ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 27-38.
УДК 519.63
О ЕДИНСТВЕННОСТИ И ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ
И.И. ГОЛИЧЕВ
Аннотация. В работе построен итерационный процесс решения нелинейной начальнокраевой задачи с нелокальными краевыми условиями, сходящийся с любого начального приближения. В частности, такими задачами описывается нестационарный процесс теплообмена излучением.
Единственность решения задачи и сходимость итерационного процесса доказывается в условиях существования гладкого решения задачи.
На каждом шаге итерации решается линейная начально-краевая задача с краевыми условиями третьего рода. Получена оценка скорости сходимости итерационного процесса и необходимые для его построения априорные оценки.
Ключевые слова:нелокальные краевые условия, теплообмен излучением, итерационные методы.
1. Введение
Рассматривается задача:
ди д ( ди \
Р~дї - ~дх I а* Х,и) ~дх) + Ь (х, і и, их) = /, (х, і) Є Q, (1)
ди
а* (і, х, и) —— ооб(П, Хі) + d (х,і,и) и + Н (и (х, і)) = их*
= JН (и (^г)) <р(^ x, г) ^ + g, (х, г) Є Б, (2)
до
и (х, 0) = и°,х Є С. (3)
Здесь Q = QT = С х (0,Т); Б = Бт = дС х (0,Т) ,С — ограниченная область в
Кп (п > 2) , дС — ее граница, знак суммирования по повторяющимся индексам опускается.
Глобальная разрешимость таких задач, когда функции Ь (•) ^ (•) тождественно равны нулю, изучалась в работе [1]. Начало исследований с краевыми условиями вида (2) для уравнения теплопроводности ди = аДи положили работы [2], [3].
Введем следующие обозначения:
\U\\ — IlUII2 — \\U\\l2(G) ,
I lUl\l — lllUl\2 — HU\l2(Q)
I.I. GOLICHEV, On UNIQUENESS AND ITERATION METHOD OF SOLVING OF ONE NON-LINEAR NON-STATIONARY PROBLEM WITH NON-LOCAL BOUNDARY CONDITIONS OF «RADIATION HEAT TRANSFER» TYPE.
© ГОЛИЧЕВ И.И. 2010.
Поступила 23 сентября 2010 г.
(и, у) , ((и, у)) — скалярные произведения в Ь2(Є),Ь2(Я),
ди
\их\ — ^ ^ , \ихх\ — У,
V(Я) —^(Я) — Ь (0, Т; Щ (Є)) П (0, Т; Ь2(Є)).
д2 и
дхідх^
Через А (и) — А (х, і, и) будем обозначать матрицу (а^ (і, х, &))^=1. Будем далее использовать следующие обозначения:
г ди ду
а (і,и,их,Ух) — (А(и)их,Ух) — І а^ (і,х,и) дх-дх^,
о
Ь (і,и,их,у) — Ь (х,і,и,их) уйх,
о
до
к (1.^ = 1 к (Ф-.ЛП ф.т*.
до
до до
Решением задачи (1) — (3) называется элемент и Е V(Я),к(и) Е Ь\(Б), удовлетворяющий интегральному тождеству
т т
— ! (и.Уг) сИ + J [а (Ь,и,их,ух) + Ь (Ь,и,их,у)] ЛЬ+
0 0 т т
+ с (ь,и,у) а + к (ь,и,у) а =
гТ
к (і,ір,и,у) ¿і + /уйхйі + дуйхйі
Я
при любом у Е W21’1 (Я) , равным нулю при і — Т.
2
0
2. Условия на данные задачи, решение и дополнительные обозначения
Будем предполагать, что решение задачи (1) — (3) и(х, і) почти всюду в Я удовлетворяет неравенствам:
N1 ^ и(х,і) ^ N2. (4)
Обозначим через Р оператор проектирования
(и(х,і), если N1 ^ и(х,і) ^ N,
^, если и(х,і) < ^, N, если и(х,і) > N.
