О непрерывной зависимости решений от данных задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегopoдскoгo уневерситета им. Н.И. Лобіачевского, 2011, Nc 5 (1), с. 169-173

УДК 517.9

О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ ОТ ДАННЫХ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

© 2G11 г. А.А. Жидков

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

Artem.Zhidkov@gmail. com

Постуечла вредакцчю 04.04.2011

Рассматривается квазистационарная система уравнений Максвелла, находящая применение при решении математических задач атмосферного электричества. Доказывается теорема об устойчивости решения при малых изменениях исходных данных (коэффициентов задачи, внешних источников, начальных данных).

Клюаевые слова: атмосферное электричество, корректность, устойчивость, уравнения в частных производных, функциональное пространство.

Введение

Исследование электромагнитных процессов в атмосфере Земли в настоящее время вызывает высокий интерес. В первую очередь это связано с развитием климатических и метеорологических моделей. Хорошо известно такое атмосферное явление, как глобальная электрическая цепь [1-5] - поддерживаемая достаточно стабильная разность потенциалов между поверхностью земли и верхними слоями атмосферы.

Попытки математического и численного моделирования поведения электрического поля в атмосфере Земли при известных возмущающих токах описаны в работах [1, 2, 5-10].

В последнее время интерес представляют обратные задачи об определении источников электрических токов, локализованных в грозовых образованиях, по результатам измерений электрического поля, создаваемого этими источниками.

Одним из необходимых условий разрешимости обратных задач является устойчивость решения прямой задачи при возмущении исходных данных.

В настоящей работе обсуждаются вопросы непрерывной зависимости решения прямой задачи от внешних источников электрического тока, проводимости и начальных условий. Данная работа является продолжением работ [9, 10].

Постановка задачи

Пусть t е (0, Т), х е О с R3; О - открытое ограниченное подмножество в Я3, диффео-

морфное шаровому слою, с границей = = Г = Г U Г2 (Г , Г2 - две компоненты связности границы ЭО, каждая из которых диффео-морфна сфере в R3). В соответствии с физическим смыслом задачи, Г1 - поверхность земли, Г2 - верхняя граница атмосферы. Предполагается, что в каждой точке x е сО определён единичный вектор внешней нормали n(x).

При отсутствии высокоскоростных процессов, связанных с молниевыми разрядами, исследование электрических процессов в атмосфере Земли обычно проводится в рамках ква-зистационарного электрического приближения для системы уравнений Максвелла:

— 4п —

rot H (x, t) = — o(x)E( x, t) +

C — (1)

+^ J “(x,,)+i ,

c c Ct

rot E( x, t) = 0, (2)

div H (x, t) = 0, div E( x, t) = 4np(x, t). (3)

Здесь Jст е C([0,T];|L2(0)}3) - объёмная

плотность сторонних токов, о е Lw (О) - удельная проводимость атмосферы. Данные функции считаются заданными при решении прямых задач. Также предполагается, что существуют *

постоянные о*, о такие, что

0 < о* < о(x) < о * для любого x е О . Замечание: Определения основных функциональных пространств, используемых в настоящей работе, могут быть найдены, например, в [9-12].

Учитывая, что проводимость земли существенно превышает проводимость приземных слоёв атмосферы и что проводимость атмосферы возрастает с ростом высоты по экспоненциальному закону [3-5, 9], будем считать, что границы рассматриваемой области Q являются идеально проводящей средой, что соответствует заданию на границе Г нулевых условий для тангенциальной компоненты напряжённости электрического поля [12]

Eт (x, t) = 0 , x е Г (4)

(для произвольной вектор-функции u , определённой на Q, приняты обозначения un = (u • n), un = un • n , u T = u - un, x е Г, где n - единичный вектор внешней нормали).

Дополнительно предполагается, что функция E( x, t) удовлетворяет начальному условию

E(x,0) = E0 (x), x е О . (5)

Равенство (2) означает, что векторное поле E(x, t) является потенциальным и представимо в виде

E(x, t) = - grad ф(x, t).

