CC BY
49
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 4 (2013). С. 60-76.
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
И.И. ГОЛИЧЕВ
Аннотация. Вводится регуляризация системы Навье-Стокса, решение которой совпадает с решением системы Навье-Стокса, если последнее существует. Регуляризованная нелинейная система сводится к решению последовательности линеаризованных систем.
Для решения последней системы используется градиентный метод. Построен и обоснован модифицированный метод наискорейшего спуска, который возможно применять при наличии ограничений на управление и неограниченности множества Лебега.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, градиентный метод, регуляризация, априорные оценки
Mathematics Subject Classification: 49M20, 35Q30, 93C05
1. Введение.
Рассмотрим начально-краевую задачу для обобщенной системы уравнений Навье-Стокса
vt - vAv + ViVx. + gradp = f(x,t), (1)
v|sT =0, v|t=o = a(x) (2)
div v = 0 (3)
О
в области QT = П x [0,T], ST = S x [0,T], S — граница области П, f G J(Qt),
О
L2(Qt) = G(Qt) ® J(Qt) — ортогональное разложение на градиентную и соленоидаль-ную составляющие части пространства L2(Qt), v = (vi,v2, ... ,vn).
div a = 0, a|S = 0. (4)
Здесь и далее, в основном, применяются обозначения, используемые в работе [3]. Для однозначной определенности давления будем считать, что Jp(x,t)dx = 0 почти всюду по
п
t на [0,Т].
Как отмечалось в работе [1], основная трудность при изучении задач (1) — (3) связана с вопросом - имеет ли место однозначная разрешимость в "целом" (т.е. при любом t G [0,T]) начально-краевой задачи (1), (2). Обоснование того, что она имеет решение "в целом" упирается в доказательство априорной оценки одной из норм ||vx(x,t)||2, ||v||q,r,QT, где параметры q и r удовлетворяют определенным условиям. Наличие оценки на ||v||q,r,QT влечет существование оценки на ||vx(x,t)||2 и наоборот. Ввиду такого положения, в литературе (см., например, [1], [2] и ссылки в этих книгах) рассматриваются многочисленные
I.I. GoLiCHEv, Modified gradient fastest descent method for solving linearized non-STATIONARY NAViER-SToKES EQUATioNS.
© ГоличЕВ И.И. 2013.
Поступила 3 декабря 2013 г.
варианты регуляризации уравнений Навье-Стокса. Регуляризация, как правило, связана с введением в уравнение (1) дополнительных членов, содержащих малый параметр. При этом решение регуляризованной задачи должно стремиться к решению исходной задачи Навье-Стокса при е ^ 0, если это решение существует. При таком подходе возникает вопрос о физической обоснованности регуляризованной задачи, о выборе параметра е и степени близости решений регуляризованной и исходной задачи.
Предлагаемый в работе [3] подход к решению задачи (1) — (3) также можно рассматривать как регуляризацию системы Навье-Стокса, состоящую в том, что в уравнении (1) в произведении v{vx. почти всюду по t на [0,T] v заменяется его проекцией на шар Kr(t) = {v(t) : ||vx(t)|| « R(t)}, где R(t) — неубывающая, положительная функция. Здесь и далее || ■ || = || ■ ||l2(Q).
Проекция на шар Kr вычисляется по формуле Pkrv = aR(t, v)v, где aR(t, v(t)) = min[1,R(t)/ ||vx(t)||]. Таким образом, от уравнения (1) переходим к уравнению
vt — vAv + aR(t, v)vivx, + grad p = f. (1)
Для решения регуляризованной задачи (1), (2), (3) строится итерационный процесс
(5)
vfc+1U =0, vfc+1|t=o = a(x) (6)
div vk+1 = 0, (7)
где ak = ak(t) = aR(t, vk).
Обозначим через V2 пространство W2,1(QT) П Lœ(0,T; W^(H)) с нормой
llvllv2 = IMIw^q) + vraMmax ||vxH (8)
В работе [3] доказана следующая
О
Теорема 1. Пусть f G J(Qt), ^ — ограниченная область с границей S G C2, a(x) удовлетворяет условиям (4); тогда задача (1), (2), (3) имеет единственное решение v, p с vxx, vt, px из L2(Qt), последовательности {vk}fc0, {p^fc_1, определенные итерационным
процессом (5) — (7), где ak = min 1,R(t) ||vx|| 1 , R(t) — ограниченная, неубывающая
функция, сходятся к решению задачи (1), (2), (3) при любом v0 G V2 и справедливы оценки:
||vk — v||v2 « c(q)qk ||v0 — v|v2 , (9)
Bp* - pBw^qt.) « c(q)qk |v0 — v|v3 (10)
при любом q G (0,1), где c(q) ограничена на отрезке [a, 1] при любом a > 0.
В работе [3] показано также, что утверждения теоремы 1 остаются в силе, если в нелинейном члене уравнения (1) Vivx. вектор v(t) заменить его проекцией на шар {v(t) G L4(Q) : Вv(t) |4 « R(t)}, или покоординатной проекцией вектора v(t) на отрезок [R1(t), R2(t)], где R1(t),R2(t) — ограниченные на интервале [0,T] функции.
Замечание 1. Обратим внимание, что доказанная теорема гарантирует сходимость
О
итерационного процесса (5) - (7) на любом интервале [0, T], на котором f G J(Qt), а также существование и единственность решения задачи (1), (2), (3).
Замечание 2. Если на интервале [0,T1] (T1 « T) решение v*, p* задачи (1), (2), (3) удовлетворяет неравенству
K(i)|| « R(t) Vi G [0.T,], (11)
то решение задачи (1) - (3) на этом интервале существует и v = v*, p = p*.
Действительно, если выполнено неравенство (11), то a (t, vx) = 1, поэтому уравнения (1) и (1) совпадают.
Замечание 3. Если на интервале [0,7\] (Т1 ^ Т) решение задачи (1)-(3) существует и выполняется оценка
||уж(г)|| ^ м(г) Уг е [0,Т1], (12)
где М(г) ^ Я(г), то на этом интервале оно совпадает с решением регуляризованной задачи (1) (2) (3) •
Действительно, поскольку у^) лежит внутри шара К и (г), то у^) совпадает со своей проекцией на этот шар и, поэтому, V удовлетворяет уравнению (1). Учитывая единственность решения задачи (1), (2), (3) (в силу теоремы 1) и единственность решения задачи (1)-(3) при выполнении условия (12) (см. теорему 12, гл. VI, работы [1]), убеждаемся в справедливости утверждения замечания.
