Метод последовательных приближений в задаче о движении жидкости в области с деформируемой границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 1, С. 33-52

УДК 517.9

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ОБЛАСТИ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ1

А. Б. Моргулис

В работе дано обоснование итерационного метода решения общей начально-краевой задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости в области с деформирующейся границей, и на этой основе

доказана теорема о существовании и единственности решения.

Ключевые слова: уравнения Эйлера, идеальная жидкость.

1. Вводные замечания и постановка задачи

Движение жидкости в областях с деформирующейся границей представляют интерес в связи с проблемами динамики крови в сосудах [1], а также в связи с проблемой движения тела в жидкости, вызываемого надлежащим изменением его формы [2, 3]. Например, таким образом способны перемещаться некоторые микроорганизмы. В настоящей работе исследуется общая начально-краевая задача о движении идеальной несжимаемой жидкости в области с деформирующейся границей и устанавливаются существование и единственность ее решения. При этом решение оказывается пределом последовательности некоторых приближений, построение которых вполне конструктивно и может быть использовано для численного решения задачи. Попутно устанавливаются условия, при выполнении которых кинетическая энергия жидкости представляет собой ограниченную функцию времени.

Уравнения идеальной несжимаемой и однородной жидкости (уравнения Эйлера) имеют вид

vt + ш х v = -VH + F; (1.1)

div v = 0. (1.2)

Здесь v = v(x,t) — векторное поле скорости жидкости, которое в каждый момент времени t определено на всей области, занимаемой жидкостью, ш = rot v, скаляр H = P + v2/2 — функция Бернулли, P — давление и F — заданное поле внешней силы. Знак х обозначает векторное произведение. Подчеркнем, что неизвестными являются как поле v, так и скаляр P (или H).

Если область течения и сила F инвариантны относительно сдвигов (скажем, вдоль оси Ox3), естественно выделяется класс плоских течений. В таком случае v = (vi,v2)(x,t),

© 2010 Моргулис А. Б.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 08-01-00895-a и № 07-01-92213-НЦНИЛ-а.

и независимая переменная х = (х1,х2) пробегает некоторую плоскую область. При этом вектор вихря ш всегда ортогонален плоскости течения. Точнее,

rot V = ше3; ш = ш3 = у2х1 — у1х2; ш х V = (—

что дает возможность отождествить вихрь со скаляром.

В настоящей статье исследуются плоские течения в деформирующейся области В = В(£) С Ж2. Деформация области предполагается заданной. Точнее, предполагается, что при каждом £ область В(£) есть образ заданной области Во С Ж2 при заданном вложении У(£) : Во ^ Ж2. Условия регулярности этого вложения будут оговорены позднее, а сейчас заметим лишь, что площадь отсчетной области должна сохраняться со временем (поскольку жидкость несжимаема). Таким образом, при каждом £ £ Ж

В(£) = [У(£)](Во), |Во]/ 1^[У'(М)]| ^ = 1. (1.3)

П0

Здесь У'(а,£) — матрица Якоби производной отображения У(£) в точке а. Не нарушая общности, считаем, что У(0) = : Во ^ Во. Поставим начальное условие, полагая

Ч=о = ^ (1.4)

где vо — заданное векторное поле в области Во = В(0), причем ё1у vо = 0. Границу Б(£) = дВ(£) области течения будем считать непроницаемой для жидкости, так что

Уп^) = 7, (1.5)

где Уп и 7 — нормальные компоненты скоростей жидкости и ее границы, взятые относительно внешней нормали. Функция 7 = 7(у,£) (у £ Б(£), £ £ Ж) определяется заданной деформацией области течения. Именно,

7(У,*)= и(у,£) ■ п(у,£), (1.6)

где у = У(а,£) £ Б(£) (а £ Бо = дВо), п(у,£) — орт внешней нормали к Б(£) и и(у, £) — скорость точки у = У (а, £), так что и(у, £) = д^ У (а, £). В силу ограничения (1.3), 7(у,£) dSy = 0 при каждом что согласовывает граничное условие (1.5) с уравнением (1.2), которое, в свою очередь, выражает несжимаемость жидкости.

Предположим, что область Во ограниченная и, во всяком случае, С2'а — гладкая (1 > а > 0). Пусть определено однопараметрическое семейство отображений У = {У У(£) : Во ^ Ж2. Введем множества

QT = Во х {|£| < Т}; Qт = {(х, £) : х £ В(£) = У (Во, £), < Т}.

Будем говорить, что У принадлежит классу ^а(Во), если: (1) У(£) есть гомеоморфизм Во на свой образ при каждом £ £ Ж;

(И) отображение У : (а,£) ^ (У(а, £),£) есть диффеоморфизм QT ^ Qт при любом Т > 0;

(111) У £ С2'а^°т) и У-1 £ С2'а(<3т) при любом Т > 0; (1у) |Во| = |У(Во, £)| при каждом £ £ Ж.

На множестве семейств вложений У (4) : Д ^ Ж2 класса &а определим отношение эквивалентности, полагая У ~ У2, если семейство отображений {У1-1(£)У2(£)}^6к принадлежит классу &а(До).

Деформацией класса заданной области До назовем класс эквивалентности (по описанному выше отношению) однопараметрических семейств ее вложений в Ж2, сохраняющих ее площадь. Как обычно, любая деформация области может быть описана любым представителем соответствующего класса эквивалентности. Далее будем рассматривать только деформации класса &а (Д).

Пусть задана область Д и ее деформация У. В настоящей статье устанавливается существование и единственность классического решения уравнений (1.1), (1.2) в области Qт при граничном условии (1.5) и начальном условии (1.4). При этом Т > 0 может быть выбрано произвольно, и данные задачи подчиняются лишь естественным требованиям регулярности. Первый результат такого рода был получен в статье [5], где рассматривалась постоянная область. Существование и единственность обобщенного решения была впервые установлена в [4] (также для неподвижной области). Наш анализ следует последней статье, хотя зависимость области течения от времени придает ему известную специфику.

