CC BY
8
Известия Института математики и информатики УдГУ
2016. Вып. 2 (48)
УДК 517.958, 517.984.5 © Л. И. Данилов
О СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО ОПЕРАТОРА ДИРАКА
Рассматривается периодический трехмерный оператор Дирака Т> + W = ^ël- — А?) + + Вектор-
ный потенциал A : К3 ^ R3 и функции Va-, s = 0,1, со значениями в пространстве эрмитовых (4 х 4)-матриц являются периодическими с общей решеткой периодов Л С К3. Предполагается, что функции Vs удовлетворяют коммутационным соотношениям VsV.j = (—1)sVjVs, j = 1, 2, 3, s = 0,1. Пусть K — элементарная ячейка решетки Л. Доказана абсолютная непрерывность спектра оператора D + W, если либо A е Hfoc(R3; R3), q> 1, либо X) I|An II < где An — коэффициенты Фурье магнитного потенциала A, а функция V = V0 + Vi
принадлежит пространству Lw (K) и для нее при всех достаточно больших числах t > 0 выполняется оценка mes {x е K : ||V(x)|| > t} < Ct~3, где mes — мера Лебега и константа C > 0 зависит от A (если A = 0, то C — универсальная константа). К функции V = V0 + Vi можно добавить периодическую функцию такого же вида, имеющую кулоновские особенности \x — xm\-1wm в окрестностях точек xm е K, m = 1,..., гп0у и непрерывную при x е xm + Л m = 1,..., mo, если Hwm || ^ C1 для всех m, гДе константа C1 > 0 также зависит от магнитного A mo
Ключевые слова: оператор Дирака, абсолютная непрерывность спектра, периодический потенциал.
Введение
Пусть Мм гДе M G N — линейное пространство ком плексных (M x M )-матри ц, S m —
множество эрмитовых матриц из Мм матрицы aj G Sm, j = 1,...,n (n ^ 2), удовлетворяют антикоммутационным соотношениям aj ai + ai aj = 2bj\l, где I G Мм — единичная матрица и ôji — символ Кронекера. Обозначим через Sm множество матриц L G Sm, иредставимых в виде L = L0 + Ь\, где Ls G SM и ajLs = (—1)sLsaj для всех j = 1,...,n, s = 0,1. n
£
d
1
(i .___.
âj(-i---Aj)+V, «Г, (0.1)
где i2 = — 1 и компоненты Aj магнитного потенциала A : Rn — Rn и матричная функция У : Rn — Sм являются периодическими с общей решеткой периодов Л С Rn.
Координаты в Rn определяются относительно некоторого ортогонального базиса {Ej} (\£j | = 1, j = 1,...,щ | • | и (■, ■) — длина и скалярное произведение векторов из Rn),
n
Aj (x) = (A(x), Ej). Пусть {Ej} — базис решетки Л С Rn, K = {x = ^ (jEj : 0 ^ £j < 1,
j=i
j = 1,...,n} — элементарная ячейка решетки Л. Через mes обозначается мера Лебега в пространствах Rm, m G N mes K — объем элементарной ячейки K. В дальнейшем функции,
K
Л Rn
Скалярные произведения и нормы в пространствах CM, L2(Rn; CM) и L2(K; CM) вводятся обычным образом (и в их обозначениях, как правило, не будут использоваться обозначения самих пространств). Для матриц L G Мм
\\L\\Mm = m&x \\Щ.
u е CM : |М| = 1
a0 Ia
соответственно.
Пусть {Ej*} — базис обратной решетки Л* С Rn, для которого (Ej,E*) = ôji, j, l = 1,...,n;
n
K * = {y = nj E* : 0 ^ nj < 1, j = 1,...,n} — элементарная ячейка решетки Л*. Справедливо j=i
равенство mes K* = (mes K) 1. Через
фм = (mes K)-1 l ф(х) e-2ni (N'x) dx, N e Л*,
JK
обозначаются коэффициенты Фурье функций ф e L1(K ; U), гдe U — одно из иространств CM, Rra или Mm-
Оператор
n „
j=1 3
действует в пространстве L2(Rn ; CM) и имеет своей областью определения класс Соболева (порядка 1): D(D) = H 1(Rn;CM) С L2(Rn;CM).
Матричная функция W e L2oc(Rn; Mm) ограничена относительно оnepamopa D, если e L2(Rn; CM) для всех p e H 1(Rn; CM) и для некоторого числа a ^ 0 найдется такое число C = C(a, W) ^ 0, что для всех вектор-функций p e H 1(Rn; CM)
\\Wp\\l2(R";Cm) ^ a\\DP\\L2(Rn;CM) + C\\p\\l2(R";Cm). (°-2)
a
ринной функции W относительно оператора D и будет обозначаться через b(W).
Периодическая с решеткой периодов Л С Rn (измеримая) матричная функция W : R"^Mm принадлежит пространству LWW(K; Mm), если
lz(K;Mm) = SUP t(mes{x G к : \\W(x)\\mm > ¿1)" < t>0
Для матричных функций № € Ь^(К; Мм) обозначим
\\^\\(^\к;Мм) = Ч™^ € К : \№(х)\\Мм > О)" < +00.
При п ^ 3 (периодическая с решеткой периодов Л С Мп) матричная функция № € Ьг^)(К; Мм) ограничена относительно оператора Т и имеет грань
ъ(Щ < с т™ К ;Мм )> (0-3)
где С = С(п) > 0 (см., например, [1]). Пусть
Вг(х) = {у € Rn: \х - у\ < г}, Вг(х) = У Вг(х + У), х € Rn, г> 0.
е л
Через хт обозначается характеристическая функция множества Т С Rn. Из (0.3) следует также оценка
1ос
b(w) < C \\W\\LW)kK0mm).
где
I^(К-Мм) = и™п sup lim sup t(,mes{y e Br(x) ■ \\Щу)\\мм > О)" =
>mjw/ r -S- +n „.^та
= r 1iI+n sup (x) w\\lw(k ;Mm ).
