Итеративная линеаризация эволюционных уравнений Навье-Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 69-78.

УДК 517.9

ИТЕРАТИВНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

И.И. ГОЛИЧЕВ

Аннотация. Построен и обоснован итерационный процесс, сводящий решение системы нелинейных нестационарных уравнений Навье-Стокса к решению последовательности линейных задач. Использование априорных оценок решения позволяет доказать сходимость метода с любого начального приближения. Показано, что предлагаемый метод может быть использован для доказательства существования и единственности решения.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, априорные оценки, итерационный процесс.

1. Введение

Рассмотрим начально-краевую задачу для обобщенной системы уравнений Навье-Стокса

vt - uAv + ViVXi + grad р = f(x,t), (1)

v|sT =0, v|t=o = Ф)> (2)

div v = 0 (3)

О

в области Qt = П x [0,T], St = S x [0,T], S — граница области П, f e J(Qt),

О

L2(Qt) = G(Qt) ® J(Qt) — ортогональное разложение на градиентную и соленоидаль-ную составляющие части пространства L2(Qt), v = (v\,v2,. .. ,vn),

div a = 0, a|s = 0. (4)

Здесь и далее, в основном, применяются обозначения, используемые в работе [1]. Для однозначной определенности давления будем считать, что Jp(x,t)dx = 0 почти всюду по

п

t на [0,T].

2. Построение итерационного процесса При построении итерационного процесса используется априорная оценка

\\vx(t)W = \\vx(x,t)\\ ^ М(t) ^ Mo, Vt e [0,Т]. (5)

Введем следующие обозначения:

aR(t, vx) = min[l,R(t)/ ||va

I.I. Golichev, Iterative linearization of the evolution Navier-Stokes equations. © ГоличЕв И.И. 2012.

Поступила 24 августа 2011 г.

где R(t) — неубывающая, положительная функция на [0,Т]. Оператор Prvx = aR(t, vx)vx(t) является оператором проектирования на шар |v^(t) : ||^(і)\| ^ R(t)}, поэтому, в силу свойства оператора проектирования,

ЦРк^ї)- Рк^х(Щ ^ ||v- v^lV є [0,т],v1(t),v2(f) є W2(П). (7)

Если существует решение задачи (l) — (3) и выполняется ограничение (5), то при

R(T) > М(t) aR(t, vx) = l, поэтому v является также решением уравнения

vt — vAv + aR(t, vx)vivxi + grad p = f (S)

с начально-краевыми условиями (2) и условием (3).

Для решения задачи (S), (2), (3) построим итерационный процесс:

v^1 — ^Avk+1 + акvk vk+1 + grad pk+l = f, (9)

vfc+1U = 0, vfc+1L=o = a(x), (10)

div vk+1 = 0, (11)

где ak = ak(t) = aR(t, vk).

Будем предполагать, что область П ограничена, S є С2, n равно 2 или 3. Обозначим = &r(t, vk)vk и покажем, что

иаг II4 ^ °1^(^), * = 1,п, к = 0,1,..., £ € [0,Т]. (12)

Для этого воспользуемся хорошо известными неравенствами ([2] гл. 2)

1М|4 ^ С2\\ьх\\1|Н|2, при п = 2, (13)

3 1

1М|4 ^ ЫЫ 41М14, при п = 3, (14)

1М1 < C4ІM, (15)

° 1 11 -1 справедливыми для Уу Е Ш2(П), где с2 = 2 4, с3 = 2 2, с4 = X- 2, Л1 — первое собственное

значение оператора Лапласа с однородными краевыми условиями первого рода.

Для дальнейшего заметим, что если функция V не обращается в нуль на Б, но удовлетворяет условию: / vdx = 0, то также выполняются неравенства (13), (14), но с постоянными п

с2 = с2(&), с3 = Сэ(П), зависящими от области.