Тогда уравнение (1) преобразуется к виду

— 4тс

rot H (x, t) =----------ct( x)grad ф( x, t) +

c

d_

dt

j (grad ф^, t) • grad y(x))dx +

Q

4tc j ct( x) (grad ф( x, t) • grad y(x))dx

Q

= 4tc j (jст (x, t) • grad y(x))dx,

при всех у е V(О), и начальному условию

ф|,=о = Ф0 еV(О^ (10)

где V (Q) - гильбертово пространство

V(Q) = u е H'(Q): u|xgT = 0, u|xgT = const} со скалярным произведением

(u • v)V(О) = J (grad u(x) • grad v(x))dx .

О

Включение ф(-, t) е V(О) обеспечивает выполнение граничных условий (7) при каждом фиксированном t е (0, T).

В работе [10] доказана теорема о существовании и единственности решения задачи (9), (10) в функциональном пространстве V(О).

Непрерывная зависимость решения задачи (9), (10) от параметров

(6)

4тс — 1 C

+—J CT(x, t)--—grad ф( x, t). c c Ct

Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что электрический потенциал удовлетворяет граничным условиям, аналогичным (4):

ф^ t)\xeT = ^ ф(Х, t^ ^ = C(t) . (7)

Подчеркнём, что в данном случае потенциал верхних слоёв атмосферы C (t) считается неизвестной функцией от времени и (7) констатирует, что ф(x, t) не зависит от x е Г .

7 т \ 7 /\xsT2 2

Также из начального условия (5) для электрического поля можем получить начальное условие для электрического потенциала

ф( x,0) = Фо(x). (8)

В работе [10] показано, что задача (6)-(8) допускает замкнутую постановку в терминах скалярного электрического потенциала:

Найти функцию ф е C1 ([0,T];V(О)), удовлетворяющую интегральному тождеству

Те°рема. Пусть {фО13,^(1),3")} {фО23,(2),

3 (с2т)}, ( фО0 е Г (О), о,) е и, (О), Зт е С (0,Т;

(Х2(О)}3), г = 1,2) - два различных набора исходных данных в задаче (9), (10). Пусть ф1,ф2 е С'([0,Т];Г(О)) - решения, соответствующие каждому набору. Тогда справедлива оценка

11ф2 ФЛС'([0,Г];Г(П)) “

< с •|||ф02)-ф01)| V (Q) + £ - Jст

(2) J (1)ll{L2(Q)}3 + (11)

+ СТ(2) -СТ(1)|| •! ||ф

-.(2)

IIV (Q)

+ T\\J,

(2)

{L2(Q)}3 Jj

= (9)

где C > 0 зависит от коэффициента о*, вида области О и значения T.

Доказательство. Введём вспомогательные обозначения

а(ф, у) = 4п J о(x)(grad ф(x, t) • grad y(x)) dx ,

f [у] = 4,J(J-(x_,) • gradv( x)K

О

Из условий на функции о^) и J ст( x, t) следует, что «(•,•) - билинейная, симметричная, ограниченная, коэрцитивная форма, а f - линейный ограниченный функционал. Тогда, на основании леммы Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала [13], существуют элементы А[ф] и F (t), такие, что

Cl^ у) = (А[ф] • y)V(о) , f [у] = (F(t) • y)V(о) .

Тогда уравнение (9) эквивалентно следующему

d; ■ ] + (-4[ф] • VV(Q) = (F(t) • VV(Q) .

d Jv (Q)

0

+

Поскольку равенство справедливо для лю бой функции у е V(О), следовательно, ф удов летворяет следующему абстрактному оператор ному уравнению

с1ф(:)

dt

- + Afo(t)] = F (t).

(12)

Оператор A : V(а) ^ V(а) определяется

формулой

А[ф] =v,

где функция v є V(а) является решением интегрального тождества

J (grad v • grad у)dx = J о(grad ф • grad у)dx аа для любого у є V(а).

