О спектре двумерных периодических операторов Шредингера и Дирака Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2002. №3(26)

УДК 517.958+517.984.5

© JI. И. Данилов

danilov@otf.fti.udmurtia.su

О СПЕКТРЕ ДВУМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ШРЕДИНГЕРА И ДИРАКА

Ключевые слова: операторы Шредингера и Дирака, спектр, периодические электрический и магнитный потенциалы, переменная метрика.

Abstract. We prove the absence of eigenvalues in the spectra of two-dimensional periodic Schrodinger and Dirac operators with variable metric and complex-valued electric and magnetic potentials.

Введение

В последнее время возрос интерес к исследованию абсолютной непрерывности спектра периодических эллиптических дифференциальных операторов, и в частности, операторов Шредингера с переменной метрикой (см., например, [1-5] и ссылки в этих работах). В данной статье рассматриваются двумерные периодические операторы Шредингера

2

л

я

(0.1)

и Дирака

+ hj2a2) Н - Aj) + У<°>/+ , (0.2)

действующие в Ь2(И2) и £2(112;С2) соответственно, где А (А\, А2) и V —векторный (магнитный) и скалярный (электри ческий) потенциалы, СИ = (С*у 1)^1=1,2 — вещественная симметри ческая положительно определенная матричная функция (метри ка), для которой (2, С~1 £ к = ~ вещественная

матричная функция, /г > О, = Функции А, У, б' и /г предполагаются периодическими с (общей) решеткой периодов А С И2- Основные результаты статьи, касающиеся оператора Дирака (0.2), приведены в разделе 1. В этом же разделе вводятся обозначения и сформулированы некоторые утверждения, используемые в дальнейшем. В разделе 2 содержатся результаты об операторе Шредингера (0.1). В последующих разделах доказываются теоремы из разделов 1 и 2.

1. О спектре двумерного периодического оператора Дирака

Пусть М.2 — линейное пространство комплексных (2 X 2)-матриц с нормой

\\Ь\\м2= тах ~~)Ье.М2

(¡.| и (.,.) — евклидовы норма и скалярное произведение векторов из (и И^), (1= 1,2 (скалярное произведение предполагается линейным по второму сомножителю)), ¿>2 — множество эрмитов-ых матриц из М2,

51 = (1 о) ' 52 = о) ' Зз = (о -1)

— матрицы Паули, / = /2 ё М2 — единичная матрица. Пусть {е^}— ортогональный базис в К2, относительно которого задаются координаты всех векторов: = х в И2,

у = 1,2; иг(х) — открытый круг радиуса г > 0 с центром в точке ж: £ И.2, иг = иг(0), иг(х) — замыкание круга 11г(х))

dUr(x) = Ur{x)\Ur(x), Si = <ЗД(0) = {ж € R2 : M = 1}. Через Hs(R2;Cd), где s G N, tZ = 1,2, обозначаются классы.Соболева (вектор-)функций (£>: R2 -» Cd (для которых все частные производные до порядка s включительно принадлежат пространству L2(R2; Cd) ), tf*(R2) = tf*(R2;C); V - grad = mes

— мера Лебега в R2.

Обозначим через G множество непрерывно дифференцируемых невозрастающих функций g : (0,1] —у (0,-foo) тажих, что

f1 dr

< +оо (Gl)

rg(r)

•ï

+0 (G2)

9ii)-9(r)

g(r)

при r —>• +0. Для любой функции g £ G имеем

9{r)

ln A

+oo (G3)

при г —> +0. Действительно, в противном случае нашлись бы число Ь > 0 и последовательность г^ е (0,1), ] £ К, такие, что г1 ^ г2: и д(г^) ^ Ып ¡7- для всех ^ Е N. Но тогда

с/г Й 1 Г' dr 1

> 1 П > 1 ул 1 Г ^ _

./о гр(г) " ^ Л ,+1 г " 6 ^ [^П 11 =

Последнее противоречит свойству (в1). Из (02) следует также, что для любого £ > 0 (и всех функций рев)

гЕ д (г) 0 (04)

при г -> +0. Любая функция д(г) = 1п1+£ 2 , г 6 (0,1], е > 0, принадлежит множеству в. Пусть 1|о(Н.2) — множество функций № е £2ос(Р,2) таких, что для любой функции (р е Я1(R2) справедливо включение УУср е Ь2(К2) и для любого е > 0

существует константа Сеу/ > 0 такая, что для всех функций

Неравенство (1.1) означает, что функция |ТУ|2 £ Ь11ос(И2) имеет нулевую грань (в £2(К2)) относительно оператора —А = (с областью определения £?(—Д) = Я2(Я2)) в смысле квадратичных форм.

Если ТУ £ Цос(П2) и функция ТУ2 принадлежит классу Ка-то К2 (см. [6, с. 17]), то ТУ £ Ь0(И2).

Для фиксированной решетки (периодов) Л С И2 с базисными векторами Е\ и Е2 определяется элементарная ячейка К —

{® = Е№: < 1,; = 1,2};

з

Кс = = : ^ Ь = 1'2> = К ~ \ № + •

3

Пусть Ьд(А'), /5^1 (или /3 = оо), — множество периодических (с решеткой периодов Л) функций из Ь^ос(К2), Ьд(И2) — множество периодических (с решеткой периодов Л) функций из Ь0(К2). Если /3 > 2, то ЬРА(К) С В дальнейшем функ-

ции, определенные на элементарной ячейке К, будут также отождествляться с их периодическими продолжениями (с решеткой периодов Л) на все пространство И2. Для функций .9 £ в обозначим

Ь2&К) = {<реЬ2А{К): \М\1Чд,к) =

= вир / _ д(\х-у\)\ср(х)\2(12х <+сю} .

Если ТУ £ Ь2(д; К), то ТУ2 £ К2 (см. лемму 3.8), поэтому также ТУ £ Ь$(К2).

Пусть К2 Э х кц(х) € И. 3,1 = 1,2, и И2 Э х У (я) 6 М2 — (измеримые) периодические функции с решеткой периодов Л С К2

9(Х) = У^{х)Т+л^2У^{Х)Э3: хек2,

3=1

уМ е 1Ь£(К2) с Ь\(К), 3 = о, 1,2,3. Обозначим К = (^0^=1,2 , И] = д\ + , ^ — (^'1, ^2) € и2, 7 = 1, 2. Тогда

Н^{х)Н1{х) + 111{х)Н^{х) — 2 йц{х)1)

(1.2)

где = з,1 — 1,2. Если векторы /11 (ж) и

Нпри п.в. а; £ К2 линейно независимы, то И2 Э ж —>■ Н(х)Нт(х) = = (^/(я;))^/-!^ — вещественная симметри-

ческая положительно определенная матричная функция. Будем предполагать, что кц £ Ь™(К) и существует число е > 0 такое, что е ^ ¿еИь(х) = кп(х)1г22(х) - при п.в. х € И2.

Из последних условий следует, что <2, б-1 е (К; 52)-Рассмотрим оператор

2 о

.7 = 1 ^

действующий в Ь2(И2; С2) и имеющий областью определения Иф+У) = Бф) класс Соболева Н1{В?-С2). Обозначим также

2 £

= от. ■

3=1

Для любой вектор-функции ср £ Г>(Х>0) = Я1 (И2; С2) имеем

2 2

С2)

11^0^11^2(^2.02) - ^ 3 = 1

дх.

Условия У^') <Е К4(112) С Ьо(К2), з - о, 1,2,3, означают, что матричный потенциал У имеет нулевую грань относительно оператора Vо (и, следовательно, относительно оператора V (см. далее (в случае Л = Ъ2 ) равенство (1.5), разложение (1.8) и лемму 3.1)).

Следующая теорема является основной в данном пункте.

Теорема 1.1. Пусть кц € з,1 =1,2, и су-

ществует число г > 0 такое, чт,о г ^ /^ц(ж)^-22—^12(^)^21(2;) при п.в. х £ К2. Предположим, что у(°), У^3) € ^(Я2) и у(1)1 у(2) £ Ь2(д\К) С Ьд(К2) для некоторой функции д £ О. Тогда оператор

з

V + V = V 4- У(0)/+ (1-3)

3=1

не имеет собственных значений.

Замечание 1.1. В общем случае оператор Т)+У не является самосопряженным. Но если при выборе некоторых матричных функций Н(.) и У(.) оператор Ь + У самосопряжен, то в его спектре отсутствует сингулярная составляющая и поэтому спектр абсолютно непрерывен (это, в частности, есть следствие тога, что матричный потенциал V имеет нулевую грань относительно оператора V) [7; 1]. Доказательство последнего утверждения для периодического оператора Шредингера приведено в [7], но оно носит общий характер и применимо в равной степени к периодическому оператору Дирака (в последней ситуации доказательство приведено также в [8], для периодического оператора Шредингера см. также [9]).

Приведенное замечание поясняет, почему в формулировке теоремы 1.1 рассматриваются произвольные комплекснозначные функции У(°), У(3) е Ь£(К2) и У(2) 6 Ь2{д-,К) С Ь£(К2).

Замечание 1.2. Оператор Т> + У совпадает с оператором (0.2), если

2

У<')(я) =-г^Г/г^АДя), же^, / = 1,2.

При этом У О £ Ь2(д\К), I = 1,2, для некоторой функции £ в тогда и только тогда, когда А^ € 12{д\ Л), ^ = 1,2.

Один из случаев оператора (1.3) (для которого выполнены условия € С°°(К2) и У е Ь°°(Т12] М2)) рассматривался в [10]. Для постоянных функций и периодических (с общей решеткой периодов Л С Ы2) эрмитовых матричных функций У (ж) = У*(ж), Ж е К2, для которых У е 1^с{В2]М2)1 Р > 2, абсолютная непрерывность спектра оператора V + V доказана в [11; 12] (в [13] этот результат получен в случае У(°) Е Ьд(А'), /3 > 2, и У (Я = 0 при = 1,2,3). В [14] доказан частный случай теоремы 1.1, когда У £ £^с(112; Л^г)» Р > 2 (и при тех же условиях на функции Ь,^, что и в теореме 1.1). Соответствующие результаты для п-мерных операторов Дирака (с плоской метрикой) при п ^ 3 приведены в [15; 12; 16; 17].

Так как для любого А Е С оператор V + У - XI сводится к оператору £> + У при замене У*0)-А у(°), то при доказательстве теоремы 1.1 можно ограничиться только доказательством отсутствия в спектре оператора V + У собственного значения Л = 0. Можно также считать, что Л = Ъ2. Действительно, пусть

= {Еп,Е21) и Е2 = (#12, #22) — базисные векторы решетки Л С И2, для которых ЕцЕ22 - Е\2Е21 > 0. Введем новые координаты & и £2 : ®1 = Еп^ + Е12&, х2 = Е216 + 2. Тогда

где матричные функции 3 = 1,2, и У'(.) (для которых

М*(0) = E^A'K) и У'(0 = ?(*(«)) периодичны с ре-¿=1

шеткой периодов Z2 и удовлетворяют условиям, наложенным на матричные функции hj(.)t j = 1,2, и У(.) (с той же самой функцией д G G, но, возможно, с другим числом е > 0). При этом

2

Gii(*(0) = EjsElrG'ST(Z), j, I = 1,2 , £ G R2 ,

S,T = 1

где положительно определенные матрицы (С>г(0)«|Т=1,2 определяются с помощью матриц /гj (£) по формуле (1.2).

Будем в дальнейшем считать, что Л = Z2, К = [0,1)2 (Ej = ej, j = 1,2).

Пусть 0 < g ^ р < +оо, F ^ 0. Через Г(р, g, F) обозначим множество наборов {T^Q.'K] вещественнозначных функций T^Q^H G L°°(K) (вещественнозначных функций из (К)), для которых

g ^ ess inf <С ess sup Q(x) ^ р, g ^ ess inf %{x) ^ ess sup%(:c) ^ p

и ess sup |T(ж)| ^ F. Обозначим Г = (J T(p,q)F). хек p,q,F

При доказательстве теоремы 1.1 можно (также) ограничиться матричными функциями h3 (.) более частного вида, а именно, умножая оператор Дирака V + V слева на (периодическую с решеткой периодов Z2 ) матричную функцию

а(я) = xgr2

(сохраняющую норму вектор-функций из L2(R2;C2)), получим оператор

а

Эх*

3=1 3

для которого матричная функция У'(.) удовлетворяет тем же условиям (с той же функцией € (5), что и матричная функция У(.), и к[{х) = <3{х)а1 + Т(х)а2, К{х) = Щх)д2, где

д(х} _ ^.П ^22(ж) - Ьи(х)К21{х)

Т{х)

^Н221(х) + к\2(х) кц{х)к21(х) + ¡112{х)}122(х)

ущ^утщ^у

Щх) = + /г|2(х), хек2,

при этом {Т, 0,%} Е Г. Поэтому теорема 1.1 является непосредственным следствием теоремы 1.2.

Теорема 1.2. Пусть € Г. Предположим,

что

з > 3=1

где И0), У(3) е (И2) и И1), у(2) £ Ь2(д-К) с (И2) для некоторой функции д £ О. Тогда оператор Дирака

V + У(х) = (0(х)Э1 + Т(х)Э2)(-^) + Щх)Э2{-%1-) + 9(х) ,

действующий в Ь2(К2] С2) и имеющий областью определения £)(Х> + У) класс Соболева Н1(В2;С2)) обратим (т.е. у него нет собственного значения А = 0 ).

Л ' 1: »■' ( е., ■

В дальнейшем в пространствах Ь2(К) = Ь2(К\ С) и Ь2(К\ С2) норма ||.|| и скалярное произведение (.,.) вводятся обычным образом и в их обозначениях, как правило, само пространство указываться не будет (скалярное произведение линейно по второму сомножителю). Через Н1(К) и Н1(К\С2) обозначаются множества функций (р : К С и вектор-функций

(р : К —> С2, периодические продолжения которых (с решеткой периодов Z2) на все пространство К.2 принадлежат (локальным) классам Соболева (Г12) и Л"^С(К2; С2) соответственно; С1 (К) — линейное пространство функций <р: К —» С, которые периодически продолжаются на пространство К2 до функций, имеющих непрерывные частные производные до порядка I включительно, / € = N и {0}; С (К) - С0 (К), С00(К) = Г\С1{К). Пусть Щ(К), I £ 14, /3^1,— про-

I

странство функций / : К —)• С, периодические продолжения которых (с решеткой периодов Z2) принадлежат пространству И^СИ2) (И^(И2) — пространство функций / € ^(И2), все частные производные которых до порядка I включительно также принадлежат пространству ^(И2); И^И2) = Н1(К2)). В силу теоремы Соболева [18, гл. о, теорема 2] \VI (К) С С (К) при

Коэффициенты Фурье (вектор-)функций <р £ Ь1{К] С**), с/ = 1,2, будем обозначать через

Положим Щ{К) = {ср £ И1 (К) : щ = 0}, С0'(А") = С'(/1) : <А) - 0}, I £ или I = оо, С0(А') = С0°(К). (Через Со°(К2) обозначается пространство функций из С°°(К2) с компактным носителем.)

Используя функции (р £ Н1(К), можно дать другое определение (эквивалентное введенному) множеству Ьд2(К2) периодических функций (с решеткой периодов Z2) из 1Ьо(К2) : периодическая функция ТУ £ Ь%2(К) принадлежит множеству 1Ьр2(112), если для любой функции <р £ Нг(К) справедливо включение УУ<р £ Ь2{К) и для любого е > 0 существует константа С^уу > 0

такая,, что для всех функций ср £ Н1(К) выполняется оценка

/3 > 2.

\\№ч>\\щк) < е №<р\\щк-,с*) + Ы\щк) (1.4)

(аналогичное утверждение, конечно, справедливо для периодических функций из ]Ь0(К2) с любой решеткой периодов Л С К2).

Пусть {Т,<3,Щ £ Г(р,д,Р) и к, х € К2, к$ = (е^к), щ -(е^-,х), з — 1,2. Обозначим

2 д Х>0(/с + г'х) = ]Г+ гз<з - г —) , . . ■ « з=1 3

3(к + гх) = {дэх + Та2) (кг + гх\ - X —) + Пи2 (к2 + гх2 - г —) .

Операторы Т>0(к + гх) и Т>(к + гх) действуют в £2(/1";С2), £>(Р0(й + гх)) = £>('5(/г + гх)) - Я1 (А'; С2). При этом

7 = 1 ^

для всех вектор-функций £ Я1^; С2). Определим операторы 4(Л + гх) = (0 ± гТ){кг + гх! - г ± Ш(к2 + гх2 - г ,

ОХ\ ох2

В$±{к + 1х)) = Н\К)сЬ2{К)', 4 = 5±(0). Имеем

% + гх)=^ ° ¿-(к + гх)\ (1.5)

1 ; Ц.(* + гх) 0 у 1 ;

Существуют числа сх = сх(р, д, Г) > 0 и с2 = с2(р, д, F) ^ сх (см. (1.5) и лемму 3.1) такие, что для всех векторов к £ К2 и всех вектор-функций (р £ Н1(К\ С2)

С1\\30(кМ2 ^ \\Т>(к)(р\\2 ^ с2||50(к)<р\\2 (1.6)

(отсюда, в частности, следует замкнутость операторов Щк)). Из равенства (1.5) и леммы 3.2 вытекает, что область значений

ЩЩк)) операторов Т>(к) при к £ 2-кЪ2 совпадает со всем пространством Ь2(К; С2) = Д(Х>о(&)) )• Если к\ — 7г, то

11А>(ВД1 > т|М1 • (1-7)

Матричный потенциал V можно также рассматривать как оператор в Ь2(К\ С2). Так как е Ъ$(И2), 3 - 0,1,2,3, то из (1.4) следует, что он имеет нулевую грань относительно операторов Ьо(к)} к € И2, и, значит (см. (1.6)), относительно операторов 3(к), к £ К2.