2. Энергия и вихрь

Рассмотрим баланс кинетической энергии движения жидкости и ее вихря. Динамика последнего описывается скалярным уравнением

wt + vVw = f, f = rot F,

(2.1)

которое получается применением операции rot к (1.1). Уравнение вихря (2.1) допускает интегрирование. Именно,

t

w(x,t) = w0(X-1(x,t)) + У f (X(x, t, s), s) ds,

0

(2.2)

где Wo = rot vo — начальное значение вихря, а отображения X(-,t) : Do ^ D(t) и X(^,t, s) : D(t) ^ D(s) определены следующим образом:

(•,*)= X(•, 0) = 1ё : Д ^ Д,

= X(X-1(-,4),5).

При этом непосредственно из (1.2), (2.3) и (2.4) следуют равенства ёе! Х'(а,4) = ёе! (X-1)'(а,4) = ёе! X' (ж, в) = 1 для всех а £ До, ж £ Д(4), в, 4 £ Ж. При / = 0 равенство (2.2) принимает вид

ш(ж,4) = -1(ж,4)),

(2.3)

(2.4)

(2.5)

что выражает фундаментальный закон сохранения двумерной гидродинамики: вихрь сохраняется в каждой материальной частице.

Предложение 2.1. В силу уравнений движения (1.1), (1.2) и граничного условия (1.5) имеет место априорная оценка

í

1И->*)||Р;Я(*) < 1М|Р;Яо ^У II/(•>т)УР;Д(г) ^ Р ^ [1> (2.6)

< Следует непосредственно из равенств (2.2) и (2.5). > Заметим, что оценка (2.6) равномерна по времени в случае / = 0. Кинетическая энергия жидкости имеет вид

K(t) = J v2/2

dx.

D(t)

В случае неподвижной области имеет место закон сохранения кинетической энергии жидкости, так что K(t) = K(0) при любом t. В случае движущейся области это не так. Действительно, выразив vt из уравнений Эйлера и применив граничное условие (1.5), получим

^K = -J YPds +У Fv dx. (2.7)

S(t) D(t)

Полученное соотношение влечет сохранение энергии лишь в случае неподвижной границы (т. е. когда y = 0).

Наша ближайшая цель — оценить кинетическую энергию течения в терминах данных задачи (1.1)—(1.5), в частности, выяснить, при каких условиях кинетическая энергия жидкости есть ограниченная функция времени. Равенство (2.7) здесь мало полезно, поскольку его правая часть содержит плохо контролируемую величину — давление P. Поэтому мы воспользуемся оценкой скорости через ее вихрь и циркуляции. Начнем со вспомогательных конструкций. Напомним, что при любом t имеется разложение

v(*,t) = Vp(-,t) + vs(-,t) + vc(-,t), где (2.8)

Vs = V^s, A^s = и в D(t); Vs |S(t) = 0, (2.9)

Ap = 0 в D(t); (dp/dn) |S(t) = y; (2.10)

rot vc = 0, div vc = 0 в D(t); vc ■ n|s(t) = 0. (2.11)

Заметим, что бездивергентное поле vs однозначно определяется вихрем, а потенциальное поле p — деформацией границы; при этом поле vc описывает безвихревое циркуляционное движение. Такие поля будем называть гармоническими. Пространство гармонических полей (т. е. решений системы (2.11)) обозначим через Hc(t). Как известно, dimHc(t) = dimHc (0) = N, где N — число Бетти области Do (N равно числу компонент границы минус единица). Таким образом, vc = 0, если начальная область Do односвязна. В общем случае поле vc определяется циркуляциями поля v вокруг компонент границы области течения. Здесь оказывается полезной евклидова структура (a, b) = /d^) ab dx. пространства векторных полей на D(t), которая порождает метрику кинетической энергии и гильбертово пространство L2(D(t)).

Предложение 2.2. Разложение (2.8)—(2.11) ортогонально в L2(D(t)).

< По формуле Гаусса, как vs, так и vc ортогональны V^>. Далее,

/ v.vc dx = / vtV^. dx = / ф.(у„ х n) dS - / ф. rot vt = 0. >

D D S D

Пусть N > 0, обозначим через Бп = (п = 0,1,..., N) компоненты 5(4) = дД(4).

Примем, что все контуры п = 1, ...,N, содержатся во внутренности контура 5о. Введем N векторных полей ^кв Нс(4), полагая

Wk = где А^к = 0, фк^^ = 5кп, п = 0,1,...,N. (2.12)

В частности, 'фj =0 на 5о при каждом ] = 1,..., N.

Предложение 2.3. Поля ^кобразуют базис в Нс. Координаты aj поля vc в этом базисе суть решения системы линейных алгебраических уравнений

У^ aj gk,j = J фк wdx — j) vdx, k = 1, (2.13)

j=i

D Sk

IN

где gkj суть компоненты матрицы Грама G базиса {wk }N=i, так что

gkj = J wkwj dx. (2.14)

D

< Пусть u — произвольное векторное поле на D и rot u = Имеем

j) udx = j) фкudx = J(фк£ — Wku) dx. (2.15)

Sk S D

Пусть u € Hc и (u, Wj) =0, j = 1,..., N. В частности, rot u = 0 в D. Тогда циркуляции u вокруг всех компонент границы равны нулю. Следовательно, u = V$, но V$ = 0 в D, так как divu = 0 в D, un = 0 на S. Далее, положив u = v в (2.15), получим (2.13). > Важное средство контроля vc дает следующее

Предложение 2.4. Пусть r(t) С S(t) = dD(t) — замкнутый граничный контур. Тогда

d <£ v(x,t) • dx = <£ F • dx. (2.16)

< Имеем

dt

r(t) r(t)

ddt j) v(x,t) • dx = j) vt(x,t) • dx + j) w(u(x,t) х dx),

dt

r(t) r(t) r(t)

где w = rot v и u есть скорость деформации границы. Проинтегрировав уравнения Эйлера (1.1) вокруг r(t), найдем, что

d- j) v(x, t) • dx = j) w((u — v) х dx) + j) F • dx.

r(t) r(t) r(t)

Отсюда следует (2.16), если учесть, что dx х (V — и)]^^ =0 по граничному условию (1.5). >

Поскольку разложение (2.8) ортогональное в (^(¿)) при каждом Ь, нам достаточно оценить энергии каждой из трех компонент этого разложения в отдельности. При этом полезны будут следующие определения.

