Разрешимость многомерных уравнений баротропного стационарного движения бинарной смеси Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

РАЗРЕШИМОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ БАРОТРОПНОГО СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ

О. В. Малышенко, А. Е. Мамонтов, Д. А. Прокудин

SOLVABILITY OF MULTIDIMENSIONAL EQUATIONS OF A BINARY MIXTURE BAROTROPIC STEADY FLOW

O. V. Malyshenko, A. E. Mamontov, D. A. Prokudin

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-0100447).

Рассматриваются уравнения, описывающие трехмерные стационарные баротропные движения бинарных смесей вязких сжимаемых жидкостей с различными показателями адиабаты компонент. Доказана теорема существования для краевой задачи, соответствующей течениям в ограниченной области, в классе слабых обобщенных решений. Приводится обобщение коммуникативного свойства эффективных вязких потоков составляющих смеси.

The equations of three-dimensional steady barotropic motions of binary mixtures of viscous compressible fluids with different adiabatic constants are considered. Existence theorem for the boundary value problem that corresponds to flows in a bounded domain is proved within the class of weak solutions. Generalization of communicative property of effective viscous fluxes for mixtures is given.

Ключевые слова: краевая задача, динамика смесей, уравнения Навье-Стокса, слабые решения.

Keywords: boundary value problem, dynamics of mixtures, Navier-Stokes equations, weak solutions.

В данной работе рассматривается математическая модель динамики бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей (газов), которая основана на подходе предложенном в [1, 2] и является обобщением известной модели Навье-Стокса. Нелокальные результаты для многомерных уравнений стационарных баро-тропных течений смесей получены на сегодняшний день в случае, когда показатели адиабаты составляющих смеси одинаковы [3, с. 32 - 38]. Модифицируя подходы, используемые в [3] при получении «глобальных» (не зависящих от входных данных задачи) априорных оценок, удается установить свойство слабой компактности последовательности приближенных решений для более полной ситемы уравнений динамики смеси, в случае, когда показатели адиабаты могут быть различными и доказать теорему существования для краевой задачи, соответствующей стационарным течениям в ограниченной области, в классе слабых обобщенных решений. Более простые модели (в приближении Стокса и квази-стационарные модели) с позиции существования решений изучены в более ранних работах [4, с. 1259 -1281; 5, с. 527 - 541; 6, с. 319 - 345]. Методология, применяемая в данной работе, основана на опыте исследований уравнений Навье-Стокса сжимаемых вязких жидкостей [7 - 11]. В частности, существенное значение имеет использование аналогов так называемого эффективного вязкого давления [7; 12, с. 358 -392], для которых удается доказать обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов.

1. Постановка задачи и основной результат

Предполагается, что бинарная смесь вязких сжимаемых жидкостей (газов) заполняет ограниченную область О с Я3 евклидова пространства точек х = (Х1, х2, х3) с границей дО е С2 , и состояние смеси в изотермическом случае характеризуется

распределением плотностей р (x), давлений рг (x) и полями скоростей u(l)( х) ее составляющих (г = 1,2). Эти величины удовлетворяют следующим уравнениям [1 - 2]:

Фгу(ри(-г) = 0 в О, г = 1,2, (1.1а)

и() ® и()')+Ур1 = divР(г) + 3(г) + р/(г)

в О, г = 1,2. (1.1Ь)

Уравнения (1.1а) выражают законы сохранения масс компонент смеси, а уравнения (1.1Ь) - законы сохранения импульсов. Тензоры вязких напряжений Р(г), г = 1,2 определяются равенствами [1 - 2]:

2

Р(г) = ^ (2 цг]В(и( ])) + Хг] div и(])!), г = 1,2, (1.1с)

]=1

В(и) = 2((у ® и)+ (V ® и)Т ),

в которых на коэффициенты вязкости Цу , Х] , г, 1 = 1,2 налагаются следующие ограничения:

Н\\ > 0, 4И\\И22 — (М\2 +^21) > 0,

Уи > 0, У-[2 = 0, 4^11^22 — (^12 +^21) > 0, (11Ф)

V =Х +2^], и 1 = 1,2

Предполагается, что давление р1 г -й

составляющей смеси и векторы 3(г) , г = 1,2 , отражающие интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси, выражаются посредством формул [2]:

Рг = Кгр[‘, Кг > 0, г, > 1, г = 1,2, , )

(1.1е)

3(г) = (-1)г+1 а(и(2) - и(1)), а > 0, г = 1,2.