Оператор Дирака V + V унитарно эквивалентен (см., например, [19; 1.2]) прямому интегралу

[ е (£(« + ?) (1.8)

^ 2-пК (2^)

действующему в

^ 2ттК (2яТ

(вектор к = € 2тсК С И2 называется квазиимпуль-

сом). Унитарная эквивалентность устанавливается с помощью преобразования Гельфанда [20]. Так как операторы Т>(к) (например, при к\ — к2 = 7г (см. (1.5), (1.6) и лемму 3.2) и, следовательно, при всех к £ К2) имеют компактную резольвенту (которая аналитически зависит от компонент квазиимпульса к ) и матричный потенциал V имеет относительно операторов Т>(к) нулевую грань, то из представления оператора Дирака V + V в виде прямого интеграла (1.8) и из аналитической теоремы Фред-гольма вытекает [21, § XIII. 16; 7], что если А = 0 — собственное значение оператора Р + У, то А = 0 — собственное значение операторов Т>(к-\-1х)-\-У для всех & + С2. Следовательно, для доказательства теоремы 1.2 достаточно найти комплексный квазиимпульс к+гх £ С2 такой, что оператор Т*(к+гх)+У обратим (имеет нулевое ядро). Поэтому теорема 1.2 является следствием теорем 1.3 и 1.4.

Теорема 1.3. Пусть £ Г(р, д,^), д € О и

у(°), У(3) £ ЗЬ?2(И2) и У(г), У<2) £ Ь2{д-К) с К,?2(К2). Тогда найдутся такие векторы к', х' £ И2 и (комплекснознач-ные) функции Ф', Ф' £ (К) ПС(А'), что умножение на функции е±гф и матричные функции не выводит за пределы пространства Н1(К]С2),

2

тах{||Ф'||1/Оо(/0,||Ф/||Ьоо(/<)} ^ со^Г^Ь^лг).

где со = Со(р, д, р) > 0, и для всех векторов к, х £ П,2 справедливо равенство

3(к + гх) + У =

Теорема 1.3 непосредственно вытекает из теоремы 4.1, которая доказывается в разделе 4. В условиях теоремы 1.3 имеем

е-2?зФ ' (0) + у (3)Эз) = у(0)?+у (3)Эз 5

где

у(0) = у(0)с112Ф'-у(3)3Ь2Ф', У(3) = -У(0)8Ь2Ф/ + У(3)СЬ2Ф/;

у(°) £ (И2) и у(3) £ ь$2(И2).

Теорема 1.3 сводит задачу нахождения комплексных квазиимпульсов к + гх £ С2, для которых обратим оператор Т>(к + гх) + У, к такой же задаче, но для более узкого класса матричных потенциалов У, имеющих вид У = у(°)/ + у(3)аз (у(°), У (3) £ (К2)). Матричные потенциалы этого вида рассматриваются в теореме 1.4.

Теорема 1.4. Пусть £ Г(р, д, и у(°),

у(3) £ Ьд (К2). Тогда найдутся вектор е £ 51 С И2 и сколь угодно большие числа р, > 0 такие, что для всех векторов к £ И2 : к\ тс и всех вектор-функций <р £ Я1 (К; С2) справедливо неравенство

\\ф{к + ще) + У (°> 7 + У {3)Э3М > с'е~^ |М|,

где с = ф,д,^;У(°),У(3)) > 0 и = > 0.

Теорема 1.4 является следствием теоремы 6.5 и доказывается в разделах 5 и 6.

2. О спектре двумерного периодического оператора Шредингера

Пусть Б.2 Э х -»• д(х) — (6^)^=1,2 — вещественная положительно определенная матричная функция, С12 = С21, <5, б"1 £ 1Л>(К2;.М2), Л(з) = (АЦя), А2{х)) £ С2

— векторнозначная функция, £ Ьо(И2), .7 = 1,2. Функции О и Л — периодические с решеткой периодов Л С К2. Будем рассматривать пблуторалинейную форму в Ь2{Ы2)

Ъ)О»(~г ± - Л,)

с областью определения (¿(УУ) = Я1 (И2) Э ф, <р.

Для а > 0 и 6^0 через УаДЛ) обозначим множество по-лутаралинейных форм в £2(112) (линейных по второму

аргументу), ф,(р £ = Я^К2), для которых

(VI) У{ф{.-<у),<р{.~7)) = У[ф,<р) для всех ф, ср е Н\К2) и воех 7 £ А (т.е. форма V предполагается периодической с решеткой периодов А),

(У2) \>(е^к'х^ф) ф) = для всех А; £ И2 (и всех

ф, ^£Я1(К2)),

(V3; a, b) для всех <p E Hl(R2)

|V(y>,y>)| ^ a||V^||22(R2;C2) + 6||^||22(r2) . ^

Если V E Уа)б(Л), a > 0, b ^ 0, то для функций ф, ip € II1 (R2) выполняются также следующие условия (см. лемму 7.1 и оценку (7.2)):

(V2)' V(fil>,<p) = V(iPJcp) для всех функций / 6 C^R2), для которых sup \f(x)\ < +оо и sup |V/(®)|C2 < +оо, XGR2 X6R2

(V4) \?(ф,<р) = 0, если supp-0 П suppc/? = 0; и справедлива оценка

(2.1)

/ \ 1/2 2 ||V^||i2(R2;C2) + b ||^Hl2(r2)J X

/ \ 1/2 X^a||V^||22(R2;C2) + 6||^|22(R2)J .

Пусть Vo(A) — множество иолуторалинейных форм V таких, что для любого е > 0 существует число Се — Ce(V) > 0 такое, что V Е Veice(A).

Замечание 2.1. Формы V Е V0(A) могут иметь

вид

J R2

(для функций ф, ip Е C£°(R2)), где ¿г — комплексная периодическая с решеткой периодов А борелевская мера (с локально конечной полной вариацией), но множество V0(A) не исчерпывается только формами такого вида. Соответствующий пример приведен в разделе 7.

Пусть V^6(A), а > 0, 6^0, — множество неотрицательных форм V Е Уа,б(А) (V(<£>, ф) ^ 0 для всех ip Е tf^R2)). Через Vq (А) и У^(А) обозначим соответственно множество неотрицательных форм из Vo(A) и множество форм V Е V0(A), для

которых существует форма V+ = V+(V) £ Vq (Л) такая, что при всех if £ /f1(R2).

Если

У{Ф, (р) = [ Уфср d2x , ф, Lp £ tf^R2) , J R2

где У — периодическая (с решеткой периодов Л С R2 ) функция из класса Като /1*2, то (см. лемму 3.8) V £ Vq^(A) [6; 22].

Пусть А_(ж) —минимальное (из двух) собственное значение матрицы G(x), х £ R2, a_(G) = ess inf Л_ (ж) > 0. При сделан-

ных предположениях относительно периодических функций G и А и в случае V £ Уа|ь(А), где а £ (0,а_ ((?)), 6 ^ 0, квадратичная форма W(A]<p,<p) + V(cpt (р)} <р £ Q(W + V) = #X(R2) С L2(R2), является замкнутой и секториальной. Поэтому она порождает m-секториальный оператор H(A,V) с некоторой областью определения i)(H(A,V))c^(R2) [23; 24, § VIII.6 и с. 336].

Следующая теорема является основной теоремой данной работы, относящейся к периодическому оператору Шредингера.

Теорема 2.1. Пусть G = {Gji)j}i-\y2 — вещественная симметрическая положительно определенная матричная функция, периодическая с решеткой периодов А С R2, G, G~1 £ Z/°°(R2; АЛ2). Предположим, что detG £ Щос(R2),

detG £ Lg(R2), ¿ = 1,2,

V £ Vq+^(A.) и для некоторой функции g £ G

A;e%/()cL0A(R2), ¿ = 1,2.

Тогда оператор H(A,V) не имеет собственных значений.

Если в условиях теоремы 2.1 Aj — вещественнозначные функции, а форма V эрмитова (т.е. У(ф}р) = \>(<р,ф) для всех

V>, <p £ H1 (К2) ), то оператор Я (А, V) самосопряжен и его спектр абсолютно непрерывен (см. замечание 1.1 после теоремы 1.1, а также [7; 1]).

Пусть LPW(K), р ^ 1, — множество измеримых функций W : К —> С (где К — элементарная ячейка решетки А С R2 ), для которых

sup ¿(mes {ж £ К : \W(x)\ > t})1/p < +оо, t> о

Li,о (Ю =

= {Ж € "Tim"" i (mes {x 6 7i: \W(x)\ > t})l/p = 0}.

i—>-f-oo

Предположим, что V и Aj , j = 1,2, — вещественнознач-ные (периодические с решеткой периодов А) функции. Первый результат об абсолютной непрерывности спектра периодического оператора Шредингера был получен JI. Томасом [25] для оператора

-Д + У(ж), (2.2)

действующего в L2(R3), где V € Lj2oc(R3). Метод доказательства, предложенный Л.Томасом, использовался во всех последующих работах. В [21] результаты работы [25] обобщены на п-мерные операторы Шредингера (2.2) с периодическим потенциалом V, для которого V £ ¿¡^(R71) при п = 2, 3 и

NE А* п

при п ^ 4 (Удг — коэффициенты Фурье потенциала У, А* — обратная решетка). Периодический магнитный оператор Шредингера

рассматривался в [26] в случае V = О, А £ C1(Rn; Rn), п ^ 2, и при ограничении ЦАЦ^оо^п.^п) ^ с* (где с* = с*(п, Л) >0). Абсолютная непрерывность спектра оператора (2.3) при п = 2 доказана М.Бирманом и Т. Суслиной вначале при А £ C(R2;R2),

V £ L2oc(R2) [27], а затем в более общем случае AeL^c( R2;R2),

V £ Lq[oc(R2), q > 1 [28]. При n ^ 3 абсолютная непрерывность спектра оператора Шредингера (2.3) была установлена А.Соболевым [29] для периодических потенциалов V £ L\(К), q > re - I, и А £ C2n+3(Rn; Rn). Это утверждение в дальней-

п/2

шем было усилено: в [2] предполагается, что V £ LJ 0(К) при п = 3,4 и У £ L^q(A') при п ^ 5, а в [30; 1] было ослаблено условие на векторный потенциал до условия А £ //^(R™; Rn), 2q > Зп-2 (в [1] предложен общий подход к исследованию периодических эллиптических дифференциальных операторов, обобщающий построения А.Соболева [29], а также доказывается отсутствие собственных значений в спектре периодического оператора. Шредингера с комплексными потенциалами V и А). Условие А £ #,7oc(Rn; Rn), 2q > 3n - 2, было независимо получено также и А.Соболевым (см. замечание в конце обзорной статьи [2]). В [3] при всех п ^ 3 доказана абсолютная непрерывность спектра оператора Шредингера (2.2) с периодическим потенци-

п/2

алом V £ Lw 0(К). Скалярные потенциалы более общего вида (при А = 0) рассматривались в [22; 31]. В [22], в частности, при п = 2 получен результат об абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера (2.2) с периодическим потенциалом V из класса Като К2. В [17; 32] абсолютная непрерывность спектра

п/2

оператора (2.3) доказана в случае V £ Lw 0(K) при 3 ^ п 6 и

V £ LIS (К) при п ^ 7, при этом А £ C^R71; Rn) и предполагается, что либо А £ НЦос(Rn;Rn), 2q > п - 2, либо ряд Фурье (периодического) векторного потенциала А абсолютно сходится. При п = 2 периодический оператор Шредингера (0.1) с переменной метрикой G впервые рассматривался А. Морамом [10] при G £ C°°(R2; М2)) ciet G = 1, Aj £ C°°(R2), j = 1,2, и

V £ L°°(R2). В дальнейшем П. Кучментом и С. Левендорским

[1] было показано, что в случае С £ Ст+а(К2;М2), где т £ Z+ = N и {0}, а £ (0,1), существуют периодические изотермические координаты у(х) е Ст+1+а(Зг12; И2), приводящие матричную функцию (метрику) Сг к конформному (скалярному) виду (3 — ш2{х)Со (где ¿го — постоянная матрица и и — скалярная функция), при этом матричная функция О остается в классе Ст+а{К2] М2). Использование периодических изотермических координат позволило ослабить ограничения па функции V, А и С, На этом пути в [33] была доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (0.1) при € И^1ос(112), -г > 1,

3,1 =1,2, А £ Ь^с(К2] И2), V = VI + , где € Ь*{К), £ — периодическая (с решеткой периодов Л) система кусючно-гладких кривых, ¿е — дельта-функция, сосредоточенная на Е, а £ 19(ЕП Л') (если матричная функция С! имеет конформный вид, то на нее накладывались более слабые условия гладкости, но в любом случае О^ £ И/21ос(К2), з,1 = 1,2, для некоторого q > 1). Наиболее общее условие на матричную функцию €1 было затем приведено Р. Штеренбергом в [34] (см. также несколько более слабое утверждение в [35]): с1е1(5 Е И^11ос(К,2), д > 2. В [34] предполагается, что А = 0 и электрический потенциал задается как обобщенная функция, формально записываемая в виде V = ^пг, где и — периодическая борелевская знакопеременная мера (заряд), удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям (разным для положительной и отрицательной вариаций меры и). В данной работе по сравнению с [34] ослаблено условие на матричную функцию (3 и предполагается, что А£ Ь2(д]К), з = 1,2, для некоторой функции д £ в, а электрический потенциал задается как квадратичная форма V £ Уц^(Л). Предложен новый подход к исследованию двумерного периодического оператора Шредингера (0.1), не использующий замену координат, приводящую матричную функцию 0{х) к конформному виду, и опирающийся на результаты о периодическом операторе Дирака (0.2). При п ^ 3 абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шредингера с

переменной метрикой

в общем случае пока не доказана (даже для бесконечно дифференцируемых функций V, А и Сг). В [5] приведено доказательство этого утверждения (при V Е С°°(КП), А Е С°°(Кп]Кп) и вц Е з,1 = 1,...,п, где 5 = ~

вещественная симметрическая положительно определенная матричная функция, для которой также (б^-1)^ Е С°°(К2), ¿, / = 1,..п), если оператор (2.4) инвариантен относительно симметрии XI —— жх. В [4] (при п ^ 3) рассматривается конформная (скалярная) метрика и для электрического потенциала допускается слагаемое, пропорциональное дельта-функции, сосредоточенной на периодической системе кусочно-гладких гиперповерхностей (остальная часть электрического потенциала и магнитный потенциал удовлетворяют условиям из работы [28]).

При доказательстве теоремы 2.1 (как и при доказательстве теоремы 1.1), делая линейную замену переменных, можно считать, что Л = 7?, К — [О, I)2 (при этом условия, наложенные на форму V и функции А и О, не изменяются (функцию д Е О можно выбирать той же самой)). Делая замену формы

У{ф,Ч>) - Л [ ф<р<Рх У(ф,<р) , ф, <р Е Н\К2), ■/л2

где ЛбС, также можно ограничиться только доказательством обратимости оператора Я (А, V) (отсутствия у него собственного значения Л = 0). Поэтому теорема 2.1 следует из теоремы 2.2.

Теорема 2.2. Пусть Сг = (011)1,1=1,2 — вещественная симметрическая положительно определенная матричная функция, периодическая с решеткой периодов Z2 С К2, С, С?-1 Е Ь00(К2-,М2)' Предположим, что с1е1;<5 Е Я11ос(К2),

д

-—- с!е10 Е 2 (И2) , ¿ = 1,2,

и для некоторой функции д £ в

А^Ь2{д]К) сЬ?а(К2), /=1,2.

Тогда для любых чисел а Е (0, а_ ((?)), найдется число

а' — а'(а, Ь\ С, А) £ (0, а] такое, что для всех чисел Ь' ^ 0 и всех полуторалинейных форм V £ Vа,ь(22) П¥а/1;)/(72), для которых найдется полуторалинейная форма У+ £ V* 6(22) П V*, ь,(%2) такая, что |У(<£,с^)| ^ для всегс (¿> Е Я1(К2), оператор

Я(А,У) обратим (т.е. у него нет собственного значения А =

о;.

Будем далее предполагать, что А — Ъ2 и К — [0,1)2. Разложим пространство Ь2(Ы2) в прямой интеграл

ЛтгА' (2тг)^

с помощью преобразования Гельфанда и [20], которое вначале определяется на функциях из класса Шварца ^(И2) :

(£?¥>)(*, х) = £ е~^х+п^(х + п), к, х £ К2 , пег2

и взаимно однозначно отображает на множество бесконеч-

но дифференцируемых функций И2 X И2 Э (к, х) х) € С

таких, что для всех т, п 6 (и ж £ И2)

+ 2тгт, х + п) = х) (2.5)

(точнее, рассматриваются ограничения таких функций на множество 27тК X А', которые однозначно определяют (в силу (2.5)) их значения на всем пространстве II2 х И.2 ). Для обратного отображения имеем

Лтг к (2тгИ

Преобразование Гельфанда Ь затем по непрерывности продолжается до унитарного отображения пространства Ь2(И2) на

/ Ф Ь2{К)

¿2тг К

в? к (Зтг у

Множество иН1(И2) состоит из функций [3]

<р£

Ь2(К)

в? к

\2 '

'2 ПК (2л-)'

для которых ^(/с,.) € Н1(К) при п.в. к £ 27г К и

(/' д<р(к, х)

дх3

в?х

£

¿=1

Для всех к £ 2пК и (р £ Я1 (К2) имеем

(12к (2тГ

< +оо

. 5

Пусть /с, X 6 И2,

УУ(А; к + ф, ф) =

-г

дх-

- А; + к3 - гх^ ф, 031 ^-г - А/ + /с; + ^

-д

— полуторалинейная форма в Ь2(К), ф, <р> £ = Н1(К)

(см. оценку (1.4), которая выполняется для функций А3 £ ^(Л2), У = 1,2 ). Тогда [3; 2]

Г2тГ К

(Рк

(2Ж )'

(2.6)

для всех ф, (р £ Я1 (К2). Выберем любую полуторалинейную форму V £ ¥а,ь(г2), где а е (0,а_(б)) и Ь > 0.

