УДК 517.9
О КОНЕЧНОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ Н. А. Кучер, М. В. Краюшкина, О. В. Малышенко
FINITE DIMENSIONAL APPROXIMATION OF COMPRESSIBLE NAVIER- STOKES EQUATIONS
FOR BINARY MIXTURES
N. A. Kucher, M. V. Krayushkina, O. V. Malyshenko
В работе установлена корректность конечномерной системы операторных уравнений, возникающих в результате аппроксимации системы нелинейных дифференциальных уравнений составного типа, моделирующих пространственные нестационарные течения бинарных смесей вязких сжимаемых жидкостей. Результаты, полученные в этой работе, могут быть положены в основу численного алгоритма решения упомянутой задачи механики.
Nonlinear evolutionary equations modelling compressible flows of binary mixtures are considered. Well-posedness of boundary value problems for finite dimensional approximation of these equations is proved. The results can be used for numerical simulation of such flows.
Ключевые слова: смеси вязких сжимаемых жидкостей, краевая задача, динамика смесей.
Keywords: mixture of viscous compressible fluids, boundary value problem, dynamics of mixtures.
Математическая модель бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей, о конечномерной аппроксимации которой идет речь в данной работе, основана на подходе, предложенном в [1] и в некотором роде является обобщением классической модели Навье -Стокса. Нелокальные результаты для многомерных уравнений смесей с учетом сжимаемости и вязкости составляющих на сегодняшний день получены только для стационарных течений [2 - 4]. Более простые модели (в приближении Стокса и квази - стационарные модели) с позиции существования решений в целом изучены в работах [5 - 7]. Исследования, проведенные в данной работе, являются необходимым этапом доказательства существования глобальных решений нестационарных уравнений смесей вязких жидкостей.
Вспомогательные предложения
В работе используются общепринятые (см., например, [8 - 10]) обозначения функциональных пространств: Ир (О) (’р (О)) - пространство функций, интегрируемых со степенью р > 1 (вместе с обобщенными производными до порядка I > 0 включительно). С1 (О) (С10(О)) - банахово пространство функций, обладающих непрерывными частными производными до порядка I > 0 включительно в О (с компактными носителями, лежащими в О). Мы не различаем обозначения пространств вектор - функций и скалярных функций.
Пусть О - ограниченная область в евклидовом пространстве Я3 точек х = (х1 , х2 ,х3) и ее граница
дО принадлежат классу С2+а, 0 < а < 1.
Рассмотрим следующую параболическую задачу:
д, (р) + йп>(ри) = вАр в QT = (0, Т) хО, (1.а)
р\=_0=р° в О , (1.Ь)
Ур- п = 0 в (0, Т) х дО , (1.с)
для искомой функции p(t, x), t e I = (0, T), x eQ, где s > 0 - заданная постоянная, p0 - заданная в Q функция, а и (t, x) - заданное векторное поле, обращающееся в нуль на границе I х dQ цилиндра QT .
Лемма 1. Предположим, что p0 е W1’" (Q), 0 <p<p0 <p<",
где p, p - постоянные и и е L" (I, W0l" (Q)) .
Тогда существует единственное решение p = Sp0 (и) задачи (1) в классе
pe L2 (I,W 2p(Q)) П C0 (I,W 1p(Q)),
51 pe L2 (I,Lp(Q)), 1 < p <" .
При этом уравнение (1.a) выполнено п. в. в QT, начальное условие (1.b) - п. в. в Q, а граничные условия (1.c) - в смысле следов п. в. в I .
Справедливы оценки t
pexp{-J||л>и||г(Q) dr} <
0
<[Sp0 (“)] (x,t) < (2)
__ t
< p exp{J| |d/VM || L" (Q) dr},
0
t e I, для почти всех x e Q.
Если IUIL- (IW 1" (Q;; < K, где K = const > 0, то
IIsp0 (^ll" 12 <
II p IIl" (I, ,w‘-2 (Q))
< c||p°|l exp j-L- (K + K2 )t[ , (3)
II »w‘’2 (Q) F [ 2s J
t e I .
II V 2S p (и)
p- ' ' "L2 (Qt )
С
С Г~ і < — y/t
p
W 1,2 ( Q )
Обратный оператор М ^ существует для всех (4) , е I и при этом справедлива оценка
• K exp 12—(k + K 2 ) t J , t є I .
II д .S 0 (и ) II 2 < С л/t II p0 II 12
11 i p0 v ' L2 (Qt ) v 11 H 11W 1,2 (Q )
• K exp j -С—(К + K2 )t \ , t є I
Sp (и,) - Sp (u2 )](t) 2
p P Wl2 (Q )
iki )l
L( Xn, Xn)
< С, (к, —,t) • 14pc
• I\и 1 и 2 ||l” (It ,W 1 •" (Q ))
IIw 1,2 (Q ) t є I .