r ^ +n x e Rn
Замечание 1. Функции W^ \\w\\lz(K;MmЬ ^LIk-Mm) и W^ KmM) не яв~
ляются нормами. Если Wi, W2 e LW(K;MM), то
\Wl + w2\\lw(k;Mm) < 2 WWlUwiK;Mm) +2 (k;Mm). (0-4)
Для || • Ц^К,Мм) и II ' Нь™(К°Мм) спРавеДливы аналогичные (0.4) оценки. Для всех Н € Ь^(К; Мм) выполняются неравенства
;Мм) > Н№НЬ'(К;Мм) ^ Н^НЬ'(К;Мм)
ос
и существуют ненулевые функции Н € Ь^(К; Мм), для которых ЦН^Ь^кмм) = Н^^Нь'?(К10Мм) = 0В дальнейшем будет предполагаться, что
п
Ш = А а + 1 € Ьпш (К; Бм)
з = 1
и Ъ(Ш) < 1. В этом случае оператор (0.1) является самосопряженным и 0(Т>+Ш) = Н 1(Мп; См) (см. [1,2]). Спектр оператора Т>+Ш имеет зонную структуру. Сингулярная составляющая спектра отсутствует [3] (см. также [4, 5]), и, следовательно, спектр абсолютно непрерывен в том и только том случае, когда у оператора (0.1) нет собственных значений (бесконечной кратности). Вопрос об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов математической физики (и, в частности, периодического оператора Дирака) привлек большое внимание в последние два десятилетия. В [6,7] содержатся обзоры ранних результатов. В [8] приведена обширная библиография по современному состоянию проблемы. Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Дирака (0.1) при всех п ^ 2 была впервые доказана в [9] для магнитного потенциала А € Ь^(Жп; Мп) и матричной функции V = VI + ш/3 таких, что
и I л I и п
( ; 7ел\{0} |
и V € С(Мп; М), где 1 € Мм — единичная матрица, т € М и V € Бм — матрица, для которой V2 = 1 и азV = — 1аз при всех з = 1,...,п. В последующих работах [3,10-20] (см. также ссылки из этих статей) были ослаблены приведенные ограничения и получены новые условия на А и V1. Обзор известных результатов об абсолютной непрерывности спектра периодического оператора Дирака содержится в [20] (см. также [18,19]). В настоящей работе рассматривается трехмерный периодический оператор Дирака
_ 3 с)
V + W = ^а3(-г—-А3)+У. (0.5)
з=1 3
Для оператора (0.5) можно считать, что М = 4 (и это будет предполагаться в дальнейшем), и можно выбрать матрицы
аз = (° 3, з = 1,2,з,
где V — матрицы Паули:
13 1
0 1\ Л (0 -Л Л (10
11 = 11 0 , 12 = г 0 , 13 \ 0 -1
При этом
V =
VoV (VI + гV2)V^ — гV2)V VзV ),
где Vj — вещественнозначные функции (из Ь^(К; М)), з =0,1, 2, 3 (0 и I — нулевая и единичная матрицы из М2).
Пусть Б2 = {х € М3: \х\ = 1}, 51(х) = {е € Б2: (е, х) = 0}, х € М3\{0}. Обозначим через М множество четных борелевских знакопеременных мер ц на М (с конечной полной вариацией),
для которых / е= 1 для всех р € (-Ц, Ц), где Ц = Ь(р) > 0 В частности, множество М
Jм
содержит меру Дирака 5.
В [20] доказана абсолютная непрерывность спектра трехмерного периодического оператора Дирака (0.5), если У £ Ь3(К;Бм) и существует вектор 7 € Л\{0} такой, что периодический (с решеткой периодов Л С М3) магнитный потенциал А: М3 ^ М3 удовлетворяет следующим
двум условиям:
(17) A е L2(K; R3) и отображение
R3 Э ж ^ {[0,1] Э С ^ A(x - Cl)} е L2([0,1]; R3)
непрерывно;
(27) существует мера ц е M такая, что для всех x е R3 и всех векторов е е S 1(y)
a0 - i d^(t) ( A(x - Cy - Щ dc Jr Jo
< 7r
где A0 = (mes K) 1 fK A(x) dx.
к -
3
Замечание 2. Из условия (17) следует, что матричная функция AjS.j имеет нулевую грань
j = 1
относительно оператора V (при n = 3) [11]. Поэтому для любой матричной функции V е LW (K; MM)
3 л л л
(в частности, при M = 4) справедливо равенство Ъ(- ^ AjVj + У) = Ъ(У). Если V е L3(K; MM), то
j = 1
b(V) = 0.
Замечание 3. Для периодического (с решеткой периодов Л С R3) магнитного потенциала
A: R3 ^ R3 условие (27) выполняется (при соответствующем выборе вектора 7 е Л\{0} и меры ц е M),
если магнитный потенциал А принадлежит классу Соболева ЩоС(М3; М3), q > а также в случае,
когда l|AN||C3 < (см. [14,21]). Условие (17) выполняется (для любого вектора 7 е Л\{0}),
N е л*
если A е Hqoc(R3; R3), q> 1.
Пусть K(K; ^>4) — множество периодических (с решеткой периодов Л С R3) матричных функций W: R3 ^ S4, для которых найдутся разные точки xm е K, m = 1,...,mo (где mo = mo(W) е N), такие, что матричная функция W бесконечно дифференцируема на открытом множестве
mo
R3 \U (J {xm + 7'}
m=1 j'еЛ
и в достаточно малых окрестностях (в R3) точек xm имеет вид W(x) = \x - xm\-1 wm, где wm е S4. Обозначим
q(W) = max IWmllMi.
m = 1.....mo
Справедливо вложение K(K;S>4) С L'W(K;M4). При этом
i
|(oo),loc _/4тг\з
Шк-Мм) ~ \ ) q[VV)
(и Ь(у?) = 2д(№) (см. [1,22])).
Следующая теорема является основным результатом данной работы.
Теорема 0.1. Спектр периодического (с решеткой периодов Л С М3) оператора Дирака, (0.5) (щи М = 4) абсолютно непрерывен, если для некоторого вектора 7 € Л\{0} магнитный потенциал А: М3 ^ М3 удовлетворяет уеловиям (17) и (27); а матричную функцию V можно представить в виде у = V(1) + V(2), где у): М3 ^ ¿>4, ^ = 1, 2; — периодические (с решеткой периодов Л) матричные функции, для которых У(1) € Ь^(К; М4), V(2) € К(К; >) С Ь1 (К; М4) « (1) \к;м4) < С1 ,д(У(2)) < С2 , где С, = С,(7,Л; А) > 0, ] = 1, 2 (если А = 0 та о С, — универсальные константы, не за висящие от, Л).
Следствие 0.1. Спектр периодического (с решеткой периодов Л С М3) оператора Дирака (0.5) (при М = 4) абсолютно непрерывен, если для магнитно го потенциала А: М3 ^ М3
выполнено либо неравенство ^ ЦА^Не3 < либо включение А € Н^С(М3; М3); д > 1;
N е л*
а для матричной функции 1 € Ь^(К, Б4) выполнено условие ЦУ Н^к м±) ^ С[, где С/ = С]7(Л; А) > 0 (если А = 0, то С/ — универсальная константа).
Доказательство теоремы 0.1 приведено в § 1. При доказательстве используются результаты и методы из работ [16,17,19,20].
§ 1. Доказательство теоремы 0.1
Пусть Н3(К; С4), в > 0, — множество вектор-функций р: К ^ С , периодические продолжения которых (с решеткой периодов Л С М3) принадлежат классу Соболева Н^ДМ3; С4). Для всех к € М3, е € Б2 и к ^ 0 определим операторы
33 д
■3(к + Ые) = -г ^ а,— + ^ +
зз
з=1 з з=1
действующие в Ь2(К; С4), 0(1(к + гке)) = Н](К; С4). В условиях теоремы 0.1 константы С/ и С2 выбираются так, что Ъ(У) ^ Ъ(У(1)) + Ъ(У(2)) < 1 (см. (0.3)). Тогда матричная функция
Ш = — ¿; Аз аз + V(1) + V(2)
з=1
имеет грань Ъ(Ш) = Ъ(V) < 1 относительно оператора 1 и, следовательно, относительно операторов 1(к) (при к = 0), к € М3, действующих в Ь2(К; С4) (предполагается, что матричная функция Ш также действует в Ь2(К; С4)). В этом случае операторы 1(к + гке) + Ш с областью определения 0(1(к + гке) + Ш) = Н](К; С4) С Ь2(К; С4) замкнуты и имеют компактную резольвенту для всех к + гке € С3. Операторы 1(к) + Ш, к € М3, являются самосопряженными и имеют дискретный спектр. Периодический оператор Дирака (0.5) унитарно эквивалентен прямому интегралу
/•Ф ^ ._. Ик
Унитарная эквивалентность устанавливается с помощью преобразования Гельфанда (см. [23, 24]). Для доказательства абсолютной непрерывности спектра периодического оператора (0.5) достаточно показать, что у него нет собственных значений (бесконечной кратности). Поэтому предположим, что некоторое число Л € М является собственным значением оператора (0.5). Тогда из разложения оператора Дирака (0.5) в прямой интеграл (1.1) и аналитической теоремы Фредгольма следует (см. [4,7]), что Л — собственное значение операторов 1(к + гке) + Ш при всех к + гке € С3. Делая замену
— ЛI н> (при этом V(1) — ЛI € Ь^ (К; Б4)
и ^(1) — Л-Н?-м) = НV(1)Нь3\к-мР' можно рассматривать только случай Л = 0. Но существование собственного значения Л = 0 у операторов 1(к + гке) + Ш при всех к + гке € С3 противоречит приводимой далее теореме 1.1. Поэтому спектр периодического оператора Дирака (0.5) абсолютно непрерывен. Такой метод доказательства отсутствия собственных значений и абсолютной непрерывности спектра периодических эллиптических дифференциальных операторов был предложен в [25] и использовался во всех последующих работах о характере спектра периодических операторов математической физики.