Замечание 4. Учитывая замечание 2, нетрудно построить итерационный процесс, сходящийся к решению задачи (1)-(3) в случае, когда правая часть оценки (12) неизвестна, при условии, что решение задачи (1)-(3) существует и удовлетворяет ограничению (12) при некоторой неизвестной, но заведомо ограниченной на [0, Т1] функции М(г). Действительно, задаем некоторую положительную, ограниченную, неубывающую функцию Я1 (г) и решаем задачу (1), (2), (3) при Я(г) = Л1(г), далее проверяем условие (12) при М(г) = Л1(г). Если это условие выполнено, то задача (1)-(3) решена. Если это условие не выполнено, то полагаем Я2(г) = Я1(г) + К (К — параметр метода) и повторяем итерационный процесс. Ясно, что после конечного числа шагов условие (12) будет выполнено и, следовательно, решена задача (1)-(3).
При реализации предлагаемого подхода возникает вопрос о выборе интегрального ограничения Я(г) или равномерных ограничений на скорость Л1(г), Я2(г). Оценки ||ух(г)|| и || V) 14 можно найти явно при п = 2 глобально и при п = 3 локально. Эти оценки на интервале [¿о, ¿] зависят от начального условия ||их(г0) || (||и(г0) ||4), ||/||ь2(Я ), и и констант из теорем вложения функций.
Во многих случаях такие оценки найти затруднительно, кроме того, в применении к конкретной задаче полученные оценки могут оказаться сильно загрубленными. В связи с этим в замечании 4 предлагается итерационный процесс, который позволяет найти априорную оценку, если ее решение с соответствующей оценкой на заданном интервале времени существует.
Априорную оценку вида |V| ^ N можно задать исходя из физических соображений, если нам заведомо известно, что скорость вязкой жидкости не превосходит заданной величины, то есть |у(г,х)| ^ N, тогда можно положить Я1(г) = —N, Я2(г) = N. Далее заметим, что если решение таким образом регуляризованной задачи удовлетворяет выбранной априорной оценке, то ее решение совпадает с решением исходной задачи. Если полученное решение не удовлетворяет выбранной оценке, то либо неправильно оценена величина возможной скорости, либо исходная модель (1) — (3) неадекватна изучаемому физическому процессу.
Из сказанного выше следует, что во многих случаях решение нелинейной системы Навье-Стокса можно свести к решению последовательности линейных задач.
К решению линейных задач имеются различные подходы, среди них отметим подход, основанный на градиентных методах минимизации функционала (у) = J у|2 dxdt,
Ят
в котором давление р рассматривается как управление (см., например, [5]-[7]). Однако, построение обоснованного градиентного метода наталкивается на трудность, связанную с тем, что в рассматриваемых задачах (как и в большинстве реальных задач, где состояние системы описывается дифференциальными уравнениями) множества Лебега Мг(С) = {и е иг : ,1г (и) < С, I = 1, 2} неограничены. В работе [5] эта трудность преодолевалась с помощью итеративной регуляризации метода проекции градиента. К сожалению, этот метод слишком медленно сходится.
В настоящей работе построен и обоснован модифицированный метод наискорейшего спуска, который можно применять при некоторых ограничениях на управление и неограниченность множества Лебега.
2. Градиентный метод решения линеаризованной задачи.
В предыдущем разделе показано, что при определенных условиях решение задачи (1.1)— (1.3) сводится к решению последовательности задач (1.5)—(1.7). Опуская индекс k, запишем эту задачу в виде
Lv = vt — vAv + = f — grad p, (1)
v|sT =0, v|t=o = a(x) (2)
div v = 0, (3)
О
где f Є J(Qt), gi Є L4,^ (Qt), a (x) удовлетворяет условию (1.4). Здесь и далее при ссылке на формулы из другого раздела будет использована двойная нумерация, где первое число указывает номер раздела, а вторая — номер формулы внутри раздела.
Задачу (1)—(3) рассматриваем как обратную задачу определения v и p по дополнительным данным (3).
Основным способом решения обратных задач является сведение их к задачам оптимального управления. Рассмотрим два варианта таких задач.
Задача I. Найти минимум функционала Ji (u) = i f |div v (Vu)|2 dxdt на множестве
Qt
о i,o ( л
Ui = W2 (Qt) = Iu Є W2,0 (Qt) : / u (x, t) dx = 0, t Є [0, T] j, где Vu = grad u, v (Vu) —
решение задачи Lv = f — Vu с условиями (2).
Задача II. Найти минимум функционала J2 (u) = 1 J |div v (Vu)| dxdt на множестве
Qt
U2 = L2 (Qt) = Iu Є L2 (Qt) : f u (x, t) dx = 0,; t Є [0, T] |, где v (Vu) — решение задачи
Lv = f — Vu с условиями (2).
Отличие задачи II от задачи I состоит в том, что производные Vu при u Є L2 (Qt) понимаются в обобщенном смысле и решение задачи (1) — (3) будем понимать также в обобщенном смысле.
Далее обозначим через Hl (/ = 1, 2) гильбертовы пространства
Hi = W21,0 (Qt), H2 = L2 (Qt);
тогда Ui — подпространство пространства Hi (/ = 1, 2).
Решение задач I, II будем искать методом проекции градиента
uk+i PU (uk ak+iJl (uk)) , (4)
где Pul — оператор проектирования на множество Ui, J/ (uk) — градиент функционала
Jl (uk) в точке uk (/ = 1, 2).
В следующем пункте будет показано, что имеют место формулы для вычисления градиентов:
Ji (u) = —p (u) , (5i)
где p (u) определяется из разложения вектора w (u) на градиентную и соленоидальную части: w (u) = grad p (u) + <£,
J2 (u) = div w (u). (52)
Здесь w (u) — сопряженное состояние, определяемое для обеих задач как решение задачи
д
L*w (u) = —wt — vAw — —— (giw) = grad div v (Vu), (6)
dx,-
w|sT = 0, w (x,T) = °. (7)
2.1. Дифференцируемость функционала J1 (u). Рассмотрим сначала задачу I. Она записывается в виде
J1 (u) = - J |div v (Vu)|2 dxdt ^ inf; u Є U1, (8)
Qt
где v (Vu) — решение уравнения
Lv = vt - vДv + giVXi = f - Vu (9)
с начальными и краевыми условиями (2).
