Об абсолютной непрерывности спектра трехмерного периодического оператора Дирака Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958 + 517.984.56

© Л.И. Данилов

[email protected]

ОБ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СПЕКТРА ТРЕХМЕРНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ДИРАКА

Ключевые слова: оператор Дирака, абсолютно непрерывный спектр, периодические электрический и магнитный потенциалы.

Abstract. We prove the absolute continuity of the spectrum of periodic

з

Dirac operator ®j(—* ef- — A?) + > ж € R3 , with period

j=i j

lattice Ac R3 if A € L“(R3;R3), || |A| ||l~(k3) < } n|Y|-1 ,

the Hermitian matrix-valued functions V^ belong to Zigmund class L3 In2+5 L(K) for some S > 0 , where K is the unit cell of the lattice Л , and Vsaj = ( —1 )s&jV^ = 0,1, for all anticommuting Hermitian matrices aj , aj = I, j = 1,2,3 .

Введение

Пусть Mm ; M € N , — пространство комплексных матриц размера M х M , aj € Mm , j = 1, • • •, n (n ^2), — эрмитовы матрицы, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям aiaj + ajai = 25ijI , I € Mm — единичная матрица, 5ij — символ Кронекера. Рассмотрим n -мерный периодический оператор Дирака

П

V + W = -i £ otj £: + W{x), х € Rra, (o.l)

jj

где эрмитова матричнозначная функция W : Rn ^Mm предполагается периодической с решеткой периодов Л С Rn . Частным

случаем оператора (0.1) является оператор

П

Т>(А,У) = £^(-г^-^) + 1>

у = у(о) + у(1),

где для эрмитовых М х М -матричнозначных функций ^ при в = 0,1 выполняются условия

у(в)(х)а,= (-1)ва,У(в)(х), X € Мп, j = 1,..., и . (0.3)

При этом вещественнозначные функции А, (компоненты магнитного потенциала А) и матричнозначные функции У^^ предполагаются периодическими с решеткой периодов Л . Условиям (0.3) удовлетворяют матричнозначные функции

у(°)=у I, у« =ш0, (0.4)

у

значная функция (электрический потенциал), т € М и в € Мм

— эрмитова матрица, для которой в2 = I и ва, = —а,в для всех = 1,..., п .

Координаты в Мп задаются относительно некоторого ортогонального базиса {Е,} (|Е,| = 1, j = 1,...,и; |. I ш (.,.) — длина и скалярное произведение векторов из Мга), А,(х) = (А(х), Е?), х € Мп . Через {Е,} обозначаем базис решетки Л С Мп, а через

П

К = {х = £ £,Е, : 0 ^ £, <1, = 1,..., и} — элементарную

,=1

ячейку решетки Л .

В пространствах См, Ь2(МП См) и Ь2(К; См) обычным образом вводятся скалярные произведения и нормы (которые далее, как правило, будут обозначаться без указания самих пространств). На линейном пространстве Мм определяется норма

||В|| = шах ||Ви||, В € Мм .

и е См :|М| = 1

Нулевые и единичные матрицы и операторы обозначаются через 0 и I соответственно (также без указания самих пространств).

.

Оператор V = — г £ <Х/ действует в Ь2(Жп;См) и имеет

з=1 „ Х'

область определения ЩV) = И (МП См), состоящую из вектор-

функций ф € Ь2 (МП См), все компоненты фд , д = 1,...,М, которых принадлежат классу Соболева

Н1(Шп) = Н1(Шп; С) = {^€Ь2(Мга) : §^£Ь2(Шп), j = 1

При а ^ 0 обозначим через Ьм(и, Л; а) множество измеримых периодических с решеткой периодов Л С МП матричнозначных функций Н : МП ^ Мм ; имеющих отпосительпую грань а по отношению к оператору V, то есть таких, что Нф € Ь2(МП См)

для всех ф € И (МП См) и для любого е > О существует число Са(е, Н) > 0 такое, что ||Нф|| ^ (а + е) 1^ф|| + Са(е, Н)||ф|| для всех вектор-функций ф € И (МП См) . Множеству ЬМи, Л;0) а

Л С МП матричнозначные функции Н € Ьп{К; ММ при и ^ 3 и ^€ Ьр( К; Мм) при и = 2 ир>2.

Если Н : МП ^Мм — эрмитова матричнозначная функция и Н € Ьм(и, Л; а для некоторого а € [0,1) , то V + Н — самосопряженный оператор с областью определения ЩV + Н) = = ЩV) = И (МП См) С Ь2 (МП См) . При этом сингулярный спектр оператора V + Н пуст, а собственные значения, если они существуют, имеют бесконечную кратность и образуют дискретное множество (без конечных предельных точек) [1] (см. также [2; 3]).

Важной задачей при исследовании спектра периодического оператора Дирака (0.1) является нахождение условий на матричнозначную функцию Н € Ьм( и, Л; а), а € [0,1), обеспечивающих отсутствие собственных значений в спектре оператора V + Н и, следовательно, его абсолютную непрерывность.

Вопросу об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов математической физики посвящены обзорные статьи [4; 5]. Утверждения о периодическом операторе Шредин-гера приведены в [6-18] и в ссылках из этих работ.

Первые результаты об абсолютной непрерывности спектра периодического оператора Дирака были получены в [19; 20; 21]. В [21; 22] при всех и ^2 доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (0.2), (0.4), если V € С(Мга), А € Ьте(МП Мга) и

111Л1111"(*1)<7£тл“о)'М ' (0-5)

В последующих работах ослаблялись ограничения на периодический электрический потенциал V. Спектр оператора (0.2), (0.4) абсолютно непрерывен, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1) и = 2 , V€ Ь9( К), 9>2,и для магнитного потенциала А € Ь~(М2;М2) справедлива оценка (0.5) [23];

2) и ^3, А = 0и £ |^ |р < + го, где ^ — коэффици-

N

енты Фурье функции V, р € [1,дП(— 1 )-1) и числа > и выбираются как наибольшие корни алгебраических уравнений

д4—(Зи2 —4и—1 )д3+2(4и2—6и—3)д2—(9и2—6и—4)д—4и(и—2) = 0,

5з ~ 11.645 , и-2^ 3 при и ^ +го [1] (см. также [20; 22; 23]);

3) и = 3, V€ Ь9( К; д>3,п для магнитного потенциала А € Ь~(М3;М3) выполняется оценка (0.5) [24];

4) и ^2, V € Ь2(К), А € Ьте(МПМ”) и существует такой вектор 7 € Л\{0} , что || |А| < п|7|-1 и отображение

МП Э х ^ {[0,1] Э £ ^ V(х + £7)} € Ь2([0,1])

непрерывно (в этом случае V/ € Ьм(и, Л;0) ) [25].