Пусть П', П" £ С^{К2), £ О'(ж-та) = 1 для всех ж € Ы2,

пег 2

= 1 в некоторой окрестности множества зирр^'. Выберем функцию в £ С°°( Я), для которой 0(£) = 1 при и »(0 = 0

при £ ^ 1. Положим = - ЛГ)0(|ж2| - Я), IV £ И,

х Е Я2. Пусть Ф, <р £ Н1(К) (и функции ф, </? периодически продолжены на все пространство И2 ). При достаточно больших ЛГ Е N (чтобы определяемые далее множества М- (Л7") яе были пустыми) обозначим

АГ_(ЛГ) = {та Е г2 : 0лг(ж) = 1 для всех х £ 8иррО'(. - та)}, Л/+(]У) = {тта Е г2 : эирр'(. - т) Пвирр^. - та) ф 0 для некоторого та Е Л/1 (ТУ)},

^ ' тел/,+ (л/г)1пелЛ>(лг)

Тогда </>) —Удг(^, <£>)| —> О при ]У —+оо. С другой стороны

(см. (VI) и (У4)),

при N +оо. Поэтому существует предел

= Щ)2 УМ>в*<Р) = У(Ппф,П,<р), (2.7)

который не зависит от выбора функций О,', £1" и 0, удовлетворяющих приведенным выше условиям. Из (2.7) следует, что для всех Е Я1 (К) и к Е К2

у>)| < а ||(* - г"У)^||22(А,с2) + Ь \Ы\1ЧК)

(в (УЗ;а,Ь) (в силу (У2)) можно сделать замену V к - «V, к Е И2 ), поэтому (см. вывод оценки (7.2) из (7.1) в разделе 7)

\ПФ,<р) (2.8)

^ 2 (а ||(к - \\2Щк.&) + b ШЬ{К)) х

/ \ 1/2 x уа ||(& - ivmh(k;c*) + b ыъ{к))

для всех ф, <р 6 Н1{К) кк£ R2. Из (2.7) и (V2) для всех п £ Z2 (и всех ф, <р £ Ii1 (К)) вытекает равенство

поэтому также

V(/1M = %./¥>) (2-9)

для всех функций / £ С1 (К).

Если V+ € V+6(Z2), а > 0, 6 ^ 0, то из (2.7) следует, что

V+(<y2, у?) ^ 0 для всех (р G Я1 (Л'). Если, кроме того, V £ Va)b(Z2) и |V(<p', <р')\ ^ для всех функций </ € Я^К2), то

также |V(v?, ^ V+(<^, (¿>) для всех функций <р £ Н1(К) (см. (2.7)).

Обозначим через V*6(Z2), а > 0, множество полу-

торалинейных форм V £ Va)i,(Z2) таких, что для всех векторов k £ R2 : к\ — тг и всех функций ф, <р £ Н1(К) справедлива оценка

IЩф, ф)\ <С а ||(/с - Ж)ф\\1ЧК;С2] II(Ä - t"V)v>|\h{K;C*) +

+ь\\Ф\\1цк)М\1чку

Замечание 2.2. Для формы V из примера 7.1 (при А = Z2, см. раздел 7) можно показать, что для любого а > 0 существует такое число b > 0, что V £ V* 6(Z2).

-, Лемма 2.1. Предположим, что для формы V £ Vai)bl(Z2) n Va2i62(Z2), dj > 0, bj > 0, j = 1,2, можно найти такую форму V+ € V+ _ bi (Z2) П V+ h (Z2), что \V{<p,ip)\ ^

ф) для всех <р Е Н1(К). Тогда для всех векторов к £ К2 : кг = 7г и всех функций ф, <р Е Н1(К) выполняется неравенство

(2.10)

Доказательство. Из поляризационного тождества (см. доказательство неравенства (7.2)) следует оценка

|У(^)| ^ 2 (У+«>, ¥> € Н1(К).

Обозначим Х^Ц^-гУ)^!!^^.^), = || (/г - гУ)^||22(к.с2) ,

П = 1М1, = М > > уь ^ тгУ2 ^ У2. Так как

то

\У(ф,<р)\ ^ 2(а^12 + 6,У12)1/2(а,Х2 + 6;У22)1/2 <С (2.11)

<: 2 (^/57*1 + у/Ь]Ух){у/щХ2 + Ау2) , Ь 1 = 1,2

(два из этих четырех неравенств являются также следствием (2.8)), поэтому в случае у/а^Х^ ^ у/Ъ^У^ ] — 1,2, получаем

\У{ф,<р)\^8Ь2У1У2. (2.12)

Предположим теперь, что либо у/а^Хх > у/Ь^Ух, либо у/а^Х2 >

Уг- Для определенности можно считать, что у/02X1 > у/Ь^Ух- Тогда из (2.11) следует оценка

Ч>) I 2 XI + У^У1)(лАТХ2 + у/Ь~гУ2) < (2.13)

< 4^X1(^X2 -\-Vb~xYx) ^ 8л/а2(ах + Ъх)ХхХ2. Из (2.12) и (2.13) вытекает неравенство (2.10).

Если ф, <р € CS°(R2) (и VeVa,b(Z2), ae(0,a_(G)), 6^0), [ Уфф,б<р) =

J2-kK \Z7r)

f у / £ е'^^Щх + п), £ е-^^ф + т))

^^ neZ2 mGZ2

= / V (fi" ^ + fi'x

^27гК ^ nez2

meZ2

Г d2k

•m, m€ Z2

= ^ + = £ V(ж + та),iîV(® + n)) =

nez2 nez2

= £ fi'(. - n)y>) = v U, ( Y^ - n)) <p) = У(ф, cp)

nez2 ^ nez2 ' '

(нетрудно видеть, что сделанные перестановки суммирования корректны (см. свойство (V4))). Так как множество Co°(R2) плотно в #X(R2) (и справедливы оценки (2.1) и (2.8)), то

г _ ^ И2 к

I>{<ф,ч>)= / У(и<ф,и<р)—ъ, ф,ч>ен\п2). (2.14)

Из условий, наложенных на функции A, G и форму V , следует, "что квадратичная форма

W(A] к + гх\ tp, (р) + ip) ,

Ч> £ + V) = Н1(К) С Ь2(К), для всех & +гх £ С2 замкнута и секториальна. Пусть Я(А, V; & + гх) — т-секториальный оператор, порождаемый этой формой [23; 24, § VIII.6]. Справедливо разложение (см. (2.6), (2.14)) [21; 3; 2]

- - - Г ~ И,2 к

иН(А, УК/"1 = / ф Я (А, У; Л) —^ .

ЛтгК (2тг)

Так как операторы Я(А, У; к + г'х) имеют компактную резольвенту, то для доказательства отсутствия в спектре оператора Я(А,У) собственного значения А = 0 достаточно доказать, что найдутся векторы к, х £ И2 такие, что оператор Я(А, У; & + гх) обратим [21; 7; 1; 2] (этот метод доказательства восходит к работе Л.Томаса [25]). Поэтому теорема 2.2 является следствием леммы 2.1 и следующей теоремы.

Теорема 2.3. Пусть функции & и А удовлетворяют условиям теоремы 2.2. Тогда найдется число а = а(£г, А) £ (0,а_(С7)) такое, что для любого числа 6^0 существуют вектюры к, х £ К2 такие, что для любой ненулевой функции £ Н1(К) моэюно выбрать такие функции ф\ , ф2 € Я1 (Л*), что для всех полуторалинейных форм V € V* справедливо

неравенство

£ (УУ(А; к + гх; фЯ1<р) + У(ф,, </>))

Я=1

> 0.

Теорема 2.3 непосредственно вытекает из теоремы 8.1, доказательство которой приведено в разделе 8.

3. Свойства операторов й±(к)

Будем в дальнейшем (не всегда это оговаривая) предполагать, что {Т, $,1~С} £ Г(р, д, F) для некоторых чисел 0 < д ^ р < +оо, Г ^ 0. Пусть к = (кик2) £ И2, К{х) = (д{х)Щх))~112) х £ К\

ф е В1 (К). Так как

Ее (Кд{кх - " ^М = 0 >

то

\\ы±(к)<р\\2 = (3.1)

= Ц«й;- ¿¿)И|2 + - ¿¿) + Щк2 - ¿¿))И|2-

Для всех чисел а, ¡3 € [р, д], 76 [—^ ^ и а, 6 6 С выполняются неравенства

М2 + |7в + /?6|2 > 2+ р (И2 + |6|2) > (3.2)

Поэтому справедлива (см. (3.1) и (3.2)) следующая лемма.

Лемма 3.1. Пусть 0 < д ^ р < +оо и F ) 0. Тогда для всех наборов £ Г(р, всех векторов к Е И2 и

всех функций £ Н1(К) выполняются неравенства

2 2 с> (£№ - ¡¿М2) < мер, - ¿¿м I2) •

.7=1 ¿=1 7

где С1 = дУ~2(2д2 + /?2)~1, с2 = 2 (р2 + ^2).

Следствие 3.1. Операторы (1±{к^ замкнуты, кет с1±(к) = {0}, если А; ^ 27rZ2, кегс£+ = кегс£_ — одномерное подпространство в Ь2(К), состоящее из постоянных функций.

Следствие 3.2. Множества значений 1{(с1±(к)) операторов с1±(к) замкнуты.

Для наборов {Т',д', 71'} £ Г условимся обозначать

21 (к) = (д'± гТ'^кг - ± т'(к2 - .

На множестве Г введем метрику

= тах{||:г - Т'\\Ьоо{К), \\д - д'\\Ьоа{К]) \\и - П'\\ь-{К)} •

Лемма 3.2. Для всех £ Г имеем сНт сокег

= 1 и ЩИ±(к)) = Ь2(К), если к <£ 2тгг2.

До^к азател ьство. Будем рассматривать операторы <1±(к) для наборов £ Г(р, (при фиксированных числах 0 < д ^ р < +оо и F ^ 0). Предположим, что к £ сокег 5±(&)\{0}. Пусть К'} £ Г(р, д, и

1/2

(где число ci = ci(p, q,F)> 0 определяется в лемме 3.1). Тогда для любой функции <р £ Н1(К)

||h - dl(k)v\I2 ^ (lift - 4(*MI - 11(4« - 4«MI)2 > > \ lift - 4«vII2 -11(4« - 4«)И12 = = 5 M2 + 5 Il4«v>ll2 -11(4(4 - ¿¿«HI2 ^

J=1

'3

2 Q

a,nh {T\g\W}) ]Tlife - £ p^ll2 > о.

3=1 Xj

Поэтому h R(d±(k)) и, следовательно, сокегd±(k)f\R(dJ.(k)) — {0}. Отсюда получаем, что dim сокег d±(к) ^ dim сокег d±(к). Так как операторы d±(k) и d±(k) (в данном доказательстве) равноправны, то dim сокег = dim сокегd±(k) для всех на-

боров {T,G,U} £ r(p,g,F) и £ Г(p,g,F), для кото-

рых

Но число Ci > 0 зависит только от р, q и F, поэтому dim сокег d± (к) — постоянные функции для всех наборов {f, 6 Г(р, g, F) и, следовательно, для всех {T.Q^H} £ Г.

С другой стороны, для операторов

имеем dim сокег 5± = 1 и jR(t/±(fc)) = L2(I<), если к £ 2tvZ2. Для всех функций ср £ Н1(К) справедливо равенство

= (3.-3)

(где черта означает комплексное сопряжение).

Лемма 3.3. Пусть О — область в Ы2, М' С О — измеримое множество, тевМ' >0, </> Е Н1(0) и <р(х) = 0 при п.в. х £ М'. Тогда также = 0, I = 1,2, при п.в. ж € М'.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что М' + Ле £ С для всех е € 5х и ¡г Е (0,£], где е — любое (сколь угодно малое) положительное число. Обозначим ^

/г £ (0,£], ж £ М'. Тогда

H^eJIi^M') ^

L2(o)

IK-f^L(M')^0

при h +0, / = 1,2 (см. [36, с.119]). Найдется последовательность hj G (0,г], j G N, такая, что hj —>• 0 при j —» +oo и при п.в. ж G M', / = 1,2, имеем

**<•)-(3.4)

при j —»• -foo. Положим

Mi = МП (M - /bei) n (M - he2) .

Для любого j G N существует число ¿/(j) G N такое, что mes Ml ^ —2J+1 + mes M'. Пусть M'(J) = f) M^ . , J G N.

Тогда <£efW (ж) = 0 при п.в. ж G M'(J), J G N, и при всех j ^ J, / = 1,2. При этом mes M'(J) ^ -2J -{-mes M'. Отсюда получаем,

что (®) о при j -foo при п.в. ж G M', /=1,2. Вместе с (3.4) это доказывает лемму 3.3.

Пусть m с к — измеримое множество, mes m > 0. Обозначим L2M(I<) = {</? g L2(K) : <^(ж) = 0 при п.в. ж g К\М} С L2(K), L2K(K) = l2(jc). Если g Н\К) п Ь2М(К), то из леммы 3.3 следует, что d±(k)ip g L2M(K). Определим операторы dg : L2M(K) L2M(K), для которых = ¿±<¡0, g £(¿£0 = ЯХ(К) П L^(Ä') (возможно, H1 (К) П L2M(K) = {0}). Если mesК\М > 0, то keid$? = {0}.

Лемма 3.4. Пусть M с К — измеримое множество, mes M > 0. Тогда R(d±) —замкнутые множества (подпространства) в Ь2М(К) и dim cokerdj^ ^ 1.

Доказательство. Если mes К\М = 0, то лемма 3.4 непосредственно вытекает из следствия 3.2 леммы 3.1

и из леммы 3.2. Поэтому можно считать, что mes К\М > 0. Из (3.3) также следует, что можно ограничиться только рассмотрением оператора d^f. Докажем замкнутость множества R(df). Пусть фи = d^Vv -Уфе L2M(I<) при z/ +оо, где Фи £ D(d.С L2M{K), v G N. Положим

о-и = (Фи)о = / Фи d2x . J К

Тогда = фи-аи G Щ(К), v G N, и фи — d+ip'v. Из следствия 3.2 леммы 3.1 получаем, что ф — d+ф для некоторой функции Ф G Щ(К). Тогда (см. лемму 3.1)

2

£

dxj

0

ЩК)

j=l

при и —> -foo и, следовательно,

У - МЬ(К) 0 , z/ +оо . (3.5)

Пусть К' С К\М — измеримое множество, mes А'' > 0 и mes К\(М U К') > 0. Определим функцию в%,{х) = mesK\(MU К'), если х G К', 9%,{х) = -mes К\ если х G К\(М U К'), и 6>^,(ж) = 0, если х е М. Имеем (9%, ,ф'„) - 0 для всех v G N, поэтому (см. (3.5)) (в^, ,ф) = 0. Из произвольности выбора множества К' вытекает, что <р(х) = а (= const) при п.в. х £ К\М. Но тогда ф — а £ D(d™) = Hl(I<) П Lj, (Я) и - а) = ф,

что доказывает замкнутость множества R(d+). Теперь аналогично доказательству леммы 3.2 (с помощью леммы 3.1) получаем, что dimcoker d+ — постоянная функция на пространстве (Г, Роо) (возможно, принимающая значение +оо). Однако характеристическая функция хм множества М принадлежит пространству L2M(I<) и при G = Н = I, Т = 0 имеем (хм/^ф) =

J = 0 для всех ф G D(d^) = Н1(К) П Ь2М(К), поэтому

к

dimcokerdj* ^ 1 при Q ■= И = 1, JeO й, следовательно, для всех наборов {J7, Q■,%] G Г.

Будем обозначать через Р(С) ортогональный проектор в Ь2(К) на (замкнутое) подпространство С. На множестве ортогональных проекторов рассматривается (равномерная) операторная топология (порождаемая операторной нормой).

Лемма 3.5. Функции (Г(р, д, Р), р^) Э Р(сокег равномерно непрерывны.

Доказательство. Из равенства (3.3) следует, что достаточно рассмотреть только случай оператора Пусть О < г < у^Г. {^.Я} € 1>,д,Р) и £ Г(р,<?,Р),

при этом

ф Е Ь2(К). Без ограничения общности можно считать, что ||Р(сокег(1+)ф\\ ^ ||Р(сокегс^)^>||. Обозначим ф' = ф--Р(сокег<1_1)ф. Найдется функция р Е Н1(К) такая, что ф — Р(сокег с1+)ф = Из леммы 3.1 следует оценка

д(р

дхг

+

д<р

дх<

<

Имеем

4г2

^ — тт{|Н+И1МК>||2} •

||Р(сокег ¿+)ф\\ ^ \\ф- <С ||Р(сокег(1+)ф\\-\-4-11(5+ - ¿>|| ^ ||Р(сокег 3+)ф\\ + \$+<р\\.

Поэтому

\\ф' - ¿1<р\\ = - 5>||2 - ||Р(сокег (1+)ф\\2")

2\ 1/2

<

С- \ 1/2 Л

£ 21 ) [И+уЦ1 (||-Р(сокег+ ¡И+И1)1/2 <

||Р(сакег ¿+)ф - Р(сокег ^ \\ф' - || + 11(5+ - %)<р\\ ^

Последняя оценка означает, что функция (Г(р, g, F), роо) Э {Т, —> Р(сокегс?+) равномерно непрерывна.

Из равномерной непрерывности функций (Г(р, g, F), роо) Э {3е, <3,И} —>■ Р(сокегс/±) (и выпуклости множества T(p,q,F)) следует, что существуют непрерывные функции (Г(рЛд, F), рю) Э {t,q,u} -л х± € {x £ ь2{к) : ||х|| = 1} П сокег которые продолжаются до непрерывных функций на все пространство (Г,Роо]. При этом можно считать (см. равенство (3.3)), что для всех наборов {Т, Е Г имеем Х- — Х+•

Тад< как операторы d± замкнуты и D(d±) = Н1(К) — плотное линейное многообразие в L2(K), то операторы d± также замкнуты и плотно определены; ker d± — cokerc/±, coker= ker d±. Области определения D(d±) операторов d± состоят из тех и только тех функций <р Е L2(K), для которых в смысле (периодических) обобщенных функций

Следовательно,

Г\ с\

— (-G ±iF}<p± г— Пф Е ь2(1<),

'Xi ОХ-2

при этом

d±<p = -г— (G т &)<Р - г— ■

(3.6)

Если функции Т, 0 и И принадлежат пространству С1 (Л"), то И((1±) ~ Н1{К) и для всех функций (р Е Н1(К) справедливо равенство (3.6).

