О единственности и итерационном методе решения одной нелинейной нестационарной задачи с нелокальными краевыми условиями типа теплообмена излучением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 27-38.

УДК 519.63

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ

И.И. ГОЛИЧЕВ

Аннотация. В работе построен итерационный процесс решения нелинейной начальнокраевой задачи с нелокальными краевыми условиями, сходящийся с любого начального приближения. В частности, такими задачами описывается нестационарный процесс теплообмена излучением.

Единственность решения задачи и сходимость итерационного процесса доказывается в условиях существования гладкого решения задачи.

На каждом шаге итерации решается линейная начально-краевая задача с краевыми условиями третьего рода. Получена оценка скорости сходимости итерационного процесса и необходимые для его построения априорные оценки.

Ключевые слова:нелокальные краевые условия, теплообмен излучением, итерационные методы.

1. Введение

Рассматривается задача:

ди д ( ди \

Р~дї - ~дх I а* Х,и) ~дх) + Ь (х, і и, их) = /, (х, і) Є Q, (1)

ди

а* (і, х, и) —— ооб(П, Хі) + d (х,і,и) и + Н (и (х, і)) = их*

= JН (и (^г)) <р(^ x, г) ^ + g, (х, г) Є Б, (2)

до

и (х, 0) = и°,х Є С. (3)

Здесь Q = QT = С х (0,Т); Б = Бт = дС х (0,Т) ,С — ограниченная область в

Кп (п > 2) , дС — ее граница, знак суммирования по повторяющимся индексам опускается.

Глобальная разрешимость таких задач, когда функции Ь (•) ^ (•) тождественно равны нулю, изучалась в работе [1]. Начало исследований с краевыми условиями вида (2) для уравнения теплопроводности ди = аДи положили работы [2], [3].

Введем следующие обозначения:

\U\\ — IlUII2 — \\U\\l2(G) ,

I lUl\l — lllUl\2 — HU\l2(Q)

I.I. GOLICHEV, On UNIQUENESS AND ITERATION METHOD OF SOLVING OF ONE NON-LINEAR NON-STATIONARY PROBLEM WITH NON-LOCAL BOUNDARY CONDITIONS OF «RADIATION HEAT TRANSFER» TYPE.

© ГОЛИЧЕВ И.И. 2010.

Поступила 23 сентября 2010 г.

(и, у) , ((и, у)) — скалярные произведения в Ь2(Є),Ь2(Я),

ди

\их\ — ^ ^ , \ихх\ — У,

V(Я) —^(Я) — Ь (0, Т; Щ (Є)) П (0, Т; Ь2(Є)).

д2 и

дхідх^

Через А (и) — А (х, і, и) будем обозначать матрицу (а^ (і, х, &))^=1. Будем далее использовать следующие обозначения:

г ди ду

а (і,и,их,Ух) — (А(и)их,Ух) — І а^ (і,х,и) дх-дх^,

о

Ь (і,и,их,у) — Ь (х,і,и,их) уйх,

о

до

к (1.^ = 1 к (Ф-.ЛП ф.т*.

до

до до

Решением задачи (1) — (3) называется элемент и Е V(Я),к(и) Е Ь\(Б), удовлетворяющий интегральному тождеству

т т

— ! (и.Уг) сИ + J [а (Ь,и,их,ух) + Ь (Ь,и,их,у)] ЛЬ+

0 0 т т

+ с (ь,и,у) а + к (ь,и,у) а =

гТ

к (і,ір,и,у) ¿і + /уйхйі + дуйхйі

Я

при любом у Е W21’1 (Я) , равным нулю при і — Т.

2

0

2. Условия на данные задачи, решение и дополнительные обозначения

Будем предполагать, что решение задачи (1) — (3) и(х, і) почти всюду в Я удовлетворяет неравенствам:

N1 ^ и(х,і) ^ N2. (4)

Обозначим через Р оператор проектирования

(и(х,і), если N1 ^ и(х,і) ^ N,

^, если и(х,і) < ^, N, если и(х,і) > N.

