CC BY
51
Математика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 6 (1), с. 150-158
УДК 517.9
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ В АТМОСФЕРЕ
© 2009 г. АА. Жидков, А.В. Калинин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского Artem.Zhidkov@gmail.com
Поступила в редакцию 09.09.2009
Рассматривается одна математическая модель для описания электромагнитных полей в атмосфере в рамках квазистационарного электрического приближения. Приводится замкнутая постановка задачи в терминах скалярного электрического потенциала, обсуждаются вопросы корректности и некоторые алгоритмы численного решения.
Ключевые слова: математическая модель, атмосферное электричество, система уравнений Максвелла, функциональные пространства, корректность, численное моделирование, метод Бубнова - Га-леркина.
Введение
Одной из центральных проблем теории атмосферного электричества является изучение глобальной электрической цепи в атмосфере, поддерживающей относительно стабильную разность потенциалов между землей и верхними слоями атмосферы. Вопросам физического и численного моделирования глобальной электрической цепи посвящена весьма обширная научная литература [1-5]. При этом для описания достаточно широкого класса задач о глобальной электрической цепи используется ква-зистационарное приближение для системы уравнений Максвелла, в котором предполагается потенциальность электрического поля.
В работе авторов [6] были рассмотрены постановки задач для квазистационарной системы уравнений Максвелла в терминах напряженности электрического поля и вихря магнитного поля, показана их корректность и обоснован итерационный метод решения рассматриваемых задач. В настоящей работе рассматривается замкнутая формулировка этой задачи в терминах электрического скалярного потенциала, записанная в виде интегрального тождества. Предложенная формулировка позволяет свести рассматриваемую задачу к некоторому удобному для теоретических исследований абстрактному дифференциальному уравнению и может эффективно использоваться для численного анализа с применением проекционных методов [7].
В работе рассматривается вариант численной реализации, основанный на методе Галер-кина с конечно-элементной аппроксимацией, и приводятся некоторые результаты расчетов.
Постановка задачи для электрического потенциала в квазистационарном приближении
Пусть х = (х1, x2, х3) ейс R ; й - открытое подмножество в R3, диффеоморфное шаровому слою с границей дй = Г = Г U Г2, где Г , Г2 - две компоненты связности границы дй, каждая из которых диффеоморфна 3 тт
сфере в R . Предполагается, что в каждой точке х е дй определен единичный вектор внешней нормали n (х). В соответствии с физическим смыслом задачи, Г - поверхность земли, Г2 - верхняя граница атмосферы.
При моделировании электрических процессов в атмосфере Земли предполагается, что диэлектрическая и магнитная проницаемости атмосферы постоянны и равны 1 (в = ц = 1). В этом случае в рамках квазистационарного приближения система уравнений Максвелла записывается в виде:
— , ч 4п - . 1 дЕ(х,t)
rot H (х, t) = — J (х, t) +------, (1)
c с дt
rot Е (х, t) = 0, (2)
div H (х, t) = 0, (3)
div E (х, t) = 4пр( х, t), (4)
где объемная плотность тока J (х, t) удовлетворяет обобщенному закону Ома [8, 9]
J( х, t) =с( х, t) Е (х, t) + J по( х, t). (5)
В рассматриваемой постановке считается, что объемная плотность сторонних токов
Jпо(х, t) и удельная проводимость с(х, t) -
заданные функции, определенные на й х [0, T].
Учитывая, что проводимость земли существенно выше проводимости нижних слоев атмосферы и что проводимость растет по экспоненциальному закону с ростом высоты, будем полагать, что границы области й являются идеальными проводниками, что соответствует заданию на границе Г однородных граничных условий для тангенциальной компоненты напряженности электрического поля
Ет (х, t) = 0 , х е Г . (6)
Корректность задачи (1)-(6) об определении напряженности электрического поля и вихря магнитного поля с соответствующими начальными условиями была изучена в работе [6]. В настоящей работе рассматривается соответствующая формулировка этой задачи в терминах электрического скалярного потенциала.
Рассмотрим основные функциональные пространства [6, 10, 11], используемые в работе.
