0° (О), , = 1,2 выполняются интегральные

пространств для векторных функций будем использовать такие же, как и для скалярных функций, а принадлежность и е X будем понимать как

и1 е X, , = 1,..., п, и = ( м1,..., ип ) .

Определение слабого решения уравнений (1) - (2) несколько отличается от стандартного определения обобщенного решения для уравнений математической физики, что обусловлено спецификой уравнений (1) (см. [7], [8]). Прежде всего заметим, что для любых непрерывно дифференцируемых функций

а : R ^ R, г = 1,2

каждые гладкие решения уравнений (1) удовлетворяют уравнениям:

Лу (б,, (р ) и(,))

(6)

+ (е,; (р ) р - (р)) Ліу и(,) = 0' = 1 2,

которые называются ренормализованной формой уравнений (1), а процедура перехода от (1) к беско-

тождества:

V V иV : \/ф1'Г) Сх + /л, V V и V : \/ф1'Г) Сх -

О О

+ (Лп + / , )VСу и: Су ф(,)Сх +

О

+ (Л2 + ) / 2гу и(2) : Су ф(,)Сх —

О

—V р иV) ® иV} : Сх = | р] сПуф'^<Сх

° °

+р (I(г + р ./(^) • ф(,) Сх, , = 1,2.

О

Основной результат настоящей работы формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Для любых

+

име-

/(,)Є С (О), і = 1,2, у > 3 краевая задача Р ет, по крайней мере, одно обобщенное решение.

Кратко охарактеризуем основные этапы доказа-

нечной системе уравнений вида (6) называется ре- тельства этого утверждения. Обобщенное решение

нормализацией. функции р, г = ]_,2, удовлетво- задачи Р будет получено как предел обобщенных

ряющие этой системе, называются ренормализован- решений следующей регуляризованной краевой за-

ным решением уравнений (1).

Определение 1. Обобщенным решением краевой

задачи Р называются неотрицательные функции р е Ц (О), , = 1,2 и векторные поля

и (,) е Ж01,2 (О), г = 1,2, удовлетворяющие следующим условиям:

(А1) V р Сх = М , ррл(,) е Ц (°) , р, (р ) е Ь\ос (°),

О

р \и(,) |2 е Цос (О), г = 1,2.

(А2) для любых дифференцируемых функций 01 с ограниченными производными 01 е С (R),, = 1,2 и произвольных функций ц/1 е С1 (О),, = 1,2 выполняются интегральные тождества:

(р)и(,) •у^, +

дачи:

єр® + йіу (р® ) - єАрЄ

= єМ О, = 1,2, О

(7)

Є є - (і) Є М - (і) 1 Л - (')

— Р' и є +—1------Г и є + — р, іи є -V

2 ' 2 Ю 2 ' V /

1 Л- ( є — (0 — (і А

+— Л V (риє ® иє ) + / ,

2 ^ ' і=1

Г - (Л Ь у и є +

(8)

+Удв = їі \ + рє /(і ) О, = 1,2,

и%= 0, Урє- п = 0 дО, = 1,2, (9)

которую условимся называть задачей Рє. Здесь

V - (>) / ,ч;+1 /-(2) - (1)'

I "=(-

/ іУ'+1 /-(2) - (!)\ (-1) аіиє - иє І.

і = 1,2 ,

І

+ (Сі (Р ) - с\ (Р ) Рі ) Ліу и (,)Уі

Лх = 0, і = 1,2;

|°= meas(О), ее (0,1], П - вектор единичной внешней нормали к О . Энергетическое неравенство для краевой задачи Ре имеет вид:

(А3) для любых векторных полей є ґ є -2 і є М г - 00 2 л „ г

2 Рі иє Лх + 2 иє +С0

/=1 О

/=1 О

/=1 О

Уи

(і)

Лх + є-

Е|(р')'Лх +єгЕ|(р,')'-2 |Ур

/ 1 і=1 О і=1 О

Лх +

+а

-(і) ~(2)

иє - иє

Лх < є

М у

т П(РҐ лх +ІІРЄ7(0-

1 і=1 О і=1 О

.(0 ^(0 , и® ах.