Будем предполагать, что выполнены следующий условия на данные задачи:

I. р Е Ь^(С), 0 < р1 ^ р(х) ^ р2 почти для всех х Е Я.

II. Матрица А(и) для почти всех (х,Ь) Е Я и и,ь Е [N1, N2] удовлетворяет неравенствам

||А (х,Ь,и) — А (х,Ь,у)\\ ^ Ь1 \и — у \, (5)

т \^\2 ^ а, (х, t, и) ^ М \^\2 Е Rn, (6)

где Ь1 > 0,т> 0.

III. Функция Ь (х,Ь,и,С) почти для всех (х,Ь) Е Я удовлетворяет условиям:

|Ь (х,Ь,и1 ,С) — Ь (х,Ь,и2,С) | ^ Ь2 (и1 — и2| \С\ Уи1,и2 Е [^, ^] ,С Е Кп, (7)

|Ь (х, Ь, и, С1) — Ь (х, Ь, и, С2) | ^ Ьз \С — п\ Vu Е [N1, N2], С1, С2 Е Нп, (8)

где Ь2, Ьз > 0.

IV. Функция ¿(х^,и) непрерывна на Б х [^,^] почти всюду на Б, \ё,(х^, 0)\ < с1 и по переменной и удовлетворяет условию Липшица

|^ (х, t, и1) — d (х, t, и2) | ^ Ь4 (и1 — и2| У(х, Ь) Е Б. (9)

V. Функция к(и) удовлетворяет условиям Липшица на ^-]_, N2]

|к (и1) — к (и2) | ^ Ь5 |и1 — и2| . (10)

VI. Функция <р(С,х,Ь) Е Ь1 (дО х дО х [0,Т]), <р (С,х,Ь) = <р (х,С,Ь) и, кроме того,

= !« С2

да

"УЛ. и° Е Ь2(О) , / Е Ь2(Я),д Е Ь2(Б).

Далее рассматривается вопрос о сходимости последовательности {ик}, где ик+1 — решение задачи

дик+1 д2ик+1 д . . дик

р-дГ — -щ- + Ким = 1х (х' ^ Рик) д, —

г=1 -1

— (Ь(х,ь,Рик,икх) — ^2Рик) + ! (х,г), (х,г) е я, (11)

ди

^1 С°^ (п, хг) + ^ = — ^(х, Ь, Рик )Рик + к(Рик) — ,зРик) +

+J к (Puk(£,t)) p(£,x,t)d£ — rij(x,t, Puk)д^г. cos (n,xi) + g(x,t), (x,t) E S, (12)

dG 3

uk+1(x, 0) = u0(x),x E G. (13)

Здесь rj(x, t, u) = aj(x, t, u) — ^1Sij, Sii = 1, Sj = 0, при i = j, ^1,^2,^3 — неотрицательные параметры метода. Далее заметим, что для сходимости рассматриваемого итерационного процесса существенную роль играет выбор параметра ^1. Параметры ^2 и ^3 могут быть произвольными неотрицательными (например, ^2 = ^3 = 0). Однако в некоторых случаях соответствующий выбор этих параметров ускоряет сходимость.

3. Исследование сходимости итерационного процесса

Теорема 1. Пусть задача (1) — (3) имеет решение u (x,t) E C1 (Q), удовлетворяющее условию (4), а данные задачи удовлетворяют условиям (I) — (VII). Пусть

^1 = - (M + т) , ^2,^3 > 0 и n ^ 3, а {uk} — последовательность решения задач

(11) , (13). Тогда при любом u0 E V последовательность {uk} сходится к u(x,t) при k ^ ж и справедлива оценка

\\u(x,t — uk(x,t))\\V ^ C(в1)9. ||u — uo||V , (14)

М — т

где 01 Е (в, 1), в = ---, \и\у = ут\тах\и(х,ь)\ + \и\ь2(о,тт(а))-

М + т гф,т] 2 ’ 2 к "

Доказательство. Поскольку для решения задачи (1) — (3) справедливо равенство

Ри = и, то уравнения (1), (2) можно записать в виде:

du ^ d2u д ( , . du \ . .. . , . _

p~Qt — ^1^дй2 + ^2u = dx- \ ij(x,t,Pu)dx. ) — rb(x,t,Pu,ux) + f (x,t), (x,t) E Q, i=1 i i \ j/

du

— cos (П, xi) + ^3u = —rd(x, t, Pu)Pu — k(Pu(x, t)) + dxi

f du

+ к (Pu(£, t)) ip(£, x, t)d£ — rij(x, t, Pu)^— cos (П, xi) + g(x, t), (x, t) E S.

