О единственности решения ретроспективной обратной задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 263-270

УДК 517.9

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ РЕТРОСПЕКТИВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ МАГНИТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

© 2014 г.

А.В. Калинин, А.А. Тюхтина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского avk@mm.unn.ru

Поступтло в редокцтю 23.04.2014

Доказывается единственность решения ретроспективной обратной задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении при общих условиях на коэффициенты.

Ключевые слово: квазистационарные электромагнитные поля, неоднородные среды, ретроспективная обратная задача, теоремы вложения.

Широкий класс современных технологических процессов, связанных с формированием электромагнитных полей заданной конфигурации, может быть исследован в рамках квазистационарного магнитного приближения для системы уравнений Максвелла [1-4]. С решением этой проблемы естественно связана задача о восстановлении начальных данных по конечной конфигурации магнитного поля, то есть ретроспективная обратная задача. В случае постоянных или гладких коэффициентов, характеризующих материальные свойства среды, ретроспективная обратная задача для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении может быть изучена методами, развитыми для исследования соответствующих задач для параболических уравнений [59]. Однако эти результаты не могут быть перенесены на случай неоднородных сред, характеризуемых разрывными коэффициентами в материальных соотношениях, поскольку в этом случае используемые функциональные пространства не могут быть вложены в соответствующие пространства С.Л. Соболева (в отличие от случая постоянных или гладких коэффициентов [10, 11]).

В настоящей работе изучается вопрос о единственности решения ретроспективной обратной задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении при достаточно общих условиях на коэффициенты в материальных соотношениях (материальные соотношения рассматриваются как операторные связи). Необходимые в этом случае результаты о компактности вложений используемых функциональных пространств устанавливаются методами, отличными от применяемых в [12].

Постановка задач

Система уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении в гауссовой системе единиц записывается в виде [1]:

(1)

(2)

(3)

(4)

гог Н (х, / ) = — 1 (х, /), с

а™ в(х, t )= о, \ 1 ав / ч

гог Е(х, t) =---(х, t)

с дt

х, () = 4лр( х, ¿),

где (х, /)е Q = Ох(0,Т), Ос Я3, Т > 0; Н , В, Е, В, 1: Q ^ Я3 и р: Q ^ Я1 - неизвестные функции.

Система уравнений (1)-(4) дополняется линейными материальными соотношениями

В(х, t) = цН (х, t), В(х, t) = еЕ (х, t), (5) 1 (х, t ) = ст(Е(х, t)+ Ест (х, t)). (6)

В работе предполагается, что Ос Я3 - открытая ограниченная область класса С2, зв езд-ная относительно некоторой точки, Ест : Q ^ Я3- суммируемая с квадратом функция, М , ст, е - самосопряженные линейные операторы из {Ь2(о)}3 в {Ь2(о)}3, удовлетворяющие условиям

Щ\2,О-(е"' й)2,О -е2|и2

< (сти, и )2 О -

ст, и 41 ||2,О

II2,О -2

:СТ, и .

2II 1|2,п '

(7)

щ\2о ^^ и )2,п <м2и

М,, ст,., е1, г = 1, 2, - заданные положительные числа.

В качестве краевых условий может рассматриваться один из следующих типов условий:

2

2,0

HX(x, t) = 0, x е 5Q , t е (0,T), (8)

или

Bv(x,t) = 0 , Ex(x,t) = 0 , x е 5Q , t е (0,T), (9) где для функций м : Q ^ Л3 через Uv и иг обозначаются соответственно нормальная и тангенциальная составляющие на границе области.