При каждом Ь в области определим функции р, = р,(у, Ь), ] = 1,..., N, полагая

Др, = 0; ^/И^ед = (Ь)ГvЬjm, т = 1,... ^; (2.17)

^/Ня, (*) = —|^с(Ь)|-1. (2.18)

При оценке энергии нам потребуются следующие функционалы, зависящие лишь от начальной области и ее движения:

/р(Ь) = ||УрРУ2,д(*) =8ир| У 7(у,ь)п(у) ^А (2Л9)

где |п : Н^||2,^) =1; I п(у) ¿У = 4. (2.20)

N

Л(*) = Е 112, (2.21)

,=1

где р, определены в (2.17). Последний функционал используется лишь в том случае, если область течения неодносвязна. Обозначим

через Кр(Ь), КС(Ь), (Ь) кинетические энергии полей Ур(Ь), vc(t), соответственно.

Предложение 2.5. Пусть V £ W1'2(D(t)) при каждом Ь £ (0,т), т > 0. Тогда

2К(Ь) < Л-1(Ь)|^(-,Ь)|2;^(^), (2.22)

2Кр(Ь) < /р2(Ь), (2.23)

* \ 2

2КС(Ь)(Ь) < + I у Е(у,т) dy ^т + И-^Нда)

о ^ (т)

о

(2.24)

где к, = ® v0 da, ^ = 1,..., N.

Здесь Л(Ь) — минимальное собственное значение первой краевой задачи для оператора —Д в области

< Оценка (2.22) следует из вариационного принципа для собственных значений первой краевой задачи для оператора —Д.

Оценка ТКр вытекает из определения (2.10), поскольку

У тЫМУ) Лву = у УрУ^у. (2.25)

Займемся энергией циркуляционной компоненты течения в неодносвязной области. В пространстве НС(Ь) (снабженном метрикой кинетической энергии) зафиксируем базис

, ] = 1,..., N. Пусть а/ = аj (4), ^ = 1,..., N — суть координаты vc относительно указанного базиса, а к/ = к/(4) — циркуляции v(•, 4) вокруг контуров (4), ^ = 1,..., N. В силу (2.13) и сохранения циркуляций (см. равенство (2.16)),

N

2КС(4) = ^ а^- с/ , (2.26)

/=1

где

t

cj (t) = + J j F(y, t) ■ dy dr + J w^j dy. (2.27)

0 Sj (T ) D(t)

N

Пусть ^c(t) — функция тока поля vc(t), так что = ^ aj ^j. Тогда

j=1

aj (t) = j ^c^ dsy = J ^cdsy = j V^j -V^c dy.

Sj (t) S(t) D(t)

Отсюда следует оценка

NN

5>2(t) < 2Kc(t^ llV^j 112. (2.28)

j=i j=i

Применив ее к выражению (2.26), получим неравенство

NN

2Kc(t) ^ llV^jI2Ec2. (2.29)

j=i j=i

Неравенство (2.24) следует из (2.29) и (2.27), если учесть, что по принципу максимума 0 < ^j (x,t) < 1 для всех x G D(t). >

Замечание 1. Попутно мы установили оценку обратной матрицы G-1(t) (по операторной норме) матрицы Грама G(t) базиса {wj(-,t)|:

l|G-1(t)||2 < Jc(t). (2.30)

Движение класса Da назовем C1 -ограниченным, если оно содержит семейство Y такое, что

sup |Y'(a,t)| < то; sup |(Y-1)'(y,t)| < то. (2.31)

(a,t)6QT (y,t)6Qr

Лемма 2.1. Пусть движение области C1 -ограничено и внешняя сила F потенциальна. Тогда кинетическая энергия жидкости, как функция времени, ограничена величиной, зависящей лишь от начальных данных задачи и от C1 -норм движения области.

< Так как круг доставляет минимум наименьшему собственному значению первой краевой задачи для оператора —А на множестве областей равной площади (см., например, [7]), множитель Л-1 (t) в оценке (2.22) равномерно ограничен по t. Вместе с тем, нормы ||w(-,t)ll2,D(t) и I|w(-,t)ll 1,D(t) допускают глобальную оценку (см. (2.6)), которая будет равномерной по t при потенциальном поле внешней силы F. Таким образом, кинетическая энергия течения в переменной области при потенциальном поле внешней силы

ограничена по времени Ь, если вир* ^р(У(Ь)) < то и вир* ^с(У(Ь)) < то. Чтобы проверить первое из этих условий, достаточно остановить область В(Ь) заменой у = У(а,Ь) в интеграле (2.25), после чего проверка осуществляется непосредственно. Функционал можно оценить, выразив ||Ур,||2,_о аналогично ||Урр||2,_о, см. (2.25). >

3. Оценки производных скорости через вихрь

В этом разделе мы кратко напоминаем известные свойства задачи о восстановлении бездивергентного векторного поля по его вихрю и циркуляциям и выводим оценки скорости в С1'а(дт), От = {(ж,Ь) : |Ь| < Т, ж £ В(Ь) = У(Во,Ь)}.

В каждый момент времени Ь поле скорости течения v(•,t) однозначно определено его вихрем ш(-,Ь), нормальной компонентой скорости границы 7 и, в случае неодносвязной области течения, циркуляциями вокруг ее граничных контуров. Таким образом,

гО v = ш; (3.1)

ё1у v = 0; (3.2)

= 7, (3.3)

£ v ■ dx = к»(Ь), (3.4)

где г = 1,..., N, Б» — компоненты связности границы Б(Ь) = дВ(Ь).

Пусть ^ — область в Ж". Обозначим через |-|к)а; и (а £ (0,1), к = 0,1,...) стандартную норму пространства С1'"^), причем | ■ |о;а; п = | ■ |а;п. Напомним, что ОТ = Во х (—Т, Т), и мы располагаем диффеоморфизмом У : ОТ ^ От, У : (а, Ь) ^ (У(а,Ь),Ь). Положим

к(а,Т) = ^^ |к, |а;[-Т,Т]. (3.5)

Лемма 3.1. Пусть Т > 0 и при каждом Ь : |Ь| < Т, поле v(•,t) есть решение задачи (3.1)-(3.4) при заданных ш £ Са(От), к» £ Са[—Т,Т], г = 1,...,N, и У £ Тогда

М«;QT + |Ухv|Q;QT < С1|ш|а;дт + С2к(а,Т) + Сз. (3.6)

Здесь величины С1, С2 и Сз зависят лишь от Во, а, а также от |У|2а; Q0 и |У 112,а; QT, причем Сз =0 при 7 = 0.

