О конечномерной аппроксимации уравнений движений смесей вязких сжимаемых жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О КОНЕЧНОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ Н. А. Кучер, М. В. Краюшкина, О. В. Малышенко

FINITE DIMENSIONAL APPROXIMATION OF COMPRESSIBLE NAVIER- STOKES EQUATIONS

FOR BINARY MIXTURES

N. A. Kucher, M. V. Krayushkina, O. V. Malyshenko

В работе установлена корректность конечномерной системы операторных уравнений, возникающих в результате аппроксимации системы нелинейных дифференциальных уравнений составного типа, моделирующих пространственные нестационарные течения бинарных смесей вязких сжимаемых жидкостей. Результаты, полученные в этой работе, могут быть положены в основу численного алгоритма решения упомянутой задачи механики.

Nonlinear evolutionary equations modelling compressible flows of binary mixtures are considered. Well-posedness of boundary value problems for finite dimensional approximation of these equations is proved. The results can be used for numerical simulation of such flows.

Ключевые слова: смеси вязких сжимаемых жидкостей, краевая задача, динамика смесей.

Keywords: mixture of viscous compressible fluids, boundary value problem, dynamics of mixtures.

Математическая модель бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей, о конечномерной аппроксимации которой идет речь в данной работе, основана на подходе, предложенном в [1] и в некотором роде является обобщением классической модели Навье -Стокса. Нелокальные результаты для многомерных уравнений смесей с учетом сжимаемости и вязкости составляющих на сегодняшний день получены только для стационарных течений [2 - 4]. Более простые модели (в приближении Стокса и квази - стационарные модели) с позиции существования решений в целом изучены в работах [5 - 7]. Исследования, проведенные в данной работе, являются необходимым этапом доказательства существования глобальных решений нестационарных уравнений смесей вязких жидкостей.

Вспомогательные предложения

В работе используются общепринятые (см., например, [8 - 10]) обозначения функциональных пространств: Ир (О) (’р (О)) - пространство функций, интегрируемых со степенью р > 1 (вместе с обобщенными производными до порядка I > 0 включительно). С1 (О) (С10(О)) - банахово пространство функций, обладающих непрерывными частными производными до порядка I > 0 включительно в О (с компактными носителями, лежащими в О). Мы не различаем обозначения пространств вектор - функций и скалярных функций.

Пусть О - ограниченная область в евклидовом пространстве Я3 точек х = (х1 , х2 ,х3) и ее граница

дО принадлежат классу С2+а, 0 < а < 1.

Рассмотрим следующую параболическую задачу:

д, (р) + йп>(ри) = вАр в QT = (0, Т) хО, (1.а)

р\=_0=р° в О , (1.Ь)

Ур- п = 0 в (0, Т) х дО , (1.с)

для искомой функции p(t, x), t e I = (0, T), x eQ, где s > 0 - заданная постоянная, p0 - заданная в Q функция, а и (t, x) - заданное векторное поле, обращающееся в нуль на границе I х dQ цилиндра QT .

Лемма 1. Предположим, что p0 е W1’" (Q), 0 <p<p0 <p<",

где p, p - постоянные и и е L" (I, W0l" (Q)) .

Тогда существует единственное решение p = Sp0 (и) задачи (1) в классе

pe L2 (I,W 2p(Q)) П C0 (I,W 1p(Q)),

51 pe L2 (I,Lp(Q)), 1 < p <" .

При этом уравнение (1.a) выполнено п. в. в QT, начальное условие (1.b) - п. в. в Q, а граничные условия (1.c) - в смысле следов п. в. в I .

Справедливы оценки t

pexp{-J||л>и||г(Q) dr} <

0

<[Sp0 (“)] (x,t) < (2)

__ t

< p exp{J| |d/VM || L" (Q) dr},

0

t e I, для почти всех x e Q.

Если IUIL- (IW 1" (Q;; < K, где K = const > 0, то

IIsp0 (^ll" 12 <

II p IIl" (I, ,w‘-2 (Q))

< c||p°|l exp j-L- (K + K2 )t[ , (3)

II »w‘’2 (Q) F [ 2s J

t e I .

II V 2S p (и)

p- ' ' "L2 (Qt )

С

С Г~ і < — y/t

p

W 1,2 ( Q )

Обратный оператор М ^ существует для всех (4) , е I и при этом справедлива оценка

• K exp 12—(k + K 2 ) t J , t є I .

II д .S 0 (и ) II 2 < С л/t II p0 II 12

11 i p0 v ' L2 (Qt ) v 11 H 11W 1,2 (Q )

• K exp j -С—(К + K2 )t \ , t є I

Sp (и,) - Sp (u2 )](t) 2

p P Wl2 (Q )

iki )l

L( Xn, Xn)

< С, (к, —,t) • 14pc

• I\и 1 и 2 ||l” (It ,W 1 •" (Q ))

IIw 1,2 (Q ) t є I .

