Некоторые представления векторных полей во внешних областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 3 (1), с. 94-98

УДК 517.9

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ

© 2014 г. А.В. Калинин, В.Е. Молодкина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского mph@mm.unn.ru

Поступила в редакцию 31.10.2013

Приводятся представления векторных полей во внешних областях через дифференциальные операции векторного анализа.

Ключевые слова: представления векторных полей, дифференциальные операции векторного анализа.

Различные представления функций используются в теории вложения пространств дифференцируемых функций, основы которой были заложены в работах С.Л. Соболева [1, 2]. Существенное развитие эта теория получила в работах С.М. Никольского, В.П. Ильина, О.В. Бесова [3], Ю.Г. Решетняка [4, 5], В.И. Буренкова [6]. В частности, в работах [4, 5] рассматриваются интегральные представления для функций и вектор-функций через некоторые дифференциальные операторы, на основе которых доказываются оценки, известные в литературе под названием неравенств Корна [7].

Важную роль в приложениях, связанных с задачами гидродинамики и электромагнитной теории, играют оценки векторных полей и, связывающие их L^-нормы с L^-нормами div и и rot и . Эти вопросы изучались в работах [8-13]. При изучении электромагнитных полей в неоднородных средах с разрывными коэффициентами, характеризующими свойства среды, непосредственное использование этих результатов невозможно. В работах [14-18] на основе дифференциальных представлений векторных функций через операторы div и rot были получены оценки для скалярных произведений векторных полей и продемонстрирована возможность их применения для исследования внутренних задач электромагнитной теории.

В настоящей работе приводятся новые представления векторных полей через дифференциальные операторы div и rot во внешних областях. Эти представления могут быть использованы при исследовании внешних краевых задач электромагнитной теории и гидродинамики.

1. Основные результаты работы. Через x = x2,x3), y = (yl,y2,y3), ... обозначаются точки евклидова пространства R3; через e = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) - его кано-

нический базис; через (X • y) - скалярное произведение; через [ X х y] - векторное произведение; | X |= (x2 + x22 + x32)1/2 ; S = {X e R3 :| X |= i}.

Пусть Qint - открытое подмножество в R3,

звездное относительно начала координат 0 e Qint с границей Г, являющейся многообразием класса С1; Qext = R3 \Qint, где Qint = Qint иГ - замыкание Qint в R3. Для каждого s e Sr определим луч ls = {x e R3: X = rs,r e (0,да)}. Через Sr будет обозначаться множество Sr = {s e S: ls пГ# ф 0}. В работе предполагается, что выполнены условия:

1) Sr = S n O для некоторого открытого в

R3 множества O с R3 (т.е. Sr - открытое подмножество S в индуцированной пространством R3 топологии);

2) для каждого s e Sr множество ls n Г состоит ровно из одной точки X = s • R(s), при этом X = rs e Qint, если 0 < r < R(s) и X = rs e Qext, если r > R(s);

3) функция h(X) = R(X/1 X |), определенная на открытом множестве ОГ = {x e R3: X = rs, (r, s) e e (0, да) х Sr }, является функцией класса C2 (ОГ).

Для каждой точки X er обозначим через n(X), X er, единичный вектор внешней по отношению к Qint нормали; для вектор-функции

и e {с(Qext)} использованы обозначения:

un (X) = (и (X) • n(X)), X er,

un(X) = un (X) •n(X ),

ut (X) = и (X) - un (X), X er. (i)

Основными результатами работы являются следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть граница Г множества с R3 удовлетворяет сформулированным выше условиям 1)—3). Тогда для любой функции и е ^'(П^)] при всех х е Оех4 справедливо представление

i

и (X) = rot x J x[u (xX) x X ] dx

h( X )/|X|

i

J x2 X div zu (xX) dx +

+

h( X )/|X

(

+x

grad.

h(X) J Xh(X)

Л

Xh(X) | h(X)

(X) = grad X J (u (xX) • X) dx

h( X )/|X|

1

+ J x[rot zu (xX) x X ] dx +

+

h( X )/|X|

X x

, h(X) _ ( Xh(X)

grad; . _. x u.

d z,

dx

■ = x,.

(4)

|0, i ф j,

-j lx, i =j. Из соотношений (4) следует справедливость

dz.

dx,

соотношений

dut(z) _dut(z) dzj =xdut(z)

dx,.

j

dz,. dx,.