< Доказательство следует из известных оценок старших производных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка в Са (так называемые «ша-удеровские» оценки, см., например, [9] и имеющиеся там ссылки), примененных к разложению (2.8). Рассмотрим, например, оценку «чисто вихревой» компоненты определенной в (2.9). Как видно из этого определения, оценка v(•,t) в С1'"(В(Ь)) эквивалентна оценке вторых производных функции тока в С2'а(В(Ь)). Последняя при каж-

дом Ь представляет собой решение краевой задачи для уравнения Пуассона —= ш в В(Ь); граничное условие имеет вид =0 на Б(Ь). Замена независимых пере-

менных у = У (а, Ь) приводит к первой краевой задаче для эллиптического оператора в дивергентной форме

(Д(Ь))(^(.,Ь)) = (А,Ы)(^))0,к = ш в Во (3.7)

при граничном условии ?/> = 0 на 5о. Здесь при записи уравнения подразумевается суммирование по повторяющимся индексам,

^(a,t) = (a,t),t), w(a,t) = w(Y(a,t), t) det Y'(a,t) A(a, t) = det Y'(a,t) (Y'(a,t))-1 (Y'*)-1 (a,t).

-1 1, . (3-8)

Далее, Do £ C2'a и Y £ Da(Do) по предположению. Поэтому A £ C1,a(QT) вместе с

обратной матрицей и 0 < inf inf Aj (a, t)0j0j, sup sup Aj(a,t)0j0j < то. При та-

QT еем2: И=1 JK QT ^: И=1

ких условиях имеют место неравенства ]?/>(•, t) [2 a.Dq ^ c |w(^t)|a.d0 , где c зависит лишь

от Do, a, |A11 qo и |A 111 qo , так что полученная оценка равномерна относительно

t : |t| <T. T T

Обратимся к оценке разности ^(-,t2) — ?/>(•, t1). Имеем

Д(^)($(^2) — ^Л)) = (Д(^) — ) + ¿>(-,t2) — ^,t1),

а потому — i/'(^,t1)|2,a. Do ^ c(|w Ц QT(1 + |A|1 QT ))|t2 — Два послеДних

неравенства приводят к оценке vs вида (3.6), причем с нулевыми C3 и C2. Появление ненулевых C2 и C3 обусловлено вкладами от потенциальной компоненты V^> и циркуляционной составляющей vc(^,t) = Xj=1 aj(t)wj(^,t) (где aj(t) определяются из уравнений (2.13), а поля Wj = Vх ^j определены в (2.12)). Оценки этих компонент выводятся аналогично оценке vs. (Здесь стоит напомнить, что шаудеровские оценки распространяются не только на задачи Дирихле, но и на задачи 2-го рода.) Необходимые оценки норм |aj|a) [-t,T] выводятся из уравнений (2.13) (с использованием оценки обратной матрицы Грама (2.30)). >

Следующее наблюдение полезно при оценках производной vt.

Предложение 3.1. Пусть v £ C1,a(QT) есть решение задачи (1.1)—(1.5). Тогдаимеют место равенства

rot vt = f — div(wv), (3.9)

div vt = 0; (3.10)

vt n |s(t) = (ut + [u v]) • n; (3.11)

J vt • Wj dx = J [wv •V^j + F • Wj ] dx, j = 1,...,N, (3.12)

D(t) D(t)

где u(y, t) = dtY(t, a), y = Y(a, t) — скорость точки области D(t) при ее заданной деформации Y и f = rot F — вихрь поля внешней силы.

Замечание 1. Равенства (3.12) суть уравнения координат вк = вк(t) проекции (vt(^,t))c поля vt(^,t) на подпространство Hc(t) в базисе {wj(t)}.

Замечание 2. Равенства (3.10), (3.11) согласованы, так как интеграл от правой части равенства (3.11) по границе S(t) равен нулю. Действительно, ut + [u, v] = ut + rot (u x v) + qv, где [u, v] = (v, V)u — (u, V)v. Здесь мы применили известное равенство векторного анализа [u, v] = rot(u x v) — (div v)u + qv, где q = div u. Далее, заметим, что div[u, v] = div(Qv), а потому

J (ut + [u, v]) • nds = J div(ut + qu) dx,

S(t) D(t)

где было использовано граничное условие (1.5). Вместе с тем,

Г С2 г

diу(uí + ^и) Сж = Сж = 0.

Д*) д(*)

Проверка последнего тождества осуществляется непосредственно с использованием замены ж = У(а,Ь), а £ Во.

< Уравнение (3.9) есть уравнение вихря (2.1), уравнение (3.10) — непосредственное следствие уравнения неразрывности (1.2), а уравнения (3.12) получаются проектированием уравнения Эйлера (1.1) на НС(Ь). Обратимся к граничному условию (3.11). Уравнения (3.1)—(3.3) представимы в виде интегральных тождеств

J vУ±nСж +У ^ ■ dx = J шпСж; (3.13)

Д^)

J v -УпСж = J 7пСв, (3.14)

Д*) 5(*)

где п = п(ж,Ь) — пробная гладкая функция, заданная в цилиндре От, У^П = (Пжг, —'Пл). Перепишем тождество (3.14) в виде

Д*) Д(*)

Продифференцировав последнее интегральное тождество, найдем, что

У ((v ■ Уп^ — diу (пи)*) Сж = У diу (diу [п(и — v)]u) Сж. Д*) д(*)

Но ип = V" на границе Б(Ь), поэтому предыдущее интегральное тождество записывается в виде

У víУn — div (пи) Сж = У div ^у (пu)v — diу (пv)u) Сж. Д*) Д(*)

Отсюда найдем, что ^Уп Сж = /д^) (diу п(^+[u, v])) Сж. Здесь мы использовали равенство div (diу (nu)v — div (пv)u) = diу (п[u, v]), которое проверяется непосредственно. Последнее интегральное тождество эквивалентно уравнению (3.10) при граничном условии (3.11). >

Обозначим через С 1а(От) пространство вектор-функций w : От ^ Ж2 таких, что

w £ Са(От) и Уw £ Са(От).