Массовые силы /(г), г = 1,2 считаются заданными гладкими векторными полями, а величины Х,., н.

, Уг , Кг , а - заданными константами. Уравнения (1.1а), (1.1Ь) дополним краевыми условиями

(1.1)

/О -

= 0 на дЛ, і = 1,2,

"Л =1п

і=1 П

где

выполняются интегральные тождества:

которые означают, что граница области течения является неподвижной твердой стенкой. К уравнениям и граничным условиям необходимо добавить условия для плотностей, в качестве которых примем

Р ах = М1, г = 1,2, (1.1е)

О

где Мг - заданные положительные постоянные. Отметим, что из (1.1Ф) следует неравенство (для любых векторных полей и(,) е (О), исчезающих на дО)

Iи°] ■и(г) ах > С0 I|Уи(г'1 2dx, (1.2)

ГНц |(V ® и(1)) : (V ® ф(і)) ах +

Е П

1=і + (Ау + Нц )и(1 )div ф(1) ах V п

-|(Р"и(') ® и(')) : (V ® ф(')) ах =

П

= Кі ^рр div ф('* ах +

П

+|(з(') + рі/('))■ ф(') ах, ' = 1,2.

П

Основной результат работы формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1.2. Для любых /(') є С(П) , уі > 3 , і = 1,2 краевая задача (1.1) имеет по крайней мере одно обобщенное решение.

Обобщенное решение задачи (1.1) будет получено как предел однопараметрического (с параметром є є (0,1] ) семейства решений следующей вспомогательной задачи:

-єДр + div(р и(і)) + єр' =є^Пі_ в П, і = 1,2, (1.3а)

ІПІ

( р. и (") ® и(')) + —Р- и(') + — М^~ и ('■) +

2 ' 2 ' 2 | П |

+ 2 р. (и(") ■ V) и(") + V рі = div Р(") + З(") + р' /(") в П, і = 1,2, (1.3Ь)

и(і) = 0 на дЛ, і = 1,2, (1.3с)

Vр. ■ п = 0 на дЛ, і = 1,2, (1.3d)

\р,ах = Мі, і = 1,2, (1.3е)

Л

где | Л |= шеа8(П) , п - вектор единичной внешней нормали к границе дП области П .

2. Существование сильного обобщенного решения задачи (1.3)

Определение 2.1. Сильным обобщенным решением задачи (1.3) называются неотрицательные

функции р— , і = 1,2 и векторные поля и—, і = 1,2 ,

принадлежащие пространству Wq (Л) , q є [1,+ж>)

такие, что уравнения (1.3а), (1.3Ь) выполнены п.в. в Л, п. в. на дЛ - краевые условия (1.3с), (1^), и выполнено (1.3е).

Теорема 2.2. Пусть вектор-функции /(і), і = 1,2, показатели у і , і = 1,2 удовлетворяют условиям теоремы 1.1. Тогда для любого є є (0,1] краевая задача (1.3) имеет по крайней мере одно сильное обобщенное решение р— , и—, і = 1,2, причем всякое решение этой задачи удовлетворяет неравенству

2 Г ^

< C, (2.1)

Mi

ФгёР(г > = - I Ь. и( , . . 1 2

^ ] г, 1 = 1, 2,

.=1 ^

Ь] = -Н] а - (Х. + Н,)у div, а С0 > 0 - постоянная (зависящая от Х.. и н. ).

В работе используются общепринятые (например, [13-14]) обозначения функциональных пространств:

Ьр (О) (Ш Р (О)) - пространство функций, интегрируемых со степенью р > 1 (вместе с обобщенными производными до порядка I > 0). С1 (О) (С0 (О)) -

банахово пространство функций, обладающих

непрерывными частными производными до порядка I > 0 включительно в О (с компактными носителями, лежащими в О). Мы не различаем обозначения пространств вектор-функций и скалярных функций.