Из неравенств (13) — (15) следует, что

1М|4 ^ С2С42 Цг^II, п = 2, (16)

1М14 ^ С3с4 Н^Н, п = 3. (17)

Учитывая последние неравенства и соотношение (6), получаем

||aR(t, У4 ^ c5aR(t, ук) ^ c5R(t), (18)

11 11

где сь = 24 с2 при п = 2 и с$ = 2 2 с4 при п = 3.

Пользуясь теоремой 1', гл.4, [1], убеждаемся в существовании и единственности решения задачи (9) — (11) в классе функций W2’ ((^т), рж Е Ъ2((^т).

3. Ограниченность последовательности итераций

Далее будем обозначать ||М||0І = |М|ь2(дт), Я* = & х [0, і] и введем вспомогательную ноРмУ [у]^4 = 1 угаітах ||ул(т)|2 + V|||А^||2,* + А||Аул||2>4.

т Є[0,і]

Покажем, что при достаточно больших А > 0, последовательность {ук}^=0, определенная

о 2,1

итерационным процессом (9) — (11) при любом у0 Є W2 ), ограничена

[Vй]м ^ СіЄХі ^ Со Уі Є [0,Т],к = 0,1,---------- (19)

2,1

Пусть V, w € W2 ), оценим норму ЩХУг'Ш^|||о,4. Используя неравенства (16) — (18) и

второе энергетическое неравенство:

° 1 ° 2

\ухх\ ^ С7||Д^|| Уу Е W2(П) П W2(&), (20)

получаем

^аУіт^ Ц|о,4 ^ ^Рк^2 dxdт^ ^ ІМШІ^И2 dт^ ^

1 1 2 / І \ 2

^ С5 |у ||ауж||2|Ы|2 dтj ^ с5П(г) ^ |Ы|2 (1т | . (21)

Для оценки интеграла в правой части неравенства (21) воспользуемся неравенством (20) и неравенствами (13), (14), в которых с2 и сэ зависят от области.

При п = 2 получаем

1 1 г \ 2 / г \ 2 1 1

/11™г1|2 ^ 11^1111 ДЧ1 ^ ^Ик^Ио^И^ЧИо2,*.

Откуда получаем, что при п = 2

||о>4 ^ С2С5С7Д(*)|||™Е|||о%|||ДЧ||2. (22)

При п = 3, применяя неравенство Гельдера с показателями з, 4, получаем

і і і \ 2 / і _ 3 \ 2 1 3

І ІІ™г|І4 ^ СзСт^ | 2 ||А^| 2 dтJ ^ СзС7І||^с||І04,і|||АЧ|І04,і.

^ сзс7 ^ |^ж||2 ||AwN2 ат ) ^ с.зс7іі^иіп, lllAw

Таким образом, получаем оценку при п = 3

1 3

1<У-У%тХ1 Но,* ^ СэC5C7Д(^)||wж||(4)^||Дw||(4)^.

Из оценок (21), (22) следует, что для любого е > 0 найдется такое с(е), что

Шо-УгЫ^ ||о,4 ^ г|||Дw|||о,t + Ф)||^ж|||о,*, (23)

где с(е) зависит от Сг(г = 2, 3, 4, 7), Я^), е. Здесь при п = 2 использовалось неравенство

— т — 1 га

Юнга: аЬ ^ ^е™ат + £1 га Ьга-1, где т = 2 при п = 2, а при п = 3 полагаем т = 3.

При доказательстве сходимости итерационного процесса (9) — (11) нам потребуется оценить интеграл ||(а1^1 — а2^2)уж.|||о,4, где аг = а^(Ь, угх) = тгп[1, Я(£)/||уж(£)||] при условии, что

уга{тахЦух(£)|| ^ с8, |||Ду|||о,т ^ св. (24)

ге{о,Т] ,

При п = 2 получаем оценки

ЦКОД1 — а2У2^Хі ||0,і ^ ^I ||«1^ — «2^ II2 |Ы|5 ^

^ У/2С2С7^І |Ку1 — — «2у2 1НЫН1Ау|1 ^

^ /2с2с7 угаітах ||уж(т)||2 угаітах ||а^ — а2у2||2 ■

т Є [0,4] т Є [0,4]

2

£ \ 2

2

£ \ 2 / Ц^у1 — а2У2|| ||Ау|| dт\ .

