Об отсутствии собственных значений в спектре двумерных периодических операторов Дирака и Шредингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958+517.984.5

© Л.И. Данилов

danilov@otf.pti.udm.ru

ОБ ОТСУТСТВИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ В СПЕКТРЕ ДВУМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА И ШРЕДИНГЕРА

Ключевые слова: операторы Шредингера и Дирака, спектр, периодические электрический и магнитный потенциалы.

Abstract. We prove the absence of eigenvalues in the spectrum of twodimensional periodic Dirac operator with martix coefficients of the class L“ and strongly subordinate matrix potential. We also obtain conditions for the absence of eigenvalues in the spectrum of two-dimensional periodic Schrodinger operator with variable metric.

Введение

Пусть M2 _ пространство комплексных (2 х 2) -матриц, I € M2

- единичная матрица,

- матрицы Паули. Предположим, что функции € Ьте(1{,2;1{,), j,l = 1,2, являются периодическими с решеткой периодов Л С С И2 и 0 < е ^ Ъц(ж)Ъ22(ж) — Ъ^(х)Н^(х) при почти всех (п.в.) х ей2. Рассмотрим операторы Дирака

0 -i

1 О

2

2

+ h32V2){-i щ) ,

действующие в Ь2(Ш,2; С2) и имеющие область определения

ЩЩV) = Н^Л2; С2) . Справедливы оценки

С1 ||Т0pH2 < ||Тр||2 < с2 ||Т0р||2, р € н^с2), (0.1)

где константы сх > 0 и С2 ^ С\ зависят от функций Н^1 . Обо-

значим через Ьд(112) множество периодических с решеткой периодов Л С И2 функций Ш € £2ос(112;С) таких, что для любой функции р € НХ(К2) функция Шр принадлежит пространству Ь2(^2) и для любого е > 0 существует константа С£,щ ^ 0 такая, что для всех функций р € Н1(Ш?)

НШр||ь2(Н.2) ^ е 11^р||ь2(К2;е2) + Се,^ ||р||ь2(11,2) .

Если V € МИ2), 1 = 0, 1, 2, 3 , то

3

3 + У = 3 + Voí+Y^ ^ (0.2)

1=1

- замкнутый оператор с областью определения ЩV + V) = = Н1^2; С2) С Ь2(И2; С2) ( у - матричный потенциал).

Следующая теорема является основным результатом данной работы, касающимся периодического оператора Дирака.

Теорема 0.1. Пусть Н^ € £те(К2;11.), j,l = 1, 2, -

С

ствует число е > 0 такое, что е ^ Нц(х)Н22(х) — Н12(х)Н21(х) при п.в. х € И2 . Предположим, что V € Ьд(И2), 1 = 0, 1, 2, 3 . Тогда оператор (0.2) не имеет собственных значений.

Если в условиях теоремы 0.1 оператор (0.2) самосопряжен, то его спектр абсолютно непрерывен. Для самосопряженных периодических эллиптических дифференциальных операторов абсолютная непрерывность спектра следует из отсутствия собственных значений [1]. Это утверждение носит общий характер и справедливо также для оператора Дирака V + у (в последней ситуации доказательство приведено также в [2]).

Пусть С - множество непрерывно дифференцируемых невозрастающих функций д : (0, + го) ^ (0, + го) таких, что

и (д(т/2) — д(г))(д(т))-1 ^ 0 при г ^ +0. Обозначим через Ь2 (д, Л} , д € С, банахово пространство периодических с решеткой периодов Л С И2 функций Ш € Ь20С(112; С), для которых

11Ш1112{й,л} = I д(\х — у\)\ш(у) \2й2у<+го .

х ей2 ■>

у. |х-у|<1

Если д € С , то д(г) 1п \ —>■ +го при г —>■ +0 , поэтому для любой функции Ш € Ь2 (д, Л} функция Ш2 принадлежит классу Като К (см. [3]) и, следовательно, Ш € Ьд(1{,2) •

Оператор (0.2) в случае € Сте(К2), j,l = 1,2, VI € € С~(К2;К) при и V , ОЦ/Ох^ € Ь~(И2) при ^ = 0,3

и = 1,2 рассматривался в [4]. В [5; 6] доказана абсолютная непрерывность спектра оператора V + у для постоянных функций и периодических (с общей решеткой периодов Л С л2 ) эрмитовых матричных функций у(х) = у*(х), х € И2, для которых у € Ь^с(112 ;Мг), в > 2 (в частном случае, когда

V € Ь^С(И2; И) , в>2, ^ = т € И и VI = 0, I = 1,2, этот результат получен в [7]). Более общие условия на периодические вещественнозначные функции VI , I = 0, 1, 2, 3 (при постоянных функциях Нjl), приведены в [8]: достаточно, чтобы функции У021п(1 + |И\), ^(1 + \V!\) и У21п9(1 + IV\), ^21п«(1 + \V;\) для некоторого д > 1 принадлежали пространству Ь110С(К2) (тогда

VI € Ьд(И2), 1 = 0, 1, 2, 3). В [9] доказано отсутствие собственных значений в спектре оператора (0.2), если V/ € Ь^с(112;Мг), в > 2 (и функции Нjl удовлетворяют условиям теоремы 0.1). Последний результат был усилен в [10] (и приведен также в [11]): в [10] предполагается, что для периодического с решеткой периодов Л С И2 матричного потенциала у выполняются условия

V , V Є Цл(И2) и V , V Є Ь2(д, Л} С Ьл(Г12) для некоторой функции д Є С .

Так как оператор V + У — Л/ (где I - единичный оператор в Ь2(К2; С2)), Л Є С , сводится к оператору V + 1 при замене

V — Л ^ V) , то при доказательстве теоремы 0.1 достаточно дока-

Л

полагать, что Л = Z2 (не изменяя вида оператора V + 1, можно сделать соответствующую линейную замену переменных). Обозначим ЦИ2) = Ц2г(К2), К = [0,1)2 . Пусть 0 < ^ ^ р < + го и ^ ^ 0 , Г(р, д, - множество упорядоченных наборов (^, £, Н} периодических с целочисленной решеткой периодов Z2 функций из £те(К2;К) таких, что д ^ £(X ^ Р; д ^ Н(X ^ Р и |^(XI ^ ^ при п.в. х Є И2 ; Г = ир я ^(р, д, . Умножая оператор Дирака (0.2) слева на (унитарную) матричную функцию

(^21 (х) + ^2(Х)—/2 (^(Х1 — і^(ХІз), х Є И2,

получим оператор

V + У = (даі + ^2) (-г + №(-г + V, (0.3)

для которого (^, £, Н} Є Г и (периодический с решеткой периодов Z2 ) матричный потенциал 1 удовлетворяет условиям теоремы 0.1. Поэтому теорема 0.1 является непосредственным следствием теоремы 0.2.

Теорема 0.2. Пусть (^,£,Н} Є Г,

з

п .НИСК + Е уі( •)),

1=1

где Уі Є Ц(И2), I = 0, 1, 2, 3. Тогда оператор Дирака (0.3), действующий в £2(112;С2) и имеющий областью определения ЩV + V) класс Соболева И1(И2;С2), обратим (т.е. у него нет

Л

Будем далее коэффициенты Фурье функций р € ЬХ(К; Сл), ^=1,2, обозначать через

р„ =/рМе-<->Л, N е*.

К

Пусть С(К), С1 (К и Н (К) - пространства функций f : К ^ С, периодические продолжения которых (с решеткой периодов Ъ2) принадлежат , ^<1(К2) и ^классу Соболева

Н^И2) соответственно; Со(К), Сд(К и Н(К) - соответствующие подпространства функций р, для которых ро = 0; Н (К; С2) = (Н (К))2. Функции, определенные на (элементарной) ячейке К, в дальнейшем будут также отождествляться с их периодическими продолжениями на все пространство И2 . В пространствах , Ь2(И2; С^) и Ь2(К;С^), ^=1,2, нормы и скалярные произведения вводятся обычным образом (как правило, без указания в обозначениях самих пространств), при этом предполагается линейность скалярного произведения по второму сомножителю; V = (д/джх , д/дх), тея - мера Лебега в Л2 .