Определение 1.1. Обобщенным решением краевой задачи (1.1) называются неотрицательные

функции р е Ь2у (О), ^ргсХ = М{, 1 = 1,2 и вектор-

О

ные поля и(() е Ш2'(О) , г = 1,2 , удовлетворяющие следующим условиям:

1) для любых дифференцируемых функций Ог с

ограниченными производными 'е С(М), г = 1,2 и

произвольных функций е С '(О), г = 1,2 выполня-

ются интегральные тождества:

|((р( ((р)-(р)р)^. div«(i))ск = 0,

О

г = 1,2;

2) для любых векторных полей ф(г) е С™ (О), г = 1,2 I

+||и—)||.1 +\\eVP—\І^.яП

где положительная величина С зависит только от

НИЦ)} • (ни }■ Ь }. {к, }■ а,

{м, } (а значит не зависит от параметра е).

і=1

Условимся, что далее через С будут обозначаться различные постоянные, которые могут зависеть только от перечисленных выше данных задачи (но не зависят от параметра є).

Доказательство существования сильного решения задачи (1.3) проводится с помощью принципа неподвижной точки Лере-Шаудера [15, с. 258] аналогично доказательству подобного утверждения в работе [3, с. 32 - 38] и отличается лишь техническими деталями. Покажем, что имеет место оценка (2.1). Умножая обе части уравнений (1.3Ь) скалярно на и(і), і = 1,2 и интегрируя по частям, получим после суммирования по і от 1 до 2 неравенство:

СЕ/ГV®«(0 |2 ах+—Е/р |Н« |2ах+

Е м,/|«‘>|’ ах/р

і=1 П '=! У' 1П

2|П|

ах+

П

+єЕкгі/рґ | VРi |2 ах+а/и(1) - и(2) |2 ах <

і і : ~а1 и - и

'=1 П п

2 V \ л 2

■ V КМ'Г' Г р-1

:|П|

Е ^/р-1ах+Е/р/(і) ■ и<і)ах.

і=1 Уі 1 П '=1 П

получаем из (2.3) оценку

2 2 ,(') II2

2Г.

где g є і2(П): /gdX = 0 ;

П

2) имеет место оценка

И g ] <С

^(Л) “ 11<51^2(Л)'

где gi = рр --Л-/р аx, ' =12.

| Л

' Л

Используя свойство (2.6), получим неравенство:

ЕІЫГ (п) < СЕ|\р.С

2у,-3 2у,-1 1^2Л (П)

+С

Е 1«

і=1

(і)

Ер

(2.7)

+С

W21( П) у

А

(1)

с Ер II

+ С.

Из (2.5), (2.7) вытекает соотношение:

Iі 2 г, ( П )

<

< С

(2.2)

+ С

Е ||р

і=1

2

Е 1|р

і=1

2 Г і А

II 3 (2 г і-1)

і Ні2г, (П )

2 Г , \

(2.8)

||3 (2г -і)

і Ні 2 г ( П )

+ С.

Из этого соотношения в свою очередь следует,

что

В силу ограниченности вложения Ш (О) в Ь6(О) из (2.2) следует оценка

1|| и (г)||2„ < С 1||р,||Ь 6(о ) + С . (2.3)

7=1 Ш1(°) 7=1 -5

Используя неравенства (справедливые в силу соотношений (1.3 е))

2/,

Е 1|р

| г,

Iі 2 у, ( П )

6 Г1 - 3

6 Г 2 - 3 | 6 Г 2 - 5

^ 2 XI ( П )

(2.9)

+ С 1|р = 116:;,-?», + С. Так как верны неравенства:

у, >

6^--3 6^-5

, ',і = 1,2, ' * і,

ИрМію< С || р, ||L,,YC■SП1) +С, ' = 1,2, (2.4)

то из (2.9) получаем первую оценку решений семейства краевых задач (1.3)

Е

Е»»"1»2. <СЕ||р'||3<2Й’ +С. (2.5)

і=1 W21<Q) '=1 Гі

Для вывода других оценок решений задачи (1.3) воспользуемся оператором Боговского, обладающего свойствами [16, с. 5 - 40]:

1) V = В[ g ] - решение задачи

div V = g в Л, V = 0 на дЛ,

< С.

(2.10)

Из оценок (2.5), (2.10) и соотношений [7, с. 87]

Г А

|| єЄ7рі ||і 6„ (п) < С

У +3

1+|| р,ит ||і П)

±п г'+з у

і = 1,2.