Используя соотношения (3), (5), (6), уравнения (1), (2) можно записать в виде

- — uH + — rot^'rotH)= rotEст, (10) c dt 4л v '

div uH = 0. (11)

Условия (9) означают, что

(uH )v(x, t)= 0, x еЭО , t е(0,т). (12) Определяются следующие гильбертовы пространства вектор-функций с соответствующими скалярными произведениями [11, 13]:

H(div;Q) = U е {L2(q)}3 : divи е L2(q)}, K(div;Q) = { е {L2(q)}3 : divи = 0},

(м, v )div = j"(U • v )dx + J div и div vdx,

q q

H (rot; Q) = {м е {L2 (q)}3 : rot и е {L2 (q)}3}, K(rot; Q) = { е {L2 (q)}3 :rot и = 0} (м, v )rot = j (и • v )dx + j (rot и • rot v )dx.

Q Q

Через H0 (rot; Q), H0 (div;Q) обозначается замыкание множества пробных функций в H (rot; Q) и в H (d iv; Q) соответственно,

K0 (div; Q) = K (div;Q)n H 0 (div; Q).

Пусть функции h, hT е {L2 (q)}3 . Прямые начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении сводятся к задачам определения решения соответствующей системы (10), (11), (8) или (10)—(12), удовлетворяющего условию

H(x,0) = h(x), x е Q. (13)

Решением задачи (10), (11), (8), (13) называется функция Не L2 (0,T, H0 (rot; Q)) , удовлетворяющая равенствам (10), (11), (13) в смысле распределений на Q. Аналогично, решение задачи (10)-(13) - функция Н е L2(0,T,H(rot;Q)), удовлетворяющая равенствам (10), (11), (13) в смысле распределений на Q и условию (12) в смысле теории следов [14-16].

Ретроспективные обратные задачи формулируются как задачи определения решения H системы (10), (11), (8) или (10)-(12), удовлетворяющего условию

H (x,T) = hT (x), x е Q. (14)

Решением задачи (10), (11), (8), (14) называется функция Н е L2 (0,T, H 0 (rot; Q)), удовлетворяющая равенствам (10), (11), (14) в смысле распределений на Q. Аналогично, решение задачи (10)-(12), (14) - функция Н е L2(0,T,H(rot;Q)), удовлетворяющая равенствам (10), (11), (14) в смысле распределений на Q и условию (12) в смысле теории следов.

Основным результатом работы является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Решение задач (10), (11), (8), (14) и (10)-(12), (14) единственно.

Основные функциональные пространства и их свойства

Пространство {L2 (q)}3, наделенное скалярным произведением

(и, v )u = J(|um • v )dx,

Q

с соответствующей нормой

Г 4 1/2

эквивалентной

норме Щ2Q = < j\и\2dx\

, обозначается Lu(q) .

В работе используются следующие гильбертовы пространства с соответствующими скалярными произведениями [12, 17, 18]:

K(divu;Q)= {м е Lu(Q): ум е K(div;Q)},

K0 (div u; Q) = {м е Lu (q) : |м е K0 (div; Q)},

(и, v)K(div|,Q) = (и, v)u ,

W (u; Q) = {м е H0 (rot; Q): ум е H(div; Q)}, W2 (u;Q) = {и е H(rot;Q): ум е H0 (div;Q)}, V (u; q) = H0 (rot; q) П K (div u; Q), V (u; Q) = H (rot; Q)n K (div u; Q), (и,v)W= J(m • v)dx + J(rotи • rotv)dx +

Q Q

+ j div |м div yvdx,

Q

W (q)= W1(1; Q) = H 0 (rot; Q)n H (div;Q), W2 (q) = W2 (1; Q) = H (rot; Q) П H0 (div;Q), V (Q) = V (1; Q) = H0 (rot; Q) П K (div;Q), V (Q) = V2 (1; Q) = H (rot; Q)n K0 (div;Q),

(и, v )W = j (и • v )dx + j (rot и • rot v )dx +

Q Q

+ j div и div vdx.