Обозначим Кс = [—|)2. Функции Ф Е Н1(К) будем далее считать периодически продолженными на все пространство И2 (тогда Н1(К) = Н1 (К0)), г = у/х1 + х% = \х\.

Лемма 3.6. Пусть {.Т7, Е Г(р, д, .Р), д(.) — по-

ложительная невозрастающая непрерывно дифференцируемая функция на полуинтервале (0,1] такая, что

9(i)-9(r)

О

9 M

при г -> +0, и Ф Е Н1(К). Предположим, что

C = C{T,G,U\g\ Ф)= / <?(г)|сМИ

Jkc

Тогда

/ flr(r) |gra<^|2d3x ^ с3С < +оо, (3.7)

JKC

где с3 = с3(р, g, > 0.

Замечание 3.1. Если существует конечный предел lim g (г), то лемма 3.6 тривиально следует из леммы 3.1. Поэто-

г->+0

му утверждение леммы 3.6 является содержательным только в случае, когда g (г) —>■ +оо при г +0.

Доказательство леммы 3.6. Пусть Lp Е С2(К) (и функция <р периодически продолжена на все пространство R2 ). Для любого г > 0

д(Р 11г(т д<Р , п, д(р\\ ,2

2Re / + «¿ж =

JUr V V ox2 JJC

-if ( _ j^L _ / ^

JUr дх2 dx2 dxij X ~ JdUr di ^

где <М — элемент длины на окружности д11Г) /С(х) (<3(х)П(х))-1/2, х € И2. Поэтому (см. (3.2))

[ \d+ip\2d2x ^ q2 [ K,2\d+ip\2d2x = (3.8)

JUr J и r

= ?2

2г>2

ic'g

dUr

'ur дтр ~di

дер

дхг

d2x+ / /С2 Jur

OX\ ОХ 2

d2X-

ipdi\^C\ j |grad ip\2d2x — iq

dip

<p di,

'ur JdUr d£

где C\ — константа из леммы 3.1. Пусть dUp — {ж £ dUr : sign X2 — ±1}, £(r) = (r5 0) € dUr. Имеем

dUr

dip ~di

<p di

dUr

{cp - <p{x{r))) di

<

(3.9)

'dU-

dip

di

dip di = 7ГГ ® dip

di JdUr di

di.

V

Теперь для любого Я > 0 выберем число г £ [Я, 2В] (зависящее от функции ер € С2 (К)) так, что

эиг

dip 2 di - dip

di R JU2R\UR di

didr.

(3.10)

Тогда из (3.8), (3.9) и (3.10) получаем

[ \d+ip\2d2x ^ [ ^

^ С\ / \gT3ud ер^2х - iq2

^ С! / ^¿(р\2^2х - ттд2^- / ии» -л- ЗЬ

dip

ъиг di

'u2R\uR

ipdi^ 2

dip и

di dr >

^ с1 / ^гас1с,0|2л - 2тгд2 / |§гас1 <^|2сг2х .

Так как функцию Ф е Н1(К) можно аппроксимировать (в пространстве Н1(К)) функциями (р £ С2(К), то из последних оценок следует, что для всех Я > О

С1 / ^гас! Ф|2б?2ж ^ [ |<?+Ф|2А + 2тгд2 / |ёгас1Ф|2сг2г.

(3.11)

Обозначим

а(г) = <Ь |ёгас1Ф|2^, 6(г)= / |5+Ф|2^. Пусть 0 < 2#! ^ Я2 ^ 1- Из (3.11) вытекает оценка

-г"' С'-ж С'*>*"■

откуда (меняя порядок интегрирования)

С1 [ (дШ - д(Я2)) а(г) ¿г + с1 [ 2 (аг(г) - £Г(л2)) а(г) ¿г ^о ./Я!

Л2Л1 г2Я2 /г\

/ г

и, следовательно,

'Яг /-2Я2

I \(^Ъ(г)<1г+ (3.12)

+2тгд2 | (g - g(r)) a(r) dr + g (^j J™* a(r) dr Выберем число R2 — R2(g) £ (0, \ ] так, что

при всех г £ (0,2Я2]. Тогда из (3.12) (при 0 < 2R\ ^ R2) следует неравенство

-R2 / ^ \ г2Д2

j jR 2 9(r) a{r) dr<^(l + -^j jT 2 g(r) b{r) dr+

rr2 ( о \ r2r2

+ cig(R2) J^ a{r)dr + 27rg2gi[-^j J^ a(r) dr ,

ri V z / j r2

из которого при Ri —» +0, используя оценку (см. лемму 3.1)

-1/2

J a(r) dr ^ I A'c|grad<&|2^ ^ - [ \d+<b\2d2x <:

X <

С1 .1 кс ^ с19{1/лД) '

получаем

Гм^ьдрш,з.и)

С другой стороны,

/ g(r)a(r)dr^g(R2) а(г)Лг^ (3.14)

7я2 уо с! р(1/л/2)

Неравенство (3.7) теперь непосредственно вытекает из (3.13) и (3.14), при этом можно положить

1 д(Я2/2) Г (с1 + 4тгд2)2) _ 1

Лемма 3.6 доказана.

Пусть д £ G. Обозначим через Н${д\К) линейное пространство функций Ф £ Hq(K), для которых

||Ф||^ - sup

ч 1/2

д{\х - у|) ^гааФ(ж)|Ч2х < +оо . уек2 /

Функция Ф -> ||Ф||^) является нормой на линейном пространстве щ(д]К), при этом пространство (#¿(<7; К), банахово. Из (в4) следует, что С ¿(К) С Щ(д;К) (вложение непрерывно).

Пусть Ф Е Сц (К) = Сс1{КС)] г = Щш), со £ [0,2тг), — уравнение (в полярных координатах) границы ячейки Кс. Имеем

1 г г27Г ЯФ

Ф(0) = Л, I

Поэтому

1

1

<5

где

|Ф(0)|^

■П(ш) г2ж flrdu\ 1/2 ( fRМ Г2"

г R(uj) г 2тт <9Ф

/о 7о <9г

-g(r)J ^ с4

г ¿-IT

/ ff(r)

Jo

dr duj <9Ф 2

dr

ч 1/2

г dr dui I ^

fli(r) |grad Ф|2с?2ж

c4 = c4(flr) =

\/27Г

(Г

1/2

1/2

Г£Г(Г)

и, следовательно,

(3.15)

(3.16)

Лемма 3.7. Пусть д £ G, Ф € Щ(д-, К). Тогда Ф £ Co(tf) и

||Ф|иоо(К)^С4||Ф||^), где константа с4 = с4 (д) > 0 определена в (3.15).

Доказательство. Обозначим через любую функцию из

С00(И2), для которой Г2х(ж) ^ 0 при всех х £ И2, вирр^х С и / Пг{х)<12х = 1; ОДж) = ж € И2, <5 > 0. Для

я2

функции ф£ Яд (#;/<") функция

(Ф*ОД(®)= / Ф(х-у)П8(у)(12у, хеК2, У Я2

принадлежит С§°(К) С Щ(д\ К) и ^ ||Ф||<а>. Можно

подобрать функцию д\ е в так, что д\(г) ^ д(г) для всех г е (0,1] и —> 0 при г —> +0. Для любой такой функции д\

имеем Ф £ Яд(#1; К) и ||Ф - Ф * 0 при 5 -)• +0. Из

(3.16) получаем

||ф * ^ с4 ||Ф * п5\\{9) ^ с4 ||Ф||<*> , <5 > 0 .

Пусть —>• +0 при > +оо, $ е N. Тогда (переходя, если нужно, к подпоследовательности) можно считать, что (Ф*£Ъ )(ж) — Ф(гс) при п.в. х е И2 (при 3 —> +оо). С другой стороны,

цф * - ф * адьоо(*) < с4 ы цф * - ф * <

^ с4 (дг) (||Ф - Ф * П5,\\{31) + ||Ф - Ф * , / € N.

Поэтому Ф * 3 € N5 — фундаментальная последовательность в Ь°°(К) и, следовательно, Ф е Со(К) (функция Ф совпадает п.в. с некоторой функцией из Со(К)) и

Теорема 3.1. Пусть {Т,0,П} е Гд е в. Тогда найдтся такое число С5 = С5 > 0, что для всех

функций Ф £ Яд (К), для которых ¿+Ф £ Ь2(д;К), имеем Ф £ С0(К) и

^ С5 . (3.17)

Доказательство. Из леммы 3.6 следует, что любая функция Ф £ Щ(К), для которой ¿+Ф £ L2(g]K), принадлежит пространтсву #о (д; К) и

\\Ф\\^ <:.уг3\\2+Ф\\ЬЧд]К).

Но тогда из леммы 3.7 получаем, что Ф £ Со(К) и выполняется неравенство (3.17), где = л/сзс4.

Лемма 3.8. Пусть д £ G, V £ 12{д\ К) (и функция V периодически продолжена на все пространство R2). Тогда для любого е > О найдется такое число Се = Ce(V) > 0, что для всех функций <р £ Hl(R2) имеем Vcр £ L2(R2) и

||^V>||z,2(R2) ^ £ ||grad ^||L2(R2.C2) + Се |M|L2(R2) •

Для доказательства леммы 3.8 достаточно заметить, что из (G3) следует равенство

lim sup [ {in—Ц)и</)|2<г2у = 0, JUe(x) l \x ~ У\ )

означающее, что функция V2 принадлежит классу Като К2 (см. [6, с.17]). Из леммы 3.8 вытекает лемма 3.9 (см., например, [22]), являющаяся периодическим вариантом леммы 3.8.

Лемма 3.9. Пусть g £ G, У £ L2{g\K). Тогда для любого е > О найдется такое число С'е = C^{V) > 0, что для всех векторов k £ R2 и всех функций (р £ Нг(К) имеем V(p £ L2{I<) и

\\У<р\\ьцк) ^ е || (А? - iV)y>||щК-,&) + ^ё IMIщк) ■

Теорема 3.2. Пусть £ £ G. Тогда

для любой функции Ф £ Hq(K), для которой ¿+Ф £ L2{g\ K) (тогда Ф £ Со (К)), и любой функции ф £ Н1 (К) имеем егфф £ Я1 (Л"), Щ- ф £ L2(K), j = 1,2, и справедливы равенства

ОХ j

Доказательство. В силу теоремы 3.1 Ф € Со(К). Из леммы З.б вытекает, что Ф ё Яд {д\ К) и, следовательно, <Е Ь2(д;К), 3 = 1,2. Поэтому включение ф <Е Ь2(К) является следствием леммы 3.9. Для доказательства неравенств (3.18) предположим вначале, что ф € С1(К). Существуют функции = Ф * Об* е С£°(К) (6и> 0, 5и -> +0 при I/ +оо), и Е N (см. доказательство леммы 3.7), сходящиеся при и —> +оо к функции Ф как в пространстве Ь°°(К), так и в пространстве Н\К) (т.е. ||Ф - -4 0 и |Щ <».

и —> 4-оо, з = 1,2). Имеем

И? Иуда 0 ПР»

дф

дхз

При этом егф" -> егф в +оо;

, г'Ф„

, гФ

эф„

дх^

дФ

дх1

дФ дхп

0 = 1,2. в Ь2(К) при ^

£

Ь2(Л-)

£

дФи дФ

дх3

+

егФ|и°°(А')

при и

+оо. Следовательно, егФиф

. гФи

дФ

дх,

ЩК)

, г'Ф

ф и

. + ^

е

г -—ф +

5 а;,

дх\

±

при V-Ьоо в пространстве Ь2(К). Так как операторы г [с областью определения ± г = Я1 (К')) замкну-

ты, та егфф 6 Н1(К) и выполняются равенства (3.18). Пусть теперь Ф е Н1(К), фи е С1 (Я"), и ф„ ф при ^ +оо в пространстве Я1 (К). Так как

дх.

, гФ

Фь

гФ

дФ

дхп

Фи +

дфи

дх,

, 7 = 1,2

и при этом (в силу леммы 3.9) щ ф £ Ь2(К) и §§-фи —> Ф при и —» +оо в пространстве Ь2(К), то также егффи —¥ егфф и

/ \ дх] дх

при и +оо в пространстве Ь2(К). Опять же в силу замкнутости операторов ^ ± г -¡щ получаем, что егфф € Н1 (К) и справедливы равенства (3.18).

Замечание 3.2. Теоремы 3.1 и 3.2 (с той же константой Сб в формулировке теоремы 3.1) справедливы также для оператора (см. равенство (3.3)).

4. Теорема 4.1 и ее доказательство

Если Ф, Ф б ^(К) и к, >с е В2, то

е?зФе-г'Ф + г-х)егФе?зФ _ ^ + + ^ + ) (4>1)

где

<9Ф дФ дФ

= + (4.2)

¿7^1 ОХг ОХ 2

<9Ф <9Ф <9Ф = —(/ --Ь ? --Ь У- тг— • 4.2)

0X1 ОХ\ ОХ 2

Обозначим Ф± = Ф ^ гФ, С±=С\± гС2. В силу (1.5) равенство (4.1) имеет вид

/ 0 е"гф- ¿-{к + Ы)егф~\ _

уе-гф+ с1+(к + г>гг) егф+ 0 у

о <?_(& + гх) + с_\ ~ \<1+(к + Ы) +С+ 0 ) '

при этом = С±. Последние равенства эквивалентны ра-

венствам (4.2) и (4.3).

Теорема 4.1. Пусть Е Г(р,д,Р), д Е О.

Тогда для любых функций С\,С2 Е Ь2(д\К) можно (однозначно) найти такие векторы к, х е К2 и функции Ф, Ф Е Щ{д\К) С Яд (К) П С [К), что умножение на функции егмФ и для

всех \1 € С не выводит за пределы пространства Н1(К) (тогда операторы умножения на функции егмФ и матричные функции е/х<т3Ф не выводят за пределы пространства Я1 (Л"; С2) ),

е^3Фе-гмФ + ег>ФемазФ = + + (4 4)

и при этом

шах{||Ф||Ьоо(л-), ||Ф||ьоо(А-)} с? {\\Сг\\ЬЧд.к) + \\С2\\Ь2{д.к)), (4-5)

|/с|2 + |х|2^с^||С1||Ь(к) + ||С2||22(к)), (4.6)

где с/' = с['{р,дуР;д) > 0, с![ = с^'(р,д,Р) > 0. Рели С± = С\ ±{С2 Е Р(<^±), то /с = лг = 0. Рели С1 и Сг — вещественно-значные функции, то х — 0 и функции Ф и Ф также являются вещественно значными.

Доказательство. Если векторы /г, х Е И2 и функции Ф, Ф Е #о(#; Я) С Яд (Я) П С (К) (для них умножение на функции е±гф и е±ф не выводит за пределы пространства Н1{К)) удовлетворяют при ¡1 — 1 равенству (4.4), то (см. теорему 3.2)

М±Ф± =С'± =С±-{{д±1Т)к1±гШ2)-г{{д±гТ)х1±тх2), (4.7)

где Ф± = Ф Т гФ, С± = С\ ± гС2 Е Ь2{д\К) С Ь2(К). Поэтому будем искать векторы к, х Е К-2 и функции Ф± Е Яд (Я), для которых выполняются равенства (4.7). Обозначим (х±, (?±г.Р) = (х±,±^) =М±2)> ГДе Х± € сокег<?±, ||х±|| = 1 (скалярное произведение предполагается линейным по второму сомножителю). Так как функции х± выбираются так, что х~ — Х+> то

/¿^ = ^ и ¡1^ = ¡1+\ при этом ^ р + Р и 1/1^1 ^ р. Из

(4.7) следуют равенства

(Х±, С±) = /41} + + (^2 + гя2)

(2)

(4.8)

Пусть /С(ж) = (д(х)И(х)) 1/2, ж £ /{".^Для любого вектора г' = (т"ь г2) 6 И2 и любых функций € Я1 (/<") имеем

||/С(^±Ф± + (£ ± ± Шг2)||2 =

Яф' г) ф' 2

ЗФ1

+

0Ф4, 1 1 дФ'±

Откуда

||г^±Ф4 + (а±гТ)г1±Шг2||2 ^ / 1 2

^ Сх

(4.9)

2

ОХ1 + Т2+ Л-^ дх2

= С1

|г|2 +

дФ'±

дхх

+

<9Ф1

дх<

где постоянная Сх = Сх(р, -Р) > 0 может быть взята такой же, как и в лемме 3.1 (см. (3.2)). В неравенствах (4.9) функции Ф± € Н1(К) выбираются произвольно, поэтому

С! |т|2 1ШП ||г<?±Ф± + (£ ± 7-1 ± тт2II2 =

= \{х±>о±&) Г1 + (х±,±^)г2|2 = 1/4^+*43Ч|2

(отсюда, в частности, получаем, что ^ л/сГ и ^ -у/сГ).

С л ед о вате л ьно,

С1 ^ < ттК/41) + М+2)0Л2)1 = 11т $ $ |.

С другой стороны,

(1) (2) (1) (2)

(1) (2)

№ №

поэтому существуют (и единственны) векторы к, х £ И.2, для которых выполняются равенства (4.8). Так как

1 (^2)(х+,ад-Л2)(х-,С_)), (4.10)

кх + гх\ —

к2 + гх2 =

2 г 1т ^^

1

, (4.11)

,(1)

2 г 1т^1)Аг+)

то

!^12 + к!2 < сг1(Р+ (||^НЬ(Ю + ¡Р-ИЬда) =

= 2сГ1(Р + ^)2(1!С1||Ьт + 1|С2||Ь(х))

(справедлива оценка (4.6) при — 2с~[1 (р + Р)2). Если С± Е Р(^±), то (х±>^±) = 0, поэтому к = х — 0. Если С1 и ^ — вещественнозначные функции, то С\ — С+, (х-,С_) = (х+,С+) и из равенств (4.10) и (4.11) следует, что х — 0. ^

При выбранных векторах к, х € И2 имеем 6 Р(б£±) и С± € Ьг(д',К), при этом

\\С±\\ьЦд-,К) ^ 1Р±||Ь2(5;А) + 1/2

ч 1/2

V

+ № ^

где

сГ = 1 +

2 Ь+Р):

у^ д(1/уД) \]К

1/2

(в силу (в4) / д(\х\)с12х < +оо). Из равенств (4.7) функции

кс

Ф± £ определяются однозначно. При этом из лемм 3.6

и 3.7 (и теоремы 3.1) следует, что Ф± 6 Щ(д-,К) С Со(К), ||Ф±||ь~(А') ^ с5 \\С±\\Ь2(д.К) (где константа с5 = с5 (р.^^р) > О определена в теореме 3.1). Из теоремы 3.2 получаем, что умножение на функции ег//ф±, /¿ЕС, не выводит за пределы пространства Я1 (К) и

¿±(ф + гх)) е^ф± = 5± + цС± .