Через {L2 (й)}3 обозначается гильбертово пространство суммируемых с квадратом вектор- 3
функций и : й —— R со скалярным произведением
(и ■ -){L (й)}3 = i (и(х) • V-(х)^х ;
' 2 ' й
через H (rot; й) обозначается гильбертово пространство функций H (rot; й) = {и е {¿2(й)}3 : rot и е {¿2(й)}3 } со скалярным произведением
(и ■ V) H(rot;Q) = j (и (х) ■ -(х))«* + й
+ J (rot и (х) ■ rot v (х))ах,
й
где включение rot и е ^2(й)}3 понимается в смысле теории распределений [6, 10].
Пространство Ker (rot; й) = {и е H (rot; й): rot и = 0}
замкнуто в ^2(й)}3 и является гильбертовым со скалярным произведением, индуцированным пространством ^2(й)}3.
о
Через Ker(rot; й) обозначается класс функций и е Ker (rot; й), для которых в смысле теории следов [9, 10] тангенциальная компонента на границе равна нулю.
Через rot H (rot; Q) обозначается гильбертово пространство функций
rot H (rot; Q) = {и = rot v : v e H (rot; Q)} со скалярным произведением
(и • v) = J (и (x) • v (x))dx .
Q
Для произвольного банахова (гильбертова) пространства функций B определим пространство сильно непрерывных функций и : [0, T] ^ B , которое обозначается C([0,T]; B), и, аналогично,
через C!([0,T];B) обозначается пространство функций и e C([0,T]; B), для которых определена сильная производная — e C([0,T];B).
dt
Через V (Q) обозначается пространство V(Q) = {и e H!(Q): и| = 0,
и|хеГ = const}
со скалярным произведением
(и • v)v(Q) = j (grad и(x) • grad v(x))dx.
Q
Пространство V (Q) с введенным скалярным произведением является гильбертовым. Это следует из сформулированного ниже вспомогательного результата, являющегося модификацией неравенства Фридрихса [12].
Лемма 1. Пусть Q - область, диффеоморф-ная шаровому слою, причем существует некоторая точка y e R такая, что луч, выходящий из данной точки в направлении произвольного вектора s , имеет ровно две точки пересечения с границей 6Q (по одной с каждой компонентой связности). Тогда существует положительная постоянная C, зависящая только от области Q, такая, что
j|и(x)|2dx < C •J |grad и (x)|2 dx (7)
QQ справедливо для любых и e V(Q) .
Доказательство. Рассмотрим функцию и e C1 (Q) 1V(Q), удовлетворяющую условиям леммы. Перейдем в области Q от декартовых координат x = (xi, x2, x3) к сферическим (r, а,0):
x = y + rs , где s = (Si, S 2, S3) - единичный вектор: s1 = cos а cos 0, s2 = sin а cos 0, s3 = sin 0.
Здесь ае[0,2п), 9е[-п/2,п/2]; г е (г_(а,0), г+ (а, 9)) - отрезок, соединяющий точки луча, сонаправленного с ?, пересекающего границы Г1 и Г2, точка у = (у1,у2,у3) е R3\О фиксирована. Не ограничивая общности, можем считать, что у = 0 .
Для любой функции, удовлетворяющей условиям леммы, справедливо следующее равенство
u(r, а, 0) = J
ди (£, а, 0) д£ '
г
и 2 =
Y
1 1
, r r ,
V - J r-
ди
Домножим полученное неравенство на якобиан преобразования к сферическим координатам r 2 cos 0 и проинтегрируем по области Q :
2п/2 r+ (а,0)
ii I \и(r,а,0)2r2 cos0dr d0da <
0 r- (а,0)
2п /2 r+ (а,0)(
<I I I
0 -/2 r-(а,0)
1
1
\
r_ (а, 0) r
r cos0 X
'ди Л2
x | l— £2d£,dr d0da <
r- (а,0) Vd£J
2n /2 r+ (а,0)(
<I I I
0 -y r- (а,0)
1
1
r- (а, 0) r
r 2 dr X
r+(а,0) (л. Л 2 x f l^l r2 cos r- (а,0) Vдr J
Вычислим следующий интеграл:
r+ (а,0) (
I
r- (а,0)
1
1
Л
r- (а, 0) r
r 2 dr =
(r+ - r-) ■ (2r+ + r-) 6r-
> 0,
где r- = min r- (а, 0), r+ = max r+ (а, 0).
Таким образом, получаем следующую оценку
2п /2 r+
J\и\ dx = J J J\и(r, а, 0) r2 cos 0 drd0 da <
й 0 _п/ r
/2 _
2n/2 r+(a,0) Ад/ I 2 < C ■J J J I — I r2 cos 0 dr d0 da,
0 _п/ r_(a,0) /
^ _ (r+ _ r_)2 ■ (2r+ + r_)
где C = max-------------------------------.
