Применение универсального итерационного процесса к некоторым задачам механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. И. Кошелев

ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОГО ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ*

Введение

В одной из своих последних статей С. Г. Михлин [1] обратил внимание на универсальный итерационный процесс, предложенный автором. Для довольно широкого класса краевых задач, встречающихся в механике, этот процесс характерен тем, что он сходится, начиная с любого начального приближения, принадлежащего пространству, в котором рассматривается краевая задача. Это пространство, как правило, оказывается энергетическим. Однако внимательное изучение с использованием различных теорем вложения показывает, что эти процессы иногда сходятся в «сильных» (С, Са) пространствах. Процессы иногда отличаются друг от друга линейным оператором, который связывает две последовательные итерации (оператор Лапласа, элементарный оператор Ламе, оператор теплопроводности и др.). Мы рассмотрим в данной статье, посвященной памяти нашего учителя, в основном, краевые задачи нелинейной теории упругости с однородным краевым условием первой задачи и нестационарную задачу фильтрации с ограниченными нелинейностями.

1"\ Т О О ООО

. Универсальным итерационным процесс для нелинейной краевой задачи теории упругости с закрепленными краями с использованием оператора Лапласа

Будем рассматривать упругую среду, заключенную внутри ограниченной области

О С Ет (т ^ 2). В целях упрощения вычислений мы проводим рассмотрения для любого целого т ^ 2, хотя для механики наиболее важными являются случаи т = 2 и т = 3. Через и(х) = {иг(х1,..., хт)}, г = 1,... ,т, мы обозначаем вектор смещений, который зависит от точки х € О. Обычным образом обозначаются деформации

£ю\и\ = + А^') , ...,то) (1.1)

и элементы тензора напряжений . Соотношения (1.1) определяют геометрически линейные зависимости. Физические соотношения между элементами тензоров деформаций и напряжений определяются равенствами

°1к[и} = а^к (х, £,-; [и]) (г,],к,1 = 1 ,...,т), (1.2)

где агк — заданные достаточно гладкие функции своих аргументов, симметричные относительно индексов г и к. Характер этой зависимости будет уточнен ниже. Для однородной изотропной упругой среды соотношения (1.2) имеют вид

®гк [и} А-0'j uj дгк + 2^£ik[u}, (1.3)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-00321).

© А. И. Кошелев, 2008

где по повторяющимся индексам (как и везде ниже) производится суммирование, Л и ц — постоянные Ламе. Уравнения равновесия Коши запишутся в следующем виде:

Lk(u) = DiO,ik(x, £ji [u]) = -Fk (x), (1.4)

где Fk(x) — k-ая проекция массовых сил.

Потребуем, чтобы граница области дО была закреплена, т. е. чтобы было выполнено условие

и =0. (1.5)

дП

Мы будем рассматривать слабое решение и £ Но краевой задачи (1.4)—(1.5), удовлетворяющее интегральному тождеству

- / Oik(x,£ji [u])DjVk dx + FkVk dx = 0, (1.6)

ПП

которое выполняется для любой v £ Но(О). Здесь Но(О) —гильбертово пространство функций, удовлетворяющих условию (1.5) и квадратично суммируемых вместе со всеми первыми обобщенными по С. Л. Соболеву производными. Однако вначале мы рассмотрим более простую задачу для уравнения Пуассона

Ди = -Difi, (1.7)

где и — скалярная функция, удовлетворяющая граничному условию (1.5) и fi £ Н(О).

Интегральное тождество для задачи (1.7), (1.5) запишется в виде

I DiuDiv dx = I fiDivdx. (1.8)

ПП

Наличие слабого решения u £ Но (О) очевидно, и из неравенства Гельдера следует соотношение

m р m р

/ |Diu|2 dx / |fi|2 dx. (1.9)

i=i^n i=i^n

Приступим теперь к решению задачи (1.4)—(1.5) или (в слабой форме) интегрального тождества (1.6). Предположим,что коэффициенты Oik (x,£jl [u]) для V u, z £ Н(О) удовлетворяют неравенствам

/, m „

/ (Oik (x,£ji[u]) - Oik(x,£ji [z]^£ik [u - z] dx > o^ / |£ik [u - z]|2 dx, (1.10)

Jn i,k=i^n

m „ m „

/ |oik (x,£ji [u]) - Oik (x, £ji [z]) |2 dx < b2 ^2 / |£ik [u - z]|2 dx, (1.11)

i,k=^n i,k=^n

где a,b = const > 0.