Пусть {^, £, Н} € Г(р, д,^). Для всех к = (кх,к2) € И2 и к = (к, к2) € И2 опеределим операторы

Т>(к + гк) = (<3дх + Тд2){к\ + 1кг - г + Па2(к2 + ш2 - г ^), действующие в Ь2(К; С2), ^(^(к + гк)) = Н (К; С2) . Положим й±(к + ъп) = (0 ± ЦГ){к\ +1П1-1 ^) ± %Н{к2 + %п2 - г , Щс1±(к + гк)) = Н (К С Ь2(К), <± = <¿±(0);

йк+<«)=(- ° <-(к;гк)У м

Ы+ (к + гк) 0 у

Существуют числа Сх = Сх(р, д,^) > 0 и с2 = с2(р, д, ^) ^ Сх такие, что для всех векторов к € И2 и всех р € Н1 (К)

2 2 С1 || -*^-)р||2 < 1И±(к)р||2 < с2Е II -*д|-)р||2 (0.5)

3=1 3=1

(можно ПОЛОЖИТЬ Сі = д6р_2(2^2 + ^2)_1 , С2 = 2(р2 + ^2) [10, лемма 3.1]). Из (0.4) и (0.5) получаем, что для всех векторов к Є И2 и всех вектор-функций р Є Н1 (К; С2)

сх ||10(к)р||2 < 111к)р||2 < с2 ||^о(к)р||2, (0.6)

при этом

2

надиі2 = Е її 4 ^и2-

3=1

Если к\ = п, то Ц (к)р|| ^ п ||р|| , р Є Н1 (К; С2). Из (0.6) следует, что операторы 1(к), к Є И2 , замкнуты. Если к Є 2пг2 , то область значений Е(V(к)) операторов 1(к) совпадает со всем пространством Ь2(К;С2), кег1(к) = {0} и обратные операторы

V-1 (к) компактны. Если к Є 2^2 , то Я(V?(к)) - (замкнутое) подпространство в Ь2(К; С2) и сіітсокег V(к) = сііткег 1(к) = 2 (см., например, [Ю]).

Оператор Дирака 1 + у (0.3) унитарно эквивалентен прямому интегралу

Г (%) + У)&, (0.7)

^ 2пК У )

действующему в

Г ь2(А';С2) ^

•/2пК У -1

(вектор к = (кі,к2) Є 2пК С И2 называется квазиимпульсом). Унитарная эквивалентность устанавливается с помощью преобразования Гельфанда (для периодического оператора Дирака см. [6; 12]). В (0.7) матричный потенциал у является оператором в Ь2(К; С2), имеющим (так как V Є ЦИ2), I = 0, 1, 2, 3 ) пулевую грань относительно операторов 1(к), к Є 2пК;

£( 1 к) + у) = £( 1( к)) = н ^с2).

Операторы D и Do также унитарно эквивалентны прямым интегралам

Г ÍW(SF " /*

JlnK J2nK к 1

соответственно, поэтому из (0.6) следуют неравенства (0.1) (после линейной замены переменных и, вообще говоря, с другими константами с\ > 0 и с2 ^ С\ ). Так как матричный потенциал у, рассматриваемый как oneратор в L2(K; С2), имеет пулевую грань относительно операторов D(k) , k € R2 , и, следовательно, для всех k € R2\2nZ2 операторы уD_1 (k) компактны, то из представления оператора Дирака D + у (0.3) в виде прямого интеграла (0.7) и аналитической теоремы Фредгольма вытекает, что если Л = 0 - собственное значение оператора (0.3), то Л = 0 -собственное значение операторов D(k + гк) + у (с областью определения DD(k + гк) + у) = Я1 (K; С2) С L(K; С2)) для всех k + гк € С2 (более подробно см. [1] и [13, § XIII.16]). Следовательно, для доказательства теоремы 0.2 достаточно найти комплексный вектор k + гк € С2 , для которого ker (D(k + гк) + у) = {0} . Поэтому теорема 0.2 является следствием теоремы 0.3.

Теорема 0.3. Пусть {F, G, H} € Г(p, q,F) и

з

у( .) = v0(.)/ + E Vi(-)У,

i=i

где Vi{.) € L(R2), l = 0, 1, 2, 3. Тогда найдутся векторы k', к' € R2 , единичный еектор e € R2 : |e| = 1 (для которого ei > 0 ) и сколь угодно большие числа Д >0 т,акие, что для всех векторов k € R2 : k\ = п и всех вектор-функций <р € H1 (K; С2) справедливо неравенство

||(D(k + k' + iOie + к')) + у)^1 ^ e-c^ IMI, г<9е с = c(p, q, F) > 0 .

§

1. Обозначения и вспомогательные утверждения

Обозначим через Я^2}, д € С, банахово пространство функций Ф € Я^ (К), для которых

Н^НН{й > 22> = 1 ^1 |ь2{й , г2} < + •

Так как г£д(г) ^ 0 при т ^ +0 для люб ого е > 0, то С (К) С Яц (д^2} (вложение непрерывно). С другой стороны, Яц (д^2} С Со(К и Л113 всех ^ € Я^ (д,г2} выполняется оценка [10]

Нф11ь“(к ^ сз НфНн{й >22} ’

где с3 = с3(д) > 0 .

Теорема 1.1 ([10]). Пусть (^, Н} € Г(р, д,^1) и д € С. Тогда для любых функций С, С2 € Ь2(д^2} можно (однозначно) найти т,акие векторы к, к € И2 и функции Ф, Ф € Н (д^2} С Н (К) ^ С7(К), что умножение на функции е г^ф ме мФ <?ля всех ц € С не выводит за пределы пространства Н1 (К) (тогда операторы умножения на функции е г^ф и матричные функции емо"зФ не выводят за пределы пространства Я1 (К; С2)),

е^зФе-г^ф 2(ц(к + ¿к)) ег^е^зФ = 22(0) + ц(С+ С2ст2)

м при этом

тах(||Ф||^~( к , ИФИь“( к } ^ С1 (ИС1-11ь2 {й , Ъ2} + ||С2||ь2 {й ,г2}) ,

1к|2 + № ^ с2 (НС1|||2(К) + НС2|||2(К)) ,

где с{ = с{(р,д,^Й с2 = с2(Р, 9, ^) > 0 . Если С ± * С2 €

€ Е(с1±), то к = к = 0. .Белы С « С2 - вещественнозначные функции, то к = 0 и функции Ф и Ф также являются вещественнозначными.

Теорема 1.2. Пусть {F, G, H} Є Г(p,q,F). Тогда существуют (единственные) вектор к Є R2 и вещественнозначные функции Ф, Ф Є Hq (К) ^ C(К fф, ф Є JHq {g, Z2} для любой функции g Є G j т,акие, что

1) для всех ^ Є R умножение на функции eмФ и матричные функции e г^стзФ не выводит за пределы пространства

H1 (КС2);

для всех k, к Є R2 и ^ Є R имеем, eі^зфe^D(k + ¿к + i^K)e-^e^зФ = D(k + ¿к) + ; (î.i)

тах{||Ф||ь»(к , IWU“(K} ^ cb |к| ^ c2 ; где c2 = cî (p, q, F) > 0 и 4 = c2 (p, q, F) > 0.

Теорема 1.2, являющаяся частным случаем теоремы 1.1, используется при доказательстве теоремы 0.3.