6r_
Справедливость следующего неравенства очевидна
поскольку и(г_ (а, 9), а, 9) = 0 для всех ае[0,2п), 9е[-п /2, п /2]. Возведем последнее равенство в квадрат и воспользуемся неравенством Коши - Буняковского
2*72 r+ (а,0)(ди Л2 _2
II I
0 -?2 r-(а,0)
r cos 0 dr d0 da <
2п /"2 r+(а,0) ((л,, Л 2
<П I
0 r-(а,0)
ди
r2 cos2 0 Vда
+
+ -
2
\2 Л
2
r cos 0 drd0 da.
Подставляя его в предыдущее неравенство, получаем искомую оценку. Справедливость неравенства (7) для всех и е V(й) следует из того, что пространство C 1(й) 1V(й) всюду плотно в V(й).
Из уравнения (2) и теоремы о характеризации
о
пространства Ker (rot; й) [6, 10] следует, что
Е(х, t) = _ grad ф(х, t), (8)
где функция ф(х, t) называется скалярным потенциалом электрического поля.
Подставляя в уравнение (1) закон Ома (5) и равенство (8), получаем задачу об определении скалярного потенциала электрического поля
фе C 1([0,T]; V(й)) и вихря магнитного поля
F е C([0,T]; rotH(rot;й)), удовлетворяющих уравнению
4л(_с( х, t )grad ф( х, t) + J по( х, t))-
д -------grad ф( х, t) = F (х, t),
dt
(9)
где F(х, t) = c rot H(x, t), а функция ф удовлетворяет начальному условию
ф( х,0) = ф0( х). (10)
В настоящей работе предполагается, что с є C([0, T]; Lx (Q)) и удовлетворяет условиям
0 < с* < с(х, t) < с*, х є Q, t є [0,T].
r
2
1
2
2
r
r
Задача (9), (10) допускает формулировку в виде интегрального тождества, в которой в качестве неизвестной функции выступает потенциал электрического поля ф.
Умножая (9) скалярно на grad у( х)
(у є V(Q) - произвольная функция) и интегрируя по области Q, получаем
I (rot H(х, t) ■ grad у(х))зх =
= -^ Гс(х, t)(grad ф(х, t) ■ grad у(x))dx
С Q
+
+ -
4п
j(7 по( х, t) ■ grad y( х))йх
= 4п
I (j по( х, t) ■ grad y( х))Ь
Для обеспечения эквивалентности решений задачи (11), (12) и (13) уравнение глобальной электрической цепи дополняется граничными и начальными условиями
' = С ((),
гЛ
ф хєЦ = 0, ф хєГ2
д дф(х, t)
dt дп
+ 4пс(х, t) dS =
дп
_1 if“ grad ф(х, t) ■ grad у (х) |dx. с )
Левая часть последнего выражения равна нулю [6, 10].
Таким образом, получена следующая интегральная формулировка задачи, замкнутая относительно электрического потенциала:
Пусть Jпо е C([0,T];{L2(й)}3), се C([0,T];
Lm(й)). Найти функцию фе C 1([0,T];V(й)), удовлетворяющую равенству
— J (grad ф(х, t) ■ grad у(х)— +
dt й
+ 4nJc(x, t) (grad ф(х, t) ■ grad у(х)— = (11)
= 4п| х, t ^,
Г2
ф|{=0 =Фо є V(О).
Здесь С ^) - неизвестная функция, подлежащая определению, а интегральное равенство представляет собой закон сохранения заряда на границе Г2, п - вектор внешней нормали к Г2 .
Существование и единственность решения задачи (11), (12)
Для задачи (11), (12) справедлива
Теорема 1. Существует, и притом единственная, функция фе С 1([0,Т]'^(О)), удовлетворяющая интегральному тождеству (11) и начальным условиям (12) для любой функции у е V(О).
Доказательство. Введём обозначения: а( (ф, у) = | с(х, () • (gradф(х, () • gradу(х))^х,
I
(у)= I(-по (х, t) ■ grady(х])їх.
(12)
при всех у е V(й) и начальному условию
ф t=0 =ф0 е V(й).
Включение ф(^, t) е V(й) обеспечивает выполнение граничных условий (6).