Следовательно, Ф, Ф Е Н^(д\К) С Со(К), справедлива оценка (4.5) с константой с" — с^с", умножение на функции ещф и емФ, ц Е С, не выводит за пределы пространства Н1{К) (тогда умножение на функции егА'ф и матричные функции еМСТзФ не выводит за пределы пространства Я1 (Л"; С2)) и выполняется равенство (4.4).

Если С\ и С2 — веществен позначные функции, то (как показано выше) х = 0, поэтому (см. (4.7)) Ы±Ф± = С± — (((7 ± и°)к1 ± Шк2). С помощью комплексного сопряжения ж равенства (3.3^ получаем = С± — ((<? ± 1Т)к\ ± гНА^) = Ы±Ф±, откуда ¿+(1тФ — г1тФ) = 0 и, следовательно (см. лемму 3.1), Ф и Ф — вещественнозначные функции.

Теорема 4.2. Пусть {Т^.Щ Е Г(р, Р) . Тогда существуют (единственные) вектор х Е И2 и вешественно-значные функции Ф, Ф Е #о(-Ю П С(А') ('Ф, Ф Е Яо(#;А') для любой функции д Е О ) такие, что

1) для всех Е К умножение на функции и .ма-

тричные функции егдсГзФ не выводит за пределы пространства Я1 (Л'; С2),

для всех к) х Е К2 и р, Е И имеем

е^зФемФр^ + г-х + ^€-мФег/х?3Ф = 5(А;4.гх) + г/х^1, (4.12)

тах{||Ф||Ьоо(А') , ||Ф||ь°о(А')} < с*, |х| ^ с*, где с* = с| (р, д, > 0 и с*2 = с*2{р,Я)Е) >0.

Теорема 4.2 непосредственно вытекает из теоремы 4.1. Для всех наборов {Т, Q, 71} Е Г(р, q, F) будем через Ти х — x{T,Q,7C) обозначать наборы (пары) {Ф, Ф} функций Ф, Ф Е Hq(I<) П С (К) и векторы к Е R2, определяемые в теореме 4.2. (Рассматриваемые функции Ф и Ф принадлежат пространству

Hk{£]K) = Wen1{K): sup \\\x~y\-£\gmdcp\\\L2{Kc+y) <+оо)

ye R2

для некоторого £ = s(p, q, F) E (0,1) [14].)

Так как условие (4.12) эквивалентно уравнениям

£±(ФТ*Ф) = -i7i + i{{G±iF)x1±i7ix2) ,

которые получаются друг из друга (для знаков + и — ) с помощью комплексного сопряжения, то функции Ф, Ф и вектор х — (х\, х2) Е R2 определяются из (одного) условия

М+Ф+ = -(G + гТ)хх - гЩх2 + i), (4.13)

Ф+ = Ф - гФ.

Лемма 4.1. х\ — x\{T,G,7i) > 0 для всех наборов Г.

Доказательство. Пусть х+ € cokerc?+, ||х+||

= 1, М(1) = /41* = + ^ = № = (х+>гН). Чи-

ела /х^1) и /х^2) линейно независимы над R (см. доказательство теоремы 4.1, где было показано, что Im^V2) /0). Тогда из (4.13) получаем, что числа х\, х2 Е R однозначно определяются из условия

и, следовательно, х\ ф 0. Векторы х+ £ coker<i+ С L2(K) (для разных наборов {T,G)7l} Е Г) можно выбрать так, чтобы функция (Г, Роо) Э {T^G^Ti} -> х+ была непрерывной (см. лемму 3.5). Тогда функция (Г, p^) Э {F^G^Ti} ->•

tiM/liW Е С

также непрерывна и не принимает вещественных значений. Но Im fjb^/fjL^ = — х~1 и в случае G ~ 71 = 1 и Т = 0 имеем Im =

— 1, поэтому х\ > 0 для всех {T,G,7-l} Е Г.

Пусть {Ф, Ф} 6 ТОбозначим П = Ф - х2. При р Е 2тг2 оператор умножения на матричную функцию е~гдо"3^ действует в Ь2(К\С2) (и линейное многообразие Н1{К\ С2) инвариантно относительно действия этого оператора). При р Е к, х Е К2 и х — х[Т ^ И) Е И2 имеем

V{k + ix+ipx) = + . (4.14)

Справедливо равенство

= (4Л5)

Лемма 4.2. х+ = с6 (^"Н)-1 (с?+Ф — И), где функция Ф Е Н$(К)ПС(К) определяется в теореме 4-2 и с6 = с6 (Т, д,И) ЕС\{0}.

Доказательство. Из (4.13) следуют равенства

дФ\ ап до,

V ох\) ОХ 1 ОХ2

дх2

( {Ф,_Ф} Е ТО = Ф-ж2). Поэтому для любой функции у Е С2(А'), используя (также) тождество

получаем

. дер „ дФ\ ( д<р _ дФ

дх2 дх\) \дх\ ' дх

a* i ^«L en

+

дер дх

дх2 ' G V дх\ дх2

l'çnv +

Так как d+4>-4 G L2(K)\{0} (действительно, (x+,d+4> -П) = г(х+,^) = V-^2) 0), то осталось воспользоваться плотностью множества С2(Л') в Н1(К) и леммой 3.2.

Лемма 4.3. Х+М Ф 0 пРи п-в• х £ К-

Доказательство. Допустим противное. Пусть M С К — измеримое множество такое, что mes M > 0, Х+(ж) —

0 при всех х G К и х+М Ф 0 ПРИ п-в- х £ К\М (тогда также mesК\М > 0). Так как подпространство R(d+) замкнуто, то для любой функции / G L2M(K) П L°°(K) (для нее (х+>/) = 0) найдется функция ф G H1 (К) такая, что d+ф = /. Так как / G L^^K) и, следовательно, / G L2(g;K) для любой функции g G G, то (в силу теоремы 3.1) ф G С(Л').. Для функций (р G

б1 m .

= (x+id+M)) ~ (х+> W) = 0.

поэтому (так как множество С1 (/С) плотно в Н1(К)) Vx+ = сх+ для некоторой постоянной с G С и, значит, ф{х) — с ( = const) при п.в. ж G К\М. Заменяя функцию ф на функцию ф — с, получаем, что для любой функции / G L2M(K) П L°°(/<') существует функция ф G H1 (К) П Ь2М{К) такая, что d+ф = d+ф = /. Так как множество Ь2М(К) П L°°(K) плотно в Ь2М(К) и R(d§?) — (замкнутое) подпространство в L2M(K), то .й(сц^) = Ь2М(К). Но последнее противоречит неравенству dim coker ¿¡^ ^

1 из леммы 3.4.

Следствием лемм 4.2 и 4.3 (а также равенства (4.15)) является лемма 4.4.

Лемма 4.4. Пусть £ Г, {Ф, Ф} G Т{T,Q,U)

и Q = Ф - х2. Тогда

Лемма 4.5. Пусть {T,Q,U} Е Г, {Ф, Ф} G Т{T,Q,U) и Q = Ф — х2. Тогда для всех A G R

Доказательство. Допустим противное. Предположим, что существуют число Л € R и измеримое множество M С К, для которых mes M > 0 и = Л при всех ж £ М.

Так как Ф £ H1 (К) и Q = Ф - х2) то из леммы 3.3 следует, что

при п.в. х Е М, что противоречит лемме 4.4.

В [14] приведено доказательство следующей теоремы.

Теорема 4.3. Пусть {.Т7, £ Г. Предположим,

что функция (/? Е Н^ос(К2) П С(И2) удовлетворяет уравнению

при этом (р(х) - х\х 1 - (х2 + г)х2 = 0(1) при |ж| —оо, где х2 Е И их 1 > 0. Тогда множество {х £ И2 : ц>{х) — 0} состоит из одной точки.

Замечание 4.1. В условиях теоремы 4.3 можно не предполагать непрерывность функции так как она следует из условия (4.16).

при п.в. х £ К.

mes {ж £ К : П(ж) = Л} = 0 .

дП _ дП dxi дх2

ох 1 дх2

(4.16)

Положим (р(х) = Ф(х) - гФ(ж) + Х\Х\ + {х2 + г)х2 -А, х £

и2, Лес, {ф, Ф} € т % = х^т.д.и) ей, з =

1,2. Из (4.13) следует, что функция (для любого Л £ С) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 (при х\ = Х\ и х2 — х2, причем хх = х\ > 0 в силу леммы 4.1). Поэтому из теоремы 4.3 непосредственно вытекает теорема 4.4.

Теорема 4.4. Пусть {Т,$,Ч} £ Г, {Ф, Ф} £ Т{Т,д,Ч), 0 = = Е К, з = 1,2. Тогда

Ы2 Э х —> 2{х) = Ф(ж) + Х\Х\ + х2х2 — г£2(х) ЕС — непрерывное биективное отображение (имеющее непрерывное обратное).

Замечание 4.2. В условиях теоремы 4.4 для любого п — {п\,п2) Е Z2 ячейка К + п решетки Z2 гомеоморфно отображается на множество 2(К) + х\П\ + (х2 + г)га2.

В дальнейшем при доказательстве отсутствия собственных значений в спектре периодического оператора Дирака будет использоваться лемма 4.5. В [14] для этой цели применялось следующее (более слабое) утверждение, вытекающее из теоремы 4.4: для любого числа в > 0 найдется вектор 7 = (71,72) £ 2\{С)}, ПОД (71,72) = 1, £ = КъЬ) = |т1_17 € такой, что

]П тез {х Е К: Ф(0 (я) - (£, х) = А} < в |^ 1 ~1 леи

(не более счетного числа слагаемых в рассматриваемой сумме по Л отлично от нуля), где Ф^) = — 1т + £г)(Ф ~

= ^ОТ/^У = -х~\х2 -г), х = е К2, {Ф, Ф} Е

Т(Г,д,П). В этом утверждении в случае 7 = е2 = (0,1) имеем ф(е2) = Ф. Для других векторов 7 £ 22\{0} функция х) - (£, ж), х Е К} заменяет функцию = Ф - х2.

5. Вспомогательные утверждения. I

Пусть к Е И2 и ц Для всех N Е Z2 обозначим

/*) = (№ + 2тгТУ1)2 + (/о-2 + 2тг]У2 ± д)2)1/2 ;

Сн(к-р,) = гшп , С^(к-р) - тахв%{к-р) .

Если к\ — 7Г, то ^ я\ Для функций у? £ Я1 (Л') поло-

жим

1/2

1М1*= ( £

\vez2

1М1*,±

^ _ \ 1/2

При [I ^ 47г и 27г ^ а ^ /¿/2 определим (непустые конечные) множества

T±(a) = {NeZ2:G±(k•,p)^a}.

В приведенных обозначениях явно не отмечается зависимость от вектора к и числа р, которые будут предварительно задаваться.

Для всех к £ Л2, р, £ Я и всех функций £ Я1 (К) (при /С(а^) = (а(-т)^(а:))-1/2, х € К) имеем

кд /гх - г

+

\\/С(<1±(к)+щП)(р\\2 =

. 5

дх;

+

У

Поэтому справедлива следующая лемма (см. также (3.2)), обобщающая лемму 3.1.

Л е м м а 5.1. Пусть {.Т7, Е Г(р, .¿Р). Тогда для

всех векторов к Е К2, всея чисел д Е В. и всеа: функций (р Е Я^Л') выполняются оценки

С1 1М1*,± = С1

— г

+

/х ± [ к2 - г

. 5

да:-;

£

^ С2

кл

д

дх1

¥

+

¡1 ± /г2 ~ г

. д

дхг

СаНИЩ.

где постоянные С\ — Сх(р, <7, Р) > О и с2 = с2(р, Р) сх что и в лемме 3.1.

те

Для множества О С Z2 обозначим £(0) = Е :

^ = 0 при ДГ € г2\0}, £(г2) = Ь2{К), £(0) - {0}; Р° = Р{С{0\) — ортогональный проектор в Ь2{К), ставящий в соот-ветствме функциям (р£Ь2(К) функции

Г) о I

Л^еО

2-та х)

(с/?0 = 0); #{(9} — число векторов конечного множества О С Ъ2. Справедлива оценка #{Т±(а)} < вка2.

Лемма 5.2. Пусть IV £ Ь2(К). Тогда для любого конечного множества О С Z2 оператор \УР° ограничен в Ь2(К) и выполняется неравенство

где функция /цг : N —» [0,+оо) не убывает и = о (у/Ш)

при N +оо.

Доказательство. Пусть Ь > 0. Определим функцию \Уь(х) = при >6 и И4(ж) — 0 в про-

тивном случае; УУь'(х) = IV(х) — УУъ{х), х £ К. Для любого конечного множества О С Z2 и любой функции ср £ Н1{К) имеем

\\УГьР°<р\\ < ( X) Е №)«»#-

\zvez2

пег2

2 \ 1/2

£

\ЛГ.Г75 ЛГ---с/П / 7 7

1/2

£

члгег2 гк N—71^0

neZ2 N: N—пЕО

поэтому

\\WP°V\\ < IWP^II + ||wbp°v>ll<

Положим

/и/ (TV) = inf (6 + VN \\Wb\\L2{K]) t Ne N .

Тогда ЦТУР^Ц ^ /w(#{<9})> функция /w не убывает и для любого £ > 0 можно найти такое число Ь(е) > 0, что ||И^ъ{е)\\ь2{К) < е. Следовательно,

fw(N)

Из произвольности выбора числа е > 0 получаем, что

л/Ы

при N —> +оо.

Лемма 5.3. Пусть 6 Ьд2(К2). Тогда для любого е > 0 найдется число С"> 0 такое, что для всех векторов к £ Л2 и всех функций ср Е И1 [К) выполняется неравенство

( 2 ( Я \ 2 ч 1/2

н^ик^Е ) +С'.>1М1- (5.1)

Доказательство. Лемма 5.3 непосредственно вытекает из оценок (1.4). Действительно, для любого вектора к £ К2 выберем вектор N £ Z2 так, что 2^тNj ^ к3 < 2/г(А^- + 1), ] — 1, 2. Тогда для любого е > 0 (и всех функций <р £ Н1{К)) с помощью (1.4) получаем

\\WcpW = ||Же27П'^И1

Е

¿=1

2тгЛГ,-

дх,

\ 1/2

£

Е

5=1

'1 дх,

1/2

+ С.%г|М1

где = + ^

ж-

Лемма 5.4. Пусть IV £ Ьд2(К2), // ^ 47г. Тогда для всех векторов к £ И2 : = к и всех функций (р £ С(Т±(ц/2)) справедлива оценка

||И^||^7|М|*, (5.2)

где су = С7 (Ж) > 0. Рели 27т ^ а ^ /2/2, то для всех векторов к £ К2 и всех функций <р € £(Т±(^/2)\Т±(а))

где /г^у • [27г,+оо) —^ [0,+оо) — невозрастающая функция такая, что /¿1у(£) 0 при Ь —> +оо.

Доказательство. Из леммы 5.3 (при £ = 1) следует, что для всех /л £ II, всех векторов А; £ Ы2 и всех функций <р £ Я1 (А') выполняется неравенство

к\ - г

д дх\

+

к2 ± (л

_д_

дхг

1/2

+с"М\ч>\\ = 1М1*,± + о"уу\\(р\\

+

(5.3)

С другой стороны, для функций ф Е С(Т±(р/2)), д ^ 47Г, имеем |М|*,± = 1М1* и> кроме того, ||у>||* ^ я" |М1 в случае к\ = 7г. Поэтому из (5.3) вытекает оценка (5.2), где с7 = с7 (ТУ) = 1 + Предположим теперь, что 2тт ^ а ^ /¿/2 и

(р € £(Г±(^/2)\Т±(а)). Аналогично (5.3) для любого £ > 0 (из леммы 5.3) получаем

Но (в рассматриваемом случае) ||<^||*,± ^ а||у>|| (для всех векторов к £ Л2), поэтому

Н^ксе + в-'с,»!!^..

Функция

кууф = ^ (£ + Г1 С Им) , г € [2тг, +оо) , £>0 '

не возрастает и

Нт Ни/(£) ^ £

для любого е > 0. Следовательно, /1^/(0 0 при £ +оо.

Лемма 5.5. Пусть У/ Е Ьд^Н2), р ^ 47г. Тогда д/ш всех векторов к £ Н,2 и всех функций

ген1 (К) п/:(г2\ут±(м/2)) ±

выполняется неравенство

Н^ИЮМм) |М|,,

где функция Ь,у/ определена в лемме 5.4-

Доказательство. В силу леммы 5.3 при любом £ > 0 для всех векторов /г £ К2 и всех функций £ И1 (К) справедлива оценка (5.1). Так как <р Е Яг(А') П£(г2\иТ±(м/2)), то

±

1м1 ^ 2/х-1 \\v\u и

д

2 / о ч 2 ч. 1/2

Е

5 = 1

- г' аГ" ) ^

дх3

Поэтому из (5.1) получаем и, следовательно,

\\WifiW ^ т£ (Зе + 2/2-1 Св»1М1* ^ ЗДжЫ 1М1* • £>0

Лемма 5.6. Пусть УУ € Ь2(К), /л > 47т и 2и ^ а < а' ^ /а/2. Тогда для всех функций ер £ С(Х2\Т±(а')) и ф € £(Т±(а)) (выбираются согласованные комбинации знаков + и — ) выполняется оценка

/ \ 1/2

x] \уум2) \м\ьцк) ыщк) •

ТУ: 27г|]У| > а '—а '

Доказательство. Действительно,

М N

2 \ 1/2

£

\М\ьцк) ( Е ( Е\^фм-м\ )

<м\ьЧк)( Е ( Е 1^12)х

мег2\т±(а') м-лтет±(а) . .1/2

Е^

Е Е iW

N VM:M^T±(a'),M-JVGT±(a) '

*м\щк)\\ф\\щк) ^

1/2

/ \1/2 ^ »{^(а)})1'2 ( IWtvI2) ы\ьцк) \\ф\\ьцк) <

N: 2n\N\ > а'-а '

( \ 1/2 ^ve^al £ l^l2) м\ьчк)ы\\щк).