Будем предполагать, что выполнены следующий условия на данные задачи:
I. р Е Ь^(С), 0 < р1 ^ р(х) ^ р2 почти для всех х Е Я.
II. Матрица А(и) для почти всех (х,Ь) Е Я и и,ь Е [N1, N2] удовлетворяет неравенствам
||А (х,Ь,и) — А (х,Ь,у)\\ ^ Ь1 \и — у \, (5)
т \^\2 ^ а, (х, t, и) ^ М \^\2 Е Rn, (6)
где Ь1 > 0,т> 0.
III. Функция Ь (х,Ь,и,С) почти для всех (х,Ь) Е Я удовлетворяет условиям:
|Ь (х,Ь,и1 ,С) — Ь (х,Ь,и2,С) | ^ Ь2 (и1 — и2| \С\ Уи1,и2 Е [^, ^] ,С Е Кп, (7)
|Ь (х, Ь, и, С1) — Ь (х, Ь, и, С2) | ^ Ьз \С — п\ Vu Е [N1, N2], С1, С2 Е Нп, (8)
где Ь2, Ьз > 0.
IV. Функция ¿(х^,и) непрерывна на Б х [^,^] почти всюду на Б, \ё,(х^, 0)\ < с1 и по переменной и удовлетворяет условию Липшица
|^ (х, t, и1) — d (х, t, и2) | ^ Ь4 (и1 — и2| У(х, Ь) Е Б. (9)
V. Функция к(и) удовлетворяет условиям Липшица на ^-]_, N2]
|к (и1) — к (и2) | ^ Ь5 |и1 — и2| . (10)
VI. Функция <р(С,х,Ь) Е Ь1 (дО х дО х [0,Т]), <р (С,х,Ь) = <р (х,С,Ь) и, кроме того,
= !« С2
да
"УЛ. и° Е Ь2(О) , / Е Ь2(Я),д Е Ь2(Б).
Далее рассматривается вопрос о сходимости последовательности {ик}, где ик+1 — решение задачи
дик+1 д2ик+1 д . . дик
р-дГ — -щ- + Ким = 1х (х' ^ Рик) д, —
г=1 -1
— (Ь(х,ь,Рик,икх) — ^2Рик) + ! (х,г), (х,г) е я, (11)
ди
^1 С°^ (п, хг) + ^ = — ^(х, Ь, Рик )Рик + к(Рик) — ,зРик) +
+J к (Puk(£,t)) p(£,x,t)d£ — rij(x,t, Puk)д^г. cos (n,xi) + g(x,t), (x,t) E S, (12)
dG 3
uk+1(x, 0) = u0(x),x E G. (13)
Здесь rj(x, t, u) = aj(x, t, u) — ^1Sij, Sii = 1, Sj = 0, при i = j, ^1,^2,^3 — неотрицательные параметры метода. Далее заметим, что для сходимости рассматриваемого итерационного процесса существенную роль играет выбор параметра ^1. Параметры ^2 и ^3 могут быть произвольными неотрицательными (например, ^2 = ^3 = 0). Однако в некоторых случаях соответствующий выбор этих параметров ускоряет сходимость.
3. Исследование сходимости итерационного процесса
Теорема 1. Пусть задача (1) — (3) имеет решение u (x,t) E C1 (Q), удовлетворяющее условию (4), а данные задачи удовлетворяют условиям (I) — (VII). Пусть
^1 = - (M + т) , ^2,^3 > 0 и n ^ 3, а {uk} — последовательность решения задач
(11) , (13). Тогда при любом u0 E V последовательность {uk} сходится к u(x,t) при k ^ ж и справедлива оценка
\\u(x,t — uk(x,t))\\V ^ C(в1)9. ||u — uo||V , (14)
М — т
где 01 Е (в, 1), в = ---, \и\у = ут\тах\и(х,ь)\ + \и\ь2(о,тт(а))-
М + т гф,т] 2 ’ 2 к "
Доказательство. Поскольку для решения задачи (1) — (3) справедливо равенство
Ри = и, то уравнения (1), (2) можно записать в виде:
du ^ d2u д ( , . du \ . .. . , . _
p~Qt — ^1^дй2 + ^2u = dx- \ ij(x,t,Pu)dx. ) — rb(x,t,Pu,ux) + f (x,t), (x,t) E Q, i=1 i i \ j/
du
— cos (П, xi) + ^3u = —rd(x, t, Pu)Pu — k(Pu(x, t)) + dxi
f du
+ к (Pu(£, t)) ip(£, x, t)d£ — rij(x, t, Pu)^— cos (П, xi) + g(x, t), (x, t) E S.