Неравенства (1.10) и (1.11) носят, соответственно, названия условий монотонности и ограниченной нелинейности. Применяя к левой части (1.10) неравенство Гельдера, из (1.11) получим соотношение

’2 < b2. (1.12)

a

Предположим также, что если u £ Н, то aik (x,£ji [u]) £ L2(0) и Fk £ L2(0). 48

Рассмотрим универсальный итерационный процесс

I Аик"+1)А'Ук йх = I (Бги^ - £агк(х, £¿1 [и(п)])БгУк dx + £ I ЕкУк йх, (1.13)

где £ — положительная постоянная, которая должна быть подобрана с помощью условий (1.10) и (1.11). Соотношения (1.13) являются слабыми равенствами для итерационной системы

Ди

(п+1)

Дм к ) — Є\^к(и) + Р (ж)],

(1.14)

где Ьк(и) определяется по формулам (1.4). Краевое условие (1.5) должно выполняться для каждой итерации.

Пусть начальное приближение и(0)(х) € Но(О). Тогда из оценки (1.9) и свойства оператора Д (Е € ¿2) следует, что и(1)(х) € Но(О). Это будет справедливо для всех итераций. Возьмем любые два соседних п и вычтем два последовательных равенства (1.13). Тогда получим

А (мк”+1) — мкп)

(п) „,(п-1)

и)' - и

)—

£[аік (х,£Л1 [и( )]) аік (х,£Л1 [и( )^ Ві^к ¿х

Используя для правой части неравенство Гельдера и возведя в квадрат обе части, найдем

J Ві (иГ‘> — икп^ Оі/і'к ¿х

£ В

і,к=1

икп)—4п-1Л і2

)'2—

— 2е а,ік(х,£зі [и(п)]) — аік(х,є^ [и(п 1)]) Ві

и(п) — иГЧ +

П V 2 I 11 і л

+£2 53 | аі к (х, £jl [и(п)]) — аі к (х,£^і [и(п-1))¿х ■ ^ J ІВіУк |2 ¿х.

і, к =1

і, к =1 '

Ввиду того, что аі к — а к і, имеем

аі к (x,£jl [и(п)]) — аі к (x,£jl [и(п 1)]) Ві (■

(п)]) — а: к(х £ л [и(п 1)]) Ві (и(п) — и(п 1А

аі

и — и (п)])

(х,£лі [и(п)]) — аі к (х,£лі [и(п 1)]) £і к [и'-' — и

(п) и(п-

1)].

Применяяя тогда к правой части предыдущего неравенства соотношения (1.10) и (1.11), получим

ВіШ(:+1)ВіУк ¿х

<

, =1

Е І(Ві^Г |2 —

110 Л

—2£а £2к [ад(п)] + £262£2к [ш(п)]| ¿х У'' / |2 ¿х. (1.15)

J і, к = 1^

(п+1) = и(п+1) _ и(п)

к

к

2

2

2

2

Как известно, при выполнении условия (1.5) имеют место неравенства Корна

т „ т „ 1 т „

у~] |Амй|2^ж> У2 £2к[у]<],х^- У2 \DiUkl2 ¿X.

г,к=1^ г,к=1^ 2 г,к=1-^

Увеличивая правую часть предыдущего неравенства за счет этих соотношений, найдем

Ві4п+1) ВіУк ¿х

т р т р

< |1 — £а + £262| ^2 / |Ві^кп)|2 ¿х^2 / |Ві«к|2 ¿х.

і,к=1 і,к=1

Взяв V — ад(п+1)

и сократив на

т

|М”+1)||Н = Е / |Бгт1”+1)|2 dx, (1.16)

г,к=^°

придем к соотношению

||т(п+1)||я < ?£||т(п)||я, (1.17)

где q2 = |1 — £а + £2Ь21. Поскольку при £ ^ 0 справедливо соотношение 1 — £а + £2Ь2 ^ 0,

д = ттде = \/\ — еа + е2Ь2 = \Ь-~ ~7То- (1-18)

£>0 е=а/2Ъ2 V 4Ь

Из соотношений (1.13) и (1.17) следует, что универсальный процесс сходится быстрейшим образом при выбранном начальном приближении в Но при £ = а/2Ь2, и скорость сходимости определяется геометрической прогрессией со знаменателем (1.18). В частности, для однородной изотропной среды, удовлетворяющей соотношениям (1.3), постоянные а и Ь из неравенств (1.10) и (1.11) имеют вид

а = 2^, Ь = Ат + 2^. (1.19)

Из (1.15) следует, что для рассматриваемого случая

/ ^2

д = тіп<7є = -і/1 — —---------77. (1-20)

4 є>0 Че у (Ат + 2/х)2 ^ У

Из (1.17) следует,что

||ю(п)|| < Сдп, (1.21)

где С не зависит от п.