Пусть 7 € Л\{0} — вектор го теоремы 0.1, е = \7\_17. Введем обозначения х\\ = (х,е), х± = х — (х, е)е, х € М3.
Для любой вектор-функции р € Н](К; С4)
1(к + гке)р = ^IN(к; к) рN е2П ^'х), N е л*
где
Т>М(к; ж) = Е (к, + + гже,) а,. , = 1
Для всех к € М3 и ж ^ 0 обозначим
(к; ж) = ((ку + 2п^)2 + (ж ±\к± + 2пЫ±|)2)1/2, N € Л*.
Справедливы неравенства
С+ (к; ж) ^ С-(к; ж), С+ (к; ж) ^ ж, С+ (к; ж) ^ \к + 2^\.
Если к € М3 и \(к,7)\ = п, то СN (к; ж) ^ n:\Y\~1 для всех ж ^ 0 и N € Л*.
Для векторов к € М3, для шторых \(к,7)\ = п, определим операторы С±, в € М, действующие в Ь2(К; С4):
^ , 0 , ~ { Н-(К;С4), если в> 0,
С±<р = Е (С%(к; ж))-рм е2п (Мх), <р € Я(С±) = 2 ( ; 4) ,
М7л* 1 Ь2(К;С4), если в < 0
(операторы зависят от к и ж, но явно эта зависимость в обозначениях указываться не будет), С± =
Для векторов е € 51(е) рассмотрим ортогональные проекторы в С4:
3 3
>± = 1 2
j = 1 j = 1
Для всех ё', ё'' G 51 (e)
llP-tP-TJ! = II- РМ = - | ë" - ë' |.
Ile' e '' H Ile' e "H 2
Для векторов y G R3, для которых y± = y — (y,e)e = 0 будем обозначать ë(y) = |y±|_1y±, ë(y) G S 1(e).
Если к G R3, N G Л*, при этом k± + 2nN± = 0, то
Pe±k+2nN) ( E ei ^ ) Pe±k+2nN) = 0
\j = 1 /
и (для всех к ^ 0)
PN(k; K)pPe±k+2nN) = (k|| + 2nN| + i(K ± lk± + 2nN±l))( >T ej j i5e±k+2nN) •
4 j = 1 7
Следовательно,
Pe±k+2nN)PN(k; K)iPe±k+2nN) = p (!-2)
\\T>N (k; K)iprfk+2nN )«\\ = GN (k; к)^^«^ « G C4- (1.3)
Если k± + 2nN± = 0, то GN(k; k) = GN(k; k).
Пусть K(e) = {k G R3: |(k,7)| = п и k± + 2nN± = 0 для всех N G Л*}. Множество {k G R3 : |(k,7)| = п}\ K(e) счетное. Для век торов k G K(e) определим ортогональные проекторы в L2(K; C4):
P= E P±W) PN e2ni p G L2(K; C4)
n e Л*
(операторы Р± зависят от к, но эта зависимость указываться в обозначениях не будет). Условие к € К(е) (вместо уеловия \(к,7)\ = п) является техническим. Оно позволяет избежать неоднозначности в определении операторов Р ± для векторов к € М3, для которых \(к,7)\ = п и к± + 2пК± = 0 для некоторого вектора N € Л*. Так как Р + + Р- = I, то из (1.2) и (1.3) для всех вектор-функций р € Н](К; С4) получаем
ЦР ±1(к + гке)рН = С Р трН, Ц1(к + гке)рЦ2 = ЦС-Р-рН2 + ЦС+Р+рН2. Следовательно,
Р++ р-)Щ + гже)р\\ = \\(С2Р- + С1Р+)р\1 р е Н\К;С4). (1.4)
Теорема 1.1. Пусть периодический (с решеткой периодов Л С М3) магнитный потенциал А: М3 — М3 для некоторого еектора 7 € Л\{0} удовлетворяет уеловиям (17) и (27) (и е = \7\-17). Тогда существует константа С = С(7, Л; А) € (0,1] такая, что для любых 5 > 0 и в > 0 существуют константы С/ = С('(^, Л,5,в; А) > 0 и С2" = С2"(7, Л,6; А) > 0 такие, что для любой матричной функции V = V(1) + V(2); где V (3) : М3 — ¿>4, в = 1, 2; — ( Л) (1) € Ь3Ш(К; М4),
V(2) € К(К; ¿>4) и НV(1) м) < С/', g(V(2)) < С2"; найдется число ко > 4 такое, что для любого к1 ^ к0 существует, число к € [к1, к/+б] такое, что для всех еекторов к € К(е) и всех вектор-функций р € Н](К; С4)
\\G~J ф{к + 1ке)+ Ш)р\\ ^ Р++ р-)ф{к + 1ке) + Ш)р\\ ^
^ (1-8)\\(съб2р- + б%р+)!р\\ > (1-8)С^\\д2<р\\.
Теорема 1.1 непосредственно следует из теорем 1.2, 1.3 и 1.5.
Теорема 1.2 (см. [17,19]). Предположим, что для некоторого вектора 7 € Л\{0} (е = Ы-17) периодический (с решеткой периодов Л) магнитный потенциал А: М3 М3 удовлетворяет условиям (17) и (27). Тогда, существует конст,ант,а, С = С(7, Л; А) € (0,1] такая, что для любого 5 € (0,1) существует число к0 > 0 такое, что для, всех к ^ к0 , всех векторов к € К(е) и всех вектор-функций р € Н](К; С4)
||(С"3 Р+ + Р~)ф(к + гяе) - ^ А3а3)р\\ > (1 - 6) ||(Сз б! Р~ + Р+)р||.
з = 1
Замечание 4. Если А = 0, то в условиях теорем 1.1 и 1.2 можно положить С =1 (см. (1.4)) и выбрать вектор 7 € Л\{0} с минимальной длиной \7\. Тогда константа С{' (из теоремы 1.1) будет зависеть только от 5 и в, а константа С2' — от 5.
Пусть 7 € Л\{0} — какой-либо из векторов, для которых \7\ = шт \7'\.
