О спектре двумерного оператора Шрёдингера с однородным магнитным полем и периодическим электрическим потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ

2018. Том 51

УДК 517.958, 517.984.5 © Л. И. Данилов

О СПЕКТРЕ ДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА С ОДНОРОДНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ И ПЕРИОДИЧЕСКИМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Рассматривается двумерный оператор Шрёдингера Нв + V с однородным магнитным полем В и периодическим электрическим потенциалом V. Доказано отсутствие в спектре оператора Ив + V собственных значений (бесконечной кратности), если электрический потенциал V — непостоянный тригонометрический многочлен и для магнитного потока выполнено условие (2п)-1 Ву(К) = Q_1, Q £ N гДе у(К) — площадь элементарной ячейки К решетки периодов Л С К2 потепциала V. В этом случае отсутствует сингулярная составляющая спектра, поэтому спектр абсолютно непрерывен. В статье используется магнитно-блоховская теория. От решетки периодов Л перейдем к решетке Л < = (Ж1QE1 + М2Е2 : М^ £ Z, = 1, 2} где Е1 и Е2 — базисные векторы решетки Л. Оператор Нв + V унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов Нв (к) + V, к £ 2пК< , действующих в пространстве магнитно-блоховских функций, где К< — элементарная ячейка обратной решетки Л< С К2. Доказательство отсутствия собственных значений в спектре оператора Нв + V основано на следующем утверждении: если Л — собственное значение оператора Нв + V, то А — собственное значение операторов Нв (к + г К) + V при всех к, к £ К2 и, более того (при заданных условиях на V и В), существует вектор ко £ С2 \ {0} такой, что собственные функции операторов Нв (к + Ск0) + V, С £ С, являются тригонометрическими многочленами ^ £3Ф., от

Ключевые слова: оператор Шрёдингера, спектр, периодический электрический потенциал, однородное магнитное поле.

Б01: 10.20537/2226-3594-2018-51-01 Введение

Рассматривается двумерный оператор Шрёдингера

действующий в Ь2(К2), где Aj : К2 ^ К ^ = 1,2, — компоненты магнитного (векторного) потенциала и V : К2 ^ К — электрический (скалярный) потенциал. Магнитный потенциал А определяет магнитное поле В(х) = ^^ — , х € К2. Координаты в М2 задаются в некотором ортонормированием базисе е1, е2.

В настоящей работе исследуется спектр оператора

который получается из (0.1) при А1(х) = 0 и А2(х) = Вх 1. Оператор (0.2) соответствует (в калибровке Ландау) однородному магнитному полю, для которого В(х) = В € К\{0}. В дальнейшем будем считать, что В > 0 (если В < 0, то можно сделать замену Х2 ^ — Х2). Электрический потенциал V выбирается периодическим с решеткой периодов Л С К2. Пусть Е1, Е2 — базисные векторы решетки Л Л = {Ж1Е1 + ЩЕ2 : N1, N2 € Ъ}\ Ej = (Е1, ej•), I, ] = 1, 2 (через (■, ■) и | ■ | обозначаются скалярное произведение и дли па векторов из К2). Не ограничивая общности, можно считать, что Е} > 0, Е^ = 0 и Е| > 0. Через К = {{1Е1 + £2Е2 : 0 ^ ^ < 1, ] = 1, 2} обозначается элементарная ячейка решетки Л (имеющая площадь у(К) = Е^Е^). В данной работе будет предполагаться, что поток г? = ^ Ви(К) магнитного поля через элементарную ячейку К — рациональное число (п € 0>).

Оператор Шрёдингера (0.1) с периодическим (в частности, однородным) магнитным полем и периодическим (с той же решеткой периодов) электрическим потенциалом рассматривался

в обзорной статье [1]. При п € М^ о спектре оператора (0.2) известно не так много. Если п € 0>, то при исследовании спектра оператора Шрёдингера (0.2) используется магнитно-блоховская теория (подробное изложение которой на языке разложения оператора Шрёдингера в прямой интеграл операторов, имеющих дискретный спектр, приведено в [2]). Спектр оператора

(оператора (0.2) при V = 0) состоит го собственных значений Л = (2т + 1)В, т € Ъ+ = Nи{0}, бесконечной кратности (уровни Ландау). При п € Q и в пределе малых периодических потенциалов V ветви закона дисперсии и спектр оператора (0.2) (в окрестности уровней Ландау (2т + 1)В т € исследовались в [4]. В [2] (см. также [5,6]) доказано, что для периодического точечного потенциала (потенциала нулевого радиуса) V в спектре оператора Шрёдингера (0.2) все уровни Ландау (2т + 1)В, т € Ъ+, являются собственными значениями (бесконечной кратности), если, в частности, решетка периодов является одноатомной и ^ э п > 1- Если п € Q, то (в условиях применимости магнитно-блоховской теории) отсутствует сингулярная составляющая спектра оператора (0.2) (что непосредственно следует из результатов работы [3], см. также [2,7]), поэтому, если нет собственных значений, спектр абсолютно непрерывен. В [8] доказано, что для любой решетки периодов Л С М2 и любого однородного магнитного поля с п € ^ ^ ^^^^^^^^ простр анстве С л (М2; М) периодических с решеткой периодов Л веществен-нозначных непрерывных функций с нормой

существует плотное С^-множество (множество второй категории) такое, что для любого потенциала V из этого множества в спектре оператора (0.2) нет собственных значений (что эквивалентно абсолютной непрерывности спектра). Однако вопрос, для всех ли непостоянных ограниченных периодических потенциалов V при n G Q спектр оператора Шрёдингера (0.2) абсолютно непрерывен, остается открытым [8].

В настоящей работе доказывается следующее утверждение.

Теорема 0.1. Для любого тригонометрического многочлена V: R2 — Re решеткой периодов Л С R2, не являющегося постоянной функцией, и любого B > 0; для которого П G {Q-1 : Q G N}; спектр оператора Шрёдингера (0.2) абсолютно непрерывен.

Спектр оператора (0.1) (и его обобщений) для периодических потенциалов A и V с общей решеткой периодов исследовался в [9-21]. В этих статьях доказывается абсолютная непрерыв-

AV

периодического оператора Шрёдингера (0.1) абсолютно непрерывен, если функции V и |A|2 имеют нулевую грань в смысле квадратичных форм относительно свободного оператора Шрёдингера —А = --§^2 — j^i (в [20,21] приведены также более общие условия на электрический V

риодического оператора (0.1) использовались блоховская теория и подход Томаса [22]. Многие статьи, а также обзоры [23-25], посвящены доказательству абсолютной непрерывности спектра многомерных периодических операторов Шрёдингера (см. также [26-28] и ссылки в этих статьях).

§ 1. Магнитно-блоховская теория

В этом параграфе вводятся используемые в дальнейшем обозначения, а также приведено доказательство унитарной эквивалентности оператора (0.2) прямому интегралу операторов (1.10), что позволяет свести доказательство теоремы 0.1 к доказательству теоремы 1.2. Магнитно-блоховской теории (в калибровке Лоренца) посвящена также первая часть статьи [2].

Пусть n = P/Q гДе P, Q G N — взаимно простые числа. Тогда, переходя от решетки периодов Л к решетке (периодов) с базисными векторами QE1 и E2 и обозначая вектор QE1 снова как E1, можно считать, что E^E^B = 2nP G 2nN. (В условиях теоремы 0.1 P = 1.)

IIVIIca(R2;R) = mcaK |V(x)|

x e к

Векторы Е = (Е|Е2)-1(Е2в1 - Е2е2), Е2 = (Е|)-1е2, для которых ) =

ц, V = 1, 2 (где ^ символ Кронекера), образуют базис обратной решетки Л* = {Ж^Е^ +Ж|Е2: Ж*, Ж* € й}. Пусть К * — элементарная ячейка решетки Л* (имеющая площадь

«(к *) = («(К ))-1 = (е{е2)-1).

Обозначим через НВ пространство функций ^: М2 — С го класса Соболева Я^ДМ2) (порядка д ^ 0), для которых при почти всех (п. в.) х € М2

<^(х + Е^) = еше1Х2р(х), ц = 1, 2; (1.1)

Нв = — множество (измеримых по Лебегу) функций из .¿2ос(М2), удовлетворяющих условию (1.1), НД — пространство бесконечно дифференцируемых функций из Нв- На пространстве %в определяется скалярное произведение (1р,(р)в = / 1р<р(1х, ф,<р € "нв, и соответству-

./к

ющая ему норма || ■ ||в-

Для функций Ф: М2 — С из класса Шварца 5(М2) определим функции

которые принадлежат НД, и пусть

М2 х М2 э (к,х) — и(Ф)(к; х) = Ф(-))(х) =

Функции С/(Ф)(-; ■) для всех Ф € 5(М2) принадлежат множеству ®в бесконечно дифференцируемых функций М2 х М2 э (к, х) — Ф(к; х) € С таких, что Ф(к; ■) € НД С Нв при всех к € М2 и

Ф(к + 2пЕ^;х) = е-2™(е*'х) Ф(к;х) (1.2)

при всех ц = 1, 2 ж к, х € М2. При этом для любого к' € М2

Если Ф(-; ■) € ®в5 то из (1.2) следует, что для всех х € М2 функция к — е%(к'х) Ф(к; х) является периодической с решеткой периодов 2пЛ*. Поэтому

е^'х) Ф(к; х) = ^ъда(х) е-^1®4^, (1.3)

>М2 €й

где € СД(М2). № (1.1) получаем, что (для всех ц1,ц2 € й и х € М2)

(х + Е1) = еше11х2 ^+1,^2(х), (х + Е2) = еше2х2 ^ьм+1(х).

Откуда

Из (1.3) и (1.4) следует, что € 5(М2) и (для любого к' € М2)

= [ е^к'х) щк] х) ^ , ж е м2.

Л' + 2пК * (2П)2«(К*)

Более того, из (1.3) и (1.4) вытекает равенство Ф(к; х) = С(^0)0)(к; х), к,х € М2. Поэтому С/: 5(М2) — &в биективное отображение.

Для всех Ф2 € S(R2) í dk

U(Ф1 )(k; x) U($2)(k; x) dx = / Ф1(ж)Ф2(ж) dx. (1.5)

ЛпК * (2п)2v(K*) Ук

Так как S(R2) плотно в L2(R2), а множество Db плотно в гильбертовом пространстве

í ® dk

LK.HBT&mrv (L6)

то отображение U (однозначно) продолжается до унитарного отображения гильбертова пространства L2(R2) на гильбертово пространство (1.6).

Пусть операторы —i^r и — г --действующие в Лв, имеют области определения

ЯН gfl) = ЯН ¿ - = Н1В. Через

обозначим самосопряженные операторы, также действующие в Hb, для шторых D(Hb(k)) = = Hb- Будем далее предполагать, что периодический с решеткой периодов Л с R2 потенциал V: R2 ^ R припадлежит L2oc(R2) и, следовательно, имеет пулевую грань относительно свободного оператора Шрёдингера —А (см. [29, §Х.2; 7, теорема XIII.96]). Тогда для любого £ > 0 существует константа C (е) = C (V; е) ^ 0 такая, что для всех функций ^ € HjOc( функции V^> принадлежат LjOc(R2) и

i i i 2 /Г „ \ 2 /Г „ \ 2

I ^ < ^ J |А^Г ^ + С(е)^ J М2 ^х

Откуда следует, что для любого е > 0 существует конетанта С '(е) = С '(Л, V, В; е) ^ 0 такая, что для всех ^ € НВ и к € 2пК* функции принадлежат Нв и

Н^Ннв < е ||Яв(к)^Унв + С'(е)|МЫв (1-7)

(то есть оператор умножения на потенциал V имеет пулевую грань относительно операторов Нв(к)). Поэтому для всех к € 2пК* оператор Нв(к) + V самосопряжен в Нв и ^(Нв(к) + +V) = Нв [29, теорема Х.12].

Если Ш € Сте(К2; К) — периодическая функция с решеткой периодов Л, то для всех Ф € 5(К2) и к, х € К2

и (Ш Ф)(к; х) = (Ши Ф)(к; х). (1.8)

Приближая потенциал в пространстве Ь2(К) периодическими с решеткой периодов Л бесконечно дифференцируемыми функциями : К2 ^ К ^ € N используя (1.5), (1.8) и выбирая подпоследовательность I € N такую, что (х) ^ V(х) при I ^ для п. в. х € К2, получаем, что для всех к € К2

U (V Ф)(^ x) = (VU Ф)(^ x)

x € R2. Так как прос и —г --Вхi, то для всех Ф € 5(R2) и к,х £

при п. в. х € R2. Так как пространство инвариантно при действии операторов -i-^r

U[ ( -г-^-ВхЛ Фj(k-,x) = (к2 -i-^--BxA Ü<&(k;x).

Откуда (при п. в. x € К2)

— — С ® — — dk

(Нв + V)Ф(х) = U-1 / {Нв{к) + V) иФ{к] х) . (1.9)

J2nK* (2П) v(K )

С другой стороны, множество S(К2) является существенной областью самосопряженного оператора Hb (так как в подпространствах собственных функций оператора Нв, отвечающих собственным значениям Л = (2m + 1)B, m € Z+ , можно выбрать базисы из функций, принадлежащих S(R2)). Поэтому множество Db является существенной областью самосопряженного оператора

LK.Йв{к) Ñ^F)

и, следовательно (в силу оценок (1.7)), самосопряженного оператора

f ® — dk

действующих в гильбертовом пространстве (1.6) (см., например, [29, теорема Х.12]). Поэтому из (1.9) следует, что оператор Нв+V унитарно эквивалентен прямому интегралу (1.10) операторов Нв(k) + V. Следовательно, Нв + V — самосопряженный оператор с областью определения D(HB + V) = {Ф € L2(R2): UФ(к; ■) € HB для всех k € 2пК*} (и для которого S(К2) — существенная область). При этом потенциал V имеет нулевую грань относительно оператора Нв-

Операторы Нв (k) + V имеют компотную резольвенту. Поэтому при всех k € К2 спектр операторов Нв(k) + V дискретен. Пусть Лj(k) € К, j € N, — собственные значения операторов Нв(k) + V (с учетом их кратности), упорядоченные по возрастанию. Так как операторы Шх и —^ slj ~~ ^Xl имеют нулевую грань относительно операторов Нв(к) + V, к € К2, то К2 э k — Лj(k) — непрерывные функции и, более того, функции Лj(■) являются аналитическими вне их пересечений (функции 2пК* э k — Лj(k) называются ветвями закона дисперсии); (см. [2; 7, § XIII.16]). Из унитарной эквивалентности оператора Нв+V прямому интегралу (1.10) операторов Нв(k) + V, k € 2nK*, следует, что спектр оператора Нв + V имеет зонную структуру. Если Л € К — собственное значение оператора Нв + V, то Л — собственное значение операторов Нв (k) + V для всех k из некоторого подмножеств а ячейки 2пК * положительной меры Лебега [7, теорема XIII.85]. Тогда из аналитической теоремы Фредгольма (см., например, [30, теорема VI. 14]) следует, что Л — собственное значение операторов Нв(k + ík) + V при всех k + ík € C2 (см. [2; 7, § 13]). Поэтому справедлива

Те о р е м а 1.1 (см. [2]). Пусть V € .¿2ос(К2, К) — периодический электрический потенциал с решеткой периодов Л С К2, Bv(K) = 2пР (где Р € N) и Л € К — собственное значение оператора, Нв + V. Тогда, Л — собственное значение операторов Нв(k + ík) + V при всех k + ík € C2.

Из теоремы 1.1 следует, что для доказательства теоремы 0.1 достаточно (при Bv(K) = 2пР, Р € N показать, что для любого Л € К существует комплексный вектор k + ík € C2 такой, что число Л не является собственным значением оператора Нв(k + ík) + V. Так как для любого Л € К вместо тригонометрического многочлена V(•), который не является постоянной функцией, всегда можно выбрать тригонометрический многочлен V(■) — Л, то можно рассматривать только собственное значение Л = 0. Следовательно, теорема 0.1 вытекает из теоремы 1.2.