Q

Теорема 2 [18, 19]. Пусть Ос Я - открытая ограниченная область класса С2, звездная

u

относительно некоторой точки. Тогда найдется такая постоянная C(q) > 0, зависящая только от области Q, что для всех и е H0 (rot; Q), v е H (d Q) справедливо неравенство

(U,V)2,Q <

< С(Q)(|rOtu||2,n||v1|2,n+||dlvVIЛ^Д (l5) всех и е

H (rot;Q), v е H0 (dlv; Q) справед-

для

(l6)

ливо неравенство

(U,V)2,Q < С(Q))|rOtU|Jv||2,„ +

+ lMl2,Q IШ2,Q+IIHI2,Q IMl2, J '

Из (15), (16) и условий (8) следует, в частности, что в пространствах V1(i; Q), V2 (ц; Q)

можно ввести скалярное произведение соотношением

(и, v)V = rot и • rot v)dx .

Q

Пусть Q e R3 - ограниченная область c регулярной границей. Справедливы следующие утверждения [11, 13].

Лемма 1. Для всех p е H1 (q) справедливо включение grad p е K (rot; Q), причем, если p е H1 (Q), grad p е K(rot; Q) П H0 (rot; Q).

Лемма 2. Для любой и е K (rot; Q) найдется функция p е H1 (q), такая, что и = grad p .

Лемма 3. Для всех и е H0 (div;Q) и p е H 1(Q)

J(m • gradp)d = -Jpdlvndx.

QQ

Теорема 3 [10, 11]. Пространства W1(q),

W2 (q) непрерывно вложены в { 1 (Q)}3.

В [17,18] доказаны следующие утверждения. Лемма 4. Ортогональное дополнение в Z^(q) к K(dlv ц; Q) совпадает со множеством

{gradp : p е H1 (q)}.

Лемма 5. Ортогональное дополнение в Ll(q) к K0 (dlv ц; Q) совпадает со множеством

K (rot; Q).

Лемма 6. Функция и е {{ (q)}3 лежит в пространстве K0 (dlv ц; Q) тогда и только тогда, когда при всех p е H1 (Q)

|(цм • grad p )) = 0.

Q

Лемма 7. Пространство V1 (ц; Q) плотно и непрерывно вложено в K (dlv ц; Q).

Лемма 8. Пространство V2 (ц;Q) плотно и непрерывно вложено в K0 (dlv ц; Q).

Теорема 4. Вложение V1 (ц; Q) в K(dlv ц; Q) компактно.

Доказательство. Определим линейный оператор P : V1 (ц; Q) —^ V1(Q) следующим образом. Пусть и е V1 (ц; Q) . Согласно лемме Лакса-Мильграма [11] найдется единственный элемент ф е H1 (q) , удовлетворяющий при всех у е H1 (Q) равенству

J (grad ф • grad y)dX = —J (и • grady)aX = 0 .

QQ

Отсюда вытекает, что dlv(w + gradф) = 0. Положим Pfi = и + grad ф е (Q). При этом, согласно лемме 1, rot P1m = rot и, и, следовательно, IP4 = \Щ\¥ , то есть оператор P непрерывный.

С другой стороны, для любого v еУ1 (q) найдется единственный элемент ф1 е HlQ (q) , при у е H1 (q) удовлетворяющий равенству

всех

J (ц grad ф1 • grad y)dx = - J (цу • grady) .

QQ

Тогда и = v - grad ф1 е ^1(ц; Q) и для всех

Уе

H1 (Q)

J ((P1u - и ) • grad у)) =

Q

= J ((grad ф1 - v )• grad y)dx = J(grad ф1 • grady)aX,

Q Q

то есть Pfi = и + grad ф1 = v .

Если P1u1 = P1u2 для и1, и2 е V1(; Q), то, ввиду леммы 1, и1 - и2 е K (rot; Q)n H 0 (rot; Q), то есть, согласно леммам 4, 7, и1 = и2. Тем самым доказано, что оператор P1 взаимно однозначный, P1-1v = v - grad ф1.