2. Универсальный итерационный процесс упругих решений

В этом разделе мы рассмотрим ту же задачу (1.4)—(1.5) с помощью итерационного

процесса, отличного от (1.13), (1.14). Обозначим через Ь°(и) простейший оператор Ламе

с постоянными ц — 1 и А — 0:

Ь°(и) — Ди + V <ііу и. (2.1)

Универсальный итерационный процесс

Ь0(и(п+1))= Ь°(и(п)) — £[Ь(и(п)) + Р(х)] (£ — со^ > 0) (2.2)

2

2

после интегрирования по частям и перемены знака запишется в виде

! (а4”+1) + и(п+1)) ах =

= I ВгП^ + Бкп<(п') — еагк(х,£^1 [и(п)]) Б^к ¿х — £ I ЕкУк ах, (2.3)

Л О ./О

где ¥к — к-ая проекция массовой силы Р.

Примем вначале, что Р € ¿2(0). Поскольку оператор Ь эллиптический, решение задачи Ь0(и) = Р с граничным условием (1.5) принадлежит ^2(1) П Но в 0 и, следовательно, все итерации процесса (2.2) и (2.3) принадлежат этому пространству.

Подставляя выражения (1.1), учитывая симметричность коэффициентов а^к по индексам и деля на 2, получаем

[ £гк[и('П+1')]£гкЬ’] <1,Х = [ (е^и^-^еаг^Х^^^и^Легк^сЬ;-^ [ РкУк(1х,

■!О -)О V 2 / 2 ■!О

(2.4)

Вычитая два последовательных соотношения (2.4) и обозначая и>(п+1) = и(п+1) — и(п), приходим к равенству

е*д;[г«(”+1)]е^[г;] <1х = |е*й[г(;(п)] - ^£ (а^х^^и^] - а^(ж,£.,-г[м(п_1)]) | £ц.[и\ с£т.

Применим к правой части неравенство Гельдера, подставим V = и>(п+1). После сокращения и применения неравенств (1.10) и (1.11) находим

т р , 2 т с

Е 4М'‘+1)]<^ < I1 ~а,£+ —£2\ Е е-й[г«(п)]йж.

, 7, 1 </ О 4 , ./О

г,к=!

г,к=1 '

7 2

Коэффициент 1 — а,£ + ^-е при е > 0 положителен, и

• /1 &2 2 /1 , &2 2 а = тт \ /1 — ае Н--------------£ = \ /1 — ае Н--------------

е>о V 4 V 4

е=2а/Ъ2

1-^

Ь2'

(2.5)

Сравнивая (2.5) с (1.18), получаем, что оценка скорости сходимости процесса (2.4) больше, чем скорость сходимости в процессе (1.13). Это вытекает из неравенства Корна, и в этом случае будет справедливо неравенство, аналогичное (1.21).

3. Регулярность решения нелинейных упругих задач и итерационные процессы

В предыдущих двух пунктах мы исследовали вопрос о слабом решении нелинейных задач теории упругости, удовлетворяющих условию монотонности (1.10) и условию ограниченной нелинейности (1.11). В обоих случаях универсальные процессы (1.13) и

(2.3) сходятся в Но(0). Однако из этого не следует принадлежность слабого решения к пространству Гельдера.

Пусть область 0' — строго внутренняя подобласть 0, граница которой отстает от д0 на ¿о > 0. Возьмем Ухо € 0' и окружим шаром Бц(хо), где 5 < 5о. Введем пространство Морри На(0'), норма в котором определяется по формуле

\на(П')

т р

виР Е / |А«к|2|х - Х0Іа йX + |М|Н0(П), (3-!)

П',5<5п . , и В5(хо)

хоЄП',6<6о ік=^Вг(хо)

где а = 2 — т — 27 (0 < ^ < 1). Известно, что

Яа(9!) С С7(П').