Вещественнозначные функции Ф, Ф и вектор к Є R2 , определяемые в теореме 1.2, однозначно находятся из условия

¿d+( Ф — ¿Ф) = — ( G + ¿F) к і — ¿H К + 0 ,

являющегося следствием (1.1), причем к і > 0 [9]. Если ^ Є 2nZ , то оператор умножения на матричную функцию є-і^стз^ф-Х2^ действуете L2(K; С2) (линейное многообразие H1 (К; С2) инвариантно относительно действия этого оператора). При ^ Є 2nZ , k, к Є R2 имеем

D(k + гк + г^К) = є-і^з(ф-xa)e-^DD(k + «)e^є-і^з(ф-xa) . (1.2)

Лем м^а 1.1 (£10]). Пусть {F, G, H} Є Г. Тогда для функции Ф Є НІ (К) ^ C(К), определяемой в теореме 1.2, при всех Л Є R

mes {x Є К : Ф(х) — x2 = Л} = 0.

Пусть k Є R2 и ^ Є R. Для всех N Є Z2 обозначим

G± (k;^) = ((ki + 2nNi)2 + (k2 + 2nN2 ± ^)2)*/2;

Ом(к;ц) = тт(С№(к;ц),ОМ(к;ц)} •

Если кх = п, то Ом (к; ц) ^ п. Для всех функций р € Н (К) положим

1М1* = (Е ОМ(к;ц) |рм|2) / ,

N е22

1М1*,± = ( Е (О±(|^м|2) / •

N ег2

Лемма 1.2. Пусть (^, ^, Н} € Г(р, д,^1). Тогда для всех векторов к € И2, всеж чисел ц € И и, всех функций р € Я1 (К) выполняются оценки

с1 1М1*, ± < 1К5(к) + *ЦН)р||2 < ^ ||рН2,± •

Лемма 1.2 является следствием оценок (0.5) (с теми же константами сх = сх(р, д, > 0 и сг = с2(р, д, ^) ^ сх).

Для множества О С ^2 обозначим £(О) = (^ € Ь2(К) : = 0 при N € 22\О} , £(22) = ¿2(К) , Д0) = (0} 5 Р50 - ортогональный проектор в Ь2(К), ставящий в соответствие функциям р € Ь2(К) функции

Р 0р = Е рме2пг(м’х)

N еО

(Р®р = 0 ); # О - число векторов конечного множества О С Z2. При а ^2п определим (непустые конечные) множества

Т±(а) = (Ж ^ : ОМ (к; Ц < а}

(в приведенных обозначениях не отмечается зависимость от вектора к € И2 и числа ц € И, которые будут предварительно задаваться).

Лемма 1.3 ([10]). Для каждой функции Ш € Ь(И2) существуют число с4(Ш) ^ 0 и невозрастающая функция Нщ '■

[2п, + го) ^ [0, +го), для которой Нщ(¿) ^ 0 при £ ^ +го, т,а-кие, что для всех ц ^ 4п справедливы следующие три утверждения:

1) для всех векторов к € И2 : к\ = п и для всех функций р € ДТ±ц/2))

ИшрУ ^ с4(ш) ||рП*.± = с4(ш) НрИ* ;

2) если 2п ^ а ^ ц/2, то для всех векторов к € И2 м всех функций р € £(Т±(ц/2)\Т±(а))

||Шр|| ^ Нщ(а НрИ* ; к€

р € Н(К) П Ц%2 \(Т+(ц/2) и Т-(ц/2))) выполняется неравенство ||Шр|| ^ 3Нщ(ц)

Замечание 1.1. Из пунктов 1) и 3) следует, что число с4(Ш) можно выбрать так, чтобы неравенство

||Шр|| < с4(ш) НрН*

было справедливо для всех ц ^4п , всех векторов к € И2 : кх = п и всех функций р € Н (К) .

Следующая теорема усиливает теорему 6.2 из [10], и ее доказательство непосредственно вытекает из доказательства этой теоремы. Фактически в теореме 1.3 сформулировано то, что в действительности доказано в [10, § 6] (при этом чтобы не вносить каких-либо изменений в предложенное в [10] доказательство теоремы 6.2, утверждения леммы 1.3 сформулированы так, как они приведены в [10]).

Для произвольного множества М; С N обозначим

#{г/ еМ':1/а}

О, (М;) = Нт

N

Теорема 1.3. Пусть {F, G, H} Є Г (p,q, F), V± Є Є L(R2) и Ф - вещественнозначная функция из C(K), для которой mes {x Є K : Ф(ж) — x2 = Л} = 0 при любом Л Є R. Тогда для любого числа a ^2п , для которого

2

max {hv_(a), hv+(a)} ^ м ci+4(max{c4(V_),c4(v+)})2

(где ci = ci(p, q, F) > 0 - число из неравенств (0.5) м леммы

1.2, а функции hv± и числа C4(V±) определены в лемме 1.3), найдется множество M = M(p, q,F; F, G, Н;Ф ; V+ , V— ; a) CN такое, что Q (N\M) = 0 и для всех ц Є пМ (при ц ^ 2a ), всех векторов к Є R2 : к = п м eceæ функций Є iï1 (K) справедлива оценка

IK f (к) + *цН) р+ + e_2 v_p_||2+

+ ||(d_(к) + ІцН)Р_ + в2гмФ V+p+У2 ^

^ f (ll^T+(“V+ll* + ||-РТ (“V-||*) + 6(с1+4 (maX{c4V-),C4(V+)})2) Х х(||р Z2\T+(a) ^ ||2 + + ||р Z2\T-(a) р_||2 _) .

Т е о р^е м а 1.4. Пусть {F, G, H} Є Г (p, q, F), й Є Є L(R2), У Є L(R2) и Ф - вещественнозначная функция из C(K) ; для которой mes {x Є K : Ф(Х — x2 = Л} = 0 при любом Л Є R. Тогда для любого числа a ^2п , для которого

2 1 с?

шах *V0±ÿ3(a) ^ MCl+4(maX{c4(Vb-V3),C4(Vb+V3)})2 ’

найдется множество

М = М (p, q, F F, G, H; Ф; F0 + Йз , Й — Йз ; a) C N

такое, что Q (N\M) = 0 и для всех ц Є пМ : ц ^ 2a, eceæ к Є к п

Р= (^_) Є Я1 (K; С2)

справедлива оценка

||(Р(к) + гцН?1 + в2^зФ(Й/ + Й?з))р||2 ^

>|(Е||^Т±(^±1Г;+

+__________^______„____V ||р22\т±(а)р+||2 .Л

С1+4 (тах {с4(У0 —Уз),с4(У0+Уз)})2 11 ^±И*,±у-

Теорема 1.4 непосредственно вытекает из теоремы 1.3, если положить У± = й ± Й I так как

0(*)+<ц«*+е*** (Й,?+ Йа») = ’^цк **) .

Для функций Ш € Ь2(К) при Ь ^0 определим функции

Кэж->ш&-ж) = / ^ЛИ |Ш(Х 1 ^ Ь

£ 0 , в противном случае.

Лемма 1.4. Пусть Ш € ЦБ,2) С Ь2(К) . Тогда существует невозрастающая функция Нщ : [0, +го) ^ [0, +го), для которой Нщ(¿) ^ 0 при £ ^ +го, такая, что для всех ц € И, всех векторов к € И2 : кх = п м всеж функций р € Н (К) (для каждого из знаков + и —) справедлива оценка

||(ш(.) — ш(Ь;.))р(.)Н < Нщ(Ь) НрН*,±, ь ^о.

Доказательство. Так как Ш € ЦЛ2), то (см., например, лемму 5.3 в [10]) для любого е > 0 найдется число С' щ ^ 0 такое, что для всех ц € И, всех векторов к € Л2 и всех функций р € Н (К) (и для каждого из знаков + и — )

11Шр11 ^ е 11р11* ,± + Сё, щ 11р|1 • (1-4)

Для чисел а ^2п и функций р € ii1 (K) обозначим

р± = р тНa р, р± = р z 2\т ± ^ р,

где T±(а) = {N € Z2 : G±(k; ц) ^ а} (функции р± и р± зависят (кроме числа а) также от вектора k € R2 и числа ц из R, но в их обозначениях это не отмечается). Справедливы оценки

1 ^ # т ±( а < бпа2.