dG 3

Здесь rb(x, t, u, ux) = b(x, t, u, ux) — p,2u, rd(x, t, u) = (d(x, t, u) — ^3)u. Обозначим Au. = u — u., тогда Au.+1 является решением задачи:

dAu.+i d 2Au.+i

i=1

p—^ - —ftp1 + l‘2AuM =

JL

dx,:

. n . du du,

rij(x, t, Pu) — — rij (x,t,Puk)dx

— [rb(x, t, Pu, ux) — rb(x, t, Puk, ux)] , (x, t) E Q, (15)

dAuk+1 4 , A

^i~qx— cos (n, xi) + ^зАщ+1

rij(x,t, Pu)^ — rij(x,t, Puk)dx

cos (П, x:) —

j ’ ’ >dxj ijy

— [rd(x,t, Pu) — rd(x,t, Puk)] — [k(Pu(x,t)) — k(Puk(x,t)) +

+J [к(Pu(І, t)) — k(Puk(^t)] ^(C, x, t)d^(x, t) E S, (16)

dG

Auk+1(x, 0) = 0,x E G. (17)

Умножая уравнение (15) на Auk+1e-2Xt(\ > 0) и интегрируя по области G х (0,т), где т ^ T, получим обобщенное энергетическое соотношение

т

2 \\pAuk+i(x,T)в-2Хт||2 + ^1 J \\Auk+i,x(x,t)\\2 e-2Xtdt +

o

т т

|2 -2\ti, , Л / /| „А„. / Л|2 -2\t,

+№ J \\Auk+i(x,t)\\ e dt + lpAuk+i(x,t)l e dxdt +

0 0 G

т 5 +p,3 / Auk+1(x,t)e-2Xtdxdt = J(т), (18)

0 G i=1

где

Ji(t

Jï(r

Ji(r

Ja(t

Jb(r

du

r“(Pu) dx:- r»(PUk> dxj dx

ди„\ dAu„+le-^

0 G

T

0 G

T

0 dG

0 dG

T

(rb(Pu) — rbPuk) Auk+ie 2Xtdxdt,

(rd(Pu) — rdPuk) Auk+ie-2Xtdxdt,

(h(Pu) — hPuk) Auk+ie~2Xt dxdt,

/ [h(Pu(£,t)) — hPuk(£,t)] <£(Ç,x,t)Auk+le~2XtdÇdxdt.

0 dG dG

Получим оценки интегралов Jl — J5. Представим интеграл Jl(r) в виде

T

Ji(t ) = Ji,i(r ) + Ji,2 (r )

0G

ч du . du\ dAuk+i _2Xt , ,

rij (Pu) dx — ri: (Puk)^ I —^---e dxdt+

dxj ) dxi

+

r: (Puk )( du — du1 ) ^ e-2X‘dxdt.

0G

K dxj dxj dxi

Учитывая неравенство (5), очевидное неравенство \\Ри — Ру\\ ^ ||и — ^|| и ограниченность градиента решения (\их\ ^ С1), получаем

lJi,i(r )

г': (Pu) Щ — ri:(Puk ] dxj dxi

du\ dAuk+i _

e 2Xtdxdt

<

0G

^ У J (Li + Pi) luxl IPu — Puk I IAuk+i,xl e-2Xtdt ^

0G

т

i (L1 + e-ll dt

0

Далее будем использовать обозначения

uk uke , uk,x uk,xe , Auk Auke , Auk,x Auk,xe .

Тогда полученную выше оценку можно записать в виде

т

IJi,i(T)| i (Li + Pi)Ci ||AUk+i,x|| |AUkII dt.

:i9)

Для оценки интеграла Ji,2 воспользуемся неравенствами (6) и, учитывая, что Vi = 2 (m + M) , получим

Iri:(Puk)jы < dpi Id2 ve G Rn.