иМ а , а И в выбирать соответственно матрицы Паули

<71 = ^ д) ,П = (“ —') , »3= (д —) .

и

значными функциями

^ = V/, Vм = Vв (о.б)

A

[26; 27]. В [27] доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (0.2), (0.6) при V, V Є L«(K) и A Є L«(K; R2), q > 2. Аналогичный результат приведен в [26] (предполагалось, однако, что V = m = const, но без каких-либо существенных изменений доказательства можно рассматривать функции V Є L9(K), q>

вия на V, V и A приведены в [28]: достаточно, чтобы функции V2ln(l + |V|) , V2ln(l + |Vi|) и |A|2ln9(l + |A|) для некоторого q > L K

Наиболее сильные результаты для двумерного периодического оператора Дирака получены в [17; 29]. В [29] доказано отсутствие собственных значений в спектре обобщенного двумерного периодического оператора Дирака

-* Y;{hjivi + hj2a2) gfr + VV, (0.7)

j=i J

где hj Є L^(R2; R), j, ^ = 1,2, — периодические с решеткой периодов Л С R2 функции, для которых 0 < є ^ hn(x)h22(x) — hi2(x)h2i(x) при почти всех x Є R2 , и W Є L2(2, Л; 0) . Если оператор (0.7) самосопряжен, то его спектр абсолютно непрерывен. Частные случаи оператора (0.7) рассматривались также в [7; 30; 31] (в [30] налагались те же условия на функции hji, что и в [29], но предполагалось, что W Є Lp(K; М2), p > 2 ).

В [27] при n ^3 доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (0.2), (0.6) при V, V Є C(Rn; R) и A Є C2n+3(Rn; Rn). При доказательстве использовались результаты А.В. Соболева [6], установившего абсолютную непрерывность спектра оператора Шредингера с периодическим магнитным потенциалом A Є C2n+3(Rn Rn) • Последнее условие было ослаблено П.Куч-ментом и С. Левендорским [4]: A Є H^c (Rn Rn); 2q > 3n — 2, что позволяет соответствующим образом ослабить ограничение

A

рака [5; 27].

Пусть , h > 0, — множество борелевских четных знакопеременных мер (зарядов) ^ на R (с конечной полной вариа-

цией), для которых / егр* гі^(і) = 1 при всех р Є (—Ь, Ь) . В [32]

к

при п ^3 приведено доказательство абсолютной непрерывности спектра периодического (с решеткой периодов Л С М” ) оператора (0.2), (0.3), если выполнены условия:

1) VЄ С(М”;Мм), в = 0,1;

2) А Є С(М”; М”) и существуют такие вектор 7 Є Л\{0} и мера ^ Є Ш^ , Ь > 0, что для всех х Є М” и всех единичных векторов е Є М” : (е, 7) = 0 справедливо неравенство

|Л) - /ф(і)/А(ж-{7-іе)с^ | < тгг , (0.8)

КО 1 11

где А = V-(К / А(х) ^”х, -и(К) — объем элементарной ячей-к

кп К решетки Л С М” .

Для периодического магнитного потенциала А Є С( МП М”)

условие (0.8) (при выборе некоторых вектора 7 Є Л\{0} и меры

^ Є Ш^ , Ь > 0 ) выполняется, если А Є Н^с(М”; М”), 2^ > п — 2 ,

а также в случае £ |А^ |сп < + го, где А^ — коэффициенты N

А

При п = 3 можно считать, что М = 4 , и положить

в = (о —/) , = (б,- о") , ^ = 1,2,3,

где 0 и 0 — нулевая и единичная 2 х 2-матрицы и б.,- — матрицы Паули. В этом случае матричнозначные функции V^ , в = 0,1, удовлетворяющие условиям (0.3), можно выбрать в виде у(0) = у;о)/ — гУ0, У(1) = ^у$ + Vі, вде

—шіа2аз = уо ^, і

и , д = 1,2, — периодические (с решеткой периодов Л ) вещественнозначные функции.

Основным результатом настоящей работы является

Теорема 0.1. Спектр периодического оператора (0.2), (0.3) при п = 3 абсолютмо непрерывен, если для магнитного потенциала А € М3;М3) выполнено условие (0.5) и для некоторого 5 > 0

/ || V (X ||31п2+й IV (XII й3ж < + го.

х е к IIVхУ >1

Утверждение теоремы 0.1 следует из теоремы 1.1, сформулированной и доказанной в следующем параграфе.

1. Доказательство теоремы 0.1

Пусть (Е7-} — базис решетки Л С М3 . Базис обратной решетки Л* образуют векторы Е* , г = 1,2,3 , удовлетворяющие условиям (Е*, Е7) = 5^ ; К и К * — элементарные ячейки решеток Л и Л* соответствен но, -и(К) и ^(К *) — объемы элементарных ячеек К и К % ^(К *) —диаметр ячейки К * (при фиксированном базисе (Е*} решетки Л*).

Пусть е = (вх, в2, вз) — единичный вектор в М3 , = (е, Е7),

к € М3 , к^ = (к, Е7 ), к ^0 ( (Е7-} — фиксированный ортого-М

з з

+ гке) = -*Е «ж + Е (% + .

.7 = 1 ' 7=1

Оператор Р(к + гке) действует в £2(К; См) и имеет область

определения ^(Щк + гке)) = Н(К; См), состоящую из вектор-

функций ф € £2(К; См) , все компоненты которых, перподпчес-

К

М3 , принадлежат классу Соболева (М3).

Для функций А и V, удовлетворяющих условиям теоремы

з

0.1, обозначим ^ = — Е А7-67 + V . Так как V € £3(К; Мм) , то

7=1

для любой вектор-функции ^ € Н(К; См) имеет место включение V<р € £2(К; См) и для любого е > 0 существует число

С(е, V) > 0 такое, что для всех векторов к € М3 и всех вектор-функций <р € Н(К; См) справедливо неравенство

11^1 < е11Щк)И1 +С(еЯНИ! (1.1)

(где Щк) — это оператор Щк+гке) при к = 0 ). Отсюда, в частности, вытекает, что операторы Щ(к + гке) + Н (с областью определения ЩV(к + гке) +Н) = Н(К; См) С £2(К; См)) при всех

к+гке € С2 имеют компактную резольвенту. При этом Щ(к)+Н, к € М3 , — самосопряженные операторы с дискретным спектром. Пусть А^(к ; V € Ъ, — упорядоченные по возрастанию (с учетом кратности) собственные значения операторов Щ(к) + Н. Нуме-

к

чтобы функции М3 Э к ^ А^(к) были непрерывными.