Лемма 3.2. Пусть Т > 0 и при каждом Ь : |Ь| < Т поле а(-,Ь) — решение задачи (3.9)-(3.12) при заданной деформации У £ &а и при заданных полях Е £ С 1а(От), v £ С 1,а(От) и ш £ Са(От)• Тогда имеют место неравенства

|а|а^т ^ 1^^^^|а; Qт + ^^|а; Qт + Сз |Е|а; Qт. (3.15)

Здесь 0 < а < 1; величины С1, С2 и Сз зависят лишь от Во, а, а также от |У|2а;QT и

|2,а; Qт.

|У—112

< Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 3.1, но с использованием оценок в Са первых производных обобщенных (слабых) решений краевых задач для уравнений второго порядка эллиптического типа (см., например, [9]). Возможность таких оценок представляется благодаря дивергентной форме дифференциальных операторов, возникающих при решении задачи (3.9)-(3.12). >

4. Модули непрерывности движения жидкости

Из определений (2.3), (2.4) видно, что X(x,t, s) есть решение задачи Коши

дД(ж,М)= v(X ,s); X |s=t = x, (4.1)

причем X(t) = X(x, 0,t) и X-1(t) = X(x,t, 0). В этом разделе изучается зависимость решений задачи (4.1) от x, t. При этом поле v рассматривается, как данное, и предполагается, что v € C1,a(QT) при некотором T > 0 и div v(-, t) = 0 при каждом t : |t| < T.

Предложение 4.1. При каждом t : |t| <T и s : |s| <T имеет место неравенство

l|X'(', t, s)< expi J yVv(-,a)y^;D(s) dA. (4.2)

^ s '

< Доказательство следует непосредственно из уравнения в вариациях для (4.1). >

Лемма 4.1. Пусть v € C1,q:(Qt) и w(-,t) = rot v(-,t) при каждом t : |t| < T. Тогда для любого фиксированного T > 0 найдутся числа C, Co, Coo и po > 1 такие, что

l|v(-,t)|i>P;D(t) < Cp|M|P>D(t) + CoK(a,T) + Coo (4.3)

при каждом t : |t| < T. При этом C, Co, Coo и po зависят лишь от T, от начальной области течения и от заданного движения последней, но не зависят от p, и Coo = 0 при Y = 0.

< Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1, но на этот раз используются результаты [8], где был установлен линейный рост констант при p ^ то в Lp -оценках старших производных решений краевых задач для эллиптических уравнений 2-го порядка. >

Пусть h > 0, положим

Л(Л) = h max(1, ln(1/h)). Функцию u, определенную в области Q € назовем квазилипшицевой, если

ч def |u(x) - u(y)|

N(u) = sup ■Ц-т1-^ < TO.

хбП,убП Л(|х - y|)

Положим

M(u) = supp ||u||1)P;n, p> 2.

p>i

Предложение 4.2. Пусть ^ — область в класса C1 и u € C1(i7). Тогда N(u) ^ cM (u).

< Нам потребуются следующие результаты (см., например, [9]). Пусть г £ Ж2, Вг(г) = {|ж - г| <г}, и £ ¿1;1ос(Ж2) и

^(0) = Чг-2-2"/' |"|<ь''г £ м'г> 1

^ В (г) }

Выберем произвольно круг и рассмотрим потенциал

(Vu)(x) = J u(y)|x — y| 1 dy.

щул^-у1 1 вн

Тогда при любом р > 2 почти всюду в круге выполняются неравенства

1

|(Vu)(x)| < const h(2h)-2/p (p — 1)(p — 2)-1Lp(u), (4.4)

|u(x) — uh| ^ const (V|Vu|)(x), (4.5)

где

= , „ , udy.

Bh

Известно [10], что для любой области ^ £ C1 (и для менее гладких областей) существует линейный ограниченный оператор продолжения на E : Wm'p(^) ^ Wm'p(Rn) при любых m, n £ N, p £ [1, то], причем его норма зависит от m, n, и но не .зависит от p. Пусть ue = Eu. Тогда

||Vue||p,Bh ^ co||u||1,p.n ^ copM(u)

для любого круга Bh, причем Со зависит лишь от Применив оценки (4.4), (4.5) к этому продолжению, получим неравенство |ue(x) — (ue)h| ^ chph"

-2/pM (u), где x £ Bh. Отсюда следует, что oscBhnnU ^ chph-2/pM(u), где c зависит лишь от Минимизируя правую часть этого неравенства по p £ (2, то), получим утверждение леммы. >

Лемма 4.2. Для любого фиксированного T > 0 найдутся числа C, Co,

и Coo такие,

что ( )

N(v(-,t)) < C||wO,t)|U;D(i) +supp-1(CoK(a,T) + Coo) (4.6)

p>2

при каждом t : |t| < T. При этом C, Co, Coo зависят лишь от T, от начальной области течения и от заданного движения последней, но не зависят от p.

< Пусть u = u(y,t) — какая-нибудь из координат поля v и u(a, t) = u(Y(a,t),t). По предложению 4.2 имеем

N(u) ^ coN(u) ^ c1M(u) ^ c2M(u),

где Ci (i = 0,1, 2) зависят лишь от Y. Теперь (4.6) следует из леммы 4.1. > Лемма 4.3. При любом s : |s| < T

max ([X]v,qt, [X-1]vQ, [*(•, •, s)]vQ) < C. (4.7)

Здесь v и C зависят лишь от T, Do, Y, ||v|TC)qt и от sup N(v(^,t)).

i: |i|<T

< Доказательство см. в [4]. В его основе лежит простое наблюдение: рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение г = — г 1пг и начальное условие г = го £ (0,1). Решение этой задачи Коши имеет вид г = г0хр( Таким образом, зависимость решения от начального данного гельдерова при каждом но показатель убывает экспоненциально. >

5. Метод последовательных приближений

Наше изложение метода следует [6], где исследовалась задача о протекании идеальной жидкости сквозь заданную неподвижную область. Сведем исходную задачу к отысканию неподвижной точки некоторого отображения. При его построении считаются заданными начальная область Do € C2'a, ее движение Y € Dа, начальное поле скорости vo € C1,a(Do) и поле внешней силы F € C 1,a(Qт).