(5)

(б)

||Mg2 (t) MgI «I hM, Xn)

< \g 2 (t) - gl (t ^10,1 .

Постоянная С в неравенствах (3) - (5) зависит от области О и не зависит от є, К, р0, и . Доказательство леммы 1 имеется в [11].

Выберем систему достаточно гладких вектор -

функций \фі}” , образующую ортонормированный базис в Ь (О), а также ортонормированный базис в №д’2(О). Рассмотрим последовательность конечномерных пространств Хп с базисом {рі } и скалярным произведением (и,Ъ) = (и, V)Х =|и ■ V сЫ, й,у є Хп.

О

Отметим, что все нормы на Хп, и, в частности , р (О) - норма к = 0,1,..., 1 < р эквивалентны

Уравнения Фаэдо-Галеркина

Для произвольно выбранного Т ' = (0, Т], ' = 1,2,

ищутся вектор - функции и('-1 е С0 (I',Хп), I' = (0,Т'),

' = 1,2 , удовлетворяющие для любой фе Хп уравнениям:

| р. (,)и (' ]ф ёх - | д 'ф ёх =

О , О (7)

= II N ' (Р, и (1), и (2)) • ф ёхё ,,

0 О

М'(р,й(1),й{2)) = Аи0) (а + Цц)уаыи) -

1=1 1=1

-ур1' - 8чрв - а'у(р1й(') 0 й(')) - (8)

-е(Ур -У)и(0 + (-1)'+1 ■ а(й(2) -м(1)).

Здесь р(,) = |^ Бр (и(,))^ (,) - решение задачи (1),

построенные в лемме 1, функции рР (х), ' = 1,2, удовлетворяют условиям леммы 1, Ц. и А., ' = 1,2 -

заданные постоянные, характеризующие вязкостные на Хп. Через Р„ = Р обозначим ортогональный про- свойства смеси, и удовлетворяющие условиям:

ектор из L (Q) в

Пусть дана функция

g є С0 (I, L1 (Q)), d,g є L1 (Qt ), ess inf g (t, x) > a, > 0 .

pn > 0, Xn + 2p11 > 0,

4 № 11 ■ M22 - (^12 + №21 ) > 0,

4(Х11 + 2M11 ) • (Х22 + 2M22 ) - (Х12 + 2№ 12 + Х21 + 2M21 ) > 0

Так как отображение w ^ | g(t)v • wdx

является огра-

а - положительная постоянная > 1 - показатели ниченным линейным функционалом на Хп, то по политропы к°мпонент°в смеси, S, е > ^ Д. >1 - па-

теореме Рисса его можно представить в виде скаляр- раметры регуляризации, д ' (х) - заданные в О век-

ного произведения (Мв(()у, >р), М&(/)-р е Хп и тем са- торные поля (физически вектор ихарактеризует

мым для всех , е I определено линейное отображе- приближенное значение вектора скорости частиц '-

той компоненты смеси, а р - приближенное значения поля плотностей ' -той компоненты).

Уравнения (7), (8) могут быть записаны в операторной форме:

ние Mg(t) : Xn ^ X,

(g (t )v;, = | g(t)v • Wdx, v, W є Xn .

Отметим следующие свойства оператора М (() [1]:

M

L( Xn, Xn)

< c(n)| g(t)dx, t є I .

и (i)( t) = M f1 _ ъ j Pqt + \P Ni (S p0 ( m0)),

g(t) I

))

d т

i = 1, 2 .

(9)

Лемма 2. Найдется Т' > 0 такое, что на промежутке 0 <, < Т ’ существует единственное решение

T(i)

< К,, i = I,2 .

(lO)

t(j)

\С0 (0, T'), Xn ), i = 1,2 системы (9).

К1 - некоторая положительная постоянная. Тогда

Доказательство. Отметим сначала следующие факты.

1. Предположим, что

справедливы неравенства:

р [ м, р, і?(1), і?(2))] (ґ )

< dj, i = 1,2, t є I, (ll)

1

a

i

где постоянные ё1 зависит от К1, Т, п, р и параметров задачи (7).

Рассмотрим пары [Р>,1, ^ } , [Р,2 ^ } ,

А ,1 = $0 () ) , р, 2 = Бр ()) , / = 1, 2 , где V?), V® принадлежат классу С0 (I, Хп) и удовлетворяют условиям (10). Тогда имеют место неравенства:

<

P \Ж, (, vl, v(2)) - ) (p,2,vf, vf)) j (t) L,f ||p,l(t) - p,2(tІl (q) + ІI" - ^2J)) (t:

lL(Xn,Xn)

где

H (Kl, t ) = p-2| Ip

о

ІІп/Л2

W1’2 (Q)

l+Kl (l+1 )exp j (k1 + K )t j

F (v(1), v(2))) = ■

(t)

Pq + | p жі (0 к0)), v(1), v(2))

dr

пространства C0 (Ir, Xn) в себя.