Следует отметить, что формулировка задачи определения электрического потенциала в виде интегрального тождества (11) является обобщенной формулировкой для уравнения глобальной электрической цепи [1, 2, 5, 13] д
— Аф( х, t) + 4п div(c( х, t) grad ф( х, t)) =
дt
= 4пdiv Jпо(х, t), (13)
которая получается применением операции div к уравнению (1). Данное уравнение не разрешено относительно производной по времени и не относится к классическим задачам математической физики. Уравнения такого вида называются уравнениями Соболева (уравнениями соболевского типа). Исследованию таких уравнений посвящена обширная литература [14-16].
Тогда равенство (11) эквивалентно уравне-
нию
dt
(ф^у)к (о)(Ф,У)=11 (У). (14)
Легко может быть показано, что при каждом t е [0, Т], а( (•,•): V(О) х V(О) ^ R - билинейная, ограниченная, симметричная форма. Также из ограниченности функции с(х, t) вытекает
положительная определенность а{ (•,•).
Можно убедиться, что а{ (ф, у) для каждого
ф е С1 ([0,Т];V(О)) является линейным ограниченным функционалом относительно у . Тогда из леммы Рисса об общем виде линейного функционала [17] существует элемент п е V (о) такой, что
а (ф,у)=(п^) • у^ (о) .
Очевидно, что ) = А(1 )ф, где А(^,
t е [0, Т], - некоторое семейство линейных ограниченных операторов из V (о) в V (о) .
Q
с
Q
Из леммы Рисса следует, что существует такое g(0 е V(о), что ^(у) = (g(t)•у^(о), поскольку ^ (• ) - линейный ограниченный функционал. Таким образом, получаем уравнение
d_
dt
(ф- У)v(о) +(A(t^ У^(о) = (g(t) • У)v(о) ,
справедливое для любого уе V (о) , отсюда получаем операторное дифференциальное уравне-
ние
^ф + A(t )ф = g (t),
dt
(15)
причем функция ф удовлетворяет начальному условию
ф t=0 =ф0 е V(О). (16) Из непрерывности по t функции с(х, t) следует сильная непрерывность семейства операторов А(Х). Следовательно, выполнены все условия теоремы существования и единственности решения уравнения (15) [18]. Решение задачи (15), (16) запишется в виде ( t >
ф(t) = exp
-I A(£)d£
V 0
[ф0] +
t
(
Т
Л
(17)
+ I exp I A(£d
0 Vt
[ g (T)]dt:
J
где для произвольного оператора A exp A =
” An
= ^-------операторная экспонента.
n=0 n!
Интегральное тождество (11) положено в основу разработанного авторами программного комплекса для численного исследования задачи об определении электрических полей в атмосфере.
Разрешимость стационарной задачи.
Теорема о стабилизации решения
Рассмотрим ситуацию, когда с не зависит от t. Для (11) поставим соответствующую стационарную задачу:
Найти функцию ф е V(й), при всех у е V(й) удовлетворяющую уравнению J с( х) (grad ф( х) ■ grad у( х) — =
о
(18)
I (j по (х) ■ grad у(х) 'd.
Линейность оператора А очевидна. Ограниченность следует из ограниченности функции а(х) и нормы, введенной в пространстве V(О). Положительная определенность является
следствием леммы 1.
Линейность и ограниченность функционала g очевидным образом следуют из его вида.
Таким образом, для задачи (18) выполнены все условия леммы Лакса-Мильграма [19]. Следовательно, решение стационарной задачи существует и единственно.
Теорема 2 (о стабилизации решения).
Пусть в задаче (15), (16) g е V(О) и
А : V(О) ^ V(О) не зависят от t, ф0 е V(О). Тогда для решения данной задачи справедливо предельное соотношение:
ЦфО^) _ ф| ^ 0 при t ^ да, (19)
где ф - решение стационарной задачи
Аф = g . (20) Доказательство. Вычитая из уравнения (15) равенство (20) и домножая скалярно на ф(Х) — ф, получим следующее уравнение:
1 а\ |ф(0 — ф||2 + (А(ф^) _ ф) • (ф(Х) _ ф)) = 0 .
2 аХ
Поскольку
(Аи • и) = а(и,и) > а* • ||и||2 ,
то
Равенство (18) может быть также записано в операторном виде
Аф = g.