Для всех чисел b ^0, а ^ 2п, € R, всех вект оров k €

€ R2 : k\ = п и всех функций р € Hl (K) (так как в этом случае п||р|| ^ ||р||*,±) имеем (для каждого из знаков)

||(w(.) - Щь;.))р(.)II <

< У(w(.) - W(b; .))р±(ОУ + IKw(.) - W(b .))р±а)(ОУ <

< ||W(.) - W(b;.)У^(к Ур± IIl~(k + У^р±а) У <

< V6К а ||Ж(.) - W(b; .)\\ЩК) ||у4о) У + e ||^a) ||*; ± + C^w ||^±о) || < < (уДа ||Ж(.) - W(b; ,)||щк) + г + %) ||р||*)± . Обозначим hw(b) = mf min [Да\\W(.) - W(b;.)\\ьЦк) + г + %) .

Так как ||W(.) - W(b;.)||l2(k) I 0 ПРи b —+го,то функция hW удовлетворяет требуемым условиям. □

2. Доказательство теоремы 0.3

Определим при ¿ = 1,2 и b ^0 функции

-т^? тг/ I ч i VAх) , если |V,(xi ^ b,

R Э х —— Шb; х) — s n

,.

В соответствии с леммой 1.4 (так как V € Ь(И2), ¿ = 1,2) выберем число Ь = 5(р, д, V. , й) ^ 0 так, чтобы для всех ц € Л, всех векторов к € И2 : к = п и всех функций р € Н1 (К) (для каждого из знаков + и — ) выполнялись неравенства

\т.) -Ц(Ь;.)М-)\\2 ^ §2\М1±, 1 = 1,2, (2.1)

Так как У(5;.) € Ьте(К) (следовательно, У(5;.) € Ь2(д^2} для всех функций д € С ) и ||У(5; 011Ь“(К ^ Ь, ^ 1, 2 , то из теоремы 1.1 следует, что существуют векторы к', к' € Л2 и функции Ф', Ф' € Н(К п С(К) (более того, Ф', Ф' € Н(д, г2} для любой функции д € С) такие, что операторы умножения на функции е ±гф и матричные функции е ±стзФ не выводят за пределы пространства Н1 (К; С2), для всех векторов к, к € И2

е'е-^' (£(к + к ' + Цк + к')) + У) е*ф'е^' = (2.2)

2

= £( к + гк) + о — VI (Ь •))/! + Й / + й У,

1=1

где й1 + йУ = е2стзФ*(V)/ + У??з) и, следовательно,

й = й сЬ2Ф' + й зЬ2Ф', й = й зЬ2Ф' + й сЪ2Ф', и при этом

тах(||Ф'||ь»(к), ||Ф'||ь«(К)} ^ с"&, (2-3)

|к'\2 + |к'\2 ^2с252,

где с{' = с{'(р,д,^^ и с^ = с^(р,д,Р) > 0 (константа с^ определена в теореме 1.1). Из (2.3) получаем, что й , й € Ь(И2) . Пусть Ф,Ф € Н (К ^ С(К и к € И2 - вещественнозначные функции и вектор, определяемые для функций Т, ^ и Н в теореме 1.2. Из равенства (1.1) для всех к € И2 и ц € Л получаем

2

е*^3Фе^ (р(к+гцй) + Е(^(О-Ж&;.))/г + йУ+ й/з) е-мФе^зФ

1=1

.

= D(k) + гцН?! + E(Щ.) - Vi(b .))5j + е2^зФ(Й5 + Й53).

1=1

Обозначим

£o = ш Cl(Cl + 4(max{c4(F0 - V3),c4(V0 + Й)})2)~1/2-

Выберем число a = a(p, 9,F Ю ^ 2п так, чтобы выполнялись неравенство (1.3) (с рассматриваемыми функциями й и й ) и неравенства

C£o, V ^ eoa ) ¿ = 1,2

(где константы CJ у; взяты из оценки (1.4)). Тогда из леммы

1.1 и теоремы 1.4 следует, что существует множество М С N, зависящее от p, q, F , функций F, Q, H и матричного потенциала 5, такое, что Q(N\M) = 0 и для всех ц € пМ, всех векторов k € R2 : k = п и всех вектор-функций

(pt) € Я1 (К С2) (2.5)

справедлива оценка

||(D(k) + + е2^зФ(й5+ й53))И|2 ^ (2.6)

^ f Elli5T±(a)^±H* + iFeo ± ±

С другой стороны, с помощью оценок (1.4) и (2.1) для всех вектор-функций (2.5) получаем

2 2

II (Е Mí о - и( ь о)^о ^0II2 < 2 е I т •) - и( ь омо II2 <

¡=i 1=1

2

^4 ЕЕ кvkо - ví(ь oxp5T±(o)ы(оn2+ z=i ±

+4 ¿£1№р22уг±(0)^±112 < 51 Еи]5т±(“)^112 ±+

1=1 ± ±

+8 ¿Е (£о «Р^22'т ±(“) р± «5 ,± + (С,и)2 «Р322'1- ±а р± II2)

у-ии Г-.-И^Ш Ч ЬО,!';/!! Г-.-иу^

1 ±

< § Е \\рт±(а)ы\1,± + 32^ е н^22уг±(а)Ы1и ± ±

(использована оценка ||Р22\т±ар±|| ^ а-1||Р22\т±ар±||5 ,±)-Поэтому из (2.6) вытекает, что для всех ц € пМ, всех векторов к € И2 : = п и всех вектор-функций (2.5)

2

I (£(к) + гцН/1 + Е(Ж0 - Жь 0)/Ч е2(йоУ+ йз/))р||2 ^ 1=1

> | || ф(к) + щЮг + е2г^(У0Т+ Й^3))И|2-2

- Ц(Е0 - Ж&;.))/г)р||2 ^

1=1

> а Е11рт±<“^±111±+¥ ■^ Е11р2,'т±(“,»’±1Г;,± > ±± >¥4Е\М1±>¥4 Е е;иады2>|а2|М12.

± N е22

Так как ||Ф||ь^(К ^ с5 = с^(р, д,Р) (см. теорему 1.2), то из (2.4) и полученных неравенств следует оценка

2

II (£(к + гцк) + Е(И(0 - И(ь .))?! + й 1 + й/з)р|| ^ (2.7)

1=1

о е"2с^|М|.

Наконец, (2.7) и (2.2) приводят к оценке

\\(Щк + к' + г(цк + к')) + ^)р11 ^ ^е0е-4с"ье-2с^ ||р||,

справедливой для всех ц € пМ, всех векторов к € И2 : к = п и всех вектор-функций р € Я1 (К; С2) . Для вектора й € И2 имеем «1 > 0 [9] и

у75! < 17x1 < р+^ ^ |к| ^ л/гг

(см. доказательства леммы 4.1 и теоремы 4.1 и [10]), поэтому осталось положить е = й/|й| и

с = ф,(?,р) = 3с1*£±£.

При этом достаточно выбирать числа ц € п|к|М , для которых 4с"Ь-1п(^ тггоКс?^.

Теорема доказана.

3. Отсутствие собственных значений в спектре двумерного периодического оператора Шредингера

В этом и следующем разделах работы результаты о двумерном периодическом операторе Дирака, приведенные в предыдущих разделах, применяются при доказательстве отсутствия собственных значений в спектре двумерного периодического оператора Шредингера. Будут также существенно использованы утверждения из [10] и [11].