Пусть параметр о0 є (0, T) выбран из условий

exp {K3 оо } < 2 exp (K3 + K2 )о ^ < 2

2M0 [3 + 2K3 (1 + То ]о + 2dr0 < K2,

(19)

где

M0 = c(Q, n)p2 - X||p,0

і і=1 1,2

?і|12,2

(12)

записи

1=1

I = 1,2, г е I, где постоянные Ц зависит от К1,Т,п,р.

Положим для краткости

р (г) = |^ 8ро (V?(,)) (г), где V(,) принадлежат классу

С0 (I,Хп) и удовлетворяют условиям (10). Тогда справедливы оценки:

IIм рг )1

ё = ё(,р,Т,п) = ^Хё2 .

Постоянные ё1 взяты из неравенств (11), в которых роль постоянной К1 играет К3. На основании свойств (11), (13) и (14) может быть доказано, что при выполнении условий (19) отображение Р, определенное в (18), переводит шар

(у(1),у2)е С0 ( ,Хп):

вг

(2O)

Kp1 exp {Kl •1} (13)

\Mp(,) - Mp(0-\ L( X X) < c(n, Q) -J exp{Kl •t} 'H (,t) , (l4)

в себя.

Докажем теперь, что при подходящем выборе параметра т0 > 0 отображение Р является сжимающим.

Пусть элементы у1 = ((, у) 2 ^), у2 = ( у2(1), у2(2) ) принадлежат шару Вк. В силу свойств Ь), с) оператора М2(/) и неравенства (2), (6) имеют место оценки:

1

<— еЛ р

c0 - постоянная, зависящая только от области Q .

Предположим, теперь что векторные поля v(і) (t) є C0 (I, Xn) удовлетворяют условиям

||v(і) (t) - v„(i) ||^ < K2, і = 1,2 , (15)

где у*0) = M-0Р4і , і = 1,2, K2 - некоторая положительная постоянная. В силу свойств проектора P ||v«||x < p^1 -|\q\L2(Q) и тем самым

Iі7 (,)(t І L,» < K3 , K3 = c(n) (K2 +( max| fab (Q) ). (1б)

В силу леммы 1 имеет место соотношение

ess Qinf p (t) > p exp j -11 |v 0) (r)| dr1 и поэтому нера-

j 0 1,» J

венство (1б) влечет оценку ess Qinf p(t) > p exp {K3 • t} . (l7)

Рассмотрим отображение

' F' J ^S", Vі «((t)

F121 K "), v12) )(<)

k p2 ,42 V / 4

F(0) (^ (1),v(2) )(t) = M- 1

p, Л У ' \S . tr,(і) 'l1

M

-1 - M -1

S 0 K(,)) (t) S 0 K(,) ) (t)

, p"'< )^ , Ppv2 )^

(21)

L(Xn ,Xn )

(і) v(і) II

< c(n,s, K2, T) • t • • vlii) - vj ,, , l ,

2 II - ІІо,1 II 1 2 IIl” "It ,k‘-» (Q))

Из тождества:

F“’,i (v“,f<))-F®_ K«.v;!))(,) =

Pq +

M -1 - M -1

Sp S-! (t) S oK„)) , p, (v2 )^ (t)

+ \ M \-1 1 - M,

S0и,л «

(t)

(22)

■_fp^Ж, (^('■)|,v?l(1),

dr +

-1 I IP

S 0(-(,)) (t) 0

_ p. (v2) )j

- Жі (( (^ ^')), v?2(1), v^2(2))

dr,

(1S)

и оценок (21) получаем неравенство HF(Vl) - F(v?2 ^ C0 Kr ]Ka(t)-Ifc - ^^ІІоо (o,x:

(2З)

где

2

a(t) =—-e2Klt • G(t), G(t) =

p2

II о||2 ■ P і • d + 4 2 A- i.j + t

\V' 11о,1 1 II' 1 110,1

Я

u-v®

<E

2 1

C+p

V I 2

"L (Q)

=K2.

Пусть параметр т0 наряду с условием (19) удовлетворяет требованию сР- • ° (Т0 )< 1 •

Таким образом, решение системы уравнений (9) принадлежат шару БЁ т(г?,), гг, = (у„(1),V*2)), и поэтому выбирая в качестве радиуса К2 шара Бк т , число

Тогда а(/) <а(т0) < 1 и, следовательно, отобра- К2 > К2, мы за конечное число шагов продолжим ло-

жение Р - шара Бк т в себя является сжимающим. кальное решение уравнений (10) на произвольный ко-

Лемма 2 доказана.