(2.6)

Возьмем в качестве пробных функций в слабой формулировке уравнений (1.3Ь) функции = В[ gj ],

следует неравенство (2.1).

3. Предельный переход

В силу оценки (2.1) из семейства решений р( , и^ , г = 1,2 можно извлечь последовательность (за которой сохраним прежние обозначения) такую, что при е —— 0

ре — р1 слабо в Ь2у (О), г = 1,2, (3.1)

и((*) — и(г) слабо в Ш1 (О), г = 1,2, (3.2)

и, следовательно, (в силу компактности вложения

ШЧО) в Ьр (О), 1 < р < 6)

и^ — и(г) сильно в Ьр (О), 1 < р , < 6, г = 1,2. (3.3)

Кроме того, в силу (2.1) из уравнений (1.3а)

получаем

\\^р—

Іі2(П)

^ 0 при є ^ 0, ' = 1,2. (3.4)

У

=1

+

=1

є

+

' = 1

г =1

Учитывая теперь оценку (2.1) и используя интерполяционные неравенства

\zVpt

\\Lqj (П)

_L = 1z

q, 2

Cl ^ L'2(п )llsVp

б Y

s =

.і si Гі+3

0 < ві < 1, і = 1,2,

получаем, что єVр— ^ 0 сильно в Ьч (П).

6Уі

Ці-^

б Yi (П )

Y + 3 > 2,

1 < q <

Y + 3

і = 1,2.

jpu(l) -V^

2

У

j=1

py j (V ® u(j)) : (V ® ф(i)) dx +

(3.7)

і = 1,2 - ее предел, определенный в (3.1), (3.2). Пусть Пє ^ п при є ^ 0 слабо в

Lt (П), t > max <!- 6y

(3.5)

Совершая предельный переход в слабом смысле в уравнениях (1.3), получим, что предельные функции

рi е Ь2у (О), р> 0, и(г) е ШЧО), г = 1,2 при ^ > 3 , г = 1,2 удовлетворяют интегральным соотношениям

14г,-3 к,

Тогда при выполнении условий теоремы 1.1 имеют место соотношения:

1—|Пе [К (р( У' - ^1Ф^и(1) - v,■2divu(2) ]т2ах =

О

= |п[к,К -^Фгуи®-^.2Ф^ и(2)]2йХ (3.11)

О

V т е С0° (О), г= 1,2.

Доказательство. Перепишем уравнения (1. 3Ь) в виде:

IЬ,] и. + кур У = Ф(°,г- = 1,2,

j=1

dx = О V y/t є C” (П), і = 1,2, (3.б)

Ф^ =- єрu? - div(Puіi> ® u^) +

+^div(єVp- ® u®)--;(єVp- ■V)u(‘) +

(3.12)

+ (Ху + н. )|Фгу и(])div ф(,) ах

О

-1(рi и(,) ® и(,) ) : (V ® ф(,) ) ах =

О

= Кг |рГг div ф(,) ах +

О

+|(з(г) + р,/(г))• ф(г) ах V ф(г) е с0”(о),

О

г = 1,2,

где рр обозначают слабые пределы последовательностей г = 1,2 в пространстве Ь2 (О).

Кроме того, отметим, что предельные функции удовлетворяют условию 2) определения 1.1 и справедливы соотношения [3, с. 36]:

и()ах = 0, , = 1,2, (3.8)

О

Иш Гр(divи ()ах < 0, г = 1,2. (3.9)

е—0 Л О

Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу

+3(° + р(/(,), г = 1, 2.

Возьмем в качестве тестовых функций в слабой формулировке уравнений (3.12) функции

ф(г ) = у(тА-1 ((п е -п)^)), г = 1, 2, те С°(О),

П е —п при е — 0 слабо в Ь1 (О), получим (продолжая рассматриваемые функции нулем в Я3\О):

,(2)

Z2)

г2 dx =

г2dx -

(3.13)

/ пє Кі (р,є ) - и(1) - и

П

= / п Кі (р,є У' - и(1) - ^2^ «

П

-/ри(і) ® и(0 : (г V ® VД-1 (( - п) г-)) )

П

+/ фє ах,' = 1,2,

П

где нетрудно показать в силу (2.1), (3.1), (3.3) и (3.5), что / фєах ^ 0 при

є ^ 0, t > max

і = 1,2.