dG 3
Здесь rb(x, t, u, ux) = b(x, t, u, ux) — p,2u, rd(x, t, u) = (d(x, t, u) — ^3)u. Обозначим Au. = u — u., тогда Au.+1 является решением задачи:
dAu.+i d 2Au.+i
i=1
p—^ - —ftp1 + l‘2AuM =
JL
dx,:
. n . du du,
rij(x, t, Pu) — — rij (x,t,Puk)dx
— [rb(x, t, Pu, ux) — rb(x, t, Puk, ux)] , (x, t) E Q, (15)
dAuk+1 4 , A
^i~qx— cos (n, xi) + ^зАщ+1
rij(x,t, Pu)^ — rij(x,t, Puk)dx
cos (П, x:) —
j ’ ’ >dxj ijy
— [rd(x,t, Pu) — rd(x,t, Puk)] — [k(Pu(x,t)) — k(Puk(x,t)) +
+J [к(Pu(І, t)) — k(Puk(^t)] ^(C, x, t)d^(x, t) E S, (16)
dG
Auk+1(x, 0) = 0,x E G. (17)
Умножая уравнение (15) на Auk+1e-2Xt(\ > 0) и интегрируя по области G х (0,т), где т ^ T, получим обобщенное энергетическое соотношение
т
2 \\pAuk+i(x,T)в-2Хт||2 + ^1 J \\Auk+i,x(x,t)\\2 e-2Xtdt +
o
т т
|2 -2\ti, , Л / /| „А„. / Л|2 -2\t,
+№ J \\Auk+i(x,t)\\ e dt + lpAuk+i(x,t)l e dxdt +
0 0 G
т 5 +p,3 / Auk+1(x,t)e-2Xtdxdt = J(т), (18)
0 G i=1
где
Ji(t
Jï(r
Ji(r
Ja(t
Jb(r
du
r“(Pu) dx:- r»(PUk> dxj dx
ди„\ dAu„+le-^
0 G
T
0 G
T
0 dG
0 dG
T
(rb(Pu) — rbPuk) Auk+ie 2Xtdxdt,
(rd(Pu) — rdPuk) Auk+ie-2Xtdxdt,
(h(Pu) — hPuk) Auk+ie~2Xt dxdt,
/ [h(Pu(£,t)) — hPuk(£,t)] <£(Ç,x,t)Auk+le~2XtdÇdxdt.
0 dG dG
Получим оценки интегралов Jl — J5. Представим интеграл Jl(r) в виде
T
Ji(t ) = Ji,i(r ) + Ji,2 (r )
0G
ч du . du\ dAuk+i _2Xt , ,
rij (Pu) dx — ri: (Puk)^ I —^---e dxdt+
dxj ) dxi
+
r: (Puk )( du — du1 ) ^ e-2X‘dxdt.
0G
K dxj dxj dxi
Учитывая неравенство (5), очевидное неравенство \\Ри — Ру\\ ^ ||и — ^|| и ограниченность градиента решения (\их\ ^ С1), получаем
lJi,i(r )
г': (Pu) Щ — ri:(Puk ] dxj dxi
du\ dAuk+i _
e 2Xtdxdt
<
0G
^ У J (Li + Pi) luxl IPu — Puk I IAuk+i,xl e-2Xtdt ^
0G
т
i (L1 + e-ll dt
0
Далее будем использовать обозначения
uk uke , uk,x uk,xe , Auk Auke , Auk,x Auk,xe .
Тогда полученную выше оценку можно записать в виде
т
IJi,i(T)| i (Li + Pi)Ci ||AUk+i,x|| |AUkII dt.
:i9)
Для оценки интеграла Ji,2 воспользуемся неравенствами (6) и, учитывая, что Vi = 2 (m + M) , получим
Iri:(Puk)jы < dpi Id2 ve G Rn.