(5)
(б)
||Mg2 (t) MgI «I hM, Xn)
< \g 2 (t) - gl (t ^10,1 .
Постоянная С в неравенствах (3) - (5) зависит от области О и не зависит от є, К, р0, и . Доказательство леммы 1 имеется в [11].
Выберем систему достаточно гладких вектор -
функций \фі}” , образующую ортонормированный базис в Ь (О), а также ортонормированный базис в №д’2(О). Рассмотрим последовательность конечномерных пространств Хп с базисом {рі } и скалярным произведением (и,Ъ) = (и, V)Х =|и ■ V сЫ, й,у є Хп.
О
Отметим, что все нормы на Хп, и, в частности , р (О) - норма к = 0,1,..., 1 < р эквивалентны
Уравнения Фаэдо-Галеркина
Для произвольно выбранного Т ' = (0, Т], ' = 1,2,
ищутся вектор - функции и('-1 е С0 (I',Хп), I' = (0,Т'),
' = 1,2 , удовлетворяющие для любой фе Хп уравнениям:
| р. (,)и (' ]ф ёх - | д 'ф ёх =
О , О (7)
= II N ' (Р, и (1), и (2)) • ф ёхё ,,
0 О
М'(р,й(1),й{2)) = Аи0) (а + Цц)уаыи) -
1=1 1=1
-ур1' - 8чрв - а'у(р1й(') 0 й(')) - (8)
-е(Ур -У)и(0 + (-1)'+1 ■ а(й(2) -м(1)).
Здесь р(,) = |^ Бр (и(,))^ (,) - решение задачи (1),
построенные в лемме 1, функции рР (х), ' = 1,2, удовлетворяют условиям леммы 1, Ц. и А., ' = 1,2 -
заданные постоянные, характеризующие вязкостные на Хп. Через Р„ = Р обозначим ортогональный про- свойства смеси, и удовлетворяющие условиям:
ектор из L (Q) в
Пусть дана функция
g є С0 (I, L1 (Q)), d,g є L1 (Qt ), ess inf g (t, x) > a, > 0 .
pn > 0, Xn + 2p11 > 0,
4 № 11 ■ M22 - (^12 + №21 ) > 0,
4(Х11 + 2M11 ) • (Х22 + 2M22 ) - (Х12 + 2№ 12 + Х21 + 2M21 ) > 0
Так как отображение w ^ | g(t)v • wdx
является огра-
а - положительная постоянная > 1 - показатели ниченным линейным функционалом на Хп, то по политропы к°мпонент°в смеси, S, е > ^ Д. >1 - па-
теореме Рисса его можно представить в виде скаляр- раметры регуляризации, д ' (х) - заданные в О век-
ного произведения (Мв(()у, >р), М&(/)-р е Хп и тем са- торные поля (физически вектор ихарактеризует
мым для всех , е I определено линейное отображе- приближенное значение вектора скорости частиц '-
той компоненты смеси, а р - приближенное значения поля плотностей ' -той компоненты).
Уравнения (7), (8) могут быть записаны в операторной форме:
ние Mg(t) : Xn ^ X,
(g (t )v;, = | g(t)v • Wdx, v, W є Xn .
Отметим следующие свойства оператора М (() [1]:
M
L( Xn, Xn)
< c(n)| g(t)dx, t є I .
и (i)( t) = M f1 _ ъ j Pqt + \P Ni (S p0 ( m0)),
g(t) I
))
d т
i = 1, 2 .
(9)
Лемма 2. Найдется Т' > 0 такое, что на промежутке 0 <, < Т ’ существует единственное решение
T(i)
< К,, i = I,2 .
(lO)
t(j)
\С0 (0, T'), Xn ), i = 1,2 системы (9).
К1 - некоторая положительная постоянная. Тогда
Доказательство. Отметим сначала следующие факты.
1. Предположим, что
справедливы неравенства:
р [ м, р, і?(1), і?(2))] (ґ )
< dj, i = 1,2, t є I, (ll)
1
a
i
где постоянные ё1 зависит от К1, Т, п, р и параметров задачи (7).
Рассмотрим пары [Р>,1, ^ } , [Р,2 ^ } ,
А ,1 = $0 () ) , р, 2 = Бр ()) , / = 1, 2 , где V?), V® принадлежат классу С0 (I, Хп) и удовлетворяют условиям (10). Тогда имеют место неравенства:
<
P \Ж, (, vl, v(2)) - ) (p,2,vf, vf)) j (t) L,f ||p,l(t) - p,2(tІl (q) + ІI" - ^2J)) (t:
lL(Xn,Xn)
где
H (Kl, t ) = p-2| Ip
о
ІІп/Л2
W1’2 (Q)
l+Kl (l+1 )exp j (k1 + K )t j
F (v(1), v(2))) = ■
(t)
Pq + | p жі (0 к0)), v(1), v(2))
dr
пространства C0 (Ir, Xn) в себя.