Теорема 1.2. Для любого тригонометрического многочлена V: К2 — К с решеткой периодов Л С К2; не являющегося постоянной функцией, и любого B > 0; для которого Bv(K) = 2п; найдется комплексный вектор k + ík € C2 такой, что оператор Нв(k + ík) + V; имеющий область определения D(Hb(k + ík) + V) = HB, обратим (то есть у него нет соб-Л = 0)

Теорема 1.2 следует из теорем 2.1 и 2.2, приведенных в следующем параграфе.

§ 2. Доказательство теоремы 1.2

Зафиксируем какой-либо вектор k € 2пК*. Обозначим через m € Z+ , подпростран-

ства собственных функций оператора Нв(k) с собственными значениями Л = (2m + 1)B. Подпространства

П(т) имеют размерность P [2] (предполагается, что n = P € N). Пусть

F{x) = е" f + f s ж е М2_

Для любого вектора a € R2 функция ж ^ e-iB«ix2 f(ж + a) является собственной функцией оператора Нв с собственным значением Л = B. Определим функции

F(a; к, ж) = e"ifci:Cl+ia:C2 F (ж - е^ , a е R, же

1>2

для которых при всех а € К (и х €

(а + Е1В; к, -))(х) = е-*1®1 (а; к, -))(х).

Для чисел оц = -р Е\В1, I = 0,..., Р — 1, функции ж н->■ ^(^(сц; '))(ж) линейно независимы в Нв [2]) припадле жат Н^ и являются собственными функциям и оператора Нв (к), отвечающими собственному значению Л = В. Выберем в Н(0) какой-либо ортонормированный базис

Ф = Ф0),..., Фр = ФР0)-

Определим операторы

В(^) = Нв. Тогда Z-Фj = 0 3 = 1,..., Р Яв(к) = ^Я- + В = — В и Я* = (знак *

используется для обозначения сопряженного оператора). Для любого т € функции

m!

(2.1)

образуют ортонормированный базис в П(т) , при этом

£+Ф<т) = л/2В(т + 1) ф5т+1), ш е = У2Вшф5т_1), теМ.

Для функций Ф € Нвт+1) справедливы равенства

(¿7+ ¿7т — ¿т¿+)Ф = —2Вт^т-1Ф, (¿7-— ¿^¿^Ф = 2Вт^т-1Ф, т € N. (2.2)

Обозначим через Нв

Области определения В(е ) операторов

е^т = ^ z n!

n = 0

' zn

^ п ^

состоят из тех функций Ф е Н^ , для которых сходится ряд = ^ Будет также

п = 0 '

использоваться обозначение

D(ezZ*) = {Ф е Hg>: Е ^Г <

n = 0

D(e) С D(e).

В дальнейшем важную роль будут играть операторы

ят(С) = Z+Z- + + B + V, Z е с,

для которых D(HZр(С)) = и B^(Z) = В±(0- Для них

Нт( С) = + + V. (2.3)

Поэтому если операторы Hв(k + гк) + B имеют собственное значение Л = 0 для всех k + гк е C2, то операторы H^(Z) также имеют собственное значение Л = 0 для всех Z е C.

Операторы + ZZ^ + B (операторы (2.3) при V = 0) имеют собственные значения

Л = (2m + 1)B m е Z+ , при всех Z е C. Все собственные значения P-кратно вырождены

£ 7 (ТТЪ)

и функции е as т ф\ , j = 1,..., Р, являются линейно независимыми собственными функциями операторов Z+ Z_ + ZZ^ + B, отвечаюпщх собственным значениям Л = (2m + 1)B.

Обозначим HT(Z) = Ker H^(Z) = {Ф е HB : H^(Z)Ф = 0} Операторы H^(Z), Z е C, замкнуты, HT(Z) — конечномерные подпространства и ImH^(Z) = {H^(Z)Ф: Ф е HB} — (замкнутые) подпространства, для которых 1тя=р(£) = ('H±(())~L (где С1- = {Ф € %в'- (Ф, Ф)б = 0 для всех

Ф е L с Нв L = 0}).

Пусть L^ (R2; R) и L^ (R2; R) — пространства периодических с решеткой периодов Л функций V: R2 ^ R, принадлежащих L^(R2) и L2oc(R2) соответственно (при этом функции, совпадающие при почти всех x е R2, отождествляются). На пространстве L^ (R2; R) определяется норма

IIV||L~ (R2;R) = ess sup |V(x)|, V е L£> (R2;R).

Л X e R2

Следующая теорема является основным утверждением, на которое опирается доказательство теоремы 1.2.

Теорема 2.1. Пусть V е L^(R2;R) u Bv(K) = 2п Предположим, что H_(Z) = {0} при всех Z е C. Тогда существует открытое множество M_ С C, для которого C \ M_ — дискретное множество (без конечных предельных точек), такое, что для любых Zo е M_ и Ф_0 е Н_ (Z0)\{0} существуют число m0 е Z+ и функции Фj е HB , j = 0,1,..., m0 , такие, что для всех Z е C

mo

Ф_ = EZjФj е H_(Z). (2.4)

j = o

При этом Фто е Н(0)\{0} и функция Ф_ при Z = Z0 совпадает с заданной функцией Ф_0 . Теорема 2.1 доказывается в §3.

Так как функция (2.4) при всех Z е C принадлежит H_(Z), то выполняются следующие равенства (получаемые при разложении по степеням Z тождества H_(Z)Ф_ = 0):

(Z+Z_ + B + V) Ф0 = 0, (Z+Z_ + B + V) Ф1 = -^_Ф0, .. .. .. ..

(Z+Z_ + B + V )Фто = -^_Фто_1,

где Фj е HB , j = 0,1,... , m0 , и Фто е Н(0)\{0}. С другой стороны, если функции Фj е HB удовлетворяют равенствам (2.5) и Фто е Н(0), то для всех Z е C справедливо включение (2.4).

Теорема 2.2. Предположим, что V: R2 ^ R — тригонометрический многочлен (с решет,кой периодов Л С R2), не являющийся постоянной функцией, и Bv(K) = 2пР; где P е N. Тогда для любого m0 е Z+ и любых функций Фj• е HB, j = 0,1,... m0; при условии

то

Фто е Н(0)\{0} функция ZjФj не может при всех Z е C принадлежать H_(Z) и, следова-

j = 0

тельно, для функций Фj не могут вы,полня,ться (все) равенства (2.5).

Доказательство теоремы 2.2 приведено в конце этого параграфа. Предварительно доказывается ряд утверждений, которые для этого необходимы.

Теорема 1.2 непосредственно следует из теорем 2.1 и 2.2. Действительно, если предположить, что в условиях теоремы 1.2 у оператора Нв(к + ¿к) + V при всех к + гк € С2 имеется собственное значение Л = 0, то НДС) = {0} (и Н+(С) = {0}) для всех £ € С. Тогда из теоремы 2.1 следует существование числа то € 2+ и функций Ф^ € НВ , 3 = 0,1,... , то, таких, что Фто € Н(0) \ {0} и для всех £ € С выполняется включение (2.4). Поэтому справедливы также равенства (2.5). Но это противоречит теореме 2.2. Для функций Ф € Нв имеет место разложение

Ф = ^ Z(m)ф, т = 0

где Р(т) Ф € Н(т). Из (2.1) следуют равенства

||рМ(^+Ф)||Б = л/2Вт\\Р(-т~^Ф\\в, теМ, (2.6)

||рМ(^_ф)||Б = ^2Б(т + 1) ||Р(т+1)Ф||Б, т € (2.7)

Обозначим через Нв(75 С), где 7 > 0 и С > 0, множество функций Ф €Нв, для которых при всех т € 2+ выполняется оценка

||Р(т)Ф||в < Св-7т;

Нв(7) = и Нв(7; С)• Множество Нв(7) является линейным многообразием в НБ. Пусть с> о

Нв(гс>) — множество функций Ф € Нв таких, что для любого 7 > 0 найдется число С7 = С7(Ф) > 0 такое, что для всех т € 2+

||Р(т)Ф||в < С7в-7т.

При этом Нв(гс>) — линейное мпогообразие в Нв(7) Для любого 7 > 0.

Л е м м а 2.1. Для любых 7 > 0 С > 0 и е € (0,7) существует число С; = С;(В; 7, е) > 0 такое, что для любой функции Ф € Нв(7; С) функция Z;Ф принадлежит Нв(7 — е; СС;).х

Доказательство. Пусть Ф € НВ(7;С). Тогда = 0 и при т € N из (2.6)

следует оценка ||Р(т)(^+Ф)||Б ^ ^2ВтСе~^т~1\ поэтому ||р(т)(^+ф)||Б <; т € Z+ , где

С\ = тах У2Б^е7е"£т.

^ т € N

При всех та+ (см. (2.7)) также ||р(т)(^-ф)Ь < л/2В(т + 1) ^

где

= тах д/2Б(т + 1) е"7е"£т.

т €

Лемма 2.1 доказана. □

л/гп\ д/(т — п)!

при т ^ п (см. (2.6)). При т € (и п € N

Для любых Ф €Нви п € N справедливо равенство Р(т) (¿7+Ф) = 0 при т < п

|Р(т)(^Ф)||Б = (2Д) ? +

ут!

1В этом и в других утверждениях статьи, когда в формулировках присутствуют знаки ± и параллельно формулируются два утверждения отдельно для верхних и нижних знаков.

(см. (2.7)). Поэтому для всех г € С

| | ^ ! г

^ Н_ (2В) 1 ||р(т"га)ф||Б , Ф € 0(ег2+),

П=о п! У(т - п)!

П=о п! ^т!

Откуда следует, что для любой функции Ф € Нв (7> С ), где ^ > 0 и С > 0, и для всех г € С и т €

||рМ(е^+ф)цБ ^ Се-7т ( у(е^\г\ГУШ\

п п^(т - п)! /

п = 0

V п=0 п!\/т!

Л е м м а 2.2. Для любых а > 0 и Ь > 1 существует число С+ = С+ (а, Ь) ^ 1 такое, что для всех т €

т, *—¡-

£ а™ < С+Ът. (2.10)

эт!д/(т — п)!

п=о

п

Доказательство. Пусть т € N. Так как для всех та € N выполняется оценка та! >

то (при та = 1,..., т) \[т\ (та!л/(т — та)!) 1 ^ (у7теп 1)га. С другой стороны, при всех ж ^ 1

а \ х ( а, если а € (0, е],

< 1 . (2.11) I еа/е, если а > е,

поэтому (при всех а > 0 и т € М)

1 + те, если а ^ -4=,

'У ^ . /т '

^ ут! га ^ 1 {фйае\п ^ 1 + те, если а ^ ^

> -а ^ 1 + т • тах -- ^ < г-

п!л/(т - п)! п = 1,... ,т у п / 1 + те^та) если а > .

Ь > 1

С+ = С+(а, Ь) ^ 1 такое, что для всех т € выполняется неравенство (2.10). □

Л е м м а 2.3. Для любых а > 0 и Ь > 1 существует число С— = С— (а, Ь) ^ 1 такое, что для, всех т €

У а™ < С_Ъ™. (2.12)

п!\/ т!

п= о

т=0

1

У —== ап < +оо.

п=о

Также для любых а> 0 и т € N (в силу формулы Стирлинга)

^ ^(т + та)! ^ д/(т + 1)... (т + та) ^ у/(2п)!

/ -— а = > -;- а < У . а < +оо.

п\у/пй п\ ^ та! 3/2

п = т +1 у п = т +1 п =1 4 у

С другой стороны, с помощью (2.11) получаем

ул ^(т + та)! аП = 1 ул д/(т + 1)... (т + та) ^ <

п п!\/т! 1 и!

п= о п= 1

. , А (2т)? п 1 , (у/2тае\п ^ ( 1 + те> если а < '

^ 1 + > -—г— а < 1 + т • тах - ^ < ,—

^ п! п ) 1 + те^ , если а > -Х-.

п = 1 ^ \/2т

□

Следующая лемма является следствием оценок (2.8), (2.9) и лемм 2.2 и 2.3.

Л е м м а 2.4. Пусть Ф € И в ('У', С), где 7 > 0 и С > 0. Тогда для любых е € (0,7) и г € С существует константа С± = С±(е±7\/2-В е) ^ 1 такая, что для всех т € Z+

||Р(т)(ег'±Ф)|| < СС±в-(7-£)т, то есть еФ € Нв(7 — е; СС±).

Следствие2.1. Если Ф € Нв (7), где 7 > 0, то Ф € 5 (ег'±) С 5(ег'±) и ег'± Ф € Нв (7') для всех г € с и 7' € (0,7). Если Ф € Нв (ж), т о е Ф € Нв (го) для ее еж г € с.

Следствие 2.2. .Если Ф € Нв (7), где 7 > 0, то для лю бых ¿1, г2 € с

е ¿х'± е ¿2'± Ф = е +^2)'± Ф. (2.13)

Доказательство. Из леммы 2.4 следует, что для любых г1', г2' € с

е е -г2''±

^ Р(т)Ф ||в ^ 0

т = ^

при 2+ э ^ ^ Поэтому равенство (2.13) достаточно доказать для функций Р(т)Ф, т € а для этого достаточно показать (опять же в силу леммы 2.4), что для любых п, т € 2+

р(га) е '± е *2'± р(т) Ф = ]7(га) е +^2)'± р(т) Ф.

Но последнее равенство непосредственно следует из сравнения разложений по степеням а € с левой и правой частей тождества еег2а = е(г1 +г2)а. Следствие 2.2 доказано. □

Для Ф € Н(0) обозначим через Нв [Ф] замыкание в Нв линейной оболочки функций

фН = ^ ' 2 ^ Ф

(||Ф(т)||в = ||Ф||в), т € Тогда Нв = Нв[Ф1] Ф ... Ф Нв[Фм]. Для всех ( € си Ф € Н(0), ||Ф||в = 1

_, х | | | = е 4В .

пт! \у/2В/ у

4 т = 0 4 у 7 7

Далее рассматриваются тригонометрические многочлены

,2пг (МЕ+М*Е2,Х)

V(х) = £ гм * е2™Е** Е**>х), х € м2.

N * € 22

Пусть Щ^) = {Ж* € 22 \ {0} : гм * = 0} Множество Щ^) конечное, и предполагается, что ) = 0. Обозначим

У(м *) = 2п(Ж*Е1 + Ж2*Е2), У}(М *) = (У(м *) ,е,-), 3 = 1, 2, N * € 22.

Будут также использоваться краткие обозначения У = У(м ) и У} = у(М \ 3 = 1, 2. (При этом подразумевается, что векторы У соответствуют векторам N * € ).)

Для функций Ф € 5(^7;) = Нв справедливо равенство

еФ = е(^ + (У1 ± гУ2)) Ф. (2.15)

Откуда следует, что для любых € С и $ € в-^т) функция е^'^Ф принадлежит

_0(егв%) и

егв Ф = еи(У1±,У2>е}(у,а;)ем^Ф. (2.16)

Если для некоторых £ € С и т € N выполняются включения € в-^±) (в частности, если Ф е Нв(7), 7 > 0), З = 0,1,..., т, т0 (см- (2-2)) также е гв Ф <е = и

= (2.17)

Из (2.16) и (2.17) получаем, что для всех Ф € Буе гв +), для которых Ф € И (е гв справедливо включение ег' е гв + Ф е £)(.£_) = Н

в

^.е^'^е-^й^^+Ф = е^'^е-^й^^+^-Ф. (2.18)

. У~1 +^У2 7 N t Yl+iY2 9 \

Также для всех m € N и всех функций Ф € D{е 2В +), для которых Ф € (е гв + J

(в этом случае Ф € £>(е Хгв 2 при всех j = 0,1,..., т), справедливо включение ei(Y,x) ф е = Н™ и

Следующая лемма непосредственно вытекает из (2.14) и (2.18). Л е м м а 2.5. Для любых N * € 1? и Ф € H(0) также

= е-^е^е-М^ф е (2.20)

где Yj =

(Y (N*) , ej) j = 1, 2. Яры этом оператор U(N*) ( H(0)) унитарен.