0

Учитывая неравенство (24) и соотношения

11^1^ — «2у2|| = — РвуМ < ||у — у2||

получаем

ИКОД1 — «2УЇ)уХі||0,4 ^

Г гу -

■^г . ..

1 2 / і \ 1

^ л/2с2с7с82 ьгаітахЦу1х — у2|| 1 / ||а1У^ — а2у2||||Ау|| dт\

^[0,*] \0 )

[п , ,К — ^1 Мі 1Ку — «2у^||Ау| ат) ^

т Є[0,£]

2 1

^ V2С2С7С8 таітах^І — у2||2 Цу^ — (25)

т Є [0,4]

При п = 3 аналогичным образом доказывается, что

3 1

ЦКод1 — эд2)^||0,4 ^ 2СзС7С8 ьгаітах^І — у2||33 |||у — у2||І04,*. (26)

т Є [0,4]

Вновь, используя неравенство Юнга и учитывая неравенства (25), (26), получаем, что

|||(«1 V1 — а2Ь2)у7Н||0,4 ^ Є ьгаітах^І — у2|| + — у2||І0,4, (27)

т Є [0,4]

где с(є) зависит от є и Сі(і = 2, 3, 7, 8).

В работе [1] вводится оператор А как расширение по Фридрихсу оператора PjA, где

оо

PjA — проекция из Ь2(П) в Л(П), определенного на W2(П) П Л(П). В подпространстве

о

Л(П) оператор А обладает теми же свойствами, что и оператор А в пространстве Ь2 (П) (см. §4, гл. 2 и §5, гл. 3, [1]).

Обозначим Ук = уке-Хі, умножим уравнение (9) на —Аук+1е-2Хі и проинтегрируем по области Qt. После интегрирования по частям получаем соотношение

ь / \ ь 2И^СОИ2 + 1 [V||Ауй+1||2 + АЦ^Ц2) dт + /акукук+1Аук+1 dxdт = 00

= — І ЇАу^1 шг, (28)

Яг

где Ї = Їе-Хі.

Используя оценку (23), получаем

І ак ьк Ук+1 Аук+1 dxdт

^ е (й|Ау‘+1||0,1 + £-1с(£)|||^+1||0^) |||Ау*+1||0,1 «

« ,-и 2|||Ау‘+1||0,1 + V1 с(£)£-1|||^+1||0,1) ||ИДуь+1||І0,, «

< *-1є (2„|| |Ау^+1 ||2^ + 2.

Здесь использовались неравенства (а + Ь)с ^ 1 (а + Ь)2 + 1 с2 ^ а2 + Ь2 + 1 с2. Выбираем, далее, е = и/6, X > 36и-1с2(е), получаем:

4 „ |||Ду*+1ц2,( + 4,

Учитывая соотношение (28), неравенство (29) и неравенство

f fAv*+1 dxdt

Qt

получаем

12

Откуда следует, что

і ||vj+1(*)|2 + і*|j|Av*+1|(0,i + іАИ^+ЧИЗ,, в 4^-1||f||2,t.

и|||Av*+1|W2,, + AW|v‘+1|W2,t « 8v-‘WitiWO,.

и

2 vraimax ||va(r)||2 ^ 4u-11| |f|||o,t.

