Сходимость галёркинских приближений в квазистационарных задачах теории атмосферного электричества Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 84-89

УДК 517.9

СХОДИМОСТЬ ГАЛЁРКИНСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ АТМОСФЕРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

© 2012 г. А.А. Жидков, А.В. Калинин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского Artem. Zhidkov@gmail .com

Поступила в редакцию 10.09.2012

Исследуется сходимость аппроксимации по методу Г алёркина для одной задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении. Приводятся некоторые результаты численных расчётов.

Ключевые слова: электромагнитная теория, метод Г алёркина, аппроксимация, сходимость, дифференциальные уравнения с частными производными.

Введение

Наряду с конечно-разностными методами, проекционные методы (в том числе метод Бубнова - Галёркина) являются принципиальной основой теоретических исследований и одним из самых мощных современных инструментов численного анализа задач математической физики [1-4].

В настоящей работе предлагается метод построения приближённого решения некоторых классов задач атмосферного электричества, основанный на методе Бубнова - Галёркина. Показывается сходимость галёркинских приближений к точному решению задачи и его единственность. Приведённые доказательства строго обосновывают применение метода Галёркина для численного исследования некоторых классов задач электромагнитной теории. Также приводятся примеры численного решения задач, представляющих практический интерес в современной теории атмосферного электричества.

Постановка задачи

Пусть О - некоторая подобласть простран-

з

ства Я , диффеоморфная шаровому слою, и имеющая границу Г = I , и Г2 • где I , и 12 - две компоненты связности границы, каждая из ко-

3

торых диффеоморфна сфере в Я .

Квазистационарные электрические процессы в атмосфере Земли достаточно хорошо описываются с помощью уравнения глобальной электрической цепи [5-10]

— Аф( x, t) + 4гс div(a( x, t) gradcp( x, t)) =

dt

= 47гсНу<Гт(х,?), х е С2, ? е (0,71), (1)

где ф(х, I) - скалярный потенциал электрического поля. Проводимость ст(х, I) и вектор сторонних токов /т(х, ?) считаются заданными функциями. Уравнение (1) дополняется граничными и начальным условиями

фЦ =0’ фі*єГ,=с(')>

д Эф

dt дп

■ + 471 ст— -4жЛТ \dS = 0. дп

9І,=0=Фо(хХ

(2)

(3)

причём, функция C(t) является неизвестной и подлежит определению в процессе решения задачи.

В работах [5, 11] была получена формулировка задачи (1)-(3) в виде интегрального тождества

d |(gra^(x, t)-gradi|/(x))dx+

dt о.

+ 4тс Jcj(x, t)(gra^(x, t) • gradi[/(x))dx = n

= 471 J( JCT (x, t) ■ gradi|/(x)) dx (4)

справедливого для всех функций \jf e K(Q), для нахождения скалярного электрического потенциала ф(х, f) е F(Q) при всех t е [0, 7], удовлетворяющего начальному условию

ф|,=0=Ф0бГ(П), (5)

где через 1'(П) обозначается пространство

V(Q) = {ueH1(Q):ul = 0, м| = const},

1 j 1 2

являющееся гильбертовым скалярного произведения

[5] относительно

2

(и • v)V(Q) = | (grad u(х) • grad v(x))dx. (6)

Q

Через C([0, T]; W) обозначается пространство непрерывных функций u: [0, T] ^ W, где W -некоторое банахово (или гильбертово) пространство. Через C ([0, T]; W) обозначается соответственно пространство непрерывно дифференцируемых функций [12, 13].

В задаче (4), (5) предполагается, что известны функция проводимости ст(х, t) и вектор сто-

Тст, ч

ронних электрических токов J (х, t), причем данные функции обладают следующими свойствами:

JCT е C([0,T];(l2(Q)}3), аеC([0,T];L*(Q)),

0 <а*<а( х, t) <а* (7)

для любых (х, t) eQx (0, T), а*, а* = const.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1 (см. [5]). Пусть

JCTeC([0, T];{L2(Q)}3), а ае C ([0, T ]; L* (Q)) удовлетворяет условию (7). Тогда существует единственная функция ф е C ([0, T]; V(Q)), являющаяся решением задачи (4), (5) для всех у е V (Q).

В дальнейшем будут использоваться обозначения:

Ф^) = ф(, t), Ф: [0, T] ^ V(Q),

at (u, v) = 4п| а( х, t) (grad и( х) • grad v( x))dx,

Q

ft (v) = 4n| (Jст (x, t) • grad v( x)) dx.