Пусть параметр о0 є (0, T) выбран из условий
exp {K3 оо } < 2 exp (K3 + K2 )о ^ < 2
2M0 [3 + 2K3 (1 + То ]о + 2dr0 < K2,
(19)
где
M0 = c(Q, n)p2 - X||p,0
і і=1 1,2
?і|12,2
(12)
записи
1=1
I = 1,2, г е I, где постоянные Ц зависит от К1,Т,п,р.
Положим для краткости
р (г) = |^ 8ро (V?(,)) (г), где V(,) принадлежат классу
С0 (I,Хп) и удовлетворяют условиям (10). Тогда справедливы оценки:
IIм рг )1
ё = ё(,р,Т,п) = ^Хё2 .
Постоянные ё1 взяты из неравенств (11), в которых роль постоянной К1 играет К3. На основании свойств (11), (13) и (14) может быть доказано, что при выполнении условий (19) отображение Р, определенное в (18), переводит шар
(у(1),у2)е С0 ( ,Хп):
вг
(2O)
Kp1 exp {Kl •1} (13)
\Mp(,) - Mp(0-\ L( X X) < c(n, Q) -J exp{Kl •t} 'H (,t) , (l4)
в себя.
Докажем теперь, что при подходящем выборе параметра т0 > 0 отображение Р является сжимающим.
Пусть элементы у1 = ((, у) 2 ^), у2 = ( у2(1), у2(2) ) принадлежат шару Вк. В силу свойств Ь), с) оператора М2(/) и неравенства (2), (6) имеют место оценки:
1
<— еЛ р
c0 - постоянная, зависящая только от области Q .
Предположим, теперь что векторные поля v(і) (t) є C0 (I, Xn) удовлетворяют условиям
||v(і) (t) - v„(i) ||^ < K2, і = 1,2 , (15)
где у*0) = M-0Р4і , і = 1,2, K2 - некоторая положительная постоянная. В силу свойств проектора P ||v«||x < p^1 -|\q\L2(Q) и тем самым
Iі7 (,)(t І L,» < K3 , K3 = c(n) (K2 +( max| fab (Q) ). (1б)
В силу леммы 1 имеет место соотношение
ess Qinf p (t) > p exp j -11 |v 0) (r)| dr1 и поэтому нера-
j 0 1,» J
венство (1б) влечет оценку ess Qinf p(t) > p exp {K3 • t} . (l7)
Рассмотрим отображение
' F' J ^S", Vі «((t)
F121 K "), v12) )(<)
k p2 ,42 V / 4
F(0) (^ (1),v(2) )(t) = M- 1
p, Л У ' \S . tr,(і) 'l1
M
-1 - M -1
S 0 K(,)) (t) S 0 K(,) ) (t)
, p"'< )^ , Ppv2 )^
(21)
L(Xn ,Xn )
(і) v(і) II
< c(n,s, K2, T) • t • • vlii) - vj ,, , l ,
2 II - ІІо,1 II 1 2 IIl” "It ,k‘-» (Q))
Из тождества:
F“’,i (v“,f<))-F®_ K«.v;!))(,) =
Pq +
M -1 - M -1
Sp S-! (t) S oK„)) , p, (v2 )^ (t)
+ \ M \-1 1 - M,
S0и,л «
(t)
(22)
■_fp^Ж, (^('■)|,v?l(1),
dr +
-1 I IP
S 0(-(,)) (t) 0
_ p. (v2) )j
- Жі (( (^ ^')), v?2(1), v^2(2))
dr,
(1S)
и оценок (21) получаем неравенство HF(Vl) - F(v?2 ^ C0 Kr ]Ka(t)-Ifc - ^^ІІоо (o,x:
(2З)
где
2
a(t) =—-e2Klt • G(t), G(t) =
p2
II о||2 ■ P і • d + 4 2 A- i.j + t
\V' 11о,1 1 II' 1 110,1
Я
u-v®
<E
2 1
C+p
V I 2
"L (Q)
=K2.
Пусть параметр т0 наряду с условием (19) удовлетворяет требованию сР- • ° (Т0 )< 1 •
Таким образом, решение системы уравнений (9) принадлежат шару БЁ т(г?,), гг, = (у„(1),V*2)), и поэтому выбирая в качестве радиуса К2 шара Бк т , число
Тогда а(/) <а(т0) < 1 и, следовательно, отобра- К2 > К2, мы за конечное число шагов продолжим ло-
жение Р - шара Бк т в себя является сжимающим. кальное решение уравнений (10) на произвольный ко-
Лемма 2 доказана.