Оператор Щ(А, V) (0.2) унитарно эквивалентен прямому интегралу

ГФ(Т>(к) + Щ----------^- .

2Л* V (2-7г)3 у(К*)

Вектор к € 2пК* С М3 называется квазиимпульсом. Унитарная эквивалентность устанавливается с помощью преобразования Гельфанда [34; 35]. Спектр оператора Щ А, V) совпадает с объединением зон (А^ (к) : к € 2пК*} , V € Ъ.

Так как в спектре оператора Щ А, V) (0.2) нет сингулярной

составляющей [1], то для доказательства теоремы 0.1 достаточно установить отсутствие в его спектре собственных значений (бесА

значение оператора Щ А, V), то А — собственное значение операторов Щк + гке) + Н при всех к + гке € С2 (см. [36; 4]).

Поэтому теорема 0.1 следует из теоремы 1.1.

Теорема 1.1. Пусть функции А и V удовлетворяют условиям теоремы 0.1. Выберем, вектор 7 € Л\(0} , для которого |7| = тт{|7'| : 7' € Л\(0}} ; е = |7|-17. Тогда для любого А € М найдется число к = к( А ^ 0 такое, что для каждого вектора к € М3 : (к, 7) = п число А не является собственным значением оператора Щк + гке) + Н .

Через иМ = V 1 (К) / и(ж) е 2пг(М>х ^Зж , N € Л *, обозначим к

коэффициенты Фурье функций И € ЬХ(К; и), где и = См или Мм • Для любой вектор-функции и € Н(К;См) имеем

Щк + гке)и = Е (к к Им е2™(М’ж),

N €Л*

3

где ЩМ (к; к) = Е (% + 2п^- + гке^) , N = (Ж, Е), 3 = 1,2,3.

7=1

Для векторов у € М3 обозначим уц = (у, е)е, У± = У — (у, е)е . Положим с%(к;я) = (|к||+2тгЖц|2 + (;<±|к±+27гЖ±|)2)П №еЛ*; ^М(к к ^ ^М(к; к > ^М(к к) ^ к. Будем использовать также сокращенное обозначение СМ(к к) = ^М(к к) .

Фиксируем вектор 7 € Л\(0} . В дальнейшем считаем, что е = |7|-17 • Если к € М3 : (к, 7) = п, то СМ(к к ^ п|7|-1 для всех N € Л * (и всех к ^ 0).

Для любых к € М3, к ^0, N €Л * и всех и € См имеем

СМ(к к) 1М| ^ ||ЩМ(к к)и|| ^ (к к) 1Ы1 • Следовательно, для

любой вектор-функции и € Н(К; См) имеют место оценки

^(К) Е &М(к к Ним |2 ^ ||Щ(к + гке)И|2 ^

м ел *

< «(к) Е (СМ(кк))2|имI2.

М €Л*

В случае к € М3 : (к, 7) = п будем использовать операторы С'±2 = С'±г(к;х), (7^2 = (?^2(А:;х) и С-1 = С~1(к;я)

„ 1 „ I ~ 1

с областями определения 0(0^) = £>((5^) = Н? (К;СМ) и £»(С-|) = £>((?+*) = ^(С”1) = Ь2(К; <СМ), где ЙЦК;СМ)

— пространство вектор-функций и € Ь2(К; См) , все компоненты которых, периодически (с решеткой периодов Л ) продолМ

(М.3) . Эти операторы ставят в соответствие вектор-функциям И вектор-функции

6±1ЦЬ;к)<Р= Е С%Цк;я)^ме2т(^ ,

М ел *

С^Цк-,х)<р = Е (С+(к;х))±1>^е2т(-М’х),

М ел *

с-1 (к ки = Е ^м1 (к к ИМ е2™(М>х.

М еЛ *

Для множеств 0СЛ * определим в Р2(К; См) ортогональные проекторы Р0: Р0и= Е ИМ е2пг^М,х , и € Р2(К; См) ;

м ео

Р 0 = 0 — нулевой оператор.

Положим Р (е) = (Ле : Л € М} С М3 .Для у € М3\Р( е) будем

использовать обозначение ё(у) = \у^уеф\ = |^| € 61 (е) , где

^х(е) = (е € М3 : | е | = 1 и (е, е) = 0}. Для любого вектора е € £1(е) определим ортогональные проекторы в См :

р± = I (/ т г ( Е ЗД) ( Е ЗД)) •

.7 = 1 7=1

Пусть N к е) = (Ж € Л * : к + 2пЖ € Р( е)} , к € М3 . Обозначим через Р ± = Р ±( к е) ортогональные проекторы в пространстве Р2(К; См), ставящие в соответствие вектор-функциям и из Р2(К; См) вектор-функции

Р±(к е)и = Е Рё?*+2пМ) Им е2пг(Мс) ;

М ел *\Ж( М

Р+(к; е) + Р ^ к е) + РЖ( м = I.

Теорема 1.2. Фиксируем 7 € Л\(0}, е = |7|-17. Пусть е € (0,1) , П > 1. Предположим, что матричнозначная

функция V : М3 ^ Мм удовлетворяет, условиям теоремы, 0.1. Тогда найдется такое число щ > 0, что для любого к ^ Щ существует число к € [к , П к] такое, что для всех векторов к € М3 : (к,7) = п и всех вектор-функций и € Н(К;См) справедлива оценка

\\6-Цк;я)(Р + (к;е) + Р^к'е))ф(к + Ые) + УЫ\Ч (1.2) + ||С'+2 (к; ж)Р~{к; е)(Т>(к + гже) + У)^||2 ^

^(1-е)(||с|(к;х)(Р + (к;е)+Р^;е))и||2 + ||С5(А;;^)р-(А;;е)и||2).