Из (2.15), (2.16), (2.19) и (2.20) получаем, что для всех m € Z+ и Ф € H(0)

е-»(У,х) ^rn [7(Л^)Ф = е-Щг2- (Z+ + (Fi - гГ2)Г Ф,

У2 +у2 у I 'у

Поэтому справедливо

Следствие 2.3. Для любых N * € 22 и Ф € Н(0) оператор умножения на, функцию ег(у) 'х) взаимно однозначно отображает, подпространство Нв [Ф] на подпространство Нв [и (М * )Ф]-

Л е м м а 2.6. Пусть Ф_€ Нв (7; С ) где 7 > 0 м С > 0. Тогда для любых N * € 22 и е € (0,7) существует константа С = С(В,Р, N *; 7, е) ^ 1 такая, что для всех т € 2+

^рЫ^е^*\х) ф)|в ^ СС7е-(7-£)т, (2.22)

то есть е (М*) >х) Ф € Нв(7 — е; СС).

Доказательство. Пусть Ф € Нв (7; С), е € (0,7) и N * € Ъ2. Справедливо представле-Р (т)

ние Ф = Е Фз- , где Фз- = Е Ьт,з Ф^- , Ьт,з- € С При этом фупкции Фз- принадлежат попарно

3 = 1 т = 0

ортогональным подпространствам Нв[Ф^] и, следовательно, Фз- € Нв(7 : С), j = 1,..., Р. Для любого ] = 1,... , Р (в силу леммы 2.5) имеет место равенство е 1зв 2 =

поэтому из (2.17) и (2.22) получаем

т = 0 ^т!

=Еь^ =ге+ - № - и)ф, =

п V™}-

т = 0

у1+у2 ^ , (2В) 2 У1+гУ2 У1-*У2 7 -/дг^ Т = е—ът,з г— е ^2В е ^~ г™ и^ =

(2.23)

т= 0

У1+У2 У^У2 2 У1-*У2 7 тА , ч(т)

= е—4в— Иш е^в—^ ([/(^ т\

т=0

где Ф,)М = Функции Е и Е ^

Е Ьт,^(г/^Ф,-)(т) и Е

т=0 т=0

^ € Ъ+, (как и функции Фз- = Е Ьт,^Ф( ,) принадлежат Нв(75 С). Тогда из леммы 2.4 (ко-

т=0

М — * ( )

торая выполняется для всех функций Е Ьт

(и)

Фз) , ^ € Ъ+) с помощью предельного

т = 0

перехода в (2.23) получаем, что существует константа С' = С'(B,N*;7,е) ^ 1 такая, что для всех j = 1,..., Р и т € Ъ+

||р(т) (ег(у*),х) ф^)|в ^ сС'е-(7-е)т и, следовательно, выполняется оценка (2.22) при (7 = РС'. □

Следствие 2.4. Если Ф € Нв (7), где 7 > 0, то ег(у ) 'х) Ф € Нв (7') для ее ех 7' € (0,7) и N * € Ъ2. Если Ф € Нв (го), то е )'х) Ф € Нв (го) для всех N € Ъ2.

Доказательство теоремы 2.2. Предположим, что существуют число т0 € Ъ+ и функции Фз- € j = 0,1,... , т^, для которых Фт0 € Н(0) \ {0} и справедливы равен-

то ^

ства (2.5). Тогда Ф_ = Е (зФ3' € Н_(С) для всех £ € С Если ¿_Ф € Нв(го) для некоторой

7 = 0

функции Ф € Нв^о Ф € Нв(го) Поэтому го включения Фто € Н(0) С Нв(го), равенств (2.5), леммы 2.1 и следствия 2.4 получаем, что Ф7- € Нв (го) при всех j = 0,1,..., т^. Пуст ь ^0 € Си

[Со] . л[й] ^ I

3 ./! <1<>

Ф0'01 = Ф—о, Ф

, j = 1,...,т0.

С=Со

- то . га ] ^ _

Тогда Ф— = Е (С — С0)7 Ф^- о и тождества Н~(С)Ф— = 0 по степеням ( — (0 приводит

з = 0

(для любого (0 € С) к равенствам

+ В + V + (0^-) ф0<:о] = 0, + В + V + (0^-) ф1Со] = — ^_ф0

(2.24)

+ В + V + )ФЙо] = —Ф^о-з

где Ф Щ1 = Ф то € Н(0)\{0}. При этом Фр1 € Нв(то) при всех ] =0,1,... , т0 (и (0 € С). В силу

' 3

следствия 2.1 определены функции

ф[Со] ^ ф[Со] е ^Б(оо)) ^ = о, 1,..., т0,

и ФЩ1 = Ф Тогда го (2.24) (см. (2.17) и следствие 2.2) для всех € С вытекают равенства

(£+ + В + V[Со]) Ф0°о1 = 0, + В + V[Со1) ф 1Со1 = —0?о1,

(2.25)

(£+£_ + В + V ^о1)ф Щ1 = —Щ]

где = е 2в^ V е/в % _ д3 (2.16) следует, что — комплекснозначный тригонометрический многочлен (при действии оператора V^о1 па функции из Нв(7)> 7 > 0):

= ^ е-й^Г'+^Г^^е^^), х€М2. (2.26)

N * е 22

Через М* € N обозначим один из векторов, для которых У(М ) имеет максимальную длину среди всех векторов У ^ * \ N * € N Далее будут рассматривать ся числа € J (V; М *) = = {—(У(М *) — ¿У2(М *)) * : * ^ (если (0 = —(У.(М *) — ¿У2(М *)) * ^ 0)

е 2В 2 ) = е 2В ^ (2.27)

и существует число 0 € [0,1) такое, что

е гв >-г1 2 ) ^ е гв (2.28)

для всех N * € N и {0}. Т е о р е м а 2.3. Пусть

+ В + V[Со1) Ф = —

где (0 € С, Ф € Нв \ {0} X € Нв «

||Р(щ)Ф||в < С ||Ф||в е_7Щ

для всех т € 2+ , где 7> 0 и С ^ 1 (в этом случае Ф € Нв (7) м X € Нв (7))- Тогда, для, любого е € (0,7) найдут,ся, числа, 2 = 2(В,Р, V; С; 7, е) > 0 м (7 = С(В,Р, V; С; 7, е) ^ 1 т,а,кие, что при всех € ^(V; М*) для которых |£0| ^

(1) функция Z_x не является нулевой (тогда также х Ф 0),

(2) для ее еж т € 2+

||£(щ)х||в < С ||х||в е_(7_£)щ (2.29)

Доказательство. Так как Ф € Нв (7; С ||Ф||в ) т0 в силу леммы 2.6 для любых е € (0,7) и N * € 22 найдется константа С *) = С '(В,Р, N *; 7, е) ^ 1 такая, что для всех т € 2+

||р(щ)(е^*),х)ф )|в ^ ССФ*) ||Ф||ве_(7_£)щ. (2.30)

С другой стороны, так как Ф € Нв(7; С||Ф||в) из леммы 2.1 вытекает существование константы С' = С '(В; 7, е) ^ 1 такой, что

||Р(щ)Ф)|в < СС' ||Ф||ве_(7_£)щ, т € (2.31)

Обозначим

уЩм*-,х) = Y, е^^^Х^е*^^, жеМ2_ (2 32)

N *e Z2\{M * }

Из (2.28), (2.30), (2.31) и (2.32) при Z0 = —(Y^M ) — ¿Y"2(M t, t ^ 0, следуют оценки

jjP(m)(Z+ Z_ + B + V[Со](М*; -))Ф||в <

/ __ |Y(M*)|2 \

+ £ + У C'{n*)\vN*\e-^B^et\ \Щ\ве~Ь~£)т, т € Z+. ^ N*e z2 \{М *} '

Откуда

||(Z+ Z_ + B + V(M*; .))Ф||в <

1 / ____ |Y(M*)|2 \

< (С' + В+ J] ||Ф||в.

^ n *e z2\{М*} '

Выберем число 5' = 5'(B, P, V; Y, в) > 0 такое, что при всех t ^ 5'

1 / ~ |Y(M*)|2 \ 1 |Y(M* )|2

(1 _e-2(7-e))-2 lc' + b+ J] С7^*) ЬЛГЧ е 2Д et) < ^

^ N*e z2\{М *} '

Так как (см. (2.27))

„ _ Со (Y{Mt) +iY(Mt)) г(у(м*) х)^ и I I ly(M<,)l2 t и „-и

то (при t ^ 5')

1 |Y(M *) 12

\\z_x\\B = \\{z+z_+b + v^m\b > -\умле^-г\\ф\\в

(и, следовательно, Z_x ф 0). Тогда (см. (2.26), (2.27), (2.28), (2.30) и (2.31)) для всех m е Z+ (и t ^ 5')

ji5(m)(Z_X)||b = jpP(m)(Z+Z_ + B + ИСо])Ф||в < (2.33)

|Y(M*)|2 _ |Y(M* )|2 \

c + b+ j] c'(n*)\vn*\e 2b et + c'(m*)\vm*\e 2b *) ||Ф||в e~(7~£)m <

N*e z2\{M*} '

3 — |Y(M*) |2 _

< ^ cc'(m*) \vm* I e 2Д *||Ф||ве-(7~£)т < 3cc'(m*) \\z_X\\B .

Теперь выберем число m = m(CC'(M*), y — в) е N так, что

\2 -2(т-е)т/1 „-2(y-£)W 3

(ЗСС'(М*))2е"2(т-£)т(1 -е"2^"6))-1 <

Из (2.33) следует оценка

т _ 1

2

Е pZ(m)(Z_x) IB = iiz_XIIb — Е jjp(m)(Z_X)IB >

B

m = 0 m = m

> = -4\\z_x\\l.

С другой стороны, с помощью (2.7) и (2.34) для всех m е N получаем

т т

I > Е ll^(m)xlll Е ¿ll^-^Z-x)!!! >

m =1 m =1

(2.34)

2Вт ^ 11 v АЛ1Б 8Вт 11 А|1Б

m = i

Поэтому из оценок (2.33) (для всех t ^ S') вытекают оценки

< ~¡l= сс'{м*) е1~£ IIz-x\\b е~^~£)т < 6сс'{м*) е7"£ víh ||х||Б e-(7"e)m, т € N,

V2B

и, следовательно, достаточно в (2.29) положить С = 6СС'(М*) е7_£ л/m ^ 1 и выбрать число S = |Y(M*SТак как ||Р(0)%|| ^ ||%||, то оценка (2.29) при m = 0 также выполняется. Теорема 2.3 доказана. □

Воспользуемся теперь теоремой 2.3 для завершения доказательства теоремы 2.2. Как показано выше, из равенств (2.5) следует, что при всех Zo € C также выполняются равенства (2.25). Если mo = 0, то из теоремы 2.3 вытекает существование числа So > 0 такого, что (Z+ + B + V[Zo]) Ф0ío] ф 0 при всех Z0 € J(V; M*), для которых |Zo| ^ S0. Но это противоречит первому из равенств (2.25). Поэтому можно считать, что m0 ^ 1. Так как

Фím°0] = Ф mo € H(0) \{0}, то ||Р(0)фím°0]|B = ||фím°0]|B и P(m)<£|m°0] — нулевые функции при всех m € N Пусть 0 <70 < 7i < ... < 7m0- Учитывая (тривиальные) неравенства

|рр(т)фт]||в < ||фím00]HB e_Ym0m, m € Z+ ,

и последовательно при j = m0,m0 — 1,..., 1 применяя теорему 2.3, получаем, что для всех j = m0, m0 — 1,..., 1 существуют числа Sj = Sj(B, P, V; _i,..., ; 7m0, 7m0_i,..., 7j_i) > 0 (для которых Sv ^ SM при v ^ и = Cj_i(B, P, V; Cm0_i,..., Cj; 7m0, 7m0_i,..., 7j_i) ^ 1 такие, что при всех Z0 € J(V; M*), для которых |Z01 ^ Sj,

(Z+ Z_ + B + V[Z°])^Í0] ф 0 (2.35)

и

||ptm)jjB ^ 6j_i 11ФjZ0]iMB e_7j-1 m, m € Z+. (2.36)

j=1

S0 = S0(B,P, V; C7m0_i,... 7m0,7m0 _i,..., 70) ^Si > 0 такое, что при всех Z0 € J (V; M *), для которых IZ0 | ^ S0 , фуикция (Z+ Zp_

+ B + V [Í0]) Ф 0Í0]

не может быть нулевой, что противоречит первому из равенств (2.25) (которые по сделанному предположению должны выполняться при всех Z0 € C). Полученное противоречие доказывает теорему 2.1. □

§ 3. Доказательство теоремы 2.1

Будем вначале предполагать, что V € Рд (М2; М)-

Компоненты ki и k2 вектор a k € 2пК * (ил и k € М2) из определения опер аторов Pf (Z) Z € C, можно выбрать любыми (см. (2.3)), но они далее фиксируются и рассматривается зависимость операторов Pf (Z) = -р+-р_ + Z-p^ + B + V только от числа Z € C. Операторы Pf (Z) (для всех Z € C) имеют облить определения D(Pf(Z)) = D(Z+ ) = HB- Функции Ф € HB (после изменения их значений на множествах нулевой меры Лебега) непрерывны. Потенциал V € Рд(М2; М) имеет нулевую грань относительно операторов Рв(k+ík), k+ík € C2. Последнее означает, что для любого е > 0 найдется чиело C(е) > 0 такое, что для всех Ф € HB

||VФ||в < е ||Z+ Ф||в + C(е) || Ф|в. (3.1)

Пусть Hf(Z) Z € C, — множество фупкций Ф f € Hf(Z) таких, что найдутся числа Zj € C \ {Z} и фупкции Ф f € Hf(Zj), j € N Для которых Zj — Z и Ф^. — Ф^ при j —

Множества ) являются линейными подпространствами конечномерных линейных про-

странств Я^ (С)• Через Ар (С) и А: (С) обозначим размерности подпространств Я^ (С) и )

соответственно, 0 ^ Ар (С) ^ Ар (С) (и Ар (С) € М).

Если ^('ёСиС^ (где черта означает комплексное сопряжение), то для всех функций Ф+ €Я+(( ОпФ- €Я_(()

О = (н+((г)ф+,ф-)в = (Ф+,Я_(С')Фс-)б = = (Ф+,Я_(С)Фс-)б + (С/-С)(Ф^^_Фс-)Б = (С/-0(Ф^^_ФС-)Б,

поэтому

(Ф+Ф_)в = 0. (3.2)

Из (3.2) следует

Лемма 3.1. Если Ф+ € Я+((') и Ф_ € Я_(() (ши Ф+ € Я+ ((') и Ф_ € Я_(()), где С, С' € С, то (Ф+,._Ф_)в = 0.

Справедлива простая

Л е м м а 3.2. Для любых С0 , С ^ 0 существует ч,исло С ^ 0 такое, что для всех функций Ф € ЯВ; для которых

||.+._Ф||в < Со||Ф||в + С1Ц.+ Ф||в + ||УФув,

выполняется оценка, ||._.+ Ф||в ^ С ||Ф||в-

Следствие 3.1. Для любого непустого компакт,а, К С С и любого числа, С ^ 0 существует число С1 ^ 0 такое, что для всех ( € К и всех функций Ф € ЯВ для которых ||Я:(С)Ф||в ^ С ||Ф||в> выполняется неравенет,во ||^_^+Ф||в ^ С1|Ф|в-

Следствие 3.2. Для любого непустого ком,пакт,а, К С С существует константа С1' > 0 такая, что для всех ( € К и всех функций Ф^ € Я^(£) выполняется неравенство ||^_^Ф^Цв ^ С1' ЦФ^Ув и, следовательно, множества (Ф^: £ € К, ЦФ^Ув ^ 1} и (^Ф^: С € К, ЦФ^^в ^ 1} предкомпактны.