В силу симметричности матрицы (r j ) из последнего равенства следует, что
Iri:(Puk)&п:1 < $ (vi|e|2)2 (vi W
T
T
T
Откуда следует, что
\^,2(т)\ ^ в/11 (у ЦАик,х112 ^1 \\Аи(к+1),х\\2 dt ) . (20)
При оценке .]2(г), используя неравенства (7)-(8) и ограниченность градиента их, получаем
Т
\Чт )\
[Ь(х,Ь, Ри,их) — Ь(х,Ь, Рик,ик,х) —
о а
— 12(Ри — Рик)] Аи(к+1)в 2Xtdxdt| ^
Т
^ (Ь2СХ + 12) I I (Ри — Рик) ^и^^| е 2Х(х(Ь+
оа
Т
+Ьз$ / \их — ик,х\ ^Щк^ е 2X1 (х(Ь ^
оа
^ (Ь2С +12) у \\АщII ЦАщ^Ц dt + Ь^ ЦАщ^Ц ЦАщ^Ц dt.
оо Используя неравенство (9), получим оценку интеграла .]з(г)
\Чт )\ =
(х, Ь, Ри)Ри — d(x, Ь, Рик)Рик—
да
получаем, что
\Ыт ^ ^ (2Ь^ + (+ 1з) ( (с || Аик,х \ + С (с) \\Аик \ ) (ь) х
о
Т \ 2
2)
(21)
о да |
—¡лз(Ри — Рик)] Ащк+1)е~2ХЬ(х(^ =
Т
= || [((х, Ь, Ри) — ((х, Ь, Рик)Ри+
о да
+ (((х,Ь,Рик) — 1з)(Ри — Рик)] Аu(k+1)e~2Хtdxdt| ^ (22)
Т
^ (2Ь4N + (+ 1з) ! || Аик||да 11Аик+1Цда (Ь ^ о 1
^ (2Ь4N + (+ 1з) ||АикЦ2да ЦАи^Ц^а (Ь
Здесь 11V|да = \у(х)\2 (х. Используя известное неравенство (см. [4])
М1да ^ с 1Ы|2 + се ||и||2 , (23)
х ( / (с ЦАик+1,хМ + С (с) || Аик+11 ) (Ь) . (24)
Т
т
Для оценки интеграла .]4(т) достаточно воспользоваться неравенствами (10),(23). В результате получим
Щт )| ^ Ь5 \ (є \\Аик,х\\2 + С (є) \\Аик ||2) (і\ х
х (с ЦАик^х! + С (с) || Аик+112) (Ь! . (25)
Оценим, наконец, интеграл 35(т). В силу ограничений, наложенных на функции к(и), <р(С,х,Ь), легко убедиться в справедливости следующих соотношений
j [к(Ри(£,г)) - к(Рик(І,ЩАик+1е 2Хі^(І,х,г)(І(х эа да
^ Ь5 '] ] 1Ри(^,1) - Рик(£,1)1 І^(^,Х,І)І Є (^(х\ х
эа да
X I j у 1р(£,х,г)11Аик+1(х,г)12 е 2Хі(£(х эа да
ь5 1 І ІРи(С,і) - Рик(С,і)\2 Р(£,і)е 2ХІ(С І І / Ііи(х,і)ІІАик+і(х,і)І‘2 е 2ХІ(І І ^ ю _ / ^а
^ р5С2 \Аик 11 да \\Аик+і\\да '
Вновь, используя неравенство (23), получаем
і
\Ыт )\ ^ р5С12 1 І (є \\Аикх\\2 + С (є)||Аик||2) (і\ х
2
2)
х 1 (є \\Аик+1,х \| + С (є) \\Аик+і II) (і\ . (26)
,0
Введем вспомогательную норму в (О)
| д — рі || ^X
Тогда очевидно, что
У\Л = 1і \\vxW2 + (А + ¡12) |М|2, Л > 0.
і
і
1Н| ^ (Л +12) 21М|Л, ц^х\ ^ і і 2 |М|А.
Учитывая последние неравенства, оценки (19)—(21) и обозначая ||Н||ДГ = I ІМІД (і, полу-
12 =
0
чим
< Кі(Л + 12У2 ^Пк |||дт |||Аик+1|||лг (27)
и1,2 (т)| ^ 1 |||Дт |||Аик+іШ , (28)
1Ыт )| ^ К2(Л)(Л + І2У1 ^ик |||Дт ^ик+іШ , (29)
т
2
где К1 = (Ь1 + Цl)ClHl 2 , К2(А) = (Ь2С1 + 12)(А + 12) 2 + Ьз1\ 2 .