Q

Тогда задача (4), (5) запишется в виде

d Ф) • v)v(Q) + at (Ф(t), у) = ft (v), (8)

Ф(0) = ф0 е V(Q). (9)

Решение последней задачи понимается как функция Ф е C ([0, T]; V(Q)), удовлетворяю-

щая (8), (9) при всех у е V (Q).

В настоящей работе обосновывается сходимость метода Галёркина для задачи (8), (9).

Из сепарабельности пространства H (Q)[14, 15] следует, что пространство V (Q) также будет сепарабельным. Тогда существует набор

линейно независимых элементов {и„ }“=1 с с V(Q), являющихся базисом данного пространства.

Рассмотрим следующее конечномерное подпространство V (Q) с V(Q), являющееся линейной оболочкой элементов {и„ }^=1.

Приближённым решением задачи (8), (9) в пространстве C'([0, T]; VN( Q)) будет называть-

ся функция

N

ФN (?) = £< (?) • ип, ФN Є С1 [0, Т], (10)

п=1

удовлетворяющая равенствам

(ФN (?) • щ )у (П) + а, (Ф* (?), щ) = / (ик),

к = 1,..., N. (11)

Тогда из (10) и (11) получается следующая система линейных дифференциальных уравнений

для нахождения функций Ф к^ (?):

N dФN (?) N

Е 1 (ип ик V (О)+ЕФ Щ (? Уаі (ип, ик ) = її (ик X

п=1 й? п=1

к = 1,..., N. (12)

Введём следующие обозначения: и - симметричная NxN - матрица с элементами ипк = = (ип-ик)У(ц), Л(?) - ^^матрица с элементами Лпк(?) = а?(ип, ик), Р(?) - N-мерный вектор с компонентами ¥к (?) = / (ик),

ФN (?) = ссі{< (?), Ф N (?),..., Ф N (?)}

- вектор-функция.

Тогда (12) эквивалентно следующему векторному уравнению:

и^Ф- + Л(?)Ф^ = Р(?). (13)

й?

Очевидно, что матрица и невырождена (так как ип линейно независимы), следовательно, уравнение (13) может быть записано в виде векторного дифференциального уравнения первого порядка

йф- = -и-1Л{? )Ф^ + и _1Р(?). (14)

й?

Спроектируем функцию ф0 є Г(О) на пространство V(О) и разложим в ряд по базису {иХ^ . Тогда условие (5) преобразуется к следующей системе:

ФN (0) = ФNk, к = 1,..., N, (15)

где Ф- коэффициенты разложения функции ф0.

Справедлива

Теорема 2. Элементы матрицы Л(?) и вектор-функции Р(?) непрерывны по ? є [0, Т].

Доказательство: Зафиксируем ?0 є [0, Т]. Оценим разность

0 < \а?0 (ип, ик ) - а?0 +Д? (ип, ик ^ < 4п *

х| |(ст( х, ?0)-ст( х, ?0 + Д?))•(grad ип (x)•grad ик (х))| йх<

О

< 4п евв вир| ст(x, ?0 )-СТ( x, ?0 + Д? ^ •||ип IV (О) • ІКIV (О).

хєО

Поскольку функция ст(х,?) непрерывна по

? є [0, Т], следовательно, при каждом фиксированном х є О,

|ст(х, ?0) - ст(х, ?0 + Д?)| ^ 0 при Д? ^ 0 . Тогда

Є88 8ир |ст(х, ?0) - ст(х, ?0 + Д?)| ^ 0 при Д? ^ 0 .

хєО

То есть, семейство а? (и, у) непрерывно зависит от ? є [0,Т].

Аналогично, используя непрерывность по ? функции Jст (х, ?), может быть показана непрерывность Р(?).

На основании доказанной теоремы 2 система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (14) с начальными условиями (15) однозначно разрешима при каждом N >1 [16].

Определение. Галёркинским приближением будем называть функцию

ФN є С'([0, Т];У1^(О)), определяемую соотношениеми (10) и (11), коэффициенты Ф^ (?) которой определяются из задачи Коши (13), (15).

Основным результатом настоящей работы является

Теорема 3. Последовательность функций ФДГ(?) сильно сходится в С1 ([0,Т];У(О)) к точному решению задачи (8), (9) при N ^ да, то

есть

ФN - Ф

С1 ([0,Т ];У (О))

й?

1ІФ"(? >- 7,Ф(?*

У (О)

+ а, (ФN (?)-Ф(?), ип) = 0.

(18)

Умножая равенство (18) на йФ^^ (?)/й? и суммируя по п = 1, ..., N, получим

7 ФN (?) - 7 Ф(?) •7 фN (?) 1 +

й?

й? й?