р=р , г = 1,2. (3.10)

Как и в работах [3], [7], [12], доказательство соотношений (3.10) основывается на коммуникативном свойстве эффективных вязких потоков компонент смеси

К,р[‘ - упФгу и(1) - у12д^ и(2), г = 1,2, для которых получено обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов, сформулированое в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1. Пусть р? , и(г), г = 1,2 - последовательность решений задачи (1.3), существование которых гарантируется теоремой 2.2, а рi , и(), (3.1), (3.3) и (3.5)). Таким образом.

4г - 3 I '

і '' I '=1

Рассмотрим второе слагаемое в правой части

(3.13). Умножим обе части уравнений (1.3а) на функцию г , а затем подействуем на результат (продолжая рассматриваемые функции нулем в Я3\Л) оператором

(п є -ц)ти() ■УД-1, і = 1, 2, и тогда после интегрирования по области Л получим соотношения:

/ (п є - п) ги (і) ■ (vdivД-1 (рє и (Г)) ах = | Ф* ах,

П

і = 1,2,

(3.14)

где jфєdx ^ 0 при є ^ 0, t > —, і = 1,2 (в силу (2.1),

П 2

jPu(° ®u(° : (t V®VA-i ((пє -n)T) dx =

3

ZjW")k pWIД-;((-пН

dx+

+j ф dx — 0 при є — 0, t > max

б7

4r - 3 I 11 J i=i

і = 1,2,

т. к. если a

Lq (П) , то

— a слабо в Lp (П) , bs — b слабо

' дxk -xs

£ £

5xk -xs

д2 д2

— a --------------------Д ;b - b -------------------------Д ;a , k, s = i, 2, 3

^k -xs

дxк -xs

и—0 ІР;є К; (рє) -v;;div u(i)

t dx =

jp; К1 P71 -v;;div u(i)

j((p! ) - V7i )•( - V) Tm dx У 0

' / 4 ' п.в.

(3.15)

.в. в П (3.19)

V v є L2y (П), v У О и, следовательно,

jPlS (PlS )7‘ Tim dx - jvil ( - v) dx +

+ j(PlS )71 vTm dx> m = 1,2>-

(3.20)

слабо в Ьг (О), где 1 +1 =1 < 1. В итоге, переходя к

р Ч г

пределу при е — 0 в обеих частях (3.13) с учетом (3.15) приходим к соотношениям (3.11). Теорема 3.1 доказана.

Перейдем к доказательству соотношений (3.10). Отметим сначала, что формула (3.11) с

, = 1, пе = р( — р1 =п при е — 0 слабо в Ь2у (О) и условие у12 = 0 позволяют утверждать, что

V т е С0° (О)

(31б)

Возьмем неубывающую последовательность функций тп такую, что тп є C” (П) , 0 < тп < 1, тп — 1

поточечно при n — ” . В силу (3.B), (3.9) и (3.1б) для

любых m < n получаем

lim sup jp;"Кі (ріє )7; тЦ dx <

є— 0+ П

< lim sup jрєК; Р )7; rn2 dx < (3.17)

є — 0 + П

< jp; К; р17; dx + 3 (n),

где 3(n) — 0 при n — ” . Таким образом, из (3.17) (в результате предельного перехода при n — ” ) следуют неравенство

limsup Jps (pi )Y гЦ dx <

є—0+ П

Л (3.1B)

<jp; Pi1 dx, m = 1,2,...

Далее, так как функция z ^ zY, r; > i

Из (3.18), (3.20) очевидно следуют неравенство:

{р р{'1х > {^ (р - V)т ах +

О ____ п (3.21)

+{р1^т2т ах, да = 1,2,...

О

Совершая в (3.21) предельный переход при т — ° , приходим к неравенству:

{(р -!>* )( - V) (Iх > 0.

О

Полагая в последнем неравенстве V = р1 + £/ ,

/ е Ь2/[ (О), I// > 0 п.в. в О , £ — 0 + , получим, что

{(р1 -р1 )/ах < °.