Обозначим д = 1 — в и выберем с настолько малым, что
(2Ь4М' + 1з + Ь5(1 + С2))с к ^д. (30)
Далее, выбирая А > С(с)11с~1 и учитывая оценки (24)-(26), получаем оценку
51
£\Мт)\ К -л !!\Аик.\\\Лт\\\Аик+1\\\Лт . (31)
г=з
В случае необходимости, увеличивая А, можно считать выполненным неравенство
(К1 + К2(А))(А + 12) 2 К ^ д. (32)
Тогда получаем, что
5
^ Щт )\ К в1 \\\Аик \\\хт \\\Аик+1 \\\хт , (33)
г=з
где 0 < в1 = в + 2 д < -.
Из условия I следует, что
ЦрАик+1(х,т)|| > Р1 ЦАик+1(х,т)||.
Принимая во внимание последнее неравенство и соотношение (18), получаем
2 Р1 ||Аllk+1(x,т)||2 + \\\Аик+1\\\Хт к в1 \\\Аик \\\хт \\\ Аик+1 \\\хт . (34)
Откуда следует, что
К вк+ \\\Аио\\\хт Ут Е (0,Т],
и
1р1
— \\Аик+1(х,т )\\ К вк+1 \\\ Аи0 \\\ Хт Ут Е (0,Т ].
Из последних неравенств следует, что
2 к
угатах II Аик(Ь)|| К \ —в\\ Аи0\\ Хт ьф,т\ \р1
поэтому
уга1шах ЦАи (Ь)|| + \\\ Аи\\\Хт К (- + \/—\ в\_ \\Аио\\Хт . (35)
гф,т] \ у Р1 / Хт
Можно считать, что А + 12 > 11, тогда 11V|Хт > 11 2(а) и
т
\\М\\хт > 11 Нж^а) = 11 ||v||L2(о,т-^2(а)).
о
Учитывая неравенства
угатах ||и(Ь)|| > е Хтугатах |\у
гф,т ] гф,т ]
> е~хти2 Н?;11 1
хт > е 11 \\u\\L2(о,т№1(а)) ,
\М\хт К \1М1\хт К (А + 12) 2 |М|у ,
получаем
1
УГа^шах II Аик(Ь)|| + \|| Айк||\хт > е Хт шт[1,12 ]ЦАщ ||у, Н1 Аио IIIхт К (А + 12~) 12 II Аио ! у .
Далее фиксируем параметр А, удовлетворяющий условиям (31), (32) и условию А+12 > 11. Учитывая два последних неравенства и неравенство (35), получим доказываемое неравенство (14) .
Докажем единственность решения задачи (1), (3) при условии, что существует решение и Е О1(Я). Предположим, что кроме решения и существует решение у(х,Ь) Е V, удовлетворяющее ограничению (4). Тогда и и V удовлетворяют соотношениям вида (15), (16), в которых ик+1 = ик = V. В этом случае неравенство (34) для Ай = и — V примет вид
—Р1 ||Аu(x, Ь) Ц + ||| Аи1|\Хт к в1 \|| Аи11\Хт , Ут Е (0, Т ].
Откуда следует, что Аи = (и — v)e~Хt = 0 почти всюду в Ц.
4. Априорная оценка классического решения
Для применения итерационного процесса 11-13 необходимо задать ограничения сверху и снизу для решения задачи 1-3. В работе [1] получена оценка слабого решения в Ь(Ц) задачи вида (1) — (3), где Ьо(х,Ь,и,их) = 0, ((х,Ь,и) = 0. Однако эти оценки содержат неявно заданные константы, что не позволяет использовать их в предлагаемом итерационном методе.