1 а и ~|2 и , ч ~|2 „
ф(Х) _ ф + а* ф(Х) _ ф < 0.
2 dt
II ~1|2
Обозначим ||ф(Х) _ ~р|| = Ф(Х) , тогда для последней функции получаем следующее уравнение:
—Ф(Х) + а*Ф(Х) = G(Х) < 0.
dt
Для решения последнего уравнения справедлива оценка
Ф(Х) = е '°*Х Ф 0 + | е а* (т_Х) G (т)ат < е Ф 0
0
где Ф0 = ||ф(0) _ ф|2 .
Таким образом, для любого Х 0 <Ф(Х) < е _а* Ф 0.
Из последней оценки очевидно
Ф(Х) = ||ф(Х) _ ф|2 ^ 0 при Х ^ да. Соотношение (19) доказано.
T
Численное исследование задачи (11), (12)
Формулировка задачи (11), (12) в виде интегрального равенства позволяет применять современные численные методы, в частности метод Бубнова - Галеркина [7, 20, 21] (в рамках конечно-элементной аппроксимации).
Положим Vм (О) с V(О) - конечномерное
N
у
I=1, и
N
фN (х, t) = !Ф N (t )£ N (х).
i=1
N dФN (t) N
I a,jd^^ + I bj (t )Ф N (t) = F} (t), dt i =1
i =1
ij i j j = 1,...,N,
где
aj = I (grad £N (х) ■ grad £N (х)),х,
Q
bj = 4njc(х, t)(grad £N (х) ■ grad £ N (х))ёх,
Q
Fj = 4n I (J по( х, t) ■ grad £ N (х)),х .
Q
При этом начальные значения Ф і (0) определяются из соотношений
N
IdjФN(0) = , j = 1,...,N ,
i=1
где
N
I
i=1
Ф
N i,k+1
tk+1 tk
—~+bij,k((1 - а)Фа + аФа+1'
J
= (1 -а) Fjk + а F.
j,k+1
подпространство с базисом ]' ,=,, и пусть
приближенное решение фМ (х, Х) представляется в виде
(21)
Подставляя (21) в интегральное тождество (11) для у = £М (7 = 1,..., N), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(] = 1, 2, ..., N, к = 1, 2, М), где 0 = tо < t1 < к < tм = Т, Ф ік = Фі ^к),
рік = (tk), ьу,к = ь,} (tk); а є [0,1] - пара-
метр конечно-разностной схемы. В настоящей работе при дискретизации по времени была использована схема Кранка - Николсона ^.
Таким образом, получаем задачу нахождения значений Фі+1 (к = 0,...,М -1) по из-
ҐТ~\і
вестным на предыдущем шаге значениям Ф¡к :
N
I (aij +а^к+1- tk )bj k)Ф i=1
N
N
(22)
I (aij - (1 - a)(tk+1 - tk )bij,k )ф a + (24)
i=1
+ (tk+1 - tk)((1 -a) Fj ,k +a Fj,k+1'
(23)
а,7 = {£М (х)£N (х)ах ,
О
С 7 = |ф 0 (х) •£ М (х)ах .
О
Рассмотрим конечномерную задачу (22) с начальными условиями (23).
Для численного решения данной системы дифференциальных уравнений естественным является применение метода конечных разностей для каждого уравнения:
(7 = 1,...,N),
причем в общем случае матрица коэффициентов невырождена.
В качестве реализации данной схемы был разработан программный комплекс расчета электрической цепи в атмосфере. Полагалось, что атмосфера Земли (область О ) представляет
собой шаровой слой в пространстве R3 . В качестве модельной задачи была исследована задача, обладающая осевой симметрией.
В соответствии с видом области О и осе-симметричностью задачи, естественным является переход к сферическим координатам в системе уравнений (24). С учетом предположения
об осевой симметрии задача в пространстве R3 может быть сведена к задаче на плоскости. В этом случае область решения после перехода к полярным координатам была разбита на прямоугольные конечные элементы прямыми, параллельными координатным осям:
г = Гр (р = 0,...,Р); 9 = 99 (д = 0,...,Q),
^ = Г0 < Г1 < ... < ГР = ^,
_П = 90 <91 < . ^ = §,
и в качестве функций формы конечного элемента были использованы полиномы Лагранжа первого порядка [21].
a
¡j
ф
I- ^ I ГГ с\ф
Рис. 1. Распределение потенциала: (а) над экватором, (б) над параллелью 0.45° 14 . . . . . , . .