3 x du^=x]r

Z

d zj

d и(z)

j dr j=i uxj

j=i j d zj

= d ut (z) d zj _ d u,. (z)

= xZ"

j=i d zj dx

dx

i

+ J x2 X div zU (xX) dx +

h2(X) ;( Xh(X)

h (X )/|X

|X|2 I |X|

(7)

Доказательство. Очевидно, при всех

X е Q„t выполнено

; f d 2; ; (x) = I — (x и (xx)) dx + г

, „., dx

и (X) =

h( X )/|X

Xh(X)"j h2 (X)

TXT / TXf~

(2)

J xj2u (xx) + (xx) I dx +

dx

h2(X) ;( Xh(X)

7X7иI TXT,

1 х 1 ^ 1 х 1 )) у 1 х 1 ) \х \

(здесь 2 = хх , div2и(хх) = div2и(2)).

Теорема 2. Пусть граница Г множества с R3 удовлетворяет сформулированным выше условиям 1)-3). Тогда для любой функции и е ^'(О^)]3 при всех х е Оех4 справедливо представление

h( X)/| X

Покажем, что

r0t X [и (zx (X)) x X] + divzU(zx (X)) = d(zx (X))

= 2и (zx (X)) + x-

dx

Действительно, рассмотрим выражение

d

(ei • rot x [и (z ) x X]) = — ([и (z ) x X] • e3 ) -

dx2

d d - -Г— ([и (z) x X] • ^2 ) = — (ui (z)X2 - u2(z)Xi ) -

dx3 dx2

d

- — (u3 (z )xi - ui (z )x3) = 2ui (z ) +

dx3

dui( z) du2( z) dui( z) dui(z)

I Xry I XО

(3)

dx,.

= 2ui (z) - xi

dx,.

i dx

dx,

^ dui(z) + du2(z) + du3( z

V dxi

dx,.

dx.

3 J

|X| xV |X|

2. Предварительные результаты. Пусть z = zx (X) = xx . Справедливы следующие очевидные соотношения:

+X

dui( z) du2( z) dui( z)

+X

+X

dxi dx2 dx3

Учитывая (5), (6), получаем

(ei • rotx [u (z) x X]) = -xix divzu (z) +

_ dui (z) (8)

+ 2ui (z) + x-

dx

Совершенно аналогично получаются соотношения

(e2 • rotx [u(z) x X]) = -x2xdivzu(z) +

(5)

(6)

+ 2u2 (z) + x

du2(z) dx :

(e3 • rotx [u(z) x X]) = -x3xdivzu(z) +

+ 2u3 (z) + x

du3(z) dx .

(9)

(i0)

Доказательство сформулированных теорем опирается на следующие леммы.

Лемма 1. Пусть и е ^^'(Qext)}3. Тогда при

всех X е Qext справедливо соотношение

i

и (X) = J rot x x[u (xx) x X ] dx +

h( X )/|X|

Полученные соотношения (8)-(10) являются покомпонентной записью доказываемого равенства (7), откуда с учетом (4) следует (7). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть и е ^^1(Оех4)]3. Тогда при всех х е Оех4 справедливо соотношение

i

и (X) = J gradx (и (xX) • X) dx-

h (X )/|X

и

+

+ fT[rot-n(zz(X))X X]dx + Mиfxh(x) |. (11)

J I X I I X I

h (X )/|X

I XI I | XI

Доказательство. Очевидно, при всех

Xh(X) | h(X)

X e Qext выполнено

; Г д ; ; ; ; (x ) = I — (хм (xx ) • x) dx + и ; , дх

I XI J I XI

дх

= XX,

- XX

^dnl(z) дм3(z

V dz3

dzj

ди2 (z) dwj (z)

dZj

az.

2

= X

^ ди1( z) ди1( z) ди1( z

Sz,

- + x0

- + x,

Sz.

3

- X

SuJz ) ди2( z) ди3( z)

X1 _ v 2 _ V 3

1 2 3

Szj Szj Sz,

Л

1 J

Учитывая (8), получаем

Smj( z)

' дх

r(ej • [rotи (z) x X]) =

Сложив равенства (14) и (15), получим (ё1 • gradх (и (2) • х))+х(е1 • [rot 2й (2) х х]) =

= Uj (z) + X

ди1 (z) дх :

= uj (z) + х-

дх

= м2(z) + х-

дх

(e3 • gradx (U(z) • X)) + (e3 • X[r0tzU(z ) X X]) =

= u3(z)+ X

дм3(z) дх .

3. Доказательство основных теорем. Для

доказательства теоремы 1 перепишем представление (7) с учетом соотношения

1 1

го!