Пусть T > 0 и поле v(-, t) определено в области D(t) = Y(Do, t) при каждом t : |t| < T. Предположим, что v € C1,q:(Qt) и что выполняются условия

v(-,t)|i=o = vo; v(-,t) ■ n|s(t) = Y, divv(-,t) = 0 (5.1)

при каждом t : |t| < T. Определим отображение B : v ^ v, где v(-, t) снова представляет собой векторное поле в D(t), удовлетворяющее условиям (5.1). По заданному полю v определим семейства отображений X и X в соответствии с (2.3) и (2.4). Положим

t

w(-,t) = Wo(X-1 (.,t)) + j f (X(-,s,t),s) ds, (5.2)

o

где Wo = rot vo и f = rot F. При каждом t : |t| < T определим поле v(-,t), как решение задачи (3.1)—(3.4), где и — функция (5.2) и

t

K (t) = к° + J J fj - F ■ Wj) dy ds, j = 1 ...,N. (5.3)

o D(s)

В последнем равенстве N — число Бетти области Do и к° — суть циркуляции начальной скорости vo вокруг Soj. Стоит отметить, что (в силу (2.15)) последнее равенство может быть переписано так:

t

Kj (t) = к° + У j) Fdy ds.

o Sj (s)

Таким образом, сравнение равенств (5.2) и (5.3) с равенствами (2.2) и, соответственно, (2.16) показывает, что действие отображения В в определенном смысле согласовано с законами сохранения вихря и циркуляций скорости жидкости. Полезно также напомнить, что равенства (3.4) эквивалентны следующим:

J V ■ те^ Сж = J Сж — к (¿) = с,, ^ = 1,...,Ж. (5.4)

Предложение 5.1. Пусть V = Bv. Тогда поле а = есть решение уравне-

ний (3.9), (3.10) и (3.12), где функция ш определенав (5.2). При этом поле а подчиняется граничному условию вида (3.11), где следует заменить V на V.

< Вычислим производную ш^. Пусть п £ Сд°(^т). Тогда

/^ММ^ " = (ж = х (М))

Ят

Т Г * 1

= J ! ш0(а)+ У /(X(а, в), в) (а,4),4) ^а^,

о ^ о

где п*(Х(а,4),4) = й(п*(Х(а,4),4)) - Х*(а,4)^*п)(ХМ),4).

Отсюда, проинтегрировав по частям и приняв во внимание определение движения X (см. (2.3)), выводим

Т

АЛ = -//'(,/ + aw,l

qt 0 D(t)

так что

ut = / — div(uV), (5.5)

где u = rot V. Вывод граничного условия (3.11) такой же, как и в предложении 3.1. Осталось получить уравнения (3.12), определяющие циркуляционную компоненту поля a(-,í) = Vt(-,í). Ранее, при доказательстве предложения 3.1, эти уравнения были получены из уравнений Эйлера. Теперь нам придется поступить по-другому. В силу (5.4) и (5.3)

— J Mj — Vwj) = J — Fwj) йж. (5.6)

D(t) D(t)

Здесь поле V = Vsc = Vs + Vc + V</? можно заменить полем Vsc = Vs + Vc. При этом u = rot V sc,

a = Vt = asc + aSc = (Vsc)t.

Отсюда (с учетом (5.6)) следует, что

J awj dx = J ascwj dx = ddt J U-Jj ~ J Wfj

D(t) D(t) D(t) D(t)

(5.7)

J u^j dx — J (/^j — Fwj) dx

>(t) D

J Vscwjt + div ((Vscwj)u) dx.

' sc

D(t)

Далее,

^ j ш^- ¿ж = j [(ш^ + и)] ^ж.

Д(*) Д*)

Заменив здесь и на V (что законно в силу (5.1)) и воспользовавшись (5.5), имеем

^ j ш^- ^ж = j + vV^j) + /^) ¿ж. (5.8)

Д(*) Д*)

Далее,

J vsc ■ Wjt dx = J wj dx + J Ydn^jt ds. (5.9)

D(t) D(t) S(t)

где vsc(-,t) = t). Напомним, что ^j подчинены граничным условиям (2.12). Диф-

ференцируя эти граничные условия, получим равенства

j = на SМ-

Подставив эти выражения в (5.9), найдем, что

у vsc ■ wjtdx = у w^jtdx - J Y'dn^ds. (5.10)

D(t) D(t) S(t)

Здесь d^/dn = nV^, поскольку vsc = V^^ касается границы в каждой ее точке по

определению. Это верно и в отношении Wj = V^^j. Таким образом,

= (vscW)un.

Отсюда, с учетом (5.10), следует равенство

У vsc ■ Wjt dx = У uj dx — У div [(vsc Wj )u] dx. (5.11)

D(t) D(t) D(t)

Подставив выражения (5.11) и (5.8) в (5.7), получим уравнения

(3.12). >

Лемма 5.1. Неподвижная точка отображенияB : C1,a(Qт) ^ C1,q:(Qt) есть решение задачи (1.1), (1.2), (1.4), (1.5).

< Отображение B действует в C1,q:(Qt). Этот факт следует из предложения 5.1 и лемм 3.1, 3.2, причем v = Bv подчиняется указанным в этих леммах оценкам. Пусть W = w(x, t) — пробное поле, определенное в Qt, соленоидальное при каждом t в области D(t), тангенциальное к ее границе и равное нулю при t = T. Не нарушая общности, считаем, что W = V^n, причем пробная функция тока п при каждом t € [0, T] представима в виде

N

n(x,t) = no(x,t) + J^ Xj (t)^j (x,t), no|s(t) =0. (5.12)

j=1

Пусть v € C1,a(Qт) и v = Bv. Положим

R(t) = R(v, v, w, t) = У (vt + и x v - F)w dx, и = rot v. (5.13)

D(t)

Предложение 5.2. Для любого пробного поля w = V^n при любом t выполняется равенство

R(t) = У w(v - v)Vn dx. (5.14)

D(t)

< Достаточно показать, что

Т

У й(£) ^ ш(v - V) ^п^ж^. (5.15)

о От

Так как п0 =0 на /д^) шп0 ^ж = /д^шпш + VíV±п0) ¿ж. Проинтегрировав это

равенство, с учетом (5.12) будем иметь

У VíV±п0 ¿ж ^ = — У шпш ^ж ^ — У ш0п0|*=0 ^а.

От От До

По предложению 5.1 /д^ VtWj ^ж = /д^) (шvV^j +Fwj) ^ж. Объединив два последних равенства, получим

У (Víw) ^ж ^ = ^ У ^ (¿) У (шvV^j + F • Wj) ^ж ^

От ^=1 0

— У шпш ^ж ^ — У ш0п01*=0 ^а,

От До

а это равенство переписывается в виде

У ^ж ^ = У (шvVn + Fw) ^ж ^

От Д(*)

- У (ш(по* + vVпо) + FV±по) ¿ж ^ - У шоПо^=о ¿а.