Доказательство существования решения задачи (1), (2) в пространстве W2’ (Qt) и необходимые для обоснования формулы (51) оценки основываются на следующей лемме. Лемма 1. Пусть F (x,t) Є L2 (Qt ), g = (gi,...,gn) Є (Qt ), r Є L^ (Qt ),
О 1
a (x) Є W2 (П); тогда решение уравнения
L (v) + rv = F, (x,t) Є Qt, (10)
с краевыми и начальными условиями (2) существует, единственно, принадлежит пространству W2’ (П) и справедлива оценка
T т
||v||2 = vraimax "vx (t)"2 + v J |^v"2dt + А/ "vx (i)"2dt ^
*Є[0,т ] 0 0
^ 4елт (V-1 |f|L2(Qt) + 2 "a(x)H2) , (11)
где А — константа, зависящая лишь от v, констант c2, c3, c4, c7 из теорем вложения и второго энергетического неравенства (см. неравенства (13)—(15), (20) работы [3]), ||g||L4 (qt),
II r " L4,^(Qt) .
Доказательство. Выбираем последовательность ограниченных на Qt функций {F„}, {g„}, {rn}, удовлетворяющих условиям:
/im "F„ — F||T (Q ) = /im "g„ — g"T (Q ) =
" "MQt) "& &|L4,»(Qt)
= /im "r„ — r"L (Q ) = 0 (12)
M "L4,»(Qt) v 1
и рассмотрим последовательность задач
v„ — v Д v„ + g„v„i + r„v = F„, (13)
v„|S,T = 0, v„U = a. (14)
Заметим, что последняя задача распадается на отдельные задачи по координатам вектора v„. Пользуясь известными результатами (см., например, [4], гл. III, §6) убеждаемся, что "v„|^ ограничена. Покажем, что имеется равномерная оценка "v„|^ ^ c0 (n = 1, 2,...).
Далее через Ci будем обозначать константы, зависящие от тех же величин, что и константа А.
Обозначим v„ = v„e-^; F = F„e-^, тогда v„ является решением задачи
Д | І I л-'-'П v„ (л ОА
vt — vДv + g^vrx. + rv + Av = F , (13')
JU = 0, v„|t=0 = a. (14')
Умножим уравнение (13') на Дv и, интегрируя по частям по области Qt, получим
2 IV (*)Г + V шдтж, + ((^ + гпуп), дуп)мдт) + лик (*) Н12,* =
Г", Ду") +1 ||аж||2. (15)
/ Ь2(^Т) 2
Здесь использовано обозначение Ц| • |Ц0)* = |Н1т2)•
Из соотношений (12) следует, что существуют постоянные С1, С2, Сз такие, что справедливы оценки
11|Щ|о,* ^ С1, Цеп (*)||МП) ^ С2, 1Г (¿)ЦЬ4(П) ^ Сз V* е [0,Т]. (16)
Для оценки интегралов в левой части равенства (15) воспользуемся следующими соотношениями
^ С2 11Ц4 ^т^ ^ еЦДупЦо,* + с(е)||Дуп||о,*
Здесь использовано неравенство
2 \1
|Ц4 а!т I ^ е|||Д™-Ц|о,* + с(е) |||^^х|Цо,*, (17)
0 2,1
которое справедливо для любого ,ш е Ж2 (От).
Последнее неравенство, например, при п = 3 можно получить следующим образом:
1
* 4 /^*1 3 \ 2 1 3
/ |^х||2 ^Т ^ С3С7 / |^х|| 2 ЦДwЦ 4 ^Т ^ С3С7 ||^л|| |о4* Ц|ДwЦ |0*.
II II и и 3 м и 1 / \
Здесь использовалась оценка из теоремы вложения ||V|4 ^ с3 ||^х|4 ||V|4 (при п = 3) и
1
вторая энергетическая оценка ||г>жж|| ^ с7 ||Дг'||, справедливая для W2 (П) П W2 (П). Да-
/1 1 —т—1 111 \ 4
лее, используя неравенство Юнга: ( аЬ ^ ™+ тт-е1 т Ьт—1 ), где т = 4, получаем
неравенство (17).
Учитывая оценки (16) и оценку || V|4 ^ с||ух|| при п = 2, 3, легко убедиться в справедливости следующих неравенств
ГУга|||о,* ^ |/ 1Н14 ||УП|2^т I ^ СзсШУПШо,*. (18)
о
Из последних оценок следует, что
А1 = 1 ^"У" + г"уга) , ДуП)ь2(ед 1 ^ ^ (е|||ДУга|||о,* + (с(е) + Сзс) ШУПШо,*) 11|ДУП|||о,* ^ ^ 2е|||ДУп||Ю,* + £ (с (е) + Сзс)2 |||УПШо,*.
Полагая е = |V, а Л = 4^—1 (с (|) + С3с)2, получаем
А! ^ 4V|||дупшо,* + 1 Л|||УП|||о,*.
Учитывая последнее неравенство, соотношение (15) и неравенство
А = | (г",ДУгаК I ^ 4V|||Дуга||Ю,* + V—1||ГП||о,
V / Ь2(^Т)
получаем
где с^ = V 11|Г |||2* + 2 ||ах||2. Из последнего неравенства находим, что
[у”]Л,* = 11у”(т) II2 + v 11|дуга|1Ю,* + ^Н^НЮ,* ^4с2. (19)
т €[о,*|
Далее покажем, что последовательность {у"} фундаментальна в метрике [•]АТ = ||-||л-Обозначим z”,1 = у" — у”+г и заметим, что z”,1 удовлетворяет уравнению
z”,1 — V Дz”,1 + д”^”’г + г^”,г + Лz”,1 =
= (у" — Г*) + (9?+! — 9”) у;+' + (г”+‘ — г”) У+' (20)
и условиям
z“,iL,г = °. = ° (21)
К задаче (20), (21) можно применить неравенство (19), в котором
с2 = с2 (п,1) = V— 1 (|| (у” — у“+') + (9?+ — 9”) У”+г + (г”+‘ — г”) , шо,,^
Учитывая условие (12), ограниченность последовательности {у”} в метрике [•]АТ и неравенство (17), получаем оценки
„га+1 г.-”^ лг”+1 I II Г1 ||гт”+1 гг” II
ё — ё ,)у ||о,т ^ С5 ё — ё
I L4,то (^Т) ^
|| (г”+г — г”) у”+г|||от ^ С6 ||г”+г — г”||, ,п л.
V / ’ II 11^4, ^(^Т)
Из условий (12), оценки (19) и последних двух неравенств следует сходимость последовательности {у”} в метрике [-]А т.
Легко показать, что /гтд™у”. = 9Ух, /гтг”У” = гу. Тогда из уравнения (13) следует,
V гу .
n—>оо
что {у”}~=о сходится в метрике Ь2 (^т) к У*. Таким образом, у е W2 , (^т).