7' е л\{о}
Теорема 1.3. Пусть 7 € Л\{0} (е = \7\-17). Тогда для любой периодической (с решеткой периодов Л С М3) матричной функции V(1) € Ь^ (К; ¿>4) и любых е > 0 и в > 0 найдется число к0 > 4 такое, что для любого к1 ^ к0 существует, число к € [к1, к/+б] такое, что для всех векторов к € К(е) и всех вектор-фу нкций р € Н ](К; С4)
||(С1* р+ + С? Р~)уМ<рII < С1 М 1 {е + ЦУ™ ||^;Л,4)) ||(С 1 Р-+С1 Р+)РII,
где с1 > 0 — универсальная конст,ант,а.
Для матричных функций V(1) € Ь3(К; ¿>4) (для них НV(1)Н^з>|к-м) = 0) спРавеДлив0 более сильное утверждение, чем утверждение, следующее из теоремы 1.3.
Теорема 1.4. Пусть y G Л\{0} (e = |Y|-1Y) • Тогда для, любой периодической (с решеткой периодов Л С R3) матричной функции р(1) G L3(K; S4) и любых чисел е > 0 в G (0,1] и т G (0,1) найдется число ко > 0 такое, что для любого к1 ^ ко найдется измеримое (по Лебегу) множество Z С [к1, (1 + в)к1] такое, что mes Z ^ твк1 и для всех к G Z, всех векторов k G K(e) и всех вектор-функций m G Iе 1(K; C4)
||(cH P+ + P-^VH < e ||(Gj P~ + gJ P+)<p\\. (1.5)
Более простой вариант теоремы 1.4 (когда вместо выполнения оценки (1.5) для всех к GZ требуется ее выполнение только для одного числа к G [к1, (1 + в)к1]) приведен в [20], но из доказательства, предложенного в [20], следует, что справедлива также теорема 1.4.
Теорема 1.5. Пусть y G Л\{0} (e = |Y|-1Y) • Тогда для любой периодической (с решеткой периодов Л С R3) матричной фун кции р (2) G K(K ; S4) С LW (K ; M4 ) и любого е > 0 найдется число^ к0 > 0 такое, что для, всех к ^ к0; всех векторов k G K(e) и всех вектор-функций <р G H 1(K; C4)
||(cH P+ + P~)V^tp|| < c2 (e + q(V^)) ||(G2 P~ + P+)<p\\, где c2 > 0 — универсальная константа.
Теорема 1.5 является следствием теоремы 1.6 из [19]. Теорема 1.3 доказывается в следующем параграфе.
§ 2. Доказательство теоремы 1.3
Воспользуемся обозначениями и некоторыми утверждениями из [19,20].
Пусть y G Л\{0}, e = ^Коэффициенты Фурье Wn, N G Л*, матричных функций W G L2(K; S>4), коммутируют с ортогональными проекторами P±, ё G S 1(e). Для множеств С С Л* будем через Pc обозначать ортогональные проекторы в L2(K; C4), ставящие в соответствие вектор-функциям m G L2(K; C4) вектор-функции
'Cm = Y" <n„e 2П (Nx)
P C m = E mN<
N ec
(в частности, P 0 = 0).
Будем далее считать, что базисные векторы Ej, j = 1, 2, 3, решетки Л С R3 выбраны так,
TJ'PQ
3
WEj | < С3 mes K, (2.1)
j=1
где С3 > 0 — некоторая универсальная константа (при этом mes K от выбора базиса {Ej} не зависит). Для этого достаточно выбрать вектор E1 = ё после этого из множества Л\ {тщE1 : Ш1 G Z} выбрать век тор E2 с минимальной длиной и, наконец, и з множества Л \ {тщ E1+m2E2 : Ш1,Ш2 G Z} выбрать век тор E3, также имеющий минимальную длину. Тогда векторы Ej, j = 1, 2, 3, образуют базис решетки Л и удовлетворяют неравенству (2.1).
Число ко > 0 будет далее выбираться достаточно большим и оценки снизу для него будут приведены по ходу доказательства. Вначале предположим, что ко > 4 и ко ^ 8п diam K*, где diam K * — диаметр элементарной ячейки K * (и в дальнейшем предполагается, что эти неравенства выполнены). Пусть к ^ ко, l = l(K*) G Z — наименьшее число, для которого 21 > 2п diam K*, и L = L(k) G N — наибольшее число, для которого 2 L+1 < к ( тогда l ^ L и к < 2 L+2).
Пусть k G K(e)- Обозначим
K(b) = {N G Л* : GN(k; к) < b}, b G [0, к)
(множество K(b) зависит также от k и к). При b > 2п diam K* (и b < к) для числа элементов множества K(b) справедлива оценка
# K(b) < С4 (mes K*)-1кЬ2,
где С4 > 0 — универсальная константа. Если N, N1 G K(2 L), то
4п
|è(fc + 2tïN) - Щ + 2тгЛГ')1 < — Nil
к
Обозначим
Ki = K(2l), K^ = K(2M)\K(2), f = l + 1,l + 2,---,L; P(±) = P± PK(2L)-Имеет место равенство P (+) + p (-) = p K(2 ^ Для любой вектор-функции m G L2(K; C4)
IP^VII < \\G2PKl<p\\ < P II^VII, (2.2)
2 V Цр^Ц < ЦС.^Р^Ц < 2 г Цр^Ц, /х = г + 1,..., Ь. (2.3)
Положим
{/ТтГ
у ш 2 2, если ц = I,
1, если ц = I + 1,.. .,Ь.
При этом
д? > |71 ^ат К * > |7| • |Е* | ^ (ЕЬЕ*) = 1.
Получим также оценку сверху для д2. Пусть среди базисных векторов Е* (решетки Л*), ] = 1, 2, 3 вектор Е* имеет максимальную длину. Тогда ё1ат К * < 3 Е* |. Используя (2.1), получаем
3 / Е * \
Сз1 [] \Е3\ < т< П = ^Г1 П №
3 = 1 | 5| 3:3 = « 3:3 = «
Тогда |Е5|^|Е*| ^ сз и, следовательно,
14 —З'-^гМ^^сИатК^б Д |£?в|.|^|<6сзЩ. (2-4)
М п |7| |7| Ы
Из (2.2) и (2.3) следуют неравенства
ЦР^^Ц, = + (2.5)
Для матричных функций V(1) £ (К; М4), всех векторов к € К(е) и всех вектор-функций
р € Н 1(К; С4)
+ д~^р-)у{1)(р\\ < (2.6)
+ II + с^р-)рЛ*\;с(21')1/(1)р;с(21')^11 +
+1| + с^р-^лл^^шрлл^^^
при этом
11(^-1 р{+) ^ (2.7)
В [19] доказано, что существует универсальная константа С5 > 0 такая, что для любой матричной функции V(1) е L3w (K; S4) и любо го е > 0 существует ч исло к0 > 0 такое, что для всех к ^ к0, всех векторов к Е K(e) и всех вектор-функций p Е H 1(K; C4) последние три слагаемых в правой части неравенства (2.6) и последние два слагаемых в правой части неравенства (2.7) не превосходят
<*(е + И^feW \\{СЛР- + С4Р^Ы
(для матричных функций р(1) Е L3(K; S4) (для которых ||р(1) = 0) доказательство
этих оценок приведено также в [20]). Поэтому при ко ^ к0 (и к ^ ко) из (2.6) и (2.7) (а также из неравенства ||р(1) Ц^(K°M4) ^ llV(1) Il3\kм4)' котоРое справедливо для всех матричных функций р(1) Е L3w(K; M4)) следует оценка
\\{G~JP++ д~+^р-)У{1)р\\ < (2.8)
Доказательство теоремы 1.3 теперь сводится к получению соответствующей оценки сверху для нормы WGZ^pMvWpi-)^. Обозначим
Р± = Р ±Р , ц = l,l + 1,...,L; Р(±) = £ V(±).