Для классического решения, то есть решения непрерывного в Ят, имеющего непрерывные ди д2и ди
производные —, ——-— в Цт и —— в Цт и Бт, можно найти явную и более точную оценку. дЬ дхгдх, дхг
Далее будем предполагать, что выполнены следующие условия:
1о. а,(х,Ь,и)СгСз > 0 У(х,Ь) Е Цт,и Е R1,С Е Rn; да,(х,Ь,и) да,(х,Ь,и)
производные --------------,------------ непрерыны и ограничены в любом ограничен-
дхг ди
ном цилиндре ZN = Цт х [—N,
2о. Функцию Ь(х,Ь,и,их) можно представить в виде
ди
Ь(х, Ь, и, их) = Ьг(х, Ь, и, их)—----+ Ьо(х, Ь, и)и,
дхг
где _ _
Ьо(х, Ь, и) > Сь + Сь \и\а2 У(х, Ь) Е Цт, и Е R1, (36)
где Сь Е R1,Cь и а1 > 0;
3о. _ _
((х, Ь, и) > Са + С а \и\а2 У(х, Ь) Е Б т, и Е R1, (37)
где Са и С а > 0;
4о. Функция (р(С,х,Ь) удовлетворяет условиям VI, где С2 < 1;
5о. Функция к(и) задана на R1, непрерывна, не убывает и удовлетворяет условию
\к(и)\ > Сн \и\аз Уи Е R1, (38)
где Сь_> 0;
6о. Са + С а + Сн > 0.
Запишем уравнение (1) в виде
ди д2и ди
р— — а, (Ь, х, и) —— --------+ Вг(х,Ь,и,их:)--+ Ь (х, Ь, и,) и = ; (х,Ь),
дЬ дхгдх, дхг
где
Вг(х,^,и,их) Ъг(х,^,и,их)
да,(х,Ь,и) да, ди
дх, ди дх,
Перейдем от функции и(х,Ь) к функции v(x,t) = и(х,Ь)е Хь. Функция v(x,t) удовлетворяет уравнению
dv ,, s д2v „ , . , dv
tidxj
p^- - üij (t,x,u) ^77--------+ Bi(x, t, u, Ux)^— + (b (x,t,u,) + X)v = f (x,t)e xt,
dt dxidxj dxi
и условиям
dv
aij (t, x, u) ——- cos(n, xi) + d (x,t,u) v + h (u (x, t)) e xt-
j
,-Xt / 7 / it „„-xt
-е j К {и (£,г)) <р (£,х,г) = де-
да
Пусть неотрицательный максимум функции V в области Qt = О х [0, достигается в точке (хо^о) £ О х [0, ¿1], тогда, учитывая условие (36), получаем
{Сь + \^{хо,и) + Сь 1и{хоМ)Г1 v{xо,tо) ^ /{хо,^)е-Х\ (39)
Далее будем считать, что Л > — Сь, и условимся обозначать символом д+{у) {д~{у)) функцию равную g{y), если д{у) > 0 {д{у) ^ 0) и д+{у) = 0 {д-{у) = 0), если д{у) < 0 {д{у) > 0). Введем обозначение
/+{х,^) ( /+{х,^) \1/(“1+1)
l+(x, t, X) = min
40)
Сь + Л у С ь
если Сь = 0, то 1+ = /+/{Сь + Л). Учитывая неравенство (39), получаем
v{xо,tо) ^ 1+{хо,Ь,Л)е-хг.
Пусть неотрицательный максимум достигается в точке (х0^0) £ , тогда в этой точке
вектор vx имеет направление внешней нормали, поэтому в силу положительной определенности матрицы А
^ ч
ац- СО$,(и,хг) > 0. ' дхз
Заметим еще, что из неравенства v{x0,t0) > v{$l,t0) £ О следует неравенство
и{х0, ¿0) > и{£, ¿0) £ О.
Учитывая краевое условие (2), получаем, что
^хо,и,и{хо,и)^{хо,и) + е х | к{и{хо,и)) — J к{и{£,и))<р{£,хо,и)с1£ | ^
да
^ д{хо,^)е-х\ (41)
Принимая во внимание условия 40,50, получаем
к{и{хо,и)) — / к{и{£^о))<р{£,хо,Ь)с1£ = / [К{и{хо,Ь)) — к{и{£,и))] х да да
хр{£,хо,и)С£ + к{и{хо,и)) — / >{>а,хо,и М > {1 — С12)к{и{хо,Ь)).