N: 27г|AT] > а'—а '

6. Доказательство теоремы 1.4

Для произвольного множества М' С N обозначим

4 ' JV-H-oo N

Теорема 6.1. Пусть {T,G,U} G Г(p,ç,F)ï V(°\ V<3> G Lf (R2)

u Ф — вещественно значная функция из С (К),

для которой

mes{х G К: Ф(ж) - х2 = А} = О при всех Л G R. Тогда существует множество M = M (Т,

а, и-, у(°),т/(з)

; Ф) С N такое, что Q (N\M) = 0 и для всех р G тгМ, всех векторов k G R2 : ki — п и всех вектор-функций (р G H1 (К] С2) справедлива оценка

||(V(k) + грШ1 + е2гд?зФ(У + У (3)а3))И|2 ^ ^ G^p^nI2 ^тг2С8||И|2,

nez2

где c8 = c8{P)q,F-M°\V^) > 0.

В условиях теоремы 6.1 обозначим 1/(±) = V ± V

С2),

Ч>± € Н1{К). Так как ||у>±||* < №±11*,± и

Ъ(к) + щПЭх + е2г^зФ {V =

~ \2+(к) + щ'Н е-^уН у '

то теорема 6.1 является следствием теоремы 6.2.

Теорема 6.2. Пусть {Т,0УП} Е Г£ Ьо2(К2) и Ф — вещественно зпачпая функция из С (К), для которой

шеБ {ж £ к: Ф(ж) - г2 = А} = О

при любом А Е II. Тогда существует множество М = М (Т, Ч\ У+ ,У~] Ф) С N такое, что й (ГЧ\М) = 0 и для всех ¡1 Е 7гМ. всех векторов к Е И2: к\ = тс и всех функций <р± Е Н1(К) справедлива оценка

£ (*) + + Vы<ъ\\2 > ±

с2

>е{с1 + 4(^)2) Ен^ни.

где сх = сг (р, с?, F) >0 и Су = шахс7 (У^) > 0 (постоянные с7 (У^) > 0 определяются в лемме 5-4)•

Следующая лемма (теорема Винера, см. [37, теорема XI. 114] и замечание на с. 354 в [37] после нее) понадобится при доказательстве теоремы 6.2.

Лемма 6.1. Пусть W G Ll{K) и Ф — веществегто-значная функция из С(К) такая, что для всех A G R

mes {х G К : Ф(ж) - х2 = А} = 0 .

Тогда

1 N lim — N-++оо N

V-1

Доказательство. Обозначим

C±M=C±W Ф;^) = [ e±2™^W-x^Wd2x, V G N.

J к

Так как Ф 6 С (К), то найдется число Г > 0 такое, что Ф(ж) - ж2 G [-Т, Г] для всех ж € А'. Для каждого борелевского множества X С [-Т,Т] обозначим Ах(Ф) = {ж € А' : Ф(ж)-ж2 G X} . Множество - также борелевское. Определим боре-

левскую комплексную (конечную) меру га(.) , для которой

т(Х)= í Wd2x

Jkx{V)

для всех борелевских множеств X С [—Т, Т]. Из условий леммы следует, что мера т(.) не имеет атомов. Положим Е(е) = {(¿,iy) G [—Т, Т]2 : |í - t' - та| < £ для некоторого n G Z} , £ G (0,i]. Для любого iV G N имеем

е±2ж{Щх)-х2) W ¿2X

'К

При этом (так как мера т(.) не имеет атомов)

N

_1_ Ñ

// (XJ e±2TTíV {t-t') ^ тщ o

при £ —+0 равномерно по iV £ N , - íf

N УУ [-T,T]2\£(e)

г/=1

£

^ JVsÍn(7T£)

при N —> +оо для любого (фиксированного) £ £ (0,J¡]. Следовательно,

¿EicW-o ¡/=i

при N —>■ +оо .

Следствие 6.1. Я условиях леммы 6.1 обозначим

^ о\, е> о

М±(ТУ,Ф;0)= |i/€N: J €±2™(Щх)-Х2) w¿2х

Тогда Q (M±{W, Ф; в)) = 0 (для всех в> 0).

>

Доказательство теоремы 6.2. Воспользуемся методом, предложенным в [14, теорема 9]. Если = V(~) = 0, то теорема 6.2 является следствием леммы 5.1. Поэтому можно предполагать, что Су > 0. Пусть /У(±), hV(±) и с7 — функции и числа,

определенные в леммах 5.2 и 5.4. Будем считать, что ц ^ цо > 0. Число цо (зависящее от JF, Q) U, V^-) и Ф) будет

в дальнейшем выбрано достаточно большим. Вначале предположим, что fi0 ^ 47Г. Пусть (р± £ Я1 (А'), ш± = (d±(k) + ifiH)ip±, ф^ = и± + ет2г'^ф V^Vt- Для ^ € [27г,/л/2] обозначим

4а) = (4(*0 + щП)^ , 4а) = (4(Л) + .

Из леммы 5.1 следуют оценки

С1 Н^Ии^И^ИЧсЛ^ЦЦ

(постоянные с\ > 0 и с2 ^ с\ зависят только от р, ? и Выберем число а\ ^ 27г, для которого

(6.1)

Положим

' С!

гат '

32' 4 С1 + 4(СД2 ] '

Пусть </ — наименьшее натуральное число, для которого с2 ^ /¿>2. Числа а,2,... )aJ+l выберем так, что > а^ (] =

1,...,«/) и для всех (четырех) функций V = О2 + Т2, Р = ((/ ± г/*)^ и V = Н2 справедливы неравенства

/ \Л

Е 1ЗД2) ^ (6'2)

2тг[АГ| > а \

(числа аь 5, 7 зависят от р, у(+) и У(~), а числа

а2,...,а,7+1 —от функций Т, Я, и У ). Будем пред-

полагать, что /^о ^ 2<Х74-1,

и для всех ¡1^ цо

(выполнения условия (6.4) можно добиться при выборе достаточно большого числа в силу леммы 5.2 и оценки ^¿{Г±((и/2)} ^ ~ ¡I2 (которая справедлива при ¡1 ^ 4л-)). В зависимости от функций ер± Е Н1(К) выбираются номера з± Е {1,...,<7}, для которых

\\<р±

+1) (аз±) ц2 ^ 1

Имеем

1(5144^)1 « к4°,±+,,,4а,±))1+ (6.5)

I /~(^'±+0 (%±)ч |

1/2

1ЫИК

Так как

а

дх2

и,

{д±гТ) (кх ^2-г

= Г(0 ± гТ) - г^-) + щ ± (к2 - г то (см. лемму 5.6 и неравенства (6.2))

■|(и>± ± УШ± ± Ж

27г|7У|>а^±+1-а_,±

~ (а>±+1) ч>±

д дх2

Ч>±

1/2

, ■ 9 \ (о3±)

+л/б7г а

з±

+ 1/2

\ ч*

Е к^лад2) х

N 2тг|АЛ) > а,-±+1-ал-±

— г

. <9 \_(а7± + 1)

ч>±

/л± [ к2 - г

. д

дх<

(а3±)

Ч>±

+

+л/б7г о ■

|((<7±гЛИ)дг|2

№ 2тг|ЛГ| > ау±+г-а}±

1/2

ц± [к2 - г

дх<

Ч>±

к\ — г

■ д \ (а,.)

дх\

Ч>±

+

+л/бк а3± ( £ | (Ч2)м\2

^ ЛГ: 2тг|7У| > ал-±+1-л,-±

<9

1/2

X

Н±\к2~ I-

■о^Г*

Поэтому из (6.5) получаем

|(<з1ч±).«1ч±))1 < мшилН*>±'4)11. • (6-6)

Справедлива оценка

#{{А € Ъ2 : тг |ЛГ| < а<7}} <С ТУ* = 4тГУ, . Выберем число

е = 1 2-б С1 3 тга2А* '

Из следствия 6.1 леммы 6.1 вытекает, что для всех функций = (Я и = где ЛГ €

{А € г2: тг|А| < имеем 3 (М±(Р^, Ф; в)) = 0. Пусть М'

— объединение множеств Ф; 0) для всех рассматривае-

мых функций (их не более 4А*), 2(М') = 0. Положим

М = 1Ч\(М'и{^ 6 N1 тг/у < /х0}).

Тогда <2 (N\M) = 0, для всех /л € 7гМ имеем ¡.I ^ /¿о и (для каждого из знаков)

И ± ( к2 - г

д

Ох*

ч>±

67га2

I Е

К

<

67Г<2

<

< бтга^в = Л ,

7г|ТУ| < а у

Следовательно (учитывая оценку ^¿{Г±(а1)} ^ б7га2),

• ( ( • Ку^.С^'У^)^))! ^ (6.7)

(«7 ± гТ) (кг - <¿4 У

+

Щр±[к2-*

£

£

£ + 2тгЯ1) (<^±)лг (^)мх

+

+

£ ± [к2 + X

ТУ'ег2: 7г|УУ'|<ау

+

Обозначим ф^ = lo± + е^21^Принимая во внимание неравенства

Il^-'IK H^'lK ll^'ll. < ,

с помощью оценок (6.6) и (6.7) получаем

IIVMI2 = ll"i°J±) + e*2i»*V >

» lk±J±)||2 + l|si°J±) + e=f2i"* V(:р)40,)||2-

> C! ||v.i4±)||; + piBj±) + e**" vM^f-

-45 1Ык± ll^'ll. - j llvL0)±)||. Il^'ll >

> c, H^H? + + VM^H2-

-26 (И^ИЦ + 2 H^'llJ) - (ll^'llJ + II^IU) .

Для любого e € (0,1) имеем (см. лемму 5.4)

> а-«) ii4B3±V-(i-^-^(MB,)ii2^

^ (1 - e)d Ну^НЦ - (1 - ф-ЧсСИ«))» Hv^'lli >

> (1 - e)ci Uv^'llU - (1 - e)e-\ctf .

Поэтому

£II^II2 »(ci - (1 -ф-'м1 -45-1)Eiiv±i±)ii2+

±

Положим (при с'7 > 0)

£ = 4(с^)2(с1 + 4 (cflV-

Так как (1 - ф-1^)2 = cj/4, 4<S < Cl/8 и 2á ^ ^ (1 - е)с, = 1с2(с, + 4(^)2)-1, то

£Ш12 > f Е llalli+ Ell^HU (6.8)

(последняя оценка справедлива и при с'7 — 0). Обозначим

<4 = pZ2\(T+W2)uT-(M/2))^± ^ ^ = ?

= PT±W»\T±My± ; = +

Из лемм 5.2, 5.4 и 5.5 получаем

НУ'*'?!"'!! ^ VwM llví"'ll». IIKW^HOVwMIKII.,

^2M-1/vw(#{Í'±W2)}) IKlk?-

С другой стороны (так как

Ewf^Eifeí- (б-9) ± z ±

-3 £ НУ - 3 £ - 3 £ ||У IIa.

Поэтому из неравенств (6.8), (6.9) и условий (6.1), (6.3) и (6.4) вытекает доказываемая в теореме 6.2 оценка

Е i WI2 > т 5 +1 Е H^liU--¿ t^iw (?+? И112+5 *

* 6(Cl + 4(4)2) Ell^HU-

Теорема 6.2 доказана.

Пусть к € R2, £ е Su fie R, N £ Z2. Положим

G%(k, = ((*?i + 2TTÍV! ± tái)2 + (¿2 + 2TTÍV2 rbpfc)2)1/2 ;

m) = min /¿).

^ /

Если € 27rZ и = 7г, то ^ я-- Для функций

£ Hl(K) обозначим

IMU,.= (E .

Vez2 '

Vez2 '

При этом (при £ = e2 = (0,1)) e2;/i) =

GN(kze2;p) = Gjv(fc;/x)} e2)* = IMI* > IMU2,*,± = IMk± >

V? £ Hl(K). Справедлива следующая лемма (доказывемая аналогично лемме 5.1).

Лемма 6.2. Пусть Е Г(р, Тогда для

всех векторов к Е И2, ( 6 5}, всех чисел ¡1 Е И и всех функций ер Е Н1 (К) выполняются оценки

ci 1МЦ*,± =

Cl

^ С2

1 +ki-i

. д

dxi

tâ2± \k2-i

d_

dx<

11(4(A) + ip{№ + ZiF)±rtiG)4>\? <

i + fci - i

. д

дх\

+

/¿£2 ± fc 2-i

. 5

cta'

Ч>

й

me

= Я2 llvll г

где постоянные ci — ci(p,q,F) >0 и с2 = с:2(р, g,F) ^ Ci же, что и в лемме 3.1.

Теорема 6.3. Пусть Е Г(р, q,F). Предпо-

ложим, что VÎ*) Е Lq2(R2). Тогда найдется число 0q —

> 0 такое, что для любых вектора -у = (71,72) Е Z2\{0}, ЯОД (7i>72) — 1, и вещественнозначной функции Ф из С(А'), для которых

£ mes {ж Е К: Ф(ж) - (^ГЧ,®) = X} < в0 AeR

(не более счетного числа слагаемых в рассматриваемой сумме по А отлично от нуля), существует множество M = Wl(T,G,U\ С N такое, что Q (N\M) < 1 и

для всех ц Е 27г|7| М, всех векторов k Е R2 : ki = тг и всех функций ер± Е Н1(К) справедлива оценка

EiM

Н-Ч*,* '

6(С1 +4(с-)2) ±

где ci = ci (р, g, F) > 0 и с!/ = cf И")) > 0.

Теорема 6.3 обобщает теорему 6.2 и аналогична теореме 9 из [14], в которой рассматривались функции yW g ¡3 > 2.

Доказательство теоремы 6.3 во многом следует доказательствам этих теорем (с использованием соответствующих утверждений из [14]). В дальнейшем (кроме теоремы 6.4) теорема 6.3 использоваться не будет, поэтому ее доказательство не приводится.

Теорема 6.4. Пусть {T,Q,U} G F(p,ç,F). Предположим, что у(°), у(3) G . Lq2(R2). Тогда найдется число во = > 0 такое, что для любых вектора

7 — (7ъ7г) G Z2\{0}, ПОД (71,72) — 1, и вещественнозначной функции Ф из С (К), для которых

mes {х G К : Ф(х) - (Ы"^ х) = Л) < °о >

A6R

существует множество M = M [ТУ^3); Ф,)) с N такое, что Q (N\M) < 1 и для всех р G 27Г|->-j M, всех векторов k G R2 : ki = 7г и всех вектор-функций ip G H1 (il ; С2) справедлива оценка

\\(V(k) + ifjL+ ЪГ)дг - 71^2)+

¿2 G2N{kM-'r,v)\M2 >*2ciIMI2,

Nez2

где Cg = Cg (p, g, F; y(°), y(3)) > 0.

Пусть в условиях теоремы 6.4 V^ = ± V^3) и

¥>± G H1 (К). Так как при всех £ G Si (в том числе при £ = |7|-17, 7 G Z2\{0} ) имеем

V(k) + гр((Ш + ZiT)di - &дЭ2) + e2**9* (V^T + V^a3) =

g 2г дФ у(+) , + + ^JT) _

d+(k) +- w&n + 6 л + Kl G c~2i^ VH )

(и №±11 i,* ^ №IU,*,±)' то теорема 6.4 непосредственно вытекает из теоремы 6.3.

Теорема 6.5. Пусть {JP,G-I'H} G T(p,q,F) и х = х (р, q\ F) .G R2 — вектор, определяемый в теореме 3.2 Çx\ > О в силу; леммы 3.1). Предположим, что V"(3) G Lq (R2).

Тогда существует множество

такое, что Q (N\M) = 0 и для всех ц G 7гМ, всех векторов k G R2 ; ki — 7г и всех вектор-функций ер G H1 (К; С2) справедливо неравенство

||[V{k + щх) + Vi°)/+ У(3)а3)И1 £ \\tp\\,

где с8 - c8(p,ç,F;y(°),y(3)) >0 и с' = c'(p,q-F) > 0 (с8 -постоянная из теоремы 6.1).

Доказательство. Пусть {Ф,Ф} G T(p,g;F) (Ф и Ф — функции, определяемые в теореме

4.2; Ф, Ф G Щ(К) П

С(К)). В силу теоремы 4.2 операторы умножения на функции едф и матричные функции для всех fi G R не выводят

за пределы пространства Н1(К; С2) и для всех k G R2 (и всех ц G R)

V(k + ifix) + V{0)7+ = = (V{k) + iiiml+ е2г'^зф(у(°)/ + у(3)а3))е^фе-г^зф .

Из леммы 4.5 следует, что при всех Л G R

mes {х G К: Ф(ж) - х2 = Л} = 0.

Поэтому из теоремы 6.1 вытекает существование множества M = M (F, Gn U\ У(°), У(3)) С N такого, что Q (N\M) = 0 и для всех ¿г G 7гМ!, всех векторов к G R2 : = 7Г и всех вектор-функций <р' G H1 (К] С2) выполняется неравенство

||(v(k) + t^îi + e2i^(v^î+v^a3))ep'\|2 £ 7г2с8 ||</||2 .