т €[0,t]

Учитывая далее, что |||f|||o,t ^ |||f|||o,t, |||v^+1|Wo,t > e-A*W|vfc+1|Wo,t, |||Avfc+1|Wo,t >

> e^lHAvk+MlLt и vraimax ||vx(r)|| > e-xt vraimax llv^r)||, получаем неравенство:

re[o,t] re[o,t]

[vfc+‘]2,t ^ l2v-1||!Ц2,* e™ (30)

Заметим, что в последнем неравенстве параметр Л определяется величинами v,

R(t) и постоянными Ci (г = 2,8). Таким образом, неравенство (19) доказано, где

Ct = 2^3v-2 |||f|||o,t и се = сте2ХТ.

4. Сходимость последовательности итераций

О

Обозначим wfc = vk — vfc-1, 5рк = Рк — Рк-1, и заметим, что wfc+‘ e J(Qt) удовлетворяет уравнению

wjc+1 — vAwfc+1 + akvkwk+l + grad 8pk = — (akvk — ak-1Vk-1) vk., (31)

однородным начальным и краевым условиям.

Умножим уравнение (31) на —Awk+1e-2Xt и, интегрируя по частям, получим соотношение:

к+1(Щ + vll|Awfc+1|\0,t + ^\|wx+1|j0,t + J akVkwk++lAwk+1 dxdt =

Qt

= f (akvk — ak-1vk-1^ vk.Awk+1 dxdt, (32)

Qt

где Wfc+1 = wfc+1e xt.

По доказанному, последовательность удовлетворяет условию (24), если положить

С-8 = Сб.

Учитывая неравенство (23), получаем

^(^= I акук^х+1Д-йк+1 dxdt ^ 1||о,* Ц^^+^Цо,* ^

^ ей 1 2 |||ДWfc+1||о,^ + V2С1(£)Ц^к+1||о,^ |||^2 Дwfc+1|||о,^ ^

^ 2еи-1 {иН^^+ЧНо,* + vcj(e)|||wkx+1||2,4) . (33)

Для оценки интеграла в правой части соотношения (32) воспользуемся неравенством (27), получим

Js(t)

/ [акvk — ак-1Ък 1) v^.Awfc+‘ dxdr

Qt

к \ N 1 „ /,-Л II IjzM |

^ V2ev 2 ^— vraimax\^к(т)N + —c^H^llo,^ 2Aw^‘Hkt ^

^ 2^2 ^^гагтах ^И^2 + ИЙД^Нк*. (34)

Заметим, что здесь с1(е), с2(е) зависят от е, Сг [г = 2, 7) , Я(1).

Выбираем Л, удовлетворяющим условию

Л > max

VC21(£), 2 С2(£)

(35)

тогда из соотношения (32) и неравенств (33), (34) следует, что

21|^+1(*)\\2 + (l — 2eiJ-1) ll|Awfc+1||o,t + А|||^+1|1к*) ^ 2£v-1 [wfc]A,t [wfc+‘]A,t. (36)

Откуда следует, что

^Ц^+^Ю,, + АЦ^НЮ,, < 2sv-1 (1 — 2а,-1) [w‘]AJ [w‘+‘]AJ;

2 vraimax \лук+1(г)||2 ^ 2еи-1 \wk1 |"wfc+‘L . .

2 тe[o,t] 7 \,t i i\,t

Из последних двух неравенств следует, что

[w*+‘]„ < «М [w]AJ , (37)

где q(e) = 2еи-1 ( (1 + 2еи-1)-‘ + 1 ) = 4еи-1 (и + е) (и + 2е)-1. Поскольку Hm q(e) = 0.

V / e^o

то по любому q e (0,1) можно найти такое е > 0, что q e (0, l) , и по е > 0 найти Л, удовлетворяющие условию (35).

Обозначим wk’1 = vk+l — vk, wk'1 = vk+l — vfc и, учитывая неравенство (37), получим

k+l

[w°k. < E [w]*, « (l — Ил,< « ^ <l — «)"’ [w. (38)

j=k

где q = q(s). Откуда следует, что

[w‘,!]w « еМЧ (l — ч)-1 [w1],,. (39)

Далее заметим, что wk,t удовлетворяет уравнению

wk'1 — и A wk'1 + grad 8pk,i + ak+i-‘Vk+l-1wk’> = — [ak+i-‘Vk+1-1 — ak-‘Vk-1) vk., (40)

здесь pki = pk+i — pk.