+ а, ^ (?) -Ф(?), й фN (?) j = 0. (19)

Разложим PN[Ф(?)] по базису пространства

У^О)

У (О)

PN [Ф(?)]=Е В! (?)

и„.

Тогда, умножая равенство (18) на )/й? и

суммируя по п = 1, ..., N получим

± ФN (?) - ± Ф(?[Ф(?)]1 +

й?

й? й?

У (О)

+ а,^ (?) -Ф(?),йр [Ф(?)] | = 0. (20)

Вычитая равенство (20) из (19),

± ФN (?) -1. ф(?) А ф(?) - ^ [Ф(?)]| +

а? а? а? а? jy (О)

+ а,| ФN (?) - Ф(?),4ФN (?) — PN [Ф(?)] | = 0.

Доказательство сходимости галёркинских приближений

Обозначим PN : У (О) ^ У (О) - оператор ортогонального проектирования гильбертова пространства У(О) на подпространство У (О). Справедлива

Лемма 1 (см. [17]). Если ф єС'([0, Т];У(О)), тогда PN[ф] єС '([0, Т];У(О)) и

||PN [ф] - ф||С1 ([0,Т];У(О)) 0 при N ^ * .

Доказательство теоремы 3: Если Ф є єС '([0, Т];У(О)) - решение задачи (8), (9), тогда для любого п = 1, ..., N справедливы равенства

й? (Ф(?) • ип )у (О) + а, (Ф(?), ип) = / (ип). (16)

Функция ФN(?) определяется соотношением (11) й (ФN (?) • ип )у(О) + а, (ФN (?), ип) = / (ип). (17)

&

& 4 ' &

Последнее равенство, на основании линейности ц (•,•) по каждому аргументу, эквивалентно следующему

& ф * ц )_&р т )]•& ф " ц )-±гм [ф(?)]1 +

& & & & )у(0)

+ | ^ [Ф(?)]-4 Ф^)-^ (?)-4PN [Ф(?)] | +

й

й?

й? й?

й?

У(О)

+а (V ( о- ры [ф( 0], & ф " ( 0- & Рм [ф( 0] ]+

+а [ ры [Ф(0]-Ф(0, & ф " (0 - [Ф(?)Ц=о.

(21)

На основании неравенства Коши - Буняков-ского и ограниченности функции ст(х, ?), справедлива следующая оценка:

|ц(иу)| < 4тсст* \\и\\у(П) • \v\lv(П),

используя которую из равенства (21) может быть получено неравенство

Вычитая из равенства (16) равенство (17), получим при всех ? є [0, Т] и п = 1, ..., N,

4 ФN ( ?) - ^ [Ф( ?)]

й? й?

У (О)

+

п=1

2

^ [Ф(?)] - ^ Ф(?) й? й?

й ФN (?) - ^ [Ф(?)]

й? й?

+ 4ла*||ФN (?) - PN [Ф(? )]|[

У(О)

У(О)

У(О)

X

й ФN (?) - ^ [Ф(?)]

й? й?

+

У(О)

+ 4па*|| PN [Ф(?)] -Ф(?)| У (О) х

X

й ФN (?) - ^ [Ф(?)]

й? й?

У(О)

Следовательно,

4 ФN (?) - ^ [Ф(?)]

й? й?

^ [Ф(?)] - 4 Ф(?) й? й?

У (О)

У (О)

+ 4ла*||ФN (?) - PN [Ф(?)]|[

У(О)

й , \ ~~Г ZN (?) й?

< С • ||pд [Ф] -Ф||С1

У(О)

С1([0,Т ];У (О))

+ 4пс- ||% (? ^ V (П).

На основании (22) справедливо равенство

.а)

йzN (т) й?

йт.

Следовательно,

N

(?)||

У (О)

й?

йт

(т)

й?

У(О)

йт,

/(?) < g(?) + СI /(т)йт

У (О)

то есть,

й . . (?)

й?

< С^ [Ф] -Ф| с1

У(О) +

С1([0,Г ];У (О))

4тсст* • |

йzN (т)

й?

йт.

У(О)

Для дальнейшего доказательства используется Лемма 2 (Гронуолл [17]). Пусть / (?) - вещественная непрерывная функция, g (?) - вещественная неубывающая функция на [0, Т]. Если

при С > 0, тогда /(?) < eCtg(?) для любого ? е[0, Т ].

На основании леммы 2, оценка (24) примет вид

“Ч (?) < О^-ЦР, [Ф]-Фс1([0Т]«О))'

й?

У(О)

Используя оценку (23), получаем

■(') У (О) <1

йzN (т)

й?