Так как max {||Ф||ь°°(К)> Иф11ь°°(К)} < с}, где с* = с? [p,q\JF) > О (см. теорему 4.2), то (в рассматриваемом случае) для всех вюктор-функций (р G Н1(К] С2), обозначив (р' = емФе~гм<ТзФ99, получаем

Осталось положить с' = с'(р, g; F) = 4cj.

Из теоремы 6.5 непосредственно вытекает теорема 1.4.

7. Вспомогательные утверждения. II

Для измеримых функций ip: R2 —> С естественным образом опеределяется носитель supp <^={iGR2: mes ({у G R2 : *p{y) Ф 0}C\Ur(x)) > 0 для всех R > 0}, suppc/? —замкнутое множество.

Пусть V(.,.) — полуторалинейная форма (линейная по второму аргументу) с областью определения Q(V) = Н1(R2) С L2(R2). Предположим, что существуют числа а > 0, та-

кие, что для всех функций <р> G #*(R2)

-iV(ip ~f г</?, ф + i<p) + г\>(ф iip)), ф, у G Я1 (R2),

следует, что для всех t > 0

||(V{k + щк) + У(0)? + У^Э3)ср\\ > £ е~2с*д ||(2>(Л) + щПа 1 + е2г'^зФ(У + У (3)Э3))</|| £

^Trv^e-^lHl^TTv^e-^IHI.

|Vfo у>)К а || V^||22(R2;C2) + 6 ||Hlb(R2) ■ (7-1)

Из поляризационного тождества

|V(*,y>)|= V -^¿И <

(ï ^ ^ h (а + b \m\h{*?)) +

поэтому для всех функций ф, ер Е Н1{R2) также справедлива оценка

|V(V,Y>K (7-2)

/ \ 1/2 ^ 2 [а IIV^H2l2(r2;C2) + ь UWl^j X

( V/2

X U l|V^||L2(R2;C2) + ь Ы\щъ?) ) ■

Лемма 7.1. Пусть У(ф,ер) —полуторалинейная форма на L2(R2), ф,ер £ Q{V) = #X(R2). Предположим, что

1) существуют числа а > 0, 6^0 такие, что для всех функций ер Е H1(R2) выполняется неравенство (7.1),

2) У(е^к^ф,ер) = V^.e^'^^V) Ял* ф, ер Е #L(R2) и /с Е R2.

Тогда

а) У(/ф,<р) = У(ф,/ер) для всех функций f Е C1(R2), для

которых sup |/(ж)| < +оо--.и sup |V/(x)|C2 < +оо, и всех xeR? seR2

ф^ерен^к2),

б) У(ф,ер) = 0 для всех функций ф, ер Е Я1^2), которых supp ф П supp (/? = 0.

Доказательство. Выберем любую функцию Е Co°(R2), для которой Г2'(:с) = 1 при всех х из некоторой окрестности начала координат и 0 ^ £У(ж) ^ 1 при всех х Е R2. Пусть ф, ер Е Н1(R2). Обозначим фТ{х) - 9,'{^)ф{х)у ерт(х) = Q'(j)</?(x), х Е R2, г > 0. Тогда фт -У ф и ерт ер в пространстве #!(R2) при г —+оо и, следовательно, для любой функции / Е C1(R2), для которой sup |/(ж)| < +оо

x'6R2

и sup |V/(e)|C2 < +оо, имеем V(/^T,<pT) \>(/ф,ер) и

х G R2

V(0T , fepT) —> У(ф,/ер) при г —> +оо (см. условие 1) и оценку (7.2)). Более того, если supp ф П supp ер = 0, то также supp фт П

8ирр</?т = 0 для всех г > 0. Поэтому при доказательстве как свойства а), так и свойства б) (при выборе функции / =. 1 во втором случае) можно (с самого начала) без ограничения общности предполагать, что вирр^ и вирр^ — компактные (и непустые) множества. Докажем свойство а). Из компактности множеств вирр ф и эирр ср следует, что для любой рассматриваемой функции / и любого е > 0 можно найти функцию

где 3{£) £ N. сИ € С и к\е) £ Б,2, ] = 1,...,</(г), такую, ЧТО \f(x) - }е{х)\ < £ И |У/(а) - У/е(®)|сз_ < £ Для »сех ж £ вирр ф и вирр (р. Тогда /£ф -> ¡ф и в простран-

стве Я1 (И2) при е —>• +0, и из условия 1) и оценки (7.2) получаем, что \>(/еф,ср) и \?(ф,Уе(р) -¥ У(ф,Уср) при £ —¥ +0. Но из условия 2) для всех е > 0 следует равенство = У(ф,Уе(р), поэтому ~ /<£>). Докажем теперь свойство б). Так как эирр ф П вирр <р = 0 и множества вирр ф и Бирр <р> можно считать компактными, то найдется функция / £ Со°(К2) такая, что /(х) = 1 при всех х £ эирр ф и /(ж) = 0 при всех х £ вирр <р. Тогда из свойства а) получаем

В следующем примере (для любой решетки периодов А С Ы2 ) приведена форма V £ Уо(Л) (множество Уо(А) определено в п. 2), не имеющая вида

(для функций ф, <р £ Со°(К2)), где ¡1 — комплексная периодическая (с решеткой периодов Л) борелевская мера (с локально конечной полной вариацией).

Пример 7.1. Для уев2 и т > 0 обозначим Кт(у) = {х £ Я2: -т < х5 - У1 < т , 2 = 1, 2}, К}{у) = Кт(у) П {х £ К2 :

J(e)

3 = 1

xi ^ yi}, K~ (y) = KT(y)\Kf(y). Определим знакопеременную меру (заряд) fi? на борелевских множествах О С R2 : №т{0) = mes (О П К+(у)) — mes (О П K~(y))t где mes — мера Лебега в R2 (мера ¡j,r распространяется также на измеримые по Лебегу множества). Для любого е > 0 и любой функции ер £ Co°(R2) имеем

' [ M2dtf

'Кг (у)

(\ip{yi+Xi+T, У2+Х2)\2-\<Р(У1+Х1 , у2+х2)\2) dx2dxi

/т г 0 гт

/ / \ч>{уг + Хг + & , у2 + х2)\х

-т J-т JО

£

дер(уг + xi + , у2 +х2)

>0

dx2dxid^i ^

£ 2

/ / + + £l , У2 + «2)|X

-Т J —r »/ —Xl —т

¿ty>(yi , У2 +Х2)

дх\

dx2dx\d^\ ^

< те

Г дер

1Кт{у) dxi

d2 х + -

M 2d2-

£ ->Кг(у)

Так как функции ер £ Co0(R2) плотны в пространстве Я1 (В.2), то для всех е > 0 и всех функций ер £ Я1^2) справедлива такая же оценка

2

А'т(у)

M 2^Уг

й те

[ d2X+- f \ep\2d2x. (7.3)

JKr(y) £ Jl<r(y)

Выберем число т > О так, чтобы (открытые) квадраты Кт(у) для разных у £ А не пересекались. Теперь, исключая из квадрата /<т(0) средние линии, получим четыре меньших квадрата. В одном из них снова выбрасывая средние линии, получим новые четыре квадрата. Продолжим эту процедуру (выбрасывая в

одном из меньших квадратов средние линии) до бесконечности. Пусть {KTj(y^)}jeN —получившееся множество квадратов, перенумерованных по убыванию размеров (т.е. ^ Tj при всех j £ N), при этом = т2 (У — центры рассматриваемых

з

квадратов). Выберем натуральные числа rij, j 6 N, так, что

Tjn3T3 ~ Каждый квадрат j 6 N, разделим на

з

п2 квадратов / = 1,...,п2, прямыми, параллель-

ными осям координат. Определим полуторалинейную форму

п2

+оо пj г

(7.4)

Из (7.3) для всех e > 0 и всех функций ip £ #*(R2) следует оценка

(7.5)

-J-oo

3=1

'К

Г]'П3

— £

(3,0,0)

'7\т(0)

dxi дер 2

вГж +

Л +

\<p\2d2x

Ч<Т]1Пз{уш)) \<р\2d2x

е 3кт(о)

(поэтому, в частности, ряд но у в (7.4) сходится для всех функций ф, <р Е. Я1 (К2) и форма V действительно имеет область определения — И1 (К2)). Положим

+ -n j г

^> = ЕЕ?Е/Л

7€Л j=1 > 1=1 JKr./„j(yW)+j)

ф, <р £ Hl(R2). Из (7.5) следует, что V £ V0(A) (свойства (VI) и (V2) очевидным образом выполняются). Но сумма пол-

ных вариаций мер (на квадратах Krjfnj(yW))), j £ N,

I = 1,..., п^ , равна — -{-оо. Поэтому не существует (ком-

з

плексной) периодической (с решеткой периодов А) борелевской меры /1 (с локально конечной полной вариацией) такой, что

•/II2

для функций ф, ер £ Со°(К2) .

8. Терема 8.1 и ее доказательство

Пусть К2 Э х (5(я) — (С^-/(ж)2 € Л42 — вещественная симметрическая положительно определенная (периодическая с решеткой периодов Z2J матричная функция, С?, С?-1 € Ь°°{В?]М2), ¿еьд е Н1(К) и

д

Определим функции £ и % из условий € Г и

ап = + д2, а22 = и2, с« = с?21 - гн. (8.1)

Тогда € Г(р, д, для некоторых чисел р, д и F;

= \/ае1£ и, следовательно, также

0П<Е Н1(К)} 7 = 1,2.

Вектор х = ^(.Т7, £/, £ К2 и вещественнозначные функции Ф, Ф е Н$(К) будем далее выбирать (по функциям Т, и %) в соответствии с теоремой 4.2 ( {Ф, Ф} Е Т(7Г, 0,7€)), = Ф — х2 .

Константы в этом разделе будут (частично) обозначаться независимо от других разделов.

: ' ; ■ . ... ■

Теорема 8.1. Пусть в = (6^)^=1,2 € Ь00(В2-,М2) — вещественная симметрическая положительно определенная

(периодическая с решеткой периодов Z2 ) матричная функция, <5-1 Е Ь°°М2), ¿егден^к),

о

— ае^ЕЬ^2), 3 = 1,2, дх3

А у Е С Ь?2(К2) для некоторой функции д Е С, =

1,2; Ь ^ 0. Тогда найдутся числа С = С (в) >0, с' = с'(<7, <7) > 0, а = а((?, А) Е (0,а_ (£?)), //о = ро(С!,А]Ь) > 0 и векторы к0 = А;0(С, Л) Е И2 и = х°((?,у4) Е И2 такие, что для всех векторов к £ К2 : к\ + к^ — 7г, всегс чисел р Е 27г1Ч, р ^ ро и каждой вектор-функции

*>=(£) €Я'(К;С2),

для которой ер\ = (¿>2 (т.е. ер = о^можно найти такую ненулевую вектор-функцию

с2),

что для всех полуторалинейных форм V Е V* справедлива

оиенка

]Г (УУ(А; к - + г^х; ф8, + ^1))

в=1

^ (8.2)

2

-с' Е 1И,1к2(д;л')

£ Се ^ ; ||Х>0(^ + А;°)егд?зае"мФ'0||х

где х = {/,%) Е И2, {Ф, Ф} Е П = Ф - г2 (и

функции Т, 0 и Т1 определяются в (8.1)).

Теорема 2.3 следует из теоремы 8.1, если принять во внимание оценку (1.7).

Следующие леммы понадобятся при доказательстве теоремы

8.1.

Лемма 8.1. Пусть V G Va,6(Z2), где а > 0, b ^ 0; {Ф,Ф} g ТQ = Ф - х2. Тогда для всех [i g 2ttZ и всех

Ф,сре я1 (к)

у>) = e^^V). (8.3)

Доказательство, предположим вначале, что ф, ер G С1 (А"). Так как Ф, Ф G Щ{д\К) С С0(А') для любой функции g G G (более того, Ф, Ф G Щ(е\К) для нек-торого £ = g, F) G (0,1) [14]), то существуют функции Фи , Ф^ G Cq°(K), и £ N, сходящиеся при v —> +оо в пространствах Я1 (А') и Ь°°(К) к функциям Ф и Ф соответственно (см. доказательство леммы 3.7). Тогда из (3.18) следует, что (для всех fi G 2ttZ )

при и —» +оо в пространстве Н1(К). Поэтому (см. оценку (2.8))

(8.5)

при и -> +оо. С другой стороны, из (2.9) для всех и G N имеем

что вместе с (8.4) и (8.5) приводит к равенству (8.3) для функций ф, ер G С1 (К). Обозначим через в оператор умножения на одну (любую) из четырех функций 0 = Щ: или О = J^-,

j = 1,2. Из теоремы 3.2 следует, что 0 — линейный оператор из Н\К) в L2(K). Пусть Хи € Hl{K), v G N, и х

I/ ^ X s

Hl(K)) 0Xv —> <pf в L2(K) при v —у +oo. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что Хи{х) х(х) и (0Х^)(Ж) —> (р'(х) при v —> +оо для п.в. х Е К. Но тогда также (0Х„)(®) = <д(х)х»{х) -> 0(®}х(а?) = (§х)(®) ПРИ v Для

п.в. х £ К и, значит, ер' = 0х- Поэтому из теоремы о замкнутом графике следует, что^оператор в непрерывен. Пусть теперь ф, ер Е Н1(К), фи , <р„ Е С1 (Л'), v Е N, и ф„ ф, ерv -Л ер при v -л +оо в пространстве Я1 (А"). Используя равенство (8.3), уже доказанное для функций фи и ери, равенство (3.18) и непрерывность оператора 0 (для всех (четырех) функций 0 = J^jj и

0 = , j — 1,2) получаем, что

при г/ -> +оо в пространстве Я1 (/<"). Тогда также (см. (2.8))

при v —> -f-oo. Следовательно, равенство (8.3) справедливо для всех функций ф,ер£Н1(К).

Лемма 8.2. Пусть Q Е L2(K) и существуют числа а > 0, 6 О такие, что для любой фунции ф Е И1 (К) имеем йф Е L2(K) и справедливо неравенство

\Ш\ЬЦК) < а \\ЧФ\Ь{К&) + Ь \\Ф\\ЩК). (8.6)

Пусть Q\(.) — функция («шапочка»), введенная при доказательстве леммы 3.7, fii(a:) = S~2 х Е R2, S > 0. Тогда для любой функции ф Е Н1(К)

И(а-а*ад^Ь(к)->о (8.?)

при 5 —+0.

Д о к а з а^т е л ь с т в о. Так как неравенствам (8.6) (для всех ф Е Н1(К)) вместе с функцией О. удовлетворяют и все функции 0,(. — у) (функция (2 предполагается периодически продолженной на все пространство И2 ), у Е И2, то для всех 5 > О (и всех функций ф Е Я1 (А)) также справедливо неравенство

||(а * ПбЩщк) < а \\^Ф\\щк^) + ь \\Ф\\щк). (8.8)

Если ф Е С1 (К), то

\\iQ-Q* ^)Ф\\щк) Пб\\&(к)М\ь«цк) О

при 5 -> +0. Пусть ф Е Я1 (А'), ф^ Е С^-Ю) г/ Е 14, и ф при I/ —>• +оо в пространстве Я1 (А). Так как ||(<2 — 2 * &в)Фи\\щк) 0 ПРИ ->■ +0 Для всех I/ Е N и ||(<2-

0 ПРИ V равномерно по всем 5 > 0 (см. (8.6)

и (8.8)), то (8.7) справедливо и для всех функций ф Е Я1 (А').

Лемма 8.3. Для любого ¡3 > 2 найдется константа с(0) > 0 такая, что для всех функций IV Е , есеж век-

торов А; Е И2 : = 7Г и всех функций х £ Я1 (А) справедливо неравенство

\\WxW < Щ) \тщк) ||(/с - .

Лемма 8.3 достаточно хорошо известна [18].

Доказательство теоремы 8.1. Для вектор-функций ф, ер Е Я1 (А; С2) и чисел ¡1 Е 27гК будем обозначать

ф^ = е'^е'^ф , ер1 = .

Пусть 2 = Зз^з, где б, Е И^2 (К2), I = 0,3, I Е М2 ~

единичная матрица. Определим полуторалинейные формы

7г,(2; ф, ер) = (§>, -г ^ ) - (-г , &<р), ; = 1, 2 ,

Фг<р e Q(-Jlj) == Hl(K-C2) С L2{K-,C2), Q* = Q0I+Q3°3- Если Qi G Lq2(R2) П H1 (К) и |^GLf(R2), ¿ = 1,2, / = 0,3, то

= (8.9)

(равенство (8.9) (очевидным образом) выполняется для функций Ql G С1 (Л'), / = 0,3, и для его доказательства в общем случае достаточно воспользоваться леммой 8.2). Если Qi G С](К), I = 0, 3, и ер — ер, то (для всех ¡i G 27rN )

= i W, || <P) = г (tf, || =

= i (е^^е'^ф, ^e-^^e^co) = dxj

dÔ

^ -ад*;,si*»;),

поэтому также из леммы 8.2 следует, что при Q/ G Lg2(R2), l = 0,3, в случае З^ = у? (для всех // G 27rN) выполняется равенство

^•(2; V»,*>) = К>. i = 1,2. (8.10)

Лемма 8.4. tfî/стъ Q, G L^2(R2), l = 0,3. Тогда для любого е > 0 существует постоянная Се — Се(0) > 0 такая, что для всех векторов k' G R2 : к^ = 7Г и всех вектор-функций ф, ер G H1 (К] С2) справедливы неравенства

1^(2; '0, у>)1 ^ * • ||А>(Л')И1 + ^ M • IMI, J = 1,2.