Умножим последнее равенство на wk’1 и, интегрируя по частям, получим

ll|wtMНЮ,* + 2 \\wxl(t)\\2 = — / ak+i-‘V,y+1-1 wklwkt'1 dxdr—

Qt

— J [ak+i-ivk+l 1 — ak-ivk ‘) vk.w^, dxdr. (41)

Qt

Учитывая неравенства (23), (27), получим

IIK+i-1 г^М^к* < £ (|||AwMHkt + £-1c(£)W|w^Hlo,) , (42)

||| [ak+i-ivk+l 1 — ak-ivk ‘) vk. |||o,t ^ e (vraimax\\wfc 1,1 (t)\| + e 1c(e)||w* 1,z|||o,t^ . (43

V re[o,t] /

Будем считать, что Л удовлетворяет условию (35) и Л > е 1с(е), где с(е) взято из неравенств (23), (27). Учитывая равенство (41) и неравенства (42), (43), (39), получаем

Нк^Но,, « -У2е ]д,( + [w‘-j,']ЛJ) < 2^2<Л2 (1 — ч)-1 ех-‘ . (44)

Заметим, что уравнение (40) почти всюду по Ь на [0,Т] есть решение системы Стокса

—Дwk,l + дгай 6рк>1 = —ак+1-1Ук+1-1ук+1 — (аШ-1Ьк+1-1 — ак-1Ук-1) ук. — wk’l = дк(г).

В силу известного неравенства для оператора Стокса(см., например, [3] гл.1)

^^(П) + Н^1^2 (П) ^ Со Ьк ФНь^П) .

Откуда, учитывая оценки (39), (42)-------(44), получаем

НЬмНи2’0(ед ^ со11^Нк* ^ 4соедк-1 (1 — о)-1 ех’1 [^]Л4. (45)

Из оценок (39), (44), (45) следует, что последовательность {уй}^о сходится по норме |||у*|||о,т + [у]Хт, а последовательность [рк}^=1 — по норме Wj,0(Q^). Переходя к пределу при к ^ то в итерационном процессе (9) — (11), убеждаемся, что функции у,р являются решением задачи (8), (2), (3).

Обозначим zfc = ук — V и 5рк = рк — р, тогда вместо соотношения (31) легко получить следующее равенство:

+1 — VДzfc+1 + акькък++1 = (акьк — ак-1Ук-1) уХ1,

из которого, как и неравенство (37), получаем

И ltk\

1 x,t}

[^Ч А, в Ч И [f‘],

где ък = zkе хь . Учитывая последнее неравенство, находим, что

^]„ « [z0] Л,,. (46)

Далее последовательно, вместо неравенства (44) получаем оценку:

НЙ|Но,, « г^‘чк [z0]Л,t (47)

и вместо оценки (45) — неравенство:

llw2’°(Qt) ^ 4c°extqk |>o] x t. (48)

Обозначим через V2 пространство W2,1(Qt) П Lto(0,T; W2(H)) с нормой

llvllv2 = IMIw*.^) + vraimax HvJ (49)

и заметим, что норма, определенная по формуле ||v||AT = l||vt|||o,T + [v]дт, эквивалентна

норме (49).

Как было отмечено выше, по любому q e (0,1) найдется е, а по е — Л, при которых справедливы оценки (46) — (48), поэтому из этих оценок следует, что

||z‘Nv2 « с (д) qk ||zo\v2 , (50)

№*|lw2’°(Qt) < c9k • <51)

Покажем, что решение задачи (8), (2), (3) единственно. Действительно, пусть v1, v2; Pi, Р2 — два решения этой задачи. Тогда w = v1 — v2 является решением уравнения wt — VAw + aiv}wXi + (aiv\ — a2V2) v2. = grad (pi — P2),

где ai = a.i (t, vlx) = min l,R(t) ||v^W ‘ (i = l, 2).