Переходя в неравенстве (19) к пределу при п ^ то и учитывая очевидные неравенства: у (¿)|| > е—л* I|у (¿)||, ||УХ (¿)|| > е—л* I|ух (¿)||, IIДУ (¿)|| > е—л* ||Ду
^ I|F|Il2{Qt), убеждаемся в справедливости неравенства (11). Из неравенства
F
11) вытекает единственность решения уравнения (10).
1
Следствие 1. Пусть f G L2 (Qt), g G L4,^ (Qt), a (x) G W2 (П), S G C2; тогда уравнение:
Lv = f — grad u
с краевыми и начальными условиями (2) при любом u G W21,0 (Qt) имеет единственное решение из W^ (Qt) и справедлива оценка:
11У11л ^ С7елт (11^^) + 11£г^ и|Ь2«т) + 11ах1|) . (22)
Следствие 2. Пусть выполнены условия следствия 1 и, кроме того, dгv ё е Ь4,те (Qт), тогда задача (6), (7) при любом и е (Qт) имеет решение из W2,1 (П)
и справедлива оценка:
|Ил ^ С1еЛТ 11£Г^ ^ У ^и)1^2(Зт) . (23)
Доказательство. Заметим сначала, что в лемме 1 ё — любая функция из Ь4,те ^т). Записав левую часть уравнения (6) в виде
Ь*w = —wt — vДw — — dгv gw
и, сделав замену * = Т — т, перейдем к уравнению вида (10) с произвольной правой частью ^ е Ь2 ^т), а также однородными начальными и краевыми условиями. Воспользовавшись неравенством (11), получаем оценку (23).
Следствие 3. Пусть линейный оператор Ь определен дифференциальным выражением Ьу = у* — VДу + ё^У^ (9 е Ь4,те ^т)) на множестве функций из Д(Ь) С W2,1 (QT),
удовлетворяющих однородным начальным и краевым условиям (2), тогда оператор Ь имеет ограниченный обратный, область его значений Д(Ь) = Ь2 (фт) и является замкнутым. Первые два утверждения сразу следуют из леммы 1, замкнутость следует из первых двух свойств оператора Ь. Аналогичные утверждения справедливы для оператора Ь*, определенного дифференциальным выражением в правой части уравнения (6)
на множестве функций w Є О(Ь*) С W2,1 (фт), удовлетворяющих условиям (7). Дифференцированием по частям легко убедиться, что Ь* содержится в операторе Ь*, сопряженном к Ь. То, что области определения операторов Ь* и Ь* совпадают, легко показать. Действительно, пусть г Є О ^Ь*^, тогда, полагая f = Ь*г, получаем соотношения
(Ьж,г) = (ж^) Уж Є О (Ь). С другой стороны, найдется такой элемент Є О ^Ь*^, что
Ь*и> = f, поэтому (Ьж, г — и>) = 0 Уж Є О (Ь). Полагая ж = Ь-1 (г — и>), получаем равен-
ство г = и>.
Теорема 2. Пусть выполнены условия следствия 2 леммы 1; тогда функционал /1 (и)
о 1,0
дифференцируем в 2 (фт) = и1 и его градиент удовлетворяет условию Липшица.
о 1,0
Доказательство. Для доказательства формулы (51) на множестве и1 = Ш2 (фт) вводим метрику, эквивалентную метрике пространства Ш2, (фт) по скалярному произведению
і,о = / и*,г*^ж^ = (у^ Уг)мдт) .
№ 2 Зт
Тогда
71(и + к) — 71(и) = 2 V (уи + ук) ||^2№т) — 2 V (уи) ||^2№т) =
V (Vu) V (Vh)) +2 HdiV v (Vh)llL(QT) . (24)
1 2 , , , - lldiv v (Vh)l2
/ l2(Qt) 2
В силу следствия 1, оператор L имеет обратный L-1, в частности, L-1h = v (h). Учитывая следствие 2 леммы 1, убеждаемся, что оператор L* имеет обратный и (L*)-1 grad div u = w, где w — решение задачи (6), (7). В силу следствия 3 к лемме 1 L* — оператор, сопряженный к L.
Используя введенный выше оператор L, преобразуем первое слагаемое правой части последнего равенства
^div v (Vu), div V (Vh)j ^ = — ((L*)-1 Vdiv v (Vu) , Vh)^(qt) =
= — (PG(Qt)w (u) , Vu) L2(Qt) = — (VP (u) , Vh)L2(QT) = (— P (u) , h)^1>0 • (25)
Учитывая неравенство (22), получаем следующие оценки:
2
L2(QT )
div v (Vh) ^ 2 vx (Vh) ^ 2A 1 v (Vh)
2
L2(QT )
A
^ 2А-1С7елт ||УЛПг,2(0т) = 2А-1С7елт И|201,0.
^2
Из последнего соотношения и соотношений (24), (25) следует равенство (51).
Покажем, что Зх (и) удовлетворяет условию Липшица. Пусть и1 и и2 принадлежат
о 1,0
Ш2 (фт), а w1 и w2 — соответствующие им решения задачи (6), (7). Тогда
II71 (и1) - 71 (и2) II ◦ 1,0 = ||р (и1) - р (и2)|| ◦ 1,0 =
11 "^2 (Зт) 1^2 (От)
= ||Ур (и1) - ур (и2)|Ь2(^т) = 11РС№т)w1 - РС(^т)^|^2(дт) ^
« И - W2 1к(вт) . (26)
Заметим, что w = w1 — w2 является решением задачи (6), (7), где и = и1 — и2.
2
Используя неравенства (23), (22) и неравенства ||v|| ^ c4||vx||, ||vxx|| ^ c7||Av||, справед-
О 1
ливые для любого v Є W2 (П), находим
IIWIIl2(Qt) ^ c4 llWx|L2(Qt) ^
^ C4A-1 ||w||A ^ C4A-1CseAT ||Vdiv v (V (u1 - u2))|L2(Qt) ^
^ Vnc4A-1C7C8eAT II Av (u1 - u2)|L2(Qt) ^
^ //ñc4c7CsA-1v-2eAT ||v (V (u1 — u2))||A ^
^ \/ñc4C7Cgv-1 A-1 C7eAT ||V (u1 — u2)|L2(Qt) =
Li 11 u1 — u2|
о 1,0
W 2
Из последнего неравенства и неравенства (26) следует, что градиент J1 (u) удовлетворяет условию Липшица с константой L1 = \/ñc4c7C8v-2 A-1C7eAT.