(10)

име-

/(і) є С (О) ,і= 1,2, у > 3 краевая задача Рє ет, по крайней мере, одно сильное обобщенное ре-

|°|г-1 ,=1 ° ,=1 О

Определение 2. Сильным обобщенным решением краевой задачи Ре называются неотрицательные функции ре е Ж2,4 (О), д < го,, = 1,2 и вектор- шение.

- (,) 2 Доказательство теоремы 2 проводится следую-

ные поля ие еЖ ,ч (о) , д <го, , = 1,2 такие, что щим образом. Сначала, на основе энергетического

уравнения (6) - (7) выполнены п.в. в О и п.в. на 50 неравенства (10) и результатов о регулярности ре- краевые условия (8). шений эллиптических дифференциальных уравне-

Имеет место следующее утверждение. ний выводятся априорные оценки для решений за-

Теорема 2. Для любых

+

дачи Ре: , +

е \у' ш ■ч (°)

*(,)

Жг-ч (О)

< К для всех ч < го .

г = 1,2, (11)

где постоянная К зависит только от

е, С

/

(0

С (°)

Л , а, г = 1,2, т', 1° и М . Затем,

с помощью полученных априорных оценок и теоремы Лере-Шаудера о неподвижной точке ([9], теорема 11.6) доказывается существование сильных решений задачи Ре.

Следующим этапом доказательства теоремы 1 является получение априорных оценок для решений задачи Ре, не зависящих от параметра е. Заметим, что каждое сильное обобщенное решение ре,ие, г = 1,2 задачи Ре удовлетворяет условиям: (В1) для любых функций ц е С0го (О), г = 1,2

выполняются интегральные тождества:

(г)

ер ц'/1 Сх - V ре ив •Уц Сх +

+^Р У ре • У Ц Сх = V ц Сх, г = 1,2;

ф(,) е С0го (о) , г = 1,2 тождества:

— \ре и:? • ()Сх + — т— V «е* •ф(г*Сх +

9 •* 9 О

+ — 2

+Аа|Уо!1 :Уф(1)сх + д2 V'^Us) :'У+‘)сх

2 |° ° ие •ф^)Сх +

(2)

+ (Л +^1)|Сгуигг :<^^уф+^Сх+(Л2 + А2)\С1уие '.Сеф-ск

О О

-1Vр м« ) ® о() :Уф0)Сх =

2 О = V (р—)Г Сгуфф Сх + V (/( ) + ре / )) • ф(,) Сх, I = 1,2.

О О

Условие (В2) эквивалентно тождествам:

(В2’)

е|р— иV* V-Сх ++- ]"(еУр— •У)ы—'1 •ф|^,)++ +

О 2 О

+1V еУре. ®и+е : У ф+(г)Сх +

2О

+АЛ | УV : Уф(,)С+ + а,+1Уо() : Уф(,)С+ +

О О

+ ( Л 1 + А- 1 К С'у п — : С'у ф( г) Сх +

О

+ ( Л.,. 2 + А 2 С,у ие) : С,у ф(г) Сх -

-|ре ие} ® и:Уф(г )Сх = |(р—)Г Сгуф-')Сх +

а а

+У (I е + ре _/’*))• (+(г) Сх, г = 1,2.

