Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 1, с. 162-166

УДК 517.9

ОЦЕНКИ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

© 2007 г. А.А. Жидков

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского уе81шк [email protected]

Поступила в редакцию 26.12.2006

Доказываются Ь2 -оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях в весовых функциональных пространствах.

В формулировках широкого класса задач математической физики (например, задачи гидродинамики, электромагнитной теории, теории упругости) присутствуют

дифференциальные операции векторного анализа. В обширной математической литературе, посвященной таким задачам, в частности, детально изучаются свойства

-» 3 3

классов функций и : О ® Я (Ос Я -

открытое

для

подмножество), гоїи є Ьр(О), &уи є Ьц(О) и оценки норм в различных функциональных пространствах

которых

и

через

rotw и d^

Lp (W) Lq (W)

произведений

J (и • v)

X через

rote

L„ (W)

div v

Lq (W)'

При доказательстве основных

В списке

литературы [1]—[7] приведены лишь некоторые из основополагающих работ в этом направлении.

Однако, во многих прикладных задачах, связанных прежде всего с изучением физических явлений в неоднородных средах, естественно возникает необходимость изучения

классов функций и : О ® К , для которых

гоШе Ьр(О), &уцие Ьч(О), где т -

некоторый оператор или, в частном случае, коэффициент, не обладающий достаточной гладкостью. В этом случае нельзя говорить о

включении функции и в пространства Соболева. Исследование таких задач проводится, как правило, в предположении кусочной гладкости коэффициентов с дополнительными условиями согласования на границах раздела сред [6].

Один из возможных подходов исследования таких задач предложен в работах [8]-[11] и связан с изучением оценок скалярных

неравенств в этих работах существенно используется ограниченность пространственной области О .

Однако, нелокальный характер многих физических полей (в частности, электромагнитных полей) приводит к необходимости изучения соответствующих неравенств в неограниченных областях.

В настоящей работе устанавливаются Ь2-оценки для скалярных произведений векторных полей в весовых функциональных пространствах для неограниченных областей.

Основные результаты

Пусть Ос К3 - некоторое открытое

подмножество пространства К3 (в частности, О = К3).

Через Ь2 (О) обозначается гильбертово функций и : О ® К ,

квадратом, со скалярным

пространство суммируемых с произведением

(и •v)l2 (w) = Jи(xMx)x .

W

Через {Ь2 (О)}3 обозначается гильбертово

3

пространство вектор-функций и : О ® Я ,

и(х) = (и1 (х), и2 (х), и3 (х)), таких, что иі є Ь2 (О) (і = 1,2,3), со скалярным произведением

(и • V ){Ь2 (О)}3 =Х(иі ■ V к (О) .

Для

каждого

i=1

R

определяются

гильбертовы пространства функций в R Ha (rot; W) =

и

W

= < и є

{L2 (W)}3 :1 + |x|2 a rotu є {L2 (W)}3 J, H a (div; W) =

= jw є L (W)}3 : (l + |x|2 )a div и є (W) j

с соответствующими

произведениями

U' V)Ha (rot;W) = (u • v ){L2 (W)}3 +

( I |2)a/2 Г ( I |2)a/2 ^

11 + x I rot u • 11 + x I rotv ,

JfL (w)}3

(u • V )ha (div ;W) = (u • v ){L2 (W)}3 +

/2

,1 + Ixl2 Г divu (l + Ixl2) divv

L2(W)

+

+

^ /2 -

1 + UN div v

любого x єW и всех функций и є "С1 (w)}

j(u(z), x )d

0

(z )x x]dT,

справедливы тождества:

_ ( і ' ' ^ u(x) = grad

+

скалярными

1

+ J Т

0

rot zu(z )x x|

(1)

u\x) =

1

(1 и 1 ^

О t x JТ u(z )x xjdt +

10

+ Jt x divzu(z)dT,

(2)

0

Здесь включения rotu e {L2 (w)}3,

div u e L2 (w) понимаются в смысле теории распределений (см. [11], [12]).

Основным результатом работы является

Теорема. Пусть а > 1, R3. Тогда существует положительная постоянная C(а) (зависящая только от а ) такая, что при всех u e Hа (rot;R3), v e Ha(div;R3) справедливо неравенство

где z = tx , Т є [0, l].