Пусть И2 Э х ^ С(х) = (С^)^ , г=\,2 - вещественная симметрическая положительно определенная матричная функция (метрика), С,С-1 € К-2 Э х ^ А(х) = (А(х), А(х)) €

€

ции (Си А предполагаются периодическими с решеткой периодов Л С И2 , А2 € Ьд(И2), ] = 1,2 . Рассмотрим полуторалинейную форму в Ь2(И2)

2

УУ(б,А;1р,р)= Е ((“* Щ ~ щ ~ ^)р)

2,г = 1

с областью определения QW) = HX(R2), ^,р € HX(R2) (черта означает комплексное сопряжение).

Обозначим через Va множество полуторалинейных форм V(^, р) в L2(R2) (линейных то второму аргументу), ^,р € € QV) = HX(R2), для которых

1) V(^(. — 7),р(. — 7)) = V(^,р) для всех ^,р € HX(R2) и всех y € Л (т.е. V - периодическая форма с решеткой периодов ЛсЕ2);

2) V(е г(к,х^,р) = V(^,e-^fc,xр) для всех k € R2 (и всех

^,р € H^R2));

3) для любого е > 0 существует число C£ = C£(V) ^ 0 такое, что для всех р € HX(R2)

|V(р,р)| < е |^р|Ц2(к2;С2) +C£ ||р|Ц2(к2). (3.1)

Формы V € Va для функций ^,р € HX(R2) П Co(R2) (где CC иметь вид

У(ф,р) = j tpipd/j,, (3.2)

R2

где ц - комплексная периодическая с решеткой периодов Л бо-релевская мера (с локально конечной полной вариацией). Однако не всякую форму V € Va можно представить в виде (3.2) [10, § 7]. Если

У(ф,р) = j Vtpipd2x, ф,реН1(R2), (3.3)

R2

где V - периодическая (с решеткой периодов Л С R2 ) функция из класса Като K , то V € Va [3; 14].

При сделанных предположениях относительно периодических функций (Си A и в случ ае V € Va квадратичная форма W(G, A р, р) + V(р, р), р € QW + V) = HX(R2) С L2(R2), является замкнутой и секториальной. Поэтому она порождает m-секториальный оператор И((С; A, V) в L2(R2) с некоторой

областью определения ^(Я(С; А, V)) С Я1^2) [15] (если р € € ^(Я(С А, V)), то для всех ф € Я1 (И2) имеем

(ф, Я(<5; А, Vр) = V(ф, р)).

Оператор Я(С; А, V) можно формально записать в виде

£ (-'Ш--А1)ОА-'Щ-А>) + У, (3.4)

3,1 = 1

где V - периодический (обобщенный) скалярный потенциал, который, если является обычной (измеримой) функцией V : И2 ^ С (например, из класса Като К ), определяет форму V € Уд по формуле (3.3).

Следующая теорема является основным результатом данной работы, относящимся к периодическому оператору Шредингера.

Теорема 3.1. Пусть С = (С37)з;1=1,2 - вещественная симметрическая положительно определенная матричная функция, периодическая с решеткой периодов Л С И2 , (С, С-1 € € ; ^2) • Предположим, что С € И^0С(Т12),

аеШ€Ьд(112), ¿ = 1,2,

А3 € Ьд(112), ] = 1, 2 , V € ул .

Тогда оператор Н((С; А, V) не имеет собственных значений.

Замечание 3.1. Утверждение теоремы 3.1 остается в силе, если вместо форм V € Уд рассматривать формы V (с областью определения <^(V) = Я1^2) С £2(112)), удовлетворяющие условиям 1) и 2) из определения множества Уд , а вместо условия 3) потребовать, чтобы оценка (3.1) выполнялась для некоторого достаточно малого числа е > 0, зависящего от Л, С и А (в этом случае оператор Шредингера Я(С; А, V) также определяется как т -секториальпый оператор в Ь2(И2), порождаемый (замкнутой и секториальной) квадратичной формой

С, А Р, р) + V(р, р), р € ф(^ + V) = Я^И2) С ¿2(И2)).

Замечание 3.2. Если в условиях теоремы 3.1 Aj , І = 1,2 , - вещественнозначные функции, а форма V эрмитова, то оператор Н{О; А, V) самосопряжен и, следовательно (так как оператор Н{О; А, V) не имеет собственных значений), его спектр абсолютно непрерывен [1].

Пусть А, , І = 1,2, и V - вещественнозначные (периодические с решеткой периодов Л С И2 ) функции. Двумерный периодический оператор Шредингера

2

ЕН4-^+1,'1С!1' <3-5>

j=l

рассматривался в работах [13; 16; 17]. В [18] доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (3.5) при V Є Ь^0С(К2;К), А Є ^(И2; И2 ), д > 1. Последний результат был усилен в статье [8], в которой предполагалось, что ^^1 + IV|) Є ЬІ0С(И2) и |А|21п*(1 + |А0 є ЧС(И2), д>

оператор (3.5) с потенциалом V го класса Като К (и при А = 0). Периодический оператор Шредингера (3.4) с переменной метрикой С впервые рассматривался А. Морамом [4] при

О Є С “(И.2 ;М2), гіеі <С = 1, А, Є С “(И2;!!), І = 1,2, и

V Є £“(112; И) . В дальнейшем П. Кучментом и С. Левендорским [19] для случая (С Є Ст+"(К2;Мг) , т Є , а Є (0,1) , было доказано существование периодических изотермических координат у(ж) Є Ст+1+а(112;11,2), приводящих матричную функцию С к скалярному виду; их использование позволило ослабить ограничения па (3, А и V, сведя рассматриваемую задачу к случаю постоянной матрицы О. Периодические изотермические координаты применялись в серии работ М.Ш. Бирманом, Т.А. Суслиной и Р.Г. Штеренбергом. В [20] доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (3.4) при О Є 1ос(112;М2), А Є Ь2оС(К2;Г12), д > 1, V = V + , где V - периодиче-

С

Ь^0С(К2;К), £ - периодическая (с той же решеткой периодов

Л ) система кусочно-гладких кривых, - дельта-функция, сосредоточенная на Е, ^ Є Ь^0С('Е;И) . В последующих работах [21; 22; 23] ослаблялись условия на функции (7, А и V. В [23] приведены условия, полученные Р.Г. Штеренбергом:

ск^ б Є НІС(К2), щ ¿еібє МИ2), і = 1, 2, (3.6)

|А|2 ¡(|А|) Є ^(ІІ2), (3.7)

где ¡(і) = 1^(¿) Пт— ¡¿(¿Ь т Є N , д > 1, ¡і(і) = 1 + 1п(1 + ¿),

¡і( ¿) = 1 + (¿), г = 2,...,т, Ь ^0,п скалярный потен-

циал V определяется как обобщенная функция ^ц/^2ж, где ц

- периодический борелевский заряд, удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям (см. [22]). При этом замыкание (в Ь2(И2)) квадратичной формы

V(р, р) = I |р|2, р Є Я1^2) П С0(112), и2

не обязательно ограничено относительно формы ||Vр||L2(R2.c2) ,

рЄ

[25]) было ослаблено ограничение (3.7) на векторный потенциал А: достаточно предполагать, что А, Є Ьд(И2), І = 1,2 . В данной работе применяется другой подход к исследованию двумерного периодического оператора Шредингера (3.4), не использующий периодическую замену координат, приводящую матричную функцию (метрику) (7(.) к скалярному виду, и опирающийся на результаты о периодическом операторе Дирака. Этот подход предложен в [10] и использовался также в [11] и [26]. При этом условие (3.6) па матричную функцию (7(.) получается из приближенной факторизации оператора Шредингера (при V = 0), а не как условие, обеспечивающее применение периодических изотермических координат. В [11] (см. также [26]) доказано отсутствие собственных значений в спектре периодического оператора

Шредингера Н{С; А, V) (формально записываемого в виде (3.4)), если выполнены условия (3.6), V € Уд и

А, € Ь{д,Л}С МИ2), ¿ = 1,2, (3.8)

для некоторой функции д € С (форма V не обязательно эрмитова, а функции А, , ¿ = 1,2, выбираются комплекснозначными). В более ранней работе [10] накладывалось дополнительное условие па форму V: предполагалось, что существует неотрицательная форма V4" € Уд такая, что Vр, р) | ^ V4" (р, р) для всех р € Я1(К2) . Условие (3.8) на векторный потенци-А

решеткой периодов Л) векторного потенциала А : И2 ^ С2 , удовлетворяющего условию |А|2д( |А|) € Ь^^Н2), где функция [0, + го) Э £ ^ д(¿) € [0, +го) те убывает и функция (0, + го) Э Э £ ^ д(£-1) припадлежит С (в частности, это справедливо, если д(.) = ¿(.) ), существует функция д € С такая, что А, € Ь2{д, Л} , ] = 1,2 [26]. В этой работе для периодического оператора Шредингера (3.4) предполагается (как и в [24]), что А, € Ьд(112), ¿ = 1,2.