Пусть последовательность ип е V1 (ц; Q), n = 1,2,... , ограничена. Ввиду непрерывности оператора P1 последовательность P1nn ограничена в V (Q) и, согласно теореме 3, в {1 (Q)}3. В силу компактности вложения { 1 (Q)} в {L2 (Q)}3 [20] найдется подпоследовательность P1nnk , сходящаяся при k — да в {L2 (q)}3 . По определению обратного к P1 оператора *nk = PAk - grad ф«к, где функции ф„к е H0 (Q)

удовлетворяют при всех у е

H1 (Q)

равенству

(13) допускает следующую обобщенную постановку: найти функцию Н е L2 (0,T,V,(|u; Q)), удовлетворяющую начальному условию (13), при которой для всех v е (u; Q) справедливо равенство

1 d

c dt ■

~ Q (17)

= j((ст • rot v)dx.

j(UgradФ^ • grad v)dx = j((„k • gra^)^

Q Q

то есть для любых k, m

j(ugrad(9„k Ф nm ^ grad(9nk Фтон ))dx =

Q

= j((k - PAm^grad(„k Фпт))dx. -d- j(uH • v)dx + 4— j(CT"1 rotH • rotv)dx

q c at t 4— „

Отсюда выводим, что последовательность

gradф„к, k = 1,2,..., сходится в Lu(Q), и, таким

образом, последовательность ипк, k = 1,2,..., сходится в Lu(q) (и в K (div u; Q)) к некоторому и1 е Lu(Q). Так как K(div u; Q) замкнуто в Lu(q), и1 е K (div u; Q), и теорема доказана. Аналогично доказывается Теорема 5. Вложение V2 (|u; Q) в K0 (div u; Q) компактно.

Теорема 6. Пространства W (|u; Q), W2 (u; Q)

компактно вложены в Ьц (о) .

Доказательство. Пусть последовательность ип еЖ,(|;О), п = 1,2,..., ограничена. Согласно

лемме 4 ип = V + grad фп, где фп е И\ (о) , divЩ = 0 . Тогда V е ^¡(цО), div|gradфп = = div |мп. Ввиду компактности вложений И1 (О) в Ь2 (О) и ^(ц О) в Ьц(п), найдется подпоследовательность ипк, такая, что последовательности ф^ и упк сходятся в Ь2 (о) и в Ьц (о) соответственно при к ^ ж. Для всех к и любых у е И (о)

gradф^ • gradу)йХ = divцйпкЛх,

п п

откуда получаем для всех к, т

grad(Фnk - фпт )' grad(Фnk - фпт ))йХ =

О

= (фпк фпт 1((пк - ипт )йХ

О

Ввиду ограниченности последовательности ипк последовательность grad ф^ сходится в Ьц(о).

Так как ||мп|||= ||уп||| + ||grad фп|последовательность ипк сходится в Ьц(п) .

Компактность вложения Ж2 (ц; О) в Ьц(о) доказывается аналогично.

Существование решения задач (10), (11), (8), (13) и (10)—(13)

Пусть к е К ц; О). Задача определения напряженности магнитного поля (10), (11), (8),

Аналогично, задача (10)-(13) допускает следующую постановку: найти функцию Н е L2 (0,T ,V2 (u; Q)), удовлетворяющую

начальному условию (13), где h е K0 (div u;Q), при которой для всех v е V2 (|u; Q) справедливо равенство (17).

Пусть Q с R3 - открытая ограниченная область класса C2, звездная относительно некоторой точки. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 7. Для любых h е K(div u; q), Ecm е {L2 (Q)}3 существует единственное решение Н е L2 (0,T,V1(u;Q)) задачи (17), (13). При

этом H эквивалентна непрерывной функции из [0,T] в L|(Q).

Теорема 8. Для любых h е K0 (div u; q), Ecm е {L2 (Q)}3 существует единственное решение Н е L2 (0,T,V2(u;Q)) задачи (17), (14). При этом H эквивалентна непрерывной функции из [0,T] в Lu(Q). Если, кроме того, h еH(rot;Q),

Ecm е L2(0,T,H(rot;Q)), то d/dt(H)е {L2(q)}3 .