II /9 2 2 \1/ 2

Пусть J = |x| = x + x2 + x3 j , X = ТГ ,

s = x /|x|. Тогда тождества (1), (2) могут быть

записаны в виде:

u(x ) = grad( J (u(x s ) s )dX

I0

+1JX [rotu(xs)x s]dX , (3)

J 0

u(x ) = rot |j x[u(x s )x s)dX +

I0 J

y!X 2divu(x s)dX . (4)

J 0

Покажем справедливость неравенства (1). Рассмотрим интеграл вида

J qR (|x|)(u(x)•v(x))dx , (5)

(1) где eR (jx|) - функция

вида

A1 (R,pA2(R,p), 1R < |x| < R

2

x\ > R

Доказательство неравенства (1)

Для доказательства потребуется следующее утверждение

Лемма. (см. [8]) Пусть О - открытое множество в К3 (в частности, О° К3),

звездное относительно точки 0 е О. Тогда для

где A1 (R, p )= l-p , A2 R p) = , p

К ь

-2Ь , 1-2ь

фиксированное положительное число.

Пусть Вк - замкнутый шар с центром в нуле, с границей ЭВК .

+

3

R

1

0

В (5) применим представление (2) для вектор-функции v .

JeR (x|)(u(x) • v(x))dx =

Br

= J \ eR(jx|)u(x)• rot |tv(tx)xx]яТ

/у

+

J eR (x|)u(x) • Jt2x div v(tx)dt

dx + Л

Оценим(-1 1,1). Применяя неравенство Коши

- Буняковского к |Х V(х 5)рХ , получим

0 1

)<

<| | гвк (г)г°:и (™|} ^ V(х 5 <

dx =

S 0 R

/

= (I l) + (12).

Используя соотношение

div

axb

= (a • rotb): (rota • b),

и применяя теорему Гаусса - Остроградского, получим

(Ii ) =

= J eR (x|)u(x)• rot Jt v(tx)xx]dT I dx =

BR V 10 ))

qR(x|)u(x)x Jt v(tx)xxji

= J

dBR

+ J

BR

dS +

(x|)u(x))• JТ v(tx)xxd

xxdT dx.

0

BR

xdT dx =

= JdS J j( qR (r)rotu(rsx [v(xs)x sd

S 0 V 0

+ J dSj j ([grad eR (r) x и (rs )]x

S 0

x J x [v (x s )x s Уx )dr = (I1,1) + (Ii,2).

<J dS J r^eR (r)

S 0

(

rotu rs

r 2~<

1/2

dr <

<JdS(Jx2v(xs) dx

\1/2

x

S V0 У

R rl,2eR (j

x • J(1 + r

J J tg •r(i+j2 )a/2 lrotu(jsldj-

0 (l + r2 )

Применяя ко второму интегралу неравенство Коши - Буняковского, получаем следующую оценку:

( R

1/2

S V 0

x

x

1/2

R_ reR (r)

dr

dx

J J2 (l + J2 ) rotu (s

(R ./ ,Г „/ ^2 ^2

dr

Из оценки

R \ R

Первый интеграл в полученном соотношении равен нулю, так как в К(|х| )= 0 при |х| = К , поэтому

(Л )=

= | ГО^вК (х| )и(х ))-| т\'(тк )х X р

г reR(r> dj<f r

J (l + J 2 ) <J (l + J 2 )

dr

1

2 (a -1)

І :

1

(l + R2 )T 1

при а = 1 + е , где е ° а -1 > 0 следует |(/и )< Сц (к)х

гг +

x

1 + x

’У '2rotu(x)

где

С1,1 (R )=, it

1 :■

1+R2

Теперь оценим интеграл (/12). Поскольку

в

R

0

2

ёта^я (г) =

ёвя (г)

ёг

- в

Я

в

1 ^Я<г<Я

<1 Л5

5

ҐЯ

-0/2

2в -1 г ^ ’ 2

0, в противном случае ,

применяя неравенство Коши - Буняковского, получим

Я

X/

0

/ х 2 (і + х 2 У ё1У V(х у)