При доказательстве теоремы 3.1 , делая линейную замену переменных, можно считать, что Л = Z2 , К = [0,1)2 (при этом условия, наложенные на функции С , А и форму V , не изменяются. Обозначим У = У22 . Делая замену формы

У(ф,р)-\ I ф<р(12х ^У(ф,<р), ф,р£Н1(П2),

в:2

где Л € С, также можно ограничиться только доказательством обратимости оператора Н(С; А, V) . Поэтому теорема 3.1 следует из теоремы 3.2.

Теорема 3.2. Пусть С = (С,г),, ¿=1,2 - вещественная симметрическая положительно определенная матричная функция, периодическая с решеткой периодов Т12 С И2 , С, С-1 €

€ L^(R2; ^2) . Предположим, что det (7 € —¿^(R2),

£: detG€L(R2), ¿ = 1,2,

Aj € L(R2 >,¿ = 1,2, V € V.

Тогда оператор H(G; A, V) обрат,им, (m.e. у него нет собственного значения Л = 0 ).

Будем далее предполагать, что Л = Z2 и X = [О, I)2 . Пусть k, к € R2 , Aj € L(R2), ¿ = 1,2,

W( G, A; k + ¿к; Ф, р) =

2

= Е (Н Щ - Äj + % - Щ~А1 + к1 + *к0р)

j,l=l

п0лут0ралинейная ф0рМа в l2(x) , ф, р € QW) = -Я1 (X). Выберем любую функцию 0 € C^(R), для которой 0(£) = 1 при £ О и 0(С) = О ПРИ С ^ 1 • Положим

0N(x) = 0(X|- N)0(NI- N, N €N, x €R2.

Для формы V € V определим полуторалинейную форму в L2(X)

V(^,p)= lim i V(eNtp,eNp), (3.9)

ф,р € QV) = Я1 (X) . Предел в (3.9) существует и не зависит от выбора функции 0 [10] (функции ф и р считаются периодически продолженными на все пространство R2 ). Из оценки (3.1) для формы V следует, что для всех £ > 0 , всех векторов k € R2 р € V X

|V( р р)1 ^ £ IKk - ¿V) рН12(к;е2) + C IMILok •

Теорема 3.3 ([26]). Пусть V Є V. Тогда для любого є > 0 найдется число О = Сє;(V) ^ 0 такое, что для всех векторов к Є И2 : к і = п и, всех функций ф, р Є Н1 (К)

ІИр) 1 < є ІКк - гУ)ф||ь2(К;С2) 1Кк - ^)РУ^(К;С2) +

+Сє; 11ф11ц;к) 11рИь2(к) •

Из условия 2) в определении множества V = Vz2 получаем (см. [10]), что

У(7Ф>Р) = У(ф,/р) (3.10)

для всех функций f Є С1 (К (и всех ф, р Є Я1 (К)).

При условиях, наложенных на функции С, А и форму V, квадратичная форма

ЩС, А; к + гк; Р, Р) + Vр, р),р Є ф(Щ + V) = Я1 (К С Ь2(К),

для всех к + гк Є С2 замкнута и секториальна. Пусть

Я(С; А, V к + гк)

- т -секториальный оператор, порождаемый этой формой [15], ЩЯ(С; А, V к + гк)) С Я1 (К С Ь2(К) . Оператор Я((5; А, V) унитарно эквивалентен прямому интегралу

Г Н(С;А,У;к)^ ,

•/2пК У )

действующему в

/ф ¿2(^)(0-•/2пК К ’

(см. [10; 27; 28]). Так как операторы Я((С; А, V; к + гк) имеют компактную резольвенту, то для доказательства отсутствия в спектре оператора Я(С; А, V) собственного значения Л = 0 достаточно доказать (аналогично случаю периодического оператора Дирака), что найдутся векторы к, к Є И2 такие, что оператор Я(С; А, V; к + гк) обратим [1; 19; 28]. Поэтому теорема 3.2 является следствием следующей теоремы.

Теорема 3.4. Пусть функции С, А и форма V удовлетворяют условиям теоремы 3.2. Тогда найдутся т,акие векторы к, к Є И2 , что для любой ненулевой функции р Є Н1 (К) можно выбрать функцию ф Є Н1 (К) такую, что

ЩС, А; к + гк; ф, р) + У(ф, р) ^ 0 .

4. Теорема 4.1 и ее доказательство

Пусть матричная функция И2 Э х ^ С(х) Є М2 удовлетворяет условиям теоремы 3.2. Определим функции Т, £, Н Є Ь^(К2; И) так, что {Т, £, Н} Є Г и

Си = Т2 + £2 , С22 = Н , Си = С2і = ТН •

Тогда {Т, Є Г(р,д,Р) для некоторых чисел р, д и Р;

дп = лДеїс и, следовательно,

дпен1(к), Щ єци2), ,і = 1,2.

Более того, для любого т Є И умножение на функцию (Т£) т не выводит за пределы пространства Н1 (К) и для всех функций р Є Я1 (К)

Вектор к = ЩТ, Я, Н) ^ И2 и вещественнозначные функции € Щ (К) п С(К) будем далее (в этом разделе) выбирать (по функциям Т, Я и Н) в соответствии с теоремой 1.2. Обозначим П(х) = Ф(ж) — Ж2 , х € К .

Теорема 4.1. Пусть функции О, А и форма V удовлетворяют условиям теоремы 3.2. Тогда найдутся числа

С(О,А, V) >0, ^0 = ЫО,А, V) >0

и векторы к0 = к0(О,А) € И2 и к0 = к0(О, А) € И2 такие, что для всех векторов к € И2 : кх + к° = п, всеж чисел

Л Є 2пN : л ^ /ло и каждой вектор-функции р Є Я1 (К; С2), для которой д\р = р (т.е. рі = р2 )■, можно найти такую ненулевую вектор-функцию

ф = (Фі) Є Я1 (К; С2),

Ф

что

Е (М<5, А к - ¿к0 + ¿л«; Ф«, рі) + ИФ«, рі))

8=1

^ С(5, А, V) 11^0(к + к0)е^3°е-;фФУ ■ ||Р0(к + к0)е-і^зПе;фр||.

Так как для всех векторов к Є И2 : кі = п и всех вектор-функций р Є Я1 (К; С2) справедлива оценка ||2?о(к)р|| ^ п ||р||, то из теоремы 4.1 непосредственно следует теорема 3.4.

Доказательство теоремы 4.1. Для вектор-функций ф, р Є Я1 (К; С2) и чисел л Є 2пг будем обозначать

ф; = е^з°е-^фф , р^ = е-і^зПе;фр.