нечный промежуток времени (0, T). Докажем теперь
Основной результат работы сформулируем в виде оценку (24). Пусть
следующей теоремы.
Теорема. На любом конечном промежутке 0 < ґ < Т система уравнений (9) имеет единственное
решение в классе С0 (0, Т), Хп).
Доказательство. Легко видеть, что возможность продолжения локального решения, построенного в
7(0
(t) = и® (t, x) = Я j (t)\pj (x) є C0 (, Xn) - реше-
j=1
ние уравнений (9), которые в данном случае удобнее представить в форме (7), (8), где р = $р„ (и(,)),
I = 1,2 • Для каждой базисной функции \рк (х),
лемме 2, на произвольный конечный временной ин- к = 1, . .., п, из (7), (8) после дифференцирования по t
тервал (0, Т), следует из ограниченности в простран- получаем тождества:
стве C0 (о, T), L2 (Q)) семейства решений уравнений (9). Действительно, располагая оценкой
7(0
(t )||
d (і, •и (І) )^к(x)dx = dt l=j N (pі , “(1), й(2)) • Vk (x)dx, k = 1,..., n.
L2 (Q)
< C,
(24)
получаем, что
Умножая эти уравнения соответственно на )
и суммируя по к, получаем следующее энергетическое неравенство на решениях уравнений (9):
dt Q І = 1 I 2
|£ітррм
(І)
2 +PY +^^Pi' \ dx + c0
Y - І в - І
+єІЯііРІ’іi2 +5РіРв-2)) dx +
Q ' = 1
Из (25), в частности, следуют неравенства:
I pt |и ('-11 dx < e 8 0,
V и
(і)
+ V и
)dx +
а\\и(1) - и(2>
dx < 0.
r(1)
0
W1,2 ( Q )
+ и
(2)
IIW 1,2 (Q )
)dr <
(25)
(26)
-о
1 2
где sS0 =~Яр\
2 i=1
(І)
ы Y - і'"’ в, -1
На основании оценки (2) леммы 1 имеем:
Y 8 / 0 \Pk |
+-lpk I > dx - известная постоянная, не зависящая от номера n .
р (t) > р exp |-J c(n) ||м(} ||— 2 dr j > р exp \-c(n)y[r e50 j
Из неравенств (26), (27) вытекает оценка (24), так как | |и(к-1 | dx <eso pexp jc(n) Теорема доказана.
(27)
Ts8
k = 1,2 .
Q
Литература
1. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - Singapore: Word Sci., 1995.
2. Кучер, Н. А. Стационарные решения смеси вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин // Сиб. журн. индустр. математики. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 52 - 65.
3. Кучер, Н. А. Корректность первой краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин // Вестник НГУ. - 2009. - Т. 9. - Вып. 3. - С. 33 - 53.
4. Кучер, Н. А. Стационарные решения уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, А. Е. Мамонтов, Д. А. Прокудин // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 23. - № 6. - С. 1338 - 1353.
5. Frehse, J. On a Stokes-like system for mixtures of fluids / J. Frehse, S. Goj, J. Malek // SIAM J. Math. Anal. -2005. - V. 36. - № 4. - P. 1259 - 1281.
6. Goj, S. Analysis for mixtures of fluids: Dissertation / S. Goj // Universitat Bonn. Math. Inst. - 2005. - Режим доступа: http://bib.math.uni-bonn.de/downloads/bms/BMS-375.pdf.
7. Frehse, J. On quasi - stationary models of mixtures of compressible fluids / J. Frehse, W. Weigant // Appl. Math.
- 2008. - V. 53. - № 4. - P. 319 - 345.
8. Соболев, С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций / С. Л. Соболев. - М.: Наука - 1989. - 254 с.
9. Мазья, В. Г. Пространства С. Л. Соболева / В. Г. Мазья. - Л.: Из-во Ленинград. гос. ун-та, 1985. - 416 с.
10. Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский.
- М: Наука, 1977. - 456 с.
11. Novotny, A. Introduction to the Mathematical Theory of Compressible Flow / A. Novotny // Oxford University Press. - 2004.
Информация об авторах:
Кучер Николай Алексеевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, nakycher@rambler.ru.
Nikolay A. Kucher - Doctor of Physics and Mathematics, Professor at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.
Краюшкина Марина Владимировна - старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, krayushkinanv@mail.ru.
Marina V. Krayushkina - Senior Lecturer at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.
Малышенко Ольга Владимировна - старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, molga81@list.ru.
Olga V. Malyshenko - Senior Lecturer at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.