Доказательство теоремы 1.2 приведено ниже. Доказательство теоремы 1.1. Пусть вектор 7 из \( }

Л

точно сделать замену V — Л/ ^ V, V® — Л/ ^ V® ). Допустим

0 < е < 1 — п-2|7|2|||А| |||^(к3) . Так как СМ(к к ^ См(к, к) для всех N € Л*, то из (1.2) (при всех векторах к € М3 : (к, 7) = п и выбираемых в теореме 1.2 числах к) для всех вектор-функций и € Н(К; См) вытекает оценка

||С_^(к; к)(Т)(к + ъке) + У)и||2 ^ (1 - е) \\С^(к; х)^р\\2 . (1.3)

С другой стороны, так как См (к; к ^ п|7|-1 при всех N € Л *, то для всех ненулевых и € Н(К; См) из (1.3) получаем

||(Р(к + гке) + ^)и1 ^ ||^(к + гке) + VИ — II ( Е Аа)и|| ^

7=1

^ \/5^Г Г^^^Йк + ^ + Ш - II 1^1 1М1 ^

^ \/1—е \\С'2 (к; х)(р\\ — || |А| ||^оо(Кз) |М| ^

^ (л/1 — е ]^[ — II 1^-1 11ь°°(кз)) 1М1 > 0,

Л

сматриваемых операторов V(к + гке) + .

2. Доказательство теоремы 1.2

Будем использовать результаты и методы работ [24; 32]. Предварительно приведем некоторые необходимые для доказательства теоремы 1.2 утверждения.

Для коэффициентов Фурье Vм ; N € Л *, матричнозначных функций V(з) , в = 0,1, имеем ^Щ = (—1)3а, ^ = 1, 2, 3 .

Следовательно, коэффициенты Фурье Vff (как операторы в См ) коммутируют со всеми ортогональными проекторами Рё± , е € ^(е) . Так как V = V® + V(1) , то коэффициенты Фурье ^ = VМ + VМ ! N € Л *, также коммутируют со всеми ортогональными проекторами Рё± , е € ^(е) •

з з

Для всех е € £1(е) имеем ( Е е7-а7) Ре = РеТ( ^ е7-а7), по-

7 = 1 7=1

этому для всех е;,е” € ^(е) получаем равенство

Р£РёЪ = ± | Р0 ( Е ВД) ( Е Щ - ё-)&з)

7=1 7=1

и, следовательно,

\\Р^РМ = \\~е" О2-1)

Если к € М3, N € Л* и к + 2пN € М3\Р(е) , то

Ре*+2,«,^ (к кРД+2,«,=» <2-2)

и для любого вектора и € См

НЭДк кР4+2пМ)и|| = с±(к к НРД+2пМ)и|. (2-3)

Если к + 2пN € Р(е) , то

СМ (к к) = См(к к - (2-4)

На линейном пространстве Мм введем норму Гильберта-„ м 1 Л

Шмидта Ц-ВЦяй1 = ( Е \врд\2)2 , где Б = (Ррд)р,д=1,...,м е Мм •

Р,9=1

Справедливо ||В|| ^ УВЦя^ ^ (М т&х^\вРч\2У < у/М\\В\\ .

Если ^ € Р2(К; Мм) , то

N €Л* N €Л*

£ 1№у2 < £ 1№||Яя = (2.5)

'/-Л* л г /— л *

= у 1 (к) / Н^(ж)ННз^ 1 (к) / 11^(XУ2.

к

к

Количество векторов конечного множества О с Л* будем обозначать через Ф О . Для (измеримой) матричнозначной функ-

Доказательство теоремы 1.2. Выберем число Н ^64 так, что Н > 2п^(К*) . От числа Н зависит выбор числа к > 0, условия на которое будут уточняться по ходу доказательства. Вначале предполагаем, что к > 2Н . Пусть к ^ к ^ к ^ Пк ,

I = 1(Н, к) € N — наибольшее число, для которого 2Н1 ^ к (тогда к < 2Н 1+1 и, следовательно, 2Н1 ^ к < 2ПН1+1).

В дальнейшем вектор 7 € Л\{0} фиксируется, е = |7|-17, а вектор к € М3 удовлетворяет равенству (к, 7) = п. Получаемые ниже оценки будут равномерны по выбираемым подобным образом векторам к. Для любого Ь € [0, к) обозначим К(Ь) = {^ € Л * : GN (к к ^ Ь} . Множества К(Ь) зависят также от к и к. При Ь > 2п^(К*) (и Ь < к) имеем #К(Ь) ^ с\кЬ2, где сх = Сх(Л) > 0. Если N € КЬ) , то к + 2пЖ € Р(е) • Если Ж е /С(Л,г), то |х — \к± + 27гЖ_1_|| ^ к1 ^ ^ , поэтому |к± + 27гЖ_|_| ^ ^ > 1. Следовательно, для любых И, И' € /С(Л,г)

|ё(к + 2тгЛГ) - ё(к + 2тгЛГ')1 < ^ |^± - Л^| • (2.6)

Пусть К = КН) , К = {N € Л* : Н^(к; к < Н^} при ^ = 2,..., I . Для любой вектор-функции <р € Р2(К; См)

ции ^ : К ^ Мм и любого а ^0 используем обозначение

.

н V \\Рк^(р\\ < \\&РК^\\ < /гг ЦР^Ц, ц = 2,...,1. (2.8)

Обозначим р1± = Р±(к;е)РКд при ^ = 1,...,1 и Р(± =

= Р±к;е)Рк(л'} = Е Р/1 ± • Равенство РМ +р(-) = рк(^г)

1=1

очевидно. В дальнейшем будем применять краткое обозначение

Р(°) = РЛ* \*(н 1) (при этом Nк;е) сЛ* \КН1) ).

При к > 0 для всех N € Л * имеем

^N(к к > |к + 2пN| ^ |кц + 2п^| | ^ п|7|_1 .

Так как к < 2ПН 1+1, то для всех N € Л * \К( Нг) получаем ^(к к > Нг(2х + Нг)-^(к к > (40Н + 1)-^(к к , (2-9)

^(к; к > Нг(к +Нг) — |к + 2я^| > (2ПН+1) — |к + 2я^|. (2.10)

Для любых вектороВ и, V € См (и любого £ € (0,1) ) имеем \\и + у\\2 ^ (1 — |) |Н|2 — ||г>||2 . Поэтому (см. также (2.2), (2.3)

и (2.4)) для всех вектор-функций <р € Н(К;См) выполняется оценка

\\6~* (Р+ + РЯ{к'е))ф{к + Ые) + 1>)^||2+ (2.11)

+ ||С~^р-ф(к + гже) + Т>)^||2 ^

^ (1 - |)(\\6~12Р+Т>{к + гке)р-у\\2+

+ \\6~12 РМ(к’е)Т)(к + ме)РМ(к’е)р\\2 + \\6~^ Р~Т)(к + ме)Р+р\\2)-(Цб-1? (Р+ + Рм(к’е))щ\\2 + \\С^Р~\?(р\\2) = = (1 - §)(||с|(Р+ + РЛГ(7г;е))И12 + \\с^Р~^\\2)-(Цб-1? (Р+ + РМ(к’е))Щ\\2 + \\б^ Р~\?(р\\2) .