нечный промежуток времени (0, T). Докажем теперь

Основной результат работы сформулируем в виде оценку (24). Пусть

следующей теоремы.

Теорема. На любом конечном промежутке 0 < ґ < Т система уравнений (9) имеет единственное

решение в классе С0 (0, Т), Хп).

Доказательство. Легко видеть, что возможность продолжения локального решения, построенного в

7(0

(t) = и® (t, x) = Я j (t)\pj (x) є C0 (, Xn) - реше-

j=1

ние уравнений (9), которые в данном случае удобнее представить в форме (7), (8), где р = $р„ (и(,)),

I = 1,2 • Для каждой базисной функции \рк (х),

лемме 2, на произвольный конечный временной ин- к = 1, . .., п, из (7), (8) после дифференцирования по t

тервал (0, Т), следует из ограниченности в простран- получаем тождества:

стве C0 (о, T), L2 (Q)) семейства решений уравнений (9). Действительно, располагая оценкой

7(0

(t )||

d (і, •и (І) )^к(x)dx = dt l=j N (pі , “(1), й(2)) • Vk (x)dx, k = 1,..., n.

L2 (Q)

< C,

(24)

получаем, что

Умножая эти уравнения соответственно на )

и суммируя по к, получаем следующее энергетическое неравенство на решениях уравнений (9):

dt Q І = 1 I 2

|£ітррм

(І)

2 +PY +^^Pi' \ dx + c0

Y - І в - І

+єІЯііРІ’іi2 +5РіРв-2)) dx +

Q ' = 1

Из (25), в частности, следуют неравенства:

I pt |и ('-11 dx < e 8 0,

V и

(і)

+ V и

)dx +

а\\и(1) - и(2>

dx < 0.

r(1)

0

W1,2 ( Q )

+ и

(2)

IIW 1,2 (Q )

)dr <

(25)

(26)

-о

1 2

где sS0 =~Яр\

2 i=1

(І)

ы Y - і'"’ в, -1

На основании оценки (2) леммы 1 имеем:

Y 8 / 0 \Pk |

+-lpk I > dx - известная постоянная, не зависящая от номера n .

р (t) > р exp |-J c(n) ||м(} ||— 2 dr j > р exp \-c(n)y[r e50 j

Из неравенств (26), (27) вытекает оценка (24), так как | |и(к-1 | dx <eso pexp jc(n) Теорема доказана.

(27)

Ts8

k = 1,2 .

Q

Литература

1. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - Singapore: Word Sci., 1995.

2. Кучер, Н. А. Стационарные решения смеси вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин // Сиб. журн. индустр. математики. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 52 - 65.

3. Кучер, Н. А. Корректность первой краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин // Вестник НГУ. - 2009. - Т. 9. - Вып. 3. - С. 33 - 53.

4. Кучер, Н. А. Стационарные решения уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, А. Е. Мамонтов, Д. А. Прокудин // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 23. - № 6. - С. 1338 - 1353.

5. Frehse, J. On a Stokes-like system for mixtures of fluids / J. Frehse, S. Goj, J. Malek // SIAM J. Math. Anal. -2005. - V. 36. - № 4. - P. 1259 - 1281.

6. Goj, S. Analysis for mixtures of fluids: Dissertation / S. Goj // Universitat Bonn. Math. Inst. - 2005. - Режим доступа: http://bib.math.uni-bonn.de/downloads/bms/BMS-375.pdf.

7. Frehse, J. On quasi - stationary models of mixtures of compressible fluids / J. Frehse, W. Weigant // Appl. Math.

- 2008. - V. 53. - № 4. - P. 319 - 345.

8. Соболев, С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций / С. Л. Соболев. - М.: Наука - 1989. - 254 с.

9. Мазья, В. Г. Пространства С. Л. Соболева / В. Г. Мазья. - Л.: Из-во Ленинград. гос. ун-та, 1985. - 416 с.

10. Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский.

- М: Наука, 1977. - 456 с.

11. Novotny, A. Introduction to the Mathematical Theory of Compressible Flow / A. Novotny // Oxford University Press. - 2004.

Информация об авторах:

Кучер Николай Алексеевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, [email protected].

Nikolay A. Kucher - Doctor of Physics and Mathematics, Professor at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.

Краюшкина Марина Владимировна - старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, [email protected].

Marina V. Krayushkina - Senior Lecturer at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.

Малышенко Ольга Владимировна - старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, [email protected].

Olga V. Malyshenko - Senior Lecturer at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.