2.2. Дифференцируемость функционала J2(u). При рассмотрении задачи II нам
потребуется использовать обобщенные решения задачи (1)-(3) в банаховом пространстве о 1,0
V2 (Qt), полученное в результате замыкания множества гладких, равных нулю вблизи St функций по норме
IIVIIqt = Ogtg, |v МНь2(П) + KHl2(Qt).
о 1,0
Назовем обобщенным решением задачи (1)-(3) из класса V2 (Qt ) функцию
О 1,0 о
v G V2 П J (Qt), для которой справедливо тождество
/ (^Ф4 + vvxФх) dxdr + / v (x, t) Ф (x, t) dx + J qjvx.Ф dxdr =
Qt П Qt
= J a (x) Ф (x, 0) dx + У f Ф dxdr, t G (0,T) (27)
П Qt
о 1,1 о при всех Ф G W2 (Qt) П J (Qt) и равенство
t t
- Iv (x,t)||2 + v J ||vx||2 dr = J (f, v) dr + -||a||2 + J divg||v||2 dxdr. (28)
0 0 QT
Если выполнены условия теоремы 2, то решение задачи (1)-(3), очевидно, удовлетворяет соотношениям (27), (28) и, поэтому, решение обобщенной задачи существует.
Заметим, что если S G C2, то нетрудно доказать существование и единственность обоб-
о 1,0 о
щенного решения задачи (1)-(3) из V2 (Qt) при условии, что a G J (П) , f G L2 (Qt).
Это можно сделать с помощью предельного перехода в последовательности задач, в
о
которых a G J (П) заменяется последовательностью гладких функций а„ из H (П), сходящейся по норме L2 (П) (см., например, теорема 3, гл. IV, работа [1]).
Для доказательства формулы (52) и проверки условия Липшица для градиента J2 (u)
функционала J2 (u) потребуются оценки, аналогичные оценкам (22), (23), но в пространо 1,0
стве V2 (Qt). При этом константы в полученных неравенствах можно получить явно, что дает возможность явно найти константу Липшица для градиента J2 (u), важную при исследовании сходимости градиентных методов решения экстремальных задач. Существование и единственность решения задачи
Lv = vt — vAv + gjVXi = f — grad u, (29)
v|St = 0, v|t=0 = a. (30)
о 1,0
при любом и Е Ь2 (фт), $ Е Ь2,1 (фт), а £ ¿2 (П), д Е Ь4,те (фт) в пространстве У2 (ф^ следует из теоремы (4.1) (гл.Ш, работа [3]).
Умножая уравнение (29) на Ув-2А* и дифференцируя по частям в области ф4, получим равенство
t
11IV
2 II v
2 і II l~ I 112 і
+ v lllVz||lo,t +
10,t
+ /(givx;, v) dT
1 II || 2 - a
2 1 1
/, v) + (v, div v)
dr,
(31)
где v = ve-At, f = fe-At, v = ue-At.
Рассмотрим два случая: случай ограниченных функций gj и случай, когда g G L4,^ (Qt). Пусть выполнено условие
max |gi (x, t)| ^ G V (x,t) G QT, (32)
тогда
(giVx,, v) dr
'<2-1 і
* G||vxi||o,t||v||o,t * тlllvxllot + G v
Легко видеть, что справедливы оценки
(v, div v) dr
t
* /и
0
4'
dr * — 11 |v
0,t
2 -1|||~|i|2 x ||l0,t + V ||v||0,t;
(33)
(34)
t 1 * -2
Tv, vv d v
0
o,t +2 ™v“",t
Из соотношений (31), (33)-(35) следует неравенство
+ [A - (G2v-1 + v-1 + 2)]
Иі—ЛЛІІ2 + I |||vx||^t 1 ^ '-1 1 ”-1
2 lv
* і паї2 + 1iivii12
* 2 lla|l + 2 MIT|Mo,t
+ v
1
u
0,t
Полагая A = G2v 1 + v 1 + 1, получаем
0,t
*
(35)
+ v|||vx|||0t * ||a| + ||f|
2 +2v-1|
0 t
|u||0 , t.
Откуда находим оценку
v
QT
* (1 + v- M eATii ia"2
+ IITII2 L2(Q) + MtMl2(Qt )
12 + 2v IMIl^Qt)
(36)
где А = G2v 1 + V 1 + 2.
Если выполнены условия ||д||Ь4 ^ G, то для оценки интеграла 11 воспользуемся нера-
венствами ||V^4 ^ 24 ||^х| 11|V12, п = 2 и ||V14 ^ 22 ||г>х||з ||V14, п = 3, справедливыми для
Vv G W2(Q), и неравенством Юнга (ab * — Є—a- + 1-1Є- m bm-1
m
")m-
3
При n = 2, полагая m = |, e1 = Qv) 4, получим
Ii * 21G|||Vx|||0
* VII lv
0 ,t ^ 4 llrx|ll0 ,t T 2 V3
2 + 1 (v
І О V Q
_3_ ' 16
G4|||’
а при п = 3, полагая т =7, £1 = V)8, получим
1 7 1 _ _7_
/1 ^ 21 ^НухПЮ^НМНО^ ^ 4Н1^!!^ + 2 (°^ 64 ^11^
Располагая этими оценками, получаем неравенство вида (36), где
0,t
0,t
2
t
t
2
і
t
2
x
2
3
2
2
2
1
m1
2
2
Л = Л2 = 1 (|) 16 G4 + v 1 + 1 при n = 2
_7
2 \ 64 1
2 ' ^8 I ,,-1 1
А = А3 = 2 ^G8 + V 1 + - при п = 3. (37)
Для оценки сопряженного состояния w умножим уравнение (6) на ше- 2Л(Т- t) и проинтегрируем по области ОТ = П х [¿, Т]. Обозначив Ш = ше-Л(т - ^, получим
т
2 IHw |||2 + v ii|wx|||2 +
т
|w IHtJ.t + /(giw, WXi) dT
t
= — f (div v (Vu e A(T ^, div w)) dr.
t
Получили соотношение вида (31), если в последнем положить v = w, a = 0,f = 0, f = div v (Vu). Таким образом, получаем оценку
w
Iqt * (1 + v 2) eAT |div v (V“)Bl,(Ot)
(38)
где А = G2v 1 + V 1 + 2, если д — ограниченная функция и А определяется по формулам (37), если д € Ь4,те (От ).