Тогда норма оператора A по определению запишется в виде

11,11 llAMV(а) і, у

ІИІ = suP~-----<1 HI l. (а). (13)

Данная задача также будет иметь единственное решение.

Тогда справедлива следующая оценка

||ф2 - фЛ ^ ||ф2 - ф|| + ||ф - Ф^|. (18)

Рассмотрим норму ||ф2 - ф||. Функции ф2 и ~ представляются формулой (14). Тогда, исходя из вида задач (16), (17), на основании линейности операторов Аі, получаем оценку

Цфт —ФІІ < e 2 — e

llT2 IIc ([G,T ];V (Q)) II

-A,t

ф02) +

G V(Q)

t

A2(X-1)

- e

A, (x-t)

• I F (t)|| dx.

II 2^ ^Hv(q)

(19)

Пользуясь определением операторной экспоненты и свойствами операторов А1, легко доказать неравенство

e

- e_Al1 < e а •))A2 - a, II,

Ф

IIV (О)

Аналогично, оператор F(t): {L2 (Q)}3 ^

^ V (Q) определяется из соотношения

F (t )[u ] = v,

где v е V(О) - решение интегрального тождества J (grad v • grad y)dx = J (u • grad y)dx

ОО

для любого у е V(О). Тогда

где а = Т • о*.

Следовательно, на основании (13), неравенство (19) примет вид

||ф2- ф|| -еа(|ф02)|+ Т 11^211)^||А2 -ЛЦ -

< eа (| Ф^Ц + t||F2| ()•!

||F (t)[U ]|

V (а)

< u

{І2(а)}3 '

где ||^21| = 11^21|С(0 Т;Г(О)), остальные нормы берутся в соответствующих функциональных пространствах.

Рассмотрим задачи (15), (17). Функция

Получаем, что оператор А : V(а) ^ V(а) Ф = ~ - ф, удовлетворяет следующей задаче:

является самосопряжённым, ограниченным, положительно определённым. Тогда решение уравнения (12) с начальным условием (10) запишется в виде [14]:

ф(: ) = е-А: [Фо] + | еА^ (х)]<А , (14)

d. + А,[ф] = F (t), ф (=g = ФG,

где F(:) = F1(t)-^(:), Фо = ф02) -фО13.

Решение данной задачи существует, единственно и записывается формулой (14):

u ^ u

где e = >----------операторная экспонента.

^ n!

Ф =

e - А1' [Ф0] + J eAl(T-' )[F (T)]dT.

Равенство (12) позволяет заключить, что решения Ф;,Ф2 задачи (9), (10) удовлетворяют абстрактным задачам

dф, і

— + А1[Ф1] = Fl(t), Фі L=g = Ф

dф2

+ А2 [ф 2 ] F2 (t) , ф 2

= ф02).

(15)

(16)

Поскольку оператор А1 ограничен и положительно определён, справедлива оценка

||Ф|| - еП’Т •)|Ф0|| + е°ТТ •)\Ц.

Подставляя полученные результаты в неравенство (18), получаем

11ф2 - фі||c([0,T]

V (а))

< e |ф02) - ф011 + T |рс2)- Ja)||)+

а 2 — ■21,=0 Здесь операторы А1 порождаются функциями 0(г)(х), а функции Ft (:) - функциями

У "(х,:).

Рассмотрим вспомогательную задачу

+ eа (I Ф02)|| + t||J d |)-| | о 2

Аналогично оценим

d ( л

~Т(Ф2 - Фі) dt

<

d (Ф 2 - Ф) dt

+

d Ф л — (Ф - Ф,) dt

d- + А, [ф] = F1(t), Ф t=0 = Ф

(17)

Из задач (16), (17) и соотношения (14) получаем

At

о2 о1

d (ф 2 - ф) = A1[~] - A2 [ф 2 ] = dt

t

"A* At[ф02)] + JAe^"')[F2(x)]dx-

- A2 e -[ф02)] + J A2 eA2(T-t) [Fj (x)]dx.