да
Воспользовавшись неравенствами (37), (38), получаем
С + Саеа2Моva2(хо,Ь)) v{xо,tо) + {1 — С2)е-Х1СнеазХ1°vaз{хоМ) ^ де-Х1°.
Cdv(xo,to) + Cdea2Xt0v(a2+l)(xo,to) + (1 - C2)e-xtChe(a3-l)xt0va3(xo,to) ^ ge-xt0. (42)
Откуда получаем
aXt0v'~21 ^'(xo,to) + (1 - C2)e '"'Che'"3 */'"'°v
Полагаем
m±(x, t) = min
g± (g±\ Cd \Cd)
l/(a2 + l)/ \ l/a3
g±
Ch(1 - C2)
(43)
Тогда из (44) следует оценка
v{xо,tо) ^ т+{хо^о)е-хь°.
Очевидно, что если положительный максимум достигается в точке {х0,0), то v{x0, 0) = и{х0, 0) = и0{х0). Таким образом, во всех случаях справедлива оценка
max v(x, t) ^ max Откуда следует оценка сверху
max u+(x), max m+(x, t)e , max l+(x, t)e
-xt
u(x, t\) ^ extl max
max u+(x), max m+(x, t)e , max l+(x, t, A)e
xt
а ''' яч Яь1 j
Аналогичным образом получаем оценку снизу неположительного минимума
u(x, t\) > extl min
min u (x), min m_ (x,t)e , min l_ (x,t,A)e
g J’ St1 v ’ ' ’ Qt1 v ’ ’ '
xt
где
m-(x, t) = max
l-(x, t, A) = max g-(x,t)
f-(x,t)
Cd
Cb + A’ |g- (x,t)l ^1/(а2+"
C h
lg-(x,t)l Ch(l — C2)
1/аз
(44)
(45)
(46)
Таким образом установлено следующее утверждение
Теорема 2. Пусть и{х,Ь) есть классическое решение задачи {1) — {3) и пусть выполнены условия 10 — 60. Тогда для решения и{х,Ь) при любом t1 £ [0,Т] справедливы оценки
вир вХІ1 тіп х>оь
min u (x), min m_ (x,t)e , min l_ (x,t,A)e
g -w St1 v ’ 7 Qt1 v 7
xt
^ u(x,t\) ^ inf e max
x>cb
max u+ (x), max m+(x,t)e xt, max l+(x,t,A)e xt
G
St1
Qt1
где 1±{х,і,А),т±{х,ї) определяется формулами (40), (4-5), (43), (46)-
Замечание. В модели теплообмена излучением по закону Стефана-Больцмана без учета конвективного переноса тепла
Ъг{х, t, и, их) = 0 {г = 0,и), С{х, t, и) = 0, к{и) = к |и| и.
Функция и имеет физический смысл абсолютной температуры. При естественных предположениях, что / > 0, д > 0, ио > 0 получим соотношения
f (x t)
l-(x,t,A) = 0, m-(x,t) = 0, u°_ = 0, l+(x,t,A) = —^—, m+(x,t)
A
g
[x(l — C2)\
1/4
Тогда при любом А > 0
max u°(x), max G St1
g
f
¡л nw e-xt, max{ e-xt k(1 — C2)) Qt1 A
Полагая в последнем неравенстве A = 1, получим
о / g
max u , max —-----------
G St1 \x(\ — C2)
, t\ max f Qt1
(47)
(48)
Если нет внутренних источников тепла, то есть f = 0,то, устремляя Л к нулю в неравенстве (47), получим оценку
max u , max g St1
9
k(1 - C2)
(49)
4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Амосов А.А. Глобальная разрешимость одной нелинейной нестационарной задачи с нелокальными краевыми условиями типа теплообмена излучением // Дифференциальные уравнения. Т. 41. 2005. №1. С. 93-104.
2. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюллетень МГУ (А). Т. 1. 1938. №8. С. 1-25.
3. Тихонов А.Н. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных // Бюллетень МГУ. Сер. А. Т. 1. №9. 1938. С. 1-45.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М: Наука, 1967. 736 с.
Иосиф Иосифович Голичев,
Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия E-mail: shaig@anrb.ru