Следствие 3.3. Если К С С — непустой ком пакт,, € К, Ф^. € Я^^) и для, некоторой константы С ^ 0 выполняются неравенства ЦФ^. ||в ^ С ] € М то существует подпоследовательность V € N такая, ч,то 7 ^ С и Ф^ ^ Ф: для, некоторых числа, ( € К и функции Ф: € Яв-

Из следствия 3.3 вытекает

Следствие 3.4. Пусть ( € С, € С \ {£} 3 € N и 0 ^ (при 3 ^ Предположим, что существует число А^ € N такое, что при всех 3 € N найдутся функции Ф^. ^ € Я^^), ц = 1,...,А^ , образующие ортонормированную систему (в Яв)• Тогда, существуют подпоследовательность V € N и ортонормированная систем а функций Ф^ , ц = 1,..., А^ , т,а,кие, что Ф^. ^ ^ Ф^) при V ^ для всех ц = 1,..., А^ .

Лемма 3.3. Пусть € С, Ф^. € Я:((7), 3 € N и О ^ С € С, Ф^. ^ Ф: € Яв при

3 ^ Тогда Ф: € Ят(С) и ^Ф^. ^ ^ Ф:, VФ^. ^ VФ: при

3 ^

Доказательство. В силу следствия 3.2 множество {■( Ф (: 3 € М} предкомиакт-но (в Нд). Если , V € М, — подпоследовательность, для которой подпоследовательность функций Zц:Ф Т сходится (а такая подпоследовательность существует в силу предкомпакт-

ности множества {^Ф^: 3 € М}), то из замкнутости оператора Zт следует, что Ф Т € НД и Ф ( — Ф ^и V — +го. Поэтому все сходящиеся подпоследовательпости Ф ( сходятся к Ф Т и, следовательно (в силу предкомпактпости множества {^рФТ : 3 € М}), ZТФ ( — -2гФТ при 3 — +го. Теперь докажем предкомпактность множества Ф Т.: 3 € М}.

Допустим противное. Тогда найдутся числа С > 0 и С ^ С, а также подпоследовательность V € М, такие, что подпоследовательность функций ^^Ф^ при V — +го слабо

сходится к пулевой функции (в Нд) и С ^ ФТ ||д ^ С при всех V € М (существование

числа С вытекает из следствия 3.1). Но тогда Н-^рФТ ||д • ||^+ ^-ФТ ||-1 — 0 и (см. (3.1))

IVФ Т IIД • 11^+^-Ф Т 11Д1 — 0 при V — + го. Поэтому при всех достаточно больших V € М равенство

+ в + V) ф з = -0„ ^ Фр^

выполняться не может. Полученное противоречие показывает, что рассматриваемое множество ^Ф Т : 3 € М} предкомпактно. Тогда, как и выше (когда рассматривалась последовательность функций ZтФ Т.)) учитывая предкомпактность множества ^Ф Т.: 3 € М} и замкнутость оператора получаем, что ФТ € НД и ^Ф ^ — ^Ф Т при 3 — +го. При этом из полученных утверждений и равенств ^ + + В + V)Ф Т =0 3 € М, принимая

во внимание ограниченность множества {^ФТ : 3 € М}, также следует, что V Ф Т — VФ Т при 3 — +го. □

Л е м м а 3.4. Пусть ( € С, € С\{£}, 3 € М и — С при 3 — +го. Предположим, что существует число А( € М такое, что АД^) ^ Ар при всех 3 € М. Тогда,

А( < АДС) < Ат(С).

Доказательство. Из условий леммы 3.4 следует, что для любого 3 € М найдется ор-тонормированная система функций Ф Т. ^ € НД^) ^ = 1,..., Ар . В силу следствия 3.4 существуют подпоследовательность V € М, и ортонормированная система функций Ф^) € Нд, ^ = 1,..., Ар, такие, что Ф Т. ^ — Ф^ при V — +го. Но тогда из леммы 3.3 (и следствия 3.1) получаем, что Ф ^ € НД и ДДС)Ф= 0, поэтому Ф^ € НДС) и) следовательно, Ф ^ € Нр(С) при всех ц = 1,..., А( . Последнее означавт, что А( ^ А/Т (С) ^ Ар (С). □

Из леммы 3.4, в частности, следует, что Ар(£) ^ 1 для всех ( € С.

Обозначим иг(() = {(' € С: |С' ~С1 < йг(() = {(' € С: \(' - (\ < г}, ( € С, г > 0.

Следствие 3.5. Для любого ( € С существует число г > 0 такое, ч,то А((С') ^ < А/Т (С) < А((С) при вс ех С' € иг (С )•

Следствие 3.6. Для любого непустого ком,пакт,а, К С С существует ч исло Ар [К] € М такое, что АДС) ^ Ар [К] для ее еж ^ € К.

Лемма 3.5. Для любого числа, £ € С существует констант,а, Ср > 0 такая, что для всех функций Ф € НД П ^ справедлива оценка

||Ят(С)ф||д ^ Ф||д.

Доказательство. Допустим противное. Тогда найдутся функции Ф Т) € НД п(Нр (С)) ^ IIФ Т)|Д = 1 3 € М, для которых

|н?т(0ф(.)||д = - в + V + с^т)ф(т-)|д = 0(1) ||£-^ф(т-)Нд (3.3)

при 3 — +го, и, следовательно (см. (3.1)), для всех 3 € N

||._.+Ф:)|в < Со + С1||.:Ф^^^Нв,

где константы Со > 0 и С1 > 0 не зависят от 3. В силу леммы 3.2 существует константа С' > 0 такая, что

||._.+ Ф:)|в < С3 € N. (3.4)

Поэтому (см. следствие 3.2) (Ф:): 3 € N и Ф^: 3 € N — предкомпактные множества (в Яв)- Можно считать (переходя, если нужно, к подпоследовательности Ф^. у V € N), что Ф:) — Ф^ € Яв и сходится последовательность .^Ф^) . Так как оператор замкнут, то Ф: € Яв и — Ф: при 3 — +го. Далее, аналогично доказательству леммы 3.3

из (3.3), (3.4) и замкнутости оператора .+ получаем, что множество {._ .+Ф:.) : 3 € ^ предкомпактно в Яв и, следовательно, Ф: € Яв и .+Ф^.) — ._.+ Ф: при 3 — +го. Тогда также (Ф: — Ф:))||в — 0 (см. (3.1)) и, значит, Я?:(С)Ф:) — Ят(С)Ф: ПРИ 3 — +го. Но из (3.3) и (3.4) вытекает, что ||Я:(С)Ф:.)||в — 0 при 3 — + го. Поэтому ЯТ(С)Ф: = 0 (то есть Ф: € Я: (С))• С другой стороны, из выбора последовательности Ф:-), 3 € N следует, что ||Ф:||в = 1 и Ф: € (Я^(С))Полученное противоречие доказывает лемму 3.5. □

Следствие 3.7. Пусть ( € С, Ф: € Яв п(Я:(С )) ± и Ф^ € Яв п(Я:(С )) \ 3 € N. Яред-положим, что Я:(С)Ф:) — Я^(С)Ф: при 3 — +го. Тогда также Ф^.) — Ф:; .^Ф^-) — Ф: и ._.+Ф:) — ._.+Ф: при 3 — +го.

Доказательство. Из леммы 3.5 следует, что

С:||._.+ (Ф: — Ф:.))|в < ||ЯТ(С)(Ф: — Ф^Нв — 0

при 3 — +го. Поэтому — -+Ф:. С другой стороны, из (2.1) для всех Ф € Яв

вытекаеют оценки

||ф||в < у/2в\\г+ф\\в < 2в\\г_г+ф\\в, ||^-Ф||в < \\г+ф\\в, (3.5)

с помощью которых получаем, что также Ф:.) — Ф: и Ф:.) — при 3 — +го. След-

□

Пусть Р:(С), С € С — ортогональный проектор в Яв на подпространство Я^(С)- В дальнейшем через / будет обозначаться единичный оператор в Яв-

Если Ф € Яв, то для всех С € ^шже Яэ:(()Ф € ЯТ(С) С Я^, поэтому (/ — Яэ:(())Ф € Яв>

Л е м м а 3.6. Для любых Со € С м е € (0,1) существует число г > 0 такое, что для всех С € иг (Со) и Ф: € Я^(С) выполняется неравенство

||(/ — (Со))Ф:||в < е ||Ф:||в. (3.6)

Более того, если для какого-либо С € Цг (Со) справедливо равенство Ар (С) = Ар(Со)> то для всех Ф^ € ЯТ(Со) также выполняется неравенство

\\(Т-РТ(0)*1\\в < з-^ИФРв.

Доказательство. Предположим, что не существует числа г > 0 такого, что для всех С € Цг(Со) и Ф^ € Я:(С) выполняется неравенство (3.6). Тогда найдутся последовательность О — Со и фушацт Ф:. € Я:(С;), ||Ф:. ||в = 1 3 € N такие, что (для всех 3 € N

||(/ — (Со))Ф^=.||в > е (3.7)

(в этом случае С? = Со) 3 € М). Из неравенств (3.7), (3.5) и леммы 3.5 следуют оценки

ю - СоН^тФ Т 11д = 1|Ят(Со)Ф ТIIд = ||ядсо)(р- рТ(Со))фТIIд ^ , ^

^ СД^Р-Я+(Р - РТ(Со))Ф(. ||д ^ 2ВСД|(Р - РТ(Со))Фр^. ||д > 2ВСр£, 3 € М.

С другой стороны, из следствия 3.1 (или следствия 3.2) получаем, что !■+ ■р-Ф р1||д ^ С1, 3 € М, где число С1 > 0 не зависит от 3'. Но последние неравенства (при достаточно большом 3) противоречат оценкам (3.8). Полученное противоречие доказывает существование требуемого числа г > 0. Далее, для всех £ € иг(Со) (так как е € (0,1)) из (3.6) следует, что не существует ненулевой функции Ф ( € Нр(С) П (НДСо))Поэтому если АДС) = АДСо) для некоторого С € иг(Со) то для любой функции Фр € НДСо) найдется функция Ф ( € НДС) такая, что Ф ^ = РТ(Со)ФТ, при этом

IIФ То 11д > IфТ!д - 11(р- Р5т(Со))Ф(!д > (1 - е)||Ф Т||д.

Следовательно,

||(р- Р5т(С))ф То 11д < IФ То - фТ!д = !(Р- РРТ(Со))Ф(Нд < е IIФТ||д < е(1 - е)-1||ФТ||д.

□

Следующая лемма усиливает лемму 3.5.

Л е м м а 3.7. Для любого Со € С существуют число г > 0 и констант,а Ср > 0 такие, что для всех С € иг (Со) , для которых Ар (С) = Ар (Со); и всех функций Ф

€ НД П (НДС))^

выполняется неравенство

||ЯДС)Ф||д ^ СД^-■+ Ф||д.

Доказательство. Допустим противное. Тогда найдутся числа С? € С \ {Со} и функции € НД П (НДСо)) , 3 € М, Для которых IIФ (р) I д = 1, Ар (С?) = АД Со) и при этом С? — Со и

ЦЯДО)ФрЦд = Ц(£-2+ - В + V + 0■()ФрЦд = 0(1) ■+ Ф^Цд (3.9)

при 3 — +го. Используя лемму 3.2, аналогично доказательству леммы 3.5 получаем, что для некоторой константы С' > 0 (не зависящей от 3') справедливы оценки Н-Р--Р+ ФТ)Нд ^ С

3 € М, и существует фупкция Ф Т € НД такая, что НФт||д = 1 и Ф — Ф Т, Ф — Ф Т, ■р-■+ Ф() — ■р--р+ ФТ и VФ() — VФТ при 3 — +го. Следовательно, ЯДС?)ФТ) — ЯДСо)ФТ. С другой стороны, из (3.9) вытекает, что ЦЯДС?)ФТ) Нд — 0 при 3 — + го. Поэтому ДДСо)ФТ = 0 и, значит, Ф Т € НДСо)- Тогда из леммы 3.6 следует, что для любого е' € (0,1) при всех достаточно больших 3 ^ 3о(е') € М выполняется неравенство Н(Р - -рТ(С?))ФТНд ^ еоткуда

|( ФТ, Ф (5))д| = |( ФТ, (р- рТ(С?))Фг))д| = |((р- р5т(С?))ФТ, Фг))д| ^ е'. (3.10)

Но |(Ф Т, Ф Т))д| — НФ ТНд = 1 при 3 — +го, что противоречит оценке (3.10), которая должна выполняться при всех 3 ^ 3о(е')• Полученное противоречие доказывает лемму 3.7. □

Частным случаем следующей леммы является следствие 3.7, которое используется при доказательстве леммы 3.8.

Л е м м а 3.8. Пусть 0 € С, Ф() € НД П (НДС?))\ АД О) = А^(Со), 3 € и С? — Со, ЯДО) Ф(р-) — ЯД Со) Ф^ при 3 — +го. Тогда также Ф^ — Ф^, Ф^ — фТ,); ■+ Ф* — ■-■+ ФТо) м VФ — VФ То) при 3 — +го.

Доказательство. В силу следствия 3.7 можно ограничиться только случаем, когда С; € С\((о}, 3 € N. Из леммы 3.7 следует, что

н._.+Ф:||в < с: , 3 € (з.11)

где константа С^ > 0 не зависит от 3- Поэтому (см. (3.5)) множества (Ф:-): 3 € 2+} и (■:Ф:.): 3 € 2+} ограничены и, более того, предкомпактны в Яв- Так как

Я:(Со )(ФГо) — — ** (Со))Ф5-)) = ЯЯ: (Со) (Ф(о) — Ф:)) = = (Я^Со^о) — Я?: (0)Ф:-)) + (0 — Со)^.)

и правая часть последнего равенства стремится в Яв к нулевой функции при 3 — +го, то из следствия 3.7, в частности, получаем, что (/ — Р:((о))Ф:) — Ф^) при 3 — +го. С другой стороны, справедливы оценки

||Ф5,||в < ||(/ — я5:(со))Ф:.)|в + ||(/ — я5:(О))я5:«о)Ф5)|в, 3 € N.

и при этом (в силу леммы (3.6)) ||(/ — Я^С^Я^С^Ф^;.)||в — 0 Поэтому ||Яз:(Со)Ф:)|в — 0 и, следовательно, Ф:) — Ф^) при 3 — +го. Тогда так же ¿^^Ф^) — ¿^^Ф^о). Действительно, если Ф: у V € N, — какая-либо сходящаяся подпоследовательность (а такие подпоследовательности существуют в силу предкомпактности множества (.:Ф:.): 3 € 2+}), то из замкнутости оператора следует, что ее предел сов падает с Ф(о)> а так как эт0 справедливо для всех сходящихся подпоследовательностей (и множество ): 3 € 2+} предкомпакт-

но), то — —:Ф(о^ Теперь го (3.1) и (3.11) следует, что VФ:.) — VФ(о)) а так как

Я7:(С;)Ф:) — Я^С^Ф^), т0 также ¿7+Ф:) — ■_.+Ф(о) ПРИ 3 — +го. Лемма 3.8 доказа-

□

Обозначим Я± = и Я±(()• Справедливо равенство Я± = П 1т Я^ (().

С е С С е с

Л е м м а 3.9. Пусть (о € С, С; € С \ ((о}; N^(0) = Ар(Со) для всех 3 € N и С; — (о прм 3 — +го. Тогда для любой функции Ф € Я± существует функция х € Яв П (Я^(Со)) такая, что Я?:(Со)х = Ф? и для нее х € Я±.

Доказательство. Так как Ф € 1тЯ:(£) для всех £ € С, то найдутся функции Хз £Н2в п {нт{О))"1, для которых = + 5 + У + О^)*,- = Ф, 3 € N. По-

ложим х = Хо- Для всех (ёСи Ф^ е Я±(£)

о = (ф±ф)в = (ф^нТ(0х3)в + (О-О(ф^^)в = (0-с Щ,гтХз)в

и, следовательно, при всех достаточно больших 3 (при = С)

(Ф^,^х,)б = 0. (3.12)

Из леммы 3.8 следует, что х; — X ПРИ 3 — +го, поэтому из (3.12) также получаем, что (Ф^, 2Тх)в = 0 (для всех (еСи всех Ф^ е Я±(()). □

Теорема 3.1. Пусть (о € С, € С \ ((о} А:(0) = Ат((о) 3 € N и 0 — Со при 3 — +го. Тогда для любой функции Ф^ € Я±((о) существуют функции х^'€ Яв П (Я:((о)) для которых

\\гТх1и)\\в < Ц^ФТцв, (3.13)

Нх^Нв < \\^1\\в, (3.14)

где Ср = СДСо) > 0 — константа из леммы (3.5), и, обозначая (о) = Ф ( ,

Н?т(Со)%Т0'(з) = -■тхТо (?-1), 3 € N.