йт =

У(О)

С

4пст Заключаем, что

(е4жЛ - !)• ||Pд [Ф] -Ф|С1

1С1([0,Г ];У (О))'

= ФN - Pд

'[Ф]1 к,

< СГ ръ[Ф ]-Ф| ІС1([0,Т ];У (О)).

где

+ 4пСЦ р„ [Ф(?)]-Ф(? )| |^).

Обозначим (?) = Фм (?) - Рм [Ф(?)]. На ос-

новании условия (15) заключаем, что

% (0) = 0. (22)

Тогда

С, = тах< Се

С

4пст"

■(е4™ Т -1) к

(23)

(24)

На основании утверждения леммы 1 получаем справедливость теоремы 3.

Некоторые результаты численных расчётов

В качестве примера реализации метода Бубнова - Галёркина была решена одна из характерных задач теории атмосферного электричества. Исследовалась зависимость потенциала электрического поля от коэффициента проводимости ст. В качестве модельной была рассмотрена стационарная задача для одиночного локализованного в пространстве грозового облака (источника сторонних электрических то-

тст\

ков и ).

Известно, что проводимость атмосферы растёт по экспоненциальному закону с удалением от поверхности Земли. А в грозовых облаках наблюдается явление пониженной проводимости [18]. В настоящей статье исследовалась следующая зависимость проводимости в облаке:

ст(г) = С ст0 (г) , где ст0 - функция проводимости в остальной атмосфере, г - расстояние от центра Земли, С < < 1 - коэффициент проводимости в облаке.

Характерные размеры облака были выбраны в согласовании с физическими наблюдениями: вертикальное расположение облака на высоте 5-10 км над поверхностью Земли, горизонталь-

х

+

X

X

z

+

+

z

ный диаметр порядка 20 км. Графики зависимости потенциала от высоты над поверхностью Земли представлены на рис. 1 и 2. На рис. 3 представлена зависимость разности потенциалов между верхними слоями атмосферы и Землёй от коэффициента проводимости в облаке.

Рис. 1. Распределение потенциала (*106 В) над центром облака в зависимости от высоты (км)

Рис. 2. Распределение потенциала (*106 В) вблизи границы облака в зависимости от высоты (км)

Рис. 3. Зависимость потенциала на границе с ионосферой (В) в зависимости от коэффициента проводимости в облаке (в логарифмическом масштабе по оси абсцисс)

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (20092011 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927), Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (шифр проекта НК-13П-13), РФФИ (проект 09-01-97019-р_поволжье_а).

Список литературы

1. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981. - 408 с.

2. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1974. - 304 с.

3. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. - М.: Наука, 1981. -416 с.

4. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985. - 590 с.

5. Жидков А.А., Калинин А.В. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. - 2009. - №6. - С. 150-158.

6. Hays P.B., Roble R.G. A quasi-static model of global atmospheric electricity. 1. The lower atmosphere // J. of Geophysical Research - 1979. - Vol. 84, No A7.

- P. 3291-3305.

7. Roble R.G., Hays P.B. A quasi-static model of global atmospheric electricity. 2. Electrical coupling between the upper and lower atmophere // J. of Geophysical Research. -1979. -Vol. 84, No A12. - P. 7247-7256.

8. Mareev E.A., Anisimov S.V. Global electric circuit as an open dissipative system // Proc. 12th Int. Conf. on Atmospheric Electricity. - 2003. - P. 797-800.

9. Browning G.L., Tzur I., Roble R.G. A global time-dependent model of thunderstorm electricity. Part I: Mathematical properties of the physical and numerical models // J. of the Atmospheric Sciences. -1987. -Vol. 44, No 15. - P. 2166-2177.

10. Жидков А.А., Калинин А.В. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. - 2009. - № 4. - С. 123-129.

11. Калинин А.В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. -319 с.

12. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967. - 464 с.

13. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967. - 624 с.

14. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

15. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - М.: Наука, 1988. - 337 с.

16. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974. - 332 с.

17. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978.

18. Davydenko S.S., Mareev E.A., Marshall T.C.,

Stolzenburg M. On the calculation of electric fields and currents of mesoscale convective systems // J. Geophysical Research. - 2004. - Vol. 109, D11103,

doi:10.1029/2003JD003832.

CONVERGENCE OF GALERKIN APPROXIMATIONS FOR THE QUASI-STATIONARY PROBLEMS OF THE THEORY OF ATMOSPHERIC ELECTRICITY

A.A. Zhidkov, A. V. Kalinin

The convergence of Galerkin approximation is studied for the set of Maxwell’s equations in the quasi-stationary electric approximation. Some results of numerical calculations are given.

Keywords: electromagnetic theory, Galerkin method, approximation, convergence, partial differential equations.