Для доказательства формулы (52) воспользоваться непосредственно дифференцированием по частям здесь невозможно, поскольку не гарантирована принадлежность функций
V и т пространству W2,1 (От). Воспользуемся предельным переходом, выбираем последовательности ига,кга, содержащиеся в [Д, таких, что ип —> и, кп —> к в Ь2(От). На последовательностях ига,кга справедливы равенства (24) и первое из равенств (25), из которых следует, что
J2 (un + hn) — J2 (un) =
- ((L*)-1 Vdiv V (Vu„), Vh„)L(^) + 1 div V (Vh„)
2
L2 (QT)
1
(div w (u„), h„)L2(QT) + 2 div v (Vh„)
L2(Qt )
(39)
Обозначим $кга = к — кп, $ига = и — ип, = V — уп, тогда является решением
задачи (1), (2), где а = 0, { =0, и = $ига. Используя оценки (36), (37), получаем, что
|^ТО ^га||т2(дт) ^ с ||^ип|^2(дт) ,
ш (^и«)|ь2(дт) ^ с ).
Переходя к пределу в соотношениях (39), получаем равенство
J2(u + h) — J2(u) = (div w (u), h)La(q) + 7: div v(Vh)
2
L2 (QT)
Из оценки (36) следует, что div v (Vh) = O ( ||h||L (q )). Таким образом, форму-
L2(Qt ) ^ ( '
ла (52) доказана.
Покажем, что J2 (u) удовлетворяет условию Липшица. Для этого воспользуемся неравенствами (38), (36), в результате получим
|| J2 (u1) — J2 (u2)^L2(Qt) = |div W (u1) — div W (u2)|L2(QT) =
= ||div w (u1 — u2)!L2(qt) * Vn IIw (u1 — u2)IIqt *
* C9 |div v (V (u1 — u2))|L2(QT) *
* C10 IIv (V (u1 — u2
lQT
* C11 Iu1 — u2|
L2(QT) .
2
2
Таким образом, доказана следующая теорема
О
Теорема 3. Пусть ї є (От), ё Є Ь4,^(^т), ё Є Ь4,^(^т), а є 3 (От), S Є С2,
тогда функционал 32 (и) дифференцируем в Р2 (От) и его градиент удовлетворяет условию Липшица.
2.3. Сходимость модифицированного метода наискорейшего спуска. Решение задач I, II будем искать методом проекции градиента (4), где параметр а^+1 выбирается модифицированным методом наискорейшего спуска:
afc+i,7
(40i)
ak+i = mm
Здесь y — достаточно большая величина (параметр метода), а ak+1 определяется как в методе наискорейшего спуска:
f (ak+i) = min ffc (а), ffc (а) = J (Pu («fc - a3 («fc))) .
(402)
Поскольку предлагаемый метод может быть использован и в других задачах оптимизации, в которых множество U — всё пространство или подпространство, сформулируем утверждение в виде теоремы в абстрактном гильбертовом пространстве H.
Введем обозначения: J* = inf J (u), U* = {u G U : J (и) = J*}, C1,1 (U) — множество
U
дифференцируемых функционалов, градиент которых удовлетворяет условию Липшица.
Теорема 4. Пусть U — выпуклое, замкнутое множество из гильбертового пространства H, J (u) G C1,1 (U) — выпуклый функционал, множество U* непусто и ограничено, последовательность {и^}^=0 определена по формуле (4) и выполнены условия:
fc=Q
(41)
0 < а < &2, (42)
тогда последовательность (и^ }^0 минимизирует функцию 3 (и) на и и слабо в Н сходится к множеству и*.
Доказательство. Обозначим р (и, и*) = тгп ||и — V!; тогда по определению оператора проектирования
р2 (ик+1, и*) = ||и^+1 — Ри* (ик+1)|2 ^ ||ик+1 — Ри* (ик)||2 =
= ||Ри (и& — ^+3 (ик)) — Ри (Ри* (ик))|| ^
^ ||ик ак+13 (ик) Ри* (ик)|
р (ик, и*) + а/с+1 3 (ик) 2ак+1 ^3 (ик) , ик Ри* (ик^ . (43)
Воспользовавшись необходимым и достаточным условием выпуклости дифференцируемого функционала на выпуклом множестве и
3 (и) — 3 (V) > (3' (V), и — V) Уи, V € и,
полагая V = и&, и = Ри* (и^), получаем
0 ^ 3 (ик) 3 (Ри* (ик)) 3 (ик) 3* ^ (3 (ик) , ик Ри* (ик^ .
Таким образом, получаем
^3 (ufc) , ufc PU* (ufc^ ^ 3 (ufc) 3* ^ 0.
(44)
Учитывая неравенства (43), (44), получаем, что
р2 (ufc+b U) — р2 (ufc, U) ^ a2+i 3 (ufc)
(45)
2
Суммируя последнее неравенство от 0 до т > 0, и, учитывая условие (41), получаем
т 2
р2 (Ит,и*) ^ ^ а2+1 3' (м;) + р2 (мо,и*) ^ Ь|б1 + р2 (мо,и*) = 63. (46)
к=0
Таким образом, последовательность {и^}^=0 ограничена в Н, а из условия (41) следует, что /гт II3' (м;)|| = 0; тогда из неравенства (44) следует, что последовательность (м;}^=0
минимизирует функционал 3 (м). Таким образом, последовательность (м;}^=0 — ограниченная и минимизирующая 3 (м) на и.
Обозначим через Ш множество выпуклых комбинаций последовательности (м;}^=0, то есть множество точек м, представимых в виде:
ГО ОО
м = Е) О;м;, а; > 0(к = 0,1,...) , ^ а; = 1. к=0 к=0
Используя теорему 5, раб.[8](гл. 4, §8), легко показать, что Ш С и и, поскольку и — замкнутое множество, замыкание Ш множества Ш также принадлежит и.
Последовательность (м;}^=0 минимизирует функцию 3 (м) на и и, следовательно, минимизирует 3 (м) на Ш. Из доказанного следует, что 3* (Ш) = гп/ 3 (м) = 3* = гп/ 3 (м),
«еж
Ш* = {м Е Ш : 3 (м) = 3*} Е и*. Из ограниченности последовательности (м;}^=0 следует ограниченность множества Ш. Согласно теореме 6 (гл. 1, §3, раб. [8]), выпуклый, полуо-граниченный снизу функционал 3 (м) на ограниченном, выпуклом, замкнутом множестве и из рефлексивного банахового пространства имеет непустое множество точек минимума и*, и любая минимизирующая последовательность (м;}&= слабо сходится к и*. Из слабой сходимости последовательности (м;}^=0 к Ш* следует ее слабая сходимость к и*, теорема доказана.