При этом (так как GN (к; к) ^ GN (к; к) Для вс ех N € Л *)

||с|(Р+ + РМ(к'^)р\\2 + ЦСгр-^Ц2 ^ (2.12)

^ \\61р(+^\\2 + \\&р(-^\\2 + ,

\\G-s (Р+ + РМ(к^)Ур\\2 + \\д+*р-\?<р\\2 < (2.13)

< \\д~12рМщ\\2 + \\д~^р^щ\\2 + цд-^р^щц2.

Далее будем оценивать слагаемые в правой части неравенства (2.13) через слагаемые в правой части неравенства (2.12). До те-

к€ к , к

Лемма 2.1. Пусть ^ € Р2(К; Мм) - Тогда для лю-

О с *

И € Р2(К; См) справедливо неравенство

\№ро<р\\ < у-Цк) (#о)1 т\Ь2(к.Мм) \\р°<р\\.

Доказательство. Действительно,

Н^Р0иУ < ||^У^(кмм 1|Р°и11ь~(к;сы) <

^ 11^11ь2(К;Мы) ( ^ 11^ Н е ^

N €0

<(#0)5||Н'||1.(К;Л<М)( £ ИЫ12)® =

N € О

= у-1цк) {фо)Ц\т\ьчк.Мм)\\р°^\\.

Лемма 2.2. Для произвольной матричнозначной функции ^ € Р3(К; Мм) существует невозрастающая функция [О, + го) Э £ ^ /^(^) € [0,1] , для которой /^>(£) ^ 0 при £ ^ +го, такая, что для любого конечного множества О с Л * и любой вектор-функции и € Р2(К; См) справедлива оценка

\\УУР0<р\\ < 2у~Цк) (# 0)1 /^(# О) ||Щ\щк,Мм) \\Р°ч>\\.

Доказательство. Считаем У ^||ьз(К;Мы) ф О (в противном случае выберем, например, функцию /^?(£) = 0, £ € [0, + го)). Для любых а > 0 и и € Р2(К; См) (см. лемму 2.1) имеет место цепочка неравенств

уп>Р0иУ < У(^ - нуР0иУ + Н^аР0иУ < (2.14)

< (а + у-Цк) (# О)I \Ш\щк,Мм)) \\р0(Р\\ <

< (а + у~Цк) (# 0)1 а"? \Ш\1Нк.Мм)) \\Р°Ч>\\ <

< (а + гг*(К) (# 0)1 а-1 ||^|||Цк.Мм)) \\р°р\\ •

Если положить а = у~з(К) (#(Э)з \\У\?\\ьз(к-мм) (ПРИ 0)> то из (2.14) следует оценка

\\)УР0<р\\ < 2г;-5(К) (#0)1 ||>ЯЬ(К;Л,м) ||Р°И1, (2.15)

которая справедлива и при О = 0 . С другой стороны, для любого числа 0 € (0,1) найдется такое число ао = ао(0, ^) > 0;

ЧТО ||Й>01 1|»(К;МЫ ^ 0 У^УЦК-Мы) • ЕаШ

#° > а§ У^УЙ, к МЫ •

то положим а = у~^(К) в (# О)^ \\У^\\ь3(к-,мм) • Тогда а ^ а о и для любой вектор-функции и € Р2(К; См) из (2.14) следует

\\УУР°(р\\ ^ (а + у-Цк) (# 0)1 а-1 \Ш\1Чк.Мм)) \\Р°Ч>\\ <

<2г;-^(К)0(#О)5||п;||ьз(А:;Л4м) ||Р°И|.

0 € ,

оценки и из (2.15) следует утверждение леммы.

Лемма 2.3. Для любого £' >0 существует число к' (£0 = хо (£'> ^, 7, V, Н) > 2Н такое, что для всех к ^ к0; (£0 ’ к € [к , ^к] ; всеж векторов к € М3 : (к, 7) = п и, всех вектор-функций и € Р2(К; См) справедливо неравенство

0-4(1 -Р^М < г' ||С5(/ - р(°))^у. (2.16)

Доказательство. Для любой вектор-функции и € Р2(К; См), учитывая оценки # ^ с\кН21, ^ = 1,..., I, с

помощью леммы 2.2 получаем

цс,;|1>(/-р(о))и|| <

< Е 1|1>(Д(+) + ^~]Ы\ = Е \\урк*ч>\\ <

1=1 1=1

< 2я~12у-^{К) \\У\\ьцк-Мм) Е {сгкк2!1)1*^{сгкЬ2!1) \\РК^\\ <

1=1

< 2сх3 и_5(К) ||У|кз(к;Л4м) /у(с1^2)х“^ £ Лв (^2 ЦР^^Ц).

1=1

Отсюда при соответствующем выборе числа к0; (£') непосредственно следует неравенство (2.16), так как (см. (2.7) и (2.8))

^\\р^^\\^^Щ\\с^р^^\\,

к t ЦР^^Ц ЦСгР^^Ц, ц = 2,...,1,

\\сЛРК^\\ < ||С'1(/-р(°))и||, /X = 1, - - -, /,

1-1

х в Е Ьб = (я ) в Е Л в<2

6

1=1 ^=0

и /у(£) ^ 0 при £ ^ +го . □

Далее полагаем е' = е (Зд/2(2 — е))-1, хо ^ х0' (е;). Из (2.16) следуют оценки

||£-|р(-)ур(-)^|| <; £! ||с1р(-)^|| ) (*1)

||С'^Р(-)1>Р(+)и11 < е' ||С*.Р(+)И1 < е' \\б1Р(+)р\\. (*2)

Предположим также, что щ ^ ((4ПЛ,+ 1)_5 е') . Тогда из (2.16)

и (2.9) получаем

11£-|р(о)ур(-:)^11 <; (*3)

< (4Пк + 1)* ||С+’йР(_)р|| < е' ||С*Р(_)р||,

||С<-|р(0)ур(+)^|| <; (*4)

< (4П/г+1)1 \\д~^Р(о)УР(+)^\\ < е' \\612р(+)р\\ < е' •

Если в (2.16) сделать замену (р = С ' ф, где ф € Н ' (/\;и), то получаем оценку

IIС~Н(1 -р^)д~^ф\\ < е' ||(/ - Р(о))гМ1 < е' Ц-0Ц.