0

Аналогично предыдущим рассуждениям, используя оценку

Кe^2' - A1e-4'|| < Tea • IIA2 - Aj,

получаем

d (ф 2 - ф) dt

< Te0

(2)

l)-l

- СТ,

Таким же образом может быть получена оценка

d (ф-ф1) dt

Тогда

< CT*e“ ф02) - ф01ч + CT*Te“ ||F2 - F11

ф 2 - ф^ C1

C‘(0,T ;V (О))

d

lie(0,T;V(О)) '

— (ф2 - ф1) dt

C(0,T ;V (О))

Обозначая С = ео Т тах{1, о*, Т}, получаем оценку (11) из утверждения теоремы.

Доказанная теорема позволяет заключить, что при достаточно малых изменениях параметров задачи (9), (10) решение также меняется достаточно мало.

Формулировка задачи в операторной форме (12) с ограниченным оператором А позволяет построить решение задачи (9), (10) на ограниченном отрезке времени. В частности, такая постановка позволяет решать обратную задачу финального наблюдения.

Автор выражает благодарность доценту кафедры математической физики А.В. Калинину за внимание к работе и высказанные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках Аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009—2011 годы) Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927), Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагоги-ческие кадры инновационной России» на 2009—2013

годы (шифр проекта НК-13П-13), гранта РФФИ (код проекта 09-01-97019-р_поволжье_а).

Список литературы

1. Hays P.B., Roble R.G. A Quasi-Static Model of Global Atmospheric Electricity. 1. The Lower Atmosphere // J. of Geophysical Research. 1979. Vol. 84, No A7. P. 3291-3305.

2. Roble R.G., Hays P.B. A Quasi-Static Model of Global Atmospheric Electricity. 2. Electrical Coupling between the Upper and Lower Atmophere // J. of Geophysical Research. 1979. Vol. 84, No A12. P. 72477256.

3. Mareev E.A., Anisimov S.V. Global Electric Circuit as an Open Dissipative System // Proc. 12th Int. Conf. on Atmospheric Electricity. 2003. P. 797-800.

4. Mareev E.A., Anisimov S.V. Lifetime of the Energy in the Global Electric Circuit // Proc. 13th Int. Conf. on Atmospheric Electricity. 2007. P. 17-21.

5. Давыденко С.С., Беспалов П.А. Проявление широтного хода проводимости атмосферы в распределении электрических полей и токов глобальной электрической цепи // Геомагнетизм и аэрономия. 2000. Т. 40, № 2. С. 71-77.

6. Морозов В.Н. Модель нестационарного электрического поля в нижней атмосфере // Геомагнетизм и аэрономия. 2005. Т. 45, № 2. С. 268-278.

7. Морозов В.Н. Распределение электрического поля, создаваемого нестационарным током заряжения грозового облака в атмосфере с неоднородной электрической проводимостью // Прикладная метеорология. 2006. Вып. 7 (555). С. 51-67.

8. Browning G.L., Tzur I., Roble R.G. A Global Time-Dependent Model of Thunderstorm Electricity. Part I: Mathematical Properties of the Physical and Numerical Models // J. of the Atmospheric Sciences. 1987. Vol. 44, No 15. P. 2166-2177.

9. Жидков А.А., Калинин А.В. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 4. С. 123-129.

10. Жидков А.А., Калинин А.В. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 6. С. 150-158.

11. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

12. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

13. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

14. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

0

ON A CONTINUOUS DEPENDENCE OF PROBLEM SOLUTIONS ON PROBLEM PARAMETERS FOR A SYSTEM OF MAXWELL EQUATIONS IN THE QUASI-STATIONARY ELECTRIC APPROXIMATION

A.A. Zhidkov

A quasi-stationary system of Maxwell equations is considered, which is used in solving mathematical problems of atmospheric electricity. A stability theorem for the solution at small variations of initial problem parameters (coefficients, external sources, initial data) is proved.

Keywords: atmospheric electricity, correctness, stability, partial differential equations, functional space.