-. (12)

f G( X, х) dx= f rot xG(X, х) dx-

- [gradxg(X) X G(X, g(X))]

(20)

И( X )/| XI

Покажем, что

gradX (и ((Х)) • Х) + х[г° 2и (| (Х)) х Х] =

.ди (2Х (X)) (13)

в виде

= и (Хх (X)) + Х-С учетом (7) можно записать

3 СП! (2)

(ё, • gradх (и(2 ) • X)) = ц ()) + х, (14)

1=1 д21

Рассмотрим выражение

(ё1 • г0! 2 [и (2) х X ] ) = = х(го!2и (2) • ё2 X - х(го!2и (2) • ё3 )х2 =

j

и (x) = rot x fx[U(xX) x X] dx-

h( x) /1XI

1

+ f t2 X div zu (xX) dx +

h( X )/I.

h 2(X) J Xh(X) |

IX I2

h(X)

grad x ——- x

I x I

■ 1 +

I XI J

Xh(X)

и I - I X X

I XI

h(X)

I XI

Применяя к последнему слагаемому формулу

[a x [b x cJJ= b (a • c) - c(a • b), получим

j

и (X) = rot x f x[U (xX) x x ] dx +

h( X )/IX

j

+ f t2 X div zu (xX) dx +

h( X) /1XI

h (X) U f xh(x) | +

IX I2 V IXI J

+ UI^ li grad XM • X1h(X)

IXI

IXI JIXI

(

-xY X. ^ (15) if ' Szj v '

- x

, h(X) ^f Xh(X) grad; —U

h( X)

Iх I I IхI )) IхI

Отметим, что при всех X е Ог справедливо соотношение

(16)

Г А h(X) ^ grad; — • x

I XI

h( X)

"JxT

(20)

Действительно,

(ej • gradx (U (z) • X))+(ei •x[rot U (z) X X]) =

дм1 (z) (17)

h( X)

1

Совершенно аналогично получаются соотношения

(ё2 • gradх (и (Х) • X)) + (ё2 • х[го!2и (Х) х X]) =

_ди2( 2) (18)

gradX Т^тт = х^ттти + — gradхh(х).

I XI I XI | X I

Поскольку функция Н(X) = R(X/1 XI) = R(s) неизменна вдоль направления X , то (grad-Н(X) • X) = 0 и справедливо (20). Отметим также, что при всех

X e Or вектор grad

h( X)

коллинеарен вектору

(19)

Xh( X)

Л

, поскольку соотношение

h( X)

Полученные соотношения (17)—(19) являются покомпонентной записью доказываемого равенства (11). Лемма доказана.

I XI

■ = k, k > 0 , X e O

определяет семейство поверхностей, гомотетич-н^1х поверхности Г, определяемой равенством

+

h(x)

W

= 1, X G O

при этом можно считать, что

n(x ) = -grad3

h( x )

TXT '

grad3

h( x )

|X|

Поэтому окончательно получаем

i

м(x) = rotx Ji[M(ix) x x]di-

h( x )/|x

1

+ JT2x div jU(ix) di-

h( x )/|x|

h(x) h(x) | xh(x)

-Xl gradx . , . „.

Г X |x| WJ|x| яV | x| Теорема i доказана.

Для доказательства теоремы 2 перепишем представление (ii) с учетом соотношения i i grad x J G(X, x) dx= J grad XG( X, x) dx-

g(x) g(X)

-(G( X , g (X)) • grad x g (X))

i

и (X) = J gradx (u (xx) • X) dx +

в виде

h( x )/|x

+ JT[rotjU(Ji (x)) x x] di + ^иI ■xh(x) | +

I x | ^ | x | J

h( x )/x

+ grad

h( x )

W '

x • м

xh(x)

|x|

= li grad hx) 1 +

|x|

xx

h(x) grad _ x м (x )

|x|

Учитывая, что векторы grad

h( x )

w

и n

xh( x )

TxT

коллинеарны при всех х е Ог и справедливо (20), заключаем, что теорема 2 справедлива.

Работа поддержана (частично поддержана) грантом (соглашение от 27 августа 2013 г. № 02.В.49.21.0003 между МОН РФ и ННГУ).

Работа выполнена при финансовой поддержке Ми-нобрнауки РФ в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности в 2014-2016 гг. (код проекта 1727).

Список литературы

1. Соболев С.Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. 1938. Т. 4. № 3. С. 471-497.

2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 255 С.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 С.

4. Решетняк Ю.Г. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн. 1971. Т. 12. № 2. С.420-432.

5. Решетняк Ю.Г. Интегральные представления дифференцируемых функций в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21. № 6. С.108-116.

6. Буренков В.И. Интегральные представление С.Л. Соболева и формула Тейлора // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1973. Т. 131. С. 210-225.

7. Решетняк Ю.Г. Об интегральных представлениях дифференцируемых функций // В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука,1980. С. 173-187.

8. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Труды МИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 5-36.

9. Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала // Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984.

10. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

11. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физ-матгиз, 1961.

12. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

13. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Approximation of the Navier-Stokes Equations. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1979. 207 p.

14. Калинин А.В. Некоторые оценки теории векторных полей // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1997. Вып. 1 (18). С. 32-38.