В силу симметричности матрицы (r j ) из последнего равенства следует, что

Iri:(Puk)&п:1 < $ (vi|e|2)2 (vi W

T

T

T

Откуда следует, что

\^,2(т)\ ^ в/11 (у ЦАик,х112 ^1 \\Аи(к+1),х\\2 dt ) . (20)

При оценке .]2(г), используя неравенства (7)-(8) и ограниченность градиента их, получаем

Т

\Чт )\

[Ь(х,Ь, Ри,их) — Ь(х,Ь, Рик,ик,х) —

о а

— 12(Ри — Рик)] Аи(к+1)в 2Xtdxdt| ^

Т

^ (Ь2СХ + 12) I I (Ри — Рик) ^и^^| е 2Х(х(Ь+

оа

Т

+Ьз$ / \их — ик,х\ ^Щк^ е 2X1 (х(Ь ^

оа

^ (Ь2С +12) у \\АщII ЦАщ^Ц dt + Ь^ ЦАщ^Ц ЦАщ^Ц dt.

оо Используя неравенство (9), получим оценку интеграла .]з(г)

\Чт )\ =

(х, Ь, Ри)Ри — d(x, Ь, Рик)Рик—

да

получаем, что

\Ыт ^ ^ (2Ь^ + (+ 1з) ( (с || Аик,х \ + С (с) \\Аик \ ) (ь) х

о

Т \ 2

2)

(21)

о да |

—¡лз(Ри — Рик)] Ащк+1)е~2ХЬ(х(^ =

Т

= || [((х, Ь, Ри) — ((х, Ь, Рик)Ри+

о да

+ (((х,Ь,Рик) — 1з)(Ри — Рик)] Аu(k+1)e~2Хtdxdt| ^ (22)

Т

^ (2Ь4N + (+ 1з) ! || Аик||да 11Аик+1Цда (Ь ^ о 1

^ (2Ь4N + (+ 1з) ||АикЦ2да ЦАи^Ц^а (Ь

Здесь 11V|да = \у(х)\2 (х. Используя известное неравенство (см. [4])

М1да ^ с 1Ы|2 + се ||и||2 , (23)

х ( / (с ЦАик+1,хМ + С (с) || Аик+11 ) (Ь) . (24)

Т

т

Для оценки интеграла .]4(т) достаточно воспользоваться неравенствами (10),(23). В результате получим

Щт )| ^ Ь5 \ (є \\Аик,х\\2 + С (є) \\Аик ||2) (і\ х

х (с ЦАик^х! + С (с) || Аик+112) (Ь! . (25)

Оценим, наконец, интеграл 35(т). В силу ограничений, наложенных на функции к(и), <р(С,х,Ь), легко убедиться в справедливости следующих соотношений

j [к(Ри(£,г)) - к(Рик(І,ЩАик+1е 2Хі^(І,х,г)(І(х эа да

^ Ь5 '] ] 1Ри(^,1) - Рик(£,1)1 І^(^,Х,І)І Є (^(х\ х

эа да

X I j у 1р(£,х,г)11Аик+1(х,г)12 е 2Хі(£(х эа да

ь5 1 І ІРи(С,і) - Рик(С,і)\2 Р(£,і)е 2ХІ(С І І / Ііи(х,і)ІІАик+і(х,і)І‘2 е 2ХІ(І І ^ ю _ / ^а

^ р5С2 \Аик 11 да \\Аик+і\\да '

Вновь, используя неравенство (23), получаем

і

\Ыт )\ ^ р5С12 1 І (є \\Аикх\\2 + С (є)||Аик||2) (і\ х

2

2)

х 1 (є \\Аик+1,х \| + С (є) \\Аик+і II) (і\ . (26)

,0

Введем вспомогательную норму в (О)

| д — рі || ^X

Тогда очевидно, что

У\Л = 1і \\vxW2 + (А + ¡12) |М|2, Л > 0.

і

і

1Н| ^ (Л +12) 21М|Л, ц^х\ ^ і і 2 |М|А.