О

С другой стороны (в силу выпуклости функции

г ^ zrl ), р1/1 < р1/1 , и поэтому

/(рГ )/ах = 0

V / е Ь2 (О), / > 0 п.в. в О. (3.22)

Из (3.22) следует

р1 =рТ1. (3.23)

Из формул (3.1) и (3.223) вытекает по теореме Рисса, что — р1 сильно в Ь (О), из чего, в свою очередь, следует

р( — р1 сильно в ЬЧ(О), ч е [1,2^1). (3.24)

Соотношения (3.1), (3.23), (3.24) позволяют утверждать, что при е — 0

{р2е (р()пт21х — {рр1 т2а^,

О О

и поэтому в силу равенства (см. (3.11) с

, = 1, п е = р( — р2 =п при е — 0 слабо в Ь2г (О))

lim j рє К; (рє - v;idiv і

= Jp2 К1 ^l’1 -viidiv u

(1)

T2dx --

т 1х V т е С0“ (О)

справедлива формула

1Гш {р2div и(1)г2а^ = {р2div и(1)т2 ах. (3.25)

ОО

Теперь из (3.11) с , = 2, пе = р2 — р2 =п при е — 0 слабо в Ь2/г (О) и (3.25) следует равенство

монотонна на R п, то

в

lim f pi K2 (pi - v22div u

S^O J ' '

т dx =

f p2 K2 pY -v22div u(2)

T2dx,

P222 = p2/2 и PS ^ P2 сильно в Lq (Q), q e [1,2y2).

Теорема 1.2 доказана.

(3.26)

из которого, дословно повторяя вывод формул (3.23), (3.24), получаем, что

Литература

1. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - Singapore: World Scientific, 1995.

2. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. - М.: Наука, 1987. - Ч. 1.

3. Кучер, Н. А. Анализ разрешимости краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2O11. - Вып. 1(45).

4. Frehse, J. On a Stokes-like system for mixtures of fluids / J. Frehse, S. Goj, J. Malek // SIAM J. Math. Anal. -2OO5. - V. 36(6).

5. Frehse, J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum / J. Frehse, S. Goj, J. Malek // J. Appl. Math. - 2OO5. - V. 5O.

6. Frehse, J. On quasi-stationary models of mixtures of compressible fluids / J. Frehse, W. Weigant // J. Appl. Math. - 2OO8. - V. 53. - № 4.

7. Lions, P.-L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 2: Compressible Models / P.-L. Lions. - New York: Oxford University Press, 1998.

8. Feireisl, E. Dynamics of Viscous Compressible Fluids / E. Feireisl. - New York: Oxford University Press,

2OO3.

9. Novotny, A. Introduction to the mathematical theory of compressible flow / A. Novotny, I. Straskraba. - New York: Oxford University Press, 2OO4.

10. Feireisl, E. Singular limits in thermodynamics of viscous fluids / E. Feireisl, Novotny A. - Basel: Birkhauser,

2OO9.

11. Plotnikov, P. Compressible Navier-Stokes Equations. Theory and Shape Optimization / P. Plotnikov, J. Soko-lowski. - Basel: Birkhauser, 2O12.

12. Feireisl, E. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations / E. Feireisl, A. Novotny, H. Petzeltova // J. Math. Fluid Mech. - № 3. - 2OO1.

13. Мазья, В. Г. Пространства С. Л. Соболева / В. Г. Мазья. - Л.: ЛГУ, 1985.

14. Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. - М.: Наука, 1977.

15. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. - М.: Наука, 1989.

16. Боговский, М. Е. О решении некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad / М. Е. Боговский // Труды семинара С. Л. Соболева. - Т. 1. - Новосибирск: Изд. Ин-та математики СО АН СССР.

Информация об авторах:

Малышенко Ольга Владимировна - старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений КемГУ, 8(3842)54274O, molga81@list.ru.

Olga V. Malyshenko - Senior Lecturer at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.

Мамонтов Александр Евгеньевич - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук, 8(383) 333-31-99, mamont@hydro.nsc.ru.

Alexander E. Mamontov - Doctor of Physics and Mathematics, Leading Researcher at Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of the Siberian Branch of the RAS.

Прокудин Дмитрий Алексеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений КемГУ, 8(3842)54274O, daprokudin@kemsu.ru.

Dmitry A. Prokudin - Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.