Оператор С“51>(/ - р(°))с-|

, действующий в Н 2 (К;СМ), непрерывным образом продолжается до ограниченного оператора С+2Т)(5_2(/ — р(°)), действующего на всем пространстве

Р2(К; См) . Поэтому для сопряженного оператора, который на

_ 1 __I

ф£Н2(К;См) действует как ф ^ С~2 (I — Р^)УС+2 ф , также справедлива оценка

\\д-Ц!-Р^)Уд+^ф\\^£'\\ф\\, ф € Й12(К;СМ). (2.17)

Л1 „

Если положить ф = (р, где <р € Н1(К; См), то из (2.17) получаем

11(5-5(1 - р(°))1>и|| < е’ ||ЙЗД. (2.18)

В частности, для любой вектор-функции и € Р2(К; См)

||С<-|р(+)1>р(+)^|| <; £< ||с|р(+)^||. (*5)

Так как предполагается, что щ ^ ((4ПЛ,+1)_5 е'), то спра-

ведливо также неравенство (2.18) с заменой е' на (4ПЛ,+1)_2 е'. Поэтому (см. (2.9)) для любой вектор-функции и € Н(К;См) выполняются оценки

||С-!р(+)уР(о)И1 < (40/г+ 1)-? е’ \\д1Р(о)<р\\ < е' \\д?р(о)<р\\,

(*6)

УС^Р^ТЛР^У < (О

< ||С"*Р(_)УР(о)^|| < (4.П1г + 1)-12 е' \\б1Р(о)р\\ < е' ЦС^Р^иИ-

Из (1.1) и (2.10) следует, что при выборе достаточно большого числа к0" > 2Н (зависящего от £', Л, 7, V, О и Н) для всех к ^ к^' , к € [к , ^к] ; всех векторов к € М3 : (к, 7) = п и всех вектор-функций ф € Р2(К; См) (для них С-ф € Н(К; См)) справедлива оценка

|^6-1Р(о) ФУ < £' НР (о) ФУ. (2.19)

При этом (VС-Р(◦)*Рф = С-Р(о) VP(о)ф для сопряженного оператора ^С-1 Р(◦)* и любой функции ф € Н(К; См), поэтому

НС-Р(о) VP(о)фу < £' нР(о)фу . (2.20)

Используя интерполяцию [37; 38] (см. также [15]), из (2.19) и (2.20) для всех вектор-функций ф € Н 2(К;СМ) (для них справедливо включение С~ 2 ф £ Й1(К;СМ)) получаем

\\д-2р(о)уд-2р(о)ф\\ ^е'ури

Делая замену (р = С • ф € Н1(К;СМ), получаем оценку

Цб-^Р^УР^рЦ ^е'усгр^Н, 1р £Й1{К;СМ). (*8)

к > Н

что для каждого к ^ к найдется число к € [к , ^к] такое, что для всех векторов к € М3 : (к, 7) = п м всеж вектор-функций и € Р2(К; См) справедливо неравенство

||£-!р(+)ур(-)^|| <; £< ||с1р(-)^||. (*9)

Доказательство. Для всех ^, V = 1,..., I и ф € Р2(К; См) оценим норму ||р!+^Р^-ф|| . Пусть £^(п), где ^, V € {1,...,/}, п € Л*, обозначает количество векторов

N Є , для которых N — п Є К . Положим Н^ = Нм + Ну , /і, г/ = 1,..., І. Если 7г|п_і_| > я + или 7г|пц І > ^ Л,мгУ , то

£^( п) = 0 -Так как Н > 2п^(К *); То Н г+ 2п^(К *) <2Н1 ^ к ^ к, поэтому Н1 < к — 2п^(К*) . При этих условиях существует константа С2 = Сг(Л) > 0 (см. [24]) такая, что для всех V = 1,..., 1 И всех векторов П Є Л* , для которых 7г|п_1_| ^ Х + І /іщ, (и 7г|пц| ^ \hfiv ), выполняется оценка

^1+И-тіп

Зии(п) ^ С2 -------------------. .

(2іт\п±\ + к^) ^/я + к^ -7г|п±|

Следовательно (см. также (2.1) и (2.6)), для всех матричнозначных функций ^ Є Р2(К; Мм), коэффициенты Фурье Н’и, , п Є Л*, которых коммутируют со всеми ортогональными проекторами Ре± , Є Є £і(е), и всех вектор-функций ф Є Р2(К; См) имеет место цепочка неравенств

||Р« П>Р„(—>ф||2 = (2.21)

Рё(^+2п^ ^пРё(^+2П^—п)) п 1 ^

п € Л * :

N—п € К

^ ^(К) Е ( Е I е(к + 2п^ — е(к + 2п^ — п)) | х

N €К„ п €Л*:

N—п ЄК„

х||П>п||||(Р — ф)N—п|| ^ <

^ ^(К) к^2 £ ( Е 2п|п±| ЦН’п ||||(Р —ф)N—п|| ^ ^

N € Км п € Л * :

N—п € К

< «(К) к—2 £ ( £ (2п|п±|)2||^п||2 )х

N € К„ п €Л*:

N—п € К

Х ( £ ||(Р —Ф^п||2 ) =

п€Л* :

N—п € К

= НЮ Е

N € К„

= к-2(£( Е 1)(2п|и±|)2||^п ||2).|р(- ф||2 =

п €Л* N €К^,:

N-п € К

= к-2 ( £ и)(2п|и±|)2||^пу2 ) -|р(-ф||2 <

п € Л *

^ С2 Н ^+^+т1п {М>^} х

X { £ ---------(27г|га±|)2||УУп||2 | . ||Д(-)^||2 _

1 „ел*: (2тг|га±|+/1м1,) ^/х(х+/1м1,-тг|га±|) -1

7г|гах|

7Г|П|| | ^ | Н^г,

Для любого а ^ 0 коэффициенты Фурье (У»)п , и € К *, матричнозначной функции V» € Р3(К; Мм) ^ Р2(К; Мм) коммутируют со всеми ортогональными проекторами Р^ , е € ^(е) • Поэтому (так как 2к + Н^ < 3к и к ^ Пк ) из (2.21) получаем, в частности, неравенства

\\Р(+)УаРУ)ф\\ < й§(/Н-н-тт {/*,*}) х (2.22)

X (Зс2\/Гь<1 £

п €Л *. у^+ -п|п±|

7г|гах | < х+| /гМ1/

Пусть а ^ 2 . Обозначим

п( V а = / нV( х уз1п2+<5 нV( х у й3х

х € К: ||У( X У ^ а Уй( V а I О ПРи а —— +го . Справедливо

Нй НЬ(Кмм < <2-23>

^ (^ы2+г а - / ||V( х уз1п2+г IV х у ^х =

х € К: ||У( X У ^ » = (а1п2+<5 а)- П( V а.