О

Возьмем в качестве пробных функций (+(г), г = 1,2 в условии (В2) такие, что

Сгу ф+Й1 = (ре )Г -юО V(ре )Гсх ° (+(,) =

(12)

= 0 на 50, i = 1,2

и получим, используя свойства решений задач (12) (см. [10]) и энергетическое неравенство (10), что при

'(г-:

< С, г = 1,2,

ж01,2 (°)

(13)

где постоянная С зависит только от

С

/

.(О

с (°)

, Л, А, г = 1,2, т', 1° и М . Благодаря

°|

(В2) для любых векторных полей

выполняются интегральные

априорным оценкам (13), мы можем извлечь подпоследовательности, снова обозначенные как

ре, ш , г = 1,2 такие, что при у > 3 и ел 0:

ре л р слабо в 1}у (О), /' = 1,2,

и(>слабо> в Ж $’2 (О), = 1,2 (14)

и, по теореме вложения С. Л. Соболева: иесильмо вЬ (О), iе [1,6), = 1,2. (15)

Кроме того, из (10) следует (см. [11]), что:

ере л 0 сильно в Ь (О) при ел 0, i = 1,2. (16)

Переходя к пределу по выбранным подпоследовательностям в интегральных тождествах (В1), (В2’) при ел0 получим, что предельные функции

р е (О), р > 0, о * ) е Ж01,2 (О), г = 1,2 при ^ > 3

удовлетворяют в слабом смысле системе уравнений:

Сгу (ри(г^) = 0 О, = 1,2, (17)

2 / \

^ Ц'О’) + С'у (р г?(г) ® г?(г)) + Ур, =

;=1

+■ (г') —* (/)

= I в +р / О, = 1,2,

где

(ре'р л ррлабо в Ь 2 (°при ел 0^ = 1,2. (19)

Таким образом, чтобы завершить доказательство теоремы 1, мы должны показать, что верна формула:

р =(ру , г = 1,2. (20)

Для этого мы используем технику, развитую в [7], [8] для классической модели Навье-Стокса. Введем в рассмотрение величины

р1 - (Л + 2 Ап ) С'у о( * - (Л2 + 2 а2 ) С'у и' ), г = 1,2, которые называются эффективным вязким потоком для -ой составляющей смеси. В случае классической модели Навье-Стокса было показано, что эффективный вязкий поток обладает многими замечательными свойствами (см. [7], [8], [11]), наиболее

(18)

важным из которых является коммутативное соотношение для слабых пределов решений уравнений Навье-Стокса. Справедливо следующее утверждение.

+(г)

Лемма 1. Пусть р—, о— , г = 1,2 - последова-

^\Р

Ь

pt -(Лд +2//д)divu' * -(Л.2 + 2//i2)divu' *

r dx,

(22)

VreC0”(Q), i, j = 1,2.

(i)

Далее, из (17) (продолжая нулем p, u , i = 1,2

тельность решений задачи Ре, существование ко- в Я3 \ Q) следует, что (см. [7], лемма 3.3):

(i)

торых гарантируется теоремой 2, и пусть p, и и pi, i = 1,2 - их пределы в (14) и (19) соответст венно.

Тогда, при у > 3 и ел 0:

div (S^ft ]и°) = rh 3, = 1,2, (23)

где Sh [v] - стандартный сглаживающий оператор,

rh = div

iv (Sh [p ]u(')) - Sh div (p. и('))

л 0

при

(1

*(2

P * • pe-divие pp -divue pi

т dx-

(1

*)

Q

где

A =

P p•p -divи p1 -divи p2

Л1 + 2Mn Л2 + 2И.2

Лц + 2Ац Л22 + 2 Ии

r2dx VreCp(Q),

(21)

=p (pe)=

vr

№

p^'=(рv,р—). р=1 р I. рр)■

Заключение леммы 1 есть очевидное следствие следующей леммы, доказательство которой проводится аналогично доказательству соответствующего утверждения для случая классической модели На-вье-Стокса (см., например, [7], лемма 3.2):

Лемма 2. Пусть р—, о^, г = 1,2 - последова-

Н л 0 в Ц (я3), г = 1,2 (см. [12], лемма 2.3). Теперь умножим (23) на О! (8Н [р ]), г = 1,2 , где функции 01, г = 1,2 удовлетворяют всем условиям, наложенным на них в (А2) и перейдем к пределу в полученных выражениях при Н л 0. Получим, что функции +(>)

р , о , г = 1,2 удовлетворяют условию (А2). Более того, в качестве функций О1 (р) можно взять р 1п р и получить из (А2), что

г —* S)

\ p div и dx = 0, i = 1,2.