■ I -■
Рис. 2. Распределение потенциала над полюсом
!
Рис. 3. Зависимость полной энергии электрического поля от времени
Некоторые результаты численного исследования
С помощью описанного подхода была исследована задача о релаксации полной энергии электрического поля в атмосфере при отключении сторонних токов в начальный момент времени.
Параметры решаемой задачи, исходя из некоторых априорных фактов, были выбраны следующие (все данные приведены в гауссовой системе единиц):
R0 = 6.37 • 108 сі , R1 = 6.44 • 108 сі ;
a(r) = а0 • exp
r _ R0 H
а0 = 3 • 10-4 c-1, H = 6 • 105 ci ;
J? (r, Є) =
70, r- < r < r+, Є<
600
eia^a,
r_ = R0 + 5 • 105 ci , r+ = R0 + 1.5 • 106 ci
70 = 3•10_4;
J e6 (r, Є) = 0.
Результаты расчетов подтверждают экспериментально установленные факты [1, 2], в частности о том, что разность потенциалов между верхней и нижней частями грозового облака может быть на несколько порядков выше разности потенциалов между землей и верхними слоями атмосферы (рис. 1).
1) На рисунках 1, 2 приведены распределения электрического потенциала по высоте над различными широтами (в зависимости от угла 0).
Из расчетов хорошо видно, что значение потенциала на верхней границе атмосферы составляет порядка 12000 статВ, что соответствует величине около 350 кВ в системе СИ.
2) При решении нестационарной задачи в качестве начального распределения потенциала в атмосфере было выбрано распределение, полученное при решении стационарной задачи. В результате численного расчета было получено, что время релаксации полной энергии электрического поля
1r
W(t) = — f E(х, t) 8п і1 ^ 7
dx
составляет порядка 1 минуты (график релаксации энергии приведен на рисунке 3).
Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (20092010 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927), федеральной целевой программы «Научные и научно-педагоги-ческие кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (шифр проекта НК-13П-13, контракт
№ П945), гранта РФФИ (код проекта 09-01-97019-р_поволжье_а).
Список литературы
1. Mareev E.A., Anisimov S.V. Global Electric Circuit as an Open Dissipative System // Proc. 12th Int. Conf. on Atmospheric Electricity, Versailles, 2003. P. 797-800.
2. Mareev E.A., Anisimov S.V. Lifetime of the Energy in the Global Electric Circuit // Proc. 13th Int. Conf. on Atmospheric Electricity, Beijing, 2007.
3. Морозов В.Н. Распределение электрического поля, создаваемого нестационарным током заряжения грозового облака в атмосфере с неоднородной электрической проводимостью // Прикладная метеорология, 2006. Вып. 7 (555).
4. Illingworth A.J. and Latham J. Calculations of Electric Field Growth within a Cloud of Finite Dimensions // Journal of the Atmospheric Sciences. 1975. Vol. 32. P. 2206-2209.
5. Browning G.L., Tzur I., Roble R.G. A Global Time-Dependent Model of Thunderstorm Electricity. Part I: Mathematical Properties of the Physical and Numerical Models // Journal of the Atmospheric Sciences. 1987. Vol. 44. No 15. P. 2166-2177.
6. Жидков А.А., Калинин А.В. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2009. В печати.
7. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
8. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.
9. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
10. Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.
11. Girault V., Raviart P. Finite element method for nonlinear variational problems. New York: Springer, 1984.
12. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
13. Калинин А.В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007.
14. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1954. Т. 18. № 1. С. 3-50.
15. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.
16. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпу-
сов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит,
2007.
17. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
18. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.
0
19. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.
20. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.
SOME PROBLEMS OF MATHEMATICAL AND NUMERICAL MODELING OF THE GLOBAL ELECTRIC CIRCUIT IN THE ATMOSPHERE
A.A. Zhidkov, A. V. Kalinin
A mathematical model is considered to describe atmospheric electric fields in the framework of the quasi-stationary electric approximation. The closed statement of the problem is given in terms of a scalar electric potential. Some correctness issues and some numerical solution algorithms are discussed.
Keywords: mathematical model, atmospheric electricity, set of Maxwell equations, electromagnetic fields, functional spaces, correctness, numerical modeling, the Bubnov - Galerkin method.
21. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976.