Последнее уравнение имеет вид уравнения (3l). Повторяя такие же оценки, как и при выводе неравенства (37), получим неравенство:

[w]A,t ^ Q (е)

где лу = w ехг, д(е) Е (0,1), поэтому лу = 0 и, следовательно, V1 = V2, р1 = р2.

Таким образом доказана

О

Теорема. Пусть ¥ Е 3((^т), ^ — ограниченная область с границей Б Е С2, а(х) удовлетворяет условиям (4); тогда задача (8), (2), (3) имеет единственное решение V, р с ухх, у4, рх из Ъ2((^т), последовательности {^^ , {р^А,_1, определенные итерационным процессом

(9) — (11), где ак = тгп 1,К(Ь) ||^|| 1 , К(Ь) - ограниченная, неубывающая функция,

сходятся к решению задачи (8), (2), (3), и справедливы оценки:

К — « Ф)Чк 1К — , (52)

Ир» - рИ-^чт) < Ф)<!к — Н^2 (53)

при любом д Е (0,1).

4. Следствия, замечания, другие варианты итерационных процессов

Замечание 2. Доказанная теорема гарантирует существование решения задачи (8), (2), (3) и сходимость итерационного процесса (9) — (11) на любом интервале [0,Т],

О

на котором ¥ Е 3((^т).

Следствие 1. Если на интервале [0,Т1](Т1 ^ Т) решение V*, р* задачи (8), (2), (3) удовлетворяет неравенству

Ки ^ п(г) Уе [0,Т1], (54)

то решение задачи (1)-----(3) на этом интервале существует и V = V*,р = р*.

Действительно, если выполнено неравенство (54), то а (£, V*) = 1, поэтому уравнения (1) и (8) совпадают.

Следствие 2. Если для решения задачи (1) — (3) и задачи (8), (2), (3) при Д(£) > М({) справедлива априорная оценка (5) на интервале [0,Т1], то на этом интервале существует решение задачи (1) — (3), которое совпадает с решением задачи (8), (2), (3).

Заметим, что априорная оценка (5) для задачи (1) — (3), как правило (см., например, лемма 9, гл. 6, [1]), получается через оценку интеграла

3

2 3

И^И2 (в случае п = 3). Поскольку |а(£, ^)| ^ 1 и не за/ а(Ь, vx)/АV dx имеет такую же оценку, п

поэтому полученная таким методом априорная оценка для задачи (1) — (3) будет верна и для задачи (8), (2), (3).

Замечание 3. Учитывая следствия 1, 2, нетрудно построить итерационный процесс, сходящийся к решению задачи (1) — (3) без использования оценки вида (5) при условии, что решение задачи (1) — (3) существует и удовлетворяет ограничению вида (5). Действительно, задаем некоторую положительную, ограниченную, неубывающую функцию Д1(^) и решаем задачу (8), (2), (3) при Д(£) = Д1(^), далее проверяем условие (54) при Д(£) = Д1(^). Если это условие выполнено, то задача (1) — (3) решена. Если это условие не выполнено, то полагаем К2(Ь) = Д1(^) + К (К — параметр метода) и повторяем итерационный процесс. Ясно, что после конечного числа шагов условие (54) будет выполнено и, следовательно, решена задача (1) — (3).