ß = I
Для чисел ß,v е{1, ...,L} положим j(ß, v) = ц + v + min {ц, v}.
Теорема 2.1. Пусть y Е Л\{0} (m e = |y|_1y). Тогда для любой периодической (с решеткой периодов Л С R3) матричной функции W Е LW (K; S>4) и любых е > 0 и в > 0 найдется число к0 > 4 такое, что для любого к1 ^ к0 существует, число к е [к1, к{+0] такое, что для всех ß,v = l,..., L(h), всех векторов к Е K(e) и всех вектор-функций ф Е L2(K; C4)
WP^WP^n < c6(^-f(s + (2.9)
где c6 > 0 — универсальная константа.
Теорема 2.1 доказывается в §3, а в оставшейся части этого параграфа с помощью теоремы 2.1 завершим доказательство теоремы 1.3. Введем краткое обозначение
1+^x1/ ||ГГТ||(оо)
Учитывая (2.5) и определение чисел д^, для выбираемых в теореме 2.1 для матричной функции № = V(1) чисел к и для всех = I,..., Ь(к), всех к € К(е) и всех ф € Ь2(К; С4) с помощью оценки (2.9) получаем
< 2V(VW) qßqv2-2+ijM \\р(-)ф\\ <; 2 qf V(VW) 2" в и, следовательно,
L , z L
= IIgJp^V^GJ (^ГРуАфЦ2 < (2.10)
ß = I ^v = I '
L / L 1 1 N 2 L / L \ 2
E (E iig^PW^GI^J-VII) < Mw(1)))2 E .
При этом
L / L ч 2 L
Е1 >
¡л = l 4 V = l / л = l 4 V = l / 4v = l
< (^4) EÎE^41^1)11^112 ^ i1^) S II^II2 < 81||P(-Vn2.
2 s / V^ = | / V 1 2 s / = |
Из (2.10) и (2.11) (см. также (2.4)) вытекает оценка
\\G-JPMV^G-JP^\\ < 108СзСб ^ " (е + ||F(1) Нвд^Ц)) H^'Vll-
^ i ^ ~
Осталось в полученном неравенстве сделать замену ф = G^P^ip, ip £ H1 (К] С4), и воспользоваться неравенством (2.8) (при выборе достаточно большого числа ко ^ Ко). При этом можно положить c1 = 5с5 + 108 c3 Сб. Теорема 1.3 доказана. □
§ 3. Доказательство теоремы 2.1
Для n G Л* ж f, v G {l, ••• ,L(k)} (при к ^ ко и k G K(e)) пусть S^v(n) — число векторов N gK^ таких, что N — n G Kv. Если 2^n^| > 2к + 2^ + 2V ми 2п|пц| > 2^ + 2V, то (n) = 0. Существует универсальная константа cj > 0 такая, что для всех f, v = 1,...,L(k) и всех векторов n G Л*, для которых n|n^| ^ к + 2max(и пП^ ^ 2max}), справедлива оценка
S Un) < —3—---, (3.1)
mes K * (п|n±| + 2 max {^,v}) V к + 2 1+max — п|n±|
(так как 2l > 2n diamK* и 2L < к — 2n diamK*, то оценка (3.1) следует из соответствующей оценки сверху для площади пересечения двух колец в R2 с внешними и внутренними радиусами к ± (2^ + 2п diamK*) и к ± (2 v + 2п diam K*) и с расстоянием между центрами 2п\и±_\). Доказательство оценки (3.1) (в более общем виде) приведено в [20] (см. также [10,16]).
Выберем (и зафиксируем) четную функцию Q из пространства Шварца S(R3; R), для которой преобразование Фурье
= í dx, pe R3,
(2п)3 JR3
обладает следующими свойствами: Q(p) = 1 при ^ 1, 0 ^ £l(p) ^ 1 при 1 < < | и Q(p) = 0 при \р\ ^ При b > 0 обозначим
Qb(x) = b3Q(bx), x е R3.
Тогда ||Qb|b(R3) = ||n||Li(R3) и Qb(p) = Щ), p e R3.
Пусть W е L2(K;M4). При a> 0 определим функции
R3 Э x ^ Waf(x) = ( W(x) , еСЛИ HW(x)ll^ > a, I 0 в противном случае;
Wa,;(x) = W(x) — Wa,t(x), x е R3.
Обозначим
>V6'in(a;) =í nb(y)W(x-y)dy, Wb'ou\x) = Щх) - WWm{x), b > 0;
(2п)3 Jv3
Кп^ = Щг JR3 Qb(y) Wa,u(x - y) dy, Wba™\x) = Wa,U{x) - Wba™{x).
Для любой матричной функции № € Ь2(К; М4) операторы №Р>]( ) (действующие в Ь2(К; С4)) ограничены. Если № € Ь2(К; ¿>4), то для всех вектор-функций ф € Ь2(К; С4) справедливы оценки
Н!(+) Ш(-)ФН2 = (3-2)
(mes К) £ Е p+k+2nN _„)) фм-n
N ек^ n е Л*: N—n ек
<
^ i (mesК) J2 ( Е |е(А: + 27гЖ)-е(А: + 27г(Ж-п))| 4|VVnlU4||(^"^)w-n||)2 ^
4
л / / t
N еКр n е Л*:
n—n eKv
* - ' - ............^„Л* ~
< (mes К) к-2 £ ( ^2 2n\n±\\\Wn M \\(^ —Ф)м—п\\) < N ек„ n е Л*:
n—n ек
< (mesК) к-2 — ( — (2n\n±\)2\Wn\M^ — \\(Р_Ф)м_п
N еКи n е Л*: n е Л* :
N—n ек N—n ек
= — ( — 1) (2п\"±\)2\Wn\M4 ) \\Р(—U"2
n е Л* n ек^(n)
к—22 (J2 (n)(2vr\n±\)2\Wn\\2m4) \\РУ'Ф\\2
n е Л*
Так как (УУж'1П)га = п Е Л*, то (УУж'1П)га = 0 при всех п Е Л*, для которых
27г|п| ^ | х. С другой стороны, если 27г|п| < | х, то к + 21+тах^>гу} — 7г|п_|_| > | (для всех ц, V = I,... ,Ь). Поэтому из (3.1) и (3.2) при к ^ к0 (и для всех /л,и = I,..., Ь(к), всех к € К(е) и всех ф € Ь2(К; С4)) получаем
< 2(c7mesK)^( ^ ЦЙу^)* 2\\р(~)ф\\ <: (3.3)
к
n е Л* : 2ж\п\ <\я
n е Л*
Следствием (первого неравенства в) (3.3) является
Л е м м а 3.1. Пусть W Е L2(K; S4). Тогда для любых е' > 0 и fx,v Е {l,l + 1,... } существует, число к0 = к*(р, v; е', W) > 0 такое, что max {^,v} ^ L(k0) и для вс ех к ^ к0 , всех векторов k Е K(e) и всех вектор-функций ф Е L2(K; C4)
\\р(+)Wкinp(—)ф\\ ^ е'ЦРУф\\.