При этом ряд

ФТ& = ФТо + Е(С - Со)?Хр 3 (3.15)

3 = 1

сходится, в Нд абсолютно и равномерно при С € (Со) для любого числа,

Ср € (0, у/2В СТ)

и определяет, аналитическую функцию

для которой Фр;Со € НДС) « Со " ФСо 6 (?МСо))\ С € £^2ВСТ(Со)-

Доказательство. Из лемм 3.1 и 3.6 следует, что = 0 для всех С € С

и Ф^ € НДС)) поэтому ДрФ^ € Н±. Обозначив = , с помощью леммы 3.9 по-

следовательно при 3 = 1, 2,... определим функции хро' (3) € НД П (Нр(Со))\ для которых

ЯДСо)хТ;(?) = -■ТхТ'(з-1) и ■рТхТ' (з) € Н^. Так как х('(з) € (НДСо))\ то из леммы 3.5 вытекают неравенства

Н^хТо(з-1)Нд = Нн?т(Со)хТ0'(з)Нд > СтН-р--р+хТ'(з)Нд, 3 € N. (з.1б)

Используя (3.5), из (3.16) получаем

\\гТх1и~1)\\в > ^вст\\гтх1^\\в, зем,

и, следовательно, справедливы оценки (3.13). Из (3.5), (3.13) и (3.16) также следуют оценки (3.14):

НхТо'(3)Нд < (2В)-1 ■+хТо'(з)Нд < (2ВСр)-1 х(0'(з-1)Нд <

Д, 3 € М

При всех N € N определим функции

N

и^всТ(Со) э с ^ = ФТ + £(с -

3 = 1

и пусть Ф^Сс!^ = ФСо всех С ^ иу2Дст(Со)- И3 (3.14) следует, что функции 17у2Дст(Со) Э С ^ н->■ Фр^^ € Нд сходятся при n +оо к функции 17^вст (Со) Э С ^ ^Тсо' ПРИ этом РЯД (3-15) сходится в Нд абсолютно и равномерно при С € 17с^(Со) для любого числа С^ € (0, у/2ВСД. Поэтому функция 17^2Дст(Со) Э С 1—^ Ф^Со является аналитической. Для всех n € N

Ят(Со)ФТ'Г} = -(С - Со) ■РтФ-1},

откуда

н?т(с)ФТ'сГ} = (С - Со) } - (С - Со) ■тФ-1} = (С - cо)N+1 ■тхТ{N}.

Следовательно (см. (3.13)), при всех N €

\\Йт(СН'Г\\в < 1С - СоГ+1 {^2ВСТ)-Ы Ц^Ф^Цв.

Последние неравенства означают, что ||Яр(С)Ф }1в — 0 при N — Тогда из замкнутости оператора получаем, что € Яр(С) (для всех С € и^¿вс^ (Со))- Условие

Ф^Р— Ф р ^ (Н р(Со))^ является следствием выбора функций Хр^ € НВ П (Нр(Со))\ 3 € N. Теорема 3.1 доказана. □

Следствие 3.8. Если (о € С, € С \ {Со} Ар (О) = Ар ((о) 3 € N и — (о при 3 — то существует число г > 0 такое, что Ар (С) = Ар (С) = Ар (Со) = Ар (Со) для всеж С € иг(Со).

Обозначим Мр(N) = {С € С: Ар(С) = N}, N € N. Л е м м а 3.10. Существует число Ар € N такое, что

(1) Мр = Мр(Ар) — открытое линейно связное множество (облаеть) в С,

(2) Мр ^) = 0 при N < Ар ,

(3) при N > Ар множест,во Мр(^ либо конечное (или пустое), либо счетное.

Доказательство. Обозначим Мр^^) = Мр^) П иа(0), где а > 0 N € N. Для каждого а > 0 при всех достаточно больших N множество Мр^^) пустое (см. следствие 3.6).

Пусть (при заданном а > 0) Ара) — наибольшее число N € N для которого множество несчетное. Так как, возможно, за исключением конечного или счетного множества чисел из Мр° (А^), каждое оставшееся число множества Мр') (Ара)) является для него предельным,

то существуют числа Со € иа(0) и ^ € иа(0)\{Со}, 3 € N такие, что Ар(^) = Ар(Со) = Ара) и Zj — Со ПРИ 3 — Тогда из следствия 3.8 получаем, что существует число г > 0 такое, что иг (Со) ^ иа(0) и для всех С € иг (Со) также Ар (С) = А^. Покажем, что Мр') (N) = 0 при всех N < Ара). Допустим противное. Предположим, что существует число /о € иа(0), для которого Ар (Со) < Ара). Из определения числа Ара) следует, что можно выбрать число Со' € иг (Со) такое, что Ар (С (¿)) ^ Ара) для всех £ € [0,1], где С (¿) = (1 — ¿)Со + ¿Со- Пусть

¿о = ^ {£ € [0,1] : Ар (С(¿)) < Ара)}.

Так как Со' € Ц. (Со), то ¿о € (0,1]. Если Ар (С (¿о)) = А^, то Ар (С (¿)) = А^0 для всех £ € [0,£о ] и, следовательно (см. следствие 3.8), существует число е > 0 такое, ч то Ар (С (¿)) = Ара) для всех £ € [¿о, ¿о+е], что противоречит выбор у числа ¿о. С другой стороны, если Ар (С (¿о)) < Ара), то существует число е > 0 (см. следствие 3.5) такое, что Ар (С (¿)) < Ара) для всех £ € [¿о — е, ¿о], что также противоречит выбору числа ¿о- Поэтому нет чисел /о € иа(0), для которых Ар (Со) < Ара) и, следовател ьно, Ар (С) ^ Ара) для всех С € С/а(0). Есл и Ь > а, то из определения чисел Ар^ Арь) следует неравенство Ара) ^ Ар^. Но тогда (как доказано выше) Ар ( С) ^ Арь) для всех

с € Ц, (0) Поэтому Ара) ^ Арь) и, следовательно, Ара) = Арь). ПустЬ Ар = Ара) для некоторого (и, значит, для всех) а > 0. Тогда Ар (С) ^ Ар для всех С € Си, кроме того, при N > Ар множества Мр^) = У Мрга)(N) либо конечные (или пустые), либо счетные.

т

Осталось доказать, что множество Мр открыто (его линейная связность вытекает из того, что его дополнение (в С) не более чем счетно). Если Со € Мр (Ар), то Ар (С) ^ Ар = Ар (Со) для всех С € С. С другой стороны, из следствия 3.5 получаем, что существует число г > 0 такое, что Ар (С) ^ Ар (Со) для всех С € иг (Со). Следовательно, иг (Со) ^ Мр (Ар), что и доказывает открытость множества Мр. □

Из теоремы 3.1 и леммы 3.10 вытекает

Следствие 3.9. Для всех С € Мр справедливо равенство Ар( С) = Ар( С) (и, следовательно, Нр (С) = Нр (С))-

Обозначим через ^т(С), С € С, резольвентное множество оператора Яр(С), то есть такое множество чисел Л € С, для которых резольвента (ЯДС) - Лр)-1 является ограниченным оператором, определенным на всем пространстве Нд. Так как резольвента — компактный оператор (что следует из (3.1)), то операторы Яр((), ( € С, имеют дискретный спектр, состоящий из как-то перенумерованных (вообще говоря, независимо для разных С) собственных значений Л((С) € С V € М, с учетом их (геометрической ) кратности (и можно считать, что Л((С) = 0 для всех V = 1,..., Ар и С € С). Резольвентное множество (С) совпадает с дополнением в С множества собственных значений Л((С), V € М, оператора ЯДС)•

Если А^ € 71т((), С € С (в этом случае Л^ ф 0), и —(Л^)-1 — собственное значение резольвенты (Я=р(С) — А^/)-1, то из теоремы Фредгольма следует, что А^ € 7^±(С) и — (^=|=)_1 — собственное значение резольвенты (Я±(С) — А^/)-1, при этом (геометрические) кратности собственных значений совпадают (и резольвента (Я±(С) — А^/)-1 является сопряженным оператором к резольвенте (Нт(() — Хт1)~1). Поэтому Л/+(С) = А/*_(С) Для всех ( е С и (см. также лемму 3.10) справедлива

Л е м м а 3.11. ШТ± = {(: ( € ШТ^} и = М-.

В дальнейшем предполагается, что число А = А- = А+ и множества Мр = Мр(А) выбираются в соответствии с леммой 3.10.

Пусть (о € С \ Мр и 7 — простой гладкий замкнутый контур в С (ориентированный против часовой стрелки), лежащий в резольвентном множестве (Со) и охватывающий единственное собственное значение Л = 0 (Л((Со) = ... = Л((Со) = 0) оператора Ят((о)- Так как резольвента (Ят(С) - Лр)-1, Л € 7, непрерывно (в операторной норме) зависит от £ из некоторой достаточно малой окрестности числа (о и непрерывная зависимость равномерна по всем Л € 7, то существует число г > 0 такое, что для всех ( € иг (Со) имеет место вложение 7 С (С), и ТОгда для чисел С € иг (Со) определен проектор Рисса:

1

^ =-55«Г1

Область значений со) проектора — конечномерное линейное подпространство соб-

ственных и присоединенных функций оператора ЯДС) отвечающих собственным значениям Л(р(С), находящимся внутри контура 7. Пусть МТ = МТ(Со) — размерность подпространства Я(7рГ) С Нд (не зависящая от С € иг (Со) и равная алгебраической кратности собственного значения Л = 0 оператора Ят(Со)); МТ(Со) ^ Ар(Со) > А. Выберем некоторый ортонор-мироваииый базис Ф( , ц = 1,..., МТ, в Д(Р>Т )• Для любого е € (0,1) при достаточно малом

г = г(е) > 0 функции Ф((С) = р^ФТ , ^ = 1,..., МТ, С € иг(Со), образуют некоторый базис в Д(ТР(Т^о )> и ПРИ этом

1 - ёе^ ((Фр!, Фт(С))д=1) < е, (3.17)

где ((ФТ1, ФТ(С))д)М ^ = 1 — (МТ х МТ)-матрица, та пересечении ^1-й строки и ^-го столбца которой стоит скалярное произведение (Ф(Т , Ф((С)) д- Пусть г = г(1/2^ и РрТ — ортогональный проектор (в Нд) на подпространство )• Отображение

и(Со) э с — 2ТСо = рТ Ят(С) рРТСо

является аналитической операторнозначной функцией, для которой (в силу (3.17) при е = Р(2Т£о) = Я(РСТ со) ПРИ всех С € иг(Со)• Аналитическими функциями являются также матричные элементы:

и(Со) э С — ^(ССо) = (ФТ1,ОТСоФТ)д € С, ^ = 1,...,МТ.

Тогда, учитывая (3.17) при е = для всех £ € 11г((о), г = /2), получаем, что включение

2

M т

ф j(Z) = Е ^(Z)фj(Z) G H р(Z), (3.18)

ß = 1

где cj(Z) G C, выполняется тогда и только тогда, когда

MT Mт

E^i ß(Z,Zo) cj (Z )= (ф Î , Q^o E cj (Z )Ф = 0, ß = 1,...,M (3.19)

ß =1 ß = 1

Матрица (dß1ß(Z,Z0))M^ß = 1 ПРИ всех Z G Ur(Z0) П Mj имеет ранг M ^ — N G N.

Справедлива простая

Лемма 3.12. Пусть Ur(0) Э z ^ D(z) — аналитическая (M х M)-матричнозначная функция (с матричными элементами Dß1 ß(z) G C) r > 0 M G N. Тогда, для, некоторого (достаточно малого) числa r0 G (0, r] все матрицы, D(z), z G Uro (0) \ {0} имеют одинаковый ранг M Более m,ого, при M ' < M существуют аналитические вектор-функции

Uro(0) Э z ^ C(1)(z) = (c11)(z),...,cMM)(z)) G CM, l = 1,...,M — M

такие, что при всех z G Uro(0) \ {0} векторы, C(1)(z); l = 1,..., M — M', линейно независимы в CM и для, всex z G Uro (0) и всех l = 1,..., M — M '

M

Ed ß1 ß (z) Cß1) = 0, ß = 1,..., M.

ß = 1

Так как (при Z G Ur(Zo) и r = r(1/2)) функции Ф G Hb принадлежат Hj(Z) тогда и только тогда, когда они представимы в виде (3.18) и для коэффициентов cj(Z), ß = 1,...,M =F, выполняются равенства (3.19), то из леммы 3.12 следует, что N^1 (Z) — одно и то же число для всех Z G Uro(Zo) \ {Z0} (при выборе некоторого r0 G (0, r]). Но (см. лемму 3.10) Uro(Z0) n Mj = 0 (для всех r0 > 0). Поэтому N^(Z) = N^ = N для всех Z G Uro(Z0) \{Z0} и, значит, Uro (Z0) \ {Z0} G M=p Так как число Z0 G C \ Mj выбирается любым, то из полученного утверждения и леммы 3.10 вытекает

C \ M ( ) (

)

Следствие 3.10 дополняет лемму 3.10.

Следствие 3.11. Для любого Zo G C \ Mj существ уют число r0 > 0 (для которого Uro \ {Z0} G Mj) и аналитические функции

Uro(Z0) Э Z ^ Ф^(0 G Hj(Z), l = 1,N,

такие, что при всех Z G Uro(Zo) \ {Zo} функцuu Ф^'(1) образуют базuc в H j(Z)•

Замечание 1. Следствие 3.11 справедливо для всех Zo G C. Но в слу чае Zo G MT более сильным утверждением является теорема 3.1.

Для всех Z G Mj выберем в H j(Z) какие-либо ортонормированные базисы функций E^'(1), l = 1,..., N. Для Z, Z ' G Mj обозначим

Ajz '

det ((Ef '(1),EJ;(1VN

1,1 '=1

При этом A j z' не зависит от выбора ортонормированных базисов в H j (Z) и H j (Z '), функция Mj х Mj Э (Z, Z ') ^ A j z' непрерывна, A ' = Az G [0,1] для всех Z, Z ' G Mj и A = 1

для всех Z € Mf . Равенство Af z' = 0 выполняется тогда и только тогда, когда существует

ненулевая функция Ф f € Hf(Z) П (Hf(Z ')) Для чисел Z' € Mf обозначим

Mf(Z') = (С € Mf : Af z' = 0}.

Л е м м а 3.13. Множества Mf (Z'), Z' € Mf , те имеют предельных точек в Mf.

Доказательство. Допустим противное. Пусть Zi € Mf — предельная точка какого-либо множества Mf (Z'), Z' € Mf. Выберем некоторые ортонормированные базисы Ed '(/l)

m (/')

и , l1,l' = 1,...,N в подпространствах Hf(Zi) и НДС') соответственно. Из теоре-

мы 3.1 следует существование числа r > 0 такого, что Ur(Zi) С Mf, и аналитических функций Ur(Zi) Э Z ^ Ф f '(/l) € Hf (Z) С Нб , для которых Ф f(/l) = Ed '(/l), l1 = 1,...,N, и при этом

ф f ' (/i) _ Ef '(/l)

€ (Hf(Zi)) для всех Z € Ur(Zi) (и li = 1,...,N). Следовательно, для всех Z € Ur(Zi) функции Ф f '(/l), li = 1,...,N, образуют некоторый базис в Hf(Z)• Функции

Ur(Zi) Э Z ^ Fzf (Z) = det ((e((/'), Ф(' (/l))B) Nf/l = i € C

являются аналитическими, и из определения чисел Af £' получаем, что Af z' = AP1' z = 0 тогда и только тогда, когда Fzf (Z) = 0 Z € Ur(Zi)• Так как Zi — предельная точка множества Mf (Z'), то Ezf (Z) = 0 и, следовательно, АрД' = 0 для всех Z € Ur(Z0- Поэтому множество Mf вместе с каждой предельной точкой Zi множества Mf(Z') должно содержать некоторый открытый круг Ur(Zi) С Mf (Z'), r > 0. Откуда следует, что Mf = Mf(Z') и, в частности, Z' € Mf(Z')• Но последнее включение противоречит равенству AP1' £' = 1- Полученное противоречие доказывает лемму 3.13.