Теоремы 7, 8 доказаны в [17, 18] с использованием метода Фаэдо-Галёркина, возможность применения которого обоснована с помощью полученных в [19] неравенств (15), (16) для скалярных произведений векторных полей.

Рассмотрим систему (1)-(6) с краевыми условиями (8) или (9) и начальным условием (13). Решением задачи (1)-(6), (8), (1 3) называются функции Н е L2 (0, T, H0 (rot;Q)), B е L2 (0, T, K(div;Q)),

J е L2 (0,T, K(div;Q)), E е L2 (o,T,{L2 (q)}3 ), D е

еL2(0,T,{L2(Q)}3), реL2(0,T,H-1 (q)), удовлетворяющие равенствам (1)-(6), (13) в смысле распределений на Q . Аналогично, решением задачи (1)-(6), (9), (13) называются функции H е L2 (0, T, H(rot; Q)), B е L2 (0, T, K0 (div; Q)), J е L2(0,T,K(div;Q)), E е L2(0,T,H0(rot;Q)),

D 6 L1 (o,t, {¿2 (q)}), ре L (о,Г, Я1 (Q)), удовле- I ± Г(цЯ. v)dX + С. Г^1 rot Я • rot v)dx = 0 . (21)

творяющие равенствам (1)-(6), (13) в смысле c dt Q 4л Q

распределении на ö. Определим линейный оператор Л:

В [18] доказана эквивалентность задач (10), к(div ц;Q)^ K(div ц; Q), ставящий в соответ-

(11), (8), (13) и (10)—(13) и соответствующих - „/,. „\

v/v/v/ v/v/ — ствие элементу и 6 K (div ц; Q) элемент

задач (1)-(6), (13) и (1)-(6), (9), (13). Пусть Я - (q) и V v' (q)

- - Ли 6 V, (ц; Q), такой, что для всех v 6 V (ц; Q) решение задачи (17). Положим B = цЯ,

4_ I (ст-1 rot Ли • rot v) dx =1 (ци • v)dx.

J =—rotH , Е = ct-1J - Ест , D = s£, р= J J

ст

О О

Оператор А, согласно лемме Лакса-= —В. Справедливо следующее утвержде- Мильграма, определен на всем К(IV м; О). Ис-

4л ние.

пользуя оценку (15) и условия (9), можно пока, , чч зать, что оператор А : К(а^ м; О) ^ К (IV м; О) Лемма 9. Пусть Н е ¿2 (0,Тм; О)) - ^ 2 1 1Ы1

ограниченный, ||Аи||м< С (О)м2м1 ст2||и||ц.

Q

|(ст 'rotЛи • rotЛ^)сХ = (и,ЛV)ц,

Q

решение задачи (17), (13). Тогда функции H,

B , J, E, D, р - решение задачи (1)-(6), (8), Для любых й> v е K(dlv ц Q ) (13) . Пусть h е V2(ц;Q), Ecm е L2(0,7,H(rot;Q)) ^i1,v) = J(xAu •v)dx и H е L2 (0,7 ,V2 (ц; Q)) - решение задачи (17), (13). Тогда функции H, B, J, E, D, р - решение задачи (1)-(6), (9), (13). то есть оператор А самосопряженный.

Из теорем 7, 8 и леммы 9 следует Докажем компактность оператора. Пусть по-

Теорема 9. Пусть QcR3 - ограниченная об- следовательность ип е K(dlv ц; q) , п = 1,2,...,

ласть класса С2, звездная относительно некото- слабо сходится к и е K(dlv ц; Q) при п — да.