Учитывая последние неравенства, оценки (19)—(21) и обозначая ||Н||ДГ = I ІМІД (і, полу-

12 =

0

чим

< Кі(Л + 12У2 ^Пк |||дт |||Аик+1|||лг (27)

и1,2 (т)| ^ 1 |||Дт |||Аик+іШ , (28)

1Ыт )| ^ К2(Л)(Л + І2У1 ^ик |||Дт ^ик+іШ , (29)

т

2

где К1 = (Ь1 + Цl)ClHl 2 , К2(А) = (Ь2С1 + 12)(А + 12) 2 + Ьз1\ 2 .

Обозначим д = 1 — в и выберем с настолько малым, что

(2Ь4М' + 1з + Ь5(1 + С2))с к ^д. (30)

Далее, выбирая А > С(с)11с~1 и учитывая оценки (24)-(26), получаем оценку

51

£\Мт)\ К -л !!\Аик.\\\Лт\\\Аик+1\\\Лт . (31)

г=з

В случае необходимости, увеличивая А, можно считать выполненным неравенство

(К1 + К2(А))(А + 12) 2 К ^ д. (32)

Тогда получаем, что

5

^ Щт )\ К в1 \\\Аик \\\хт \\\Аик+1 \\\хт , (33)

г=з

где 0 < в1 = в + 2 д < -.

Из условия I следует, что

ЦрАик+1(х,т)|| > Р1 ЦАик+1(х,т)||.

Принимая во внимание последнее неравенство и соотношение (18), получаем

2 Р1 ||Аllk+1(x,т)||2 + \\\Аик+1\\\Хт к в1 \\\Аик \\\хт \\\ Аик+1 \\\хт . (34)

Откуда следует, что

К вк+ \\\Аио\\\хт Ут Е (0,Т],

и

1р1

— \\Аик+1(х,т )\\ К вк+1 \\\ Аи0 \\\ Хт Ут Е (0,Т ].

Из последних неравенств следует, что

2 к

угатах II Аик(Ь)|| К \ —в\\ Аи0\\ Хт ьф,т\ \р1

поэтому

уга1шах ЦАи (Ь)|| + \\\ Аи\\\Хт К (- + \/—\ в\_ \\Аио\\Хт . (35)

гф,т] \ у Р1 / Хт

Можно считать, что А + 12 > 11, тогда 11V|Хт > 11 2(а) и

т

\\М\\хт > 11 Нж^а) = 11 ||v||L2(о,т-^2(а)).

о

Учитывая неравенства

угатах ||и(Ь)|| > е Хтугатах |\у

гф,т ] гф,т ]

> е~хти2 Н?;11 1

хт > е 11 \\u\\L2(о,т№1(а)) ,

\М\хт К \1М1\хт К (А + 12) 2 |М|у ,

получаем

1

УГа^шах II Аик(Ь)|| + \|| Айк||\хт > е Хт шт[1,12 ]ЦАщ ||у, Н1 Аио IIIхт К (А + 12~) 12 II Аио ! у .

Далее фиксируем параметр А, удовлетворяющий условиям (31), (32) и условию А+12 > 11. Учитывая два последних неравенства и неравенство (35), получим доказываемое неравенство (14) .

Докажем единственность решения задачи (1), (3) при условии, что существует решение и Е О1(Я). Предположим, что кроме решения и существует решение у(х,Ь) Е V, удовлетворяющее ограничению (4). Тогда и и V удовлетворяют соотношениям вида (15), (16), в которых ик+1 = ик = V. В этом случае неравенство (34) для Ай = и — V примет вид

—Р1 ||Аu(x, Ь) Ц + ||| Аи1|\Хт к в1 \|| Аи11\Хт , Ут Е (0, Т ].

Откуда следует, что Аи = (и — v)e~Хt = 0 почти всюду в Ц.

4. Априорная оценка классического решения

Для применения итерационного процесса 11-13 необходимо задать ограничения сверху и снизу для решения задачи 1-3. В работе [1] получена оценка слабого решения в Ь(Ц) задачи вида (1) — (3), где Ьо(х,Ь,и,их) = 0, ((х,Ь,и) = 0. Однако эти оценки содержат неявно заданные константы, что не позволяет использовать их в предлагаемом итерационном методе.