Л е м м а 3.14. Для любого Z' € Mf точк и Zo € C \ Mf не являются предельными т очкам и множества Mf (Z ')•

m (/')

Доказательство. Пусть Е£7 , l' = 1,..., N, — некоторый ортонормироваппый базис в подпространстве Hf(Z'), Z' € Mf. Для любой точки Zo € C \ Mf в соответствии со следствием 3.11 можно выбрать число r0 = r0(Z0) > 0, для которого Ur0 (Z0) \ (Z0} С Mf, и аналитические функции Ur0 (Z0) Э Z ^ Ф f'(/) € Hf(Z), l = 1,..., N такие, что при всех Z € Ur0 (Z0) \ (Z0 } функции Ф( '(/) образуют базис в Hf (Z)• Для всех Z € Ur0 (Z0) \ (Z0 } равенство Af £' (= Af' £) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда F"zf (Z) = 0, где

Ur(Z0) Э Z ^ Ff(Z) = det ((Ef'(/'), Фf '(/))b)NN/ =i € C

— аналитическая функция2. Если точка Z0 € C \ Mf является предельной точкой множества Mf (Z'), то Fzf (Z) = 0 при всех Z € Ur0(Z0)• В этом случае Ur0(Z0) \(Z0} С M f (Z'), что противоречит лемме 3.13. Поэтому все точки Z0 € C \ Mf не являются предельными точками множества Mf (Z')• Лемма 3.14 доказана. □

Из лемм 3.13 и 3.14 непосредственно вытекает

Следствие 3.12. Множества Mf (Z'), Z' € Mf не имеют (конечных) предельных то-C

Лемма 3.15. Пусть Z' € Mf и Z € Mf\M=(= (Z')• Тогда, для, любой функции х € Нб найдется (единственная) функция х' € (Н f (Z'))^ такая, что х' _ X € Н f (Z)• При этом

УХ'||b < (N + 1)(Afz')-1||х11в.

2Для этой функции, как и для функций ', выбраны такие же обозначения, как и в доказательстве леммы 3.13 для других функций. Но использование таких обозначений делает доказательство леммы 3.14 аналогичным доказательству леммы 3.13.

Доказательство. Пусть ЕТ'(1) и Е^'(1 \ 1,1' = 1,...,А, — некоторые ортонормиро-ванные базисы в Н=р (С) и Н=р (С') соответственно. Тогда условие х' — х € Н=р(С) эквивалентно

выполнению равенства х' = X + Е сТ ЕТ , где с^ € С и условие х' € (Н=р(С')) означает,

1 = 1 ^

что для всех I' = 1,..., N

N

(е£7 (1 ,),ЕС^' (1))в = —(Ес^'(1 ,),х)в. (3.20)

1 = 1

Так

как А > 0, то из уравнений (3.20) однозначно определяются коэффициенты сТ и, следовательно, однозначно определяется функция х '• Модули всех алгебраических дополнений элементов матрицы ((Е^7(1 ),Е^'(1))в)/Уг = 1 не превосходят 1, поэтому модули всех элементов обратной к ней матрицы не превосходят (А ')-15 откуда

С 'С

N

"в < N(АТС,)-1 (С')хУв < N(АТС,)-1 УхУв,

ЕсТ ЕТ'(1) 1 = 1

N

Ух'||в < УхУв + || ЕсТЕТ'(1) |Б < (А + 1)(АТС,)-1 УхУв. 1 = 1

Лемма 3.15 доказана. □

Теорема 3.2. Пусть С' € М=р Тогда для л,юбой функции ФТ € Н=р(С') существует аналитическая функция Мф\М=р(С') Э С ^ Ф Тс € Нф(С) С Нв такая, что Ф Т ^ = Ф Т' и ФТС' — ФТ € (Нт(С'))Х при всеж ( € М\МТ(С')•

Доказательство. Зафиксируем (ненулевую) функцию Ф Т € Н т (С'), С' € М=р, и пусть Со € Мт\М=р(С')• Для каждой функции Ф Т € Н=р(Со) в соответствии с теоремой 3.1 выберем функции х ) € НВ П (Н=р((о)) \ j € М, для которых

ЫхТо'00 = —хТо'(^-1), j € N

(где х Т0'(О) = Ф С0)" При этом справедливы оценки (3.13) и (3.14), в которых фигурирует константа СТ = СТ(Со) из леммы 3.53. В дальнейшем, чтобы подчеркнуть, для каких функций Ф^

определяются функции х Т'0\ будет также использоваться обозначение х Т'0) = хТ' 0){Фто j €

Для всех Ф ТО € Н т (С0)

У^ТФТоУв < С УФТоУв, (3.21)

где С = С(Со) > 0. (И из следствия 3.1 (и (3.5)), в частности, вытекает, что для любого компакта К С Мт(С') константу С > 0 можно выбрать независимо от С € К.) Из (3.14) и (3.21) получаем

Ух ТО'00 Ув < сс— УФ Т Ув, j € М, (3.22)

где с = тах{1, (2В)~ъ С) и сТ = тт{1, л/2ВСТ}. Обозначим Ф^ ^ = Ф^ (= Хр'и в соответствии с леммой 3.15 последовательно при j = 1, 2,... определим функции Ф^Т'0) € Н=р(Со) так, что (при всех j € М)

(0) =

(3 23)

= хТо' (0){Ф То'(о) } + хТо' 0-1){ФТо'(1)} + ... + хТо' (1){ФТо'(0-1)} + Ф То'(0) € (Нт (С '))Х

3Из леммы 3.7 следует, что для любого компакта К С ') найдется константа СТ = Ст [К] > 0,

для которой при всех £ £ К и Ф £ Нв П (С)) имеет место оценка \\Д"Т(£)Ф\\в ^ СТ \\25-%+Ф\\в (то есть в условиях леммы 3.5 можно выбрать одну и ту же константу С^ для всех £ £ К).

Из леммы 3.15 и (3.22) следуют оценки

IIф^3)Нв < + 1)(ДТ ,с')-1 ■

■ (НхТо,('){фТ(0)}|в + ихт,(>'-1){фТо'(1)}Нв + ••• + 11хТо,(1){фТ(>-1)>»в) <

< + 1)(ДТо>с')-1 (с-3 Iфт,(0)||в + с-?+1 |фТ(1)||в + ••• + с-1 IIф То'(з-1)!в), 3 е N.

(3.24)

Воспользуемся следующей простой леммой.

Л е м м а 3.16. Пусть а ^ 1, с > 0 и для чисел ж3- > 0 3 е выполняются неравенства

а (хо хЛ ^ /хп ж,_1

Ж1^-Ж0, ж2 ^ а Н--, ..., ж,а —- + ...+ ——

с \ с2 с ) \ с3 с

Тогда ж,- ^ 2-7"1 (^)3ж0 для всех 3 € N.

Из (3.24) и леммы 3.16 вытекают неравенства

IфТ^Нв < 23-1 (Ф(^ + 1) с-1 (ДТ>сО"1)3 |фТ|в, 3 е N• (3.25)

Следовательно (см. (3.23)),

ЗО^Нв < Фс-3 Нф т(0)Нв + Фс-3+1 Нф Т(1)Нв + ••• + Фс-1 Нф Т(з-1)Нв + Нф то'(3)

< 2Ф(2(^ + 1)Фс-1 (ДТс)"^' НФТоНв, 3 е N

Из этих оценок, обозначив гТ = гТ(С', С0) = + 1) Ф) 1 с=р Д ¡Т ^' > 0 и выбрав число

г Т = г Т(^Со) е (0, Г0Г] так, чтобы выполнялось вложение (Со) С , следует, что для любого г е (0, г Т) ряд

Ф То + £(С - Со)3 хТ3

3 = 1

абсолютно и равномерно при всех ( е иг(Со) сходится к аналитической функции (Со) Э С ^ ^ Ф е Нв- При этом (учитывая выбор функций хТ'(3))

ФТсо - ФТо е (Нт(С'))х, С е (Со) (3.26)

(Так как функцию Ф ^ е Нт(Со) можно выбирать любой, то из (3.26) вытекает вложение (Со) С Мт \МТ(С')•) Рассмотрим также функции

N

С э с ^ фТ'сГ} = Ф То + £(С - Со)3 хТо,(3), N е N•

3=1

(3)

Из определения функций х^' следует, что

Ят(Со)хТо,(3) = -^ТхТо,(3-1), 3 е N•

Откуда

Ят(С)ФТ сГ} = (С - Cо)N+1 ^XТ0'(N), с е С, N е N (3.27)

Из (3.13), (3.21) и (3.23) вытекают оценки

Н^ХТо'(3)Нв < £ с-3Н^Т Ф То'(м) Нв < СЕ с-3Н Ф То'(м)Нв, з е г+, ^=о ^=о

и, следовательно (см. (3.25)),

~ 1 о

\\2тх1и)\\в < Сс- (1 + ^ Е (2с(ЛА+1) (А^^)-1)") ВДв <

м = 1

< 2(7 (2с (А +1) с-1 (А ТС')-1)0 УФ ТоУв, j €

Тогда из (3.27) получаем, что (для всех С € (Со)) УНц(С) 7 Т'Со^}Ув — 0 при N — и поэтому (в силу замкнутости оператора Нц(С)) 7€ Нц(С) для всех С € (Со)-

Теперь для каждого числа Со € Мц\Мц(С') (однозначно) выберем функцию ФЦ € Нц(Со), для которой Ф То — Ф Ц' € (Н=р(С'))Выше определены числа г Т(С',Со) > 0, для которых игт(£''Со)(Со) С Мц\Мц(С') и аналитические функции )(Со) Э С — 7 € Нц(С) С Нв

такие, что фЦ = ФЦ и Ф— ФЦ € (Нц(С'))^ при всех С € )(Со)- Покажем, что

существует аналитическая функция Мц \Мц(С') Э С — ФЦс' € Нц(С) С Нв, совпадающая с каждой функцией ф5 Со € Мц\М ц(С'), при всех С € Цгт(£''£о)(Со)- Так как

и игТ(С''Со )(Со) = Мц\Мц (С'), Со е\мт(с')

то для этого достаточно показать, что для всех Со', Со' € Мц \Мц(С') и С € игт(£''£')(Со') П Пигт(с''С0")(Со') выполняется равенство ф' = ф в этом случае С € Мц(С') и все

функции фЦЛ' — Ф Ф — Ф Т', ф „ — Ф Т'' и Ф Т'' — Ф принадлежат (Н=р(С'))поэтому

Ц'Цо цо цо ^ Ц'Цо цо цо ^ 4 ''

Ф ' — Ф '' € Нц(С) П (Нц(С')) = {0} что означает, что ф' = ф'' и' следовательно, существует аналитическая функция Мц \ Мц(С') Э С — фсовпадающая с функциями фЦСо, Со € \МТ(С'), при всех С € игТ(£''£о)(Со). Если С' € Цгт(£''£о)(Со) для некоторого Со € Мц \М=р(С') то функции ф— Ф ¡Г и Ф То — Ф Т принадлежат (Н ц(С'))Откуда фТ — Ф Т' € Нц(С') П (Нц(С'))± = {0} и, следовательно, Ф Ц = фЦ = ФЦ' . Функция С — Ф обладает всеми нужными свойствами. Теорема 3.2 доказана. □

Лемма 3.17. Пусть (' € Мц , Ф ц € Н ц(С') и Мц\Мц(С') Э С — ФТС' € Нц(С) -

аналитическая функция, для которой Ф Ц^' — Ф Ц € (Н ц (С')) при ее ех С € Мц \Мц (С') (существование такой функции утверждается в теореме 3.2). Тогда для, всех С € Мц \Мц(С') справедлива оценка,

УФ ТС'Ув < N(АТС')-1 УФТУв.

Доказательство. Для всех С € Мц\Мц (С') выполняется равен ство Ф Ц = Рц (С') Ф

Т'(0 „ ^Т'(1')

(и, в частности, Ф = ФТ')- Пусть ЕЦ и ЕЦ , 1,1' = 1,...,N — некоторые ортонор-мированные базисы в Н и для всех I' = 1,..., N

N т (1)

мированные базисы в Нц(С) и Нц(С') соответственно. Тогда Ф Т^' = X] сЦ ЕЦ , вде сЦ € С,

^ 1 = 1 ^

N

(ЕЦ''(1'), Ф Т')в = £ сЦ (ЕЦ(1 '),ЕЦ' (1))в. 1 = 1

Так как модули элементов обратной матрицы к матрице ((ЕЦ?(1 ), ЕЦ' = 1 не превосхо-

дят (АЦ^')-1 (см. также доказательство леммы 3.15), то

N

\с?\ < (А^,)-1 Е |(Ест;(г,),ф^)Б| < у/М(А^,)-1 ЦФ^/Цв) 1 = 1,...,ЛГ, 1' = 1

и, следовательно,

( М \I

IIФТс'"в = £ I2 < N(Д(с')-1 уФ(ь.

^г = 1 '

Лемма 3.17 доказана. □

Лемма 3.18. Пусть (' € МТ и Ф ( € Н ((('). Тогда для любого (о € (С\М() иМт((') найдется число г0 > 0 такое, что ЦГоД0)\{С0} С \М((('), и функция \М((С') Э С ^ ^ Ф ^' € Н =(= (С) С Нв, определяемая (для функции Ф() в теореме 3.2, лмбо имеет в тючке (0 полю с (конечного порядка) и определена при всех ( € ЦГо (Со) \ {С0} либо аналитически продолжается на весь открытый круг Цг 0 Д0).

Доказательство. Пусть € (С\) и (С')• Существование числа г0 > 0, для которого Ц2г /Д0) \ {С0} С \М((С'), вытекает го следствия 3.12. Для числа г0 > 0 можно найти число Г0 € (0, г0 ] и аналитические функции

Ц2го(С0)\{С0} э с ^ Ф (,(г) €Н ((с) С Нв, 1 = 1,...,N,

такие, что для всех £ € Ц2го Д0) \ {С0} функции Ф('(г), 1 = 1,..., N, образуют некоторый базис в Н ((()• Если (0 € С \ то существование таких функций утверждается в следствии 3.11. Если (0 € (С'), то существование числа Г0 € (0, г0] и функций Ф('(1) следует также из

теоремы 3.1 (см. доказательство леммы 3.13). Пусть (г \ 1' = 1,...,N, — какой-либо ор-тонормированный базис в (('). Определим (как и при доказательстве лемм 3.13 и 3.14) аналитическую функцию

Ц2Г0Ы э С ^ ^(С) = det ((Е((гФ (,(г))вг =1 € С.

Так как при каждом £ € Ц2гоД0) \ {Со} функции Ф ('(г), 1 = 1,...,N образуют базис в (С), то можно последовательно выбрать функции

Ф('(1) = Ф ('(1), Ф('(2) = Ф ( '(2) - С2 ,1 Ф ('(1), ...,

Ф(= Ф (- <N,N-1 Ф ((^-1) - ... - 1 Ф ((1),

где с г' ,г = с г' ,г (С) € С (1' = 2,..., N 1 = 1,... ,1' - 1), которые образуют ортогональный (но, вообще говоря, не нормированный) базис в Н ((С)• При этом ||Ф('(г)|в ^ IIФ('(г)Цв для всех 1 = 1,..., N. Справедливо равенство

^(С)=det ((Е((гЧ,ф(,(г))в)гУг = 1, откуда (при всех £ € Ц2го Д0) \ {(о})

N

(С)| = Д(д • П IIФ('(г)||в. (3.28)

г = 1

Из (3.28) (так как Д(с' > 0), в частности, следует, что (С) = 0 Так как Ц2гоД0) Э С ^ ^ (С) € С — аналитическая функция, то найдутся числа С > 0 и т € такие, что при всех ( € Цго (С0)

(С)| ^ С |С - С0Г (3.29)

Обозначим

N

Сг = тах ТТ ||Ф?'(0||в € (0,+оо).