рой тотки, ц , с ,8 - сам°с°пряженные линей- Поскольку для всех v е V1 (ц; Q) нью операторы из {l2 (q)}3 в {2 (q)}3 , удовлетво- ,-) Айп • rot V) dx =

ряющие условиям (9), Eст е {L2 (б)}3, h е я

е K (dlv ц; Q). Тогда существует единственное = J(цun • v)dX,

решение задачи (1)-(6), (8), (13). Если я

Ecm е L2(0,7,H(rot;я)) ^ h е V2(ц;Q), существует последовательность элементов w = Аип иа^

единственное решение задачи (1)-(6), (9), (13). сходится в ^(ц;q) к w = Аи.

В силу теоремы 4 найдется подпоследователь-

Единственность решения ность wtik, сходящаяся при k — да в K(dlv ц; Q)

ретроспективных обратных задач к некоторому элементу w е K(dlv ц; Q). Для (10), (11), (8), (14) и (10)—(12), (14) v K( я)

всех v е K (dlv ц; Q)

Докажем теорему 1. Решение задачи (10), J^ • V)dX = limJlw • v) =

(11), (8), (14) единственно, если из соотношений k—

Q

Я 6 Яо (rot; q) , = Jim f ( rot Wnt • rot ЛV) dx =

1 Я / \ k

--цЯ + — rot(CT-1 rot Я)= 0, (18) Q

c dt 4л = f (ст-1 rot w • rot лv) dx = |(W • v)dx,

div|o# = 0, (19) Q Q

Я (T ) = 0 (20)

вытекает, что Я = 0 .

Заключаем, что в силу теоремы Гильберта-Шмидта [21] оператор А обладает счетным Из (18), (19) следует, что Н е ¿2 (0,Т, множеством действительных положительных V(Vм;О)и при всех V е ^(ц;О) удовлетворя- собственн^1х значений Xк, к = 1,2,..., и соответ-ет равенству ствующие им собственные функции фк обра-

зуют ортонормированную систему в

К ц; О), причем фк е ^(а; О), к = 1,2,.... Ввиду плотности ^(а; О) в К(и ц; О), если Аи = 0, то и = 0, следовательно, система функций фк полна в К (и ц; О).

Пусть Н е Ь2 (0,Т, V, (ц; О)) - решение задачи (21), (20). Обо значим

к = И (0) е К ^гу ц; О . (22)

Положим hk =

hk =(h, Фк I , hn = ^hk Фк

Hn (x 0 = 2 hk exP

' с2 ^ t

4лА,

фк(x) •

k У

—S((n-фс-

4л

с dt

J(

rotHn • rotvldC = 0.

)dC :

Из (23) следует, что

—— f(uH • H )dx-2с dt J n

- J(

4л Jv

rotH„ • rotHn)dx = 0.

)dx =

Интегрируя от 0 до t e (0,T), находим, что

до

euP|Hn((Г < 2с

te[0,T | ^

H <

a II IL (0,T,V) с

4л г 2

h

1 t

-- jvj^nk • V)dxdt +

+ -4—JyJ^cr 1 rot Hkk • rot v)dxdt =

4л 0 n

: v(0)j(^hnk • v)dx-у(т)|((()• v)dx. (24)

Пусть y(T) = 0 . Переходя к пределу при к ^ да, получим

T

- JVJ(( 1 • v)dx

dt +

Т огда для n = 1,2,... Hn e C-(0,T,V-(jn)), Hn (0) = hn и при всех v e V1 (a; n)

4л

T

J^J(ct-1 rotH1 • rotvV)dxdt -

0 n

= у(0^( • v )dx.