От До

(5.16)

Далее, заметим, что ^ (ш х v)w = - /я (шvVп) Сложив это равенство с

равенством (5.16) и проинтегрировав член FV^nо, будем иметь

Т

У й(£) ^ = J ш(v - V)Vпdжdí

0 От (5.17)

- У ш(по* + V • Vпо + /по) ¿ж ^ - У шоп|*=о ¿а.

От До

Теперь вспомним, что ш определено равенством (2.2), а потому

/ ш(по* + V • Vnо) ¿ж^

От

ш0(а)^У /(X(а, в), в)

д*[п0(Х(а, ■£),£)] ^а^

= у /п0 ^ж^ -у шоп|*=о ^а. От До

Подставив получившееся выражение в (5.17), выведем (5.15). Предложение 5.1 дока-

зано. >

г

Вернемся к доказательству леммы. Пусть v = v = Bv. Тогда на основании определения функционала R (5.13) и предложения 5.2 R(t, v, v, w) = R(t, v - v, w), так что JD(t) (vt+wxv-F)w dx = 0 при каждом t и при любом пробном поле w(-, t), div w(-, t) = 0, wn = 0 на S(t). Отсюда заключаем, что при каждом t определена скалярная функция H(^,t) такая, что vt + и x v - F = -VH, и = rot v. Это утверждение следует из разложения пространства векторных полей L2(D) на ортогональные подпространства потенциальных и соленоидальных полей (см., например, [11]). Таким образом, v есть решение уравнения (1.1). Уравнение (1.2) вместе с граничным и начальным условиями следуют из определения отображения B. >

Замечание. Лемма 5.1 может быть обращена: решение задачи (1.1), (1.2), (1.4), (1.5) класса C1,a(Qт) есть неподвижная точка отображения B. Мы опустим доказательство этого факта, поскольку он не будет использован в дальнейших рассмотрениях.

6. Теорема о существовании решения

В этом разделе доказывается глобальная разрешимость задачи (1.1)—(1.5). Ключевую роль при этом играет априорная оценка решений задачи (1.1)—(1.5) в C1,a(Qт). Вместе с тем, эта оценка распространяется на последовательные приближения = Bv^-1, что позволяет установить их сходимость.

Теорема 1. Пусть T> 0 и 0 < a < 1. Пусть заданы ограниченная область Do € C2'a и ее деформация Y € Da, а также начальная скорость vo € C1,a(Do) и внешняя сила F € C 1>q:(Qt)• Пусть v € C1'"(Qт) есть решение задачи (1.1), (1.2), (1.5). Тогда найдется величина K € (0, то), зависящая лишь от перечисленных выше данных такая, что

|v(-,t)|1'Q;QT < K.

< Обозначим через Kn, n = 0,1, 2, 3,..., различные величины, зависящие лишь от данных задачи и от T.

В силу закона сохранения циркуляций (2.16), циркуляции Kj поля v вокруг граничных контуров определяются лишь данными задачи. Поэтому sup max |Kj (t)| ^ Ko.

|t|<T j=1'-'N

При этом имеет место закон сохранения вихря (выраженный в форме (2.2)) и, следовательно, Ьр-оценка (2.6) (см. раздел 2). Таким образом, sup ||и(^, t) D(t) ^ K1, 1 ^ Р ^ то,

|t|<T

где K1 не .зависит от p. Положив p = то и применив лемму 4.1, заключаем, что

sup ||v(^, t)|| 1'P'D(t) ^ PK1 + K2, 1 < po ^ p < то. |t|<T

Отсюда по лемме 4.2 следует оценка ||v||^;qt + sup|t|<T ||N(v(-, t))||p,D(t) ^ K3, где оценка младшего члена ||v||^;qt выполняется в силу теоремы о вложении пространств W1,p, p > 2 в C. Пусть X и X определены полем v в соответствии с (2.3), (2.4). По лемме 4.3

sup max ([X(t)]„'D0, [X-1(t)]v,D(t), [X(t, s)]^)) < K4

|t|<T v >

при некотором v € (0,1), зависящем лишь от T и от данных задачи. Из последней оценки и лагранжева выражения вихря (2.2) следует, что |и|а1;qt ^ K5, где a = va > 0. Следовательно, по лемме 3.1 |v|ai;qt + |Vxv|ai;qt ^ K6, по предложению 5.1 и лемме 3.2

Iv|i,«i;QT ^ K7. Последняя оценка влечет неравенство ||Vxv||<;qt ^ K7. Отсюда по предложению 4.1 следует оценка

sup max (||VX(t)||<,Do, ||VX-1(t)||<;D(t), ||VX(t, s)||<,D(t)) < K8.

|t|<T

Таким образом, мы можем повторить шаг 3, полагая при этом v = 1 и ai = а, что приводит к искомой оценке. >

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда задача (1.1)—(1.5) имеет единственное классическое решение v, P, определенное для всех t £ R. При этом v £ C1,a(Qт) и P £ C ).

< Пусть T > 0 — произвольно. Обозначим через M, Mn, n = 0,1, 2, 3,..., различные величины, зависящие лишь от данных задачи и от T. Выберем начальное приближение b в соответствии с условиями (5.1), а в остальном — произвольно. Рассмотрим последовательность |vfcvfc+i = Bvfc, vi = Bb.

Шаг 1. Априорная оценка . Поля допускают оценку, указанную в теореме 1: |v(■, t) 11,а; qt ^ M, k = 1, 2,... В самом деле, циркуляции полей определяются лишь данными задачи (см. (5.3)), а из определения = rot (см. (5.2)) следует оценка (2.6). По определению, поля — суть решения задачи (3.1)—(3.4), где и = и циркуляции определены в (5.3). Таким образом, для полей и их пространственных производных имеют место все оценки, указанные в доказательстве теоремы 1. Если еще учесть предложение 5.1, становится ясным, что также обстоит дело и с (v&)t. Дальнейшие рассуждения повторяют доказательство теоремы 1 дословно и, между прочим, приводят к неравенствам

sup max (||VXfc(t)||<>A), ||VX- (t)||<,D(t), ||VXfc(t,s)||<,D(t)) < M1, |t|<T

где Xfc и Xifc ассоциированы с полями vc в соответствии с (2.3), (2.4).