вЯ (г )и ( )ёг <

X

Ґ 2 Л1/2

г X 2

1т^а ЛХ

(/1,2 )|< 1Л5Я Х 2 V (Х ^ )

\1/2

<

(1+х1 Г

Я Х 2 (1 + Х 2 Г V (х I

X

\1/2

X

X

1 Л5 / ,

5 Я/2

Я Лвя (г)2 Я

ёг

ёг / г2 и (ту) ёг

\1/2

V

Я/2

Поскольку

Я

Я/2

^Я (г )

ёг

ёг =

Я2р Я Лг р 2р +1

< ¥

К в/?(г) г X2

х (1-^2-1 Х . ^г)1'2 х

^0 г2 0(1+х2)а

К

х (1г 2 |Г(ГГ) )1/2-

0

Рассмотрим второй интеграл из правой части полученного неравенства. Здесь, как и при

оценке интеграла (11,1), положим а = 1 + е .

Получаем

(2р -1)2 Я/2 г2р+1 2 2р -1 ’ Я дЯ (г) г X

ЛХ ёг <

/ П \1'2

К _/ -»^2 при Р > 0, и 1 1 г2 и (г 5) Рг

^ К '2 1 ^

К ® ¥, то (/1>2) ® 0 при К ® ¥.

Получим оценку для интеграла (7 2). г -*■(

Применим к 1X diу V X 5 рХ неравенство Коши

0

- Буняковского 1х 2 diуv (х 5 )рх =

® 0 при

ГЯ^ ’ Г.

0 г2 0(1+х2)

11 г

<1 -21X 2ЛХ ёг + |-^ =

0 г2 0

1

= —+

/

1 -

1

\

Я

2е

6 2е (1 - 2е)

Таким образом, получаем оценку

(72 )£ С2 (К)• и {(3) 1 + И2 а ^у V

Ь? Я

(я 3)

= 1/-------^■ X(1 + X2)"/2 ^Ы^х < где С2 (Я) д/6 + 2е(11-2е)(і яЯ2е ) •

0(1+х2 а

Ґ

<

X

\1/2

0 /1+х2 а

лх

X

\1/2

Отсюда следует оценка

К72 )<

6 2е (1-2е ) \ К 2

Итак, переходя к пределу при К ® ¥ и пользуясь условием, что

1 вК (х|)(и(х) • у(х))рх ®

Вк

® |(и(х>у(х))рх °(и• V^(к3)}

К3

при К ® ¥ , получаем оценку (1.1) с константой

4-1

С = шах<

[л/2£ V

Теорема доказана.

1 1 — +

6

2е (1 - 2е) I •

0

2

1

г

2

1

2

Работа выполнена под руководством А.В. Калинина.

Список литературы

1. Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала / Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984.

2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961.

3. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики вязкой жидкости // Труды МИАН СССР, 1960. Т.59. С. 115-173.

4. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Труды МИАН СССР, 1960. Т. 59. С. 5-36.

5. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей // Сибирский математический журнал, 1981. Т. 22. № 3. С. 91-118.

6. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

7. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численнй анализ. М.: Мир, 1981.

8. Калинин А.В. Некоторые оценки теории векторных полей // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 1997. Т. 20, № 1. С. 32-38.

9. Калинин А.В., Калинкина А.А. Оценки векторных полей и стационарная система уравнений Максвелла // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 2002. Вып. 1 (25). С. 95-107.

10. Калинин А.В., Калинкина А.А. Ьр -оценки

векторных полей // Известия вузов. Математика, 2004. № 3. С. 26-35.

11. Калинин А.В., Калинкина А.А. Ьр -оценки

для скалярных произведений векторных полей // Вестник ННГУ. Серия Математика, 2004. Вып. 1(2). С. 104-115.

12. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.

13. Жидков А. А., Калинин А. В. Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях. Деп. в ВИНИТИ РАН 13.10.06, № 1235-В2006.

ESTIMATES OF THE SCALAR PRODUCTS OF VECTOR FIELDS IN UNBOUNDED REGIONS

A.A. Zhidkov

We prove L2 -estimates of the scalar products of vector fields in unbounded regions of weighted function spaces.