(25)

(23)

Если возьмем у е _0(0,Т), получим, что для И1 справедливо равенство (21), которое выполняется в смысле распределений на (0,Т). Умножив (21) на функцию у е С'[0,Т], проинтегрировав

по частям, имеем

xdt +

Найдутся подпоследовательность Hnk, к = 1, 2,..., и элементы H e L2(0,T,Vj(ja;n)), H2 e e L„(0,T, K(div ja; n)), такие, что Hnk ^ H1 при к ^да слабо в L2(0,T,V-(ja;n)), Hnk ^ H2 слабо в L„(0,T, K(div ja; n)). Если V e L2 (0, T, K(div ja; n)), то

T T

Jj(aH1 • v)dxdt = lim Jj(aHnk • v)dxdt =

0 n 0 n

T

= JJ(jH2 • v)dxdt,

0n

следов ательно,

H2 = H1 e L2(0,T,V(a;n)) n LM(0,T,K(diva;n)) .

Умножим обе части (20) на функцию у e C-[0,T] и проинтегрируем по частям:

-1 |у'|(мИ 1 (0)' *)&а

с 0 О Т

+ — |у|(ст-1шИ1 • гоЪ>)ЛХ& = 4л 0 п

= у(0)|(цИ1 (0) • ^ - у(т)|(рИ1 (( • У)ЙХ . (26)

ОО

Пусть у(т) = 0 . Сравнивая последнее равенство

с (25), получим, что И1 (0) = к .

В силу единственности решения задачи (21), (22) И1 = И. Пусть в (24) и (26) у(0) = 0. Переходя к пределу при к ^ ж в (24), находим, что

{(И (т) • фх ^ 0

О

для любого V е ^(ц; О). Поскольку 0 = (мИпк(Т) ^ = к ехр

f с2

4л^..

T

. У

получаем, что кJ = 0 , 7 = 1,2,..., и, следовательно, И = 0.

Единственность решения задачи (10)-(12), (14) доказывается аналогично.

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках задания М 2014/134 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части государственного задания Минобрна-уки РФ (код проекта 2664).

Работа поддержана (частично поддержана) грантом (соглашение от 27 августа 2013 г. М02.В.49.21.0003 между МОН РФ и ННГУ).

0n

и

k=i

0n

к=1

с

с

+

+

2

2

Работа выполнена при финансовой поддержке Мино-брнауки РФ в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности в 2014-2016 гг. (код проекта 1727).

Спттк лтmеpоmуpы

12. Weber C. A local compactness theorem for Maxwell's equatlons // Math. Meth. In the Appl. Scl. 1980. № 2. P. 12-25.

13. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

14. Владимиров В.С. Обобщенные функции в ма-

1.

Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 616 с.

2. Кулон Ж.-Л., Сабон-надьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988. 208 с.

3. Толмачев В.В., Головин А.М., Потапов В.С. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ,

1988. 232 c.

4. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. М.: Наука, Физматлит, 1995. 320 с.

5. Isakov V. Inverse problems for partial dlfferentlal equatlons. New York: Sprlnger, 2006.

6. John F. Numerlcal solutlon of the heat equatlon for precedlng tlme // Ann. Mat. Pura Appl. 1955. № 40. P. 129-142.

7. Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336 с.

8. Сумин М.И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 11. С. 2001-2019.

9. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир,

1989. 312 с.

10. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

11. Glrault V., Ravlart P.-A. Flnlte element approxl-matlon of the Navler-Stokes equatlons. New York: Sprlnger-Verlag, 1979.

Referernes

1. Tamm I.E. Osnovy teorll ehlektrlchestva. M.: Nauka, 1989. 616 s.

2. Kulon Zh.-L., Sabonnad'er Zh.-K. SAPR v ehlek-trotekhnlke. M.: Mlr, 1988. 208 s.

3. Tolmachev V.V., Golovln A.M., Potapov V.S. Termodlnamlka l ehlektrodlnamlka sploshnoj sredy. M.: Izd-vo MGU, 1988. 232 c.

4. Galanln M.P., Popov Yu.P. Kvazlstaclonarnye eh-lektromagnltnye polya v neodnorodnyh sredah. M.: Nauka, Flzmatllt, 1995. 320 s.