Всем упорядоченным парам чисел ^, V € {1 ,...,1} поставим в соответствие числа ^ = ^^, V) = ^ + п{^, V} € {1,... ,31} .

Пусть £(Я), ] = 1,...,31, — множество упорядоченных пар (^, V) (возможно, пустое), для которых Я(^, V) = Я- Положим Xк = Е ||>>п^ . Выберем числа £ € (0,1],

п € Л * : 2п|пх | > к

; € N, так, что Д = 1, | 0, а,- = Л,!-7/.? Т +°о, а,) I 0

при я — +го и £ Л1па3)-2- < + го. Имеем (при суммирова-3=1

нии пропускается первая сумма, если Xк ; V) = 0 , и слагаемые во второй сумме, для которых У^( V; а3) = 0 )

„ 31

(о—1)^1 (х 1 (^1; ^) £ 2 ^ х

ПК1 - 0

х £ / ( Е , '!к|1 , Лйх +

М&Си) к п€Л*: у/*+Н^-п|п±| '

| XI < 7г|гах | ^ х+| /V"

31

+ Е аз^Т1 аз) х

3=1

Х ^ -И ^ -а, )(1я) <

(м^) €Д 3 К п €Л *: Ук+ ^ п|пх|

7г|гах|

Пк

< _____1___ ( Г ^ -

^ (П— 1)л/Х1 V Л

(П—V J \/х— х\ '

К

31

X (X- (к; ЖЕ Я2-3)( Е НVn Н2) +

3=1 п €Л *:

К < 2п|пх | <ЗПк

31

+ Е я'аз^-1аз)( £ II (^»')п||2 )) <

3=1 п €Л *

31

« 7!Д (2 + м"_1(л') £ з“Л-1№ %) IЩ\Ътми>) «

3

< ТЖгТ (Ъ + Му~1{К) Е ЛЬа^)-2-5) =

= с3 = с3(М, Л, П, Н; V, {£}) < + го

(использованы оценки (2.5) и (2.23)). Поэтому существует число к€ к , к

таким образом) такое, что для всех ^, V = 1,... , 1

Е / 4.Т""2 I , < 2^'сз^Г1 Е 11КЦ2,

п €Л*; -п|пх| п€Л*:

| XI <тг|га±Кх+|/1м1, 2тг|га±|>Х1

.

Е||(Уа7)п|| -о —/-о \

7гЙ=*П<СзЖ‘ “■> (2.25)

7г|гах|

где aj = Л-з-7 fj , я = я (//,!/). Неравенства (2.24) справедливы также при Xк ^) = 0, а неравенства (2.25) — в случае, когда У (V; а3) = 0 при некоторых Я € {1 ,...,31}. Для каждого числа Я € {1,... ,31} (если фиксировано число к) из (2.21) и (2.24) следует, что для всех пар чисел (^, V) € £( Я), всех вектор-функций ф € Р2(К; См) и для выбранного выше числа к€ к , к

Ур1+^-фН < (2.26)

Е , Г”"2 , , )*+

2 ^ га|д*.

I XI < 7г|гах| < х+| /1М1/

+ (^_ ^

п €Л *: к1д/к+ - п|пх|

2п|пх | ^ к

<с|Л^((3\^2^сз Е УК|

п €Л * :

2п|пх | > к

2 '

(\/2 Е ^ УКУ2)5)-!!^

п€Л* :

2п|пх | ^ к

следует, что найдется К = К(М, Л,П,Л., V, {/};") > 2Л, такое, что для всех к ^ К и выбираемых выше к € [к , ^к], всех чисел ^, V = 1,...,1 (где 1 = 1(Л,, к) € М), для которых Я’(^, V) ^ я0 , и всех вектор-функций ф €Р2(К; См) имеем

С другой стороны, если к ^ К > 2Л, и [к , ^к] Э к — выбираемые выше числа, то для всех чисел = 1,...,1, для которых 3 = > 30 ; И всех вектор-функций ф Є Р2(К СМ) с помо-

щью оценок (2.22) и (2.25) (и принимая во внимание определение

3

то есть оценка (2.27) справедлива при всех ^, V = 1,...,1.

Из оценок (2.7), (2.8) и (2.27) (для всех ^, V = 1,..., 1 и всех вектор-функций ф € Р2(К; См)) вытекает оценка

висящее также от с2 , Сз , П, V, Л, и {/^-} ) так, что fj ^ \е" и (З^Ос2 с3)і (/“1^(Т>; а^-))ї < ^ для всех я > ^ . Из (2.26)

.

7Г|ПХ | ^ Х+|

х ПР^ФІІ (/, + (зУПс2с3)5 и-1¥6(У;а3))1) ||Л(_)ф|| <

Следовательно

1=1

^=1

1=1 ^=1

^(т)2 Е (Е ь-^^црУфц)2 ^

1=1 ^=1

^(у)2 Е ( Е й_«|/*_1/|) ( Е Д-в^-И ЦрУфЦ2) <

1=1 ^=1 ^=1

^(т4)(т)2 £ (^ )ц^(-)^ц2 ^

1“/1 5 и=1 1=1

<(^4)2(^)2 Ё ||А)_,л2<(е')2цр(-)л2.

1-/1 5 г/=1

Осталось сделать замену ф = С^Р(~^(р, (р € Ь2(К;СМ) . Теоре-

ма 2.1 доказана.