Сес/г0(Со) ДД

Из (3.28) также следует, что

|^СТ(С)| < С1 А ЦС', С € Цго(Со). (3.30)

Тогда из (3.29) и (3.30) вытекает неравенство

АЦс ^ СС-11С — СоГ, С € Цго(Со), и в силу леммы 3.17 для всех С € ЦГо(Со) \ {Со}

УФ ТС'Ув < NС1С-11С — Со|-тУФ Т'Ув,

□

Л е м м а 3.19. Для любого К ^ 0 существует число е > 0 такое, что для всех ( € С7д(0) и всех Ф € Нв справедлива оценка

У(-+ + СР)ФУв ^ е УФУв .

Доказательство. Допустим противное. Тогда для некоторого Я > 0 найдутся последовательность ^ € и0) и функции Ф^^Т-Од, ||Ф:,-||Б= 1,3 еМ, такие, что + (jI)Фj\\в 0 при j — Так как последовательность У-!Ф0-Ув j € N ограничена, то {Ф0-: j € М} —

предкомпактпое множество в Нв- Поэтому, переходя, если нужно, к подпоследовательностям, можно считать, что Со —>■ Со € С/д(0) и Ф.,- —> Фо € %в при j —>■ +оо, причем ||Фо||б = 1- Тогда также Фо — — СоФо при j — и в силу замкнутости оператора получаем, что Ф о € Нв и

(-+ + Сор) Ф о = 0. (3.31)

Если Со = 0, то -+Ф о = 0 и, следовательно (см. (3.5)), Фо = 0, что противоречит условию У Ф о У в = 1- Если Со = 0 то) обозначив через т наименьшее число из для которого Р5(т)Ф о = 0 (а такое число существует в силу условия УФ о У = 1), получаем, что

Р5(т) (-+ + Сор) Ф о = СоР5(т) Ф о = 0, что противоречит равенству (3.31). Полученное противоре-

□

Теорема 3.3. Существует константа С > 0 такая, что для всех С € См всех функций Ф € Нв, для которых Р(о)Ф = 0; справедлива, оценка,

У(-Р+ -- + С-5-)фУв ^ С к| УФУв. (3.32)

Доказательство. Чтобы не использовать при доказательстве громоздких обозначений, положим С' = (2В)~2 С и введем операторы = (2В)~^ для которых (см. (2.1))

= У^ГТТф 1т+1), т е z+, + 0 0 + (3 33)

г^ = тем,

при этом ф(.о) = 0, j = 1,..., Р. Доказываемое неравенство (3.32) записывается в виде

УС5!-- + С'--)ФУв ^ С' |С'| УФУв, (3.34)

где С' = у/2ВС.

Так как Нв = Нв[Ф1] Ф... ФНв[Фр] и подпрострапства Нв[ФоЬ j = 1,..., Р> инвариантны при действии операторов и -р-, то оценку (3.34) можно доказывать только для функций Ф € Нд, принадлежащих одному из подпространств Нв[Фо]• Не ограничивая общности, будем считать, что Ф € Нв П Нв[Ф1]- Из леммы 3.19 (и равенств (3.33)) также следует, что оценку (3.34) (или, что то же самое, оценку (3.32)) можно доказывать только при всех достаточно больших |С'| (это может привести только к изменению константы С')4.

4 Действительно, пусть К > 0 и е = е(К) > 0 — число, определяемое в лемме 3.19. Тогда для всех С £ ик{0) и всех функций Ф £ Н'в, для которых р(°'ф = 0, имеют место неравенства + =

= ||(£+ + С')£-Ф||в > (2В)-1/2е ||£-Ф||в > (2ВГ1/2е ||Ф||В > (2В)-1/2еК-1|С| ||Ф||в = еК-1|С'| ||Ф||в.

Пусть Ф € Нв П Нв [Ф^. Тогда Ф = ^ <з Ф^,где сз- € С Условие Р(0)Ф = 0 означает, что

з = 0

с0 = 0

Ц(2+2- + с'2-) фпв = £ ИзI2,

з=0

где йу = 3С3 + С'л/З + 1 с3+ъ 3 ^ Выберем какое-либо число 6 € (0, \ ). Будем далее предполагать, что '| ^ 25-1 > 8. Пусть а ^ 2 — натуральное число, представимое в виде а = 5'|£'|, где 6' € <5, <5].

Положим ]0 = [|С'|2] + 1 (где [£] — целая часть числа £ € М), тогда л/]о~--Т ^ |С'| < л/]о-Определим также натуральные числа 32' = з'0 - 2а 31 = 30 - а, 3/' = 3о + а и з2'' = з'0 + 2а.

N.

Оценим вначале снизу сумму ^ |2, если € {32',..., з7} (в дальнейшем эта оценка

з=0

будет использоваться при ТУ_ = з2 и = 3\ ~ !)• Обозначим ТУ* = |£'|2] + 1- Справедливы неравенства

< < ^|С'|2 + 1 < 1С/|2-25|С/| < Зо — 2а < ТУ_ < Зо-а < зо - 1 < |С'|2-

Положим = \ (¿о — — 1) 1С'I—2 • Тогда

и, следовательно, з < (1 — у'з Для всех ] = ТУ* + 1,..., ТУ_. Поэтому

М- 1 1 ЛГ-

£ к12)2 > 1с'|( е зы2)2 - ( е з2ы2у ^

з = N ' = N» + 1 ' = N

N-+1 ч 1 , М- . I . N- + 1 . I

>к'|( е з\С]\2У - ( £ е

Д = N»+1 ' Д = N»+1 ' Д = N»+1 '

_ _ , N- + 1 . 1 , ЛГ_+1 . 1

^^п е м2 £ м2 -ту*ы.

1 ' 1 \ О — ЛГ _1_1 ' 4 V 2 V „• _ лг . 1 /

з = N+1 * хз = N» + 1

С другой стороны, так как \/ТУ* — 1 ^ то з ^ л/7 для всех j = 1,..., ТУ* — 1,

и, следовательно,

/ \ I / \| / \ I /0 1 / ^ \ I

(ЕМ") -(ЕЛ/) >

\ ^ /9 — 1 \ I /9 — 1

з=1 2 2 з=1 2 2

В результате получаем

N- ч I . Nt-1 ч I , N.

j = 0 7 v ~ v j = 0 7 v ~ V j = N,

/ N* \è /9 1/ \è

xvï-i). en» ç m.) >

(3.35)

j = 1 7 ""vj = N* + 1

j=1 j=1

Теперь получим оценку снизу для суммы ^ |dj|2 при N+ € (j/',..., j'} (эта оценка будет

j = N+

использоваться при N+ = j/' и N+ = j'). Имеют место неравепства |Z'|2 + a<jo + a ^ N+ ^ ^ jo + 2a. Если è}v+ = § a ICI-2, T0

N+ > |Z'|2 + a = |Z'|2(1 + 3) > |Z'|2(1+ )2,

и, следовательно, для всех j ^ выполняется неравенство j > (1 + è)v+) |£'| л/J, откуда

+oo \ i / +oo \ i / +oo ч 1

\ 2 / J_, \ 2 / J_- \ 2

|2 \ ^ / V^ „-2u |2 \ l/^'l I V^ „-U |2

( E ki2)" > ( E j2M2V-IC'I( E >

Vj = N+ J Vj = N+ Vj = N+ + 1 7

/ +00 ч I _ ^ +00 ч I

> ( E M2) > E I';I2) > (3-36)

+oo ч i ^ +oo

3 v E M2 E

j = N+ 7 Vj = N+

Далее, обозначим

Л n - ff ^ 1 ^ 4f

Di H E M2 , D2 = £ + £ )|Cj| j = j/ +i 7 vvj = j2 +i j=j/

Выберем число e € (0,1) так, что

С* = 7 - e2 - V2e - 452 > 0.

4

Рассмотрим два случая: D2 > eD и D2 ^ eD, где

J'2 1 \è 2Х 2

D = у d2 + D2 = £ |cj |

V j = j2 +1

1. Предположим, что D2 > eD. Тогда из (3.35) (при N- = j1' — 1) и (3.36) (при N+ = j/') получаем

, j1 -1 ч / N 2 / jl' + ГО N

eki2 и e + e )ki2 ( e + e )m2 =

j=o vj=1 j=j/7 v 7 vj=1 j=я'7

.' (3-37)

2 / / j2 N N / N 2

E+ E м2 + ^2 ^[й EN2 j = 1 j=j2' 7 v 7 j = 1

2. Предположим, что £>2 ^ (в этом случае I)\ ^ 1 — е2 И). Тогда найдутся индексы 11 € {Я + 1,..., 31' - 1} и 12 € {Ц + 1,..., Ц} и {Д'',..., 32' - 1} такие, что

Ы2 ^ > — (1 ~e2)D2, |q2|2 < ^ < ^

1 2а-1 2а v ; ' 1 21 2а 2а

Пусть 1Î — меньшее из чисел li и , a 1Î — большее из них. Тогда

^ / /■< \ j~li 2 / С' \ j~li ,_

v к,/ ^

j = 'l

'* j - 'î

(3.38)

При этом

|1Î -1Сf| < |1Î - jo| + jo - IZ'|2 < (a - 1) + 1 = a,

| ICI VÎÎTT ~ |Cf| = ICI ^ ~ fjl < + 1 < 3a

и для всех j = 1 Î + 1,..., 1Î

Поэтому из (3.38) следует оценка

12 Ч / л/ \j-i{ __12

Е^ Е (-]77[) di iQîl -iClv/îf + Il^+ill -2a Е j = 'î j = 4 IZ Iy j = 'î + i

z*

> (IZ'|2 - 3a) К I- (IZ'|2 + 3a) |q2I- 2a £ |cj|.

j = ' lî + 1

Так как - If ^ 4a - 2 < 4a, £ |c, | < 2^-0 и

j = + i

ICI2 "3a > |C? - ICI2 > > ^ , ICI2 + 3a < 2|C|2,

то из (3.39) получаем

E ш > Wf^72^ - - Aa^D

.^-f* 4 Va V2a Va

j = 'l

С другой стороны,

(3.39)

e m < e n

j=vj=

^2

Следовательно,

'-i

j=j2 + i 4j = 7 v j =

*

*

*

Последняя оценка вместе с оценками (3.35) (при = Л) и (3.36) (при = ^'2') приводит к неравенству

ЕЮ = (Е+ Е + Е |2 >

о=о 4 о = о о=о' + 1 о=02'

N / Я + 1 \ 1Л/|2 \ 2 1

^ , + £ (зло)

' о — 1 ° — Я" о — .?2 + 1

j = 1

Оценки (3.37) и (3.40) получены в двух рассматриваемых случаях. Поэтому из них при ICI ^ 2ö~1 (принимая во внимание, что а > следует доказываемое неравенство (3.34),

где С' = \ ö min , | С* 5~2}. Теорема 3.3 доказана. □

Для всех Z € C (см. (2.17))

Ker +СZ+) = Ker (Z_ +(Г) = {e~éê+ ф : ф е

и (Ker (Z+Z_ +(z+))± = Im + (Z_).

Следствие 3.13. Для всех ( G С и всеж функций Ф € Н^ П (Ker(Z+Z_ + (¡"Z+))"L справедлива оценка

||(z+z_ + c^lb ^ С|С|ЦФ||б, (3.41)

где C > 0 — константа из теоремы 3.3.

Доказательство. Пусть Ф — ненулевая функция из %2В П (Ker +("Z+))"L. Тогда

существует ненулевая функция Ф' € НБ такая, что Р(0)Ф' = 0 и Ф = (Z++ ZZ-)Ф'. Из теоремы 3.3 вытекает неравенство ||Ф||б ^ C |Z| ||Ф'||б- Поэтому

||(z+z_ + c£+)$IIb • Цф'Цб ^ \{(z+z_ + (2+)ф,ф')в\ = |(ф,+ (2_)ф')в\ =

= 1|Ф|б ^ с|z| ||Ф||б ■ ||Ф'||б,

окуда следует оценка (3.41). □

Далее будет предполагаться, что V € L^(R2; R).

Следствие 3.14. Если V € L^(R2; Ж), то для всех Z € C и всех функц ий Ф - € H-(Z)

IZН1(Р - pP(0))Ф -Уб < с-1 ||B + V|l?(r2) УФ -Уб,

где C > 0 — константа из теоремы 3.3.

Доказательство. Действительно, так как (для всех Z € C и всех функций Ф- €H-(Z)) выполняется равенство Р(0)(/ — _Р(0))Ф - = 0, то из теоремы 3.3 получаем

с|z| -||(/ — рР(0))Ф-Уб < ||(Z+ Z- + cZ-)(/ — рР(0))Ф-Уб = ||(Z+ Z- + zZ-) Ф-||б =

= ||(b + V)Ф-Уб < ||b + V||l?(r2) УФ-Уб.

□

Следствие 3.15. Пусть V € L^(R2; R) и Bv(K) = 2nP € 2nN. Тогда N < P.

Доказательство. Выберем число К > 0 так, что

(СЕ)-1 ||В + V(К2;К) (2 + (СК)-1 ||В + V(К2.К)) <

где С > 0 — константа из теоремы 3.3 (и следствия 3.14), и пусть С € М- \ Цд(0) и Ф (1),

..., Ф ^ — некоторый ортонормированный базис в НДС)• Тогда в силу следствия 3.14 для любых з, I = 1,..., N

- (р(о)ф_,(з),Д(0)ф (1))Б| ^

< ||(Р - Р(о))Ф_(з)||в + ||(Р - Р5(0))Ф_'(1)||в + ||(Р - Р5(0))Ф_'(з)||в ■ ||(Р - Р(0))Ф_(0||в < < 2 (С|С|)-1 ||В + V||ь№К) + 2 (СК)-2 ||В + V|ЦГ(К2;К) < N-1.

Откуда получаем, что функции р(0)Ф . '^ з = 1,...,N линейно независимы в Н(о) С Нв и, следовательно, N ^ Я Следствие 3.15 доказано. □

Теорема 3.4. Пусть V € м) и

ВДК) = 2пР € 2пМ. Предположим, что

(НДС) = {0} при ее еж С € С и) N = Р. Тогда для любых С0 € М- и Ф-о € НДС0) \ {0}

существуют число т0 € Ъ+ и функции Фз- € Н^ , 3 =0,1,... , т0 , такие, что для всех С € С то

функция Ф - = ^ СзФ3' принадлежит НДС), Фто € Н(о) \ {0} и функция Ф- при С = Со з = о

совпадает с функцией Ф-о .

Доказательство. Пусть К > 3С||В + VЦ^(К2;К), где С > 0 — константа из теоремы 3.3. Предположим вначале, что С0 € М- \ ид(0), и пусть Ф-о € Н-(Со) \ {0}. Из теоремы 3.2 следует существование функции М- \М-(Со) Э С ^ Ф-С0 € НДС) такой, что Ф -о = Ф-0

и Ф-£0 - Ф-0 € (НДСо))В силу следствий 3.10 и 3.12 множество (С\М-) и МДС0) дискретное. Из леммы 3.18 получаем, что либо каждая точка С' € (С\М-) и М-(Со) является полюсом функции С ^ Ф -£0' либ° Функция С ^ Ф- аналитически продолжается в некоторую окрестность точки Д- Пусть ( € М- \М-(Со) и |С| ^ К. Так как в силу следствия 3.14 и выбора числа К для всех функций Ф- € НДСо) выполняется оценка ||р(°)ф-||б ^ | ||Ф^о||б, то найдется функция ф^г € НДСо) такая, что р^ф^г = р^ф^^, и при этом \\(1 — ||б ^ \ ||р(°)ф^0||Б.Тогда, учитывая оценки ||р(°)ф^о ^ |

||(/ - Р(0))Ф^;Со||б ^ \ ||р(°)ф^Со||Б и то, что Ф^")Со - Ф^"о € (НДСо))"1, получаем

^11^0)ФС-;С0111 = ^И^ФссоЬ • \\р(0)^\\в < < ||Р(0) Ф-Со ||в ■ ||Р(0)ф -о ||в - ||(Р - р0) )Ф -Со ||В ■ ||(р - р0) )ф -о ||в <

^ |( ФССо ,Фс"о )в1 = |( Ф Со ,ф Со )в1 < |Фс"о Ув ■ ||Фс"о Ь < 33

Откуда ||б ^ 2||Ф^о||б и, следовательно, ||Ф^0||в ^ § Н-Р^Ф^"£0||в ^ ЗЦФ^Цд. По-

этому функция С ^ Ф не имеет полюсов и, более того, ограничена в С \ ДД0). Последнее означает, что функцию С ^ Ф- можно представить в виде

фС,Со = Е Е ТТ^ДуГ + $Со(С)' С 6 и {СЛ, (3.42)

V = 1 ^ = V = 1

где ^о € € N V = 1,...,^о (сумм в правой части равенства (3.42) может не быть

при ^ = 0), с^ = при V' = V", Cv € ид(0) € Н^ и С Э С ^ ФСо(0 € Нв -

ограниченная аналитическая функция. Но тогда функция Z ^ фСо (Z) является постоянной: фСо(Z) = Ф^0 € НБ. Так как УФ_Со||Б ^ УФ_о||б > 0 при всех Z € C\UR(0), то = 0.