(3.2)

Таким образом, если (1.13) сходится в На(0') и все итерации принадлежат На(0'), то и решение будет принадлежать этому пространству. Это было доказано в нашей монографии [2]. Мы вкратце напомним здесь идею доказательства.

Вернемся к неравенству (1.15) и введем функцию-срезку, определенную в шаре Бй(хо):

( 1 для 0 ^ г ^ 5/2,

С(т) = < 16/52(г — 35/4)2 для 5/2 ^ г ^ 35/4,

[ 0 для г ^ 35/4,

где г = х — хо, и равную нулю в остальной части 0. Запишем левую часть (1.15) в виде

5 (хо)

А'ад("+1)г“/2 Біукт а/2 йх

возьмем Vk = ^(п+1) £ и применим неравенство Гельдера. Тогда после простых преобразований неравенство (1.15) приведется к виду

1

т — 1

єо + є2Ь2

1 +

(то — 2)2 т1

+ 0(7)

Е

і, к=г] в5 (хо)

А»«

г“£ йх+

+С

, =1

Дп<п>

йх.

Мы использовали здесь неравенство Корна в пространстве На при а = 2 — т — 2^. Взяв

є =

2(т — 1)Ь2

получим оптимальную оценку

Ап(п+1)Біп(п+1)та( йх <

В5(хо)

^ ^1-

4(т — 1)2 Ь2

1+

(то — 2)2 т1

+ 0(7)

Е

і, к=1-'В5(хо)

Ап

(п)

та( йх + Сд

2п

где д = л/1 — а2/4Ь2.

Отсюда следует неравенство

,(п+1)|

На (П') ^ д||п(П)||Яа (П') + Сд

и

2

2

2

П

о

2

2

1

о

и, таким образом, процесс (1.13) сходится в Ha(0'), если

1 а? \ 1/2 Г (то — 2)2

Q - 1 - —т--------TvTTT ) \ /1 ”1-----1— <1- (3.3)

\ 4(m — 1)2 b2 J V m — 1

Вложение (3.2) гарантирует сходимость этого процесса в CY(O'). Однако условие

(3.3) может выполняться только для целых m < 3. Таким образом, если при m = 2 выполняются неравенства (1.10), (1.11) и Fk G ¿2(0), то процесс (1.13), (1.14) сходится в пространстве Ha (O') при достаточно малом 7 (а = —27) к слабому решению задачи

(1.4), (1.5) и, тем самым, это решение принадлежит пространству CY(O').

Для доказательства сходимости процесса (1.13) в Ha(0') при m = 3 мы потребовали в [2] выполнения неравенств, несколько отличных от (1.10), (1.11). При тех же самых аналитических предположениях мы допустим,что справедливы соотношения

m

/ (aik(x,£jt [u]) — aik(x,£ji[v])) £ik [u — v] dx > a' V' / £2k[u — v] dx, (3.4)

Jo, i,k=l^°

m p p

E / (aik(x, £ji[u]) — aik(x,£ji [v]))2 dx < b' / (aik(x,£ji[u\) — aik(x,£ji [v])) £ik[u — v] dx, i,k=v'°

(3.5)

где a' ,b' = const > 0.

Тогда справедлив следующий результат: если имеет место неравенство

1- 2

m 1 b'

1 +

(m — 2)

m1

< 1, (3.6)

то для задачи (1.4), (1.5) процесс (1.13) сходится в На{О') при достаточно малом ^ > 0. Отсюда следует, что для этой задачи при достаточно малом ^ > 0 слабое решение в трехмерном пространстве будет принадлежать С1 {О'). Начиная с т = 4 условие (3.6) не выполняется.

4. Параболические (диффузионные) системы и универсальный нестационарный итерационный процесс

Этот раздел посвящен исследованию квазилинейных параболических систем второго порядка, которые рассматриваются в цилиндре Q = {0, Т) х О при конечном Т > 0 при наличии времени £ € [0, Т). Более общие системы изучаются в [3]. Мы рассмотрим относительно искомой функции и{х,Ь) = {и1{х, £),..., ит{х, £)} параболическую систему вида

т

ди - ЕО*агк{х,£, Ощ) = ¡к{х,Ь) {4.1)

1=1

с краевыми условиями

и\г=0 = и1[0,т]хэп = 0 {4.2)

Будем предполагать, что дО — гладкая поверхность, коэффициенты агк {х,Ь,р^) удовлетворяют условию Каратеодори и непрерывно дифференцируемы по всем р, т. е.