Для завершения доказательства теоремы 1.2 воспользуемся полученными оценками (2.12), (2.13), (*1) — (*9). Определим число к = тах{К(е'), х0'(ё0, к0/;, К} > 2Л, , где ё' = = (4ПЛ.+ 1)_ а . Тогда для любого X! ^ х0 и выбираемого в теореме 2.1 числа к € [к , ^к]; любого вектора к € М3 : (к, 7) = п и любой вектор-функции ^ € Н(К; См) имеем

||£-| (Р + + Р^6))!)^!!2 + ПС^Р-У^П2 < (2.28)

< 3 (||С"*Р(+)УР(+)^||2 + \\С~12Р(-+)УР(--)^\\2+

||С<-|р(+)1>р(о)^||2) +

+ з ( цс;Ы->ур(+)И12 + ||с+М->ур(_)И12+

||С<-|р(-)1>р(о)^||2) +

+з (цс-М°>ур(+)И12 + цс-зр(°)ур(_)И12+

+\\6-12р(0)ур(0)р\\2) <

^9(e')2 (l|G'|p(+Vll2 + l|G'*P(“Vll2 + l|G'*P(oVll2) <

< 9 (є')2 (l|G'|(P+ + PM(k’e))pf + \\G^P~(p\\2 ).

Так как (2 — є)є~1 9(є')2 = |є, то доказываемая в теореме 1.2 оценка теперь следует из (2.11) и (2.28). Теорема 1.2 доказана.

Список литературы

1. Данилов Л.И. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. VI. М.: ВИНИТИ, 1996. 45 с. Деп. в ВИНИТИ 31.12.96. Ґ 3855-В96.

2. Gruber M.J. Measures of Fermi surfaces and absence of singular continuous spectrum for magnetic Schrodinger operators. E-print arXiv: math-ph/9908026, 1999.

3. Filonov N., Sobolev A.V. Absence of the singular continuous component in the spectrum of analytic direct integrals // Зап. науч. семинаров ПОМП. 2004. Т. 318. С. 298-307.

4. Kuchment P., Levendorskii S. On the spectra of periodic elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2001. V. 354, Ґ 2. P. 537-569.

5. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11, Ґ 2. С. 1-40.

6. Sobolev A.V. Absolute continuity of the periodic magnetic Schrodinger operator // Invent. Math. 1999. V. 137. P. 85-112.

7. Morame A. Absence of singular spectrum for a perturbation of a twodimensional Laplace-Beltrami operator with periodic electro-magnetic potential // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. V. 31. P. 7593-7601.

8. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного магнитного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом // Труды С.-Петерб. матем. об-ва. 2001. Т. 9. С. 199-233.

9. Суслина Т.А., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, Ґ 5. С. 197-240.

10. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с сильно подчиненным маг-

нитным потенциалом // Зап. науч. семинаров ПОМП. 2003. Т. 303. С. 279-320.

11. Shen Z. On absolute continuity of the periodic Schrodinger operators // Int. Math. Res. Notices. 2001. Ґ 1. P. 1-31.

12. Shen Z. Absolute continuity of periodic Schrodinger operators with potentials in the Kato class //Illinois J. Math. 2001. V. 45, Ґ 3. P. 873-893.

13. Shen Z. The periodic Schrodinger operators with potentials in the Morrey class // J. Funct. Anal. 2002. V. 193, Ґ 2. P. 314-345.

14. Friedlander L. On the spectrum of a class of second order periodic elliptic differential operators // Commun. Math. Phys. 2002. V. 229. P. 49-55.

15. Данилов .1.11. Об абсолютной непрерывности спектра периодического оператора Шредингера // Матем. заметки. 2003. Т. 73, Ґ 1. С. 49-62.

16. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Шредингера // Теор. и матем. физика. 2003. Т. 134, Ґ 3. С. 447-459.

17. Данилов Л.И. Об отсутствии собственных значений в спектре двумерных периодических операторов Дирака и Шредингера // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2004. Вып. 1 (29). С. 49-84.

18. Тихомиров М., Филонов И. Абсолютная непрерывность ґчетногоЄ периодического оператора Шредингера с негладкими коэффициентами // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16, Ґ 3. С. 201-210.

19. Данилов Л.И. О спектре оператора Дирака с периодическим потенциалом. Препринт ФТИ УрО АН СССР. Свердловск, 1987. 31 с.

М

спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. Препринт ФТИ УрО АН СССР. Свердловск, 1988. 33 с.

М”

потенциалом // Теор. и матем. физика. 1990. Т. 85, Ґ 1. С. 41-53.

22. Данилов Л.И. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. I. М.: ВИНИТИ, 1991. 35 с. Деп. в ВИНИТИ 12.12.91. Ґ 4588-В91.

23. Данилов Л.И. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. III. М.: ВИНИТИ, 1992. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 10.07.92. Ґ 2252-В92.

24. Данилов Л.И. Оценки резольвенты и спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом // Теор. и матем. физика. 1995. Т. 103, Ґ 1. С. 3-22.

25. Данилов .1.11. Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Дирака // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, Г1 2. С. 233-240.

26. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Дирака // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 118, Г1 1. С. 3-14.

27. Birman M.Sh., Suslina Т.A. The periodic Dirac operator is absolutely continuous // Integr. Equat. and Operator Theory. 1999. V. 34. P. 377-395.

28. Лапин И.С. Абсолютная непрерывность спектра двумерных периодических магнитных операторов Шредингера и Дирака с потенциалами из классов Зигмунда // Пробл. матем. анализа СПбГУ. СПб., 2001. Вып. 22. С. 74-105.

29. Данилов Л.И. Об отсутствии собственных значений в спектре обобщенного двумерного периодического оператора Дирака / / Алгебра и анализ. 2005. Т. 17, I" 3. С. 47-80.

30. Данилов Л.И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. II. М.: ВИНИТИ, 2001. 60 с. Деп. в ВИНИТИ 09.04.01. i" 916-В2001.

31. Данилов Л.И. О спектре двумерных периодических операторов Шредингера и Дирака // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 3 (26). С. 3-98.

32. Данилов Л.И. О спектре периодического оператора Дирака // Теор. и матем. физика. 2000. Т. 124, Г1 1. С. 3-17.

33. Данилов Л.И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. I. М.: ВИНИТИ, 2000. 76 с. Деп. в ВИНИТИ 15.06.00. i" 1683-В00.

34. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнений с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73, I" 6. С. 1117-1120.

35. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

36. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations // Oper. Theory Adv. Appl. V. 60. Basel: Birkhauser Verlag, 1993.

37. Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

38. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978.