Положим 2 = 2оI + 2з<?з ; где 0,і Є ЦІЇ,2), I = 0,3 , І Є М2 -единичная матрица; 2* = ОоI + 2з<?з . Определим полуторалинейные формы

ф, р) = (2*ф, ¿ = 1,2,

Ф,р Є ф(Кз)= Я1 (К; С2) С ¿2(К; С2) . Если ф, р Є Я1 (К; С2) и (Тір = р , то для всех л Є 2пZ выполняются равенства [10]

^?(2;ф,р) =^?(2;ф;,Т1 р^), І = М. (4.1)

Лемма 4.1 ([10]). Пусть Є ЦИ2), 1^= 0,3. Тогда для любого є > 0 существует число С/ = С£''(2) ^ 0 такое, что для всех векторов к' Є И2 : к/ = п и всех вектор-функций ф, р Є Я1 (К; С2) справедливы, неравенства

|^(О ф, р)| < є ||Ро(к')ФУ ■ ||Р0(к')р|| + С£" УФУ ■ УрУ, і = 1,2 .

Лемма 4.2. Для всех чисел ц € 2п2, всех векторов к' € И2 и всех вектор-функций р € Я1 (К; С2), для которых (Г! р = р , имеем

||2>0(к')е^3°р|| = ||2>0(к')е-^3°р||.

Доказательство. Так как для всех вектор-функций р € Я1 (К; С2) (см., например, [10, теорема 3.2])

Щ-^€Г2(Л';С2)

^ = т Щ у + , 1 = 1,21

ТО при условии (?! р = р получаем

и

е

<9<р

||2>0( к')е ^3° р||2 = = II2 (к')р||2 + ц2

^оЙ/) + ^(Ц?1-Ц?2))р

ап - ап -

<9а?2 ^ 2 ) ^

^ (Ц?1 - Ц?2))р|2 = ||Ро(к,)е-^зПр||

□

Следствием равенства (4.1) и лемм 4.1 и 4.2 является лемма

4.3.

Лемма 4.3. Пусть € Ь(И2), I = 0,3. Тогда для любого е > 0 существует число О" = С/(2) ^ 0 (то э/се; что и в лемме 4-1) такое, что для всех векторов к' € И2 : к/ = п, всеж чисел ц € 2п2 и всех вектор-функций ф, р € Я1 (К; С2) : ?!р = р справедливы неравенства

|^(2;ф,р)| < е ||2?о(к')<||-||2>о(к')р£|| +Ог

.7 = 1,2.

Лемма 4.4. Пусть _К, Р Є Ь(И2). Тогда для любого є > 0 найдется число Сє = Сє (К, Р) ^0 такое, что для всех векторов к' Є И2 : к/ = п и всех вектор-функций ф, р Є Я1 (К; С2)

||Кф|| ■ ||Рр|| < є ||£о(к')ф|| ■ ||2>0(к')рК Сє ||ф|| ■ ||р||.

Доказательство леммы 4.4 аналогично доказательству леммы

2.1 в [10].

Обозначим

2?( А; к + ¿К = к + ¿К — (Я?і + ТТ) А — Н<?2 А

(оператор Т>{к + гк) определяется по функциям Т, Я, Н во вве-

дении), £(^(А к + гк)) = £(^(к + гк)) = Я1 (К; С2) С Ь2(К; С2) . Для всех к + ік Є С2 и ф, р Є Н1(К; С2) справедливо равенство (где А = (Аі,А2))

2

Е ^(G,A•,k + m•,'фs,<Ps) — (4.2)

8=1

— (Т>(А; к — гп)л/0Нгр, ^ £>(А; к + іи)л/0Нр) =

4%(£4Й? + №^)-

—г^і(ЯНА2 Т3; ф,р) + г^2(ЯНАі Т3; ф,р) —

- ( А25з *>) + ( ^ АА1ЇЗ „) - і (і ^ р)-

4 (гк ЇЙ? + «1?) Л зк 1? + и «?) р)

(правая часть приведенного равенства не зависит от комплексного вектора к + ¿к Є С2 ). Выражая в последних четырех слагаемых правой части равенства (4.2) вектор-функции ф и р через вектор-функции и р^ , ^ Є 2п2, из равенства (4.2) с помощью лемм 4.3 и 4.4 получаем теорему 4.2.

є>

такое число С| = С*(¿?, А ^ 0 > что ^ля всех вект,оров к, к Є И2 а к' Є И2 : к{ = п, всех чисел ц Є 2пЪ и всех вектор-функций ф, р Є Н1 (К; С2) : Тр = р выполняется неравенство

2

I Е С, А к + ¿к + ¿цк; ф8, р8) —

8=1

— (Т>(А; к — ік — гц^л/ОНф, Т>(А; к + іи + іц,п)\/ОТі р) < є ||2>0(к'ШН|£0(к'КН+ С| ||ф'| |р' і

<

■у^\\ ІІ^и^ } т ^\\ 1 ^є II Vу ^\\ Иг *

к , К Є

число С > 0, зависящие от, функций Си А, т,акие, что для любого числа ц Є 2пЪ, любого вектора к Є И2 , для которого к + к\ = п, и любой вектор-функции р Є Н1 (К;С2) можно найти ненулевую вектор-функцию ф Є Я1 (К;С2) такую, что

(Т>(А; к + гк° — і/ж) л/ОН 1р, Т>{ А; к — гк° + і/ж) л/ОТі р) ^

^ С (к + к0)ф;ін|р0( к + к0)р;ц .

к, К Є

при Ц Є 2пЪ , О = Ф — ж2 ) для всех вектор-функций ф, р Є Є Н1 (К; С2) вытекает равенство

(Т>(А; к — ік — г ¡¿к) у/ОТІ 1р, -¡щ £>(А к + гк + і[£к)у/0Ті р) = (4.3) = ф{А-к-гп)у/ОПфІ, ^е~2і^пЩА-к + т)у/0ПрІ).

Определим (как и при доказательстве теоремы 0.3) при і = 1,2 и Ъ ^0 функции

„о , ч Г АДX , если |А,-(XI ^ Ъ,

II, э ж —— ААЪ ж) — і п

,.

Так как Aj € ЦИ2), ] = 1, 2, и для всех векторов к' еИ2 и всех вектор-функций % € Н1 (К; С2)

2

\Фо(к')х\\2 = '52\\(Щ-1щ)х\\2 = Е |к/ + 27гЛГ|2|х^|2,

^ N е22

то из леммы 1.4 (в условиях которой достаточно ограничиться только случаем ^ = 0) и оценок (0.6) следует, что можно выбрать число Ь = Ь(р, д,^;А) ^ 0 такое, что для всех векторов к' € И2 : к/ = п и всех вектор-функций х € Н1 (К; С2) выполняются неравенства

||(£(АО - А(ь;.);к')-£(к'))х11 = (4-4)

= ||((+ ^ст2)(А(0 - Ах(Ь;.)) + №(А2(.) - А(Ь0))х(-)1 <

||(ЭД0-Я(&;0;*,)-%,))х11= (4-5)

= || ((^1 + ^о:2)(А1(.) - А1(Ь;.)) + №(А2(.) - А2(6;.)))х(.)|| <

< 5 \№(к')х\\ ■

Имеем || Aj(Ь;.)Нь“(к2) ^ Ь, ] = 1,2. Поэтому из теоремы

1.1 следует, что существуют векторы к0, к0 € II2 и функции Фо,Фо € Щ(К) п <Щ(К (более того, Ф0,Фо € Щ{д, г2} для всех функций д € С), зависящие от фу нкций (Си А , такие, что

тах{||Фо||ь»(к, Нфо1к~(К} ^ с5&, (4.6)

|к0|2 + |К|2 < с6Ь2, (4.7)

где С5 = С5 (р, д, ^) > 0 и Сб = Сб (р, д, ^) > 0, умножение на функции е ±гФо и матричные функции е ±0зфо не выводит за пределы пространства Н1 (К; С2) и доя всех векторов к, к € И2

2?( А(Ь; 0; к + ¿к) = е^Ое-^о25(к + к0 + гк + ¿^)ее¿зФо

и, следовательно, также

2?ДО;.); к-гк) = + к° -т- 1к0)е^°еа^°.