Для классического решения, то есть решения непрерывного в Ят, имеющего непрерывные ди д2и ди

производные —, ——-— в Цт и —— в Цт и Бт, можно найти явную и более точную оценку. дЬ дхгдх, дхг

Далее будем предполагать, что выполнены следующие условия:

1о. а,(х,Ь,и)СгСз > 0 У(х,Ь) Е Цт,и Е R1,С Е Rn; да,(х,Ь,и) да,(х,Ь,и)

производные --------------,------------ непрерыны и ограничены в любом ограничен-

дхг ди

ном цилиндре ZN = Цт х [—N,

2о. Функцию Ь(х,Ь,и,их) можно представить в виде

ди

Ь(х, Ь, и, их) = Ьг(х, Ь, и, их)—----+ Ьо(х, Ь, и)и,

дхг

где _ _

Ьо(х, Ь, и) > Сь + Сь \и\а2 У(х, Ь) Е Цт, и Е R1, (36)

где Сь Е R1,Cь и а1 > 0;

3о. _ _

((х, Ь, и) > Са + С а \и\а2 У(х, Ь) Е Б т, и Е R1, (37)

где Са и С а > 0;

4о. Функция (р(С,х,Ь) удовлетворяет условиям VI, где С2 < 1;

5о. Функция к(и) задана на R1, непрерывна, не убывает и удовлетворяет условию

\к(и)\ > Сн \и\аз Уи Е R1, (38)

где Сь_> 0;

6о. Са + С а + Сн > 0.

Запишем уравнение (1) в виде

ди д2и ди

р— — а, (Ь, х, и) —— --------+ Вг(х,Ь,и,их:)--+ Ь (х, Ь, и,) и = ; (х,Ь),

дЬ дхгдх, дхг

где

Вг(х,^,и,их) Ъг(х,^,и,их)

да,(х,Ь,и) да, ди

дх, ди дх,

Перейдем от функции и(х,Ь) к функции v(x,t) = и(х,Ь)е Хь. Функция v(x,t) удовлетворяет уравнению

dv ,, s д2v „ , . , dv

tidxj

p^- - üij (t,x,u) ^77--------+ Bi(x, t, u, Ux)^— + (b (x,t,u,) + X)v = f (x,t)e xt,

dt dxidxj dxi

и условиям

dv

aij (t, x, u) ——- cos(n, xi) + d (x,t,u) v + h (u (x, t)) e xt-

j

,-Xt / 7 / it „„-xt

-е j К {и (£,г)) <р (£,х,г) = де-

да

Пусть неотрицательный максимум функции V в области Qt = О х [0, достигается в точке (хо^о) £ О х [0, ¿1], тогда, учитывая условие (36), получаем

{Сь + \^{хо,и) + Сь 1и{хоМ)Г1 v{xо,tо) ^ /{хо,^)е-Х\ (39)

Далее будем считать, что Л > — Сь, и условимся обозначать символом д+{у) {д~{у)) функцию равную g{y), если д{у) > 0 {д{у) ^ 0) и д+{у) = 0 {д-{у) = 0), если д{у) < 0 {д{у) > 0). Введем обозначение

/+{х,^) ( /+{х,^) \1/(“1+1)

l+(x, t, X) = min

40)

Сь + Л у С ь

если Сь = 0, то 1+ = /+/{Сь + Л). Учитывая неравенство (39), получаем

v{xо,tо) ^ 1+{хо,Ь,Л)е-хг.

Пусть неотрицательный максимум достигается в точке (х0^0) £ , тогда в этой точке

вектор vx имеет направление внешней нормали, поэтому в силу положительной определенности матрицы А

^ ч

ац- СО$,(и,хг) > 0. ' дхз

Заметим еще, что из неравенства v{x0,t0) > v{$l,t0) £ О следует неравенство

и{х0, ¿0) > и{£, ¿0) £ О.

Учитывая краевое условие (2), получаем, что

^хо,и,и{хо,и)^{хо,и) + е х | к{и{хо,и)) — J к{и{£,и))<р{£,хо,и)с1£ | ^

да

^ д{хо,^)е-х\ (41)

Принимая во внимание условия 40,50, получаем

к{и{хо,и)) — / к{и{£^о))<р{£,хо,Ь)с1£ = / [К{и{хо,Ь)) — к{и{£,и))] х да да

хр{£,хо,и)С£ + к{и{хо,и)) — / >{>а,хо,и М > {1 — С12)к{и{хо,Ь)).