по градиентам щ при почти всех х,1 € Q. Примем, что для Уи € ^20,1){О) все

агк € Ь2^). Предположим также,что матрица

А=Ш ,о)

a

порядка m2 х m2 симметрична и ее спектр, составленный из собственных чисел Ai, удовлетворяет условиям

inf{Ai} = A > 0 и sup{Ai} = Л < ж, (4.4)

где inf и sup берутся по всем аргументам, от которых зависит Ai. Кроме того, допустим,

что для u £ wf’2)(Q) при всех к

m

Lk(u) = Е Diaik(x, t, Djui) £ A(Q). (4.5)

i= 1

Для задачи (4.1), (4.2) рассматривается универсальный итерационный процесс £dtuki+1) — Auk"+1) = —Aukn) + e{Lk (u(n)) + fk (x,t)), который в слабой форме может быть записан в виде

£ / dtuk”+1)vk dxdt + / Diukn+1^Divk dxdt =

Jq Jq

о о Г m

,(n)

D^uk^Divk dx dt — £

^aik (x, t, Dju(n))Divk — fk(x,t)vk

i=1

dxdt, (4.6)

где е — некоторая достаточно малая положительная постоянная. В. М. Чистяковым [4] (недавно трагически погибшим) было доказано, что если е = 2{Л + А)-1, где А и Л определены в (4.4), и любое начальное приближение из ^2°’2) удовлетворяет краевым условиям (4.2), то процесс (4.6) сходится в ^20,1)^) к слабому решению задачи (4.1), (4.2) со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой д = {Л — А){Л + А)-1. Этот результат был доказан В. М. Чистяковым при несколько иных, но аналогичных условиях. Допустим теперь, что кроме высказанных выше предположений о коэффициентах мы примем, что Зд° > 2, при котором для Уд € {1, д°] и Уи € ^д(0,1)^) все агк € Ьд^) и для Уи € ^д(0’2)^) справедливо условие Ь{П) € Ьд^). Кроме того, примем, что выполняется неравенство

daik (x,t,pji)

dxj

< C(1 +

где \ р\ 2= \р31 \ . При сделанных выше предположениях справедлива доказанная в

3,1=1

[3] и [5] теорема.

Теорема. Если

Л — А\ 2 ( т — 2\ г ,,т

------ 1 Н------- 1 + (то — 2)(ш — 1) — < 1 при то ^ 3

, Л + А / \ т + 1 / 2

или

Л — А\2

------ < 1 при то = 2,

Л + А

Q

Q

то существует обобщенное решение задачи (4-1), (4-2), которое при некотором достаточно малом показателе удовлетворяет неравенству Гельдера как по х, так и по

Ь в <5.

Эта теорема может быть применена для задач ограниченной фильтрации [6]. Она будет верна и при математической постановке соответствующих горногеологических задач [7].

В качестве примера рассмотрим уравнение нелинейной фильтрации д^а — Бг [{а{Уи)Оги — f {х, £)] = 0 с краевыми условиями (4.2). Примем

/3

а — су, —--- —•——,

1 + |Уи|2’

где а, в > 0 и а > в. Матрица параболичности А в данном случае имеет вид

ik ' “ |Vp'2

и собственные числа будут равны

Ai = a, А2 = a + a'|Vp|.

Таким образом,

А = min{ inf Ai, inf A2 } = a — в,

Л = max{sup A1, sup A2} = a.

Знаменатель геометрической прогрессии имеет вид

К = ^ < 1.

Л + А 2а — ¡3

Поэтому, как легко показать, процесс (4.6) в рассматриваемом случае сходится в пространстве Гельдера оптимальным образом при є = 2/(2a — в).

Литература

1. Михлин С. Г. Об одном применении универсального процесса и связанных с ним погрешностях // Вестн. Ленингр. гос. ун-та. Сер. 1. 1987. Вып. 4 (22). С. 22-27.

2. Кошелев А. И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука, 1986. 240 с.

3. Кошелев А. И., Челкак С. И. Регулярность решений некоторых краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 356 с.

4. Чистяков В. М. О сходимости одного итерационного процесса для параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1989, №1. С. 41-45.

5. Koshelev A. Regularity problem for quasilinear elliptic and parabolic systems // Lecture Notes in Math. Bd 1614, 1995. Berlin-Heidelberg. 255 s.

6. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с.

7. Ромм Е. С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. М.: Недра, 1966. 284 с.

Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.