Замечание 1. Если множество Ш компактно, то имеет место сильная сходимостью. Здесь можно воспользоваться теоремой 1 (гл. 1, §3, раб. [8]).
Замечание 2. Если и — подпространство гильбертового пространства Н, Ру — оператор ортогонального проектирования на это подпространство, то м;+1 = м; — Ру3 (м;). В этом случае соотношение (43) можно записать в виде:
р2 (м;+1,и*) =
= р2 (м;, и*) + а2+1 || Ри 3' (м; )|2 — 2сК;+1 (Ру 3' (И;) , И; — Ру* (^ )) .
Учитывая, что (Ру3' (м;) ,м; — Ру* (м;)) = (3' (м;) ,м; — Ру* (м;)), легко видеть, что утверждения теоремы справедливы, если вместо условия (41) выполняется условие
го 2
^¡Ру3' (м;) <61. (41')
;=0
Пользуясь тем, что множества и(/ = 1, 2) являются подпространствами соответствующих пространств и, следовательно, операции проектирования Р на эти множества линейны, найдем явные формулы для параметров а;+1, а&+1.
Действительно,
(а) = 3 (у (Р (м; — а3г' (м;)))) = ||||3гь V (м — аРг3г' (м;))
Иь V (м;) |Ю,т — 2а (Згь V (м;), Згь ’V (Рг3г' (м; Ш +
V /Ь2(^т)
+а2|||3гь V (Рг3г' (м;)) |||0;Т.
Откуда следует, что
а'; = (Згь V (м;), Згь V (Рг3г' (м;))) |||3гь V (Рг3г' (м; )) ||0,Т. (47)
V V / / Ь2(^т) ' ' ’
Здесь под выражениями V (м;), V (Рг3г (м;)) следует понимать V (Ум;), V (УР3г (м;)),
О
где у(м) — решение уравнения (1) при / = 0 и а = 0.
Ясно, что последовательности 3 (м;)}^=0 монотонно убывают и ограничены снизу.
В предыдущем пункте было показано, что 3г (м) Е С1,1 (и). Далее воспользуемся известным неравенством, справедливым для функций из С1,1 (и)(см. 2.3.7, раб. [8]).
13 (м) — 3 (ь) — (3' (ь), м — ь) | ^ Ь ||м — ь||2 /2 Ум, ь Е и, где Ь — константа Липшица.
Полагая в нем v = uk, u = Mfc+1 = Uk — aPJ (uk), получим
J (uk) J (ufc+i) J (uk) J (uk aPiJ (uk^ >
Ь n 2
H 2
> a J' (uk), P J (uk )) — -2a2 P J (uk)
(48)
где ¿і — константа Липшица для градиента ^ (и) функционала 3\ (и). Учитывая, что оператор р — оператор ортогонального проектирования на подпространство, получаем, что (^ ) ,Р^ ^))Я; = ||р/ ^)^Я;.
Тогда из неравенства (48) следует, что
2
Яг
49)
3 (м;) — 3 (ма+1) > а ^1 — а_2^ Р31(м;)
Полагая а = 1/Ь , получаем
3 (м;) — 3 (<+0 > 1/2Ь ||Р3 (м;)|Я;.
Предположим, что а;+1 ^ 7, тогда а&+1 = ай+1 и, поэтому при а = 1/Ь справедливы
неравенства
J (uk) — J (uk+i) > J (uk) — J (ufc+i) > 1/2b P J (uk)
2
Hi
(50)
Предположим теперь, что а/;+1 > 7, тогда а^+1 = 7. Рассмотрим два случая: 7 > 1/Ь и 7 < 1/Ь. Учитывая, что на интервале (0, ай) функция /,; (а) убывает, в первом случае вновь получаем неравенства (50). Во втором случае (7 < 1/Ь)
7 (1 — 7Ь/2) > 27.
Таким образом, учитывая неравенства (49), (50), в любом случае получаем оценку
2
J (uk) Ji (uk+i) > Q PiJ (uk)
Hi
(51)
где q = min [27,1 /Ь]•
Из последней оценки следует, что последовательность U (wk)}fc_0 монотонно убывает,
^ , 2 ряд £ ||PJ (ufc )||яг сходится и имеет место оценка
k=0
j=k
I|PJ (uk) ^q1 (J (uk) — J,*)
Hi
(52)
где J,* = inf J (u).
«eUi
Таким образом, для градиентов 3г (м) функционалов 3г (м) (/ = 1, 2) имеет место неравенство
41' .
Нетрудно убедиться, что функционалы 3^(м) (/ = 1, 2) выпуклы. Действительно, при любом а Е [0,1]
J (au + (1 — a)w) = ||adiv v(u) + (1 — a)div v(w)
I0,T
2
= a2||div v(u)||0,T + (1 — a)2||div v(w)||2,T + 2a(1 — a) (div v(u), div v(w))La(qt)
= a||div v(u)|0T + (1 — a)||div v(w)||0T — a(1 — a)||div v(u) — div v(w)||2T ^
^ aJ(u) + (1 — a) J(w).
Учитывая замечание 2 к теореме 4, теоремы 2 и 3 о дифференцируемости функционалов J (u) (Z = 1, 2), а также известные теоремы о существовании и единственности решения задачи (1) — (3) (см. теоремы 1 , 2 из работы [1] гл. 4, §1), нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.
Теорема 5. Пусть f G L2 (QT), g G L4,TO (QT), div g G L4,TO (QT), а (x) удовлетворяет условию (1.4), S G C2. Тогда последовательность {uk}fc0, определенная равенствами (4), (5i) (Z = 1, 2), где параметр a^+i определен по формулам (40), (47), минимизирует функционал J (u) на U и слабо в Щ сходится к U,* с любого начального приближения.
Замечание. При Z = 1 утверждения теоремы 5 прямо следуют из теоремы 4, поскольку выполнены все условия этой теоремы. При Z = 2 существование и единственность обобщенного решения задачи (1) — (3) не гарантирует выполнение одного из условий теоремы
4 - U* непусто и ограничено. Однако при выполнении условий теоремы 5 существует единственное решение задачи (1) — (3) в классе функций v G W2 1 (QT), p G W1,’0 (QT). Ясно, что это решение будет также решением обобщенной задачи, а решение обобщенной задачи единственно. Таким образом, функционал J2 (u) в условиях теоремы 5 удовлетворяет всем условиям теоремы 4, кроме того, в этом случае условие divg G L4,to(Qt) можно отбросить.
2.4. Регуляризация итерационного процесса по методу Тихонова. В предыдущем пункте доказана слабая сходимость модифицированного метода наискорейшего спуска для функционалов J (u) (Z = 1, 2).