Из следствия 3.14 получаем, что фz0 € H(o) (и, следовательно, XV)jU € НБ)- Осталось умножить

vo

обе части равенства (3.42) на Л (Z — Zv)mv- Тогда правая часть полученного равенства примет

v = 1

вид (2.4) и при всех Z € C припадлежит H_(Z) (см. также лемму 3.3), при этом Ф^ € НБ) j = 0,1,... , mo, где mo = mi +... + m-v, и Ф mo = фCo € H(0) \ (0}. (Функции Xv,m^ v = 1,..., vo, принадлежат H_ (Zv) в силу леммы 3.3.)

Покажем теперь, что при Z0 € M_ П Ur(0) и Ф_ € H_(Zo) \ {0} существует функция

Ф _о € H_(Zo) для некоторого Zo € M_ \ Ur(0) такая, что функция (2.4), определяемая для Zo и функции Ф_о € H_(Zo)j совпадает с Ф_, при Z = Zo'. Действительно, если предположить, что Zo' € M_(Zo) для всех Zo € M_ \ Ur(0) то для всех Zo € M_ \ Ur(0) выполнялось бы равенство Д_о ^' = Д_ Zo = 0 и) следовательно, M_ \ Ur(0) С M_(Zo'), что противоречит лемме 3.13. Поэтому для некоторого Zo € M_ \ Ur(0) число Zo' не принадлежит M_(Zo)• Последнее означает,

v

что Д_' Zjj = 0 и (Ф_' zt3 : Ф_о € H_(Zo)} = H_(Zo'). В этом случае также = (Zo' — Zv)mv = 0.

Следовательно, найдется функция Ф _ € H_(Zo) такая, что функция (2.4), которая определяется для Zo € M_ \ Ur(0) и фупкции Ф _ совпадает при Z = Zo' с функцией Ф _ € H_(Zo)-Теорема 3.4 доказана. □

Теорема 2.1 непосредственно вытекает из следствия 3.15 и теоремы 3.4. Действительно, если P = 1, то в силу следствия 3.15 N = P = 1. Поэтому требуемые число mo € Z+ и функции Ф j € НБ , j = 0,1,... , mo , существуют в силу теоремы 3.4.

Список литературы

1. Новиков С.П. Двумерные операторы Шрёдингера в периодических полях // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Т. 23. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1983. С. 3-32.

2. Гейлер В. А. Двумерный оператор Шрёдингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3. № 3. С. 1-48.

3. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations. Basel: Birkhauser Verlag, 1993. DOI: 10.1007/978-3-0348-8573-7

4. Лыскова А.С. Топологические характеристики спектра оператора Шрёдингера в магнитном поле и слабом потенциале // Теоретическая и математическая физика. 1985. Т. 65. № 3. С. 368-378.

5. Гейлер В.А., Маргулис В.А. Спектр магнитно-блоховского электрона в двумерной решетке // Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 58. № 3. С. 461-472.

6. Гейлер В.А., Маргулис В.А. Структура спектра магнитно-блоховского электрона в двумерной решетке // Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 61. № 1. С. 140-149.

7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

8. Klopp F. Absolute continuity of the spectrum of a Landau Hamiltonian perturbed by a generic periodic potential // Mathematische Annalen. 2010. Vol. 347. No. 3. P. 675-687. DOI: 10.1007/s00208-009-0452-3

9. Бирман М.Ш., Суслина Т. А. Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9. № 1. С. 32-48.

10. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. № 4. С. 1-36.

11. Morame A. Absence of singular spectrum for a perturbation of a two-dimensional Laplace-Beltrami operator with periodic electromagnetic potential // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. Vol. 31. No. 37. P. 7593-7601. DOI: 10.1088/0305-4470/31/37/017

12. Бирман М.Ш., Суслина T.A., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шрёдингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. № 6. С. 140-177.

13. Лапин И.С. Абсолютная непрерывность спектра двумерных периодических магнитных операторов Шрёдингера и Дирака с потенциалами из классов Зигмунда / / Проблемы математического анализа. 2001. Вып. 22. С. 77-105.

14. Shen Z. Absolute continuity of periodic Schrodinger operators with potentials in the Kato class // Illinois Journal of Mathematics. 2001. Vol. 45. No. 3. P. 873-893.

https: / / projecteuclid.org/download / pdf_ 1 / euclid.ijm/1258138157

15. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного магнитного периодического оператора Шрёдингера с электрическим потенциалом типа производной от меры // Зап. научи, семин. ПОМП. 2000. Т. 271. С. 276-312.

16. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шрёдингера с положительным электрическим потенциалом // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. № 4. С. 196-228.

17. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного магнитного периодического оператора Шрёдингера с положительным электрическим потенциалом // Труды С.-Петерб. матем. об-ва. 2001. Т. 9. С. 199-233.

18. Данилов Л.И. О спектре двумерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2002. Вып. 3 (26). С. 3-98.

19. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Шрёдингера // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134. № 3. С. 447-459. DOI: 10.4213/tmfl60

20. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шрёдингера с сильно подчиненным магнитным потенциалом // Зап. научи, сем. ПОМП. 2003. Т. 303. С. 279-320.

21. Данилов Л.И. Об отсутствии собственных значений в спектре двумерных периодических операторов Дирака и Шрёдингера // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2004. Вып. 1 (29). С. 49-84.

22. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Communications in Mathematical Physics. 1973. Vol. 33. No. 4. P. 335-343.

https: / / projecteuclid.org/download / pdf_ 1 / euclid.cmp /1103859334

23. Бирман М.Ш., Суслина T.A. Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11. № 2. С. 1-40.

24. Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 354. No. 2. P. 537-569. DOI: 10.1090/s0002-9947-01-02878-l

25. Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators // Bulletin of the American Mathematical Society. 2016. Vol. 53. No. 3. P. 343-414. DOI: 10.1090/bull/1528

26. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a periodic magnetic Schrodinger operator // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009. Vol. 42. No. 27. 275204. 20 p.

DOI: 10.1088/1751-8113/42/27/275204

27. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of three- and four-dimensional periodic Schrodinger operators // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2010. Vol. 43. No. 21. 215201. 13 p. DOI: 10.1088/1751-8113/43/21/215201

28. Данилов Л.И. О спектре периодического оператора Шрёдингера с потенциалом из пространства Морри // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 25-47. DOI: 10.20537/vml20304

29. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 400 с.

30. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

Поступила в редакцию 18.04.2018

Данилов Леонид Иванович, к. ф.-м.н., старший научный сотрудник, Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН, 426067, Россия, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34. E-mail: lidanilov@mail.ru

L. I. Danilov

On the spectrum of a two-dimensional Schrodinger operator with a homogeneous magnetic field and a periodic electric potential

Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2018, vol. 51, pp. 3-41 (in Russian). Keywords: Schrodinger operator, spectrum, periodic electric potential, homogeneous magnetic field. MSC2010: 35P05

DOI: 10.20537/2226-3594-2018-51-01

We consider the two-dimensional Schrodinger operator HB + V with a uniform magnetic field B and a periodic electric potential V. The absence of eigenvalues (of infinite multiplicity) in the spectrum of the operator Hb + V is

proved if the electric potential V is a nonconstant trigonometric polynomial and the condition (2n)-1 Bv(K) = Q-1 for the magnetic flux is fulfilled where Q £ N and the v(K) is the area of the elementary cell K of the period lattice A C R2 of the potential V. In this case the singular component of the spectrum is absent so the spectrum is absolutely continuous. In this paper, we use the magnetic Bloch theory. Instead of the lattice A we choose the lattice A q = {N1QE1 + N2E2 : Nj £ Z, j = 1, 2} where E1 and E2 are basis vectors of the lattice A. The operator Hb + V is unitarily equivalent to the direct integral of the operators Hb (k) + V with k £ 2nKQ acting on the space of magnetic Bloch functions where KQ is an elementary cell of the reciprocal lattice AQ C R2. The proof of the absence of eigenvalues in the spectrum of the operator Hb + V is based on the following assertion: if A is an eigenvalue of the operator BB + V, then the A is an eigenvalue of the operators ]JB (k + ix) + V for all k, k £ R2 and, moreover, (under the assumed conditions on the V and the B) there is a vector ko £ C2 \ {0} such that the eigenfunctions of the operators Hb (k + Zko) + V with Z £ C are trigonometric polynomials Y^ Zj ^j in Z-

REFERENCES

1. Novikov S.P. Two-dimensional Schrodinger operators in periodic fields, Journal of Soviet Mathematics, 1985, vol. 28, no. 1, pp. 1-20. DOI: 10.1007/bf02104894

2. Geiler V.A. The two-dimensional Schrodinger operator with a homogeneous magnetic field and its perturbations by periodic zero-range potentials, St. Petersburg Math. J., 1992, vol. 3, no. 3, pp. 489-532.

3. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations, Basel: Birkhauser Verlag, 1993. DOI: 10.1007/978-3-0348-8573-7

4. Lyskova A.S. Topological characteristics of the spectrum of the Schrodinger operator in a magnetic field and in a weak potential, Theoretical and Mathematical Physics, 1985, vol. 65, no. 3, pp. 1218-1225. DOI: 10.1007/bf01036130

5. Geiler V.A., Margulis V.A. Spectrum of the bloch electron in a magnetic field in a two-dimensional lattice, Theoretical and Mathematical Physics, 1984, vol. 58, no. 3, pp. 302-310. DOI: 10.1007/bf01018053

6. Geiler V.A., Margulis V.A. Structure of the spectrum of a bloch electron in a magnetic field in a two-dimensional lattice, Theoretical and Mathematical Physics, 1984, vol. 61, no. 1, pp. 1049-1056.

DOI: 10.1007/bf01038554

7. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. IV. Analysis of operators, New York-London: Academic Press, 1978. Translated under the title Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom IV. Analiz operatorov, Moscow: Mir, 1982, 428 p.

8. Klopp F. Absolute continuity of the spectrum of a Landau Hamiltonian perturbed by a generic periodic potential, Mathematische Annalen, 2010, vol. 347, no. 3, pp. 675-687. DOI: 10.1007/s00208-009-0452-3

9. Birman M.Sli.. Suslina T.A. The two-dimensional periodic magnetic Hamiltonian is absolutely continuous, St. Petersburg Math. J., 1998, vol. 9, no. 1, pp. 21-32.

10. Birman M.Sli.. Suslina T.A. Absolute continuity of a two-dimensional periodic magnetic Hamiltonian with discontinuous vector potential, St. Petersburg Math. J., 1999, vol. 10, no. 4, pp. 579-601.

11. Morame A. Absence of singular spectrum for a perturbation of a two-dimensional Laplace-Beltrami operator with periodic electromagnetic potential, Journal of Physics A: Mathematical and General, 1998, vol. 31, no. 37, pp. 7593-7601. DOI: 10.1088/0305-4470/31/37/017

12. Birman M.Sli.. Shterenberg R.G., Suslina T.A. Absolute continuity of the spectrum of a two-dimensional Schrodinger operator with potential supported on a periodic system of curves, St. Petersburg Math. J., 2001, vol. 12, no. 6, pp. 983-1012.

13. Lapin I.S. Absolute continuity of the spectra of two-dimensional periodic magnetic Schrodinger operator and Dirac operator with potentials in the Zygmund class, Journal of Mathematical Sciences, 2001, vol. 106, no. 3, pp. 2952-2974. DOI: 10.1023/A:1011315420866

14. Shen Z. Absolute continuity of periodic Schrodinger operators with potentials in the Kato class, Illinois Journal of Mathematics, 2001, vol. 45, no. 3, pp. 873-893.

https: / / projecteuclid.org/download / pdf_ 1 / euclid.ijm /1258138157

15. Shterenberg R.G. Absolute continuity of a two-dimensional magnetic periodic Schrodinger operator with potentials of the type of measure derivative, Journal of Mathematical Science, 2003, vol. 115, no. 6, pp. 2862-2882. DOI: 10.1023/A:1023334206109

16. Shterenberg R.G. Absolute continuity of the spectrum of two-dimensional periodic Schrodinger operators with positive electric potential, St. Petersburg Math. J., 2002, vol. 13, no. 4, pp. 659-683.

17. Shterenberg R.G. Absolute continuity of the spectrum of the two-dimensional magnetic periodic Schrodinger operator with positive electric potential, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 2003, vol. 209, pp. 191221. DOI: 10.1090/trans2/209/09

18. Danilov L.I. On the spectra of two-dimensional periodic Schrodinger and Dirac operators, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2002, issue 3 (26), pp. 3-98 (in Russian).

19. Danilov L.I. The spectrum of the two-dimensional periodic Schrodinger operator, Theoretical and Mathematical Physics, 2003, vol. 134, no. 3, pp. 392-403. DOI: 10.1023/A: 1022605623235

20. Shterenberg R.G. Absolute continuity of spectra of two-dimensional periodic Schrodinger operators with strongly subordinate magnetic potentials, Journal of Mathematical Sciences, 2005, vol. 129, no. 4, pp. 4087-4109. DOI: 10.1007/sl0958-005-0344-3

21. Danilov L.I. On the absence of eigenvalues in the spectra of two-dimensional periodic Dirac and Schrodinger operators, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2004, issue 1 (29), pp. 49-84 (in Russian).

22. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal, Communications in Mathematical Physics, 1973, vol. 33, no. 4, pp. 335-343.

https: / / projecteuclid.org/download / pdf_ 1 / euclid.cmp /1103859334

23. Birman M.Sh., Suslina T. A. Periodic magnetic Hamiltonian with variable metric. The problem of absolute continuity, St. Petersburg Math. J., 2000, vol. 11, no. 2, pp. 203-232.

24. Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soc., 2002, vol. 354, no. 2, pp. 537-569. DOI: 10.1090/s0002-9947-01-02878-l

25. Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators, Bulletin of the American Mathematical Society, 2016, vol. 53, no. 3, pp. 343-414. DOI: 10.1090/bull/1528

26. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a periodic magnetic Schrodinger operator, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2009, vol. 42, no. 27, 275204, 20 p.

DOI: 10.1088/1751-8113/42/27/275204

27. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of three- and four-dimensional periodic Schrodinger operators, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2010, vol. 43, no. 21, 215201, 13 p. DOI: 10.1088/1751-8113/43/21/215201

28. Danilov L.I. On the spectrum of a periodic Schrodinger operator with potential in the Morrey space, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, issue 3, pp. 25-47 (in Russian).

DOI: 10.20537/vml20304

29. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. II. Fourier analysis, self-adjointness, New York: Academic Press, 1975, 361 p. Translated under the title Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom II. Garmonicheskii analiz. Samosopryazhennost', Moscow: Mir, 1978, 400 p.

30. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. I. Functional analysis, New York: Academic Press, 1972. Translated under the title Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom I. Funktsional'nyi analiz, Moscow: Mir, 1977, 360 p.

Received 18.04.2018

Danilov Leonid Ivanovich, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Udmurt Federal Research Center of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. T. Baramzinoi, 34, Izhevsk, 426067, Russia.

E-mail: lidanilov@mail.ru