15. Калинин А.В., Жидков А.А., Тюхтина А.А. Lp-оценки векторных полей в неограниченных областях и некоторые задачи электромагнитной теории в неоднородных средах // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. № 1. С. 3-14.

16. Калинин А.В., Калинкина А.А. L^-оценки векторных полей // Изв. вузов. Сер. Математика. 2004. № 3. С. 26-35.

17. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Стационарные задачи для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1997. Вып. 1 (18). С. 24-31.

18. Kalinin A.V., Tyukhtina A.A., Zhidkov A.A. Lp-estimations of vector fields in unbounded domains // Applied Mathematics. 2012. T. 3. №. 1. P. 45-51.

SOME REPRESENTATIONS OF VECTOR FIELDS IN EXTERNAL DOMAINS A. V. Kalinin, V.E. Molodkina

Some representations of vector fields in external domains by differential operations of vector analysis are presented. Keywords: representations of vector fields, differential operations of vector analysis.

References

1. Sobolev S.L. Ob odnoj teoreme funkcional'nogo analiza // Mat. sb. 1938. T. 4. № 3. S. 471-497.

2. Sobolev S.L. Nekotorye primeneniya funkcional'nogo analiza v matematicheskoj fizike. L.: Izd-vo LGU, 1950. 255 S.

3. Besov O.V., Il'in V.P., Nikol'skij S.M. In-tegral'nye predstavleniya funkcij i teoremy vlozheniya. M.: Nauka, 1975. 480 S.

4. Reshetnyak Yu.G. Nekotorye integral'nye preds-tavleniya differenciruemyh funkcij // Sib. mat. zhurn., 1971. T. 12. № 2. S.420-432.

5. Reshetnyak Yu.G. Integral'nye predstavleniya dif-ferenciruemyh funkcij v oblastyah s negladkoj granicej // Sib. mat. zhurn. 1980. T. 21. № 6. S.108-116.

6. Burenkov V.I. Integral'nye predstavlenie S.L. So-boleva i formula Tejlora // Tr. Mat. in-ta AN SSSR, 1973. T. 131. S. 210-225.

7. Reshetnyak Yu.G. Ob integral'nyh predstavleniyah differenciruemyh funkcij // Differencial'nye uravneniya s chastnymi proizvodnymi. Novosibirsk: Nauka,1980. S. 173-187.

8. Byhovskij Eh.B., Smirnov N.V. Ob ortogonal'nom razlozhenii prostranstva vektor-funkcij, kvadratichno sum-miruemyh po zadannoj oblasti, i operatorah vektornogo analiza // Trudy MIAN SSSR. 1960. T. 59. S. 5-36.

9. Vejl' G. Metod ortogonal'noj proekcii v teorii potenciala // Matematika. Teoreticheskaya fizika. M.: Nau-ka, 1984.

10. Dyuvo G., Lions Zh.-L. Neravenstva v mekha-nike i fizike. M.: Nauka, 1980.

11. Ladyzhenskaya O.A. Matematicheskie voprosy dinamiki vyazkoj neszhimaemoj zhidkosti. M.: Fizmat-giz, 1961.

12. Temam R. Uravneniya Nav'e-Stoksa. Teoriya i chislennyj analiz. M.: Mir, 1981.

13. Girault V., Raviart P.-A. Finite Element Approximation of the Navier-Stokes Equations. Berlin -Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1979. 207 p.

14. Kalinin A.V. Nekotorye ocenki teorii vektornyh polej // Vestnik NNGU. Seriya Matematicheskoe mod-elirovanie i optimal'noe upravlenie. 1997. Vyp. 1 (18). S. 32-38.

15. Kalinin A.V., Zhidkov A.A., Tyuhtina A.A. Lp-ocenki vektornyh polej v neogranichennyh oblastyah i nekotorye zadachi ehlektromagnitnoj teorii v neodno-rodnyh sredah // Vestnik Udmurtskogo universiteta. Se-riya Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki. 2012, № 1. S. 3-14.

16. Kalinin A.V., Kalinkina A.A. Lp-ocenki vektor-nyh polej // Izv. vuzov. Ser. Matematika. 2004, № 3. S. 26-35.

17. Kalinin A.V., Morozov S.F. Stacionarnye zadachi dlya sistemy uravnenij Maksvella v neodnorodnyh sredah // Vestnik NNGU. Seriya Matematicheskoe modelirovanie i optimal'noe upravlenie. 1997. Vyp. 1 (18). S. 24-31.

18. Kalinin A.V., Tyukhtina A.A., Zhidkov A.A. Lp-estimations of vector fields in unbounded domains // Applied Mathematics. 2012. T. 3. №.1. P. 45-51.