Шаг 2. Решения с дифференцируемым вихрем. Докажем существование решения при дополнительных предположениях о гладкости начальной скорости vo и внешней силы F. Именно, пусть Vuo £ C(Do), Vf £ C(Qт), где uo = rot vo, f = rot F. При таких данных вихри Ufc оказываются непрерывно-дифференцируемыми в Qt, что следует непосредственно из определяющего их равенства (5.2). При этом из априорной оценки производных отображений X и X (полученной на предыдущем шаге) следуют неравенства ||Vufe ||<,qt ^ M2. Определение вихрей эквивалентно выполнению следующих уравнений и начальных условий Uk+1tVuk+1 = f; Uk+1 |t_ = uo, k = 1,... Рассмотрим поля bk = vfc+1 - vfc. Скаляры = rot bfc — суть решения уравнений +vfcV£k = -bfc_1 Vufc; £k |t_o = 0. Интегрирование последнего уравнения (с учетом начального условия) приводит к оценке

t

>fc-1 (■, s) | ; п(ч) ds.

||6 (■,t)|<,D(t) < M2J ||bfc-1(-,s)|<; D(S),

Заметим, что и Ьк связаны задачей (3.1)—(3.4), где 7 = 0 и к^ = 0. Отсюда, из леммы 4.1 и из последнего неравенства следует, что

t

|bfc(-,t)||<;D(t) ^ M3 j ||bfc-1(-,S)|<;D(S) dS.

Следовательно, ||bkD(t) ^ ||b||<^;qt(M3T)k/к! при любом t : |t| < T. Таким образом, ряд Ь + ^fe=1 bfc сходится в C(<Qt), так что последовательность v^ сходится в C(Qт) к некоторому пределу v, причем v € C1'"(QQt) в силу установленных на первом шаге оценок. Покажем, что предельное поле v есть решение уравнения Эйлера (1.1). Для этой цели рассмотрим функционал R = R(v, v, w,t), определенный в (5.13), и положим Rfc(t) = R(vfe+1, vfc, w,t). По предложению 5.2, Rk(t) ^ 0 равномерно относительно t : |t| < T при любом фиксированном пробном поле w. Вместе с тем, последовательность vfc сходится в C(Qт) и ограничена C1'°((3t). Следовательно, последовательности Wk и (vfe)t также сходятся в C(Qт) к и = rot v и vt соответственно. Этот факт вытекает из интерполяционных неравенств для гёльдеровских норм (см., например, [9]). Таким образом,

/ (vt + и x v - F)w dx = lim Rk(t) = 0 J

D(t)

при любом фиксированном пробном поле w и при любых t : |t| < T. Как было отмечено при доказательстве леммы 5.1, эти равенства равносильны уравнению Эйлера в форме (1.1). Выполнение этих уравнений при v € C1'a((Qт) означает, в частности, что H = P + v2/2 € C1,а(Qт), так что P € C1,а(Qт), что и требовалось доказать.

Шаг 3. Существование решений в общем случае устанавливается посредством аппроксимации заданных полей F и vo гладкими. Необходимая при этом компактность следует из априорной оценки теоремы 1.

Шаг 4- Единственность решения доказывается стандартным образом (см., например, [6]). >

Замечание 1. В случае wo € Lp, p > 1, включая p = то, можно установить существование обобщенных решений таких, что w(-,t) € Lp (при надлежащих предположениях относительно F). При этом почти не потребуется новых соображений: можно, например, использовать аппроксимацию классическими решениями, лемму 4.1 и Lp -аналог леммы 3.2. Однако вопрос единственности таких решений открыт до сих пор. Исключение составляет лишь случай p = то, для которого теорема о единственности решения доказана в [4]. Дальнейшие обобщения этой теоремы см. в [13, 14].

Замечание 2. Следуя схеме, намеченной на втором шаге данного доказательства, можно установить существование решений класса Ck'a(<5т) при надлежащих предположениях о гладкости данных задачи.

Литература

1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов.—М.: Мир, 1983.—400 с.

2. Сенницкий В. Л. О поведении пульсирующего твердого тела в вязкой жидкости в присутствии силы тяжести // ПМТФ.—2001.—Т. 42, № 5.—С. 93-97.

3. Miloh T., Galper A. Self-propulsion of general deformable shapes in a perfect fluid // Proc. Roy. Soc. London A.—1993.—Vol. 442.—P. 273-299.

4. Юдович В. И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости // Журн. вычисл. мат-ки и мат. физики.—1963.—Т. 3, № 6.—С. 1032-1066.

5. Wolibner W. Un theoreme sur l'existence du mouvement plan d'un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant un temps infiniment long // Math. Zeitschrift.—1933.—Vol. 37.—P. 698-726.

6. Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости через заданную область // Мат. сб.—1964.—Т. 64, № 4.—С. 562-588.

7. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике.—М.: Физматгиз, 1962.—336 с.

8. Юдович В. И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений // Мат. сб.—1962.—Т. 59, № 101.—С. 229-244.

9. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.—М.: Наука, 1989.—464 с.

10. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.—М.: Мир, 1973.— 344 с.

11. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1984.—180 с.

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.: Мир, 1970.—720 с.

13. Yudovich V. I. Uniqueness theorem for the basic nonstationary problem in the dynamics of an ideal incompressible fluid // Math. Res. Lett.—1995.—Vol. 2, № 1.—P. 27-38.

14. Vishik M. Incompressible flows of an ideal fluid with vorticity in borderline spaces of Besov type // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4).—1999.—Vol. 32, № 6.—P. 769-812.

Статья поступила 16 апреля 2009 г.

Моргулис Андрей Борисович Южный федеральный университет, доцент каф. вычисл. математики и физики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а;

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, науч. сотр. лаб. мат. физики РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

METHOD OF SUCCESSIVE APPROXIMATIONS FOR THE PROBLEM OF FLUID FLOW IN A DEFORMABLE DOMAIN

Morgulis A. B.

We justify an iterative procedure for the solving of the general initial-boundary value problem of the inviscid fluid dynamics in the case of deformable flow domain. Using this approach we prove the existence and uniqueness of the solution.

Key words: Euler equations, inviscid fluid.