5. Isakov V. Inverse problems for partlal dlfferentlal equatlons. New York: Sprlnger, 2006.

ON UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF A RETROSPECTIVE INVERSE PROBLEM FOR MAXWELL EQUATIONS IN THE QUASI-STATIONARY MAGNETIC APPROXIMATION

A.V. Kalinin, A.A. Tyukhtina

The uniqueness of the solution of a retrospective inverse problem for Maxwell equations in the quasi-stationary magnetic approximation under general conditions on the coefficients is proved.

Keywords: quasi-stationary electromagnetic fields, inhomogeneous media, retrospective inverse problem, embedding theorems.

тематической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

15. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

16. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 197В. 336 с.

17. Калинин A. В., Калинкина A. A. Квазистационарные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла II Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия «Математическое моделирование и оптимальное управление». 2003. Вып. 1(26). С. 21-3В.

1В. Калинин A^. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. 319 с.

19. Калинин A^., Калинкина A.A. Lp-оценки векторных полей II Изв. вузов. Математика. 2004. № 3. С. 26-35.

20. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 19ВВ. 336 с.

21. Канторович Л.В., Aкилoв Г.П. Функциональный анализ. СПб.: Невский диалект, 2004. В16 с.

6. John F. Numerical solution of the heat equation for preceding time II Ann. Mat. Pura Appl. 1955. № 40. P. 129-142.

7. Lattes R., Lions Zh.-L. Metod kvaziobrashche-niya i ego prilozheniya. M.: Mir, 1970. 336 s.

В. Sumin M.I. Regulyarizovannyj gradientnyj dvojst-vennyj metod resheniya obratnoj zadachi final'nogo na-blyudeniya dlya parabolicheskogo uravneniya II Zh. vychisl. matem. i matem. fiz. 2004. T. 44. №

11. S. 2001-2019.

9. Bek Dzh., Blakuehll B., Sent-Klehr Ch. Nekorrektnye obratnye zadachi teploprovodnosti. M.: Mir, 19В9. 312 s.

10. Dyuvo G., Lions Zh.-L. Neravenstva v mekhani-ke i fizike. M.: Nauka, 19В0. 3В4 s.

11. Girault V., Raviart P.-A. Finite element approximation of the Navier-Stokes equations. New York: Springer-Verlag, 1979.

12. Weber C. A local compactness theorem for Maxwell's equations // Math. Meth. In the Appl. Sci. 1980. № 2. P. 12-25.

13. Temam R. Uravneniya Nav'e-Stoksa. Teoriya i chislennyj analiz. M.: Mir, 1981. 408 s.

14. Vladimirov V.S. Obobshchennye funkcii v ma-tematicheskoj fizike. M.: Nauka, 1979. 320 s.

15. Lions Zh.-L., Madzhenes Eh. Neodnorodnye gra-nichnye zadachi i ih prilozheniya. M.: Mir, 1971. 372 s.

16. Gaevskij H., Gryoger K., Zaharias K. Nelinejnye operatornye uravneniya i operatornye differencial'nye

uravneniya. M.: Mir, 1978. 336 s.

17. Kalinin A.V., Kalinkina A.A. Kvazistacionarnye nachal'no-kraevye zadachi dlya sistemy uravnenij Maksvella // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i optimal'noe upravlenie». 2003. Vyp. 1(26). S. 21-38.

18. Kalinin A.V. Ocenki skalyarnyh proizvedenij vektornyh polej i ih primenenie v matematicheskoj fizike: Uchebnoe posobie. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2007. 319 s.

19. Kalinin A.V., Kalinkina A.A. Lp-ocenki vektornyh polej // Izv. vuzov. Matematika. 2004. № 3. S. 26-35.

20. Sobolev S.L. Nekotorye primeneniya funk-cional'nogo analiza v matematicheskoj fizike. M.: Nau-

ка, 1988. 336 8.

21. Ь.У., Akilov О.Р. Funkcional'nyj

analiz. 8РЪ.: Nevskij ^Ш, 2004. 816 8.