да

Воспользовавшись неравенствами (37), (38), получаем

С + Саеа2Моva2(хо,Ь)) v{xо,tо) + {1 — С2)е-Х1СнеазХ1°vaз{хоМ) ^ де-Х1°.

Cdv(xo,to) + Cdea2Xt0v(a2+l)(xo,to) + (1 - C2)e-xtChe(a3-l)xt0va3(xo,to) ^ ge-xt0. (42)

Откуда получаем

aXt0v'~21 ^'(xo,to) + (1 - C2)e '"'Che'"3 */'"'°v

Полагаем

m±(x, t) = min

g± (g±\ Cd \Cd)

l/(a2 + l)/ \ l/a3

g±

Ch(1 - C2)

(43)

Тогда из (44) следует оценка

v{xо,tо) ^ т+{хо^о)е-хь°.

Очевидно, что если положительный максимум достигается в точке {х0,0), то v{x0, 0) = и{х0, 0) = и0{х0). Таким образом, во всех случаях справедлива оценка

max v(x, t) ^ max Откуда следует оценка сверху

max u+(x), max m+(x, t)e , max l+(x, t)e

-xt

u(x, t\) ^ extl max

max u+(x), max m+(x, t)e , max l+(x, t, A)e

xt

а ''' яч Яь1 j

Аналогичным образом получаем оценку снизу неположительного минимума

u(x, t\) > extl min

min u (x), min m_ (x,t)e , min l_ (x,t,A)e

g J’ St1 v ’ ' ’ Qt1 v ’ ’ '

xt

где

m-(x, t) = max

l-(x, t, A) = max g-(x,t)

f-(x,t)

Cd

Cb + A’ |g- (x,t)l ^1/(а2+"

C h

lg-(x,t)l Ch(l — C2)

1/аз

(44)

(45)

(46)

Таким образом установлено следующее утверждение

Теорема 2. Пусть и{х,Ь) есть классическое решение задачи {1) — {3) и пусть выполнены условия 10 — 60. Тогда для решения и{х,Ь) при любом t1 £ [0,Т] справедливы оценки

вир вХІ1 тіп х>оь

min u (x), min m_ (x,t)e , min l_ (x,t,A)e

g -w St1 v ’ 7 Qt1 v 7

xt

^ u(x,t\) ^ inf e max

x>cb

max u+ (x), max m+(x,t)e xt, max l+(x,t,A)e xt

G

St1

Qt1

где 1±{х,і,А),т±{х,ї) определяется формулами (40), (4-5), (43), (46)-

Замечание. В модели теплообмена излучением по закону Стефана-Больцмана без учета конвективного переноса тепла

Ъг{х, t, и, их) = 0 {г = 0,и), С{х, t, и) = 0, к{и) = к |и| и.

Функция и имеет физический смысл абсолютной температуры. При естественных предположениях, что / > 0, д > 0, ио > 0 получим соотношения

f (x t)

l-(x,t,A) = 0, m-(x,t) = 0, u°_ = 0, l+(x,t,A) = —^—, m+(x,t)

A

g

[x(l — C2)\

1/4

Тогда при любом А > 0

max u°(x), max G St1

g

f

¡л nw e-xt, max{ e-xt k(1 — C2)) Qt1 A

Полагая в последнем неравенстве A = 1, получим

о / g

max u , max —-----------

G St1 \x(\ — C2)

, t\ max f Qt1

(47)

(48)

Если нет внутренних источников тепла, то есть f = 0,то, устремляя Л к нулю в неравенстве (47), получим оценку

max u , max g St1

9

k(1 - C2)

(49)

4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амосов А.А. Глобальная разрешимость одной нелинейной нестационарной задачи с нелокальными краевыми условиями типа теплообмена излучением // Дифференциальные уравнения. Т. 41. 2005. №1. С. 93-104.

2. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюллетень МГУ (А). Т. 1. 1938. №8. С. 1-25.

3. Тихонов А.Н. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных // Бюллетень МГУ. Сер. А. Т. 1. №9. 1938. С. 1-45.

4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М: Наука, 1967. 736 с.

Иосиф Иосифович Голичев,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]