Замечание 4. Если выполнено условие (5), то, как следует из неравенств (16), (17),

11V(^)И4 ^ сМ(£). Анализируя доказательство теоремы, нетрудно заметить, что утверждение теоремы и приведенных выше замечаний остаются верными, если ак определить по формуле

ак = ак(Ь, Vй) = тгп [1, Я(Ь)/ ^Ц4] . (55)

л = / ь{ух. АV dx ^ си 2 А V

п

висит от х, то легко убедиться, что интеграл

В этом случае а= Pvk есть проекция вектора vk на шар {V Е Ь4(П) : (IV И4 < Л(«)}-В доказательстве теоремы ключевыми неравенствами являются неравенства (23), (27), доказательство которых в данном случае даже несколько упрощается. Например, неравенство (23) получено из неравенства (21), которое в данном случае можно переписать в виде:

1 1

I \ 2 / I \ 2

|||а^ж. |И0>4 ^ |/ ИаvИ2 И^И^Т | ^ ВД |/ И^И^Т | . (56)

Учитывая, что при оценке интеграла f ||wx|4 dт априорная оценка не использовалась,

о

нетрудно убедиться, что неравенство (23) выполнено.

При доказательстве неравенства (27) используем тот факт, что Ha^v1 — a4v4||4 ^

^ Hv1 — v4H4, тогда HI («1 v} — «4W4) v^|Ho,t ^ Hv1 — v4||4 ||vx|4 dr'j . Далее, внося соответствующие упрощения в выкладки при доказательстве неравенства (27), убеждаемся в его справедливости в случае, когда ак определяется по формуле (55).

Замечание 5. В случае, если известна равномерная оценка

R1 (t) ^ Iv(x, t)I ^ R4(t) V (х, t) G Qt (57)

вместо уравнения (8) рассмотрим уравнение

vt — uAv + Pvivx. + дrad р = f, (58)

где

R1 (t), если Vi(x, t) < R1(t),

Pvi(x, t) = ^ Vi(x, t), если R1(t) ^ Vi(x, t) ^ R4(t), (59)

R4(t), если Vi(x, t) > R4(t)

и уравнение (9) заменим на уравнение

vtk+1 — uAvk+1 + Pvkvk+1 + grad pk+1 = f. (9')

Нетрудно убедиться, что для задачи (58), (2), (3) справедливы утверждения теоремы,

а также следствий и замечаний, аналогичных следствиям 1, 2 и замечаниям 2, 3, где последовательность (vkj определяется итерационным процессом (9'), (10), (11).

Действительно, неравенство (23), очевидно, выполнено при е = 0, с(е) = R4(t). Справедливость неравенства вида (27) также легко показать, учитывая, что |Pf1 — Pf4| ^ |f1 — f4|

V (x, г) G Qt, поэтому HPv1 — Pv4H4 ^ Hv1 — v4H4.

В заключение заметим, что данная работа позволяет свести решение нелинейной системы Навье-Стокса к решению последовательности линейных задач. К решению линейных задач имеются различные подходы, среди них отметим подход, основанный на градиентных методах минимизации функционала J(v) = f Idiv v|4 dxdt, в котором давление p

Qt

рассматривается как управление (см., например, [4], [5]). В работе [6] анонсирована теорема о сходимости одного из вариантов градиентного метода для решения нелинейной задачи Навье-Стокса. Для решения линейной задачи построен итерационный метод наискорейшего спуска, причем параметры метода находятся явно, что делает целесообразным предварительную линеаризацию задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

3. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981. 408 с.

4. Агошин В.И., Ботвиновский Е.А. Численное решение системы Стокса методами сопряженных уравнений и оптимального управления // ЖВМиМФ. Т. 47. 2007. №7. С. 1192-1207.

5. Голичев И.И., Шарипов Т.Р. Разработка методов, алгоритмов и программ для решения уравнений Навье-Стокса как задачи оптимального управления // Вестник УГАТУ. Математика. Т. 9. 2007. № 3 (21). C. 51-57.

6. Голичев И.И. Градиентные методы решения уравнений Навье-Стокса // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 18, в. 3. 2011. С. 423-425.

Голичев Иосиф Иосифович,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: shaig@anrb.ru