Теорема 3.1. Существует универсальная константа C* > 0 такая, что для любой матричной функции W Е LW (К; S4) и для вс ех к ^ ко > max {4, 8п diam К *} всех H,v = l,..., L(x), всех векторов k Е K(e) и всех вектор-функций ф Е 1^(К; C4)
in^-tyn ^ (3.4)
Доказательство. Теорема 3.1 справедлива, если W(x) = 0 при п.в. (почти всех) х Е М3. Поэтому можно считать, что \\W\\l3 (К;м4) > 0. Для всех j Е Z (для которых j ^ 31) выберем числа aj = ЦУУЦ^з (К;М4) ^ При п. в. х Е К3 имеет место оценка
\^;;п(х)\\ < (2п)—3\П\Ь1(М3) aj.
2
Поэтому (для всех /j,,v = l,..., L(x))
С другой стороны, из неравенства (3.3) (в котором вместо функции № рассматриваются функции ,получаем
Обозначим
) = {x е К : 2s-1 aj < \\w(x)\\m4 < 2saj
Так как
.-in^ii A3
to
mes ^ < (2-s+1a-1 \\W\\l3 {KM)) , aj \\Wa3M\h{K;M4) = aj E j (j) \W(x)\M4 dx < 8\W\\3Li^;M4) (3-6)
(
sen jKs
и, следовательно,
i
< \\MLUK;M4)^3M\\H-4\\- (3.7)
Теперь неравенство (3.4) непосредственно следует из оценок (3.5) и (3.7), если воспользоваться
™ , + №я
равенствами W к, in = WaK'in ^ + WaK'in ^ (при ц, v = l,..., L(x)). При этом можно положить
С* = 8л/ЗС7 + (27r)~3||Q||Li(R3). □
Теорема 3.2. Для любых матричной функции W е LW(К; S4) и числа, е > 0 существует число к* = я*(е, W) > 0 такое, что для всех к ^ к0 ^ я* , всех = l,...,L( к), всеж векторов k е K(e) м всеж вектор-функций ф е L2(K; C4)
г(9е С * > 0 — универсальная константа из теоремы 3.1.
Доказательство. Выберем число t0 > 0, для которого
instilькк-м.) + (3-9)
В силу теоремы 3.1 (при к ^ к0 , при всех ¡i,v = l,..., L(к) всех k е K(e) и всех ф е L2(К; C4)) \\pi+)wt2lnH-4\\ + HWllg^))(3.10)
Так как \\Wto4(x)\\M4 ^ to при п. в. x е R3, то также выполняются оценки
\Й+)W^P^ф\\ < (2^)-3 \fi\Li(R3) to \\Н-)ф\\. (3.11)
Пусть J е Z — наименьшее число, для которого
(2"7Г)~3 ||Q||Li(R3) to ^ £-С* 2^. Если j(^,v) ^ J, то из (3.11) получаем
< f с* 2 (3.12)
С другой стороны, множество Qj упорядоченных пар (ц, v) чисел fx,v е {l,...,L(к)}, для которых j(p, v) < J, конечно (или пусто) и для таких упорядоченных пар 2 max {ц, v} < J — l
Поэтому из леммы 3.1 следует существование такого числа я* > 0, что при всех (ц, v) Е Qj выполняется неравенство max{ц,v} ^ L( >0) и при всех к ^ ко ^ >0 , всех (ц, v) Е Qj, всех k Е K(e) и всех ф Е L2(K;C4) имеет место оценка (3.12). Следовательно, оценка (3.12) справедлива при всех fx,v = l,..., L(к). Теперь неравенство (3.8) непосредственно следует (при к ^ ко ^ Я*) из (3.10) и (3.12) (и равенства Wкin = + W^). □
Теперь получим оценку сверху для норм
урШWV\\. Пусть W Е L2(K;¿>4). Так
как (ууж'ои1:) = (l — УУга, я € Л*, то = 0 при всех п € Л*, для которых
2n\n\ ^ к. Используя оценку 2n\N — N'\ < 2( к + 2^ + 2v) ^ 4 к, выполняющуюся при N Е K^ и N' Е Kv, из (3.1) и (3.2) для всех к ^ к0, всех /j,,v = l,...,L(к), всех k Е K(e) и всех вектор-функций ф Е L2(K; C4) получаем
\\р(+)WкoutР(—)ф\\ < (3.13) < (6C7mesK)Uv^ V HWJk-^^Ь'^Ц^-УЦ.
Vv л/iiT + 2 l+max -7г|п±| >
п |n±| < к + 2 max , к^ 2n|n| < 4 к
Теорема 3.3. Для любых периодической (с решеткой периодов Л С М3) матричной функции W Е L3w (К; S>4) и чисел е > 0 и 9 > 0 существует число кО' > 4 такое, что для любого к! ^ к0 ^ к0'' найдется число к е [ к1, к{+6 ] такое, что для всех ¡i,v = l,...,L( к), всех векторов k Е K(e) и всех вектор-функций ф Е L2(K; C4)
в
г(9е С* > 0 — универсальная константа.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 3.2, выберем число ¿0 > 0 так, чтобы выполнялось неравенство (3.9). Обозначим V = ^^^^ Пусть
Из (3.6) следуют оценки
^ЛНЬ(К.м4) < 8а-1 Н№г0(к-м4).
Будем далее считать, что кд ^ 8. Пусть к1 ^ к^. Выберем чиело в0 € N так, что 830 к ^ ^ к1+д < 830+1к^. Для чисел в = 0,1 ,...,в0 определим числа к(з) = 83к1. Обозначим Ь8 = Ь{2к[з)); Ь3 < Число
0
для числа в0 (при всех к ^ к0) выполнялись неравенства
8о-(ЗЬ,0 - 8« + 1) < <в(з + 1^)< 18 (1±£ + ¿) < 20
0
оценки
1 во - 1 3Ьа 1 3Lso во -1
- Е Е а> Е \\(^л)п\\2М4 < - Е а> Е Е \\(Кл)п\\2м, <
0 з = 0 з = 31 п е Л*: 0 з = 31 в = 0 п е Л*:
< 2п|п| < 8< 2п|п| < 8
1 3-^о 4 3^во
^ 7 Е а1 Е < - (тв8 К)-1 £ а, \\%Л\\Ь(к;м,) <
0 з = 31 п е Л*: 0 з = 31
к(0) < 2п|п| < 8к(8о)
32 1 —-• о 1 1 + 0 "—о
^ _ (mesк) (3LS0 —31 + 1) \\то,^\\ь%(К;М4) < 640(mesK)-— ||Ж0^11£з (*;Л<Ц)>
из которых вытекает существование числа s g{0, 1,..., «о — 1} такого, что 3Ls 1 + 0
EaJ' Е IIO^,t)n||^4 ^^0(те8К)-1^\\ЩоЛ\\1ик.М4). (3.15)
j = 3l n е Л* :
k(s) < 2n\n\ < 8k(s)
Определим функции
0, если £ < —2 Ls,
= { (C + 21+A)"i если -2Л < -2 х-1, X = I + 1,... ,LS,
(£ + 2ш) 2, если { ^ —2г,
и при всех к Е [K(s), 2K(s)] обозначим
3LS
F( к) = у 2k(s) ^ a, E ^(S)(к " n\n±\) \\(Vj,t)n\\^4,
j = 3l n e A* :
k(s) < 2n\n\ < 8k(s)
7{K) = E ^(^-vrlnxl) \\{Wt0À)nfMA.
n e Л* : k(s) < 2n\n\ < 8k(s)
Так как при всех £ < — 21 имеет место оценка 0< (—£ — 21+г) 2, то
С 2 4го !