Положим к' = к + к0 . Будем выбирать векторы к € Л2 , для которых к/ = к\ + к\ = п . Обозначим

ф" = е{Шоеа^°л/тф^ , <р" = .

Из равенства (4.3) получаем

(Т>(А; к + гк° — г1т)у/0Нф, Т>(А; к — гк° + г/лЩл/ОНр) =

_ _ (48)

= (®(А(.) - ,4(6; .);*')<, 2>(А(.) - ,4(6; .);*>£) ■

Так как к/ = п, то кегР(к') = {0} и Д(2?(к')) = ¿2(К;С2).

Отсюда и из (4.4), (4.5) следует, что также

кег2?(А(.) - А{Ъ-.)-к') = кег2?(А(.) - А{Ъ-.)-к') = {0}

Кф{А{.) - А{Ъ;.); к')) = Кф{А{.) - А{Ъ;.); к')) = Ь2(К; С2)

(при этом оф{А{.) - А(Ь;.); к')) = оф(А(.) -А(Ь;.);к')) = = Щ(К; С2)). Будем далее для каждой векторной функции р из Я1 (К; С2) выбирать такую вектор-функцию ф € Щ(К; С2) (которая зависит также от ^ € 2^, к' и функций (Си А (а также от числа Ь = Ь(р, д, ^ А))), что

ЭД.) - Л(Ь; .);к')ф" = ^ е2^~г^ ЩА(.) - А(Ь;.); к')<

(для ненулевой вектор-функции р вектор-функция ф также ненулевая). Имеем

1№'ШК е2сзЬ е-^ф°е^0Р(к/)е^ф0е-^ф0

.

= е2сьЬ Щ~А{Ь-,.)-,к'+ к0 -гк°) ||15(к0|| < е2сЬ е-^зФое*Фо Т(к') в-Фое

(4.10)

= е2сб6 Ч-А{Ъ-.)-к' + кй + г^)^ч^ .

Так как Л, € ЦИ2), 3 = 1,2, (ЯН)—/2 € Я1 (К),

и для всех вектор-функций % € Н1 (К; С2)

то из оценок (4.9) и (4.10) (см. также (4.7)) следует, что существует ЧИСЛО С7 = С7 (С, А) > 0 такое, что

иТ к о ф;и < С7 цТ( к о , пт к о < С7 ич к о <ц. (4.п)

Используя оценки (0.6), (4.4), (4.5), (4.6) и (4.11), из (4.8) получаем

(Т>(А; к + гк° — гц,к)л/Я'Нф, Т>(А; к — гк° + г ¡ж) л/ЯП. ф) ^

> р-Ч-**» Над.) - А(к .); к')ф"]\ ■ ||5(Л(.) - А(к .); к')<|| > > \р-2^сфтк'^,"\\ ■ |№')<и >

> |(рс7)-2е-2«‘||р(1-')^|| ■ ||5М^,11 >

> |С! (рс-г2е-2«ь ||й,М<11 ■ •

Из теоремы 3.3 и теоремы 8.5 из [10] (которая вытекает из равенства (3.10) и леммы 4.2) непосредственно следует теорема

4.4.

Осталось положить С = | С\ (рст) 2е 2сьЪ .

□

Теорема 4.4. Пусть V Є N. Тогда для любого є > О найдется число С'е = Сє;(V) ^ 0 (то же, что и в теореме 3.3) такое, что для всех векторов к' Є И2 : к/ = п, всех чисел ц Є 2пЪ и всех вектор-функций ф,р Є И1 (К; С2) : <гір = р справедливо неравенство

s=l

1

Лемма 4.5 ([10; 11]). Равномерно по всем, векторам к' из И2 : к/ = п и всем ненулевым векторным функциям, р из И(К; С2), для которых Зр = р, имеем

\\^{к')ф'Л ,

---п—тт.--- —^ +оо (4.12)

Нр^Н

при 2пN Э ц —— +го> (расходимость в (4.12) определяется матричной функцией (3 ).

Для завершения доказательства теоремы 4.1 осталось воспользоваться (учитывая оценку ||2?о(кОФ^\\ ^ п НФ^Н) теоремами 4.2, 4.3 и 4.4 и леммой 4.5.

Список литературы

1. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations. Basel: Birkhauser Verlag, 1993.

2. Данилов .1.11. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. VI. М.: ВИНИТИ, 1996. 45 с. Деп. в ВИНИТИ 31.12.96. 1"3855-В96.

3. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

4. Morame A. Absence of singular spectrum for a perturbation of a twodimensional Laplace-Beltrami operator with periodic electro-magnetic potential // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. Vol. 31. P. 7593-7601.

5. Данилов .1.11. О спектре двумерного периодического оператора Дирака // Теор. и мат. физика. 1999. Т. 118, ¿"1. С. 3-14.

6. Birman М.Sh., Suslina Т.A. The periodic Dirac operator is absolutely continuous // Integr. Equat. and Operator Theory. 1999. Vol. 34. P. 377395.

7. Данилов .1.11. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. III. М.: ВИНИТИ, 1992. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 10.07.92. 1"2252-В92.

8. Лапин И.С. Абсолютная непрерывность спектра двумерных периодических магнитных операторов Шредингера и Дирака с потенциалами из классов Зигмунда // Пробл. мат. анал. СПбГУ. СПб., 2001. Вып. 22. С. 74-105.

9. Данилов Л.И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. II. М.: ВИНИТИ, 2001. 60 с. Деп. в ВИНИТИ 09.04.01. 1"916-В2001.

10. Данилов Л.И. О спектре двумерных периодических операторов Шредингера и Дирака // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 3(26). С. 3-98.

11. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Шредингера // Теор. и мат. физика. 2003. Т. 134, 1^3. С. 447-459.

12. Данилов Л.И. Оценки резольвенты и спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом // Теор. и мат. физика. 1995. Т. 103, ÎI. С. 3-22.

13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

14. Shen Z. Absolute continuity of periodic Schrödinger operators with potentials in the Kato class // Illinois J. Math. 2001. Vol. 45, 1^3. P. 873-893.

15. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

16. Hempel R., Herbst I. Bands and gaps for periodic magnetic Hamiltonians. Preprint ESI, Г1162. Vienna, 1994.

17. Бирман М.Ш., Суслина T.A. Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, il. С. 32-48.

18. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10,1^4. С. 1-36.

19. Kuchment P., Levendorskii S. On the spectra of periodic elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2001. Vol. 354, Ґ2. P. 537-569.

20. Бирман М.Ш., Суслина T.A., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шредингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых / / Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, Ґ6. С. 140-177.

21. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного магнитного периодического оператора Шредингера с электрическим потенциалом типа производной от меры // Зап. науч. семин. ПОМП. 2000. Т. 271. С. 276-312.

22. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, Ґ4. С. 196228.

23. Суслина Т. А., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра магнитного оператора Шредингера с метрикой в двумерном периодическом волноводе // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, Ґ2. С. 159-206.

24. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с сильно подчиненным магнитным потенциалом // Зап. науч. семин. ПОМП. 2003. Т. 303. С. 279-320.

25. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера: Автореф. дне. ... канд. физ.-мат. наук. СПб, 2003.

26. Данилов Л.И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. III. М.: ВИНИТИ, 2002. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 22.10.02, Ґ1798-В2002.

27. Shen Z. On absolute continuity of the periodic Schrödinger operators // Int. Math. Res. Notices. 2001. Ґ1. P. 1-31.

28. Бирман М.Ш., Суслина Т.A. Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11, Ґ2. С. 1-40.