(8.11)

Доказательство. Так как Qi G Lq2(R2), l = 0, 3, то для любого £ > 0 существует постоянная Се' = Сl(Q) > 0

такая, что для всех векторов к' Е И2 и всех вектор-функций X Е НЪ(К] С2) имеем

\\йх\\$ф0(к')х\\+с:\\х\\. (8.12)

Пусть ЫК = иК{к') = {/V Е г2 : + 2ттА^| ^ В,}, Я ^ 2тг; < б7гД2 (см. оценку для множеств Г±(а) в п. 5). Обозначим — {Яо * ОД / + (0,3 * ОД » ^ > 0 (где — «шапочка»),

= £ ¿г

-0, V? б.Я^К; С2). Фиксируем некоторое число е > 0. Положим е! = Число Я = й (Й,£) ^ 27г выберем так, что Я > е^С' . Справедливы равенства

ф, у») = 7г,(2(5); + - ?>"*)+ (8.13) +я,-(ё- о,{5)\Фик,- + - ^- - Л •

Оценим слагаемые в правой части (8.13). Так как \\Т)0(к')(ф — фи*)\\ > Я\\ф-ф"*\1 \ф0(к'){? - ч>ы*)\\ £ Д ||у>-<^*||, то из определения полуторалинейной формы и оценки (8.12) (см. также доказательство леммы 8.2) для всех <5 > 0 следует неравенство

\П5(й - й{8)\Ф - Фи<р - <ры*)\ ^ (8.14)

^ 2 (е} \\Щк')(ф - фи*)|| + ОД |\ф - ф»*||) \ф0(к')(<р - сри»)||+

+2 ^ ||Р0(*')(¥> - ¥>"«)II + ^ № ~ Ч>и4) \Фо(к')(ф - ф"*)|| <

< 4 (£1 + Л^С^ЦРо^')^ - • \Фо(к')&~ <РЫл)\\ < <£-\\Щк')ф\\.\фо(к'М. Для второго слагаемого в правой части равенства (8.13) имеем ¡К^й- й{5);ф> (8.15)

< \\п _ п.....I 1ы,м . _ ®

<: ^я \\й-й{8)\Ь(К;С>) (Шк'Щ. \фо[к')<р\\ + я \\Ф\\ • 1М1).

Так как ||2 - 0.(&)\\ь*(К\С2) О ПРИ +0) то можно выбрать число 5 = 8(0, Я(£)) > 0 так, что

Для третьего слагаемого в правой части равенства (8.13) (принимая во внимание, что ||(р - ерЫк\\ ^ ||у>||, \\Т>о(к')(ср - || ^

\\д0(к'М и щ(о- &{8)\Г,ч>') = -пАй*- &*{8у<р',Ф') для всех ф',(р' Е Н1(К\С2)) получаем (при выборе числа <5 = 8(0, Я(е))) такую же оценку (как и (8.15))

\КЛй-й{5);фи*,<р-(ри*)\ ^ (8.16)

^ I (\Фо(к')Ф\\ ■ \\Мк'м 4- ^я2 ца - С(0Ь(*;с?) \\Ф\\ • 1М1 • Наконец (см. (8.9)),

\\Ф 1НМ1-

С2

(8.17)

Оценки (8.11) теперь следуют из (8.13) — (8.17), при этом константа С£ > 0 зависит только от е и функции О.

Лемма 8.5. Пусть 01 6 1Ь^2(К2), ¿ = 0,3. Тогда для любого е > 0 существует постоянная Се — Се(0) > 0 такая, что для всех векторов к' Е И2: к[ = 7г, всеж чисел // Е 27гПЧ и

всех вектор-функций ф, ер Е Я1(А';С2) : д\ер — ер справедливы неравенства

(fcO^II-ll^o^O^II + CelWll-ll^ll, i =

Лемма 8.5 непосредственно вытекает из леммы 8.4 и равенств (8.10).

Обозначим

V(A] k + ix) = V(k + ix) - (Qff! + Тд2)А1 - Ua2A2

(оператор V(k-\-ix) определен в разделе 1). Для всех к, х £ R2 и ф, ер £ Н1(К; С2) имеем

2

YW{A]k + ix; ф3,ер3) = (V(A]k- 1х)ф,Т)(А\к + гх)ер)- (8.18) 6-1

д — д

-((&! - ¿Xi - i ---А{]ф,%дЧоъ (к2 + ix2-i ---А2)ер) +

ОХ1 ОХ 2

д д + ((/г2 - гх2 - г — - А2)ф^0Па3(к1 + гхх - г — - Ai)c¿) ,

где А = (Аь А2).

Лемма 8.6. Умножение на функцию у/QTi не выводит за пределы пространства Н1 (К) и для любой функции X € Н1(К)

9-Vmx = 7±na42ix+pLij = lí2. (8.19)

у/ОП дх3 д 2 дч дх3 А дх3 '

Доказател ьство. Пусть > 0, и £ И, и 8и -Л 0 при V -> +оо. Обозначим V„ = * ОД Е С'°°(А'),

где — «шапочка» (см. доказательство леммы 3.7). Тогда Ти —> при г/ —)■ +оо в пространстве Н1(К). Более того,

дх ~ дх 3 ~

Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что Т)у(х) -> 0{х)%{х) при V —> -Ноо при п.в. х £ К (при этом Я ^ УР1/(х) ^ р для всех и Е N и х Е К). Для любой функции X Е Я1 (А') справедливы равенства

1 д г— 1 мдх . л 9

у/Я Х=7Г^Г1Г- х + о—, ^ = 1,2.

у " Л 2 Ги дхз А дх3 Так как щбП е j = 1,2, то (в силу леммы 8.2)

дУ„ ддп

при и —>■ +оо в пространстве Ь2(К) и, следовательно,

при I/ —» +оо (также) в пространстве Ь2(К). Но операторы (с областью определения ± г = Я1 (Л') С

Ь2(К)) замкнуты, поэтому \fQTLx £ 12(К) и выполнены равенства (8.19).

Пусть х = х — вектор, определяемый в теореме

4.2, /г Е 2ттК. Из (4.14), (8.18) (и лемм 8.2 и 8.6) получаем

2

^УУ(Л;А; + гх+ щх\ф8,ч>8)- (8.20)

5-1

~Ф(А\ к -IX - ~~ 2>(Л; к + гх + щх)%Дт<р) =

у Я

^(т2л-д2ддп тьдч , *-> (т дди , и зди .

-Иг1(ди(А2 - гх2)д3\ + гИ2{0ЩА1 - ¡щ)Э3 4 1./Н 3.,* »'Пдхг*")

4 и« V ац ) оп

Теорема 8.2. Для любых вектора х £ Л2 и числа е > 0 найдется такое число С'е — С'г ((?, А; х) > 0, что для всех векторов к £ И2 и к' £ Л2 : А^' = тг, всех чисел р £ и

всех вектор-функций 1р,ср £ Я1 (А'; С2) : — ер справедливо неравенство

2

У^ УУ(Л;/с + гх +г^х;

S— 1

£

-(Р(А; к — гн — ipx)VG5(А; А; + гх + ipx)VQñ<p)

уп

$ е \\Vo(k')^\\ ■ \\Щк')^\\ + а Ш ■ \Ш ■

Для доказательства теоремы 8.2 достаточно воспользоваться равенством (8.20) и леммой 8.5 (см. также доказательство леммы 2.1). Следующая теорема непосредственно вытекает из теоремы 4.1.

Теорема 8.3. Пусть £ T(p,g,F), А3 £

L2(g,]K) для некоторой функции g £ G, j = 1,2. ^Тогда существуют векторы £ R2 и функции Фо, Фо £ Но(я') К) С Hq(K) ПС(К) такие, что

1) умножение на функции е±гф° и матричные функции е±о-3Фо не выводит за пределы пространства Я1 (К\С2);

2) для всех векторов к, х 6 R2 имеем

V(A\ k + ix) = еЭзЧ!ое-гФоЗ{к + к0 + ix° + гх)егф°е?3*° , V(A\к - ix) = e^0e~l*0V(k + к0 - ix° - ix)e^0e^° ;

3) тах{||Фо||ьоо(Я),||Фо|и~(А')} < с9 ¿ Ш\ь*(д-,К), |*Т +

¿=1

|х°|2 ^ СЮ 1И11ь2(/<-;С2) ' с9 = с9 (Р>Я,Р>9) > 0 w с10 =

Сю íp,q,f) > о.

Лемма 8.7. Яустъ £ £ G, £ <Е L2(g-K) и Х G Я1^). Тогда для любого вектора k' £ R2: fc/ = 7Г

ll¿xll ^ ||£||l2(3^) ||(Л' - ¿V)x||l2(k;c2) , (8-21)

где сп = сп (д) > О.

Доказательство. Пусть х € C¿ (/<"). Тогда (см. раздел 3) для всех x6R2

|Х(®)| [ д(\х - у\) IgradxWI2d2y] ,

где константа с4 = C4 (д) > 0 определена в (3.15), и, следовательно,

í \С{х)х(х)\2d2x^ (8.22)

J к

^с2 [ í mx)\2g(\x-y\)\gmáX(y)\2d2xd2y^

Jl<c JK*+x

J2i<c(J А'СП (Kc + y)g(\x-y\)\C(x)\2d2x^ |gradXW|2A^

* 4c4 mibütK) /jgradxl2^. j к

С другой стороны, '

\\Ц\&(К) < с12 \\£\\щд;К), (8.23)

где С\2 — си{д) > 0. Поэтому для функций х £ С1 {К) из (8.22) и (8.23) следует оценка (8.21) с некоторой константой Си = Си (я) > 0. Пусть теперь х £ ^(К), х^ € С1 (К), г/ 6 И, и Х1/ X ПРИ ^ —* в пространстве Н1(К). Так как С 6 то \\С(Х - Х»)\\щк) 0 "РИ ^ Но

оценка (8.21) справедлива для всех функций х^ » поэтому при // —> +оо получаем, что эта оценка справедлива и для функции X € Н1(К). Обозначим

Из теоремы 8.3 и леммы 8.7 для всех к' е К2 : к[ — тт следует оценка

2

\\Щк')Ф'Л < в1е,£М"<«*> ||Т>(А-,к' + к° - ЬЪ^щГЛ <

£

где С/ = С[(6?) > 0 и с) = с/> 0. Такая же оценка справедлива для вектор-функций ер'^ и ер" (вместо вектор-функций ф^ и ф" соответственно). Пусть к' = А: + Будем выбирать векторы /с Е И2, для которых к[ = /сх + = 7г. Имеем

ф(А]к + гх0 -щ^у/ОПф, - + щх)уД?Н1р) =

у Н

= ф{к')ф';, ^е*>з<Фо-.-мп) £(*>;') •

Из (1.5) и леммы 3.2 вытекает (так как к[ — 7г), что кегР(Аг') = {0} и Я(Т>(к')) = Ь2(К; С2). Для каждой вектор-функции <р е

Н1(К\ С2) далее будем выбирать такую вектор-функцию ф € Н1(К\С2), зависящую также от Т, (/, "Я, А, /х и /г', что

= (8.24)

Тогда (см. (1.6) и теорему 8.3)

у Я

'Д II II" Vv jr-ß

2

> с? \фо{к'Ш . \фо(к')<р'Л\,

где с\ = с\ (р, д, .Р) >0 — константа из леммы 3.1. Из полученной оценки и теоремы 8.2 следует теорема 8.4.

Т е о р е м а 8.4. Существуют константы С — С (С) € (0,а_(<5)), с' = с'(д,д) > 0 и С{ = С2'(<5, А) > 0 такие, что для всех векторов к £ И2: к[ = к\ + /е° = тг, всея чисел ¡1 £ 2тг1$ и всех вектор-функций ф, у? Е Н1(К\ С2), для котюрых д\ер = и выполнено равенство (8.24), справедлива оценка

У^ >V(A; k - ix° + ф$, <р3)

S— 1

Лемма 8.8. Равномерно по всем векторам k' £ R2 : = 7г и ecejw ненулевым вектор-функциям ер £ Я1 (К; С2), для которых д\ер — ер, имеем

IIPoft'MII _ ^

при (л -» +оо (и ¡1 £ 27rN j.

Доказательство. Обозначим ipß = е^ер. Тогда (р£ = и

€ L2(I<), j =1,2, в силу теоремы 3.2). Пусть К£ =

е #: (Й")2 + (ё")2 ^ е > Из леммы 4-4 следует, что mesÄ'e —у 0 при е —» +0. Определим невозрастающую функцию [ir,+oo) Э А е(А) > 0 так, что с2(3) (mesii£(A))2/3A2 ^ \ для всех А, где с (3) — константа из леммы 8.3 (при /5 = 3). Если ipß Е Н1(К; С2) : ||</?м|| = 1, то для каждого А ^ 7г либо ^ А, либо ||Do{k')<p>ß|| < А. Во втором случае из леммы 8.3 (для /3 = 3) получаем

[ 2d2x ^ с2(3) (mesÄ'£(A))l ||50(fc')^ll2 ^ \

и, следовательно,

£ [ e2(\)\vß\2d2x>\e\\). Поэтому для всех epß Е НХ{К\ С2): \\<Рц\\ = 1 имеем

\Фо{Ь'Н\\2 > SUP min {A2, i /Л2(А)} +оо

А^тг ^

при /I —> +оо.

Теорема 8.5. Пусть V Е V^6(Z2), а > 0, 6^0. Тогда для всех векторов k' Е R2 : к{ = ir, всех чисел ¡i Е 27rN

и всех вектор-функций ф,ц> 6 Н1(К\С2): д\ер = справедливо неравенство

6-1

Доказательство. Обозначим У\?(ф,(р) = 2 _

^{Фэ^в)- Из леммы 8.1 (см. (8.3)) следует равенство

.9 = 1

у>) = которое приводит к оценке

|Й>(*,¥>)| < ■ УРо(^')«'>?зП £«)И + се' НУ^Н ' 1КН.

справедливой для всех векторов к' £ И2 : к[ = -к и всех чисел /2 £ 27г1Ч. С другой стороны,

~ „ Л . , дП Л дП ,

<90

^ , . , дП „ дП ,

Теорема 8.1 теперь следует из оценки (1.7), теорем В.4, 8.5 (при выборе достаточно малого числа а > 0 (например, можно положить

1 ~ -с' £ ° ~ 3 '

и С = \ С)) и леммы 8.8.

Список литературы

1. Kuchment P., Levendorskii S. On the spectra of periodic elliptic operators. Preprint mp_ arc # 00-388, 2000 (http://www.ma.utexas.edu/mp_ arc).

2. Бирман M. Ш., Суслина Т. А. Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11, № 2. С. 1-40.

3. Shen Z. On absolute continuity of the periodic Schrodinger operators. Preprint mp _ arc ф 99-189, 1999 (http://www.ma.utexas.edu/mp_ arc).

4. Суслина Т. А., Штеренберг P. Г. Абсолютная непрерывность оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, №5. С. 197-240.

5. Friedlander L. On the spectrum of a class of second order periodic elliptic differential operators. Preprint ESI № 1037. Vienna, 2001 (http://www.esi.ac.at).

6. Цикон X., Фрезе P., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

7. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations. Basel: Birkhauser Verlag, 1993.

8. Данилов Jl. И. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. VI. М.: ВИНИТИ, 1996. 45 с. Деп. в ВИНИТИ 31.12.96. № 3855-В96.

9. Gruber М. J. Measures of Fermi surfaces and absence of singular continuous spectrum for magnetic Schrodinger operators. Preprint №421, SFB 288. Berlin, 1999 (arXiv : math-ph/9908026).

10. Morame A. Absence of singular spectrum for a perturbation of a two-dimensional Laplace-Beltrami operator with periodic electro-magnetic potential // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. V.31. P. 7593-7601.

11. Данилов Л. И. О спектре двумерного периодического оператора Дирака // Теор. и мат. физика. 1999. Т. 118, № 1. С. 3-14.

12. Birman М. Sh., SuslinaT. A. The periodic Dirac operator is absolutely continuous. Preprint ESI № 603. Vienna, 1998 (http://www.esi.ac.at).

13. Данилов Л. И. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. III. М.: ВИНИТИ, 1992. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 10.07.92. № 2252-В92.

14. Данилов Jl. И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. II. М.: ВИНИТИ, 2001. 60 с. Деп. в ВИНИТИ 09.04.01. № 916-В2001.

15. Данилов Л. И. Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Дирака // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 2.

С. 233-240.

16. Данилов Л. И. О спектре периодического оператора Дирака // Те-ор. и мат. физика. 2000. Т. 124, № 1. С. 3-17.

17. Данилов Л. И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. I. М.: ВИНИТИ, 2000. 76 с. Деп. в ВИНИТИ 15.06.00. № 1683-В00.

18. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 342 с.

19. Данилов Л. И. Оценки резольвенты и спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом // Теор. и мат. физика. 1995. Т. 103, № 1. С. 3-22.

20. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнений с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73, №6. С. 1117-1120.

21. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

22. Shen Z. Absolute Continuity of Periodic Schrodinger Operators with Potentials in the Kato Class. Preprint mp _ arc # 00-294, 2000 (http://www.ma.utexas.edu/mp_ arc).

23. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

24. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 357 с.

25. Thomas L. Е. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Commun. Math. Phys. 1973. V. 33. P. 335-343.

26. Hempel R., Herbst I. Bands and gaps for periodic magnetic hamiltonians. Preprint ESI № 162. Vienna, 1994 (http://www.esi.ac.at).

27. Бирман M. III., Суслина Т. А. Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, № 1. С. 32-48.

28. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10, № 4. С. 1-36.

29. Sobolev A. Absolute continuity of the periodic magnetic Scrodinger

operator. Preprint ESI №495. Vienna, 1997 (http://www.esi.ac.at).

30. Kuchment P'.j Levendorskii S. On absolute continuity of spectra of periodic elliptic operators. Preprint mp _ arc # 98-630, 1998 (http://www.ma.utexas.edu/mp_ arc).

31. Shen Z. The Periodic Schrodinger Operators with Potentials in the C.FefFerman-Phong Class. Preprint mp _ arc # 99-455, 1999 (http://www.ma.utexas.edu/mp_ arc).

32. Данилов JI. И. Об абсолютной непрерывности спектра периодического оператора Шредингера // Матем. заметки. 2002 (в печати).

33. Бирман М. Ш., Суслина Т. А., Штеренберг Р. Г. Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шредингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых //.Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, № 6. С. 140-177.

34. Шгеренберг Р: Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, №4. С. 196-228. ; "

35. Shargorodsky Е., Sobolev A.V. Quasi-conformal mappings and periodic spectral problems in dimension two. Preprint arXiv : math.SP/0109216, 2001.

36. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 443 е..