Для построения сильно сходящейся последовательности можно воспользоваться методом регуляризации Тихонова [8], суть которого состоит в последовательном решении задач минимизации функционалов Tj (u) = J (u) + в,П (u) на U как задачи первого типа (то есть задачи минимизации по функционалу), где П (u) — стабилизатор или неотрицательная сильно выпуклая функция. При фиксированном j находится точка u,, удовлетворяющая условиям
T* = inf T, (u) < Tj (uj) < T,* + %• (53)
j и "
Из теоремы Тихонова (см., например, теорема 1, гл. 2, §5, работа [8]) следует: если J (u) G C1,1 (U) , U* непусто, J* > — то,
Zim в, = Zim = 0; sup s,в-1 < то, (54)
j — TO j —<ro ,>1 j
то последовательность {u, }°_1, определенная условиями (53), минимизирует функционал J (u) на U и Zim p (u,, U*) = 0.
,—to
Возвращаясь к исходной задаче (1) — (3), введем обозначения
T,j (u) = J (u) + в, ||u||H , u G Ui,e, > 0, Zim в, = 0. (55)
1 j—— <TO
Поскольку при в, > 0 функционал T(u) (Z = 1, 2) является сильно выпуклым, то он имеет единственную точку минимума u* j.
Далее, там, где выкладки имеют одинаковую форму, индекс Z будем опускать, при этом
Для приближенного решения задачи минимизации функционала T ,j (u) воспользуемся обычным методом наискорейшего спуска
uj’fc+1 PU ^uj’fc aj’fc+1T1’j (uj’k ^ , j 1, 2, • • • ; k 0, ^-, • • • , nj • (56)
Параметр aj,fc+1 вычисляется явно по формуле
ы™ V ,) ^ ^ (рТ/,, ,^ ) + в, (,, рТ/,, (,))Н1
\ / Ь2(^т) 1
X
X
Ь2(^т)
+ в,
рТи (,)
Н1
1
57)
^ ^ (^РТ,, (и,,к)
Здесь, как и в формуле (47), при I = 1, 2
v (,) = v (Уи,-*.); (рТ/,, ,)) = (УРТ/,, ,)) .
Пусть в, ^ 0 при ^ то и в, > 0. При каждом фиксированном ] по схеме (56), (57)
проводим п, итераций и за начальное приближение при минимизации функционала Т/,,+1 принимаем и,+1,о = и, = и,^.. Выбираем п, из условия
Т1,, (и,,п) ^ в,.
(58)
Покажем, что в этом случае последовательность {и,} удовлетворяет условиям (53), (54) теоремы Тихонова. Учитывая известное неравенство для сильно выпуклых функционалов:
У (и) — У (и *) ^ У (и) /2ц,
(59)
где ц — константа из необходимого и достаточного условия сильной выпуклости функционала
(У (и) — У (^), и — V) > ц ||и — г>|| Уи, V Е и.
В рассматриваемом случае ц > в,. Из неравенств (58), (59) следует, что
Т,, (и,) — Т,, (и*,,) ^ 1 в, = %.
Таким образом, выполнены все условия теоремы Тихонова. Учитывая еще, что минимум функционалов У (и) (I = 1, 2) в условиях теоремы 5 равен нулю и он достигается в единственной точке, равной решению задачи (1) — (3), убеждаемся в справедливости следующей теоремы.
Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5. Тогда последовательность {и, }°=1, определенная соотношениями (56) — (58), минимизирует функционал У (и) на и и
/гш* IIи, — и* || г,- — 0.
(60)
Замечание. Пусть v,p — решение задачи (1) — (3); тогда и * = р. Учитывая, что норма ||-||Л эквивалентна норме
И = КН + 1|Л^1ь2(Зт) + КНь2(Зт),
а также выполняются оценки (22) и (36), убеждаемся в справедливости соотношений:
Иш |^ — VII = 0, Нш ||^ — v|L = 0,
7 II ^II 7 II Ут
где {У]} — последовательность, определенная при решении задачи I, а {^} вательность, определенная при решении задачи II.
(61)
последо-
2
2
3. Заключение
В настоящей работе для решения задачи (1.1) — (1.3) предлагается подход, состоящий в последовательном решении линеаризованных задач градиентным методом. Заметим, что в данном случае минимизируемый функционал является выпуклым. Возможен другой подход, в котором непосредственно задача (1.1) — (1.3) рассматривается как обратная задача, где соотношения (1.1), (1.2) описывают состояние системы при неизвестном давлении р, а
равенство (1.3) задает дополнтительные данные о состоянии системы. Такая задача легко формулируется как задача оптимального управления:
J (p) = J |div v(p)|2 dxdt inf; p G U, l = 1, 2,
Qt
где v(p) — решение задачи (1.1) — (1.2) при заданном p G U.
Используя полученные или введенные априорные ограничения на вектор скорости v, уравнение (1.1) можно заменить на уравнение (1.1;) и обосновать существование и единственность решения задачи (1.1;), (1.2), а также сходимость итерационного процесса (1.5), (1.6) при любом фиксированном p G U (l = 1,2). Построение и обоснование градиентного метода для решения задачи (1.1) — (1.3) в такой постановке, а также сравнение различных приемов вычислительной реализации предлагаемых методов будет дано в следующей работе. Один из вариантов был опробован на модельном примере, где решение задачи (1.1)—(1.3), а следовательно и априорная оценка вектора скорости, были известны. Расчеты проводились последовательно по временным слоям. В этом случае для достижения заданной точности потребовалось 3-4 шага итеративной линеаризации и 5-6 шагов градиентного спуска.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.
2. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981. 408 с.
3. Голичев И.И. Итеративная линеаризация эволюционных уравнений Навье-Стокса // Уфимский математический журнал. Т. 4. 2012. №4. С. 69-78.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
5. Агошков В.И., Ботвиновский Е.А. Численное решение системы Стокса методами сопряженных уравнений и оптимального управления // ЖВМиМФ. Т. 47. 2007. №7. С. 1192-1207.
6. Голичев И.И., Шарипов Т.Р. Разработка методов, алгоритмов и программ для решения уравнений Навье-Стокса как задачи оптимального управления. // Вестник УГАТУ. Математика. Т. 9. 2007. № 3(21). C. 51-57.
7. Голичев И.И. Градиентные методы решения уравнений Навье-Стокса. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 18, в. 3. 2011. С. 423-425.
8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.
9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.
Голичев Иосиф Иосифович,
Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия E-mail: Golichev [email protected]