(24)

С другой стороны, из (7) следует, что (см. [7], раздел 3.5):

j ppdiv updx < eC, i = 1,2.

(25)

Возьмем неубывающую последовательность

тельность решений задачи Ре, существование ко- функций т таКую Что re C ” (Q) Т л 1 При

торых гарантируется теоремой 2, и пусть p, и

W

п л го , 0 < г < 1. Объединяя заключение леммы 1,

и pt, i = 1,2 - их пределы в (14) и (19) соответст- (24) и (25) мы получаем:

венно.

Тогда, при у > 3 и ел 0

(1)

j pp (p)Y -(Л +2Ия) divUe - (Лг2 + 2И2 ) div

*)

r dx -

lim j A 1 pe • pe dx < limlim j A 1 pe • peT< dx < limlim j r^ (A 1 -e • pe - div и* pp - din* * pp ) 2х +

гл0

Q

плго глО 0 Q

плго s-

+ limlim Ad p1 div Us) d1 + limlim j p2 div и ,2 dx 2 lim I" r< (d 1 p-p - divii^ p1 - di1и )p2) 2x +

плго елО 0 ^лсо ел0 0 ялсо J < /

+ lim j" pp divu S) dx + lim J pp divu I"1 dx <J A 'p -pdx - j" p1divu U dx-j"p2 divu ) dx = j" 2 'p • pdx, i = 1,2.

*(2)

(1)

*(2)

Таким образом, мы доказали, что Иш V Л-1 ре •рСх < V Л-1 р • рСх, г = 1,2.

ел0 •* •*

О О

Для завершения доказательства формулы (20) воспользуемся свойством монотонности оператора Л-1 р, получим:

j(Ap(pe)-p(^))(pe -^)dx^^i

Q

откуда следует, что

j (2p -2p (p))(p - p) dx > 0, i = 1,2.

= 1,2,

Выбирая p = p + n^, i = 1,2, n л 0, ц/ -

(26) произвольно, приходим к желаемому равенству (20).

Литература

1. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao // Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences. - River Edge , 1995. -Vol. 35.

2. Haupt, P. Continuum mechanics theory of materials / P. Haupt. - Advanced Texts in Physics. - Berlin, 2002.

□

|| Вестник КемГУ

3. Frehse, J. A Stokes-like system for mixtures / J. Frehse, S. Goj, J. Malek // Nonlinear Problems in Mathematical physics and Related Topics II. International Mathematical Series. - London, 2002.

4. Frehse, J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum / J. Frehse, S. Goj, J. Malek // Appl. Math. - 2005.

5. Goj, S. Analysis for mixtures of fluids / S. Goj // Dissertation. - Universitat Bonn, Math. Inst., 2005. -http ://bib. math.uni-bonn. de/pdf2/BMS-375.pdf.

6. Frehse, J. On quasi-stationary compressible miscible mixtures / J. Frehse, W. Weigant // Manuscript.

- 2004.

7. Feireisl, E. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations / E. Feireisl, A. Novotny, H. Petzeltova // Math. Fluid Mech. - 2001.

8. Плотников, П. И. Стационарные решения уравнений Навье-Стокса для двухатомных газов / П. И. Плотников, Ж. Соколовски // Успехи математических наук. - 2007. - Т. 62.

9. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. - М.: Наука, 1989.

10. Боговский, М. Е. О решении некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad / М. Е. Боговский // Труды семинара С. Л. Соболева. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. - 1980. - Т. 1.

11. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics: Compressible Models / P.-L. Lions. - Oxford University Press. - New York, 1998. - Vol. 2.

12. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics: Incompressible Models / P.-L. Lions. - Oxford University Press. - New York, 1996. - Vol. 1.

13. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева - М.: Наука, 1964.

14. Соболев, С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций / С. Л. Соболев. - М.: Наука, 1989.