Jя{s)
и, следовательно (см. (3.15)),
о (г)
Г 1 1 + 0
(*П / м < 2560У2(т ев а:)"1 ||Ж0)||||з {К;М4),
(^'Г' /
к(г) < 2^|га| < 8
Откуда вытекает существование числа к € [2(именно такое число рассматривается в дальнейшем), для которого
ÏY1 <s) H*)d* < 4^2 e \m0,i)n\\2Mi-
Лз) <- Oirl.nl ^ S^W
1 I û
J-(x) < 5120 л/2 (mes K)~l — \\тоЛ\\1*(К;М*)> (ЗЛ6)
Л*) ^8^2 E Шол)п\\м,- (3-17)
ne Л* : k(s) < 2n\n\ < 8K(s)
С другой стороны, так как для всех ¡л, v = l,... ,L(к) и всех n е Л*, для которых n\n^\ ^ ^ к + 2 maxÍM,^ справедливо неравенство (х + 21+тах— 7г|п_|_|) 2 ^ (/^(х —7г|п_|_|), то для всех v = l,..., L(к)
К | < к+2 max ÍM,^}, к(8) < < 84s>
к < 2^|ra| < 4 к
п < к + 2 тах , к(8) < 2п|п| < 84В)
к < 2п|п| < 4 к
Поэтому из (3.13) и (3.16), (3.17) для всех /л^ = I,... ,Ь( к), всех к € К(е) и всех ф € Ь2(К; С4) получаем
< = (3.18)
ii а —
С8 Н")'
Wppvzr^w ^c9((mesK) £ IKWtoJnllk)'2^'^!!^-^!!, (3.19)
j к, out p(—)
! "to,4
n е Л* : я\ < 2n|n| < к11+е
где с8 = (30720 \/2 с7) ^, с9 = (48 \/2 с7) i При п. в. х Е М3
HVcCcOUi;,;(x)»M4 < (1 + (2п)—3 \\^mli(r3)) ajM-
Следовательно,
\\p!?)pZ,out,IР—)ф\\ < (3.20)
! aj(p,v) A v
< (1 + (2ТГ)"3 ||Q||l1(R3)) HWtojL» 2 5^.") ||p(-
9
, out = Р , out + Р , out io,t aj(p,v),A aj(pv)
k Е K(e) и всех ф Е L2(K; C4) вытекает оценка
Так как = 4 + ^ t, то из (3.18) и (3.20) для всех ц,v = l,...,L( к), всех
< С* + HWllg;^)) 2 \\р(-)ф\1 (3.21)
„I ^ VII ^ - V в ) V 2
где (7* = С8 + 1 + (2^)-3 ЦПНь!(
Пусть теперь , € ^ — наименьшее число, для которого
(1 + (2тг)-3||0||ь1(кз))^ < \С* 2 К
При п. в. х € М3 выполняется неравенство
Н^о;4ои1(х)Нм4 < (1 + (2^)-3 ЦпЬ(мз)) ¿0.
Следовательно, для всех чисел = I,..., Ь(к), для которых V) ^ , всех к € К(е) и всех ф € Ь2(К; С4)
< | (3-22)
С другой стороны, существует конечное (или пустое) множество упорядоченных пар (/, V) чисел = I,..., Ь(к), для которых ](/,, V) < ,1, и для таких пар (как и при доказательстве теоремы 3.2) 2 шах{/, V} < , — I. Для каждой упорядоченной пары (/, V) € справедливо неравенство (3.19). При этом
Е Н(№*оа)п НМ4 ^ 0
п е Л* : < 2п|п| < к11+е
при к ^ Поэтому при выборе достаточно большого числа ко > 4 (в зависимости от
решетки Л, матричной функции W и чисел е, 0) и при (любом) к ^ ко для определенного выше числа к е [к1, к^®] из оценки (3.19) при всех (ц, v) е QJ следует оценка (3.22). Но тогда оценка (3.22) справедлива при всех /j,,v = l,..., L(к) всех k е K(e) и всех ф е L2(K; C4). Доказываемая оценка (3.14) теперь следует (при всех /j,,v = l,... ,L(к), всех k е K(e) и всех ф е L2(K;C4)) го (3.21) и (3.22), так как Wкout = + ■ □
В силу равенства W = Wк'in + Wк'out теорема 2.1 является следствием теорем 3.2 и 3.3.
Список литературы
1. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2: Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 400 с.
2. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
3. Данилов J1.И. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. VI / ФТИ УрО РАН. Ижевск, 1996. 45 с. Деп. в ВИНИТИ 31.12.1996, № 3855-В96.
4. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations // Oper. Theory Adv. Appl. Vol. 60. Basel: Birkhauser Verlag, 1993. DOI: 10.1007/978-3-0348-8573-7
5. Filonov N., Sobolev A.V. Absence of singular continuous component in the spectrum of analytic direct integrals // Зап. научи, семин. ПОМП. 2004. Т. 318. С. 298-307.
6. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11. № 2. С. 1-40.
7. Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 354. No. 2. P. 537-569. DOI: 10.1090/S0002-9947-01-02878-1
8. Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators // Bull. Amer. Math. Soc. 2016. Vol. 53. No. 3. P. 343-413. DOI: 10.1090/bull/1528
9. Данилов Л.И. О спектре оператора Дирака в!" с периодическим потенциалом / / Теор. и матем. физика. 1990. Т. 85. № 1. С. 41-53.
10. Данилов Л.И. Оценки резольвенты и спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом // Теор. и матем. физика. 1995. Т. 103. № 1. С. 3-22.
11. Данилов Л.И. Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Дирака // Дифферент уравнения. 2000. Т. 36. № 2. С. 233-240.
12. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Дирака // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 118. № 1. С. 3-14.
13. Birman M.Sh., Suslina Т.А. The periodic Dirac operator is absolutely continuous // Integr. Equat. Oper. Theory. 1999. Vol. 34. P. 377-395. DOI: 10.1007/BF01272881
14. Данилов Л.И. О спектре периодического оператора Дирака // Теор. и матем. физика. 2000. Т. 124. № 1. С. 3-17.
15. Данилов Л.И. Об отсутствии собственных значений в спектре обобщенного двумерного периодического оператора Дирака // Алгебра и анализ. 2005. Т. 17. № 3. С. 47-80.
16. Данилов Л.И. Об абсолютной непрерывности спектра трехмерного периодического оператора Дирака // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2006. Вып. 1 (35). С. 49-76. http://mi.mathnet.ru/iimi79
17. Данилов Л.И. Абсолютная непрерывность спектра многомерного периодического магнитного оператора Дирака // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 1. С. 61-96. DOI: 10.20537/vm080106
18. Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360. No. 4. P. 1741-1758. DOI: 10.1090/S0002-9947-07-04545-X
19. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a d-dimensional periodic magnetic Dirac operator // arXiv: 0805.0399 [math-ph]. 2008.
20. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a 3D periodic magnetic Dirac operator // Integr. Equat. Oper. Theory. 2011. Vol. 71. P. 535-556. DOI: 10.1007/s00020-011-1906-z
21. Данилов Л.И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шрёдингера и Дирака. I / ФТИ УрО РАН. Ижевск, 2000. 76 с. Деп. в ВИНИТИ 15.06.00, № 1683-В00.
22. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т. 1. М.: Мир, 1982. 488 с.
23. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.
24. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнений с периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1950. Т. 73. № 6. С. 1117-1120.
25. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Commun. Math. Phys. 1973. Vol. 33. P. 335-343. DOI: 10.1007/BF01646745
Поступила в редакцию 01.09.2016
Данилов Леонид Иванович, к. ф.-м. н., старший научный сотрудник, Физико-технический институт УрО РАН, 426000, Россия, г. Ижевск, ул. Кирова, 132. E-mail: lidanilov@mail.ru
L. I. Danilov
On the spectrum of a periodic magnetic Dirac operator
Keywords: Dirac operator, absolute continuity of the spectrum, periodic potential. MSC2010: 35P05
We consider the periodic three-dimensional Dirac operator V + W = i^f- — Aj) + Vo + Vi. The vector
potential A: R3 ^ R3 and the functions Vsy s = 0, 1, with values in the space of Hermitian (4 x 4)-matrices are periodic with a common period lattice Л С R3. The functions Vs are supposed to satisfy the commutation relations VsVj = (—1)sVjVSy j = 1, 2,3 s = 0,1. Let K be the fundamental domain of the lattice Л. We prove absolute continuity of the spectrum of the operator V + ТУ provided that A e HoC(R3; R3), q > 1 от I|An || < where An are the Fourier coefficients of the magnetic potential A, and the function y = V0 + yi belongs to the space L3 (K) and satisfies the estimate mes {x e K : ||y(x)|| > t} < Ct-3 for all sufficiently large numbers t > 0. The constant C > 0 depend on the A (if A = 0 then C is a universal constant), and mes is the Lebesgue measure. We can also add a function of the same form with several Coulomb singularities \x — xm\-1wm in neighborhoods of points xm e K, m = 1,..., mo, to the function V = V0 + yi provided that this function is continuous for x e xm + Л m = 1,---, mo, and Ци>т || < Ci for all m. The constant Ci > 0 also depends от the magnetic potential A (and does not depend on m0
REFERENCES
1. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. II: Fourier analysis, self-adjointness, New York: Academic Press, 1975. 361 p. Translated under the title Metody sovremennoi matematieheskoi fiziki. Тот II: Garmonieheskii analiz. Samosopryazhennost', Moscow: Mir, 1978, 400 p.
2. Kato T. Perturbation theory for linear operators, Berlin: Springer Verlag, 1976. DOI: 10.1007/978-3-642-66282-9
3. Danilov L.I. The spectrum of the Dirac operator with periodic potential. VI, Physical-Technical Institute of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, 1996, 45 p. Deposited in VINITI 31.12.1996, no. 3855-B96 (in Russian).
4. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations, Oper. Theory Adv. Appl, vol. 60. Basel: Birkhauser Verlag, 1993. DOI: 10.1007/978-3-0348-8573-7
5. Filonov N., Sobolev A.V. Absence of singular continuous component in the spectrum of analytic direct integrals, J. Math. Sei., 2006, vol. 136, pp. 3826-3831. DOI: 10.1007/sl0958-006-0203-x
6. Birman M.Sh., Suslina T.A. Periodic magnetic Hamiltonian with variable metric. The problem of absolute continuity, St. Petersburg Math. J., 2000, vol. 11, no. 2, pp. 203-232.
7. Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soe., 2002, vol. 354, no. 2, pp. 537-569. DOI: 10.1090/S0002-9947-01-02878-1
8. Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators, Bull. Amer. Math. Soe., 2016, vol. 53, no. 3, pp. 343-413. DOI: 10.1090/bull/1528
9. Danilov L.I. Spectrum of the Dirac operator in R" with periodic potential, Theoret. and Math. Phys., 1990, vol. 85, no. 1, pp. 1039-1048. DOI: 10.1007/BF01017245
10. Danilov L.I. Resolvent estimates and the spectrum of the Dirac operator with periodic potential, Theoret. and Math. Phys., 1995, vol. 103, no. 1, pp. 349-365. DOI: 10.1007/BF02069779
11. Danilov L.I. Absolute continuity of the spectrum of a periodic Dirac operator, Differential Equations, 2000, vol. 36, no. 2, pp. 262-271. DOI: 10.1007/BF02754212
12. Danilov L.I. On the spectrum of a two-dimensional periodic Dirac operator, Theoret. and Math. Phys., 1999, vol. 118, no. 1, pp. 1-11. DOI: 10.1007/BF02557191
13. Birman M.Sh., Suslina T.A. The periodic Dirac operator is absolutely continuous, Integr. Equ. Oper. Theory, 1999, vol. 34, pp. 377-395. DOI: 10.1007/BF01272881
14. Danilov L.I. On the spectrum of the periodic Dirac operator, Theoret. and Math. Phys., 2000, vol. 124, no. 1, pp. 859-871. DOI: 10.1007/BF02551063
15. Danilov L.I. Absence of eigenvalues for the generalized two-dimensional periodic Dirac operator, St. Petersburg Math. J., 2006, vol. 17, no. 3, pp. 409-433. DOI: 10.1090/S1061-0022-06-00911-3
16. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a three-dimensional periodic Dirac operator, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2006, no. 1 (35), pp. 49-76 (in Russian).
http://mi.mathnet.ru/iimi79
17. Danilov L.I. Absolute continuity of the spectrum of a multidimensional periodic magnetic Dirac operator, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut Nauki, 2008, no. 1, pp. 61-96 (in Russian).
DOI: 10.20537/vm080106
18. Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators, Trans. Amer. Math. Soc., 2008, vol. 360, no. 4, pp. 1741-1758. DOI: 10.1090/S0002-9947-07-04545-X
19. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a d-dimensional periodic magnetic Dirac operator, 2008, arXiv: 0805.0399v3 [math-ph].
20. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a 3D periodic magnetic Dirac operator, Integr. Equ. Oper. Theory, 2011, vol. 71, pp. 535-556. DOI: 10.1007/s00020-011-1906-z
21. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of periodic Schrodinger and Dirac operators. I, Physical-Technical Institute of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, 2000, 76 p. Deposited in VINITI 15.06.2000, no. 1683-B00 (in Russian).
22. Richtmyer R.D. Principles of advanced mathematical physics. Vol. I, New York-Heidelberg-Berlin: Springer Verlag, 1978. Translated under the title Printsipy sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom I, Moscow: Mir, 1982, 488 p.
23. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. IV. Analysis of operators, New York-London: Academic Press, 1978. Translated under the title Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom IV. Analiz operatorov, Moscow: Mir, 1982, 428 p.
24. Gel'fand I.M. Expansion in characteristic functions of an equation with periodic coefficients, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1950, vol. 73, no. 6, pp. 1117-1120 (in Russian).
25. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal, Commun. Math. Phys., 1973, vol. 33, pp. 335-343. DOI: 10.1007/BF01646745
Received 01.09.2016
Danilov Leonid Ivanovich, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Physical Technical Institute, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. Kirova, 132, Izhevsk, 426000, Russia. E-mail: lidanilov@mail.ru
